awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ (hζ.toInteger - 1) *
      ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
        HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
    2
have calc : (hζ.toInteger - 1) *
    ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
    HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
Tactic: calc _ = S'.u * (λ * z) ^ 3 - λ ^ 4 * x - λ ^ 4 * y := by ring
    _ = (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) - (S'.a ^ 3 - 1) - (S'.b ^ 3 - 1) := by rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
    _ = 2 := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
calc :
  (hζ.toInteger - 1) *
      ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
        HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
⊢ (hζ.toInteger - 1) *
      ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
        HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
    2
have calc₁ : (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
    HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
Tactic: calc _ = S'.u * (λ * z) ^ 3 - λ ^ 4 * x - λ ^ 4 * y := by ring
    _ = (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) - (S'.a ^ 3 - 1) - (S'.b ^ 3 - 1) := by rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
    _ = 2 := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
calc :
  (hζ.toInteger - 1) *
      ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
        HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
calc₁ :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
⊢ (hζ.toInteger - 1) *
      ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
        HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
    2
have calc₂ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
  2
Tactic: calc _ = S'.u * (λ * z) ^ 3 - λ ^ 4 * x - λ ^ 4 * y := by ring
    _ = (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) - (S'.a ^ 3 - 1) - (S'.b ^ 3 - 1) := by rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
    _ = 2 := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inl : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1
Tactic: left
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inr : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: right
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inr : False
Tactic: exfalso
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ False
have hζ₁ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
Tactic: replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (3 ^ 1) := by rwa [pow_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ False
have inr : 2 =
  (hζ.toInteger - 1) *
    (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3)
Tactic: refine hζ.toInteger_sub_one_not_dvd_two (by decide) ⟨λ ^ 3 * (x + y) - S'.u * λ ^ 2 * z ^ 3, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ 2 =
    (hζ.toInteger - 1) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
        (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3)
have inr : (hζ.toInteger - 1) *
    (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
  2
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
have rw : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
rw :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
have rw₁ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
rw :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
rw₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
have rw₂ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) - (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
rw :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
rw₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
rw₂ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) - (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
have rw₃ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ (hζ.toInteger - 1) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
        (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
    2
have calc : (hζ.toInteger - 1) *
    (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
  HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3
Tactic: calc _ = λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y - S'.u * (λ * z) ^ 3 := by ring
    _ = (S'.a ^ 3 + 1) + (S'.b ^ 3 + 1) - (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
    _ = 2 := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
calc :
  (hζ.toInteger - 1) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
        (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
    HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3
⊢ (hζ.toInteger - 1) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
        (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
    2
have calc₁ : HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: calc _ = λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y - S'.u * (λ * z) ^ 3 := by ring
    _ = (S'.a ^ 3 + 1) + (S'.b ^ 3 + 1) - (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
    _ = 2 := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
calc :
  (hζ.toInteger - 1) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
        (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
    HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3
calc₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y -
      (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
⊢ (hζ.toInteger - 1) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y) -
        (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3) =
    2
have calc₂ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
  2
Tactic: calc _ = λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y - S'.u * (λ * z) ^ 3 := by ring
    _ = (S'.a ^ 3 + 1) + (S'.b ^ 3 + 1) - (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
    _ = 2 := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inl : ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x) (y : 𝓞 K)
  (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y), HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rcases a_cube_b_cube_congr_one_or_neg_one S' with
    ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩⟩ | ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
inl :
  ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x) (y : 𝓞 K)
    (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr : ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x) (y : 𝓞 K)
  (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y), HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rcases a_cube_b_cube_congr_one_or_neg_one S' with
    ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩⟩ | ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inl : HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y))
Tactic: refine ⟨S'.u⁻¹ * (x + y), ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y))
have inl : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
have rw : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1)) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: rw [← hx, ← hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
have rw : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
Tactic: rw [S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp