-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.BaseChange (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
A_1 : Type u_2
L_1 : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R_1
inst_1 : CommRing A_1
inst_2 : Algebra R_1 A_1
inst_3 : LieRing L_1
inst_4 : LieAlgebra R_1 L_1
inst_5 : AddCommGroup M
inst_6 : Module R_1 M
inst_7 : LieRingModule L_1 M
inst_8 : LieModule R_1 L_1 M
R : Type u_5
A : Type u_6
B : Type u_7
L : Type u_8
L' : Type u_9
inst_9 : CommRing R
inst_10 : CommRing A
inst_11 : Algebra R A
inst_12 : CommRing B
inst_13 : Algebra R B
inst_14 : LieRing L
inst_15 : LieAlgebra R L
inst_16 : LieRing L'
inst_17 : LieAlgebra R L'
f : A →ₐ[R] B
g : L →ₗ⁅R⁆ L'
x y : A ⊗[R] L
refine_1 :
  ∀ (x : A) (y_1 : L),
    Eq (α := B ⊗[R] L')
      ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L')
          ((((bracket' R A L L : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1) : A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            y) :
        B ⊗[R] L')
      ((((bracket' R B L' L' : (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L')
                ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') (x ⊗ₜ[R] y_1)) :
              B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L') :
            (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L')
          ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') y) :
        B ⊗[R] L')
⊢ Eq (α := B ⊗[R] L')
    ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L')
        ((((bracket' R A L L : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) x : A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) :
            (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
          y) :
      B ⊗[R] L')
    ((((bracket' R B L' L' : (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L')
              ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') x) :
            B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L') :
          (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L')
        ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') y) :
      B ⊗[R] L')
have refine_2 : ∀ (x y_1 : A ⊗[R] L),
  Eq (α := B ⊗[R] L')
      ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L')
          ((((bracket' R A L L : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) x : A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            y) :
        B ⊗[R] L')
      ((((bracket' R B L' L' : (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L')
                ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') x) :
              B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L') :
            (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L')
          ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') y) :
        B ⊗[R] L') →
    Eq (α := B ⊗[R] L')
        ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L')
            ((((bracket' R A L L : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) y_1 : A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) :
                (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
              y) :
          B ⊗[R] L')
        ((((bracket' R B L' L' : (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L')
                  ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') y_1) :
                B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L') :
              (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L')
            ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') y) :
          B ⊗[R] L') →
      Eq (α := B ⊗[R] L')
        ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L')
            ((((bracket' R A L L : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) (x + y_1) : A ⊗[R] L →ₗ[A] A ⊗[R] L) :
                (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
              y) :
          B ⊗[R] L')
        ((((bracket' R B L' L' : (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L')
                  ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') (x + y_1)) :
                B ⊗[R] L' →ₗ[B] B ⊗[R] L') :
              (a : B ⊗[R] L') → B ⊗[R] L')
            ((TensorProduct.map f.toLinearMap (↑g : L →ₗ[R] L') : (a : A ⊗[R] L) → B ⊗[R] L') y) :
          B ⊗[R] L')
Tactic: refine x.induction_on (by simp) ?_ ?_