awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
⊢ ∃ (s_1 : R[X]), s_1.natDegree = (r.cancelLeads s).natDegree ∧ (p ∣ s_1 ∧ q ∣ s_1) ∧ ¬r ∣ s_1
have neg : ∀ (rcs : r ∣ r.cancelLeads s), r ∣ s
Tactic: refine
      ⟨_, rfl, ⟨dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd pr ps, dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd qr qs⟩,
        fun rcs => rs ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs : r ∣ r.cancelLeads s
⊢ r ∣ s
have neg : r ∣ s.primPart
Tactic: rw [← rprim.dvd_primPart_iff_dvd s0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs : r ∣ r.cancelLeads s
⊢ r ∣ s.primPart
have rcs₁ : r ∣
  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
        (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
      r
Tactic: rw [cancelLeads, tsub_eq_zero_iff_le.mpr hs, pow_zero, mul_one] at rcs
Cleared hypotheses: rcs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
⊢ r ∣ s.primPart
have h₁ : r ∣
  HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r +
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
        (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
      r
Tactic: have h :=
      dvd_add rcs (Dvd.intro_left (C (leadingCoeff s) * X ^ (natDegree s - natDegree r)) rfl)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
⊢ r ∣ s.primPart
have a : Nontrivial R
Tactic: nontriviality R
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
⊢ r ∣ s.primPart
have hC0 : r ≠ 0
Tactic: have hC0 := rprim.ne_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
hC0 : r ≠ 0
⊢ r ∣ s.primPart
have hC0₁ : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
Tactic: rw [Ne, ← leadingCoeff_eq_zero, ← C_eq_zero] at hC0
Cleared hypotheses: hC0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
        HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
            (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
          r +
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
⊢ r ∣ s.primPart
have h₁ : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
Tactic: rw [sub_add_cancel, ← rprim.dvd_primPart_iff_dvd (mul_ne_zero hC0 s0)] at h
Cleared hypotheses: h, h_2, hC0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
⊢ r ∣ s.primPart
have rcases : ∀ (u : R[X]ˣ) (hu : (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff)), r ∣ s.primPart
Tactic: rcases isUnit_primPart_C r.leadingCoeff with ⟨u, hu⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
u : R[X]ˣ
hu : (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff)
⊢ r ∣ s.primPart
have apply : s.primPart * (↑u : R[X]) = (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
Tactic: apply h.trans (Associated.symm ⟨u, _⟩).dvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
u : R[X]ˣ
hu : (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff)
⊢ s.primPart * (↑u : R[X]) = (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
have rw : s.primPart * (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart
Tactic: rw [primPart_mul (mul_ne_zero hC0 s0), hu, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
u : R[X]ˣ
hu : (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff)
rw : s.primPart * (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart
⊢ s.primPart * (↑u : R[X]) = (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
have rw₁ : s.primPart * primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) =
  primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart
Tactic: rw [primPart_mul (mul_ne_zero hC0 s0), hu, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h_1 : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r) h_1
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : 0 < s.natDegree
hcancel :
  (r.cancelLeads s).natDegree <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ ∃ (s : R[X]), s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s) con
rcs :
  r ∣
    HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s -
      HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) s.leadingCoeff : R[X])
          (HPow.hPow (α := R[X]) X (s.natDegree - r.natDegree)) *
        r
h : r ∣ (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
h_2 : Nontrivial R
hC0 : ¬Eq (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) (0 : R[X])
u : R[X]ˣ
hu : (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff)
rw : s.primPart * (↑u : R[X]) = primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart
rw₁ :
  s.primPart * primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) =
    primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart
⊢ s.primPart * (↑u : R[X]) = (HMul.hMul (α := R[X]) ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff : R[X]) s).primPart
have rw₂ : primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart =
  primPart ((C : (a : R) → R[X]) r.leadingCoeff) * s.primPart
Tactic: rw [primPart_mul (mul_ne_zero hC0 s0), hu, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Content (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
⊢ ∃ (r : R[X]), r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s
have have : ∀ (h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r),
  ∃ (r : R[X]), r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s
Tactic: classical
    have h : ∃ (n : ℕ) (r : R[X]), r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r :=
      ⟨(p * q).natDegree, p * q, rfl, hp.mul hq, dvd_mul_right _ _, dvd_mul_left _ _⟩
    rcases Nat.find_spec h with ⟨r, rdeg, rprim, pr, qr⟩
    refine ⟨r, rprim, fun s => ⟨?_, fun rs => ⟨pr.trans rs, qr.trans rs⟩⟩⟩
    suffices hs : ∀ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n → p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s from
      hs s.natDegree s rfl
    clear s
    by_contra! con
    rcases Nat.find_spec con with ⟨s, sdeg, ⟨ps, qs⟩, rs⟩
    have s0 : s ≠ 0 := by
      contrapose rs
      simp [rs]
    have hs :=
      Nat.find_min' h
        ⟨_, s.natDegree_primPart, s.isPrimitive_primPart, (hp.dvd_primPart_iff_dvd s0).2 ps,
          (hq.dvd_primPart_iff_dvd s0).2 qs⟩
    rw [← rdeg] at hs
    by_cases! sC : s.natDegree ≤ 0
    · rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), isPrimitive_iff_content_eq_one, content_C,
        normalize_eq_one] at rprim
      rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs
      apply rs rprim.dvd
    have hcancel := natDegree_cancelLeads_lt_of_natDegree_le_natDegree hs sC
    rw [sdeg] at hcancel
    apply Nat.find_min con hcancel
    refine
      ⟨_, rfl, ⟨dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd pr ps, dvd_cancelLeads_of_dvd_of_dvd qr qs⟩,
        fun rcs => rs ?_⟩
    rw [← rprim.dvd_primPart_iff_dvd s0]
    rw [cancelLeads, tsub_eq_zero_iff_le.mpr hs, pow_zero, mul_one] at rcs
    have h :=
      dvd_add rcs (Dvd.intro_left (C (leadingCoeff s) * X ^ (natDegree s - natDegree r)) rfl)
    nontriviality R
    have hC0 := rprim.ne_zero
    rw [Ne, ← leadingCoeff_eq_zero, ← C_eq_zero] at hC0
    rw [sub_add_cancel, ← rprim.dvd_primPart_iff_dvd (mul_ne_zero hC0 s0)] at h
    rcases isUnit_primPart_C r.leadingCoeff with ⟨u, hu⟩
    apply h.trans (Associated.symm ⟨u, _⟩).dvd
    rw [primPart_mul (mul_ne_zero hC0 s0), hu, mul_comm]