-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
⊢ Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
      ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
    MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
      HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
        (RingHom.ker (F :=
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
            HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
              Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
              (Ideal.span
                (Set.range (ι := D.rels)
                  (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)))))
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (Ideal.span
              (Set.range (ι := D.rels)
                (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
        2
have refine_1 : ∀ (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)),
  Membership.mem (γ := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
      (Ideal.span
        (Set.range (ι := D.rels)
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))
      a →
    Eq (α :=
      MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
        HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
          (RingHom.ker (F :=
            MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
              HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                (Ideal.span
                  (Set.range (ι := D.rels)
                    (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                      ↥(subalgebra R D)))))
            (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
              (Ideal.span
                (Set.range (ι := D.rels)
                  (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                    ↥(subalgebra R D))))))
          2)
      ((AlgHom.comp
              (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                (HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
                  (RingHom.ker (F :=
                    MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
                      HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                        Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                        (Ideal.span
                          (Set.range (ι := D.rels)
                            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                              ↥(subalgebra R D)))))
                    (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                      (Ideal.span
                        (Set.range (ι := D.rels)
                          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                            ↥(subalgebra R D))))))
                  2))
              (aeval p) :
            (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) →
              MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
                RingHom.ker
                    (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                      (Ideal.span (Set.range (Presentation.relationOfHasCoeffs ↥(subalgebra R D))))) ^
                  2)
          a :
        MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
          HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
            (RingHom.ker (F :=
              MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
                HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                  Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                  (Ideal.span
                    (Set.range (ι := D.rels)
                      (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                        ↥(subalgebra R D)))))
              (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                (Ideal.span
                  (Set.range (ι := D.rels)
                    (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                      ↥(subalgebra R D))))))
            2)
      (0 :
        MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
          HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
            (RingHom.ker (F :=
              MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
                HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                  Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                  (Ideal.span
                    (Set.range (ι := D.rels)
                      (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                        ↥(subalgebra R D)))))
              (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                (Ideal.span
                  (Set.range (ι := D.rels)
                    (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                      ↥(subalgebra R D))))))
            2)
Tactic: refine Ideal.Quotient.liftₐ _ ((Ideal.Quotient.mkₐ _ _).comp <| aeval p) ?_