awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
⊢ x ∈ (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ↔
    Membership.mem (γ := Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
      (Set.preimage (β := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.diagram.multispan.obj (unop (op (WalkingMultispan.right i)))) : TopCat)) (Y :=
              (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i)))))) :
          (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (unop (op (WalkingMultispan.right i)))) : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i))) :
            (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)) ''
          (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))))
      x
have w : x ∈ U ↔
  ∃ x_1 ∈ U,
    Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
            (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
          x_1 :
        (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
              (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
            (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
              (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
          x :
        (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
Tactic: simp only [SetLike.mem_coe, unop_op, Set.mem_preimage, Set.mem_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
⊢ x ∈ U ↔
    ∃ x_1 ∈ U,
      Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
              (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
            x_1 :
          (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (X := (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
                (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
                (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
              (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
                (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
            x :
          (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
have w : (∃ x_1 ∈ U,
    Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
            (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
          x_1 :
        (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
              (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
            (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
              (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
          x :
        (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))) →
  x ∈ U
Tactic: refine ⟨fun h => ⟨_, h, rfl⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x y : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h1 : y ∈ U
h2 :
  Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (Y :=
            (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
            (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
            (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
          (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
⊢ x ∈ U
have h : x = y
Tactic: convert! h1 using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x y : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h1 : y ∈ U
h2 :
  Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.U i) : TopCat)) (Y := (↑D.glued : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i)) :
                (↑(D.U i) : TopCat) ⟶ (↑D.glued : TopCat)) :
            C((↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v), (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
            (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
            (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
          (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
⊢ x = y
have h : Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (Y :=
          (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
        (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
      x :
    (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (Y :=
          (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
        (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
      y :
    (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
Tactic: apply_fun (D.ι _).base
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x y : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h1 : y ∈ U
h2 :
  Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.U i) : TopCat)) (Y := (↑D.glued : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i)) :
                (↑(D.U i) : TopCat) ⟶ (↑D.glued : TopCat)) :
            C((↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v), (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
            (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
            (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
          (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
h :
  Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (Y :=
            (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (Y :=
            (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i)) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
⊢ x = y
have h₁ : Function.Injective (α := (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) (β := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (Y :=
        (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i))) :
    (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
Tactic: apply_fun (D.ι _).base
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x y : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h1 : y ∈ U
h2 :
  Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.U i) : TopCat)) (Y := (↑D.glued : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i)) :
                (↑(D.U i) : TopCat) ⟶ (↑D.glued : TopCat)) :
            C((↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v), (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
            (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
            (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
          (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
⊢ Function.Injective (α := (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) (β := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (Y := (↑D.glued : TopCat)) (Hom.base (D.ι i))) :
      (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
have this : Eq (α := (D.mapGlueData (forget C)).U i ⟶ Functor.obj (forget C) D.glued)
  (CategoryStruct.comp (Y := (D.mapGlueData (forget C)).glued)
    ((D.mapGlueData (forget C)).ι i : (D.mapGlueData (forget C)).U i ⟶ (D.mapGlueData (forget C)).glued)
    (Iso.inv (D.gluedIso (forget C)) : (D.mapGlueData (forget C)).glued ⟶ Functor.obj (forget C) D.glued))
  (CategoryTheory.Functor.map (forget C) (D.ι i))
Tactic: have := D.ι_gluedIso_inv (PresheafedSpace.forget _) i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
x y : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h1 : y ∈ U
h2 :
  Eq (α := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    (((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (X := (↑(D.U i) : TopCat)) (Y := (↑D.glued : TopCat))
              (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i)) :
                (↑(D.U i) : TopCat) ⟶ (↑D.glued : TopCat)) :
            C((↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v), (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))) :
          (a : (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
        y :
      (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) (X :=
            (↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat)) (Y :=
            (↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat))
            (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (WalkingMultispan.right i))) :
          (a : (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (WalkingMultispan.right i)) : TopCat) : Type v)) →
            (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
this :
  Eq (α := (↑(D.U i) : TopCat) ⟶ (↑D.glued : TopCat))
    (CategoryStruct.comp (Y := (D.mapGlueData (forget C)).glued)
      ((D.mapGlueData (forget C)).ι i : (D.mapGlueData (forget C)).U i ⟶ (D.mapGlueData (forget C)).glued)
      (Iso.inv (D.gluedIso (forget C)) : (D.mapGlueData (forget C)).glued ⟶ (↑D.glued : TopCat)))
    (Hom.base (D.ι i))
⊢ Function.Injective (α := (↑(D.mapGlueData (forget C)).glued : Type v)) (β := (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (X := (D.mapGlueData (forget C)).glued) (Y := (↑D.glued : TopCat))
            (Iso.inv (D.gluedIso (forget C)) : (D.mapGlueData (forget C)).glued ⟶ (↑D.glued : TopCat)) :
          C((↑(D.mapGlueData (forget C)).glued : Type v), (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))) :
      (a : (↑(D.mapGlueData (forget C)).glued : Type v)) → (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
have h : Mono (X := (D.mapGlueData (forget C)).glued) (Y := (↑D.glued : TopCat))
  (Iso.inv (D.gluedIso (forget C)) : (D.mapGlueData (forget C)).glued ⟶ (↑D.glued : TopCat))
Tactic: rw [← TopCat.mono_iff_injective]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
⊢ Eq (α := (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶ (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
    (D.ιInvApp U ≫ D.diagramOverOpenπ U i) ((D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯))
have h : Eq (α := (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶ (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
  (limit.lift (D.diagramOverOpen U)
        { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U),
          π :=
            { app := fun (j : (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ) ↦ D.ιInvAppπApp U (unop j),
              naturality := sorry } } ≫
      D.diagramOverOpenπ U i :
    (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶ (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
  ((D.U i).presheaf.map (eqToHom sorry) :
    (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶
      (D.U i).presheaf.obj
        (op
          (Functor.obj (C := Opens (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
            (Opens.map (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i))))) :
              Opens (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v) ⥤
                Opens (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (unop (op (WalkingMultispan.right i)))) : TopCat) : Type v))
            (Functor.obj
                (IsOpenEmbedding.functor (f := Hom.base (D.ι i)) sorry :
                  Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v) ⥤ Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
                U :
              Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)))))
Tactic: delta ιInvApp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
⊢ Eq (α := (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶ (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
    (limit.lift (D.diagramOverOpen U)
          { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U),
            π :=
              { app := fun (j : (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ) ↦ D.ιInvAppπApp U (unop j),
                naturality := ⋯ } } ≫
        D.diagramOverOpenπ U i :
      (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶ (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
    ((D.U i).presheaf.map (eqToHom ⋯) :
      (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶
        (D.U i).presheaf.obj
          (op
            (Functor.obj (C := Opens (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v))
              (Opens.map (Hom.base (colimit.ι D.diagram.multispan (unop (op (WalkingMultispan.right i))))) :
                Opens (↑(↑(Limits.colimit D.diagram.multispan) : TopCat) : Type v) ⥤
                  Opens (↑(↑(D.diagram.multispan.obj (unop (op (WalkingMultispan.right i)))) : TopCat) : Type v))
              (Functor.obj
                  (IsOpenEmbedding.functor (f := Hom.base (D.ι i)) ⋯ :
                    Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v) ⥤ Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v))
                  U :
                Opens (↑(↑D.glued : TopCat) : Type v)))))
have h : Eq.{v + 1} (α := (D.U i).presheaf.obj (op U) ⟶ (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
  (NatTrans.app
      (Cone.π
        { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U),
          π :=
            { app := fun (j : (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ) ↦ D.ιInvAppπApp U (unop j),
              naturality := sorry } })
      (op (WalkingMultispan.right i)) :
    Functor.obj.{v, v, v, u} (C := (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ)
        (Functor.obj (Functor.const (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ)
          (Cone.pt.{v, v, v, u} (J := (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ) (F := D.diagramOverOpen U)
            { pt := (D.U i).presheaf.obj (op U),
              π :=
                { app := fun (j : (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ) ↦ D.ιInvAppπApp U (unop j),
                  naturality := sorry :
                  NatTrans
                    (Functor.obj (Functor.const (WalkingMultispan (MultispanShape.prod D.J))ᵒᵖ)
                      ((D.U i).presheaf.obj (op U)))
                    (D.diagramOverOpen U) } :
              Cone (D.diagramOverOpen U) }))
        (op (WalkingMultispan.right i)) ⟶
      (D.diagramOverOpen U).obj (op (WalkingMultispan.right i)))
  ((D.U i).presheaf.map (eqToHom sorry))
Tactic: rw [limit.lift_π]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
⊢ (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ⊆
    Set.range (ι := (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (D.f i i).base) :
        (a : (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
have h : (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ⊆ Set.univ
Tactic: rw [Set.range_eq_univ.mpr _]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
h : (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ⊆ Set.univ
⊢ (↑U : Set (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)) ⊆
    Set.range (ι := (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (D.f i i).base) :
        (a : (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
have rw : Function.Surjective (α := (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v)) (β := (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
        (D.f i i).base) :
    (a : (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
Tactic: rw [Set.range_eq_univ.mpr _]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace.Gluing (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
D : GlueData.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
i : D.J
U : Opens (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v)
⊢ Function.Surjective (α := (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v)) (β := (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (D.f i i).base) :
      (a : (↑(↑(D.V (i, i)) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑(D.U i) : TopCat) : Type v))
have rw : Epi (D.f i i).base
Tactic: rw [← TopCat.epi_iff_surjective]