awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i
μ : 𝕜 := (↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
key : HasEigenvector T μ v
⊢ HasEigenvector T (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) v
have re_μ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) = μ
Tactic: have re_μ : ↑(RCLike.re μ) = μ := by
    rw [← RCLike.conj_eq_iff_re]
    exact hT.conj_eigenvalue_eq_self (hasEigenvalue_of_hasEigenvector key)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
⊢ ∃ (i : Fin n), (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have obtain : ∀ (i : Fin n) (hi : (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ), ∃ (i : Fin n), (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
Tactic: obtain ⟨i, hi⟩ := hT.exists_unsortedEigenvalues_eq hn hμ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
i : Fin n
hi : (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
⊢ ∃ (i : Fin n), (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h : (↑(hT.eigenvalues hn
        ((Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n)
          ((Equiv.symm (Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n) i))) :
    𝕜) =
  μ
Tactic: use ((Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)).symm i).revPerm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
⊢ Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} = finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
have rw : Finset.card (α := Fin n)
    {i : Fin n |
      (↑((hT.unsortedEigenvalues hn ∘
                Function.comp (β := Fin n) (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n)
                  (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
              i) :
          𝕜) =
        μ} =
  Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ}
Tactic: rw [← hT.card_filter_unsortedEigenvalues_eq hn, eigenvalues_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
⊢ Finset.card (α := Fin n)
      {i : Fin n |
        (↑((hT.unsortedEigenvalues hn ∘
                  Function.comp (β := Fin n) (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n)
                    (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
                i) :
            𝕜) =
          μ} =
    Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ}
have apply : ∀ (i : Fin n),
  Membership.mem (γ := Finset (Fin n))
      {i : Fin n |
        (↑((hT.unsortedEigenvalues hn ∘
                  Function.comp (β := Fin n) (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n)
                    (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
                i) :
            𝕜) =
          μ}
      i ↔
    Membership.mem (α := Fin n) (γ := Finset (Fin n)) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ}
      ((Equiv.trans Fin.revPerm (Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n) i : Fin n)
Tactic: apply Finset.card_equiv (Fin.revPerm.trans (Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ HasEigenvector T (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i)
have rw : HasEigenvector T
  (↑((hT.unsortedEigenvalues hn ∘
          Function.comp (β := Fin n) (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n)
            (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
        i) :
    𝕜)
  ((DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasis hn sorry sorry : (a : Fin n) → E)
    (((Equiv.symm (Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn) * Fin.revPerm)).symm : (a : Fin n) → Fin n) i : Fin n))
Tactic: rw [eigenvalues_def, eigenvectorBasis_def, OrthonormalBasis.reindex_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ Antitone (hT.eigenvalues hn)
have rw : Antitone (α := Fin n)
  (Function.comp (β := Fin n)
    (hT.unsortedEigenvalues hn ∘ (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n))
    (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
Tactic: rw [eigenvalues_def, ← Function.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ Antitone (α := Fin n)
    (Function.comp (β := Fin n)
      (hT.unsortedEigenvalues hn ∘ (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n))
      (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
have refine_1 : Monotone (α := Fin n) (hT.unsortedEigenvalues hn ∘ (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n))
Tactic: refine Monotone.comp_antitone ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
refine_1 :
  Monotone (α := Fin n) (hT.unsortedEigenvalues hn ∘ (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n))
⊢ Antitone (α := Fin n)
    (Function.comp (β := Fin n)
      (hT.unsortedEigenvalues hn ∘ (⇑(Tuple.sort (hT.unsortedEigenvalues hn)) : (a : Fin n) → Fin n))
      (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n))
have refine_2 : Antitone (α := Fin n) (β := Fin n) (⇑Fin.revPerm : (a : Fin n) → Fin n)
Tactic: refine Monotone.comp_antitone ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
⊢ ofLp (p := 2) (((hT.eigenvectorBasis hn).repr : (a : E) → EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) ((T : (a : E) → E) v)) i =
    HMul.hMul (α := (fun (x : Fin n) ↦ 𝕜) i) (↑(hT.eigenvalues hn i) : (fun (x : Fin n) ↦ 𝕜) i)
      (ofLp (p := 2) (((hT.eigenvectorBasis hn).repr : (a : E) → EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) v) i)
have w : ∀ (w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)),
  Eq (α := E) ((T : (a : E) → E) (((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm : (a : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) → E) w : E) : E)
    (((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm : (a : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) → E)
        (toLp 2 fun (i : Fin n) ↦ (↑(hT.eigenvalues hn i) : (fun (x : Fin n) ↦ 𝕜) i) * w.ofLp i) :
      E)
Tactic: suffices
    ∀ w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n),
      T ((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm w) =
        (hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm (toLp 2 fun i ↦ hT.eigenvalues hn i * w i) by
    simpa [OrthonormalBasis.sum_repr_symm] using
      congr_arg (fun v => (hT.eigenvectorBasis hn).repr v i)
        (this ((hT.eigenvectorBasis hn).repr v))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
⊢ Eq (α := E) ((T : (a : E) → E) (((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm : (a : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) → E) w : E) : E)
    (((hT.eigenvectorBasis hn).repr.symm : (a : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)) → E)
        (toLp 2 fun (i : Fin n) ↦ (↑(hT.eigenvalues hn i) : (fun (x : Fin n) ↦ 𝕜) i) * w.ofLp i) :
      E)
have simp_rw : Eq.{u_2 + 1} (α := E)
  (∑ x : Fin n,
    w.ofLp x •
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := 𝕜) (β := E) (↑(hT.eigenvalues hn x) : 𝕜)
        ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) x : E))
  (∑ x : Fin n,
    HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn x) : 𝕜) * w.ofLp x) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) x : E))
Tactic: simp_rw [← OrthonormalBasis.sum_repr_symm, map_sum, map_smul, apply_eigenvectorBasis]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := E)
    (∑ x : Fin n,
      w.ofLp x •
        HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := 𝕜) (β := E) (↑(hT.eigenvalues hn x) : 𝕜)
          ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) x : E))
    (∑ x : Fin n,
      HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn x) : 𝕜) * w.ofLp x) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) x : E))
have h : ∀ (a : Fin n),
  w.ofLp a •
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := 𝕜) (β := E) (↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜)
        ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E) =
    HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E)
Tactic: apply Fintype.sum_congr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
a : Fin n
⊢ w.ofLp a •
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := 𝕜) (β := E) (↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜)
        ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E) =
    HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E)
have h : HSMul.hSMul (β := E) (w.ofLp a * (↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜)) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E) =
  HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E)
Tactic: rw [smul_smul, mul_comm, ofLp_toLp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
v : E
i : Fin n
w : EuclideanSpace 𝕜 (Fin n)
a : Fin n
h :
  HSMul.hSMul (β := E) (w.ofLp a * (↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜)) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E) =
    HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E)
⊢ w.ofLp a •
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := 𝕜) (β := E) (↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜)
        ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E) =
    HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E)
have h₁ : HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E) =
  HSMul.hSMul (β := E) ((↑(hT.eigenvalues hn a) : 𝕜) * w.ofLp a) ((hT.eigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) a : E)
Tactic: rw [smul_smul, mul_comm, ofLp_toLp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Matrix (Fin n) (Fin n) 𝕜)
    ((toMatrix (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis :
          (a : E →ₗ[𝕜] E) → Matrix (Fin n) (Fin n) 𝕜)
        T :
      Matrix (Fin n) (Fin n) 𝕜)
    (Matrix.diagonal (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) : Matrix (Fin n) (Fin n) 𝕜)
have a : ∀ (i j : Fin n),
  Eq.{u_1 + 1} (α := 𝕜)
    ((toMatrix (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis :
          (a : E →ₗ[𝕜] E) → Matrix (Fin n) (Fin n) 𝕜)
        T i j :
      𝕜)
    (Matrix.diagonal (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) i j : 𝕜)
Tactic: ext i j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i j : Fin n
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := 𝕜)
    ((toMatrix (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis :
          (a : E →ₗ[𝕜] E) → Matrix (Fin n) (Fin n) 𝕜)
        T i j :
      𝕜)
    (Matrix.diagonal (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) i j : 𝕜)
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := 𝕜) (if i = j then (↑(hT.eigenvalues hn j) : 𝕜) else 0)
  (if i = j then (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜) else 0)
Tactic: simp [toMatrix_apply, Matrix.diagonal_apply, RCLike.real_smul_eq_coe_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ T.charpoly.roots = Multiset.map (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) (Finset.val Finset.univ)
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := Multiset 𝕜)
  (Multiset.bind (Finset.val Finset.univ) fun (i : Fin n) ↦
    (HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X
        ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) ((RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) i))).roots)
  (Multiset.map (RCLike.ofReal ∘ hT.eigenvalues hn) (Finset.val Finset.univ))
Tactic: rw [← charpoly_toMatrix _ (hT.eigenvectorBasis hn).toBasis, toMatrix_eigenvectorBasis,
    Matrix.charpoly_diagonal, Polynomial.roots_prod _ _ (by
      simp [Finset.prod_ne_zero_iff, Polynomial.X_sub_C_ne_zero])]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ (Multiset.sort (Multiset.map (⇑RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) T.charpoly.roots) fun (x1 x2 : ℝ) ↦ x1 ≥ x2) =
    List.ofFn (hT.eigenvalues hn)
have simp_rw : (List.mergeSort (List.ofFn (n := finrank 𝕜 E) fun (x : Fin (finrank 𝕜 E)) ↦ hT.eigenvalues sorry x) fun (x1 x2 : ℝ) ↦
    decide (x1 ≥ x2)) =
  List.ofFn (hT.eigenvalues hn)
Tactic: simp_rw [hT.roots_charpoly_eq_eigenvalues, Fin.univ_val_map, Multiset.map_coe, List.map_ofFn,
    Function.comp_def, RCLike.ofReal_re, Multiset.coe_sort]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
⊢ (List.mergeSort (List.ofFn (n := finrank 𝕜 E) fun (x : Fin (finrank 𝕜 E)) ↦ hT.eigenvalues ⋯ x) fun (x1 x2 : ℝ) ↦
      decide (x1 ≥ x2)) =
    List.ofFn (hT.eigenvalues hn)
have this : n = finrank 𝕜 E
Tactic: have := hn.symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
this : n = finrank 𝕜 E
⊢ (List.mergeSort (List.ofFn (n := finrank 𝕜 E) fun (x : Fin (finrank 𝕜 E)) ↦ hT.eigenvalues ⋯ x) fun (x1 x2 : ℝ) ↦
      decide (x1 ≥ x2)) =
    List.ofFn (hT.eigenvalues hn)
have convert_4 : List.Pairwise (fun (a b : ℝ) ↦ decide (a ≥ b) = true)
  (List.ofFn (n := finrank 𝕜 E) fun (x : Fin (finrank 𝕜 E)) ↦ hT.eigenvalues sorry x)
Tactic: convert! List.mergeSort_of_pairwise ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
this : n = finrank 𝕜 E
⊢ List.Pairwise (fun (a b : ℝ) ↦ decide (a ≥ b) = true)
    (List.ofFn (n := finrank 𝕜 E) fun (x : Fin (finrank 𝕜 E)) ↦ hT.eigenvalues ⋯ x)
have convert_4 : List.SortedGE (α := ℝ) (List.ofFn (n := finrank 𝕜 E) fun (x : Fin (finrank 𝕜 E)) ↦ hT.eigenvalues sorry x)
Tactic: simp_rw [decide_eq_true_eq, ← List.sortedGE_iff_pairwise]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst_6 : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_3} (𝕜 := 𝕜) (E := E') T'
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
⊢ T.charpoly = T'.charpoly
have rw : ∏ i : Fin n,
    HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜)) =
  T'.charpoly
Tactic: rw [hT.charpoly_eq hn, hT'.charpoly_eq hn', h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst_6 : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_3} (𝕜 := 𝕜) (E := E') T'
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
rw :
  ∏ i : Fin n,
      HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X
        ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜)) =
    T'.charpoly
⊢ T.charpoly = T'.charpoly
have rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := Polynomial 𝕜)
  (∏ i : Fin n,
    HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜)))
  (∏ i : Fin n,
    HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT'.eigenvalues hn' i) : 𝕜)))
Tactic: rw [hT.charpoly_eq hn, hT'.charpoly_eq hn', h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst_6 : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_3} (𝕜 := 𝕜) (E := E') T'
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
rw :
  ∏ i : Fin n,
      HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X
        ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜)) =
    T'.charpoly
rw₁ :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Polynomial 𝕜)
    (∏ i : Fin n,
      HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT.eigenvalues hn i) : 𝕜)))
    (∏ i : Fin n,
      HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X
        ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT'.eigenvalues hn' i) : 𝕜)))
⊢ T.charpoly = T'.charpoly
have rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := Polynomial 𝕜)
  (∏ i : Fin n,
    HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT'.eigenvalues hn' i) : 𝕜)))
  (∏ i : Fin n,
    HSub.hSub (α := Polynomial 𝕜) Polynomial.X ((Polynomial.C : (a : 𝕜) → Polynomial 𝕜) (↑(hT'.eigenvalues hn' i) : 𝕜)))
Tactic: rw [hT.charpoly_eq hn, hT'.charpoly_eq hn', h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst_6 : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_3} (𝕜 := 𝕜) (E := E') T'
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : T.charpoly = T'.charpoly
⊢ hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
have rw : List.ofFn (hT.eigenvalues hn) = List.ofFn (hT'.eigenvalues hn')
Tactic: rw [← List.ofFn_inj, ← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues, ← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues,
      h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst_6 : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_3} (𝕜 := 𝕜) (E := E') T'
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : T.charpoly = T'.charpoly
rw : List.ofFn (hT.eigenvalues hn) = List.ofFn (hT'.eigenvalues hn')
⊢ hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
have rw₁ : (Multiset.sort (Multiset.map (⇑RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) T.charpoly.roots) fun (x1 x2 : ℝ) ↦ x1 ≥ x2) =
  List.ofFn (hT'.eigenvalues hn')
Tactic: rw [← List.ofFn_inj, ← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues, ← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues,
      h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
E' : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst_6 : FiniteDimensional 𝕜 E'
T' : E' →ₗ[𝕜] E'
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_3} (𝕜 := 𝕜) (E := E') T'
hn' : finrank 𝕜 E' = n
h : T.charpoly = T'.charpoly
rw : List.ofFn (hT.eigenvalues hn) = List.ofFn (hT'.eigenvalues hn')
rw₁ :
  (Multiset.sort (Multiset.map (⇑RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) T.charpoly.roots) fun (x1 x2 : ℝ) ↦ x1 ≥ x2) =
    List.ofFn (hT'.eigenvalues hn')
⊢ hT.eigenvalues hn = hT'.eigenvalues hn'
have rw₂ : Eq (α := List ℝ) (Multiset.sort (Multiset.map (⇑RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) T.charpoly.roots) fun (x1 x2 : ℝ) ↦ x1 ≥ x2)
  (Multiset.sort (Multiset.map (⇑RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) T'.charpoly.roots) fun (x1 x2 : ℝ) ↦ x1 ≥ x2)
Tactic: rw [← List.ofFn_inj, ← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues, ← sort_roots_charpoly_eq_eigenvalues,
      h]