awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
have A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
Tactic: have A : ∀ z : β, p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep := by
    have : p.lastStep ∈ {i | ¬∃ b : β, p.c b ∉ p.iUnionUpTo i ∧ p.R i ≤ p.τ * p.r b} :=
      csInf_mem p.lastStep_nonempty
    simpa only [not_exists, mem_setOf_eq, not_and_or, not_le, not_notMem]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
⊢ p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
have by_contra : ∀ (h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep), False
Tactic: by_contra h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
inl : ∀ (H : p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep), False
⊢ False
have inr : ∀ (H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep), False
Tactic: rcases A x with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
⊢ False
have Rpos : 0 < p.R p.lastStep
Tactic: have Rpos : 0 < p.R p.lastStep := by
    apply lt_trans (mul_pos (_root_.zero_lt_one.trans p.one_lt_tau) (p.rpos _)) H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
| p.R p.lastStep
have rw : 1 * p.R p.lastStep
Tactic: rw [← one_mul (p.R p.lastStep)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
⊢ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
have conv_rhs : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < 1 * p.R p.lastStep
Tactic: conv_rhs => rw [← one_mul (p.R p.lastStep)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
⊢ False
have B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
Tactic: have B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep := by
    conv_rhs => rw [← one_mul (p.R p.lastStep)]
    exact mul_lt_mul (inv_lt_one_of_one_lt₀ p.one_lt_tau) le_rfl Rpos zero_le_one
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
have refine_2 : ∀
  (this :
    ∃ (a : ℝ),
      Membership.mem (γ := Set ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β)) a ∧
        p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < a),
  ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
Tactic: have := exists_lt_of_lt_csSup ?_ B
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
refine_2 :
  ∀
    (this :
      ∃ (a : ℝ),
        Membership.mem (γ := Set ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β)) a ∧
          p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < a),
    ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
⊢ ∃ (y : β), p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
have refine_1 : Set.Nonempty (α := ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β))
Tactic: have := exists_lt_of_lt_csSup ?_ B
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ Set.Nonempty (α := ℝ) (range fun (b : { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) ↦ p.r (↑b : β))
have refine_1 : Set.Nonempty.{u} (α := { b : β // p.c b ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep }) univ
Tactic: rw [← image_univ, image_nonempty]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
⊢ False
have inr : ∀ (y : β) (hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep) (hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y), False
Tactic: obtain ⟨y, hy1, hy2⟩ : ∃ y, p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep ∧ p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y := by
    have := exists_lt_of_lt_csSup ?_ B
    · simpa only [exists_prop, mem_range, exists_exists_and_eq_and, Subtype.exists,
      Subtype.coe_mk]
    rw [← image_univ, image_nonempty]
    exact ⟨⟨_, h⟩, mem_univ _⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
inr : ∀ (Hy : p.c y ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep), False
⊢ False
have inr₁ : ∀ (Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep), False
Tactic: rcases A y with (Hy | Hy)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
⊢ False
have hy2₁ : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Tactic: rw [← div_eq_inv_mul] at hy2
Cleared hypotheses: hy2, Hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
x : β
A : ∀ (z : β), p.c z ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep ∨ p.τ * p.r z < p.R p.lastStep
h : ¬p.c x ∈ p.iUnionUpTo p.lastStep
H : p.τ * p.r x < p.R p.lastStep
Rpos : 0 < p.R p.lastStep
B : p.τ⁻¹ * p.R p.lastStep < p.R p.lastStep
y : β
hy1 : p.c y ∉ p.iUnionUpTo p.lastStep
hy2 : p.R p.lastStep / p.τ < p.r y
Hy : p.τ * p.r y < p.R p.lastStep
⊢ False
have this : p.R p.lastStep ≤ p.τ * p.r y
Tactic: have := (div_le_iff₀' (_root_.zero_lt_one.trans p.one_lt_tau)).1 hy2.le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
⊢ p.color i < N
have ind : ∀ (i : Ordinal.{u}) (IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N) (hi : i < p.lastStep), p.color i < N
Tactic: induction i using WellFoundedLT.induction with | ind i IH
Cleared hypotheses: i, hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
⊢ p.color i = sInf (univ \ A)
have rw : sInf
    (univ \
      ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
        ⋃ (_ :
          (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
              closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
          {p.color (↑j : Ordinal.{u})}) =
  sInf (univ \ A)
Tactic: rw [color]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
⊢ p.color i < N
have color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
Tactic: have color_i : p.color i = sInf (univ \ A) := by rw [color]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ p.color i < N
have ind : sInf (univ \ A) < N
Tactic: rw [color_i]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ N ∈ univ \ A
have simp : ∀ x < i,
  (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty →
    ¬N = p.color x
Tactic: simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff,
      not_and, mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
⊢ sInf (univ \ A) < N
have N_mem : N ∈ univ \ A
Tactic: have N_mem : N ∈ univ \ A := by
    simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff,
      not_and, mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]
    intro j ji _
    exact (IH j ji (ji.trans hi)).ne'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
this : sInf (univ \ A) ≠ N
⊢ sInf (univ \ A) < N
have inl : ∀ (H : sInf (univ \ A) < N), sInf (univ \ A) < N
Tactic: rcases (csInf_le (OrderBot.bddBelow (univ \ A)) N_mem).lt_or_eq with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
this : sInf (univ \ A) ≠ N
inl : ∀ (H : sInf (univ \ A) < N), sInf (univ \ A) < N
⊢ sInf (univ \ A) < N
have inr : ∀ (H : sInf (univ \ A) = N), sInf (univ \ A) < N
Tactic: rcases (csInf_le (OrderBot.bddBelow (univ \ A)) N_mem).lt_or_eq with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
⊢ sInf (univ \ A) < N
have ind : sInf (univ \ A) ≠ N
Tactic: suffices sInf (univ \ A) ≠ N by
    rcases (csInf_le (OrderBot.bddBelow (univ \ A)) N_mem).lt_or_eq with (H | H)
    · exact H
    · exact (this H).elim
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
k : ℕ
hk : k < N
⊢ ∃ j < i,
    (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
      k = p.color j
have hk₁ : k < sInf (univ \ A)
Tactic: rw [← Inf_eq_N] at hk
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
k : ℕ
hk : k < sInf (univ \ A)
⊢ ∃ j < i,
    (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
      k = p.color j
have this : k ∈ A
Tactic: have : k ∈ A := by
      simpa only [true_and, mem_univ, Classical.not_not, mem_diff] using
        Nat.notMem_of_lt_sInf hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
⊢ False
have this : ∀ k < N,
  ∃ j < i,
    (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
      k = p.color j
Tactic: have :
    ∀ k, k < N → ∃ j, j < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩
        closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧ k = p.color j := by
    intro k hk
    rw [← Inf_eq_N] at hk
    have : k ∈ A := by
      simpa only [true_and, mem_univ, Classical.not_not, mem_diff] using
        Nat.notMem_of_lt_sInf hk
    simp only [] at this
    simpa only [A, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, mem_closedBall, Subtype.exists,
      Subtype.coe_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
this :
  ∀ k < N,
    ∃ j < i,
      (closedBall (p.c (p.index j)) (p.r (p.index j)) ∩ closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color j
⊢ False
have ind : ∀ (g : (k : ℕ) → Ordinal.{u})
  (hg :
    ∀ k < N,
      g k < i ∧
        (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
              closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
          k = p.color (g k)),
  False
Tactic: choose! g hg using this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
n : ℕ
hn : n ≤ N
⊢ p.color (G n) = n
have inl : ∀ (hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α n p.τ)) (IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < n)
  (N_mem : n ∈ univ \ A) (Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = n)
  (hg :
    ∀ k < n,
      g k < i ∧
        (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
              closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
          k = p.color (g k)),
  let G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n_1 : ℕ) ↦ if n_1 = n then i else g n_1;
  ∀ (hn : n ≤ n), p.color (G n) = n
Tactic: rcases hn.eq_or_lt with (rfl | H)
Cleared hypotheses: N, hN, IH, N_mem, Inf_eq_N, hg, G, hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
n : ℕ
hn : n ≤ N
inl :
  ∀ (hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α n p.τ)) (IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < n)
    (N_mem : n ∈ univ \ A) (Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = n)
    (hg :
      ∀ k < n,
        g k < i ∧
          (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
                closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
            k = p.color (g k)),
    let G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n_1 : ℕ) ↦ if n_1 = n then i else g n_1;
    ∀ (hn : n ≤ n), p.color (G n) = n
⊢ p.color (G n) = n
have inr : ∀ (H : n < N), p.color (G n) = n
Tactic: rcases hn.eq_or_lt with (rfl | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
i : Ordinal.{u}
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
n : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α n p.τ)
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < n
N_mem : n ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = n
hg :
  ∀ k < n,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n_1 : ℕ) ↦ if n_1 = n then i else g n_1
hn : n ≤ n
⊢ p.color (G n) = n
have inl : p.color (if True then i else g n) = n
Tactic: simp only [G]