awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ ∃ (x : Fin 4 → A), (∀ (i : Fin 4), 0 ≤ x i) ∧ (∀ (i : Fin 4), ‖x i‖ ≤ ‖a‖) ∧ a = ∑ i : Fin 4, I ^ (↑i : ℕ) • x i
have h : (∀ (i : Fin 4),
    LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        i)) ∧
  (∀ (i : Fin 4),
      norm.{u_2} (E := A)
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            i) ≤
        ‖a‖) ∧
    a =
      ∑ i : Fin 4,
        HSMul.hSMul (β := A) (I ^ (↑i : ℕ))
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            i)
Tactic: use ![(realPart a)⁺, (imaginaryPart a)⁺, (realPart a)⁻, (imaginaryPart a)⁻]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ (∀ (i : Fin 4),
      LE.le.{u_2} (α := A) 0
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          i)) ∧
    (∀ (i : Fin 4),
        norm.{u_2} (E := A)
            (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
              i) ≤
          ‖a‖) ∧
      a =
        ∑ i : Fin 4,
          HSMul.hSMul (β := A) (I ^ (↑i : ℕ))
            (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
              i)
have h : (∀ (x : Fin 4),
    LE.le.{u_2} (α := A) 0
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          x) ∧
      norm.{u_2} (E := A)
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            x) ≤
        ‖a‖) ∧
  a =
    ∑ i : Fin 4,
      HSMul.hSMul (β := A) (I ^ (↑i : ℕ))
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          i)
Tactic: rw [← and_assoc, ← forall_and]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ (∀ (x : Fin 4),
      LE.le.{u_2} (α := A) 0
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            x) ∧
        norm.{u_2} (E := A)
            (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
              x) ≤
          ‖a‖) ∧
    a =
      ∑ i : Fin 4,
        HSMul.hSMul (β := A) (I ^ (↑i : ℕ))
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            i)
have h : ∀ (x : Fin 4),
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        x) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          x) ≤
      ‖a‖
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
h :
  ∀ (x : Fin 4),
    LE.le.{u_2} (α := A) 0
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          x) ∧
      norm.{u_2} (E := A)
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            x) ≤
        ‖a‖
⊢ (∀ (x : Fin 4),
      LE.le.{u_2} (α := A) 0
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            x) ∧
        norm.{u_2} (E := A)
            (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
                (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
                (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
              x) ≤
          ‖a‖) ∧
    a =
      ∑ i : Fin 4,
        HSMul.hSMul (β := A) (I ^ (↑i : ℕ))
          (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
              (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
              (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
            i)
have h₁ : a =
  ∑ i : Fin 4,
    HSMul.hSMul (β := A) (I ^ (↑i : ℕ))
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        i)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
i : Fin 4
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        i) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          i) ≤
      ‖a‖
have h : LE.le.{u_2} (α := A) 0
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, sorry⟩)) ∧
  norm.{u_2} (E := A)
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨0, sorry⟩ : Fin 4))) ≤
    ‖a‖
Tactic: fin_cases i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
i : Fin 4
h :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        i) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          i) ≤
      ‖a‖
have h₁ : LE.le.{u_2} (α := A) 0
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, sorry⟩)) ∧
  norm.{u_2} (E := A)
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨1, sorry⟩ : Fin 4))) ≤
    ‖a‖
Tactic: fin_cases i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
have h : LE.le.{u_2} (α := A) 0
  (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
      (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
      (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
      (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
    ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, sorry⟩))
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
h :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩))
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
have h₁ : norm.{u_2} (E := A)
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨0, sorry⟩ : Fin 4))) ≤
  ‖a‖
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩))
have h : LE.le.{u_2} (α := A) 0 (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺
Tactic: simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
have h : LE.le.{u_2} (α := A) 0
  (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
      (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
      (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
      (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
    ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, sorry⟩))
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
h :
  LE.le.{u_2} (α := A) 0
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
      (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
          (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
          (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
        ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)) ∧
    norm.{u_2} (E := A)
        (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
            (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
            (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
          ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 4))) ≤
      ‖a‖
have h₁ : norm.{u_2} (E := A)
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) (⟨1, sorry⟩ : Fin 4))) ≤
  ‖a‖
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.CStarAlgebra.SpecialFunctions.PosPart (goal)
Goal:
A : Type u_2
inst : NonUnitalCStarAlgebra A
inst_1 : PartialOrder A
inst_2 : StarOrderedRing A
a : A
⊢ LE.le.{u_2} (α := A) 0
    (![(↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺,
        (↑(((realPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻,
        (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁻]
      ((fun (i : Fin 4) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))
have h : LE.le.{u_2} (α := A) 0 (↑(((imaginaryPart : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)⁺
Tactic: simp