awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
      ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
        Eq (α := ℝ≥0∞)
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
          (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
      (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
        (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
have refine_1 : ∀
  (h :
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
      ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
        Eq (α := ℝ≥0∞)
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
          (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞))
  (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
  (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
Tactic: refine ⟨fun h s f hf ↦ ?_, fun h s f hf ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
refine_1 :
  ∀
    (h :
      ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
        ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
          Eq (α := ℝ≥0∞)
            ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
            (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞))
    (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
      (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
⊢ (∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
      ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
        Eq (α := ℝ≥0∞)
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
          (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)) ↔
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
      (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
        (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
have refine_2 : ∀
  (h :
    ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
      (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
        (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']))
  (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
  ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
Tactic: refine ⟨fun h s f hf ↦ ?_, fun h s f hf ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h :
  ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
      Eq (α := ℝ≥0∞)
        ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
        (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
⊢ (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
have h₁ : ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
    (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
Tactic: specialize h s hf
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h :
  ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω} (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
      (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
⊢ ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
have h₁ : (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
  (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
Tactic: specialize h s hf
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h :
  ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
⊢ (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
have h' : (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ≥0∞)
  (fun (x : Ω) ↦ (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) x : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i))
  fun (x : Ω) ↦ ∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) x : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)
Tactic: have h' := ae_eq_of_ae_eq_trim h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h :
  ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
h' :
  (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ≥0∞)
    (fun (x : Ω) ↦ (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) x : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i))
    fun (x : Ω) ↦ ∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) x : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)
⊢ (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
have h₁ : ∀ (ω : Ω)
  (h_eq :
    ∀ i ∈ s,
      ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
        μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω)
  (h_inter_eq :
    ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)) =
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω)
  (h' :
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)),
  Eq (α := ℝ) (μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω)
    ((∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']) ω)
Tactic: filter_upwards [h_eq s f hf, h_inter_eq s f hf, h'] with ω h_eq h_inter_eq h'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq_1 :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq_1 :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h :
  ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
h'_1 :
  (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ≥0∞)
    (fun (x : Ω) ↦ (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) x : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i))
    fun (x : Ω) ↦ ∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) x : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)
ω : Ω
h_eq :
  ∀ i ∈ s,
    ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)) =
    μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h' :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
    (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ) (μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω)
    ((∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']) ω)
have h₁ : Eq (α := ℝ)
  (∏ i ∈ s, ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
  (∏ c ∈ s, μ[(f c).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω)
Tactic: rw [← h_inter_eq, h', ENNReal.toReal_prod, Finset.prod_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h :
  (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
⊢ ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
have refine_2 : MeasurableSet.{u_1} (α := Ω) (⋂ i ∈ s, f i)
Tactic: refine ((stronglyMeasurable_condExpKernel ?_).ae_eq_trim_iff hm' ?_).mpr ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h :
  (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
refine_2 : MeasurableSet.{u_1} (α := Ω) (⋂ i ∈ s, f i)
⊢ ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
have refine_2₁ : StronglyMeasurable (β := ℝ≥0∞) fun (a : Ω) ↦
  ∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)
Tactic: refine ((stronglyMeasurable_condExpKernel ?_).ae_eq_trim_iff hm' ?_).mpr ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Conditional (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
π : ι → Set (Set Ω)
hπ : ∀ (i : ι) (s : Set Ω) (_hs : s ∈ π i), MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst_1 : IsFiniteMeasure μ
h_eq' :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i) (i : ι) (_hi : i ∈ s),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)))
      μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
h_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
      ∀ i ∈ s,
        ENNReal.toReal ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)) =
          μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'] ω
h_inter_eq :
  ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω) (_H : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i),
    (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ)
      (fun (ω : Ω) ↦
        ENNReal.toReal
          ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i)))
      μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
s : Finset ι
f : ι → Set Ω
hf : ∀ i ∈ s, f i ∈ π i
h :
  (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ) μ[Set.indicator (⋂ i ∈ s, f i) fun (ω : Ω) ↦ 1 | m']
    (∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun (ω : Ω) ↦ 1 | m'])
refine_2 : MeasurableSet.{u_1} (α := Ω) (⋂ i ∈ s, f i)
refine_2₁ :
  StronglyMeasurable (β := ℝ≥0∞) fun (a : Ω) ↦
    ∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)
⊢ ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
    Eq (α := ℝ≥0∞)
      ((((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i) : ℝ≥0∞)
      (∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i) : ℝ≥0∞)
have refine_2₂ : (ae μ).EventuallyEq (β := ℝ≥0∞)
  (fun (ω : Ω) ↦ (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) ω : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (⋂ i ∈ s, f i))
  fun (a : Ω) ↦ ∏ i ∈ s, (((condExpKernel μ m' : (a : Ω) → Measure Ω) a : Measure Ω) : (a : Set Ω) → ℝ≥0∞) (f i)
Tactic: refine ((stronglyMeasurable_condExpKernel ?_).ae_eq_trim_iff hm' ?_).mpr ?_