awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂ : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
⊢ Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
have rw : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (∑ x : Fin (n + 1), -β (γ₃ x))
Tactic: rw [← Finset.sum_neg_distrib]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂ : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
⊢ H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) =
    HAdd.hAdd (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (-∑ x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2), α x)
        (-∑ x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2), β x) +
      H.h 0 ≫ Y.δ 0
have eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
Tactic: have eq₅ : ∑ x, β (γ₄ x) = - ∑ x, β (γ₃ x) := by
    rw [← Finset.sum_neg_distrib]
    exact Finset.sum_congr rfl (fun x hx ↦ by simp [h_succ_comp_δ_castSucc_succ, β, γ₃, γ₄])
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂ : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
⊢ Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
have rw : ∀ a ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, ∀ b ∈ Finset.image γ₂ S, a ≠ b
Tactic: rw [Finset.disjoint_iff_ne]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂ : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
⊢ H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) =
    HAdd.hAdd (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (-∑ x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2), α x)
        (-∑ x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2), β x) +
      H.h 0 ≫ Y.δ 0
have h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
Tactic: have h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S) := by
    rw [Finset.disjoint_iff_ne]
    grind [Finset.mem_compl]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂ : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
⊢ Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
have rw : ∀ a ∈ Finset.image γ₃ Finset.univ, ∀ b ∈ Finset.image γ₄ Finset.univ, a ≠ b
Tactic: rw [Finset.disjoint_iff_ne]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂ : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
⊢ H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) =
    HAdd.hAdd (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (-∑ x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2), α x)
        (-∑ x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2), β x) +
      H.h 0 ≫ Y.δ 0
have h₃ : Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
Tactic: have h₂ : Disjoint (Finset.image γ₃ .univ) (Finset.image γ₄ .univ) := by
    rw [Finset.disjoint_iff_ne]
    grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂_1 : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
h₂ : Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
⊢ Disjoint ((Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂)
    {(0, 0), (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))}
have rw : ∀ a ∈ (Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂,
  ∀ (b : Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1)),
    Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1))) {(0, 0), (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))}
        b →
      a ≠ b
Tactic: rw [Finset.disjoint_iff_ne]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂_1 : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
h₂ : Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
⊢ ∀ a ∈ (Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂,
    ∀ (b : Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1)),
      Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1)))
          {(0, 0), (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))} b →
        a ≠ b
have simp : ∀ (a : Fin (n + 1 + 1 + 1)) (b : Fin (n + 1 + 1)),
  (a, b) ∈ (Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂ →
    (a, b) ≠ (0, 0) ∧
      ∀ (a_2 : Fin (n + 1 + 1 + 1)) (b_1 : Fin (n + 1 + 1)),
        Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1))) {(Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))}
            (a_2, b_1) →
          (a, b) ≠ (a_2, b_1)
Tactic: simp only [Finset.mem_insert, forall_eq_or_imp, Prod.forall]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂_1 : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
h₂ : Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
a : ℕ
isLt : a < n + 1 + 1 + 1
b : ℕ
isLt_1 : b < n + 1 + 1
⊢ ((⟨a, isLt⟩ : Fin (n + 1 + 1 + 1)), (⟨b, isLt_1⟩ : Fin (n + 1 + 1))) ∈
      (Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂ →
    ((⟨a, isLt⟩ : Fin (n + 1 + 1 + 1)), (⟨b, isLt_1⟩ : Fin (n + 1 + 1))) ≠ (0, 0) ∧
      ∀ (a_2 : Fin (n + 1 + 1 + 1)) (b_1 : Fin (n + 1 + 1)),
        Membership.mem (γ := Finset (Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1))) {(Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))}
            (a_2, b_1) →
          ((⟨a, isLt⟩ : Fin (n + 1 + 1 + 1)), (⟨b, isLt_1⟩ : Fin (n + 1 + 1))) ≠ (a_2, b_1)
have simp : ((∃ (a_1 : Fin (n + 1)), γ₃ a_1 = (⟨a, isLt⟩, ⟨b, isLt_1⟩)) ∨
    ∃ (a_1 : Fin (n + 1)), γ₄ a_1 = (⟨a, isLt⟩, ⟨b, isLt_1⟩)) →
  (a = 0 → ¬b = 0) ∧
    ((⟨a, isLt⟩ : Fin (n + 1 + 1 + 1)) = Fin.last (n + 2) → ¬(⟨b, isLt_1⟩ : Fin (n + 1 + 1)) = Fin.last (n + 1))
Tactic: simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialObject.ChainHomotopy (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Preadditive.{v, u} C
X Y : SimplicialObject.{v, u} C
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
α : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • X.δ x.2 ≫ H.h x.1
β : (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) → X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌ :=
  fun (x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2)) ↦ HPow.hPow (α := ℤ) (-1) ((↑x.1 : ℕ) + (↑x.2 : ℕ)) • H.h x.2 ≫ Y.δ x.1
h₂_1 : ∀ (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) (hx : x.1.castSucc < x.2), α x = -β (x.2.succ, x.1.castSucc)
S : Finset (Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) := {x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2) | x.1.castSucc < x.2}
γ₁ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.castSucc, x.1.succ)
γ₂ : (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) → Fin (n + 2 + 1) × Fin (n + 1 + 1) :=
  fun (x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2)) ↦ (x.2.succ, x.1.castSucc)
γ₃ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.succ)
γ₄ : (i : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1 + 1) × Fin (n + 1 + 1) := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ (i.castSucc.succ, i.castSucc)
hγ₁ : Function.Injective γ₁
hγ₂ : Function.Injective γ₂
hγ₃ : Function.Injective γ₃
hγ₄ : Function.Injective γ₄
eq₁ : H.h 0 ≫ Y.δ 0 = β (0, 0)
eq₂ : H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) = -β (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))
eq₃ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ Sᶜ, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₁ Sᶜ, β y)
eq₄ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x ∈ S, α x) (-∑ y ∈ Finset.image γ₂ S, β y)
eq₅ : Eq.{v + 1} (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (∑ x : Fin (n + 1), β (γ₄ x)) (-∑ x : Fin (n + 1), β (γ₃ x))
h₁ : Disjoint (Finset.image γ₁ Sᶜ) (Finset.image γ₂ S)
h₂ : Disjoint (Finset.image γ₃ Finset.univ) (Finset.image γ₄ Finset.univ)
⊢ H.h (Fin.last (n + 1)) ≫ Y.δ (Fin.last (n + 1 + 1)) =
    HAdd.hAdd (α := X _⦋n + 1⦌ ⟶ Y _⦋n + 1⦌) (-∑ x : Fin (n + 1) × Fin (n + 2), α x)
        (-∑ x : Fin (n + 3) × Fin (n + 2), β x) +
      H.h 0 ≫ Y.δ 0
have h₃ : Disjoint ((Finset.image γ₃ Finset.univ).disjUnion (Finset.image γ₄ Finset.univ) h₂)
  {(0, 0), (Fin.last (n + 2), Fin.last (n + 1))}
Tactic: have h₃ : Disjoint (Finset.disjUnion _ _ h₂) {(0, 0), (Fin.last _, Fin.last _)} := by
    rw [Finset.disjoint_iff_ne]
    simp only [Finset.mem_insert, forall_eq_or_imp, Prod.forall]
    rintro ⟨a, _⟩ ⟨b, _⟩
    simp
    grind