awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith :
  LT.lt (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ) →
    HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) +
        HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ) =
      0
⊢ Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
have linarith₁ : LT.lt (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) →
  HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) - 1 + (0 - (-2 * z.re + 1)) +
      HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) =
    0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₂ : z.re < 1 / 2 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : z.re < 1 / 2 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₃ : z.re < 1 / 2 →
  HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) - 1 +
        HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) +
      (2 * z.re - HMul.hMul (α := ℝ) 1 1) =
    0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : z.re < 1 / 2 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ :
  z.re < 1 / 2 →
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) - 1 +
          HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) +
        (2 * z.re - HMul.hMul (α := ℝ) 1 1) =
      0
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₄ : 1 / 2 < z.re → 2 / 2 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : z.re < 1 / 2 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ :
  z.re < 1 / 2 →
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) - 1 +
          HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) +
        (2 * z.re - HMul.hMul (α := ℝ) 1 1) =
      0
linarith₄ : 1 / 2 < z.re → 2 / 2 = 1
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₅ : 1 / 2 < z.re → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : z.re < 1 / 2 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ :
  z.re < 1 / 2 →
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) - 1 +
          HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) +
        (2 * z.re - HMul.hMul (α := ℝ) 1 1) =
      0
linarith₄ : 1 / 2 < z.re → 2 / 2 = 1
linarith₅ : 1 / 2 < z.re → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₆ : 1 / 2 < z.re → GT.gt (α := ℝ) 2 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this_2 :
  (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
this_3 : LE.le (α := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ)
this : 0 ≤ -2 * z.re + 1
linarith : z.re < 1 / 2 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : z.re < 1 / 2 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : z.re < 1 / 2 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ :
  z.re < 1 / 2 →
    HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) - 1 +
          HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) (1 : ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) +
        (2 * z.re - HMul.hMul (α := ℝ) 1 1) =
      0
linarith₄ : 1 / 2 < z.re → 2 / 2 = 1
linarith₅ : 1 / 2 < z.re → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₆ : 1 / 2 < z.re → GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ z.re = 1 / 2
have linarith₇ : 1 / 2 < z.re → 0 - (-2 * z.re + 1) + (HMul.hMul (α := ℝ) 1 1 - 2 * z.re) = 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (hypothesis)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
⊢ (g = S * T⁻¹ ∨ g = T⁻¹ * S * T⁻¹) ∧ z = HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ
have h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
Tactic: obtain ⟨h, h'⟩ : normSq z = 1 ∧ z.re = 1 / 2 := by
    have : 1 ≤ normSq z := hz.1
    have : 0 ≤ -2 * z.re + 1 := by linarith [(le_abs_self _).trans hz.2]
    constructor <;> linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (hypothesis)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
⊢ (g = S * T⁻¹ ∨ g = T⁻¹ * S * T⁻¹) ∧ z = HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ
have h' : z.re = 1 / 2
Tactic: obtain ⟨h, h'⟩ : normSq z = 1 ∧ z.re = 1 / 2 := by
    have : 1 ≤ normSq z := hz.1
    have : 0 ≤ -2 * z.re + 1 := by linarith [(le_abs_self _).trans hz.2]
    constructor <;> linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
⊢ z = HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ
have hre : z.re = (HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ).re
Tactic: apply eq_of_re_of_norm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hre : z.re = (HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ).re
⊢ z = HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ
have hnorm₁ : ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
Tactic: apply eq_of_re_of_norm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₂ : √1 = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₂ : √1 = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₃ : √1 = ‖(↑1 : ℂ) + (↑ρ : ℂ)‖
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₂ : √1 = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₃ : √1 = ‖(↑1 : ℂ) + (↑ρ : ℂ)‖
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₄ : √1 = ‖1 + (↑ρ : ℂ)‖
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₂ : √1 = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₃ : √1 = ‖(↑1 : ℂ) + (↑ρ : ℂ)‖
hnorm₄ : √1 = ‖1 + (↑ρ : ℂ)‖
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₅ : √1 = ‖-HPow.hPow (β := ℕ) (↑ρ : ℂ) 2‖
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₂ : √1 = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₃ : √1 = ‖(↑1 : ℂ) + (↑ρ : ℂ)‖
hnorm₄ : √1 = ‖1 + (↑ρ : ℂ)‖
hnorm₅ : √1 = ‖-HPow.hPow (β := ℕ) (↑ρ : ℂ) 2‖
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₆ : √1 = ‖HPow.hPow (β := ℕ) (↑ρ : ℂ) 2‖
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Modular (goal)
Goal:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
hz : z ∈ 𝒟
hg : g • z ∈ 𝒟
hg' :
  ‖denom
        ((toGL : (a : SL(2, ℝ)) → GL (Fin 2) ℝ)
          ((SpecialLinearGroup.map (Int.castRingHom ℝ) : (a : SL(2, ℤ)) → SL(2, ℝ)) g))
        (↑z : ℂ)‖ ≤
    1
hc : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 0 = 1
hd : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 1 1 = -1
this_1 : (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 1 = -(↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 - 1
hgeq : g = T ^ (↑g : Matrix (Fin 2) (Fin 2) ℤ) 0 0 * S * T⁻¹
hnorm : HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1) ≤ 1
this : (normSq : (a : ℂ) → ℝ) ((↑z : ℂ) - 1) = HAdd.hAdd (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (-2 * z.re + 1)
h : Eq (α := ℝ) ((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ) : ℝ) (1 : ℝ)
h' : z.re = 1 / 2
hnorm₁ : √((normSq : (a : ℂ) → ℝ) (↑z : ℂ)) = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₂ : √1 = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
hnorm₃ : √1 = ‖(↑1 : ℂ) + (↑ρ : ℂ)‖
hnorm₄ : √1 = ‖1 + (↑ρ : ℂ)‖
hnorm₅ : √1 = ‖-HPow.hPow (β := ℕ) (↑ρ : ℂ) 2‖
hnorm₆ : √1 = ‖HPow.hPow (β := ℕ) (↑ρ : ℂ) 2‖
⊢ ‖(↑z : ℂ)‖ = ‖(↑(HVAdd.hVAdd (α := ℝ) 1 ρ) : ℂ)‖
have hnorm₇ : √1 = HPow.hPow (β := ℕ) ‖(↑ρ : ℂ)‖ 2
Tactic: rw [norm_def, h, coe_vadd, ofReal_one,
        show 1 + (ρ : ℂ) = -ρ ^ 2 by grind [ρ_sq], norm_neg, norm_pow, norm_ρ, Real.sqrt_one,
        one_pow]