awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
⊢ d < u n / (↑n : ℝ)
have h : d < (↑n : ℝ)⁻¹ * u n
Tactic: simp_rw [div_eq_inv_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
⊢ d < HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l))
have rw : d < l - ε * (1 + l)
Tactic: rw [inv_mul_cancel₀, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
rw : d < l - ε * (1 + l)
⊢ d < HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l))
have rw₁ : Ne (α := ℝ) (↑n : ℝ) 0
Tactic: rw [inv_mul_cancel₀, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
⊢ d < l - ε * (1 + l)
have linarith : l - ε * (1 + l) ≤ d → l - ε * (1 + l) - d + (d + ε * (1 + l) - l) = 0
Tactic: linarith only [hε]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
⊢ (↑n : ℝ)⁻¹ * ((↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)) ≤ (↑n : ℝ)⁻¹ * u n
have hbc : (↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ) ≤ u n
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
⊢ (↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ) ≤ u n
have linarith : u n < (↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ) →
  u n - ((↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)) + ((↑n : ℝ) * l - u n - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)) = 0
Tactic: linarith only [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
⊢ d < (↑n : ℝ)⁻¹ * u n
have d₁ : d < HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l))
Tactic: calc
      d < (n : ℝ)⁻¹ * n * (l - ε * (1 + l)) := by
        rw [inv_mul_cancel₀, one_mul]
        · linarith only [hε]
        · exact Nat.cast_ne_zero.2 (ne_of_gt npos)
      _ = (n : ℝ)⁻¹ * (n * l - ε * (1 + l) * n) := by ring
      _ ≤ (n : ℝ)⁻¹ * u n := by gcongr; linarith only [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
d₁ : d < HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l))
⊢ d < (↑n : ℝ)⁻¹ * u n
have d₂ : HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l)) = (↑n : ℝ)⁻¹ * ((↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ))
Tactic: calc
      d < (n : ℝ)⁻¹ * n * (l - ε * (1 + l)) := by
        rw [inv_mul_cancel₀, one_mul]
        · linarith only [hε]
        · exact Nat.cast_ne_zero.2 (ne_of_gt npos)
      _ = (n : ℝ)⁻¹ * (n * l - ε * (1 + l) * n) := by ring
      _ ≤ (n : ℝ)⁻¹ * u n := by gcongr; linarith only [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n
d₁ : d < HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l))
d₂ : HMul.hMul (α := ℝ) (↑n : ℝ)⁻¹ (↑n : ℝ) * (l - ε * (1 + l)) = (↑n : ℝ)⁻¹ * ((↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ))
⊢ d < (↑n : ℝ)⁻¹ * u n
have d₃ : (↑n : ℝ)⁻¹ * ((↑n : ℝ) * l - ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)) ≤ (↑n : ℝ)⁻¹ * u n
Tactic: calc
      d < (n : ℝ)⁻¹ * n * (l - ε * (1 + l)) := by
        rw [inv_mul_cancel₀, one_mul]
        · linarith only [hε]
        · exact Nat.cast_ne_zero.2 (ne_of_gt npos)
      _ = (n : ℝ)⁻¹ * (n * l - ε * (1 + l) * n) := by ring
      _ ≤ (n : ℝ)⁻¹ * u n := by gcongr; linarith only [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
⊢ Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (l + 0 * (HAdd.hAdd (α := ℝ) 1 0 + l)))
have apply : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝 0) (𝓝 (l + 0 * (HAdd.hAdd (α := ℝ) 1 0 + l)))
Tactic: apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
⊢ ∃ (ε : ℝ), l + ε * (1 + ε + l) < d ∧ 0 < ε
have L : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (l + 0 * (HAdd.hAdd (α := ℝ) 1 0 + l)))
Tactic: have L : Tendsto (fun ε => l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (l + 0 * (1 + 0 + l))) := by
        apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
        exact
          tendsto_const_nhds.add
            (tendsto_id.mul ((tendsto_const_nhds.add tendsto_id).add tendsto_const_nhds))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
L : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (l + 0 * (HAdd.hAdd (α := ℝ) 1 0 + l)))
⊢ ∃ (ε : ℝ), l + ε * (1 + ε + l) < d ∧ 0 < ε
have L₁ : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 l)
Tactic: simp only [zero_mul, add_zero] at L
Cleared hypotheses: L
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / (↑b : ℝ) < d
have refine_2 : ∀ (ε : ℝ) (hε : l + ε * (1 + ε + l) < d) (εpos : 0 < ε), ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / (↑b : ℝ) < d
Tactic: obtain ⟨ε, hε, εpos⟩ : ∃ ε : ℝ, l + ε * (1 + ε + l) < d ∧ 0 < ε := by
      have L : Tendsto (fun ε => l + ε * (1 + ε + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (l + 0 * (1 + 0 + l))) := by
        apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
        exact
          tendsto_const_nhds.add
            (tendsto_id.mul ((tendsto_const_nhds.add tendsto_id).add tendsto_const_nhds))
      simp only [zero_mul, add_zero] at L
      exact (((tendsto_order.1 L).2 d hd).and self_mem_nhdsWithin).exists
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
ε : ℝ
hε : l + ε * (1 + ε + l) < d
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
⊢ Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n → u n / (↑n : ℝ) < d
have h : ∀ (npos : 0 < n), u n / (↑n : ℝ) < d
Tactic: (npos : 0 < n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
ε : ℝ
hε : l + ε * (1 + ε + l) < d
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / (↑b : ℝ) < d
have h : ∀ (n : ℕ) (hn : u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)) (npos : 0 < n), u n / (↑n : ℝ) < d
Tactic: filter_upwards [A ε εpos, Ioi_mem_atTop 0] with n hn (npos : 0 < n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
ε : ℝ
hε : l + ε * (1 + ε + l) < d
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
npos : 0 < n
⊢ u n / (↑n : ℝ) ≤ ((↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)) / (↑n : ℝ)
have hab : u n ≤ (↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
ε : ℝ
hε : l + ε * (1 + ε + l) < d
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
npos : 0 < n
⊢ u n ≤ (↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
have linarith : (↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ) < u n →
  (↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ) - u n + (u n - (↑n : ℝ) * l - ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)) = 0
Tactic: linarith only [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
ε : ℝ
hε : l + ε * (1 + ε + l) < d
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
npos : 0 < n
⊢ u n / (↑n : ℝ) < d
have u₁ : u n / (↑n : ℝ) ≤ ((↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)) / (↑n : ℝ)
Tactic: calc
      u n / n ≤ (n * l + ε * (1 + ε + l) * n) / n := by gcongr; linarith only [hn]
      _ = (l + ε * (1 + ε + l)) := by field
      _ < d := hε
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d > l
ε : ℝ
hε : l + ε * (1 + ε + l) < d
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
npos : 0 < n
u₁ : u n / (↑n : ℝ) ≤ ((↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)) / (↑n : ℝ)
⊢ u n / (↑n : ℝ) < d
have u₂ : ((↑n : ℝ) * l + ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)) / (↑n : ℝ) = l + ε * (1 + ε + l)
Tactic: calc
      u n / n ≤ (n * l + ε * (1 + ε + l) * n) / n := by gcongr; linarith only [hn]
      _ = (l + ε * (1 + ε + l)) := by field
      _ < d := hε
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u n / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
have apply : ∀ (a : ℝ),
  1 < a →
    ∃ (c : ℕ → ℕ),
      (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
        Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
Tactic: apply tendsto_div_of_monotone_of_exists_subseq_tendsto_div u l hmono
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
⊢ ∃ (c : ℕ → ℕ),
    (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
      Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
have obtain : ∀ (k : ℕ) (hk : c k < a),
  ∃ (c : ℕ → ℕ),
    (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
      Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
Tactic: obtain ⟨k, hk⟩ : ∃ k, c k < a := ((tendsto_order.1 clim).2 a ha).exists
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
⊢ ∃ (c : ℕ → ℕ),
    (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
      Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
have n : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑((fun (n : ℕ) ↦ ⌊c k ^ n⌋₊) (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑((fun (n : ℕ) ↦ ⌊c k ^ n⌋₊) n) : ℝ)
Tactic: refine
    ⟨fun n => ⌊c k ^ n⌋₊, ?_,
      (tendsto_nat_floor_atTop (α := ℝ)).comp (tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt (cone k)), hc k⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
n : ℕ
⊢ LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
have refine : LE.le (α := ℝ) 1 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
Tactic: refine zero_lt_one.trans_le ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑((fun (n : ℕ) ↦ ⌊c k ^ n⌋₊) (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑((fun (n : ℕ) ↦ ⌊c k ^ n⌋₊) n) : ℝ)
have H : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
Tactic: have H : ∀ n : ℕ, (0 : ℝ) < ⌊c k ^ n⌋₊ := by
    intro n
    refine zero_lt_one.trans_le ?_
    simp only [Nat.one_le_cast, Nat.one_le_floor_iff, one_le_pow₀ (cone k).le]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1) * c k / ((↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ) / c k ^ n)) atTop
    (𝓝 (1 * c k / 1))
have refine_1 : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1)) atTop (𝓝 1)
Tactic: refine Tendsto.div (Tendsto.mul ?_ tendsto_const_nhds) ?_ one_ne_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
refine_1 : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1)) atTop (𝓝 1)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1) * c k / ((↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ) / c k ^ n)) atTop
    (𝓝 (1 * c k / 1))
have refine_2 : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ) / c k ^ n) atTop (𝓝 1)
Tactic: refine Tendsto.div (Tendsto.mul ?_ tendsto_const_nhds) ?_ one_ne_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1)) atTop (𝓝 1)
have refine_1 : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ c k ^ (n + 1)) atTop atTop
Tactic: refine tendsto_nat_floor_div_atTop.comp ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ) / c k ^ n) atTop (𝓝 1)
have refine_2 : Tendsto (α := ℕ) (HPow.hPow (c k)) atTop atTop
Tactic: refine tendsto_nat_floor_div_atTop.comp ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
c : ℕ → ℝ
cone : ∀ (k : ℕ), 1 < c k
clim : Tendsto c atTop (𝓝 1)
hc : ∀ (k : ℕ), Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u ⌊c k ^ n⌋₊ / (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 l)
a : ℝ
ha : 1 < a
k : ℕ
hk : c k < a
H : ∀ (n : ℕ), LT.lt (α := ℝ) 0 (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)
A :
  Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1) * c k / ((↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ) / c k ^ n)) atTop
    (𝓝 (1 * c k / 1))
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) (↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ)) atTop (𝓝 (c k))
have A₁ : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑⌊c k ^ (n + 1)⌋₊ : ℝ) / c k ^ (n + 1) * c k / ((↑⌊c k ^ n⌋₊ : ℝ) / c k ^ n)) atTop (𝓝 (c k))
Tactic: simp only [one_mul, div_one] at A
Cleared hypotheses: A