awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
t : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (((Subtype.mk (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1)
              ((ContinuousMap.curry
                    ((↑p : C(N → (↑I : Type), X)).comp
                      (↑(Cube.insertAt i) : C((↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)), N → (↑I : Type)))) :
                  (a : (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X))
                1)
              ⋯ :
            { x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X //
              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1 }) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        t :
      X)
    ((const : (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X) t : X)
have H : Eq (α := (↑I : Type))
  ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) (1, t) i) 1
Tactic: refine p.property (Cube.insertAt i (1, t)) ⟨i, Or.inr ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
y : N → (↑I : Type)
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
⊢ ((ContinuousMap.comp
                {
                  toFun :=
                    Subtype.val (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                      Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                        (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1),
                  continuous_toFun := ⋯ :
                  C({ x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X //
                      Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                        (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1 },
                    ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) }
                p.toContinuousMap).uncurry.comp
          (↑(Cube.splitAt i) : C(N → (↑I : Type), (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)))) :
        (a : N → (↑I : Type)) → X)
      y =
    x
have simp : (((↑((p.toContinuousMap :
              (a : (↑I : Type)) → { x_1 : C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j : N // j ≠ i } X x })
            (y i)) :
        C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) :
      (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
    fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ y (↑j : N)) =
  x
Tactic: simp only [ContinuousMap.comp_apply, ContinuousMap.coe_coe,
      funSplitAt_apply, ContinuousMap.uncurry_apply, ContinuousMap.coe_mk,
      Function.uncurry_apply_pair]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
y : N → (↑I : Type)
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
⊢ (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) → { x_1 : C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j : N // j ≠ i } X x })
              (y i)) :
          C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ y (↑j : N)) =
    x
have inl : ∀ (p : Ω (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)) const),
  (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
Tactic: obtain rfl | Hne := eq_or_ne j i
Cleared hypotheses: i, p
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
y : N → (↑I : Type)
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
inl :
  ∀ (p : Ω (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)) const),
    (((↑((p.toContinuousMap :
                  (a : (↑I : Type)) →
                    { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
                (y j)) :
            C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
          (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
      x
⊢ (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) → { x_1 : C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j : N // j ≠ i } X x })
              (y i)) :
          C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ y (↑j : N)) =
    x
have inr : ∀ (Hne : j ≠ i),
  (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) → { x_1 : C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j : N // j ≠ i } X x })
              (y i)) :
          C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ y (↑j : N)) =
    x
Tactic: obtain rfl | Hne := eq_or_ne j i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
y : N → (↑I : Type)
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
p : Ω (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
⊢ (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
have inl : ∀ (Hj : y j = 0),
  (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
Tactic: rcases Hj with Hj | Hj
Cleared hypotheses: Hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
y : N → (↑I : Type)
j : N
Hj : y j = 0 ∨ y j = 1
p : Ω (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
inl :
  ∀ (Hj : y j = 0),
    (((↑((p.toContinuousMap :
                  (a : (↑I : Type)) →
                    { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
                (y j)) :
            C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
          (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
      x
⊢ (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
have inl₁ : ∀ (Hj : y j = 1),
  (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
Tactic: rcases Hj with Hj | Hj
Cleared hypotheses: Hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
y : N → (↑I : Type)
j : N
p : Ω (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
Hj : y j = 0
⊢ (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
have inl : (((↑const : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) : (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
    fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
  x
Tactic: simp only [Hj, p.coe_toContinuousMap, p.source, p.target]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
y : N → (↑I : Type)
j : N
p : Ω (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
Hj : y j = 1
⊢ (((↑((p.toContinuousMap :
                (a : (↑I : Type)) →
                  { x_1 : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X) // x_1 ∈ Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x })
              (y j)) :
          C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
    x
have inl : (((↑const : C({ j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type), X)) : (a : { j_1 : N // j_1 ≠ j } → (↑I : Type)) → X)
    fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N)) =
  x
Tactic: simp only [Hj, p.coe_toContinuousMap, p.source, p.target]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : Ω (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)) const
⊢ toLoop i (fromLoop i p) = p
have simp_rw : {
    toFun := fun (t : (↑I : Type)) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1)
        (((ContinuousMap.comp
                  {
                    toFun :=
                      Subtype.val (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1),
                    continuous_toFun := sorry :
                    C({ x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X //
                        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1 },
                      ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) }
                  p.toContinuousMap).uncurry.curry :
            (a : (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X))
          t)
        sorry,
    continuous_toFun := sorry, source' := sorry, target' := sorry } =
  p
Tactic: simp_rw [toLoop, fromLoop, ContinuousMap.comp_assoc,
    toContinuousMap_comp_symm, ContinuousMap.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
⊢ fromLoop i (toLoop i p) = p
have H : ∀ (y : N → (↑I : Type)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X) ((fromLoop i (toLoop i p) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
    ((p : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
y : N → (↑I : Type)
⊢ ((↑(Cube.insertAt i) : C((↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)), N → (↑I : Type))) :
        (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
      ((((↑(Cube.splitAt i) : C(N → (↑I : Type), (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)))) :
              (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)))
            y).1,
        (((↑(Cube.splitAt i) : C(N → (↑I : Type), (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)))) :
              (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)))
            y).2) =
    y
have dsimp : (Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
    (y i, fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ y (↑j : N)) =
  y
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
⊢ Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
have refine_1 : ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N))
  (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)),
  Membership.mem (α := ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) (γ :=
    Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)) (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x)
    ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t :
      ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨⟨fun t ↦ ⟨homotopyTo i H t, ?_⟩, ?_⟩, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
refine_1 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N))
    (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)),
    Membership.mem (α := ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) (γ :=
      Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)) (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x)
      ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t :
        ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)
⊢ Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
have refine_2 : ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)),
  Continuous (Y := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
      Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
        (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1)
      ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) sorry
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨⟨fun t ↦ ⟨homotopyTo i H t, ?_⟩, ?_⟩, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
refine_1 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N))
    (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)),
    Membership.mem (α := ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) (γ :=
      Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)) (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x)
      ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t :
        ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)
refine_2 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)),
    Continuous (Y := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1)
        ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯
⊢ Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
have refine_3 : ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)) (x_1 : (↑I : Type)),
  Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
    (ContinuousMap.toFun
      {
        toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
            Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
              (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
            ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) sorry,
        continuous_toFun := sorry }
      (0, x_1))
    (((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨⟨fun t ↦ ⟨homotopyTo i H t, ?_⟩, ?_⟩, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
refine_1 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N))
    (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)),
    Membership.mem (α := ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) (γ :=
      Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)) (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x)
      ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t :
        ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)
refine_2 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)),
    Continuous (Y := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1)
        ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯
refine_3 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)) (x_1 : (↑I : Type)),
    Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
      (ContinuousMap.toFun
        {
          toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
              ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
          continuous_toFun := ⋯ }
        (0, x_1))
      (((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
⊢ Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
have refine_4 : ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)) (x_1 : (↑I : Type)),
  Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
    (ContinuousMap.toFun
      {
        toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
            Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
              (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
            ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) sorry,
        continuous_toFun := sorry }
      (1, x_1))
    (((toLoop i q).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨⟨fun t ↦ ⟨homotopyTo i H t, ?_⟩, ?_⟩, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i_1 : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t : (↑I : Type) × (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type)
i : { j : N // j ≠ i_1 }
iH : y i = 0 ∨ y i = 1
⊢ (((homotopyTo i_1 H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type), X)) t :
          ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type)) X) :
        (a : { j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type)) → X)
      y =
    x
have refine_1 : Membership.mem (α := N → (↑I : Type)) (Cube.boundary N)
  ((Cube.insertAt i_1 : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) (t.2, y) :
    N → (↑I : Type))
Tactic: rw [homotopyTo_apply, H.eq_fst, p.2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i_1 : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t : (↑I : Type) × (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type)
i : { j : N // j ≠ i_1 }
iH : y i = 0 ∨ y i = 1
⊢ Membership.mem (α := N → (↑I : Type)) (Cube.boundary N)
    ((Cube.insertAt i_1 : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) (t.2, y) :
      N → (↑I : Type))
have refine_1 : (t.2 = 0 ∨ t.2 = 1) ∨
  Membership.mem (γ := Set ({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type))) (Cube.boundary { j : N // j ≠ i_1 }) y
Tactic: apply Cube.insertAt_boundary
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i_1 : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t : (↑I : Type) × (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type)
i : { j : N // j ≠ i_1 }
iH : y i = 0 ∨ y i = 1
⊢ (t.2 = 0 ∨ t.2 = 1) ∨
    Membership.mem (γ := Set ({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type))) (Cube.boundary { j : N // j ≠ i_1 }) y
have refine_1 : Membership.mem (γ := Set ({ j : N // j ≠ i_1 } → (↑I : Type))) (Cube.boundary { j : N // j ≠ i_1 }) y
Tactic: right