-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.IntegralClosure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
B : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra R B
inst_5 : Algebra.IsStandardEtale R S
𝓟 : StandardEtalePresentation R S
n : ℕ
𝓟' : StandardEtalePresentation B (B ⊗[R] S) := 𝓟.baseChange
e : B ⊗[R] S ≃ₐ[B]
  Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) :=
  𝓟'.equivRing.trans 𝓟'.equivAwayAdjoinRoot
a :
  Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f) ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f)
hx_1 :
  IsIntegral S (A := S ⊗[R] B)
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
        ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S) a) :
      S ⊗[R] B)
hx :
  ∀ (m : ℕ),
    IsIntegral R
      (HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] B) (HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) (n + m))
        ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
            ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
              a) :
          S ⊗[R] B))
⊢ Membership.mem (α := S ⊗[R] B) (γ := Subalgebra S (S ⊗[R] B))
    (Algebra.adjoin S (↑(Subalgebra.map Algebra.TensorProduct.includeRight (integralClosure R B)) : Set (S ⊗[R] B)))
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
        ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S) a) :
      S ⊗[R] B)
have obtain : ∀ (a : AdjoinRoot 𝓟'.f) (m : ℕ)
  (hx :
    IsIntegral S (A := S ⊗[R] B)
      ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
        ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
          (IsLocalization.mk'
            (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
              ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
            a
            (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
              Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                  Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                x)
              ((fun (x : ℕ) ↦
                  HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                    ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
                m)
              sorry)))))
  (hx :
    ∀ (m_1 : ℕ),
      IsIntegral R
        (HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] B) (HPow.hPow (α := S) ((aeval 𝓟.x : (a : R[X]) → S) 𝓟.g : S) (n + m_1))
          ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
            ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
              (IsLocalization.mk'
                (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                  ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
                a
                (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
                  Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                    (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                      Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
                    x)
                  ((fun (x : ℕ) ↦
                      HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                        ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
                    m)
                  sorry)))))),
  Membership.mem (γ := Subalgebra S (S ⊗[R] B))
    (Algebra.adjoin S (↑(Subalgebra.map Algebra.TensorProduct.includeRight (integralClosure R B)) : Set (S ⊗[R] B)))
    ((Algebra.TensorProduct.comm R B S : (a : B ⊗[R] S) → S ⊗[R] B)
      ((e.symm : (a : Localization.Away ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g)) → B ⊗[R] S)
        (IsLocalization.mk'
          (Localization.Away (M := AdjoinRoot 𝓟'.f)
            ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f))
          a
          (Subtype.mk (p := fun (x : AdjoinRoot 𝓟'.f) ↦
            Membership.mem (γ := Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
              (Submonoid.powers ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g) :
                Submonoid (AdjoinRoot 𝓟'.f))
              x)
            ((fun (x : ℕ) ↦
                HPow.hPow (α := AdjoinRoot 𝓟'.f)
                  ((AdjoinRoot.mk 𝓟'.f : (a : B[X]) → AdjoinRoot 𝓟'.f) 𝓟'.g : AdjoinRoot 𝓟'.f) x)
              m)
            sorry))))
Tactic: obtain ⟨a, ⟨_, m, rfl⟩, rfl⟩ := IsLocalization.exists_mk'_eq
    (R := AdjoinRoot 𝓟'.f) (.powers (.mk _ 𝓟'.g)) a
Cleared hypotheses: a, hx_1, hx