-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplicialSet.Homotopy (goal)
Goal:
X Y : SSet
f g : X ⟶ Y
H : Homotopy f g
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j : Fin (n + 1)
hij : j.castSucc < i
x : X _⦋n + 1⦌
h :
  Eq (α := X _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (X.map
                  (Quiver.Hom.op
                    (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                        (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.succ) :
                          (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                        ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                            (SimplexCategory.σ j.castSucc) :
                          Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
              (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
            x,
          (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[1] i.succ) : (a : Δ[1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[1] _⦋n + 1⦌)
            (stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.castSucc.succ)).1 :
      X _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (NatTrans.app
                  ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌))
                  (op ⦋n + 1⦌)) :
              (a : Δ[n] _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
            ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) → Δ[n] _⦋n + 1⦌) (SimplexCategory.σ j) :
              Δ[n] _⦋n + 1⦌),
          stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ).1 :
      X _⦋n + 1⦌)
⊢ Eq (α := X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (X.map
                (Quiver.Hom.op
                  (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                      (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.succ) :
                        (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                      ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                          (SimplexCategory.σ j.castSucc) :
                        Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
            (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
          x,
        (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[1] i.succ) : (a : Δ[1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[1] _⦋n + 1⦌)
          (stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.castSucc.succ)) :
      X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌)
    (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app
                ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌))
                (op ⦋n + 1⦌)) :
            (a : Δ[n] _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
          ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) → Δ[n] _⦋n + 1⦌) (SimplexCategory.σ j) :
            Δ[n] _⦋n + 1⦌),
        stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ) :
      X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌)
have h₁ : ∀ (k : Fin (n + 1 + 1)),
  Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
    (((((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (X.map
                        (Quiver.Hom.op
                          (((stdSimplex.objEquiv : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌ ≃ (unop (op ⦋n + 1⦌) ⟶ ⦋n + 1⦌)) :
                              (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌) → ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌)
                            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[n + 1] i.succ) :
                                (a : Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1⦌)
                              ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1 + 1⦌ ⟶ ⦋n + 1⦌) → Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌)
                                  (SimplexCategory.σ j.castSucc) :
                                Δ[n + 1] _⦋n + 1 + 1⦌))))) :
                    (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
                  x,
                (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ Δ[1] i.succ) : (a : Δ[1] _⦋n + 1 + 1⦌) → Δ[1] _⦋n + 1⦌)
                  (stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.castSucc.succ)).2 :
            Δ[1] _⦋n + 1⦌) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (1 + 1))
        k :
      Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
    (((((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                      (NatTrans.app
                        ((Equiv.symm yonedaEquiv : (a : X _⦋n⦌) → Δ[n] ⟶ X)
                          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (δ X i) : (a : X _⦋n + 1⦌) → X _⦋n⦌) x : X _⦋n⦌))
                        (op ⦋n + 1⦌)) :
                    (a : Δ[n] _⦋n + 1⦌) → X _⦋n + 1⦌)
                  ((Equiv.symm stdSimplex.objEquiv : (a : ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) → Δ[n] _⦋n + 1⦌) (SimplexCategory.σ j) :
                    Δ[n] _⦋n + 1⦌),
                stdSimplex.objMk₁ j.castSucc.succ) :
              X _⦋n + 1⦌ × Δ[1] _⦋n + 1⦌).2 :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (1 + 1))
        k :
      Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1))
Tactic: ext k : 2