-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.Module.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
R' : Type u_4
M' : Type u_5
inst_3 : CommRing R'
inst_4 : AddCommGroup M'
inst_5 : Module R' M'
inst_6 : Module R M'
inst_7 : Algebra R R'
inst_8 : IsScalarTower R R' M'
f : M →ₗ[R] M'
i : ℕ
m : M
p q : R[X]
e₁ :
  ((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
        (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
      (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) p
        ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') p)
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
e₂ :
  ((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
        (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
      (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) q
        ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') q)
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
single :
  ((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
        (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
      (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) p
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M) +
        HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) q
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') (p + q))
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
single₁ :
  HAdd.hAdd (α := PolynomialModule R' M') (β := PolynomialModule R' M')
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) p
            ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) :
        PolynomialModule R' M')
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) q
            ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) :
        PolynomialModule R' M') =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') (p + q))
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
single₂ :
  HAdd.hAdd (β := PolynomialModule R' M')
      (HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') p)
        (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
              (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
            ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
          PolynomialModule R' M'))
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) q
            ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) :
        PolynomialModule R' M') =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') (p + q))
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
single₃ :
  HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') p)
        (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
              (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
            ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
          PolynomialModule R' M') +
      HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') q)
        (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
              (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
            ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
          PolynomialModule R' M') =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') (p + q))
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
⊢ ((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
        (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
      (HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R M) (p + q)
        ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m : PolynomialModule R M)) =
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') (p + q))
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M')
have single₄ : HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') p)
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M') +
    HSMul.hSMul (α := R'[X]) (β := PolynomialModule R' M') (Polynomial.map (algebraMap R R') q)
      (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
            (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
          ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
        PolynomialModule R' M') =
  HSMul.hSMul (β := PolynomialModule R' M')
    (HAdd.hAdd (α := R'[X]) (Polynomial.map (algebraMap R R') p) (Polynomial.map (algebraMap R R') q))
    (((map R' f : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (RingHom.id R) (PolynomialModule R M) (PolynomialModule R' M')) :
          (a : PolynomialModule R M) → PolynomialModule R' M')
        ((PolynomialModule.single R i : (a : M) → PolynomialModule R M) m) :
      PolynomialModule R' M')
Tactic: rw [add_smul, map_add, e₁, e₂, Polynomial.map_add, add_smul]