-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this_1 : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
this :
  ∀ (i : Fin d),
    ∃ (x : M),
      p ^ k i • x = 0 ∧
        Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                  HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                    ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
                (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
              1 :
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ((↑f : M ⧸ R ∙ s j →ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) ∘ₗ
      mkQ (R ∙ s j) ∘ₗ
        DirectSum.toModule R (Fin d) (M := fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
          M fun (i : Fin d) ↦
          liftQSpanSingleton (p ^ k i)
            (LinearMap.toSpanSingleton R M
              (⋯.choose (p := fun (x : M) ↦
                p ^ k i • x = 0 ∧
                  Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
                    ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
                      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
                    (((DirectSum.lof R (Fin d)
                              (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                              ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
                          (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
                        1 :
                      ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))))
            ⋯) =
    LinearMap.id
have h : ∀ (i : Fin d),
  Eq (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
    (((((↑f : M ⧸ R ∙ s j →ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) ∘ₗ
                mkQ (R ∙ s j) ∘ₗ
                  DirectSum.toModule R (Fin d) (M := fun (i : Fin d) ↦
                    HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) M fun (i : Fin d) ↦
                    liftQSpanSingleton (p ^ k i)
                      (LinearMap.toSpanSingleton R M
                        (sorry.choose (p := fun (x : M) ↦
                          p ^ k i • x = 0 ∧
                            Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
                              ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
                                ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
                              (((DirectSum.lof R (Fin d)
                                        (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
                                        i :
                                      HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                                        ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
                                    (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
                                  1 :
                                ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))))
                      sorry) ∘ₗ
              DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
            HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
              ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) ∘ₗ
          (mkQ (R ∙ p ^ k i) : R →ₗ[R] HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
        (a : R) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
      1)
    (((LinearMap.id ∘ₗ
            DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i) ∘ₗ
          mkQ (R ∙ p ^ k i) :
        (a : R) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
      1)
Tactic: ext i : 3