-- Lean 4 proof step from Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupCohomology.LowDegree (goal)
Goal:
k G : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
A : Rep k G
x : (↑((inhomogeneousCochains A).X 2) : Type u)
y : G × G × G
⊢ HSub.hSub (α := (↑A : Type u))
          ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) y.1 : (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
                (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
              (x
                (((Equiv.symm (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G) : G × G ≃ ((i : Fin 2) → G)) :
                    (a : G × G) → (i : Fin 2) → G)
                  (y.2.1, y.2.2))) :
            (↑A : Type u))
          (x
            (((Equiv.symm (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G) : G × G ≃ ((i : Fin 2) → G)) :
                (a : G × G) → (i : Fin 2) → G)
              (y.1 * y.2.1, y.2.2))) +
        x
          (((Equiv.symm (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G) : G × G ≃ ((i : Fin 2) → G)) :
              (a : G × G) → (i : Fin 2) → G)
            (y.1, y.2.1 * y.2.2)) -
      x
        (((Equiv.symm (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G) : G × G ≃ ((i : Fin 2) → G)) : (a : G × G) → (i : Fin 2) → G)
          (y.1, y.2.1)) =
    HAdd.hAdd (α := (↑A : Type u)) (β := (↑A : Type u))
      ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u))
                ((Equiv.symm
                      (Equiv.trans (Equiv.symm (Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G))
                        ((Equiv.refl G).prodCongr (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G))) :
                    (a : G × G × G) → (i : Fin (2 + 1)) → G)
                  y 0) :
              (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
          (x fun (i : Fin 2) ↦
            (Equiv.symm
                  (Equiv.trans (Equiv.symm (Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G))
                    ((Equiv.refl G).prodCongr (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G))) :
                (a : G × G × G) → (i : Fin (2 + 1)) → G)
              y i.succ) :
        (↑A : Type u))
      (∑ j : Fin (2 + 1),
          HPow.hPow (α := k) (-1) ((↑j : ℕ) + 1) •
            x
              (j.contractNth (fun (x1 x2 : G) ↦ x1 * x2)
                ((Equiv.symm
                      (Equiv.trans (Equiv.symm (Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G))
                        ((Equiv.refl G).prodCongr (piFinTwoEquiv fun (x : Fin 2) ↦ G))) :
                    (a : G × G × G) → (i : Fin (2 + 1)) → G)
                  y)) :
        (↑A : Type u))
have hf : HSub.hSub (α := (↑A : Type u))
        ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) y.1 : (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
              (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
            (x
              (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))) :
          (↑A : Type u))
        (x
          (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) (y.1 * y.2.1)
            (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))) +
      x
        (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.1
          (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) (y.2.1 * y.2.2) (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G)))) -
    x
      (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.1
        (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.1 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G)))) =
  HAdd.hAdd (α := (↑A : Type u)) (β := (↑A : Type u))
    ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u))
              (Fin.cons (α := fun (a : Fin 3) ↦ G) y.1
                (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                  (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                0) :
            (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
        (x fun (i : Fin 2) ↦
          Fin.cons (α := fun (a : Fin 3) ↦ G) y.1
            (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
              (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
            i.succ) :
      (↑A : Type u))
    (∑ j : Fin 3,
        HPow.hPow (α := k) (-1) ((↑j : ℕ) + 1) •
          x
            (j.contractNth (fun (x1 x2 : G) ↦ x1 * x2)
              (((Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G :
                    G × ((i : Fin 2) → G) ≃ ((i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) → G)) :
                  (a : G × ((i : Fin 2) → G)) → (i : Fin 3) → G)
                (Prod.map id
                  (fun (p : G × G) ↦
                    Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) p.1
                      (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) p.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                  y))) :
      (↑A : Type u))
Tactic: dsimp