awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
rw :
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    HMul.hMul (α := Away (↑a : R)) (β := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a) : Away (↑a : R))
rw₁ :
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    HMul.hMul (α := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
      (f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a))
⊢ HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
have rw₂ : HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
  f a *
    HMul.hMul (α := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
      (HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a))
Tactic: rw [map_mul, ← eq, mul_left_comm, ← map_pow, ← map_mul, ← pow_add,
      Nat.sub_add_cancel (Finset.le_sup <| s.mem_attach a)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
rw :
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    HMul.hMul (α := Away (↑a : R)) (β := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a) : Away (↑a : R))
rw₁ :
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    HMul.hMul (α := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
      (f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a))
rw₂ :
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    f a *
      HMul.hMul (α := Away (↑a : R))
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
        (HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a))
⊢ HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
have rw₃ : HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
  f a *
    HMul.hMul (α := Away (↑a : R)) (β := Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ (N - n a)) : Away (↑a : R))
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ n a) : Away (↑a : R))
Tactic: rw [map_mul, ← eq, mul_left_comm, ← map_pow, ← map_mul, ← pow_add,
      Nat.sub_add_cancel (Finset.le_sup <| s.mem_attach a)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
have eq₁ : ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
Tactic: have eq a : f a * algebraMap R _ (a ^ N) = algebraMap R _ (r a) := by
    rw [map_mul, ← eq, mul_left_comm, ← map_pow, ← map_mul, ← pow_add,
      Nat.sub_add_cancel (Finset.le_sup <| s.mem_attach a)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
⊢ Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r a * (↑b : R) ^ N) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r b * (↑a : R) ^ N) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
have simp_rw : HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r a) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑b : R) ^ N) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R))) =
  HMul.hMul (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (β := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (r b) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
    ((algebraMap R (Away ((↑a : R) * (↑b : R))) : (a_1 : R) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) ((↑a : R) ^ N) :
      Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
Tactic: simp_rw [map_mul, ← Away.awayToAwayRight_eq (S := Away a.1) a.1 b (r a),
        ← Away.awayToAwayLeft_eq (S := Away b.1) b.1 a (r b), ← eq, map_mul,
        Away.awayToAwayRight_eq, Away.awayToAwayLeft_eq, h, mul_assoc, ← map_mul, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
have eq2 : ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
  ∃ (N' : ℕ), ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)
Tactic: have eq2 a b : ∃ N', (a * b) ^ N' * (r a * b ^ N) = (a * b) ^ N' * (r b * a ^ N) :=
    Away.exists_of_eq (S := Away (a * b : R)) _ <| by
      simp_rw [map_mul, ← Away.awayToAwayRight_eq (S := Away a.1) a.1 b (r a),
        ← Away.awayToAwayLeft_eq (S := Away b.1) b.1 a (r b), ← eq, map_mul,
        Away.awayToAwayRight_eq, Away.awayToAwayLeft_eq, h, mul_assoc, ← map_mul, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
eq2 :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ∃ (N' : ℕ), ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
have choose : ∀ (N' : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ)
  (hN' :
    ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
      ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' a b * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' a b * (r b * (↑a : R) ^ N)),
  ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
Tactic: choose N' hN' using eq2
Cleared hypotheses: eq2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N : ℕ := s.attach.sup n
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
N'_1 : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
hN' :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r b * (↑a : R) ^ N)
N' : ℕ :=
  (s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
    N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
have eq2 : ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
  ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r a * (↑b : R) ^ N) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r b * (↑a : R) ^ N)
Tactic: have eq2 a b : (a * b) ^ N' * (r a * b ^ N) = (a * b) ^ N' * (r b * a ^ N) := by
    dsimp only [N']; rw [← Nat.sub_add_cancel (Finset.le_sup <| (Finset.mem_attach _ ⟨⟨a, b⟩,
      Finset.mk_mem_product a.2 b.2⟩)), pow_add, mul_assoc, hN', ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N_1 : ℕ := s.attach.sup n
r_2 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N_1 - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N_1) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_2 a)
N'_1 : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
hN' :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r_2 a * (↑b : R) ^ N_1) =
      ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r_2 b * (↑a : R) ^ N_1)
N' : ℕ :=
  (s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
    N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)
eq2 :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r_2 a * (↑b : R) ^ N_1) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r_2 b * (↑a : R) ^ N_1)
N : ℕ := N' + N_1
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ N' * r_2 a
a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)
⊢ HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
have rw : HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
  HMul.hMul (α := Away (↑a : R)) (β := Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N') : Away (↑a : R))
    ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_2 a) : Away (↑a : R))
Tactic: rw [map_mul, ← eq, mul_left_comm, ← map_mul, ← pow_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Localization.Away.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
s : Finset R
f : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → Away (↑a : R)
h :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    Eq (α := Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayRight (↑a : R) (↑b : R) : (a_1 : Away (↑a : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f a) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
      ((Away.awayToAwayLeft (↑b : R) (↑a : R) : (a_1 : Away (↑b : R)) → Away ((↑a : R) * (↑b : R))) (f b) :
        Away ((↑a : R) * (↑b : R)))
mem : Membership.mem (γ := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) 1
span_eq : Eq (α := Ideal R) (Ideal.span (↑s : Set R)) ⊤
n : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
r_1 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R
eq_1 :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    f a * HPow.hPow (α := Away (↑a : R)) ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (↑a : R)) (n a) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_1 a)
N_1 : ℕ := s.attach.sup n
r_2 : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ (N_1 - n a) * r_1 a
eq :
  ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
        ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N_1) : Away (↑a : R)) =
      (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r_2 a)
N'_1 : (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → ℕ
hN' :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r_2 a * (↑b : R) ^ N_1) =
      ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N'_1 a b * (r_2 b * (↑a : R) ^ N_1)
N' : ℕ :=
  (s ×ˢ s).attach.sup fun (a : ↥(s ×ˢ s)) ↦
    N'_1 (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).1 ⋯)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ x ∈ (↑s : Set R)) (↑a : R × R).2 ⋯)
eq2 :
  ∀ (a b : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
    ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r_2 a * (↑b : R) ^ N_1) = ((↑a : R) * (↑b : R)) ^ N' * (r_2 b * (↑a : R) ^ N_1)
N : ℕ := N' + N_1
r : (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) → R := fun (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)) ↦ (↑a : R) ^ N' * r_2 a
⊢ ∃ (x : R), ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)), (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) x = f a
have eq₁ : ∀ (a : (↑(↑s : Set R) : Type u_1)),
  HMul.hMul (β := Away (↑a : R)) (f a)
      ((algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) ((↑a : R) ^ N) : Away (↑a : R)) =
    (algebraMap R (Away (↑a : R)) : (a_1 : R) → Away (↑a : R)) (r a)
Tactic: have eq a : f a * algebraMap R _ (a ^ N) = algebraMap R _ (r a) := by
    rw [map_mul, ← eq, mul_left_comm, ← map_mul, ← pow_add]