awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
pos : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → i = Fin.natAdd 0 j → f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff 0
neg : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → ¬i = Fin.natAdd 0 j → f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0
⊢ (if (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0) =
    if i = Fin.natAdd 0 j then f.coeff 0 else 0
have pos₁ : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → i = Fin.natAdd 0 j → 0 = f.coeff 0
Tactic: split_ifs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m : ℕ
i j_1 : Fin (0 + m)
j : Fin m
pos : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → i = Fin.natAdd 0 j → f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = f.coeff 0
neg : (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → ¬i = Fin.natAdd 0 j → f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) = 0
pos₁ : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → i = Fin.natAdd 0 j → 0 = f.coeff 0
⊢ (if (↑i : ℕ) ∈ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) then f.coeff ((↑i : ℕ) - (↑j : ℕ)) else 0) =
    if i = Fin.natAdd 0 j then f.coeff 0 else 0
have neg₁ : (↑i : ℕ) ∉ Icc (↑j : ℕ) ((↑j : ℕ) + 0) → ¬i = Fin.natAdd 0 j → Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
Tactic: split_ifs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
⊢ f.sylvester g m n =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m)
have a : ∀ (i j : Fin (m + n)),
  f.sylvester g m n i j =
    (Matrix.reindex (finCongr sorry)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i j
Tactic: ext i j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
i j : Fin (m + n)
⊢ f.sylvester g m n i j =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i j
have a : ∀ (i_1 : Fin m),
  f.sylvester g m n i (Fin.castAdd n i_1) =
    (Matrix.reindex (finCongr sorry)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i (Fin.castAdd n i_1)
Tactic: induction j using Fin.addCases
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f g : R[X]
m n : ℕ
i j : Fin (m + n)
a :
  ∀ (i_1 : Fin m),
    f.sylvester g m n i (Fin.castAdd n i_1) =
      (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
            (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
          (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
        (g.sylvester f n m) i (Fin.castAdd n i_1)
⊢ f.sylvester g m n i j =
    (Matrix.reindex (finCongr ⋯)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i j
have a₁ : ∀ (i_1 : Fin n),
  f.sylvester g m n i (Fin.natAdd m i_1) =
    (Matrix.reindex (finCongr sorry)
          (Equiv.trans (Equiv.symm finSumFinEquiv) (Equiv.trans (Equiv.sumComm (Fin n) (Fin m)) finSumFinEquiv)) :
        (a : Matrix (Fin (n + m)) (Fin (n + m)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R)
      (g.sylvester f n m) i (Fin.natAdd m i_1)
Tactic: induction j using Fin.addCases
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n)
have a : ∀ (i j : Fin (m + n)),
  (map φ f).sylvester (map φ g) m n i j =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i j
Tactic: ext i j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
i j : Fin (m + n)
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n i j =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i j
have a : ∀ (i_1 : Fin m),
  (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.castAdd n i_1) =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i (Fin.castAdd n i_1)
Tactic: induction j using Fin.addCases
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Semiring R
inst_1 : Semiring S
f g : R[X]
m n : ℕ
φ : R →+* S
i j : Fin (m + n)
a :
  ∀ (i_1 : Fin m),
    (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.castAdd n i_1) =
      ((φ.mapMatrix :
            RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
          (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
        (f.sylvester g m n) i (Fin.castAdd n i_1)
⊢ (map φ f).sylvester (map φ g) m n i j =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i j
have a₁ : ∀ (i_1 : Fin n),
  (map φ f).sylvester (map φ g) m n i (Fin.natAdd m i_1) =
    ((φ.mapMatrix : RingHom.{u_1, u_2} (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) (Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)) :
        (a : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) S)
      (f.sylvester g m n) i (Fin.natAdd m i_1)
Tactic: induction j using Fin.addCases
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
have pos : ∀ (hn : f.natDegree = 0),
  f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
Tactic: by_cases hn : f.natDegree = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
pos :
  ∀ (hn : f.natDegree = 0),
    f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
      sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
have neg : ∀ (hn : ¬f.natDegree = 0),
  f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
Tactic: by_cases hn : f.natDegree = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : f.natDegree = 0
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
have pos : ∀ (i : ℕ) (hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree) (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)),
  f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) j =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) j
Tactic: ext ⟨i, hi⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
have neg : ∀ (i : ℕ) (hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree) (j : ℕ) (hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree),
  f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
Tactic: ext ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
⊢ f.sylvesterDeriv.updateRow (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff • f.sylvesterDeriv (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
have neg : (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
        (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
        if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
        else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
    (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
    (f.leadingCoeff •
      Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
        (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
        (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
        (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
    (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
  sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
    (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
Tactic: rw [sylvesterDeriv, dif_neg hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
have neg : ∀ (hi' : i ≠ 2 * f.natDegree - 2),
  (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
Tactic: rcases ne_or_eq i (2 * f.natDegree - 2) with hi' | rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi' : i ≠ 2 * f.natDegree - 2
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
have neg : Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
    (⟨2 * f.natDegree - 2, sorry⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
    (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
      if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
    (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
  sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
    (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
Tactic: rw [Matrix.updateRow_ne (Fin.ne_of_val_ne hi'),
      Matrix.updateRow_ne (Fin.ne_of_val_ne hi')]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
i : ℕ
hi : i < f.natDegree - 1 + f.natDegree
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi' : i ≠ 2 * f.natDegree - 2
neg :
  Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
        if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
have neg₁ : sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
    (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
  sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
    (⟨i, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
Tactic: rw [Matrix.updateRow_ne (Fin.ne_of_val_ne hi'),
      Matrix.updateRow_ne (Fin.ne_of_val_ne hi')]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi : 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree
⊢ (Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
          if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1
          else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0).updateRow
      (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (f.leadingCoeff •
        Matrix.updateRow (sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
          (fun (j : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ↦
            if (↑j : ℕ) = f.natDegree - 2 then 1 else if (↑j : ℕ) = 2 * f.natDegree - 2 then (↑f.natDegree : R) else 0)
          (⟨2 * f.natDegree - 2, ⋯⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)))
      (⟨2 * f.natDegree - 2, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree))
      (⟨j, hj⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) =
    sylvester ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f (f.natDegree - 1) f.natDegree
      (⟨2 * f.natDegree - 2, hi⟩ : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) ⟨j, hj⟩
have neg : (if j = f.natDegree - 2 then f.coeff f.natDegree
  else if j = 2 * f.natDegree - 2 then f.coeff f.natDegree * (↑f.natDegree : R) else 0) =
  if j < f.natDegree - 1 then
    if j ≤ 2 * f.natDegree - 2 ∧ 2 * f.natDegree ≤ j + f.natDegree + 2 then f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - j) else 0
  else
    if
        j ≤ 2 * f.natDegree - 2 + (f.natDegree - 1) ∧
          2 * f.natDegree ≤ j - (f.natDegree - 1) + (f.natDegree - 1) + 2 then
      f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - (j - (f.natDegree - 1)) + 1) *
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(2 * f.natDegree - 2 - (j - (f.natDegree - 1))) : R) 1
    else 0
Tactic: simp only [sylvester, Fin.addCases, mem_Icc, coeff_derivative, eq_rec_constant, leadingCoeff,
      Matrix.updateRow_self, Matrix.updateRow_apply, ↓reduceIte, Pi.smul_apply, smul_eq_mul,
      mul_ite, mul_one, mul_zero, Matrix.of_apply, Fin.castLT_mk, tsub_le_iff_right, Fin.cast_mk,
      Fin.subNat_mk, dite_eq_ite]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
hn : ¬f.natDegree = 0
j : ℕ
hj : j < f.natDegree - 1 + f.natDegree
hi : 2 * f.natDegree - 2 < f.natDegree - 1 + f.natDegree
⊢ (if j = f.natDegree - 2 then f.coeff f.natDegree
    else if j = 2 * f.natDegree - 2 then f.coeff f.natDegree * (↑f.natDegree : R) else 0) =
    if j < f.natDegree - 1 then
      if j ≤ 2 * f.natDegree - 2 ∧ 2 * f.natDegree ≤ j + f.natDegree + 2 then f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - j) else 0
    else
      if
          j ≤ 2 * f.natDegree - 2 + (f.natDegree - 1) ∧
            2 * f.natDegree ≤ j - (f.natDegree - 1) + (f.natDegree - 1) + 2 then
        f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - (j - (f.natDegree - 1)) + 1) *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(2 * f.natDegree - 2 - (j - (f.natDegree - 1))) : R) 1
      else 0
have pos : j = f.natDegree - 2 →
  j < f.natDegree - 1 →
    j ≤ 2 * f.natDegree - 2 ∧ 2 * f.natDegree ≤ j + f.natDegree + 2 →
      f.coeff f.natDegree = f.coeff (2 * f.natDegree - 2 - j)
Tactic: split_ifs