awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have mp : ∀ (l : J) (a : k ⟶ l) (b : k' ⟶ l) (h'' : g ≫ a = f' ≫ b),
  ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: obtain ⟨l, a, b, h''⟩ := span g f'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
a : k ⟶ l
b : k' ⟶ l
h'' : g ≫ a = f' ≫ b
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have mp : Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f ≫ a)) :
        (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
    (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (g' ≫ b)) :
        (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
      (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
    (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
Tactic: refine ⟨l, f ≫ a, g' ≫ b, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x_1 y_1 x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
h_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
a : k ⟶ l
b : k' ⟶ l
h'' : g ≫ a = f' ≫ b
⊢ Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (f ≫ a)) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (g' ≫ b)) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj l))
have mp : Eq (α := F.obj l)
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map a) : (a : F.obj k) → F.obj l)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : F.obj y.fst) → F.obj k)
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        F.obj k) :
    F.obj l)
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map b) : (a : F.obj k') → F.obj l)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') : (a : F.obj y.fst) → F.obj k')
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        F.obj k') :
    F.obj l)
Tactic: simp only [map_comp, comp_apply, h, ← h']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y : (j : J) × F.obj j
h : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have mp : ∀ (x y : (j : J) × F.obj j) (h : F.ColimitTypeRel x y),
  ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: induction h with
    | rel x y h =>
      obtain ⟨f, h⟩ := h
      exact ⟨y.1, f, 𝟙 _, by simpa using h.symm⟩
    | refl x => exact ⟨x.1, 𝟙 _, 𝟙 _, rfl⟩
    | symm _ _ _ h =>
      obtain ⟨k, f, g, h⟩ := h
      exact ⟨k, g, f, h.symm⟩
    | trans x y z _ _ h h' =>
      obtain ⟨k, f, g, h⟩ := h
      obtain ⟨k', f', g', h'⟩ := h'
      obtain ⟨l, a, b, h''⟩ := span g f'
      refine ⟨l, f ≫ a, g' ≫ b, ?_⟩
      simp only [map_comp, comp_apply, h, ← h']
      simp [← comp_apply, ← map_comp, h'']
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y : (j : J) × F.obj j
h : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
mp :
  ∀ (x y : (j : J) × F.obj j) (h : F.ColimitTypeRel x y),
    ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have mp₁ : ∀ (x : (j : J) × F.obj j),
  ∃ (k : J) (f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: induction h with
    | rel x y h =>
      obtain ⟨f, h⟩ := h
      exact ⟨y.1, f, 𝟙 _, by simpa using h.symm⟩
    | refl x => exact ⟨x.1, 𝟙 _, 𝟙 _, rfl⟩
    | symm _ _ _ h =>
      obtain ⟨k, f, g, h⟩ := h
      exact ⟨k, g, f, h.symm⟩
    | trans x y z _ _ h h' =>
      obtain ⟨k, f, g, h⟩ := h
      obtain ⟨k', f', g', h'⟩ := h'
      obtain ⟨l, a, b, h''⟩ := span g f'
      refine ⟨l, f ≫ a, g' ≫ b, ?_⟩
      simp only [map_comp, comp_apply, h, ← h']
      simp [← comp_apply, ← map_comp, h'']
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y : (j : J) × F.obj j
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
have mpr : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x
  (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
        (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
Tactic: apply Relation.EqvGen.trans (y := ⟨k, F.map f' y.2⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y : (j : J) × F.obj j
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
mpr :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
have mpr₁ : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel
  (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
        (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
  y
Tactic: apply Relation.EqvGen.trans (y := ⟨k, F.map f' y.2⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
x y : (j : J) × F.obj j
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ Eq.{w₀ + 1} (α :=
    F.obj
      (Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
        (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))))
    (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
        (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) →
          (fun (X : Type w₀) ↦ X)
            (F.obj
              ⟨k,
                  (ConcreteCategory.hom (F.map f') :
                      (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
                    y.snd⟩.fst))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))
have rw : Eq.{w₀ + 1} (α :=
  F.obj
    (Sigma.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))))
  (Sigma.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
      (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) →
        (fun (X : Type w₀) ↦ X)
          (F.obj
            ⟨k,
                (ConcreteCategory.hom (F.map f) :
                    (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
                  x.snd⟩.fst))
    (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))
Tactic: rw [← h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
j j' : J
x : F.obj j
y : F.obj j'
⊢ F.ιColimitType j x = F.ιColimitType j' y ↔
    ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j' ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j')) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have rw : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
  ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j' ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          x :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j')) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          y :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: rw [ιColimitType_eq_iff, eqvGen_colimitTypeRel_iff_of_isFiltered]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
j j' : J
x : F.obj j
y : F.obj j'
rw :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
    ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j' ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j')) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ F.ιColimitType j x = F.ιColimitType j' y ↔
    ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j' ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j')) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have rw₁ : (∃ (k : J) (f : (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x).fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k) (g :
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y).fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj ⟨j, x⟩.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          ((Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x).snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj ⟨j', y⟩.fst)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          ((Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y).snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))) ↔
  ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j' ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          x :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j')) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          y :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: rw [ιColimitType_eq_iff, eqvGen_colimitTypeRel_iff_of_isFiltered]