awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑X : Type u)
y : (↑Y : Type u)
eq :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        y :
      (↑S : Type u))
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑X : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.fst f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u)))
    x
have h : (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
        pullback f g) (pullback.fst f g) :
      (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
          (a :
              (↑(of
                    { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                      (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                        (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                Type u)) →
            (↑(pullback f g) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.1 :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.2 :
              (↑S : Type u)))
          (x, y) eq) :
      (↑(pullback f g) : Type u)) =
  x
Tactic: use (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv ⟨⟨x, y⟩, eq⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑X : Type u)
y : (↑Y : Type u)
eq :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        y :
      (↑S : Type u))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f g) (pullback.fst f g) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
            (a :
                (↑(of
                      { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                        (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                          (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                  Type u)) →
              (↑(pullback f g) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.1 :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.2 :
                (↑S : Type u)))
            (x, y) eq) :
        (↑(pullback f g) : Type u)) =
    x
have h : (↑(Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.1 :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.2 :
              (↑S : Type u)))
          (x, y) eq) :
      (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)).1 =
  x
Tactic: rw [pullbackIsoProdSubtype_inv_fst_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
⊢ Eq (α := Set (↑Y : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
    {y : (↑Y : Type u) |
      ∃ (x : (↑X : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}
have h : ∀ (y : (↑Y : Type u)),
  Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y ↔
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y
Tactic: ext y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑Y : Type u)
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y ↔
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y
have h : Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
    y →
  Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
    {y : (↑Y : Type u) |
      ∃ (x : (↑X : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}
    y
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑Y : Type u)
h :
  Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y →
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g)) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
      y ↔
    Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
      {y : (↑Y : Type u) |
        ∃ (x : (↑X : Type u)),
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                x :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                y :
              (↑S : Type u))}
      y
have h₁ : Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
    {y : (↑Y : Type u) |
      ∃ (x : (↑X : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}
    y →
  Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
    y
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
x : (↑(pullback f g) : Type u)
⊢ Membership.mem (α := (↑Y : Type u)) (γ := Set (↑Y : Type u))
    {y : (↑Y : Type u) |
      ∃ (x : (↑X : Type u)),
        Eq (α := (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
              x :
            (↑S : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
              y :
            (↑S : Type u))}
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g) :
          (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
        x :
      (↑Y : Type u))
have h : Eq (α := (↑S : Type u))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
        (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.fst f g) :
            (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑X : Type u))
          x :
        (↑X : Type u)) :
    (↑S : Type u))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
        (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
              pullback f g) (pullback.snd f g) :
            (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
          x :
        (↑Y : Type u)) :
    (↑S : Type u))
Tactic: use pullback.fst f g x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑Y : Type u)
x : (↑X : Type u)
eq :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        y :
      (↑S : Type u))
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑Y : Type u))
    (Set.range (ι := (↑(pullback f g) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f g) (pullback.snd f g)) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u)))
    y
have h : (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
        pullback f g) (pullback.snd f g) :
      (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
          (a :
              (↑(of
                    { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                      (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                        (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                Type u)) →
            (↑(pullback f g) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.1 :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.2 :
              (↑S : Type u)))
          (x, y) eq) :
      (↑(pullback f g) : Type u)) =
  y
Tactic: use (TopCat.pullbackIsoProdSubtype f g).inv ⟨⟨x, y⟩, eq⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
X Y S : TopCat
f : X ⟶ S
g : Y ⟶ S
y : (↑Y : Type u)
x : (↑X : Type u)
eq :
  Eq (α := (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
          (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
        x :
      (↑S : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
          (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
        y :
      (↑S : Type u))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f g) (pullback.snd f g) :
        (a : (↑(pullback f g) : Type u)) → (↑Y : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (pullbackIsoProdSubtype f g).inv :
            (a :
                (↑(of
                      { p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u) //
                        (ConcreteCategory.hom f : (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u)) p.1 =
                          (ConcreteCategory.hom g : (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u)) p.2 }) :
                  Type u)) →
              (↑(pullback f g) : Type u))
          (Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
            Eq (α := (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      f :
                    (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.1 :
                (↑S : Type u))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      g :
                    (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                  p.2 :
                (↑S : Type u)))
            (x, y) eq) :
        (↑(pullback f g) : Type u)) =
    y
have h : (↑(Subtype.mk (p := fun (p : (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) f :
                  (a : (↑X : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.1 :
              (↑S : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) g :
                  (a : (↑Y : Type u)) → (↑S : Type u))
                p.2 :
              (↑S : Type u)))
          (x, y) eq) :
      (↑X : Type u) × (↑Y : Type u)).2 =
  y
Tactic: rw [pullbackIsoProdSubtype_inv_snd_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ :
  IsEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑Y : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₁) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
H₂ :
  IsEmbedding (X := (↑X : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₂) :
      (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ IsEmbedding (X := (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) (Y := (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f₁ f₂) (Y := pullback g₁ g₂) (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)) :
      (a : (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) → (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
have refine : IsEmbedding (X := (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) (Y := (↑(Y ⨯ Z) : Type u))
  (Function.comp (β := (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback g₁ g₂) (Y := Y ⨯ Z) (prod.lift (pullback.fst g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂))) :
      (a : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)) → (↑(Y ⨯ Z) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f₁ f₂) (Y := pullback g₁ g₂) (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)) :
      (a : (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) → (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)))
Tactic: refine .of_comp (ContinuousMap.continuous_toFun _)
    (show Continuous (prod.lift (pullback.fst g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂)) from
        ContinuousMap.continuous_toFun _)
      ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ :
  IsEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑Y : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₁) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
H₂ :
  IsEmbedding (X := (↑X : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₂) :
      (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
i₃ : S ⟶ T
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ IsEmbedding (X := (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) (Y := (↑(Y ⨯ Z) : Type u))
    (Function.comp (β := (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback g₁ g₂) (Y := Y ⨯ Z) (prod.lift (pullback.fst g₁ g₂) (pullback.snd g₁ g₂))) :
        (a : (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)) → (↑(Y ⨯ Z) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
            pullback f₁ f₂) (Y := pullback g₁ g₂) (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)) :
        (a : (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) → (↑(pullback g₁ g₂) : Type u)))
have IsEmbedding : IsEmbedding (X := (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) (Y := (↑(Y ⨯ Z) : Type u))
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
        pullback f₁ f₂) (Y := Y ⨯ Z)
        (CategoryStruct.comp (Y := W ⨯ X) (prod.lift (pullback.fst f₁ f₂) (pullback.snd f₁ f₂)) (prod.map i₁ i₂))) :
    (a : (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) → (↑(Y ⨯ Z) : Type u))
Tactic: suffices
    IsEmbedding (prod.lift (pullback.fst f₁ f₂) (pullback.snd f₁ f₂) ≫ Limits.prod.map i₁ i₂) by
    simpa [← coe_comp] using this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Pullbacks (goal)
Goal:
W X Y Z S T : TopCat
f₁ : W ⟶ S
f₂ : X ⟶ S
g₁ : Y ⟶ T
g₂ : Z ⟶ T
i₁ : W ⟶ Y
i₂ : X ⟶ Z
H₁ :
  IsOpenEmbedding (X := (↑W : Type u)) (Y := (↑Y : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₁) :
      (a : (↑W : Type u)) → (↑Y : Type u))
H₂ :
  IsOpenEmbedding (X := (↑X : Type u)) (Y := (↑Z : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) i₂) :
      (a : (↑X : Type u)) → (↑Z : Type u))
i₃ : S ⟶ T
H₃ : Mono i₃
eq₁ : f₁ ≫ i₃ = i₁ ≫ g₁
eq₂ : f₂ ≫ i₃ = i₂ ≫ g₂
⊢ IsOpenEmbedding (X := (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) (Y := (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
          pullback f₁ f₂) (Y := pullback g₁ g₂) (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)) :
      (a : (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) → (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
have toIsEmbedding : IsEmbedding (X := (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) (Y := (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (X :=
        pullback f₁ f₂) (Y := pullback g₁ g₂) (pullback.map f₁ f₂ g₁ g₂ i₁ i₂ i₃ eq₁ eq₂)) :
    (a : (↑(pullback f₁ f₂) : Type u)) → (↑(pullback g₁ g₂) : Type u))
Tactic: constructor