-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.Equalizer (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module S M
inst_6 : IsScalarTower R S M
N : Type u_4
P : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup N
inst_8 : AddCommGroup P
inst_9 : Module R N
inst_10 : Module R P
f g : N →ₗ[R] P
r : S
x : M
⊢ {
      toFun := fun (a : ↥f.ker) ↦
        Subtype.mk (p := fun (x : M ⊗[R] N) ↦
          Membership.mem (γ := Submodule S (M ⊗[R] N))
            (ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
              (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                  (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                f))
            x)
          ((r • x) ⊗ₜ[R] (↑a : N)) ⋯,
      map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } =
    HSMul.hSMul (α := S) (β :=
      ↥f.ker →ₗ[R]
        ↥(ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
            (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
              f)))
      ((RingHom.id S : (a : S) → S) r : S)
      {
        toFun := fun (a : ↥f.ker) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : M ⊗[R] N) ↦
            Membership.mem (γ := Submodule S (M ⊗[R] N))
              (ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
                (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                    (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                  f))
              x)
            (x ⊗ₜ[R] (↑a : N)) ⋯,
        map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ :
        ↥f.ker →ₗ[R]
          ↥(ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
              (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                  (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                f)) }
have h : ∀ (y : ↥f.ker),
  Eq (α := M ⊗[R] N)
    (↑(({
              toFun := fun (a : ↥f.ker) ↦
                Subtype.mk (p := fun (x : M ⊗[R] N) ↦
                  Membership.mem (γ := Submodule S (M ⊗[R] N))
                    (ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
                      (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                          (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                        f))
                    x)
                  ((r • x) ⊗ₜ[R] (↑a : N)) sorry,
              map_add' := sorry, map_smul' := sorry } :
            (a : ↥f.ker) → ↥((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) f).ker)
          y) :
      M ⊗[R] N)
    (↑((HSMul.hSMul (α := S) (β :=
              ↥f.ker →ₗ[R]
                ↥(ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
                    (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                        (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                      f)))
              ((RingHom.id S : (a : S) → S) r : S)
              {
                toFun := fun (a : ↥f.ker) ↦
                  Subtype.mk (p := fun (x : M ⊗[R] N) ↦
                    Membership.mem (γ := Submodule S (M ⊗[R] N))
                      (ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
                        (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                            (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                          f))
                      x)
                    (x ⊗ₜ[R] (↑a : N)) sorry,
                map_add' := sorry, map_smul' := sorry :
                ↥f.ker →ₗ[R]
                  ↥(ker (R₂ := S) (M₂ := M ⊗[R] P) (τ₁₂ := RingHom.id S)
                      (((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (N →ₗ[R] P) →ₗ[R] M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) :
                          (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P)
                        f)) } :
            (a : ↥f.ker) → ↥((AlgebraTensorModule.lTensor S M : (a : N →ₗ[R] P) → M ⊗[R] N →ₗ[S] M ⊗[R] P) f).ker)
          y) :
      M ⊗[R] N)
Tactic: ext y