-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Category.Cat.Limit (goal)
Goal:
J : Type v
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X_1 Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
⊢ (↾fun
        (g :
          Quiver.Hom (V := (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
            ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
                  (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                X_1 :
              (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
            ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
                  (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                Y :
              (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))) ↦
      eqToHom ⋯ ≫ (F.map (𝟙 X)).toFunctor.map g ≫ eqToHom ⋯) =
    𝟙
      (Quiver.Hom (V := (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
            X_1 :
          (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
            Y :
          (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X)))
have h : ∀
  (f :
    Quiver.Hom (V := (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
          X_1 :
        (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
          Y :
        (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))),
  TypeCat.Fun.toFun
      (hom (FC := TypeCat.Fun)
        (↾fun
            (g :
              Quiver.Hom (V := (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
                      (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                    X_1 :
                  (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
                      (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                    Y :
                  (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))) ↦
          eqToHom sorry ≫ (F.map (𝟙 X)).toFunctor.map g ≫ eqToHom sorry))
      f =
    (hom (FC := TypeCat.Fun)
          (𝟙
            (Quiver.Hom (V := (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
              ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
                    (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                  X_1 :
                (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
              ((hom (FC := TypeCat.Fun) (limit.π (F ⋙ objects) X) :
                    (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (limit (F ⋙ objects))) → (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))
                  Y :
                (fun (X : Type v) ↦ X) ((F ⋙ objects).obj X))))).toFun
      f
Tactic: ext f