awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
⊢ ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
have C : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (p : α × E) ↦ f a p.2
Tactic: have C : Continuous (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) := by fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b_1 : ℝ
b_lt : b_1 < s * r
hb_1 :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b_1
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b_1 + 2 * ε < s * r
C : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (p : α × E) ↦ f a p.2
b : α
y : E
hb : Membership.mem (γ := Set α) {a} (b, y).1
⊢ Function.uncurry f (b, y) = (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) (b, y)
have hb₁ : b = a
Tactic: simp only [mem_singleton_iff] at hb
Cleared hypotheses: hb
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
C : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (p : α × E) ↦ f a p.2
⊢ ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
have D : EqOn (Function.uncurry f) (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) (SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t))
Tactic: have D : ({a} ×ˢ closedBall x t).EqOn f.uncurry (fun p ↦ f a p.2) := by
      rintro ⟨b, y⟩ ⟨hb, -⟩
      simp only [mem_singleton_iff] at hb
      simp [hb]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
C : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (p : α × E) ↦ f a p.2
D : EqOn (Function.uncurry f) (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) (SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t))
⊢ ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
have obtain : ∀ (v : Set (α × E)) (v_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] v)
  (sub_v : SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t) ⊆ v) (hv : ∀ p ∈ v, dist (Function.uncurry f p) (f a p.2) < ε),
  ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
Tactic: obtain ⟨v, v_open, sub_v, hv⟩ : ∃ v, IsOpen v ∧ {a} ×ˢ closedBall x t ⊆ v ∧
        ∀ p ∈ v, dist (Function.uncurry f p) (f a p.2) < ε :=
      Uniform.exists_is_open_mem_uniformity_of_forall_mem_eq (s := {a} ×ˢ closedBall x t)
        (fun p _ ↦ hf.continuousAt) (fun p _ ↦ C.continuousAt) D (dist_mem_uniformity εpos)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
C : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (p : α × E) ↦ f a p.2
D : EqOn (Function.uncurry f) (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) (SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t))
v : Set (α × E)
v_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] v
sub_v : SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t) ⊆ v
hv : ∀ p ∈ v, dist (Function.uncurry f p) (f a p.2) < ε
⊢ ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
have obtain : ∀ (w : Set α) (w' : Set E) (w_open : IsOpen[inst_6] w) (sub_w : {a} ⊆ w) (sub_w' : closedBall x t ⊆ w')
  (hww' : w ×ˢ w' ⊆ v),
  ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
Tactic: obtain ⟨w, w', w_open, -, sub_w, sub_w', hww'⟩ : ∃ (w : Set α) (w' : Set E),
        IsOpen w ∧ IsOpen w' ∧ {a} ⊆ w ∧ closedBall x t ⊆ w' ∧ w ×ˢ w' ⊆ v :=
      generalized_tube_lemma isCompact_singleton (isCompact_closedBall x t) v_open sub_v
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
C : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] fun (p : α × E) ↦ f a p.2
D : EqOn (Function.uncurry f) (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) (SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t))
v : Set (α × E)
v_open : IsOpen[instTopologicalSpaceProd] v
sub_v : SProd.sprod (α := Set α) {a} (closedBall x t) ⊆ v
hv : ∀ p ∈ v, dist (Function.uncurry f p) (f a p.2) < ε
w : Set α
w' : Set E
w_open : IsOpen[inst_6] w
sub_w : {a} ⊆ w
sub_w' : closedBall x t ⊆ w'
hww' : w ×ˢ w' ⊆ v
⊢ ∃ (u : Set α),
    IsOpen[inst_6] u ∧
      a ∈ u ∧
        ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
have refine : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ w → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
Tactic: refine ⟨w, w_open, sub_w rfl, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
⊢ {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
have obtain : ∀ (u : Set α) (u_open : IsOpen[inst_6] u) (au : a ∈ u)
  (hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε),
  {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
Tactic: obtain ⟨u, u_open, au, hu⟩ : ∃ u, IsOpen u ∧ a ∈ u ∧ ∀ (p : α × E),
      p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (f.uncurry p) (f.uncurry (a, p.2)) < ε := by
    have C : Continuous (fun (p : α × E) ↦ f a p.2) := by fun_prop
    have D : ({a} ×ˢ closedBall x t).EqOn f.uncurry (fun p ↦ f a p.2) := by
      rintro ⟨b, y⟩ ⟨hb, -⟩
      simp only [mem_singleton_iff] at hb
      simp [hb]
    obtain ⟨v, v_open, sub_v, hv⟩ : ∃ v, IsOpen v ∧ {a} ×ˢ closedBall x t ⊆ v ∧
        ∀ p ∈ v, dist (Function.uncurry f p) (f a p.2) < ε :=
      Uniform.exists_is_open_mem_uniformity_of_forall_mem_eq (s := {a} ×ˢ closedBall x t)
        (fun p _ ↦ hf.continuousAt) (fun p _ ↦ C.continuousAt) D (dist_mem_uniformity εpos)
    obtain ⟨w, w', w_open, -, sub_w, sub_w', hww'⟩ : ∃ (w : Set α) (w' : Set E),
        IsOpen w ∧ IsOpen w' ∧ {a} ⊆ w ∧ closedBall x t ⊆ w' ∧ w ×ˢ w' ⊆ v :=
      generalized_tube_lemma isCompact_singleton (isCompact_closedBall x t) v_open sub_v
    refine ⟨w, w_open, sub_w rfl, ?_⟩
    rintro ⟨b, y⟩ h hby
    exact hv _ (hww' ⟨h, sub_w' hby⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
⊢ {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
have this₁ : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
Tactic: have : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x) :=
    prod_mem_nhds (u_open.mem_nhds au) (ball_mem_nhds _ (sub_pos.2 ht't))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
⊢ {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
have h : ∀ a ∈ u ×ˢ ball x (t - t'),
  ∃ (r' : ℝ),
    (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
      ∀ (y : E),
        dist y a.2 < r' →
          ∀ (z : E),
            dist z a.2 < r' →
              ‖f a.1 z - f a.1 y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                s * r
Tactic: filter_upwards [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : (a', x') ∈ u ×ˢ ball x (t - t')
⊢ ∃ (r' : ℝ),
    (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
      ∀ (y : E),
        dist y (a', x').2 < r' →
          ∀ (z : E),
            dist z (a', x').2 < r' →
              ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y -
                    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                s * r
have ha'x'₁ : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
Tactic: simp only [mem_prod, mem_ball] at ha'x'
Cleared hypotheses: ha'x'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
⊢ ∃ (r' : ℝ),
    (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
      ∀ (y : E),
        dist y (a', x').2 < r' →
          ∀ (z : E),
            dist z (a', x').2 < r' →
              ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y -
                    HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                s * r
have h : ∀ (y : E) (hy : dist y (a', x').2 < t') (z : E) (hz : dist z (a', x').2 < t'),
  ‖f (a', x').1 z - f (a', x').1 y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
    s * r
Tactic: refine ⟨t', ⟨hrt', ht't.le.trans (htr'.le.trans Ir'r)⟩, fun y hy z hz ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this_1 : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : b + 2 * ε < s * r
u : Set α
u_open : IsOpen[inst_6] u
au : a ∈ u
hu : ∀ (p : α × E), p.1 ∈ u → p.2 ∈ closedBall x t → dist (Function.uncurry f p) (Function.uncurry f (a, p.2)) < ε
this : u ×ˢ ball x (t - t') ∈ 𝓝 (a, x)
a' : α
x' : E
ha'x' : a' ∈ u ∧ dist x' x < t - t'
y : E
hy : dist y (a', x').2 < t'
z : E
hz : dist z (a', x').2 < t'
⊢ dist y x ≤ t
have linarith : t < dist y x → 2 / 2 = 1
Tactic: linarith [dist_triangle y x' x]