awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x y : (↑(s p) : Type)
this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x) : ℕ)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ x)) : ℕ)
j : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) y) : ℕ)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ y)) : ℕ)
⊢ dist (↑x : p.Rep) (↑y : p.Rep) ≤ C
have refine : diam (α := p.Rep) univ ≤ C
Tactic: refine (dist_le_diam_of_mem isCompact_univ.isBounded (mem_univ _) (mem_univ _)).trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x y : (↑(s p) : Type)
this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x) : ℕ)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ x)) : ℕ)
j : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) y) : ℕ)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ y)) : ℕ)
Ap :
  (↑((F p).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hip⟩ : Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjp⟩ :
            Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ) =
    ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
⊢ min M ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊ = ⌊ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y)⌋₊
have refine : ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y) ≤ ε⁻¹ * max C 0
Tactic: refine min_eq_right (Nat.floor_mono ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x y : (↑(s p) : Type)
this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x) : ℕ)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ x)) : ℕ)
j : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) y) : ℕ)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ y)) : ℕ)
Ap :
  (↑((F p).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hip⟩ : Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjp⟩ :
            Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ) =
    ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
⊢ ε⁻¹ * dist (Ψ x) (Ψ y) ≤ ε⁻¹ * max C 0
have refine : dist (Ψ x) (Ψ y) ≤ C
Tactic: refine mul_le_mul_of_nonneg_left (le_trans ?_ (le_max_left _ _)) (inv_pos.2 εpos).le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x y : (↑(s p) : Type)
this : dist (Φ x) (Φ y) = dist (Ψ x) (Ψ y)
i : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x) : ℕ)
hip : i < N p
hiq : i < N q
i' : i = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ x)) : ℕ)
j : ℕ := (↑((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) y) : ℕ)
hjp : j < N p
hjq : j < N q
j' : j = (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (N q)) (Ψ y)) : ℕ)
Ap :
  (↑((F p).snd (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)
          (⟨i, hip⟩ : Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))
          (⟨j, hjp⟩ :
            Fin (↑((F p).fst (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ)) : ℕ))) :
      ℕ) =
    ⌊ε⁻¹ * dist x y⌋₊
⊢ dist (↑(Ψ x) : q.Rep) (↑(Ψ y) : q.Rep) ≤ C
have refine : diam (α := q.Rep) univ ≤ C
Tactic: refine (dist_le_diam_of_mem isCompact_univ.isBounded (mem_univ _) (mem_univ _)).trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
main : ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
⊢ ε + ε / 2 + ε = δ / 2
have simp : 5⁻¹ * δ + 5⁻¹ * δ / 2 + 5⁻¹ * δ = δ / 2
Tactic: simp only [ε, one_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
main : ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
⊢ dist (↑(Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt) : GHSpace)
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt) : GHSpace) <
    δ
have dist : ε + ε / 2 + ε = δ / 2
Tactic: calc
    dist p q = ghDist p.Rep q.Rep := dist_ghDist p q
    _ ≤ ε + ε / 2 + ε := main
    _ = δ / 2 := by simp only [ε, one_div]; ring
    _ < δ := half_lt_self δpos
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
X : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
⊢ CompleteSpace GHSpace
have this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
Tactic: have : ∀ n : ℕ, 0 < d n := fun _ ↦ by positivity
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
X : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
⊢ CompleteSpace GHSpace
have refine : ∀ (u : ℕ → GHSpace) (hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N), ∃ (x : GHSpace), Tendsto u atTop (𝓝 x)
Tactic: refine Metric.complete_of_convergent_controlled_sequences d this fun u hu => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
X_1 : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X_1 n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X_1 n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X_1 n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
u : ℕ → GHSpace
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N
X : (n : ℕ) → Type := fun (n : ℕ) ↦ (u n).Rep
Y : (n : ℕ) → AuxGluingStruct (X n) := auxGluing X
⊢ ∃ (x : GHSpace), Tendsto u atTop (𝓝 x)
have E : ∀ (n : ℕ), GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) sorry sorry = AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1))
Tactic: have E :
    ∀ n : ℕ,
      GlueSpace (Y n).isom (isometry_optimalGHInjl (X n) (X (n + 1))) = (Y (n + 1)).Space :=
    fun n => by dsimp only [Y, auxGluing]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
X_1 : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X_1 n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X_1 n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X_1 n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
u : ℕ → GHSpace
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N
X : (n : ℕ) → Type := fun (n : ℕ) ↦ (u n).Rep
Y : (n : ℕ) → AuxGluingStruct (X n) := auxGluing X
E :
  ∀ (n : ℕ),
    GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯ = AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1))
c : (n : ℕ) →
  (a : GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯) → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) :=
  fun (n : ℕ) ↦ cast ⋯
⊢ ∃ (x : GHSpace), Tendsto u atTop (𝓝 x)
have ic : ∀ (n : ℕ), Isometry (c n)
Tactic: have ic : ∀ n, Isometry (c n) := fun n x y => by dsimp only [Y, auxGluing]; exact rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
X_1 : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X_1 n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X_1 n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X_1 n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
u : ℕ → GHSpace
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N
X : (n : ℕ) → Type := fun (n : ℕ) ↦ (u n).Rep
Y : (n : ℕ) → AuxGluingStruct (X n) := auxGluing X
E :
  ∀ (n : ℕ),
    GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯ = AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1))
c : (n : ℕ) →
  (a : GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯) → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) :=
  fun (n : ℕ) ↦ cast ⋯
ic : ∀ (n : ℕ), Isometry (c n)
f : (n : ℕ) → (Y n).Space → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) := fun (n : ℕ) ↦ c n ∘ toGlueL ⋯ ⋯
⊢ ∃ (x : GHSpace), Tendsto u atTop (𝓝 x)
have I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
Tactic: have I : ∀ n, Isometry (f n) := fun n => (ic n).comp (toGlueL_isometry _ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
X_1 : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X_1 n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X_1 n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X_1 n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
u : ℕ → GHSpace
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N
X : (n : ℕ) → Type := fun (n : ℕ) ↦ (u n).Rep
Y : (n : ℕ) → AuxGluingStruct (X n) := auxGluing X
E :
  ∀ (n : ℕ),
    GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯ = AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1))
c : (n : ℕ) →
  (a : GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯) → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) :=
  fun (n : ℕ) ↦ cast ⋯
ic : ∀ (n : ℕ), Isometry (c n)
f : (n : ℕ) → (Y n).Space → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) := fun (n : ℕ) ↦ c n ∘ toGlueL ⋯ ⋯
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
Z0 : Type := InductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I
Z : Type := UniformSpace.Completion Z0
Φ : (n : ℕ) → (x : (Y n).Space) → InductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I :=
  toInductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I
coeZ : Z0 → UniformSpace.Completion Z0 := UniformSpace.Completion.coe'
X2 : (n : ℕ) → Set (UniformSpace.Completion Z0) := fun (n : ℕ) ↦ range (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed)
n : ℕ
⊢ Isometry (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed)
have refine : Isometry (Φ n ∘ (Y n).embed)
Tactic: refine UniformSpace.Completion.coe_isometry.comp ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
X_1 : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X_1 n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X_1 n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X_1 n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
u : ℕ → GHSpace
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N
X : (n : ℕ) → Type := fun (n : ℕ) ↦ (u n).Rep
Y : (n : ℕ) → AuxGluingStruct (X n) := auxGluing X
E :
  ∀ (n : ℕ),
    GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯ = AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1))
c : (n : ℕ) →
  (a : GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯) → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) :=
  fun (n : ℕ) ↦ cast ⋯
ic : ∀ (n : ℕ), Isometry (c n)
f : (n : ℕ) → (Y n).Space → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) := fun (n : ℕ) ↦ c n ∘ toGlueL ⋯ ⋯
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
Z0 : Type := InductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I
Z : Type := UniformSpace.Completion Z0
Φ : (n : ℕ) → (x : (Y n).Space) → InductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I :=
  toInductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I
coeZ : Z0 → UniformSpace.Completion Z0 := UniformSpace.Completion.coe'
X2 : (n : ℕ) → Set (UniformSpace.Completion Z0) := fun (n : ℕ) ↦ range (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed)
⊢ ∃ (x : GHSpace), Tendsto u atTop (𝓝 x)
have isom : ∀ (n : ℕ), Isometry (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed)
Tactic: have isom : ∀ n, Isometry (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed) := by
    intro n
    refine UniformSpace.Completion.coe_isometry.comp ?_
    exact (toInductiveLimit_isometry _ _).comp (Y n).isom
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
X_1 : ℕ → Type
inst : (n : ℕ) → MetricSpace (X_1 n)
inst_1 : ∀ (n : ℕ), CompactSpace (X_1 n)
inst_2 : ∀ (n : ℕ), Nonempty (X_1 n)
d : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (1 / 2) ^ n
this : ∀ (n : ℕ), 0 < d n
u : ℕ → GHSpace
hu : ∀ (N n m : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (u n) (u m) < d N
X : (n : ℕ) → Type := fun (n : ℕ) ↦ (u n).Rep
Y : (n : ℕ) → AuxGluingStruct (X n) := auxGluing X
E :
  ∀ (n : ℕ),
    GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯ = AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1))
c : (n : ℕ) →
  (a : GlueSpace (Y := OptimalGHCoupling (X n) (X (n + 1))) ⋯ ⋯) → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) :=
  fun (n : ℕ) ↦ cast ⋯
ic : ∀ (n : ℕ), Isometry (c n)
f : (n : ℕ) → (Y n).Space → AuxGluingStruct.Space (A := X (n + 1)) (Y (n + 1)) := fun (n : ℕ) ↦ c n ∘ toGlueL ⋯ ⋯
I : ∀ (n : ℕ), Isometry (f n)
Z0 : Type := InductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I
Z : Type := UniformSpace.Completion Z0
Φ : (n : ℕ) → (x : (Y n).Space) → InductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I :=
  toInductiveLimit (X := fun (n : ℕ) ↦ (Y n).Space) I
coeZ : Z0 → UniformSpace.Completion Z0 := UniformSpace.Completion.coe'
X2 : (n : ℕ) → Set (UniformSpace.Completion Z0) := fun (n : ℕ) ↦ range (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed)
isom : ∀ (n : ℕ), Isometry (coeZ ∘ Φ n ∘ (Y n).embed)
n : ℕ
⊢ X2 n = range ((coeZ ∘ Φ n.succ ∘ c n ∘ toGlueR ⋯ ⋯) ∘ optimalGHInjl (X n) (X n.succ))
have change : X2 n = range (coeZ ∘ Φ n.succ ∘ c n ∘ toGlueR sorry sorry ∘ optimalGHInjl (X n) (X n.succ))
Tactic: change X2 n = range (coeZ ∘ Φ n.succ ∘ c n ∘
      toGlueR (Y n).isom (isometry_optimalGHInjl (X n) (X n.succ)) ∘
      optimalGHInjl (X n) (X n.succ))