awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → R
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j
⊢ HAdd.hAdd (α := R) (∏ i ∈ s, g i) (∏ i ∈ s, h i) = ∏ i ∈ s, f i
have simp_rw : g i * ∏ i ∈ s \ {i}, g i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, h i = f i * ∏ i ∈ s \ {i}, f i
Tactic: classical
    simp_rw [prod_eq_mul_prod_diff_singleton_of_mem hi, ← h1, right_distrib]
    congr 2 <;> apply prod_congr rfl <;> simpa
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → R
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j
simp_rw : g i * ∏ i ∈ s \ {i}, g i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, h i = f i * ∏ i ∈ s \ {i}, f i
⊢ HAdd.hAdd (α := R) (∏ i ∈ s, g i) (∏ i ∈ s, h i) = ∏ i ∈ s, f i
have simp_rw₁ : g i * ∏ i ∈ s \ {i}, g i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, h i = (g i + h i) * ∏ i ∈ s \ {i}, f i
Tactic: classical
    simp_rw [prod_eq_mul_prod_diff_singleton_of_mem hi, ← h1, right_distrib]
    congr 2 <;> apply prod_congr rfl <;> simpa
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
s : Finset ι
i : ι
f g h : ι → R
hi : i ∈ s
h1 : g i + h i = f i
h2 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → g j = f j
h3 : ∀ j ∈ s, j ≠ i → h j = f j
simp_rw : g i * ∏ i ∈ s \ {i}, g i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, h i = f i * ∏ i ∈ s \ {i}, f i
simp_rw₁ : g i * ∏ i ∈ s \ {i}, g i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, h i = (g i + h i) * ∏ i ∈ s \ {i}, f i
⊢ HAdd.hAdd (α := R) (∏ i ∈ s, g i) (∏ i ∈ s, h i) = ∏ i ∈ s, f i
have simp_rw₂ : g i * ∏ i ∈ s \ {i}, g i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, h i = g i * ∏ i ∈ s \ {i}, f i + h i * ∏ i ∈ s \ {i}, f i
Tactic: classical
    simp_rw [prod_eq_mul_prod_diff_singleton_of_mem hi, ← h1, right_distrib]
    congr 2 <;> apply prod_congr rfl <;> simpa
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
x : κ a
h_1 : x ∈ t a
y : κ a
h_2 : y ∈ t a
h : x ≠ y
⊢ Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a')) (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t))
    (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
have simp : ∀ (a_1 : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'),
  (∃ a_2 ∈ s.pi (β := κ) t, Pi.cons (δ := κ) s a x a_2 = a_1) →
    ∀ (b : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'), (∃ a_3 ∈ s.pi (β := κ) t, Pi.cons (δ := κ) s a y a_3 = b) → a_1 ≠ b
Tactic: simp only [disjoint_iff_ne, mem_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
x : κ a
h_1 : x ∈ t a
y : κ a
h_2 : y ∈ t a
h : x ≠ y
a_1 : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left : p₂ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₂ : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ = a_1
b : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left_1 : p₃ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₃ : Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ = b
eq : a_1 = b
⊢ Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ a ⋯ = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a ⋯
have rw : a_1 a sorry = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a sorry
Tactic: rw [eq₂, eq₃, eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
x : κ a
h_1 : x ∈ t a
y : κ a
h_2 : y ∈ t a
h : x ≠ y
a_1 : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left : p₂ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₂ : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ = a_1
b : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left_1 : p₃ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₃ : Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ = b
eq : a_1 = b
rw : a_1 a ⋯ = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a ⋯
⊢ Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ a ⋯ = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a ⋯
have rw₁ : a_1 a sorry = b a sorry
Tactic: rw [eq₂, eq₃, eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
x : κ a
h_1 : x ∈ t a
y : κ a
h_2 : y ∈ t a
h : x ≠ y
a_1 : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left : p₂ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₂ : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ = a_1
b : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left_1 : p₃ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₃ : Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ = b
eq : a_1 = b
rw : a_1 a ⋯ = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a ⋯
rw₁ : a_1 a ⋯ = b a ⋯
⊢ Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ a ⋯ = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a ⋯
have rw₂ : b a sorry = b a sorry
Tactic: rw [eq₂, eq₃, eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
x : κ a
h_1 : x ∈ t a
y : κ a
h_2 : y ∈ t a
h : x ≠ y
a_1 : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left : p₂ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₂ : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ = a_1
b : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left_1 : p₃ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₃ : Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ = b
eq : a_1 = b
⊢ False
have this : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ a sorry = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a sorry
Tactic: have : Pi.cons s a x p₂ a (mem_insert_self _ _)
              = Pi.cons s a y p₃ a (mem_insert_self _ _) := by rw [eq₂, eq₃, eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
x : κ a
h_1 : x ∈ t a
y : κ a
h_2 : y ∈ t a
h : x ≠ y
a_1 : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₂ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left : p₂ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₂ : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ = a_1
b : (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'
p₃ : (a : ι) → a ∈ s → κ a
left_1 : p₃ ∈ s.pi (β := κ) t
eq₃ : Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ = b
eq : a_1 = b
this : Pi.cons (δ := κ) s a x p₂ a ⋯ = Pi.cons (δ := κ) s a y p₃ a ⋯
⊢ False
have this₁ : x = y
Tactic: rw [Pi.cons_same, Pi.cons_same] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ insert a s, ∑ b ∈ t a, f a b)
    (∑ p ∈ (insert a s).pi (β := κ) t, ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
have h₁ : ∀ x ∈ t a,
  ∀ y ∈ t a,
    x ≠ y →
      Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
        (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
Tactic: have h₁ : ∀ x ∈ t a, ∀ y ∈ t a, x ≠ y →
      Disjoint (image (Pi.cons s a x) (pi s t)) (image (Pi.cons s a y) (pi s t)) := by
      intro x _ y _ h
      simp only [disjoint_iff_ne, mem_image]
      rintro _ ⟨p₂, _, eq₂⟩ _ ⟨p₃, _, eq₃⟩ eq
      have : Pi.cons s a x p₂ a (mem_insert_self _ _)
              = Pi.cons s a y p₃ a (mem_insert_self _ _) := by rw [eq₂, eq₃, eq]
      rw [Pi.cons_same, Pi.cons_same] at this
      exact h this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ insert a s, ∑ b ∈ t a, f a b)
    (∑ p ∈ (insert a s).pi (β := κ) t, ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
have insert : Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t a, f a i * ∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) sorry))
  (∑ x ∈ t a,
    ∑ i ∈ image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) sorry))
Tactic: rw [prod_insert ha, pi_insert ha, ih, sum_mul, sum_biUnion h₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t a, f a i * ∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
    (∑ x ∈ t a,
      ∑ i ∈ image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) ⋯))
have insert : ∀ b ∈ t a,
  f a b * ∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) sorry) =
    ∑ i ∈ image (Pi.cons (δ := κ) s a b) (s.pi (β := κ) t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) sorry)
Tactic: refine sum_congr rfl fun b _ => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
⊢ f a b * ∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯) =
    ∑ i ∈ image (Pi.cons (δ := κ) s a b) (s.pi (β := κ) t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) ⋯)
have h₂ : ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
  ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
    Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) → p₁ = p₂
Tactic: have h₂ : ∀ p₁ ∈ pi s t, ∀ p₂ ∈ pi s t, Pi.cons s a b p₁ = Pi.cons s a b p₂ → p₁ = p₂ :=
      fun p₁ _ p₂ _ eq => Pi.cons_injective ha eq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
⊢ f a b * ∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯) =
    ∑ i ∈ image (Pi.cons (δ := κ) s a b) (s.pi (β := κ) t), ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) ⋯)
have insert : Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∑ i ∈ s.pi (β := κ) t, f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) sorry))
  (∑ x ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x_1 ∈ (insert a s).attach, f (↑x_1 : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b x (↑x_1 : ι) sorry))
Tactic: rw [sum_image h₂, mul_sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∑ i ∈ s.pi (β := κ) t, f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (i (↑x : ι) ⋯))
    (∑ x ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x_1 ∈ (insert a s).attach, f (↑x_1 : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b x (↑x_1 : ι) ⋯))
have insert : ∀ g ∈ s.pi (β := κ) t,
  f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) sorry) =
    ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑x : ι) sorry)
Tactic: refine sum_congr rfl fun g _ => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
h_1 : g ∈ s.pi (β := κ) t
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    ∏ x ∈ (insert a s).attach, f (↑x : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑x : ι) ⋯)
have insert : f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) sorry) =
  f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) a sorry) : ι)
      (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) a sorry) : ι) sorry) *
    ∏ x ∈ s.attach,
      f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) (↑x : ι) sorry) : ι)
        (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) (↑x : ι) sorry) : ι) sorry)
Tactic: rw [attach_insert, prod_insert, prod_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ Insert.insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ Insert.insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
h_1 : g ∈ s.pi (β := κ) t
insert :
  f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) a ⋯) : ι)
        (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) a ⋯) : ι) ⋯) *
      ∏ x ∈ s.attach,
        f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) ⋯) : ι)
          (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) ⋯) : ι) ⋯)
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    ∏ x ∈ (Insert.insert a s).attach, f (↑x : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑x : ι) ⋯)
have insert₁ : Set.InjOn (β := ↥(Insert.insert a s)) (fun (x : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) sorry)
  (↑s.attach : Set ↥s)
Tactic: rw [attach_insert, prod_insert, prod_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ Insert.insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ Insert.insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
h_1 : g ∈ s.pi (β := κ) t
insert :
  f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) a ⋯) : ι)
        (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) a ⋯) : ι) ⋯) *
      ∏ x ∈ s.attach,
        f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) ⋯) : ι)
          (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) ⋯) : ι) ⋯)
insert₁ :
  Set.InjOn (β := ↥(Insert.insert a s))
    (fun (x : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) ⋯) (↑s.attach : Set ↥s)
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    ∏ x ∈ (Insert.insert a s).attach, f (↑x : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑x : ι) ⋯)
have insert₂ : Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) a sorry ∉
  image (fun (x : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ Insert.insert a s) (↑x : ι) sorry) s.attach
Tactic: rw [attach_insert, prod_insert, prod_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
h_1 : g ∈ s.pi (β := κ) t
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) a ⋯) : ι)
        (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) a ⋯) : ι) ⋯) *
      ∏ x ∈ s.attach,
        f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) (↑x : ι) ⋯) : ι)
          (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ insert a s) (↑x : ι) ⋯) : ι) ⋯)
have insert : f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) sorry) =
  f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑x : ι) sorry)
Tactic: simp only [Pi.cons_same]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
h_1 : g ∈ s.pi (β := κ) t
⊢ f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (g (↑x : ι) ⋯) =
    f a b * ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑x : ι) ⋯)
have insert : ∀ (v : ι) (hv : v ∈ s),
  f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) (g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) sorry) =
    f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι)
      (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) sorry)
Tactic: congr with ⟨v, hv⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.BigOperators.Ring.Finset (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : DecidableEq ι
κ : ι → Type u_5
t : (i : ι) → Finset (κ i)
f : (i : ι) → κ i → R
a : ι
s : Finset ι
ha : a ∉ s
ih :
  Eq.{u_4 + 1} (α := R) (∏ a ∈ s, ∑ b ∈ t a, f a b) (∑ p ∈ s.pi (β := κ) t, ∏ x ∈ s.attach, f (↑x : ι) (p (↑x : ι) ⋯))
h₁ :
  ∀ x ∈ t a,
    ∀ y ∈ t a,
      x ≠ y →
        Disjoint (α := Finset ((a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a'))
          (image (Pi.cons (δ := κ) s a x) (s.pi (β := κ) t)) (image (Pi.cons (δ := κ) s a y) (s.pi (β := κ) t))
b : κ a
h : b ∈ t a
h₂ :
  ∀ p₁ ∈ s.pi (β := κ) t,
    ∀ p₂ ∈ s.pi (β := κ) t,
      Eq (α := (a' : ι) → (h : a' ∈ insert a s) → κ a') (Pi.cons (δ := κ) s a b p₁) (Pi.cons (δ := κ) s a b p₂) →
        p₁ = p₂
g : (a : ι) → a ∈ s → κ a
h_1 : g ∈ s.pi (β := κ) t
v : ι
hv : v ∈ s
⊢ f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) (g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) ⋯) =
    f (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι)
      (Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) ⋯)
have insert : g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) sorry =
  Pi.cons (δ := κ) s a b g (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) v hv) : ι) sorry
Tactic: congr