awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
⊢ False
have h1₁ : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < 2
Tactic: rw [h1'.emultiplicity_eq_multiplicity, Nat.cast_lt] at h1
Cleared hypotheses: h1, h2, h3, h1', h2', h3'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < 2
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
⊢ False
have h2₁ : multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < 2
Tactic: rw [h2'.emultiplicity_eq_multiplicity, Nat.cast_lt] at h2
Cleared hypotheses: h2, h3, h1', h2', h3'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < 2
h2 : multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < 2
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
⊢ False
have h3₁ : multiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < 2
Tactic: rw [h3'.emultiplicity_eq_multiplicity, Nat.cast_lt] at h3
Cleared hypotheses: h3, h1', h2', h3'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < 2
h2 : multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < 2
h3 : multiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < 2
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
⊢ False
have this : HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) λ 2) 3 ∣ (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: have := (pow_dvd_pow_of_dvd (lambda_sq_dvd_c S') 3).mul_left S'.u
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : multiplicity λ (S'.a + S'.b) < 2
h2 : multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < 2
h3 : multiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < 2
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
this : HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) λ 2) 3 ∣ (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ False
have this₁ : HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 ≤
  multiplicity λ (S'.a + S'.b) + multiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) +
    multiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
Tactic: rw [← pow_mul, ← S'.H, a_cube_add_b_cube_eq_mul, pow_dvd_iff_le_emultiplicity,
    emultiplicity_mul hζ.zeta_sub_one_prime', emultiplicity_mul hζ.zeta_sub_one_prime',
      h1'.emultiplicity_eq_multiplicity, h2'.emultiplicity_eq_multiplicity,
      h3'.emultiplicity_eq_multiplicity, ← Nat.cast_add, ← Nat.cast_add, Nat.cast_le] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inl : ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b),
  ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
Tactic: rcases lambda_sq_dvd_or_dvd_or_dvd S' with h | h | h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
inl :
  ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b),
    ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
      HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
        IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr : ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b),
  ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
Tactic: rcases lambda_sq_dvd_or_dvd_or_dvd S' with h | h | h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
inl :
  ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b),
    ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
      HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
        IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
inr :
  ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b),
    ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
      HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
        IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr₁ : ∀ (h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b),
  ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
Tactic: rcases lambda_sq_dvd_or_dvd_or_dvd S' with h | h | h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) ((↑η : 𝓞 K) * S'.b) 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: refine ⟨S'.a, η * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η ^ 2 * x, ?_⟩, h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) ((↑η : 𝓞 K) * S'.b) 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr₁ : IsCoprime S'.a ((↑η : 𝓞 K) * S'.b)
Tactic: refine ⟨S'.a, η * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η ^ 2 * x, ?_⟩, h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) ((↑η : 𝓞 K) * S'.b) 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ : IsCoprime S'.a ((↑η : 𝓞 K) * S'.b)
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr₂ : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b → ∀ (x : 𝓞 K) (hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x), S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
Tactic: refine ⟨S'.a, η * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η ^ 2 * x, ?_⟩, h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₄ : S'.b = S'.b * ((↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₄ : S'.b = S'.b * ((↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₅ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₄ : S'.b = S'.b * ((↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₅ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₆ : S'.b = S'.b * hζ.toInteger ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₄ : S'.b = S'.b * ((↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₅ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₆ : S'.b = S'.b * hζ.toInteger ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₇ : S'.b = S'.b * 1
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h_1 : λ ∣ (↑η : 𝓞 K) * S'.b
x : 𝓞 K
hx : (↑η : 𝓞 K) * S'.b = λ * x
inr : S'.b = λ * (x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₁ : S'.b = λ * x * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₂ : S'.b = (↑η : 𝓞 K) * S'.b * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₃ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2
inr₄ : S'.b = S'.b * ((↑η : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2)
inr₅ : S'.b = S'.b * (↑η : 𝓞 K) ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₆ : S'.b = S'.b * hζ.toInteger ^ HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1
inr₇ : S'.b = S'.b * 1
⊢ S'.b = λ * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * x)
have inr₈ : S'.b = S'.b
Tactic: rw [mul_comm _ x, ← mul_assoc, ← hx, mul_comm _ S'.b, mul_assoc, ← pow_succ', coe_eta,
        hζ.toInteger_cube_eq_one, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: refine ⟨S'.a, η ^ 2 * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η * x, ?_⟩, h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr₁ : IsCoprime S'.a (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
Tactic: refine ⟨S'.a, η ^ 2 * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η * x, ?_⟩, h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ : IsCoprime S'.a (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
⊢ ∃ (a' : 𝓞 K) (b' : 𝓞 K),
    HPow.hPow (β := ℕ) a' 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b' 3 = (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 ∧
      IsCoprime a' b' ∧ ¬λ ∣ a' ∧ ¬λ ∣ b' ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ a' + b'
have inr₂ : λ ∣ HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b →
  ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b = λ * x), S'.b = λ * ((↑η : 𝓞 K) * x)
Tactic: refine ⟨S'.a, η ^ 2 * S'.b, ?_, ?_, S'.ha, fun ⟨x, hx⟩ ↦ S'.hb ⟨η * x, ?_⟩, h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rw [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm 2, pow_mul, coe_eta, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_pow,
        one_mul, S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr₁ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rw [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm 2, pow_mul, coe_eta, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_pow,
        one_mul, S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr₂ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 3 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rw [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm 2, pow_mul, coe_eta, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_pow,
        one_mul, S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₂ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 3 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr₃ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rw [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm 2, pow_mul, coe_eta, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_pow,
        one_mul, S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h : HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
inr :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 2 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₂ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + (↑η : 𝓞 K) ^ HMul.hMul (α := ℕ) 3 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
inr₃ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) 3 =
    (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr₄ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) (HPow.hPow (β := ℕ) hζ.toInteger 3) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: rw [mul_pow, ← pow_mul, mul_comm 2, pow_mul, coe_eta, hζ.toInteger_cube_eq_one, one_pow,
        one_mul, S'.H]