-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
S : Type s
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
W' : Jacobian R
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ (W'.map f).addX ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) = (f : (a : R) → S) (W'.addX P Q)
have simp : ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x) 2 *
                        HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 -
                      HMul.hMul (α := S) 2 (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y) * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y *
                          ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z *
                        ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z +
                    HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x) 2 * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x *
                      HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 -
                  (W'.map f).a₁ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y *
                      HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 *
                    ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z -
                (W'.map f).a₁ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z *
                  HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 +
              2 * (W'.map f).a₂ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x *
                  HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 *
                HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 -
            (W'.map f).a₃ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 4 *
              ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z -
          (W'.map f).a₃ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z *
            HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 4 +
        (W'.map f).a₄ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 4 *
          HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 +
      (W'.map f).a₄ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 *
        HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 4 +
    2 * (W'.map f).a₆ * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 4 *
      HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 4 =
  (f : (a : R) → S)
    (P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 - 2 * P y * Q y * P z * Q z +
                      HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
                    W'.a₁ * P x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z -
                  W'.a₁ * P y * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                2 * W'.a₂ * P x * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
              W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * Q z -
            W'.a₃ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
          W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
        W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4 +
      2 * W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4)
Tactic: simp only [addX]