-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.ChangeOfRings (goal)
Goal:
R_1 : Type u₁
S_1 : Type u₂
inst : CommRing R_1
inst_1 : CommRing S_1
f_1 : R_1 →+* S_1
R : Type u₁
S : Type u₂
inst_2 : CommRing R
inst_3 : CommRing S
f : R →+* S
X : ModuleCat R
Y : ModuleCat S
g : X ⟶ (restrictScalars f).obj Y
m1 : Module R S := Module.compHom S f
m2 : Module R (↑Y : Type (max u₂ u_1)) := Module.compHom (↑Y : Type (max u₂ u_1)) f
s : S
x y : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))
ih1 :
  (lift
          { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯ } :
        (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • x) =
    HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          x :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
ih2 :
  (lift
          { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯ } :
        (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • y) =
    HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          y :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
refine_3 :
  (lift
          { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯ } :
        (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • x + s • y) =
    HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (x + y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
refine_3₁ :
  HAdd.hAdd (α := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • x) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (s • y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
    HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (x + y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
⊢ (lift
          { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
            map_smul' := ⋯ } :
        (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) → (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
      (s • (x + y)) =
    HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          (x + y) :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
have refine_3₂ : HAdd.hAdd (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
    (HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
      ((lift
              { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := sorry,
                map_smul' := sorry :
                (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                  (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
            (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
              (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
          x :
        (↑Y : Type (max u₂ u_1))))
    ((lift
            { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry :
              (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) →ₗ[R]
                (↑X : Type (max u_1 u₂)) →ₗ[R] (↑Y : Type (max u₂ u_1)) } :
          (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
            (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        (s • y) :
      (↑Y : Type (max u₂ u_1))) =
  HSMul.hSMul (β := (↑Y : Type (max u₂ u_1))) s
    ((lift
            { toFun := fun (s : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂)) ↦ evalAt f s g, map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry } :
          (a : (↑((restrictScalars f).obj (of S S)) : Type u₂) ⊗[R] (↑X : Type (max u_1 u₂))) →
            (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
        (x + y) :
      (↑Y : Type (max u₂ u_1)))
Tactic: rw [smul_add, map_add, ih1, ih2, map_add, smul_add]