-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h'' :
  ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (S ⟶ X)),
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
          H' →
        T mX ≫ f = T mY
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf :
  PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∉
    H'
⊢ ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (S ⟶ X)),
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
              (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
          insert
            (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
            H' →
        T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1
have insert : ∀ (S' : C) (T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X))
  (w' :
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))) ∈
          H' →
        T' mX ≫ f = T' mY),
  ∃ (S : C) (T : {X : C} → X ∈ O → (S ⟶ X)),
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X_1
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X_1 ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y)) Y_1
              (PSigma.mk (β := fun (x : X_1 ∈ O) ↦ (_ : Y_1 ∈ O) ×' (X_1 ⟶ Y_1)) mX_1
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y_1 ∈ O) ↦ X_1 ⟶ Y_1) mY_1 f_1))) ∈
          insert
            (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f))))
            H' →
        T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1
Tactic: obtain ⟨S', T', w'⟩ := h''
Cleared hypotheses: h''