-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
refine_1 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N))
    (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)),
    Membership.mem (α := ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) (γ :=
      Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)) (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x)
      ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t :
        ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X)
refine_2 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)),
    Continuous (Y := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x_1 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_1)
        ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯
refine_3 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)) (x_1 : (↑I : Type)),
    Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
      (ContinuousMap.toFun
        {
          toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
              ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
          continuous_toFun := ⋯ }
        (0, x_1))
      (((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
refine_4 :
  ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)) (x_1 : (↑I : Type)),
    Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
      (ContinuousMap.toFun
        {
          toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
              ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
          continuous_toFun := ⋯ }
        (1, x_1))
      (((toLoop i q).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
⊢ Homotopic p q → Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q)
have refine_5 : ∀ (H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)) (t x_1 : (↑I : Type)),
  Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} x_1 →
    Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
      (({
              toFun := fun (x_2 : (↑I : Type)) ↦
                ContinuousMap.toFun
                  (ContinuousMap.Homotopy.toContinuousMap (f₀ := (toLoop i p).toContinuousMap) (f₁ :=
                    (toLoop i q).toContinuousMap)
                    {
                      toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                        Subtype.mk (p := fun (x_3 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                          Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                            (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_3)
                          ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X))
                            t)
                          sorry,
                      continuous_toFun := sorry, map_zero_left := sorry, map_one_left := sorry })
                  (t, x_2),
              continuous_toFun := sorry } :
            (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
          x_1 :
        (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
      (((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
        (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨⟨fun t ↦ ⟨homotopyTo i H t, ?_⟩, ?_⟩, ?_, ?_⟩, ?_⟩