awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
hxd' : ∀ (i : ι'), 0 < dv i
a : ℕ
ai : ι' → ℕ
hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d
H₀ : (a - ∑ i : ι', dv i * (ai i / d)) • d = ∑ k : ι', (ai k % d) • dv k
H :
  Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ =
    HMul.hMul (α := Away 𝒜 f) (Away.mk 𝒜 hf (a - ∑ i : ι', dv i * (ai i / d)) (∏ i : ι', v i ^ (ai i % d)) ⋯)
      (∏ i : ι', HPow.hPow (α := Away 𝒜 f) (isLocalizationElem hf ⋯) (ai i / d))
hy :
  ∀ (j : ι'),
    Membership.mem (γ := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      (HPow.hPow (α := Away 𝒜 f) (isLocalizationElem hf ⋯) (ai j / d))
hy₁ :
  ∀ (j : ι'),
    Membership.mem (γ := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      (isLocalizationElem hf ⋯)
hy₂ :
  ∀ (j : ι'),
    Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
      (isLocalizationElem hf ⋯)
hy₃ : ∀ (j : ι'), ∑ i : ι', HSMul.hSMul (α := ℕ) (Pi.single (M := fun (a : ι') ↦ ℕ) j d i : ℕ) (dv i) = dv j • d
⊢ ∀ (c : ι'),
    Membership.mem (γ := Finset ι') Finset.univ c →
      Membership.mem (γ := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
        (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
          {x : Away 𝒜 f |
            ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
              Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
        (HPow.hPow (α := Away 𝒜 f) (isLocalizationElem hf ⋯) (ai c / d))
have hy₄ : ∀ (j i : ι'), Pi.single (M := fun (a : ι') ↦ ℕ) j d i ≤ d
Tactic: classical
    rintro j -
    apply pow_mem
    apply Algebra.subset_adjoin
    refine ⟨dv j, Pi.single j d, ?_, ?_, ?_⟩
    · simp [Pi.single_apply, mul_comm]
    · aesop (add simp Pi.single_apply)
    ext
    simp [Pi.single_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
hxd' : ∀ (i : ι'), 0 < dv i
a : ℕ
ai : ι' → ℕ
hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d
H₀ : (a - ∑ i : ι', dv i * (ai i / d)) • d = ∑ k : ι', (ai k % d) • dv k
H :
  Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ =
    HMul.hMul (α := Away 𝒜 f) (Away.mk 𝒜 hf (a - ∑ i : ι', dv i * (ai i / d)) (∏ i : ι', v i ^ (ai i % d)) ⋯)
      (∏ i : ι', HPow.hPow (α := Away 𝒜 f) (isLocalizationElem hf ⋯) (ai i / d))
hy :
  ∀ (j : ι'),
    Membership.mem (γ := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      (HPow.hPow (α := Away 𝒜 f) (isLocalizationElem hf ⋯) (ai j / d))
hy₁ :
  ∀ (j : ι'),
    Membership.mem (γ := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      (isLocalizationElem hf ⋯)
hy₂ :
  ∀ (j : ι'),
    Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
      (isLocalizationElem hf ⋯)
hy₃ : ∀ (j : ι'), ∑ i : ι', HSMul.hSMul (α := ℕ) (Pi.single (M := fun (a : ι') ↦ ℕ) j d i : ℕ) (dv i) = dv j • d
hy₄ : ∀ (j i : ι'), Pi.single (M := fun (a : ι') ↦ ℕ) j d i ≤ d
⊢ ∀ (c : ι'),
    Membership.mem (γ := Finset ι') Finset.univ c →
      Membership.mem (γ := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
        (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
          {x : Away 𝒜 f |
            ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
              Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
        (HPow.hPow (α := Away 𝒜 f) (isLocalizationElem hf ⋯) (ai c / d))
have hy₅ : ∀ (j : ι'),
  Eq (α := Away 𝒜 f)
    (Away.mk 𝒜 hf (dv j) (∏ i : ι', HPow.hPow (β := ℕ) (v i) (Pi.single (M := fun (a : ι') ↦ ℕ) j d i : ℕ)) sorry)
    (isLocalizationElem hf sorry)
Tactic: classical
    rintro j -
    apply pow_mem
    apply Algebra.subset_adjoin
    refine ⟨dv j, Pi.single j d, ?_, ?_, ?_⟩
    · simp [Pi.single_apply, mul_comm]
    · aesop (add simp Pi.single_apply)
    ext
    simp [Pi.single_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
have refine_2 : ∀
  (this :
    Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
            ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) sorry = x})
      ⊤),
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) sorry = x})
    ⊤
Tactic: have := Away.adjoin_mk_prod_pow_eq_top_of_pos hf (ι' := s) (v ∘ Subtype.val) ?_
    (dv ∘ Subtype.val) (fun _ ↦ hxd _) (by simp [s])
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
refine_2 :
  ∀
    (this :
      Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
        (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
          {x : Away 𝒜 f |
            ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_
              : ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
              Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
        ⊤),
    Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
      ⊤
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
have refine_1 : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A)
  (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) ⊤
Tactic: have := Away.adjoin_mk_prod_pow_eq_top_of_pos hf (ι' := s) (v ∘ Subtype.val) ?_
    (dv ∘ Subtype.val) (fun _ ↦ hxd _) (by simp [s])
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
⊢ Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A)
    (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) ⊤
have refine_1 : ∀ (y : ι'),
  v y ∈ (↑(Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) : Set A)
Tactic: rw [← top_le_iff, ← hx, Algebra.adjoin_le_iff, Set.range_subset_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
i : ι'
⊢ v i ∈ (↑(Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) : Set A)
have refine_1 : ∀ (hi : dv i = 0),
  v i ∈ (↑(Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) : Set A)
Tactic: rcases (dv i).eq_zero_or_pos with hi | hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
i : ι'
refine_1 :
  ∀ (hi : dv i = 0),
    v i ∈ (↑(Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) : Set A)
⊢ v i ∈ (↑(Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) : Set A)
have refine_1₁ : ∀ (hi : dv i > 0),
  v i ∈ (↑(Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range (ι := ↥s) (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)))) : Set A)
Tactic: rcases (dv i).eq_zero_or_pos with hi | hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
have refine_2 : LE.le.{u_2} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
  (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
        ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) sorry = x})
  (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
        Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) sorry = x})
Tactic: rw [← top_le_iff, ← this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
⊢ LE.le.{u_2} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
have refine_2 : Subset.{u_2} (α := Set (Away 𝒜 f))
  {x : Away 𝒜 f |
    ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
      ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d), Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) sorry = x}
  {x : Away 𝒜 f |
    ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
      Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) sorry = x}
Tactic: apply Algebra.adjoin_mono
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
a : ℕ
ai : ↥s → ℕ
hai : ∑ x ∈ s.attach, ai x • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) x = a • d
h : ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d
⊢ Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
        Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
    (Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯)
have refine_2 : ∑ i : ι',
    HSMul.hSMul (α := ℕ)
      ((fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i) (dv i) =
  a • d
Tactic: refine ⟨a, fun i ↦ if hi : i ∈ s then ai ⟨i, hi⟩ else 0, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
a : ℕ
ai : ↥s → ℕ
hai : ∑ x ∈ s.attach, ai x • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) x = a • d
h : ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d
refine_2 :
  ∑ i : ι',
      HSMul.hSMul (α := ℕ)
        ((fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i) (dv i) =
    a • d
⊢ Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
        Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
    (Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯)
have refine_2₁ : ∀ (i : ι'), (fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i ≤ d
Tactic: refine ⟨a, fun i ↦ if hi : i ∈ s then ai ⟨i, hi⟩ else 0, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
a : ℕ
ai : ↥s → ℕ
hai : ∑ x ∈ s.attach, ai x • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) x = a • d
h : ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d
refine_2 :
  ∑ i : ι',
      HSMul.hSMul (α := ℕ)
        ((fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i) (dv i) =
    a • d
refine_2₁ :
  ∀ (i : ι'), (fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i ≤ d
⊢ Membership.mem (γ := Set (Away 𝒜 f))
    {x : Away 𝒜 f |
      ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
        Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x}
    (Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯)
have refine_2₂ : Eq (α := Away 𝒜 f)
  (Away.mk 𝒜 hf a
    (∏ i : ι',
      HPow.hPow (β := ℕ) (v i)
        ((fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i))
    sorry)
  (Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) sorry)
Tactic: refine ⟨a, fun i ↦ if hi : i ∈ s then ai ⟨i, hi⟩ else 0, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x}
this :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
          ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
a : ℕ
ai : ↥s → ℕ
hai : ∑ x ∈ s.attach, ai x • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) x = a • d
h : ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d
⊢ Eq (α := Away 𝒜 f)
    (Away.mk 𝒜 hf a
      (∏ i : ι',
        HPow.hPow (β := ℕ) (v i)
          ((fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i))
      ⋯)
    (Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) ⋯)
have refine_2 : Eq.{u_2 + 1} (α := A)
  (∏ i : ι',
    HPow.hPow (β := ℕ) (v i)
      ((fun (i : ι') ↦ (if hi : i ∈ s then ai (Subtype.mk (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s) i hi) else 0 : ℕ)) i))
  (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i)
Tactic: congr 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.GradedAlgebra.HomogeneousLocalization (goal)
Goal:
A : Type u_2
σ : Type u_3
inst : CommRing A
inst_1 : SetLike σ A
inst_2 : AddSubgroupClass σ A
𝒜 : ℕ → σ
inst_3 : GradedRing 𝒜
f : A
d : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 d
ι' : Type u_4
inst_4 : Fintype ι'
v : ι' → A
hx : Eq (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) A) (Algebra.adjoin (↥(𝒜 0)) (Set.range v)) ⊤
dv : ι' → ℕ
hxd : ∀ (i : ι'), v i ∈ 𝒜 (dv i)
let let₁ let₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) ⋯ = x})
    ⊤
have refine_2 : let s : Finset ι' := {x : ι' | 0 < dv x};
∀
  (this :
    Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
      (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
        {x : Away 𝒜 f |
          ∃ (a : ℕ) (ai : ↥s → ℕ) (hai : ∑ i : ↥s, ai i • (dv ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i = a • d) (_ :
            ∀ (i : ↥s), ai i ≤ d),
            Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ↥s, (v ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι') ↦ x ∈ s)) i ^ ai i) sorry = x})
      ⊤),
  Eq.{u_2 + 1} (α := Subalgebra (↥(𝒜 0)) (Away 𝒜 f))
    (Algebra.adjoin ↥(𝒜 0)
      {x : Away 𝒜 f |
        ∃ (a : ℕ) (ai : ι' → ℕ) (hai : ∑ i : ι', ai i • dv i = a • d) (_ : ∀ (i : ι'), ai i ≤ d),
          Away.mk 𝒜 hf a (∏ i : ι', v i ^ ai i) sorry = x})
    ⊤
Tactic: classical
  let s := Finset.univ.filter (0 < dv ·)
  have := Away.adjoin_mk_prod_pow_eq_top_of_pos hf (ι' := s) (v ∘ Subtype.val) ?_
    (dv ∘ Subtype.val) (fun _ ↦ hxd _) (by simp [s])
  swap
  · rw [← top_le_iff, ← hx, Algebra.adjoin_le_iff, Set.range_subset_iff]
    intro i
    rcases (dv i).eq_zero_or_pos with hi | hi
    · exact algebraMap_mem (R := 𝒜 0) _ ⟨v i, hi ▸ hxd i⟩
    exact Algebra.subset_adjoin ⟨⟨i, by simpa [s] using hi⟩, rfl⟩
  rw [← top_le_iff, ← this]
  apply Algebra.adjoin_mono
  rintro _ ⟨a, ai, hai : ∑ x ∈ s.attach, _ = _, h, rfl⟩
  refine ⟨a, fun i ↦ if hi : i ∈ s then ai ⟨i, hi⟩ else 0, ?_, ?_, ?_⟩
  · simpa [Finset.sum_attach_eq_sum_dite] using hai
  · simp [apply_dite, dite_apply, h]
  · congr 1
    change _ = ∏ x ∈ s.attach, _
    simp [Finset.prod_attach_eq_prod_dite]