awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v : V x
w₁ w₂ : V' x
⊢ Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (w₁ + w₂)) =
    Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') w₁) + Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') w₂)
have rw : Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (w₁ + w₂)) =
  Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') w₁ + extend F' (E := V') w₂)
Tactic: rw [← (hΦ₂ _ (mdifferentiableAt_extend ..)).add (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v : V x
w₁ w₂ : V' x
⊢ Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (w₁ + w₂)) =
    Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') w₁ + extend F' (E := V') w₂)
have hσσ' : extend F (E := V) v x = extend F (E := V) v x
Tactic: apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_add_section (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
v : V x
w₁ w₂ : V' x
hσσ' : extend F (E := V) v x = extend F (E := V) v x
⊢ Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (w₁ + w₂)) =
    Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') w₁ + extend F' (E := V') w₂)
have hττ' : extend F' (E := V') (w₁ + w₂) x = (extend F' (E := V') w₁ + extend F' (E := V') w₂) x
Tactic: apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_add_section (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
⊢ Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (c • w)) = c • Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') w)
have rw : Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (c • w)) =
  Φ (extend F (E := V) v) (HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F' (E := V') w))
Tactic: rw [← (hΦ₂ _ (mdifferentiableAt_extend ..)).smul (f := fun _ ↦ c) (mdifferentiable_const ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
⊢ Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (c • w)) =
    Φ (extend F (E := V) v) (HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F' (E := V') w))
have hσσ' : extend F (E := V) v x = extend F (E := V) v x
Tactic: apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_const.smul_section (mdifferentiableAt_extend ..)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
Φ_1 : ((x : M) → V x) → A
x_1 : M
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
inst_29 : TopologicalSpace A
inst_30 : IsTopologicalAddGroup A
inst_31 : ContinuousSMul 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ : ∀ (σ : (x : M) → V x), MDiffAt (T% σ) x → TensorialAt I F' (V := V') (Φ σ) x
this_1 : T2Space.{u_6} (V x)
this_2 : FiniteDimensional.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this_3 : T2Space.{u_8} (V' x)
this_4 : FiniteDimensional.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
this_5 : IsTopologicalAddGroup.{u_6} (V x)
this_6 : IsTopologicalAddGroup.{u_8} (V' x)
this_7 : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
this : ∀ (x : M), ContinuousSMul.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
c : 𝕜
v : V x
w : V' x
hσσ' : extend F (E := V) v x = extend F (E := V) v x
⊢ Φ (extend F (E := V) v) (extend F' (E := V') (c • w)) =
    Φ (extend F (E := V) v) (HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F' (E := V') w))
have hττ' : extend F' (E := V') (c • w) x = HSMul.hSMul (α := M → 𝕜) (fun (x : M) ↦ c) (extend F' (E := V') w) x
Tactic: apply TensorialAt.pointwise₂ hΦ₁ hΦ₂ (mdifferentiableAt_extend ..)
        (mdifferentiableAt_extend ..) (mdifferentiableAt_extend ..) <|
        mdifferentiableAt_const.smul_section (mdifferentiableAt_extend ..)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
V W : (x : E) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) x
s : Set E
⊢ mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) V W s = lieBracketWithin 𝕜 V W s
have h : ∀ (x : E), mlieBracketWithin 𝓘(𝕜, E) V W s x = lieBracketWithin 𝕜 V W s x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
⊢ Eq (α := TangentSpace I x)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) → TangentSpace I x)
        (lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E)))
          (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) W (range (↑I : H → E)))
          ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
      TangentSpace I x)
    (0 : TangentSpace I x)
have rw : Eq (α := TangentSpace I x)
  ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
        (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) → TangentSpace I x)
      0 :
    TangentSpace I x)
  (0 : TangentSpace I x)
Tactic: rw [lieBracketWithin_eq_zero_of_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
rw :
  Eq (α := TangentSpace I x)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) → TangentSpace I x)
        0 :
      TangentSpace I x)
    (0 : TangentSpace I x)
⊢ Eq (α := TangentSpace I x)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) → TangentSpace I x)
        (lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E)))
          (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) W (range (↑I : H → E)))
          ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
      TangentSpace I x)
    (0 : TangentSpace I x)
have hV₁ : Eq (α := E)
  (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
    TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
  0
Tactic: rw [lieBracketWithin_eq_zero_of_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
rw :
  Eq (α := TangentSpace I x)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) → TangentSpace I x)
        0 :
      TangentSpace I x)
    (0 : TangentSpace I x)
hV₁ :
  Eq (α := E)
    (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    0
⊢ Eq (α := TangentSpace I x)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) → TangentSpace I x)
        (lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) V (range (↑I : H → E)))
          (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) W (range (↑I : H → E)))
          ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
      TangentSpace I x)
    (0 : TangentSpace I x)
have hW₁ : Eq (α := E)
  (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) W (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) :
    TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
  0
Tactic: rw [lieBracketWithin_eq_zero_of_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
⊢ Eq (α := E)
    ((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
              ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
          (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
        (V ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    0
have this : (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = x
Tactic: have : (extChartAt I x).symm ((extChartAt I x) x) = x := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
this : (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = x
⊢ Eq (α := E)
    ((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
              ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
          (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
        (V ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    0
have hV₁ : Eq (α := E)
  (((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
              ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
          TangentSpace I x →L[𝕜] TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
        (a : TangentSpace I x) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
      0 :
    TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
  0
Tactic: rw [this, hV]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
s : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
hV : V x = 0
hW : W x = 0
⊢ Eq (α := E)
    ((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
              ((↑(extChartAt I x) : M → E) x)) :
          (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
        (W ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x))
    0
have this : (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) = x
Tactic: have : (extChartAt I x).symm ((extChartAt I x) x) = x := by simp