awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
a b : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯ ⊔ F⟮b⟯
this_1 : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮b⟯
ha : a ∈ E
hb : b ∈ E
hab : a + b ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
b' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) b hb
ab' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (a + b) hab
rw : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F K b
rw₁ : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₂ : normalizedTraceAux F (↥E) ab' = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₃ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      normalizedTraceAux F (↥E) b'
⊢ normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F K a + normalizedTraceAux F K b
have rw₄ : normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K b',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ab',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F b',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ab',
      ← smul_add, ← map_add, AddMemClass.mk_add_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
a b : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯ ⊔ F⟮b⟯
this_1 : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮b⟯
ha : a ∈ E
hb : b ∈ E
hab : a + b ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
b' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) b hb
ab' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (a + b) hab
rw : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F K b
rw₁ : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₂ : normalizedTraceAux F (↥E) ab' = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₃ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₄ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
⊢ normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F K a + normalizedTraceAux F K b
have rw₅ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K b',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ab',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F b',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ab',
      ← smul_add, ← map_add, AddMemClass.mk_add_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
a b : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯ ⊔ F⟮b⟯
this_1 : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮b⟯
ha : a ∈ E
hb : b ∈ E
hab : a + b ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
b' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) b hb
ab' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (a + b) hab
rw : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F K b
rw₁ : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₂ : normalizedTraceAux F (↥E) ab' = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₃ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₄ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
rw₅ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
⊢ normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F K a + normalizedTraceAux F K b
have rw₆ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
    (HAdd.hAdd (α := F) (β := F) ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F))
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K b',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ab',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F b',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ab',
      ← smul_add, ← map_add, AddMemClass.mk_add_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
a b : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯ ⊔ F⟮b⟯
this_1 : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮b⟯
ha : a ∈ E
hb : b ∈ E
hab : a + b ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
b' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) b hb
ab' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (a + b) hab
rw : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F K b
rw₁ : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₂ : normalizedTraceAux F (↥E) ab' = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₃ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₄ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
rw₅ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
rw₆ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
      (HAdd.hAdd (α := F) (β := F) ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F))
⊢ normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F K a + normalizedTraceAux F K b
have rw₇ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) (a' + b') : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K b',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ab',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F b',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ab',
      ← smul_add, ← map_add, AddMemClass.mk_add_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
a b : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯ ⊔ F⟮b⟯
this_1 : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮b⟯
ha : a ∈ E
hb : b ∈ E
hab : a + b ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
b' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) b hb
ab' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (a + b) hab
rw : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F K b
rw₁ : normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₂ : normalizedTraceAux F (↥E) ab' = normalizedTraceAux F (↥E) a' + normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₃ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      normalizedTraceAux F (↥E) b'
rw₄ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ab' =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
rw₅ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) +
      HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F)
rw₆ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
      (HAdd.hAdd (α := F) (β := F) ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F) ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) b' : F))
rw₇ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) (a' + b') : F)
⊢ normalizedTraceAux F K (a + b) = normalizedTraceAux F K a + normalizedTraceAux F K b
have rw₈ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ab' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
    ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (a + b) sorry) : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K b',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ab',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F b',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ab',
      ← smul_add, ← map_add, AddMemClass.mk_add_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = HSMul.hSMul (α := F) ((RingHom.id F : (a : F) → F) m : F) (normalizedTraceAux F K a)
have dsimp : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
Tactic: dsimp only [AddHom.toFun_eq_coe, AddHom.coe_mk, RingHom.id_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
Tactic: have : FiniteDimensional F F⟮a⟯ := adjoin.finiteDimensional (IsIntegral.isIntegral a)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have ha : a ∈ E
Tactic: have ha : a ∈ E := mem_adjoin_simple_self F a
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have hma : m • a ∈ E
Tactic: have hma : m • a ∈ E := smul_mem E ha
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw₁ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₁ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw₂ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' =
  m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₁ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₂ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ma' =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw₃ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
  m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₁ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₂ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ma' =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
rw₃ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw₄ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
    (HSMul.hSMul (β := F) m ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F))
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₁ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₂ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ma' =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
rw₃ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
rw₄ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
      (HSMul.hSMul (β := F) m ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F))
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw₅ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) (m • a') : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Algebra F K
inst_3 : CharZero F
inst_4 : Algebra.IsIntegral F K
m : F
a : K
E : IntermediateField F K := F⟮a⟯
this : FiniteDimensional.{u_1, u_2} F ↥F⟮a⟯
ha : a ∈ E
hma : m • a ∈ E
a' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) a ha
ma' : ↥E := Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) hma
rw : normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₁ : normalizedTraceAux F (↥E) ma' = m • normalizedTraceAux F (↥E) a'
rw₂ :
  normalizedTraceAux F (↥E) ma' =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
rw₃ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
    m • HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F)
rw₄ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
      (HSMul.hSMul (β := F) m ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) a' : F))
rw₅ :
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
    HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) (m • a') : F)
⊢ normalizedTraceAux F K (m • a) = m • normalizedTraceAux F K a
have rw₆ : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹ ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) ma' : F) =
  HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank.{u_1, u_2} F ↥E) : F)⁻¹
    ((trace F ↥E : (a : ↥E) → F) (Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ E) (m • a) sorry) : F)
Tactic: rw [normalizedTraceAux_intermediateField F K a',
      normalizedTraceAux_intermediateField F K ma',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a',
      normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F ma',
      smul_comm, ← map_smul _ m, SetLike.mk_smul_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
inst : Field F
inst_1 : CharZero F
a : F
⊢ (normalizedTrace F F : (a : F) → F) a = a
have dsimp : normalizedTraceAux F F a = a
Tactic: dsimp [normalizedTrace]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.NormalizedTrace (goal)
Goal:
F : Type u_1
inst : Field F
inst_1 : CharZero F
a : F
⊢ normalizedTraceAux F F a = a
have rw : HSMul.hSMul (α := F) (β := F) (↑(Module.finrank F F) : F)⁻¹ ((trace F F : (a : F) → F) a : F) = a
Tactic: rw [normalizedTraceAux_eq_of_finiteDimensional F a, Module.finrank_self F,
    Nat.cast_one, inv_one, one_smul, trace_self_apply]