awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this_4 : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
this : ∀ (n : ℕ), ∃ (g : M → ℝ), support g = v n ∧ ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g ∧ range g ⊆ Icc 0 1 ∧ ∀ x ∈ s, g x = 1
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := F) 0 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ)
have choose : ∀ (g : (n : ℕ) → M → ℝ) (g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n) (g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n))
  (g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1) (hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1),
  Eq.{u_2 + 1} (α := F) 0 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ)
Tactic: choose g g_supp g_diff g_range hg using this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M) in s, f x ∂μ))
have rw : Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M), s.indicator f x ∂μ))
Tactic: rw [← integral_indicator hs.measurableSet]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M), s.indicator f x ∂μ))
have A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
Tactic: have A : ∀ n, AEStronglyMeasurable (fun x ↦ g n x • f x) μ :=
      fun n ↦ (g_diff n).continuous.aestronglyMeasurable.smul hf.aestronglyMeasurable
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
⊢ Integrable bound μ
have rw : IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : M) ↦ ‖f x‖) K μ
Tactic: rw [integrable_indicator_iff K_compact.measurableSet]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := F) (fun (n : ℕ) ↦ ∫ (x : M), g n x • f x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : M), s.indicator f x ∂μ))
have B : Integrable bound μ
Tactic: have B : Integrable bound μ := by
      rw [integrable_indicator_iff K_compact.measurableSet]
      exact (hf.integrableOn_isCompact K_compact).norm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
⊢ ∀ᵐ (x : M) ∂μ, ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
have h₁ : ∀ (x : M), ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
Tactic: filter_upwards with x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
⊢ ‖g n x • f x‖ ≤ bound x
have h₁ : ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ bound x
Tactic: rw [norm_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
⊢ ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ bound x
have h₁ : x ∈ K → ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ ‖f x‖
Tactic: refine le_indicator_apply (fun _ ↦ ?_) (fun hxK ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
h₁ : x ∈ K → ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ ‖f x‖
⊢ ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ bound x
have h₂ : ∀ (hxK : x ∉ K), ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ 0
Tactic: refine le_indicator_apply (fun _ ↦ ?_) (fun hxK ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
h_1 : x ∈ K
⊢ ‖g n x‖ ≤ 1
have this₁ : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) (g n x)
Tactic: have := g_range n (mem_range_self (f := g n) x)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this_4 : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
h_1 : x ∈ K
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) (g n x)
⊢ ‖g n x‖ ≤ 1
have rw : g n x ≤ 1
Tactic: rw [Real.norm_of_nonneg this.1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
h_1 : x ∈ K
⊢ ‖g n x‖ * ‖f x‖ ≤ ‖f x‖
have this₁ : ‖g n x‖ ≤ 1
Tactic: have : ‖g n x‖ ≤ 1 := by
          have := g_range n (mem_range_self (f := g n) x)
          rw [Real.norm_of_nonneg this.1]
          exact this.2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
hxK : x ∉ K
⊢ g n x = 0
have rw : x ∉ v n
Tactic: rw [← notMem_support, g_supp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Distribution.AEEqOfIntegralContDiff (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace ℝ F
inst_5 : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace H M
inst_9 : IsManifold I ∞ M
inst_10 : MeasurableSpace M
inst_11 : BorelSpace M
inst_12 : T2Space M
f : M → F
μ : Measure M
inst_13 : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → Eq.{u_2 + 1} (α := F) (∫ (x : M), g x • f x ∂μ) 0
this_1 : LocallyCompactSpace H
this_2 : LocallyCompactSpace M
this_3 : SecondCountableTopology H
this : SecondCountableTopology M
x_1 : MetricSpace M := metrizableSpaceMetric M
s : Set M
hs : IsCompact s
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : IsCompact (cthickening δ s)
u : ℕ → ℝ
u_pos : ∀ (n : ℕ), u n ∈ Ioo 0 δ
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
v : ℕ → Set M := fun (n : ℕ) ↦ thickening (u n) s
K : Set M
K_compact : IsCompact K
vK : ∀ (n : ℕ), v n ⊆ K
g : (n : ℕ) → M → ℝ
g_supp : ∀ (n : ℕ), support (g n) = v n
g_diff : ∀ (n : ℕ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ (g n)
g_range : ∀ (n : ℕ), range (g n) ⊆ Icc 0 1
hg : ∀ (n : ℕ), ∀ x ∈ s, g n x = 1
bound : M → ℝ := K.indicator fun (x : M) ↦ ‖f x‖
A : ∀ (n : ℕ), AEStronglyMeasurable.{u_4, u_2} (β := F) (fun (x : M) ↦ g n x • f x) μ
B : Integrable bound μ
n : ℕ
x : M
hxK : x ∉ K
⊢ x ∉ v n
have contrapose : ∀ (hxK : x ∈ v n), x ∈ K
Tactic: contrapose hxK
Cleared hypotheses: hxK