-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
h : MkCore
i j k : h.J
⊢ ofHom
        {
          toFun :=
            fun
              (x :
                { p :
                  (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) : Type u) ×
                    (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i k)) : Type u) //
                  Eq (α := (↑(h.U i) : Type u))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                            carrier) (h.V i j).inclusion' :
                          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                        p.1 :
                      (↑(h.U i) : Type u))
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                            carrier) (h.V i k).inclusion' :
                          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                        p.2 :
                      (↑(h.U i) : Type u)) }) ↦
            Subtype.mk (p :=
              fun
                (p :
                  (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j k)) : Type u) ×
                    (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i)) : Type u)) ↦
              Eq (α := (↑(h.U j) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        (h.V j k).inclusion' :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j k)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                    p.1 :
                  (↑(h.U j) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        (h.V j i).inclusion' :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                    p.2 :
                  (↑(h.U j) : Type u)))
              (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U j) : Type u)) ↦ x ∈ h.V j k)
                  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                            carrier) (h.t i j) :
                          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) →
                            (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u))
                        (↑x :
                            (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u) ×
                              (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)).1) :
                    (↑(h.U j) : Type u))
                  ⋯,
                (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                      (h.t i j) :
                    (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) →
                      (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u))
                  (↑x :
                      (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u) ×
                        (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)).1)
              ⋯,
          continuous_toFun := ⋯ :
          C({ p :
              (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) : Type u) ×
                (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i k)) : Type u) //
              Eq (α := (↑(h.U i) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        (h.V i j).inclusion' :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                    p.1 :
                  (↑(h.U i) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        (h.V i k).inclusion' :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                    p.2 :
                  (↑(h.U i) : Type u)) },
            { p :
              (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j k)) : Type u) ×
                (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i)) : Type u) //
              Eq (α := (↑(h.U j) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        (h.V j k).inclusion' :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j k)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                    p.1 :
                  (↑(h.U j) : Type u))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                        (h.V j i).inclusion' :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                    p.2 :
                  (↑(h.U j) : Type u)) }) } ≫
      pullbackSnd (h.V j k).inclusion' (h.V j i).inclusion' =
    pullbackFst (h.V i j).inclusion' (h.V i k).inclusion' ≫ h.t i j
have w : ∀ (x : (↑(h.U i) : Type u)) (hx : x ∈ h.V i j) (hx' : x ∈ h.V i k),
  Eq (α :=
    (↑(Functor.obj (C := Opens (↑(h.U (j, i).1) : Type u)) (Opens.toTopCat (h.U (j, i).1)) (h.V (j, i).1 (j, i).2)) :
      Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (ofHom
                {
                  toFun :=
                    fun
                      (x :
                        { p :
                          (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) : Type u) ×
                            (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i k)) : Type u) //
                          Eq (α := (↑(h.U i) : Type u))
                            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) (h.V i j).inclusion' :
                                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                                p.1 :
                              (↑(h.U i) : Type u))
                            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) (h.V i k).inclusion' :
                                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                                p.2 :
                              (↑(h.U i) : Type u)) }) ↦
                    Subtype.mk (p :=
                      fun
                        (p :
                          (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j k)) : Type u) ×
                            (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i)) : Type u)) ↦
                      Eq (α := (↑(h.U j) : Type u))
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                                carrier) (h.V j k).inclusion' :
                              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j k)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                            p.1 :
                          (↑(h.U j) : Type u))
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                                carrier) (h.V j i).inclusion' :
                              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                            p.2 :
                          (↑(h.U j) : Type u)))
                      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U j) : Type u)) ↦ x ∈ h.V j k)
                          (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
                                    (CC := carrier) (h.t i j) :
                                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) →
                                    (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u))
                                (↑x :
                                    (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u) ×
                                      (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)).1) :
                            (↑(h.U j) : Type u))
                          sorry,
                        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                              carrier) (h.t i j) :
                            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) →
                              (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u))
                          (↑x :
                              (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u) ×
                                (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)).1)
                      sorry,
                  continuous_toFun := sorry :
                  C({ p :
                      (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) : Type u) ×
                        (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i k)) : Type u) //
                      Eq (α := (↑(h.U i) : Type u))
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                                carrier) (h.V i j).inclusion' :
                              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                            p.1 :
                          (↑(h.U i) : Type u))
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                                carrier) (h.V i k).inclusion' :
                              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                            p.2 :
                          (↑(h.U i) : Type u)) },
                    { p :
                      (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j k)) : Type u) ×
                        (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i)) : Type u) //
                      Eq (α := (↑(h.U j) : Type u))
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                                carrier) (h.V j k).inclusion' :
                              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j k)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                            p.1 :
                          (↑(h.U j) : Type u))
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC :=
                                carrier) (h.V j i).inclusion' :
                              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u)) → (↑(h.U j) : Type u))
                            p.2 :
                          (↑(h.U j) : Type u)) }) } ≫
              pullbackSnd (h.V j k).inclusion' (h.V j i).inclusion') :
          (a :
              (↑(of
                    { p :
                      (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u) ×
                        (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u) //
                      (ConcreteCategory.hom (h.V i j).inclusion' :
                            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                          p.1 =
                        (ConcreteCategory.hom (h.V i k).inclusion' :
                            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                          p.2 }) :
                Type u)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U (j, i).1)).obj (h.V (j, i).1 (j, i).2)) : Type u))
        (Subtype.mk (p :=
          fun
            (p :
              (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) : Type u) ×
                (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i k)) : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑(h.U i) : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                    (h.V i j).inclusion' :
                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                p.1 :
              (↑(h.U i) : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                    (h.V i k).inclusion' :
                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                p.2 :
              (↑(h.U i) : Type u)))
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u)) ↦ x ∈ h.V i j) x hx,
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u)) ↦ x ∈ h.V i k) x hx')
          sorry) :
      (↑(Functor.obj (C := Opens (↑(h.U (j, i).1) : Type u)) (Opens.toTopCat (h.U (j, i).1)) (h.V (j, i).1 (j, i).2)) :
        Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (pullbackFst (h.V i j).inclusion' (h.V i k).inclusion' ≫ h.t i j) :
          (a :
              (↑(of
                    { p :
                      (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u) ×
                        (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u) //
                      (ConcreteCategory.hom (h.V i j).inclusion' :
                            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                          p.1 =
                        (ConcreteCategory.hom (h.V i k).inclusion' :
                            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                          p.2 }) :
                Type u)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U (j, i).1)).obj (h.V (j, i).1 (j, i).2)) : Type u))
        (Subtype.mk (p :=
          fun
            (p :
              (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) : Type u) ×
                (↑(Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i k)) : Type u)) ↦
          Eq (α := (↑(h.U i) : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                    (h.V i j).inclusion' :
                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                p.1 :
              (↑(h.U i) : Type u))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                    (h.V i k).inclusion' :
                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i k)) : Type u)) → (↑(h.U i) : Type u))
                p.2 :
              (↑(h.U i) : Type u)))
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u)) ↦ x ∈ h.V i j) x hx,
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u)) ↦ x ∈ h.V i k) x hx')
          sorry) :
      (↑(Functor.obj (C := Opens (↑(h.U (j, i).1) : Type u)) (Opens.toTopCat (h.U (j, i).1)) (h.V (j, i).1 (j, i).2)) :
        Type u))
Tactic: ext ⟨⟨⟨x, hx⟩, ⟨x', hx'⟩⟩, rfl : x = x'⟩