awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A_1 : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A_1)
N_mem : N ∈ univ \ A_1
Inf_eq_N : sInf (univ \ A_1) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a b : Fin N.succ
a_ne_b : a ≠ b
G_le : G (↑a : ℕ) ≤ G (↑b : ℕ)
H : G (↑a : ℕ) = G (↑b : ℕ)
A : (↑a : ℕ) ≠ (↑b : ℕ)
⊢ G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ)
have A₁ : p.color (G (↑b : ℕ)) ≠ p.color (G (↑b : ℕ))
Tactic: rw [← color_G a (Nat.lt_succ_iff.1 a.2), ← color_G b (Nat.lt_succ_iff.1 b.2), H] at A
Cleared hypotheses: A
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a b : Fin N.succ
a_ne_b : a ≠ b
G_le : G (↑a : ℕ) ≤ G (↑b : ℕ)
⊢ p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
      p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ∨
    p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) ∧
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑b : ℕ)))
have G_lt : G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ)
Tactic: have G_lt : G a < G b := by
          rcases G_le.lt_or_eq with (H | H); · exact H
          have A : (a : ℕ) ≠ b := Fin.val_injective.ne a_ne_b
          rw [← color_G a (Nat.lt_succ_iff.1 a.2), ← color_G b (Nat.lt_succ_iff.1 b.2), H] at A
          exact (A rfl).elim
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a : Fin (N + 1)
ha : a < last N
⊢ p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))) ∧
    p.r (p.index (G (↑(last N) : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
have I : (↑a : ℕ) < N
Tactic: have I : (a : ℕ) < N := ha
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a : Fin (N + 1)
ha : a < last N
I : (↑a : ℕ) < N
⊢ p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))) ∧
    p.r (p.index (G (↑(last N) : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
have this : G (↑a : ℕ) < G (↑(last N) : ℕ)
Tactic: have : G a < G (Fin.last N) := by simp [G, I.ne, (hg a I).1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a : Fin (N + 1)
ha : a < last N
⊢ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))) ≤
    p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) + p.r (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))
have I : (↑a : ℕ) < N
Tactic: have I : (a : ℕ) < N := ha
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a : Fin (N + 1)
ha : a < last N
I : (↑a : ℕ) < N
⊢ G (↑(last N) : ℕ) = i
have dsimp : G N = i
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a : Fin (N + 1)
ha : a < last N
I : (↑a : ℕ) < N
⊢ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))) ≤
    p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) + p.r (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))
have J : G (↑(last N) : ℕ) = i
Tactic: have J : G (Fin.last N) = i := by dsimp; simp only [G, if_true]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
inst_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α
N : ℕ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N p.τ)
i : Ordinal.{u}
IH : ∀ y < i, ∀ (hi : y < p.lastStep), p.color y < N
hi : i < p.lastStep
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < i }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_i : p.color i = sInf (univ \ A)
N_mem : N ∈ univ \ A
Inf_eq_N : sInf (univ \ A) = N
g : (k : ℕ) → Ordinal.{u}
hg :
  ∀ k < N,
    g k < i ∧
      (closedBall (p.c (p.index (g k))) (p.r (p.index (g k))) ∩
            closedBall (p.c (p.index i)) (p.r (p.index i))).Nonempty ∧
        k = p.color (g k)
G : ℕ → Ordinal.{u} := fun (n : ℕ) ↦ if n = N then i else g n
color_G : ∀ n ≤ N, p.color (G n) = n
G_lt_last : ∀ n ≤ N, G n < p.lastStep
fGn : ∀ n ≤ N, p.c (p.index (G n)) ∉ p.iUnionUpTo (G n) ∧ p.R (G n) ≤ p.τ * p.r (p.index (G n))
Gab :
  ∀ (a b : Fin N.succ),
    G (↑a : ℕ) < G (↑b : ℕ) →
      p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) ≤ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑b : ℕ)))) ∧
        p.r (p.index (G (↑b : ℕ))) ≤ p.τ * p.r (p.index (G (↑a : ℕ)))
a : Fin (N + 1)
ha : a < last N
I : (↑a : ℕ) < N
J : G (↑(last N) : ℕ) = i
⊢ dist (p.c (p.index (G (↑a : ℕ)))) (p.c (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))) ≤
    p.r (p.index (G (↑a : ℕ))) + p.r (p.index (G (↑(last N) : ℕ)))
have K : G (↑a : ℕ) = g (↑a : ℕ)
Tactic: have K : G a = g a := by simp [G, I.ne]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
⊢ ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
have inl : IsEmpty β →
  ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
Tactic: cases isEmpty_or_nonempty β
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
inl :
  IsEmpty β →
    ∃ (s : Fin N → Set β),
      (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
        range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
⊢ ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
have inr : Nonempty β →
  ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
Tactic: cases isEmpty_or_nonempty β
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : IsEmpty β
⊢ ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
have inl : range q.c ⊆
  ⋃ (i : Fin N),
    ⋃ (j : β), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set β) ((fun (x : Fin N) ↦ (∅ : Set β)) i) j), ball (q.c j) (q.r j)
Tactic: refine ⟨fun _ => ∅, fun _ => pairwiseDisjoint_empty, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : IsEmpty β
⊢ range q.c ⊆
    ⋃ (i : Fin N),
      ⋃ (j : β), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set β) ((fun (x : Fin N) ↦ (∅ : Set β)) i) j), ball (q.c j) (q.r j)
have inl : q.c '' ∅ ⊆
  ⋃ (i : Fin N),
    ⋃ (j : β), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set β) ((fun (x : Fin N) ↦ (∅ : Set β)) i) j), ball (q.c j) (q.r j)
Tactic: rw [← image_univ, eq_empty_of_isEmpty (univ : Set β)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
⊢ ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
have inr : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
Tactic: refine ⟨s, fun i => ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
inr : ∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
⊢ ∃ (s : Fin N → Set β),
    (∀ (i : Fin N), PairwiseDisjoint.{u_1, u} (α := Set α) (s i) fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
have inr₁ : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
Tactic: refine ⟨s, fun i => ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
x : β
hx : x ∈ s i
y : β
hy : y ∈ s i
x_ne_y : x ≠ y
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) x y
have inr : ∀ (jx : Ordinal.{u}) (jx_lt : jx < p.lastStep) (jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hx : p.index jx ∈ s i)
  (x_ne_y : p.index jx ≠ y),
  Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx) y
Tactic: obtain ⟨jx, jx_lt, jxi, rfl⟩ :
      ∃ jx : Ordinal, jx < p.lastStep ∧ p.color jx = i ∧ x = p.index jx := by
      simpa only [s, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff] using hx
Cleared hypotheses: x, hx, x_ne_y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
y : β
hy : y ∈ s i
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ y
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx) y
have inr : ∀ (jy : Ordinal.{u}) (jy_lt : jy < p.lastStep) (jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jy ∈ s i)
  (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy),
  Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
Tactic: obtain ⟨jy, jy_lt, jyi, rfl⟩ :
      ∃ jy : Ordinal, jy < p.lastStep ∧ p.color jy = i ∧ y = p.index jy := by
      simpa only [s, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff] using hy
Cleared hypotheses: y, hy, x_ne_y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have inr : ∀
  (this :
    ∀ (jx : Ordinal.{u}) (jx_lt : jx < p.lastStep) (jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hx : p.index jx ∈ s i)
      (jy : Ordinal.{u}) (jy_lt : jy < p.lastStep) (jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jy ∈ s i)
      (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy) (jxy : jx ≤ jy),
      Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
        (p.index jy))
  (jxy : ¬jx ≤ jy),
  Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
Tactic: wlog jxy : jx ≤ jy generalizing jx jy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
inr :
  ∀
    (this :
      ∀ (jx : Ordinal.{u}) (jx_lt : jx < p.lastStep) (jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hx : p.index jx ∈ s i)
        (jy : Ordinal.{u}) (jy_lt : jy < p.lastStep) (jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jy ∈ s i)
        (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy) (jxy : jx ≤ jy),
        Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
          (p.index jy))
    (jxy : ¬jx ≤ jy),
    Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
      (p.index jy)
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have wlog : ∀ (jx : Ordinal.{u}) (jx_lt : jx < p.lastStep) (jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hx : p.index jx ∈ s i) (jy : Ordinal.{u})
  (jy_lt : jy < p.lastStep) (jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jy ∈ s i) (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy)
  (jxy : jx ≤ jy),
  Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
Tactic: wlog jxy : jx ≤ jy generalizing jx jy
Cleared hypotheses: jx, jx_lt, jxi, hx, jy, jy_lt, jyi, hy, x_ne_y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
⊢ jx < jy
have inl : ∀ (H : jx < jy), jx < jy
Tactic: rcases lt_or_eq_of_le jxy with (H | rfl)