-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.ColimitTypeFiltered (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
inst_1 : IsFiltered.{v, u} J
F : Functor.{v, w₀, u, w₀ + 1} J (Type w₀)
j : J
x y : F.obj j
mp :
  (∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))) →
    ∃ (k : J) (f : j ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
⊢ (∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))) ↔
    ∃ (k : J) (f : j ⟶ k),
      Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            x :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
              (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
            y :
          (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
have mpr : (∃ (k : J) (f : j ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          x :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          y :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))) →
  ∃ (k : J) (f : j ⟶ k) (f' : j ⟶ k),
    Eq (α := (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          x :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
            (a : (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
          y :
        (fun (X : Type w₀) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: constructor