-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.OpenImmersion (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasLimits.{v, u} C
inst_2 : HasColimits.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst_3 : (X Y : C) → FunLike.{u_1 + 1, v + 1, v + 1} (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC (CC := CC)
inst_4 : Functor.ReflectsIsomorphisms (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_5 : PreservesLimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
inst_6 : PreservesFilteredColimits (CategoryTheory.forget C (FC := FC) (CC := CC))
X Y : SheafedSpace.{u, v, v} C
f : X ⟶ Y
hf :
  IsOpenEmbedding (X := (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) (Y := (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          f.hom.base) :
      (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
y : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)
hy : y ∈ (↑U : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
H :
  IsIso (X :=
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            f.hom.base :
          (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
        y))
    (CategoryTheory.Functor.map
        (TopCat.Presheaf.stalkFunctor C
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                f.hom.base :
              (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            y))
        f.hom.c ≫
      TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.hom.base X.presheaf y)
⊢ IsIso.{v, u} (X :=
    Functor.obj
      (TopCat.Presheaf.stalkFunctor C
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦ x ∈ hf.functor.obj U)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.hom.base :
                  (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                y)
              ⋯) :
          (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))
      (Y.sheaf.obj (P := Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))))
    (Y :=
    Functor.obj
      (TopCat.Presheaf.stalkFunctor C
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦ x ∈ hf.functor.obj U)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.hom.base :
                  (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                y)
              ⋯) :
          (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))
      ((Functor.obj (TopCat.Sheaf.pushforward C f.hom.base) X.sheaf).obj (P :=
        Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))))
    (CategoryTheory.Functor.map
      (TopCat.Presheaf.stalkFunctor C
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) ↦ x ∈ hf.functor.obj U)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) f.hom.base :
                  (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                y)
              ⋯) :
          (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))
      (InducedCategory.Hom.hom
        (have this : Y.sheaf ⟶ Functor.obj (TopCat.Sheaf.pushforward C f.hom.base) X.sheaf := { hom := f.hom.c };
        this)))
have H' : IsIso (X :=
  (Functor.obj (TopCat.Presheaf.pushforward C f.hom.base) X.presheaf).stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          f.hom.base :
        (a : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
      y))
  (TopCat.Presheaf.stalkPushforward C f.hom.base X.presheaf y)
Tactic: haveI H' := TopCat.Presheaf.stalkPushforward.stalkPushforward_iso_of_isInducing C
        hf.toIsInducing X.presheaf y