awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
i : I
⊢ Eq (α := S ⊗[R] S)
    ((∑
          a ∈
            Finsupp.support.{u_2, u_1} (M := R)
              ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := S)
            ((((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S)) : I →₀ R) : (a : I) → R) a :
              R)
            ((b : (a : I) → S) a : S)) ⊗ₜ[R]
        (b : (a : I) → S) i :
      S ⊗[R] S)
    (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
have e_m : ∑
    a ∈
      Finsupp.support.{u_2, u_1} (M := R)
        ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))),
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := S)
      ((((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S)) : I →₀ R) : (a : I) → R) a : R)
      ((b : (a : I) → S) a : S) =
  HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S)
Tactic: congr 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
⊢ Eq (α := S ⊗[R] S)
    (F.sum fun (a : I) (f : I →₀ R) ↦
      f.sum fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    (G.sum fun (a : I) (f : I →₀ R) ↦
      f.sum fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
have this : ∀ (i : I),
  Eq (α := S ⊗[R] S)
    (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
      S ⊗[R] S)
    (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
Tactic: have : ∀ i, ((b.repr (x * f i)).sum fun j k ↦ k • b j ⊗ₜ[R] b i) = (x * f i) ⊗ₜ[R] b i := by
      intro i
      simp_rw [Finsupp.sum, TensorProduct.smul_tmul', ← TensorProduct.sum_tmul]
      congr 1
      exact b.linearCombination_repr _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
⊢ Eq (α := S ⊗[R] S)
    (F.sum fun (a : I) (f : I →₀ R) ↦
      f.sum fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    (G.sum fun (a : I) (f : I →₀ R) ↦
      f.sum fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
have a₁ : Eq (α := S ⊗[R] S)
  (∑ a ∈ f.support,
    Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
      HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
  (∑ a_1 ∈ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Finsupp.sum (M := R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) a_1 : R) y) :
        I →₀ R)
      fun (b' : I) (c : R) ↦
      HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a_1 : S ⊗[R] S))
Tactic: rw [Finsupp.onFinset_sum, Finsupp.onFinset_sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
a₁ :
  Eq (α := S ⊗[R] S)
    (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    (∑ a_1 ∈ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
      Finsupp.sum (M := R)
        ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
            (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) a_1 : R) y) :
          I →₀ R)
        fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a_1 : S ⊗[R] S))
⊢ Eq (α := S ⊗[R] S)
    (F.sum fun (a : I) (f : I →₀ R) ↦
      f.sum fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    (G.sum fun (a : I) (f : I →₀ R) ↦
      f.sum fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
have a₂ : ∀ (a : I),
  Eq.{u_2 + 1} (α := S ⊗[R] S)
    (Finsupp.sum 0 fun (b' : I) (c : R) ↦
      HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    0
Tactic: rw [Finsupp.onFinset_sum, Finsupp.onFinset_sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
⊢ Eq (α := S ⊗[R] S)
    (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    (∑ a_1 ∈ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
      Finsupp.sum (M := R)
        ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
            (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) a_1 : R) y) :
          I →₀ R)
        fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a_1 : S ⊗[R] S))
have trans : (∑ a ∈ f.support,
    Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
      HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S)) =
  HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
Tactic: trans (x ⊗ₜ 1) * elem R S
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
trans :
  (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S)) =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
⊢ Eq (α := S ⊗[R] S)
    (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S))
    (∑ a_1 ∈ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
      Finsupp.sum (M := R)
        ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
            (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) a_1 : R) y) :
          I →₀ R)
        fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a_1 : S ⊗[R] S))
have trans₁ : HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S) =
  ∑ a_1 ∈ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Finsupp.sum (M := R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) a_1 : R) y) :
        I →₀ R)
      fun (b' : I) (c : R) ↦ HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a_1 : S ⊗[R] S)
Tactic: trans (x ⊗ₜ 1) * elem R S
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
⊢ (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S)) =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
have simp_rw : ∑ x_1 ∈ f.support, HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) x_1 : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x_1 =
  HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
Tactic: simp_rw [this, hf, Finsupp.sum, Finset.mul_sum, TensorProduct.tmul_mul_tmul, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
simp_rw :
  ∑ x_1 ∈ f.support, HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) x_1 : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x_1 =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
⊢ (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S)) =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
have simp_rw₁ : ∑ x_1 ∈ f.support, HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) x_1 : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x_1 =
  HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
Tactic: simp_rw [this, hf, Finsupp.sum, Finset.mul_sum, TensorProduct.tmul_mul_tmul, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FormallyUnramified R S
inst_4 : EssFiniteType R S
inst_5 : Free R S
I : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R S
b : Basis I R S := Free.chooseBasis R S
f : I →₀ S
hf : Eq (α := S ⊗[R] S) (elem R S) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
x : S
a : I → I →₀ R := fun (i : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (α := S) ((b : (a : I) → S) i : S) x)
F : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset f.support
    (fun (j : I) ↦ (b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) j : S))) ⋯
hG :
  ∀ j ∉ f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support,
    Eq (α := I →₀ R)
      ((b.repr : (a : S) → I →₀ R)
          (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y) :
        I →₀ R)
      (0 : I →₀ R)
G : I →₀ I →₀ R :=
  Finsupp.onFinset (f.support.biUnion fun (i : I) ↦ (a i).support)
    (fun (j : I) ↦
      (b.repr : (a : S) → I →₀ R)
        (f.sum fun (i : I) (y : S) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) ((a i : (a : I) → R) j : R) y))
    ⋯
this :
  ∀ (i : I),
    Eq (α := S ⊗[R] S)
      (Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S))) fun (j : I) (k : R) ↦
          HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) k ((b : (a : I) → S) j ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S) :
        S ⊗[R] S)
      (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) i : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i : S ⊗[R] S)
simp_rw :
  ∑ x_1 ∈ f.support, HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) x_1 : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x_1 =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
simp_rw₁ :
  ∑ x_1 ∈ f.support, HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) x_1 : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x_1 =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (f.sum fun (i : I) (x : S) ↦ x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) i)
⊢ (∑ a ∈ f.support,
      Finsupp.sum ((b.repr : (a : S) → I →₀ R) (HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) a : S))) fun (b' : I) (c : R) ↦
        HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] S) c ((b : (a : I) → S) b' ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) a : S ⊗[R] S)) =
    HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (elem R S)
have simp_rw₂ : ∑ x_1 ∈ f.support, HMul.hMul (β := S) x ((f : (a : I) → S) x_1 : S) ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x_1 =
  HMul.hMul (α := S ⊗[R] S) (x ⊗ₜ[R] 1) (∑ x ∈ f.support, (f : (a : I) → S) x ⊗ₜ[R] (b : (a : I) → S) x)
Tactic: simp_rw [this, hf, Finsupp.sum, Finset.mul_sum, TensorProduct.tmul_mul_tmul, one_mul]