awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
i : σ
j : ι ⊕ σ
a :
  ∀ (j : ι),
    Eq.{u₃ + 1} (α := T)
      ((((Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis)) :
                  (a : Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → ι ⊕ σ →₀ T)
                (0, 1 ⊗ₜ[S] (P.cotangentSpaceBasis : (a : σ) → P.toExtension.CotangentSpace) i) :
              ι ⊕ σ →₀ T) :
            (a : ι ⊕ σ) → T)
          (Sum.inl j) :
        T)
      ((aeval (val (Q.comp P)) : (a : MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) → T)
          (Pi.single (M := fun (x : ι ⊕ σ) ↦ MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) (Sum.inl j)
              (1 : (fun (x : ι ⊕ σ) ↦ MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) (Sum.inl j)) (Sum.inr i) :
            MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) :
        T)
⊢ Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    ((((Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis)) :
                (a : Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → ι ⊕ σ →₀ T)
              (0, 1 ⊗ₜ[S] (P.cotangentSpaceBasis : (a : σ) → P.toExtension.CotangentSpace) i) :
            ι ⊕ σ →₀ T) :
          (a : ι ⊕ σ) → T)
        j :
      T)
    ((aeval (val (Q.comp P)) : (a : MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) → T)
        (Pi.single (M := fun (x : ι ⊕ σ) ↦ MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) j (1 : (fun (x : ι ⊕ σ) ↦ MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) j)
            (Sum.inr i) :
          MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) :
      T)
have a₁ : ∀ (j : σ),
  Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    ((((Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis)) :
                (a : Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → ι ⊕ σ →₀ T)
              (0, 1 ⊗ₜ[S] (P.cotangentSpaceBasis : (a : σ) → P.toExtension.CotangentSpace) i) :
            ι ⊕ σ →₀ T) :
          (a : ι ⊕ σ) → T)
        (Sum.inr j) :
      T)
    ((aeval (val (Q.comp P)) : (a : MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) → T)
        (Pi.single (M := fun (x : ι ⊕ σ) ↦ MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) (Sum.inr j)
            (1 : (fun (x : ι ⊕ σ) ↦ MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) (Sum.inr j)) (Sum.inr i) :
          MvPolynomial (ι ⊕ σ) R) :
      T)
Tactic: obtain (j | j) := j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
⊢ Eq (α := T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace →ₗ[T] Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
    ((↑(LinearEquiv.symm (compEquiv Q P)) :
        Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
          (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
      LinearMap.inr T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace))
    (LinearMap.liftBaseChange T (Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.toComp P))))
have apply : ∀ (i : σ),
  Eq (α := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
    (((↑(LinearEquiv.symm (compEquiv Q P)) :
              Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
            LinearMap.inr T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
          (a : T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace)
        ((Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis : (a : σ) → T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) i) :
      Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
    ((LinearMap.liftBaseChange T (Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.toComp P))) :
          (a : T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace)
        ((Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis : (a : σ) → T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) i) :
      Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
Tactic: classical
  apply (P.cotangentSpaceBasis.baseChange T).ext
  intro i
  apply (Q.comp P).cotangentSpaceBasis.repr.injective
  ext j
  simp only [compEquiv, LinearEquiv.trans_symm, LinearEquiv.symm_symm,
    Basis.baseChange_apply, LinearMap.coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, LinearMap.coe_inr,
    Function.comp_apply, LinearEquiv.trans_apply, Basis.repr_symm_apply, pderiv_X, toComp_val,
    Basis.repr_linearCombination, LinearMap.liftBaseChange_tmul, one_smul, repr_CotangentSpaceMap]
  obtain (j | j) := j <;>
    simp only [Basis.prod_repr_inr, Basis.baseChange_repr_tmul,
      Basis.repr_self, Basis.prod_repr_inl, map_zero, Finsupp.coe_zero,
      Pi.zero_apply, ne_eq, not_false_eq_true, Pi.single_eq_of_ne, Pi.single_apply,
      Finsupp.single_apply, ite_smul, one_smul, zero_smul, Sum.inr.injEq,
      MonoidWithZeroHom.map_ite_one_zero, reduceCtorEq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
⊢ Eq (α := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)) →ₗ[T] Q.toExtension.CotangentSpace)
    (LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
      (↑(compEquiv Q P) :
        (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T] Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace))
    (Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)))
have apply : ∀ (i : ι ⊕ σ),
  Eq (α := Q.toExtension.CotangentSpace)
    ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
            (↑(compEquiv Q P) :
              (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i) :
      Q.toExtension.CotangentSpace)
    ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i) :
      Q.toExtension.CotangentSpace)
Tactic: apply (Q.comp P).cotangentSpaceBasis.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
i : ι ⊕ σ
⊢ Eq (α := Q.toExtension.CotangentSpace)
    ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
            (↑(compEquiv Q P) :
              (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i) :
      Q.toExtension.CotangentSpace)
    ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i) :
      Q.toExtension.CotangentSpace)
have a : Eq (α := ι →₀ T)
  ((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
      ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
            (↑(compEquiv Q P) :
              (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
    ι →₀ T)
  ((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
      ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
    ι →₀ T)
Tactic: apply Q.cotangentSpaceBasis.repr.injective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
i : ι ⊕ σ
⊢ Eq (α := ι →₀ T)
    ((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
        ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
              (↑(compEquiv Q P) :
                (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                  Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
            (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
          ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
      ι →₀ T)
    ((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
        ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
            (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
          ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
      ι →₀ T)
have a : ∀ (j : ι),
  Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    ((((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
              ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
                    (↑(compEquiv Q P) :
                      (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                        Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
                  (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
                ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
            ι →₀ T) :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
    ((((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
              ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
                  (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
                ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
            ι →₀ T) :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
Tactic: ext j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
i : ι ⊕ σ
j : ι
⊢ Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    ((((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
              ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
                    (↑(compEquiv Q P) :
                      (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                        Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
                  (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
                ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
            ι →₀ T) :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
    ((((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
              ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
                  (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
                ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i)) :
            ι →₀ T) :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
have a : Eq.{u₃ + 1} (α := T)
  (((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
          ((LinearEquiv.symm (Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis))) :
                (a : ι ⊕ σ →₀ T) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
              (Finsupp.single i 1)).1 :
        (a : ι) → T)
      j :
    T)
  ((aeval Q.val : (a : MvPolynomial ι S) → T)
      ((pderiv j : (a : MvPolynomial ι S) → MvPolynomial ι S)
          (Sum.elim X ((⇑C : (a : S) → MvPolynomial ι S) ∘ P.val) i) :
        MvPolynomial ι S) :
    T)
Tactic: simp only [compEquiv, LinearMap.coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply, ofComp_val,
    LinearEquiv.trans_apply, Basis.repr_self, LinearMap.fst_apply, repr_CotangentSpaceMap]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
i : ι ⊕ σ
j : ι
⊢ Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    (((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
            ((LinearEquiv.symm (Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis))) :
                  (a : ι ⊕ σ →₀ T) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
                (Finsupp.single i 1)).1 :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
    ((aeval Q.val : (a : MvPolynomial ι S) → T)
        ((pderiv j : (a : MvPolynomial ι S) → MvPolynomial ι S)
            (Sum.elim X ((⇑C : (a : S) → MvPolynomial ι S) ∘ P.val) i) :
          MvPolynomial ι S) :
      T)
have a : ∀ (i : ι),
  Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    (((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
            ((LinearEquiv.symm (Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis))) :
                  (a : ι ⊕ σ →₀ T) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
                (Finsupp.single (Sum.inl i) 1)).1 :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
    ((aeval Q.val : (a : MvPolynomial ι S) → T)
        ((pderiv j : (a : MvPolynomial ι S) → MvPolynomial ι S)
            (Sum.elim X ((⇑C : (a : S) → MvPolynomial ι S) ∘ P.val) (Sum.inl i)) :
          MvPolynomial ι S) :
      T)
Tactic: obtain (i | i) := i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
i : ι ⊕ σ
j : ι
a :
  ∀ (i : ι),
    Eq.{u₃ + 1} (α := T)
      (((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
              ((LinearEquiv.symm (Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis))) :
                    (a : ι ⊕ σ →₀ T) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
                  (Finsupp.single (Sum.inl i) 1)).1 :
            (a : ι) → T)
          j :
        T)
      ((aeval Q.val : (a : MvPolynomial ι S) → T)
          ((pderiv j : (a : MvPolynomial ι S) → MvPolynomial ι S)
              (Sum.elim X ((⇑C : (a : S) → MvPolynomial ι S) ∘ P.val) (Sum.inl i)) :
            MvPolynomial ι S) :
        T)
⊢ Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    (((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
            ((LinearEquiv.symm (Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis))) :
                  (a : ι ⊕ σ →₀ T) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
                (Finsupp.single i 1)).1 :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
    ((aeval Q.val : (a : MvPolynomial ι S) → T)
        ((pderiv j : (a : MvPolynomial ι S) → MvPolynomial ι S)
            (Sum.elim X ((⇑C : (a : S) → MvPolynomial ι S) ∘ P.val) i) :
          MvPolynomial ι S) :
      T)
have a₁ : ∀ (i : σ),
  Eq.{u₃ + 1} (α := T)
    (((Q.cotangentSpaceBasis.repr : (a : Q.toExtension.CotangentSpace) → ι →₀ T)
            ((LinearEquiv.symm (Basis.repr (Q.cotangentSpaceBasis.prod (Basis.baseChange T P.cotangentSpaceBasis))) :
                  (a : ι ⊕ σ →₀ T) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
                (Finsupp.single (Sum.inr i) 1)).1 :
          (a : ι) → T)
        j :
      T)
    ((aeval Q.val : (a : MvPolynomial ι S) → T)
        ((pderiv j : (a : MvPolynomial ι S) → MvPolynomial ι S)
            (Sum.elim X ((⇑C : (a : S) → MvPolynomial ι S) ∘ P.val) (Sum.inr i)) :
          MvPolynomial ι S) :
      T)
Tactic: obtain (i | i) := i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
⊢ Eq (α := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)) →ₗ[T] Q.toExtension.CotangentSpace)
    (LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
      (↑(compEquiv Q P) :
        (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T] Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace))
    (Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)))
have apply : ∀ (i : ι ⊕ σ),
  Eq (α := Q.toExtension.CotangentSpace)
    ((LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
            (↑(compEquiv Q P) :
              (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
                Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i) :
      Q.toExtension.CotangentSpace)
    ((Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P)) :
          (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
        ((cotangentSpaceBasis (Q.comp P) : (a : ι ⊕ σ) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) i) :
      Q.toExtension.CotangentSpace)
Tactic: classical
  apply (Q.comp P).cotangentSpaceBasis.ext
  intro i
  apply Q.cotangentSpaceBasis.repr.injective
  ext j
  simp only [compEquiv, LinearMap.coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply, ofComp_val,
    LinearEquiv.trans_apply, Basis.repr_self, LinearMap.fst_apply, repr_CotangentSpaceMap]
  obtain (i | i) := i <;>
    simp only [Basis.repr_symm_apply, Finsupp.linearCombination_single, Basis.prod_apply,
      LinearMap.coe_inl, LinearMap.coe_inr, Sum.elim_inl, Function.comp_apply, one_smul,
      Basis.repr_self, Finsupp.single_apply, pderiv_X, Pi.single_apply,
      Sum.elim_inr, Function.comp_apply, Basis.baseChange_apply, one_smul,
      MonoidWithZeroHom.map_ite_one_zero, map_zero, Finsupp.coe_zero, Pi.zero_apply, derivation_C]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
⊢ Function.Injective (α := T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) (β := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
    (⇑(LinearMap.liftBaseChange T (Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.toComp P)))) :
      (a : T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace)
have rw : Function.Injective (α := T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) (β := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
  (⇑((↑(LinearEquiv.symm (compEquiv Q P)) :
          Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
            (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
        LinearMap.inr T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)) :
    (a : T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace)
Tactic: rw [← compEquiv_symm_inr]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
⊢ Function.Injective (α := T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) (β := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P)))
    (⇑((↑(LinearEquiv.symm (compEquiv Q P)) :
            Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
              (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
          LinearMap.inr T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)) :
      (a : T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace)
have apply : Function.Injective (α := T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) (β :=
  Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
  (⇑(LinearMap.inr T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)) :
    (a : T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)
Tactic: apply (compEquiv Q P).symm.injective.comp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Kaehler.JacobiZariski (goal)
Goal:
R : Type u₁
S : Type u₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
T : Type u₃
inst_3 : CommRing T
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra S T
inst_6 : IsScalarTower R S T
ι : Type w₁
σ : Type w₂
Q : Generators S T ι
P : Generators R S σ
⊢ Function.Surjective (α := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P))) (β := Q.toExtension.CotangentSpace)
    (⇑(Extension.CotangentSpace.map (Hom.toExtensionHom (Q.ofComp P))) :
      (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
have rw : Function.Surjective (α := Extension.CotangentSpace (toExtension (Q.comp P))) (β := Q.toExtension.CotangentSpace)
  (⇑(LinearMap.fst T Q.toExtension.CotangentSpace (T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace) ∘ₗ
        (↑(compEquiv Q P) :
          (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace →ₗ[T]
            Q.toExtension.CotangentSpace × T ⊗[S] P.toExtension.CotangentSpace)) :
    (a : (Q.comp P).toExtension.CotangentSpace) → Q.toExtension.CotangentSpace)
Tactic: rw [← fst_compEquiv]