-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Affine.Simplex (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : SeminormedAddCommGroup V
inst_2 : PseudoMetricSpace P
inst_3 : Module R V
inst_4 : NormedAddTorsor V P
t : Triangle R P
h :
  dist (t.points 0) (t.points 1) ≠ dist (t.points 0) (t.points 2) ∧
    dist (t.points 0) (t.points 1) ≠ dist (t.points 1) (t.points 2) ∧
      dist (t.points 0) (t.points 2) ≠ dist (t.points 1) (t.points 2)
h₁ : dist (t.points 0) (t.points 1) ≠ dist (t.points 0) (t.points 2)
h₂ : dist (t.points 0) (t.points 1) ≠ dist (t.points 1) (t.points 2)
h₃ : dist (t.points 0) (t.points 2) ≠ dist (t.points 1) (t.points 2)
y₂ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)
hx : True
hy : (fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩ < y₂
hxy :
  dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
      (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨2, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)))) =
    dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)))) (t.points y₂)
1 :
  ∀
    (hy :
      LT.lt (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩))
    (hxy :
      dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
          (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨2, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)))) =
        dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
          (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩))),
    Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ∧
      Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
h_1 :
  ∀
    (hy :
      LT.lt (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))
    (hxy :
      dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
          (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨2, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)))) =
        dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
          (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩))),
    Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ∧
      Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
⊢ Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
      ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ∧
    (fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩ = y₂
have 1₁ : ∀
  (hy :
    LT.lt (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, sorry⟩))
  (hxy :
    dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨1, sorry⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
        (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨2, sorry⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)))) =
      dist (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) (⟨0, sorry⟩ : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1))))
        (t.points ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, sorry⟩))),
  Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨1, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) ∧
    Eq (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) ↦ i) ⟨2, sorry⟩)
Tactic: fin_cases y₂
Cleared hypotheses: y₂, hy, hxy