awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a_1 : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a_1)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a_1)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a_1 ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a_1) = g (t', a_1)
N : Set A
haN : a_1 ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a_1) = g (t', a_1)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a_1)) ⁻¹' (q e).source
this : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a_1} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav : {a_1} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
a : A
ha : a ∈ N
⊢ (t n, a).1 ∈ Set.Icc 0 (t n)
have refine_2 : (t n, a).1 ∈ Set.Icc (t 0) (t n)
Tactic: rw [← t_0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
⊢ g' ta =
    if Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X) then
      (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
    else g ta
have ht : ta.1 = t n
Tactic: have ht := Set.mem_setOf.mp (frontier_le_subset_eq continuous_fst continuous_const hfr)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
ht : ta.1 = t n
⊢ ta.1 ∈ Set.Icc (t n) (t (n + 1))
have rw : t n ∈ Set.Icc (t n) (t (n + 1))
Tactic: rw [ht]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
ht : ta.1 = t n
⊢ g' ta =
    if Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X) then
      (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
    else g ta
have this₁ : Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X)
Tactic: have : f ta ∈ (q e).target := huv ⟨hu (by rw [ht]; exact ⟨le_rfl, t_mono n.le_succ⟩), hav⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this_1 : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
ht : ta.1 = t n
this : Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X)
⊢ g' ta =
    if Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X) then
      (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
    else g ta
have refine_2 : g' ta = (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
Tactic: rw [if_pos this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this_1 : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
ht : ta.1 = t n
this : Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X)
rwa : g' (ta.1, ta.2) ∈ (q e).source
⊢ g' ta ∈ (q e).source
have rwa₁ : g' (t n, ta.2) ∈ (q e).source
Tactic: rwa [← ta.eta, ht]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this_1 : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
ht : ta.1 = t n
this : Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X)
⊢ g' ta = (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
have refine_2 : (↑(q e) : E → X) (g' ta) = (↑(q e) : E → X) ((↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta))
Tactic: apply (q e).injOn (by rwa [← ta.eta, ht]) ((q e).map_target this)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this_1 : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav_1 : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
left : ta.1 ∈ Set.Icc 0 (t n.succ)
hav : ta.2 ∈ v
left_1 : ta.2 ∈ N
ha : Membership.mem (γ := Set A) ((g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source) ta.2
hfr : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (frontier {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
ht : ta.1 = t n
this : Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X)
⊢ (↑(q e) : E → X) (g' ta) = (↑(q e) : E → X) ((↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta))
have refine_2 : p (g' ta) = (f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta
Tactic: rw [(q e).right_inv this, ← hpq e]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
ta : (↑I : Type) × A
h_1 :
  ta ∈
    Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      closure[instTopologicalSpaceProd] {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}
hta : ta ∈ Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source))
ht :
  Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) (closure[instTopologicalSpaceProd] {a : (↑I : Type) × A | a.1 ≤ t n}) ta
⊢ ta ∈ Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N
have ht₁ : Membership.mem (γ := Set ((↑I : Type) × A)) {b : (↑I : Type) × A | b.1 ≤ t n} ta
Tactic: rw [closure_le_eq continuous_fst continuous_const] at ht
Cleared hypotheses: ht
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
A : Type u_3
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
inst_2 : TopologicalSpace A
p : E → X
f : ContinuousMap.{u_3, u_2} ((↑I : Type) × A) X
g : (↑I : Type) × A → E
g_lifts : p ∘ g = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
cont_0 : Continuous[inst_2, inst] fun (x : A) ↦ g (0, x)
a : A
cont_a : Continuous[_, inst] fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)
q : (x : E) → OpenPartialHomeomorph E X
mem_source : ∀ (x : E), x ∈ (q x).source
hpq : ∀ (x : E), p = (↑(q x) : E → X)
t : ℕ → (↑I : Type)
t_0 : t 0 = 0
t_mono : Monotone t
t_sub : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : E), Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q i).source
n_max : ℕ
h_max : ∀ m ≥ n_max, t m = 1
n : ℕ
h :
  ∃ (N : Set A),
    a ∈ N ∧
      IsOpen[inst_2] N ∧
        ∃ (g' : (↑I : Type) × A → E),
          ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N) ∧
            p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ∧
              (∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)) ∧ ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
N : Set A
haN : a ∈ N
N_open : IsOpen[inst_2] N
g' : (↑I : Type) × A → E
cont_g' : ContinuousOn g' (Set.Icc 0 (t n) ×ˢ N)
g'_lifts : p ∘ g' = (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X)
g'_0 : ∀ (a : A), g' (0, a) = g (0, a)
g'_a : ∀ t' ≤ t n, g' (t', a) = g (t', a)
e : E
h_sub : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ (fun (x : (↑I : Type)) ↦ g (x, a)) ⁻¹' (q e).source
this : SProd.sprod (β := Set A) (Set.Icc (t n) (t (n + 1))) {a} ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
u : Set (↑I : Type)
v : Set A
v_open : IsOpen[inst_2] v
hu : Set.Icc (t n) (t (n + 1)) ⊆ u
hav : {a} ⊆ v
huv : u ×ˢ v ⊆ (⇑f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ⁻¹' (q e).target
⊢ ContinuousOn.{u_3, u_1} (Y := E)
    (fun (ta : (↑I : Type) × A) ↦
      if Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X) then
        (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
      else g ta)
    (Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
      closure[instTopologicalSpaceProd] {a : (↑I : Type) × A | ¬a.1 ≤ t n})
have refine_2 : ContinuousOn.{u_3, u_1} (Y := E)
  (fun (ta : (↑I : Type) × A) ↦
    if Membership.mem (α := X) (q e).target ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta : X) then
      (↑(q e).symm : X → E) ((f : (a : (↑I : Type) × A) → X) ta)
    else g ta)
  (Set.Icc 0 (t n.succ) ×ˢ (v ∩ (N ∩ (g' ∘ fun (y : A) ↦ (t n, y)) ⁻¹' (q e).source)) ∩
    closure[instTopologicalSpaceProd] {a : (↑I : Type) × A | t n < a.1})
Tactic: simp_rw [not_le]