awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff (goal)
Goal:
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
hf : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
hf' : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
⊢ Tendsto (fun (s : ℝ) ↦ ((↑s : ℂ) - 1) * LSeries (fun (n : ℕ) ↦ (↑(f n) : ℂ)) (↑s : ℂ)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (↑l : ℂ))
have refine_1 : ∀ (x : ℕ),
  (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ k ∈ Icc 1 x, f k) (↑x : ℝ)) : ℂ) =
    HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 x, (fun (n : ℕ) ↦ (↑(f n) : ℂ)) k) (↑x : ℂ)
Tactic: refine LSeries_tendsto_sub_mul_nhds_one_of_tendsto_sum_div (f := fun n ↦ f n)
    (hf.ofReal.congr fun _ ↦ ?_) fun s hs ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff (goal)
Goal:
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
hf : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
hf' : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
refine_1 :
  ∀ (x : ℕ),
    (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ k ∈ Icc 1 x, f k) (↑x : ℝ)) : ℂ) =
      HDiv.hDiv (α := ℂ) (∑ k ∈ Icc 1 x, (fun (n : ℕ) ↦ (↑(f n) : ℂ)) k) (↑x : ℂ)
⊢ Tendsto (fun (s : ℝ) ↦ ((↑s : ℂ) - 1) * LSeries (fun (n : ℕ) ↦ (↑(f n) : ℂ)) (↑s : ℂ)) (𝓝[>] 1) (𝓝 (↑l : ℂ))
have refine_2 : ∀ (s : ℝ) (hs : 1 < s), LSeriesSummable (fun (n : ℕ) ↦ (↑(f n) : ℂ)) (↑s : ℂ)
Tactic: refine LSeries_tendsto_sub_mul_nhds_one_of_tendsto_sum_div (f := fun n ↦ f n)
    (hf.ofReal.congr fun _ ↦ ?_) fun s hs ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.SumCoeff (goal)
Goal:
f : ℕ → ℝ
l : ℝ
hf : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ) (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
hf' : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
s : ℝ
hs : 1 < s
⊢ LSeriesSummable (fun (n : ℕ) ↦ (↑(f n) : ℂ)) (↑s : ℂ)
have refine_2 : IsBigO (E := ℝ) (F := ℝ) atTop (fun (n : ℕ) ↦ ∑ k ∈ Icc 1 n, f k) fun (n : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℝ) (↑n : ℝ) 1
Tactic: refine LSeriesSummable_of_sum_norm_bigO_and_nonneg ?_ hf' zero_le_one hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
c : ℝ := (Finset.image (norm ∘ Φ) Finset.univ).max' ⋯
⊢ LSeriesSummable (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s
have refine : ∀ (n : ℕ), n ≠ 0 → ‖Φ (↑n : ZMod N)‖ ∈ Finset.image (norm ∘ Φ) Finset.univ
Tactic: refine LSeriesSummable_of_bounded_of_one_lt_re (fun n _ ↦ le_max' _ _ ?_) (m := c) hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ LFunction Φ s = LSeries (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s
have rw : Eq (α := ℂ)
  (∑ i : ZMod N,
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (Φ i * hurwitzZeta ((toAddCircle : (a : ZMod N) → UnitAddCircle) i) s))
  (∑ j : ZMod N, ∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m))
Tactic: rw [LFunction, LSeries, mul_sum, Nat.sumByResidueClasses (LSeriesSummable_of_one_lt_re Φ hs) N]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
⊢ Eq (α := ℂ)
    (∑ i : ZMod N,
      HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (Φ i * hurwitzZeta ((toAddCircle : (a : ZMod N) → UnitAddCircle) i) s))
    (∑ j : ZMod N, ∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m))
have e_f : ∀ (j : ZMod N),
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (Φ j * hurwitzZeta ((toAddCircle : (a : ZMod N) → UnitAddCircle) j) s) =
    ∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
Tactic: congr 1 with j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (hypothesis)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (Φ j * hurwitzZeta ((toAddCircle : (a : ZMod N) → UnitAddCircle) j) s) =
    ∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
Tactic: have : (j.val / N : ℝ) ∈ Set.Icc 0 1 := mem_Icc.mpr ⟨by positivity,
    (div_le_one (Nat.cast_pos.mpr <| NeZero.pos _)).mpr <| Nat.cast_le.mpr (val_lt j).le⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (Φ j * hurwitzZeta ((toAddCircle : (a : ZMod N) → UnitAddCircle) j) s) =
    ∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have e_f : Eq (α := ℂ)
  (∑' (x : ℕ),
    HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑x : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
  (∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m))
Tactic: rw [toAddCircle_apply, ← (hasSum_hurwitzZeta_of_one_lt_re this hs).tsum_eq, ← mul_assoc,
    ← tsum_mul_left]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
⊢ Eq (α := ℂ)
    (∑' (x : ℕ),
      HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑x : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
    (∑' (m : ℕ), LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m))
have e_f : ∀ (m : ℕ),
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
Tactic: congr 1 with m
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
have rw : HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
  Φ j * HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)
Tactic: rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
rw :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
have rw₁ : Φ j * HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
  Φ j * HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)
Tactic: rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
⊢ Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s)) =
    Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s
have ha : LE.le (α := ℝ) 0 (↑N : ℝ)
Tactic: rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
ha : LE.le (α := ℝ) 0 (↑N : ℝ)
⊢ Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s)) =
    Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s
have hb : 0 ≤ ((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)
Tactic: rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
⊢ Φ j / ((↑N : ℂ) * ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) / (↑N : ℂ)) ^ s =
    Φ j / ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) ^ s
have rw : Φ j / ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) ^ s =
  Φ j / ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) ^ s
Tactic: rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
⊢ Φ (↑(j.val + N * m) : ZMod N) / HPow.hPow (α := ℂ) (↑(j.val + N * m) : ℂ) s =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have rw : Φ (↑(j.val + N * m) : ZMod N) / HPow.hPow (α := ℂ) (↑(j.val + N * m) : ℂ) s =
  Φ (↑(j.val + N * m) : ZMod N) / HPow.hPow (α := ℂ) (↑(j.val + N * m) : ℂ) s
Tactic: rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have calc : HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
  Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
Tactic: calc N ^ (-s) * Φ j * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)
  _ = Φ j * (N ^ (-s) * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)) := by
    rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
  _ = Φ j * (1 / (N : ℝ) ^ s * (1 / ((j.val + N * m) / N : ℝ) ^ s)) := by
    simp only [cpow_neg, ← one_div, ofReal_div, ofReal_natCast, add_comm, add_div, ofReal_add,
      ofReal_mul, mul_div_cancel_left₀ (m : ℂ) (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ j / ((N : ℝ) * ((j.val + N * m) / N : ℝ)) ^ s := by -- this is the delicate step!
    rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg] <;> positivity
  _ = Φ j / (N * (j.val + N * m) / N) ^ s := by
    simp only [ofReal_natCast, ofReal_div, ofReal_add, ofReal_mul, mul_div_assoc]
  _ = Φ j / (j.val + N * m) ^ s := by
    rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ ↑(j.val + N * m) / (↑(j.val + N * m)) ^ s := by
    simp only [Nat.cast_add, Nat.cast_mul, natCast_zmod_val, natCast_self, zero_mul, add_zero]
  _ = LSeries.term (Φ ·) s (j.val + N * m) := by
    rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
calc :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have calc₁ : Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)) =
  Φ j * (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s))
Tactic: calc N ^ (-s) * Φ j * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)
  _ = Φ j * (N ^ (-s) * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)) := by
    rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
  _ = Φ j * (1 / (N : ℝ) ^ s * (1 / ((j.val + N * m) / N : ℝ) ^ s)) := by
    simp only [cpow_neg, ← one_div, ofReal_div, ofReal_natCast, add_comm, add_div, ofReal_add,
      ofReal_mul, mul_div_cancel_left₀ (m : ℂ) (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ j / ((N : ℝ) * ((j.val + N * m) / N : ℝ)) ^ s := by -- this is the delicate step!
    rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg] <;> positivity
  _ = Φ j / (N * (j.val + N * m) / N) ^ s := by
    simp only [ofReal_natCast, ofReal_div, ofReal_add, ofReal_mul, mul_div_assoc]
  _ = Φ j / (j.val + N * m) ^ s := by
    rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ ↑(j.val + N * m) / (↑(j.val + N * m)) ^ s := by
    simp only [Nat.cast_add, Nat.cast_mul, natCast_zmod_val, natCast_self, zero_mul, add_zero]
  _ = LSeries.term (Φ ·) s (j.val + N * m) := by
    rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
calc :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
calc₁ :
  Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)) =
    Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s))
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have calc₂ : Φ j * (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s)) =
  Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s
Tactic: calc N ^ (-s) * Φ j * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)
  _ = Φ j * (N ^ (-s) * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)) := by
    rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
  _ = Φ j * (1 / (N : ℝ) ^ s * (1 / ((j.val + N * m) / N : ℝ) ^ s)) := by
    simp only [cpow_neg, ← one_div, ofReal_div, ofReal_natCast, add_comm, add_div, ofReal_add,
      ofReal_mul, mul_div_cancel_left₀ (m : ℂ) (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ j / ((N : ℝ) * ((j.val + N * m) / N : ℝ)) ^ s := by -- this is the delicate step!
    rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg] <;> positivity
  _ = Φ j / (N * (j.val + N * m) / N) ^ s := by
    simp only [ofReal_natCast, ofReal_div, ofReal_add, ofReal_mul, mul_div_assoc]
  _ = Φ j / (j.val + N * m) ^ s := by
    rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ ↑(j.val + N * m) / (↑(j.val + N * m)) ^ s := by
    simp only [Nat.cast_add, Nat.cast_mul, natCast_zmod_val, natCast_self, zero_mul, add_zero]
  _ = LSeries.term (Φ ·) s (j.val + N * m) := by
    rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
calc :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
calc₁ :
  Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)) =
    Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s))
calc₂ :
  Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s)) =
    Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have calc₃ : Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s =
  Φ j / ((↑N : ℂ) * ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) / (↑N : ℂ)) ^ s
Tactic: calc N ^ (-s) * Φ j * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)
  _ = Φ j * (N ^ (-s) * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)) := by
    rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
  _ = Φ j * (1 / (N : ℝ) ^ s * (1 / ((j.val + N * m) / N : ℝ) ^ s)) := by
    simp only [cpow_neg, ← one_div, ofReal_div, ofReal_natCast, add_comm, add_div, ofReal_add,
      ofReal_mul, mul_div_cancel_left₀ (m : ℂ) (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ j / ((N : ℝ) * ((j.val + N * m) / N : ℝ)) ^ s := by -- this is the delicate step!
    rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg] <;> positivity
  _ = Φ j / (N * (j.val + N * m) / N) ^ s := by
    simp only [ofReal_natCast, ofReal_div, ofReal_add, ofReal_mul, mul_div_assoc]
  _ = Φ j / (j.val + N * m) ^ s := by
    rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ ↑(j.val + N * m) / (↑(j.val + N * m)) ^ s := by
    simp only [Nat.cast_add, Nat.cast_mul, natCast_zmod_val, natCast_self, zero_mul, add_zero]
  _ = LSeries.term (Φ ·) s (j.val + N * m) := by
    rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
calc :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
calc₁ :
  Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)) =
    Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s))
calc₂ :
  Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s)) =
    Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s
calc₃ :
  Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s =
    Φ j / ((↑N : ℂ) * ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) / (↑N : ℂ)) ^ s
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have calc₄ : Φ j / ((↑N : ℂ) * ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) / (↑N : ℂ)) ^ s =
  Φ j / ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) ^ s
Tactic: calc N ^ (-s) * Φ j * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)
  _ = Φ j * (N ^ (-s) * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)) := by
    rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
  _ = Φ j * (1 / (N : ℝ) ^ s * (1 / ((j.val + N * m) / N : ℝ) ^ s)) := by
    simp only [cpow_neg, ← one_div, ofReal_div, ofReal_natCast, add_comm, add_div, ofReal_add,
      ofReal_mul, mul_div_cancel_left₀ (m : ℂ) (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ j / ((N : ℝ) * ((j.val + N * m) / N : ℝ)) ^ s := by -- this is the delicate step!
    rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg] <;> positivity
  _ = Φ j / (N * (j.val + N * m) / N) ^ s := by
    simp only [ofReal_natCast, ofReal_div, ofReal_add, ofReal_mul, mul_div_assoc]
  _ = Φ j / (j.val + N * m) ^ s := by
    rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ ↑(j.val + N * m) / (↑(j.val + N * m)) ^ s := by
    simp only [Nat.cast_add, Nat.cast_mul, natCast_zmod_val, natCast_self, zero_mul, add_zero]
  _ = LSeries.term (Φ ·) s (j.val + N * m) := by
    rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.LSeries.ZMod (goal)
Goal:
N : ℕ
inst : NeZero N
Φ : ZMod N → ℂ
s : ℂ
hs : 1 < s.re
j : ZMod N
this : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Set.Icc 0 1) (HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ))
m : ℕ
calc :
  HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s))
calc₁ :
  Φ j * (HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s)) =
    Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s))
calc₂ :
  Φ j *
      (1 / (↑(↑N : ℝ) : ℂ) ^ s * (1 / (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ) ^ s)) =
    Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s
calc₃ :
  Φ j / ((↑(↑N : ℝ) : ℂ) * (↑(((↑j.val : ℝ) + HMul.hMul (α := ℝ) (↑N : ℝ) (↑m : ℝ)) / (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s =
    Φ j / ((↑N : ℂ) * ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) / (↑N : ℂ)) ^ s
calc₄ :
  Φ j / ((↑N : ℂ) * ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) / (↑N : ℂ)) ^ s =
    Φ j / ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) ^ s
⊢ HPow.hPow (α := ℂ) (↑N : ℂ) (-s) * Φ j * (1 / ((↑m : ℂ) + (↑(HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑j.val : ℝ) (↑N : ℝ)) : ℂ)) ^ s) =
    LSeries.term (fun (x : ℕ) ↦ Φ (↑x : ZMod N)) s (j.val + N * m)
have calc₅ : Φ j / ((↑j.val : ℂ) + HMul.hMul (α := ℂ) (↑N : ℂ) (↑m : ℂ)) ^ s =
  Φ (↑(j.val + N * m) : ZMod N) / HPow.hPow (α := ℂ) (↑(j.val + N * m) : ℂ) s
Tactic: calc N ^ (-s) * Φ j * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)
  _ = Φ j * (N ^ (-s) * (1 / (m + (j.val / N : ℝ)) ^ s)) := by
    rw [← mul_assoc, mul_comm _ (Φ _)]
  _ = Φ j * (1 / (N : ℝ) ^ s * (1 / ((j.val + N * m) / N : ℝ) ^ s)) := by
    simp only [cpow_neg, ← one_div, ofReal_div, ofReal_natCast, add_comm, add_div, ofReal_add,
      ofReal_mul, mul_div_cancel_left₀ (m : ℂ) (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ j / ((N : ℝ) * ((j.val + N * m) / N : ℝ)) ^ s := by -- this is the delicate step!
    rw [one_div_mul_one_div, mul_one_div, mul_cpow_ofReal_nonneg] <;> positivity
  _ = Φ j / (N * (j.val + N * m) / N) ^ s := by
    simp only [ofReal_natCast, ofReal_div, ofReal_add, ofReal_mul, mul_div_assoc]
  _ = Φ j / (j.val + N * m) ^ s := by
    rw [mul_div_cancel_left₀ _ (Nat.cast_ne_zero.mpr (NeZero.ne N))]
  _ = Φ ↑(j.val + N * m) / (↑(j.val + N * m)) ^ s := by
    simp only [Nat.cast_add, Nat.cast_mul, natCast_zmod_val, natCast_self, zero_mul, add_zero]
  _ = LSeries.term (Φ ·) s (j.val + N * m) := by
    rw [LSeries.term_of_ne_zero' (ne_zero_of_one_lt_re hs)]