awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
n : ℕ
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AddTorsor V P
inst_4 : NeZero n
inst_5 : Nontrivial R
poly : Polygon P n
h : HasNondegenerateVertices R poly
⊢ poly.HasNondegenerateEdges
have obtain : ∀ (m : ℕ) [inst_6 : NeZero m.succ] {poly : Polygon P m.succ} (h : HasNondegenerateVertices R poly),
  poly.HasNondegenerateEdges
Tactic: obtain ⟨m, rfl⟩ := Nat.exists_eq_succ_of_ne_zero (NeZero.ne n)
Cleared hypotheses: n, inst_4, poly, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
n : ℕ
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AddTorsor V P
inst_4 : NeZero n
inst_5 : Nontrivial R
poly : Polygon P n
h : HasNondegenerateVertices R poly
⊢ 3 ≤ n
have this : 2 ≤ n
Tactic: have := h.hasNondegenerateEdges.two_le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
n : ℕ
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AddTorsor V P
inst_4 : NeZero n
inst_5 : Nontrivial R
poly : Polygon P n
h : HasNondegenerateVertices R poly
this : 2 ≤ n
⊢ 3 ≤ n
have by_contra! : ∀ (hlt : n < 3), False
Tactic: by_contra! hlt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
n : ℕ
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AddTorsor V P
inst_4 : NeZero n
inst_5 : Nontrivial R
poly : Polygon P n
h : HasNondegenerateVertices R poly
this : 2 ≤ n
hlt : n < 3
⊢ False
have 2 : ∀ [inst_6 : NeZero (R := ℕ) 2] {poly : Polygon P 2} (h : HasNondegenerateVertices R poly) (this : LE.le (α := ℕ) 2 2)
  (hlt : LT.lt (α := ℕ) 2 3), False
Tactic: interval_cases n
Cleared hypotheses: inst_4, poly, h, this, hlt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t₁ t₂ : Triangle R P
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Polygon P 3) ((fun (t : Triangle R P) ↦ { vertices := t.points : Polygon P 3 }) t₁)
    ((fun (t : Triangle R P) ↦ { vertices := t.points : Polygon P 3 }) t₂)
⊢ t₁ = t₂
have h₁ : ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)), t₁.points i = t₂.points i
Tactic: apply Simplex.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t₁ t₂ : Triangle R P
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Polygon P 3) ((fun (t : Triangle R P) ↦ { vertices := t.points : Polygon P 3 }) t₁)
    ((fun (t : Triangle R P) ↦ { vertices := t.points : Polygon P 3 }) t₂)
⊢ ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)), t₁.points i = t₂.points i
have h₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := Fin 3 → P) (Polygon.vertices ((fun (t : Triangle R P) ↦ { vertices := t.points : Polygon P 3 }) t₁))
  (Polygon.vertices ((fun (t : Triangle R P) ↦ { vertices := t.points : Polygon P 3 }) t₂))
Tactic: apply_fun Polygon.vertices at h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AddTorsor V P
p : Polygon P 3
h : HasNondegenerateVertices R p
⊢ AffineIndependent R p.vertices
have this : p.vertices = ![p.vertices 0, p.vertices 1, p.vertices 2]
Tactic: have : p.vertices = ![p.vertices 0, p.vertices 1, p.vertices 2] := List.ofFn_inj.mp rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AddTorsor V P
p : Polygon P 3
h : HasNondegenerateVertices R p
this : p.vertices = ![p.vertices 0, p.vertices 1, p.vertices 2]
⊢ AffineIndependent R p.vertices
have rw : AffineIndependent R ![p.vertices 0, p.vertices 1, p.vertices 2]
Tactic: rw [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
⊢ Polygon.HasNondegenerateVertices.{u_1, u_2, u_3} R (P := P) (n := 3)
    ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
have ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
Tactic: have ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2] := List.ofFn_inj.mp rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
⊢ Polygon.HasNondegenerateVertices.{u_1, u_2, u_3} R (P := P) (n := 3)
    ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
have h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
Tactic: have h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2] := by
    simpa [← ht] using t.independent
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
i : Fin 3
⊢ AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) i,
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) (i + 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) (i + 2)]
have 0 : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
  ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩),
    Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
      (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨0, sorry⟩ : Fin 3)) 1),
    Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
      (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨0, sorry⟩ : Fin 3)) 2)]
Tactic: fin_cases i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
i : Fin 3
0 :
  AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 3)) 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 3)) 2)]
⊢ AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) i,
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) (i + 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) (i + 2)]
have 1 : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
  ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩),
    Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
      (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨1, sorry⟩ : Fin 3)) 1),
    Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
      (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨1, sorry⟩ : Fin 3)) 2)]
Tactic: fin_cases i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
i : Fin 3
0 :
  AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 3)) 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨0, ⋯⟩ : Fin 3)) 2)]
1 :
  AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 3)) 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 3)) 2)]
⊢ AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) i,
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) (i + 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) (i + 2)]
have 2 : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
  ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩),
    Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
      (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨2, sorry⟩ : Fin 3)) 1),
    Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
      (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨2, sorry⟩ : Fin 3)) 2)]
Tactic: fin_cases i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
⊢ AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 3)) 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨1, ⋯⟩ : Fin 3)) 2)]
have 1 : AffineIndependent R ![t.points 1, t.points 2, t.points 0]
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Polygon.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
inst_3 : AffineSpace V P
t : Triangle R P
ht : t.points = ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
h : AffineIndependent R ![t.points 0, t.points 1, t.points 2]
⊢ AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, 0} R (P := P)
    ![Polygon.vertices (n := 3) ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨2, ⋯⟩ : Fin 3)) 1),
      Polygon.vertices ((toPolygon : (a : Triangle R P) → Polygon P 3) t)
        (HAdd.hAdd (α := Fin 3) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) (⟨2, ⋯⟩ : Fin 3)) 2)]
have 2 : AffineIndependent R ![t.points 2, t.points 0, t.points 1]
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : ↥U
h :
  Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)))
            (X.presheaf.germ U (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ⋯) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) →
            (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
    (0 : (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
⊢ ∃ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (_ :
    (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V),
    Eq (α := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      (0 : (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
have h1 : Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)))
          (X.presheaf.germ U (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) sorry) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) →
          (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
      f :
    (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)))
          (X.presheaf.germ U (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) sorry) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) →
          (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
      0 :
    (↑(X.presheaf.stalk (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))) : Type u_1))
Tactic: have h1 : X.presheaf.germ U x.val x.property f = X.presheaf.germ U x.val x.property 0 := by simpa
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hx : x ∈ U
h :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
⊢ ∃ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (_ : x ∈ V),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
have obtain : ∀ (g' : (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
  (heq :
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        g' =
      1),
  ∃ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (_ : x ∈ V),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
Tactic: obtain ⟨g', heq⟩ := h.exists_right_inv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hx : x ∈ U
h :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxV : x ∈ V
g :
  ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier)
    (X.presheaf.obj (op V))
heq :
  HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V x hxV) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          g :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1)) =
    1
W : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) := U ⊓ V
⊢ ∃ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (_ : x ∈ V),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
have hxW : x ∈ W
Tactic: have hxW : x ∈ W := ⟨hx, hxV⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
⊢ IsUnit f
have choose : ∀ (V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U)
  (m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x)
  (h_unit :
    ∀ (x : ↥U),
      IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))),
  IsUnit f
Tactic: choose V iVU m h_unit using fun x : U => X.isUnit_res_of_isUnit_germ U f x x.2 (h x.1 x.2)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x
h_unit :
  ∀ (x : ↥U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
⊢ x ∈ iSup V
have simp : ∃ (i : ↥U), x ∈ V i
Tactic: simp only [Opens.mem_iSup]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x
h_unit :
  ∀ (x : ↥U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
⊢ IsUnit f
have hcover : U ≤ iSup V
Tactic: have hcover : U ≤ iSup V := by
    intro x hxU
    simp only [Opens.mem_iSup]
    tauto