-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.LocallyRingedSpace.HasColimits (goal)
Goal:
X Y : LocallyRingedSpace
f g : X ⟶ Y
x : (↑Y.toTopCat : Type v)
a :
  (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
            (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
              (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x)) :
    Type v)
ha :
  IsUnit (M := (↑(Y.presheaf.stalk x) : Type v))
    ((CommRingCat.Hom.hom
            (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g))) x) :
          (a :
              (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
                    ((ConcreteCategory.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).hom.base :
                        (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                          (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                      x)) :
                Type v)) →
            (↑(Y.presheaf.stalk x) : Type v))
        a :
      (↑(Y.presheaf.stalk x) : Type v))
⊢ IsUnit a
have map_nonunit : ∀ (U : Opens (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
  (hU :
    Membership.mem (α := (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
              (PresheafedSpace.Hom.base (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
            (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
              (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
          x :
        (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)))
  (s :
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{v}) ↦ (↑R : Type v) →+* (↑S : Type v)) (CC := CommRingCat.carrier)
      ((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.obj (op U)))
  (ha :
    IsUnit (M := (↑(Y.presheaf.stalk x) : Type v))
      ((CommRingCat.Hom.hom
              (PresheafedSpace.Hom.stalkMap (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))
                x) :
            (a :
                (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
                      ((ConcreteCategory.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).hom.base :
                          (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                            (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                        x)) :
                  Type v)) →
              (↑(Y.presheaf.stalk x) : Type v))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{v}) ↦ (↑R : Type v) →+* (↑S : Type v)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (Y :=
                  (coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) (Y :=
                          (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                          (PresheafedSpace.Hom.base
                            (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
                        (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                          (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                      x))
                  ((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.germ U
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) (Y :=
                          (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                          (PresheafedSpace.Hom.base
                            (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
                        (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                          (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                      x)
                    hU) :
                (a : (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.obj (op U)) : Type v)) →
                  (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
                        ((ConcreteCategory.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).hom.base :
                            (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                              (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                          x)) :
                    Type v))
              s :
            (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) (Y :=
                        (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                        (PresheafedSpace.Hom.base
                          (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
                      (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                        (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                    x)) :
              Type v)) :
        (↑(Y.presheaf.stalk x) : Type v))),
  IsUnit (M :=
    (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                (PresheafedSpace.Hom.base (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
              (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
            x)) :
      Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{v}) ↦ (↑R : Type v) →+* (↑S : Type v)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y :=
            (coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                    (PresheafedSpace.Hom.base
                      (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
                  (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                    (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                x))
            ((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.germ U
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                    (PresheafedSpace.Hom.base
                      (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
                  (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                    (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                x)
              hU) :
          (a : (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.obj (op U)) : Type v)) →
            (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
                  ((ConcreteCategory.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).hom.base :
                      (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                        (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
                    x)) :
              Type v))
        s :
      (↑((coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).presheaf.stalk
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) (Y := (↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat))
                  (PresheafedSpace.Hom.base (InducedCategory.Hom.hom (coequalizer.π (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)))) :
                (a : (↑(↑Y.toPresheafedSpace : TopCat) : Type v)) →
                  (↑(↑(coequalizer (Hom.toShHom f) (Hom.toShHom g)).toPresheafedSpace : TopCat) : Type v))
              x)) :
        Type v))
Tactic: rcases TopCat.Presheaf.exists_germ_eq _ a with ⟨U, hU, s, rfl⟩
Cleared hypotheses: a, ha