awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
⊢ ∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0
have hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
Tactic: have hd₂ : m ∣ q₁.num * q₂.den - q₂.num * q₁.den := by
    rw [← Int.natAbs_dvd, ← ZMod.intCast_eq_intCast_iff_dvd_sub]
    push_cast
    rw [hq1, hq2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
hm₀ : m ≠ 0
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
⊢ ∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0
have hm₁ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
Tactic: replace hm₀ : (m : ℚ) ≠ 0 := Int.cast_ne_zero.mpr hm₀
Cleared hypotheses: hm₀
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ ∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0
have refine_1 : HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)) / m) 2 -
    d * HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m) 2 =
  1
Tactic: refine ⟨(q₁.num * q₂.num - d * (q₁.den * q₂.den)) / m, (q₁.num * q₂.den - q₂.num * q₁.den) / m,
      ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
refine_1 :
  HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)) / m) 2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m) 2 =
    1
⊢ ∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0
have refine_2 : (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m ≠ 0
Tactic: refine ⟨(q₁.num * q₂.num - d * (q₁.den * q₂.den)) / m, (q₁.num * q₂.den - q₂.num * q₁.den) / m,
      ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)) / m) 2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) ((q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m) 2 =
    1
have refine_1 : HPow.hPow (β := ℕ)
      ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - (↑d : ℚ) * HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.den : ℚ) (↑q₂.den : ℚ)) /
        (↑m : ℚ))
      2 -
    (↑d : ℚ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ))
        2 =
  1
Tactic: qify [hd₁, hd₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ)
        ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - (↑d : ℚ) * HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.den : ℚ) (↑q₂.den : ℚ)) /
          (↑m : ℚ))
        2 -
      (↑d : ℚ) *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          ((HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ))
          2 =
    1
have refine_1 : HPow.hPow (β := ℕ)
      (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑d : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) * (↑q₂.den : ℚ)) 2 -
    (↑d : ℚ) *
      HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) 2 =
  HPow.hPow (α := ℚ) (β := ℕ) (↑m : ℚ) 2
Tactic: field_simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ)
        (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.num : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑d : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) * (↑q₂.den : ℚ)) 2 -
      (↑d : ℚ) *
        HPow.hPow (β := ℕ)
          (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) 2 =
    HPow.hPow (α := ℚ) (β := ℕ) (↑m : ℚ) 2
have refine_1 : HPow.hPow (β := ℕ) (q₁.num * q₂.num - d * (↑q₁.den : ℤ) * (↑q₂.den : ℤ)) 2 -
    d * HPow.hPow (β := ℕ) (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) 2 =
  HPow.hPow (β := ℕ) m 2
Tactic: norm_cast
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ (q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)) / m ≠ 0
have refine_2 : (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ) ≠ 0
Tactic: qify [hd₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
ξ : ℝ := √(↑d : ℝ)
hξ : Irrational ξ
M : ℤ
hM₁ : 2 * |ξ| + 1 < (↑M : ℝ)
hM : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | |HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2| < M}
m : ℤ
hm : Set.Infinite (α := ℚ) {q : ℚ | HPow.hPow (β := ℕ) q.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q.den : ℤ) 2 = m}
this : NeZero m.natAbs
f : ℚ → ZMod m.natAbs × ZMod m.natAbs := fun (q : ℚ) ↦ ((↑q.num : ZMod m.natAbs), (↑q.den : ZMod m.natAbs))
q₁ : ℚ
h₁ : HPow.hPow (β := ℕ) q₁.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₁.den : ℤ) 2 = m
q₂ : ℚ
h₂ : HPow.hPow (β := ℕ) q₂.num 2 - d * HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑q₂.den : ℤ) 2 = m
hne : q₁ ≠ q₂
hqf : f q₁ = f q₂
hq1 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.num : ZMod m.natAbs) (↑q₂.num : ZMod m.natAbs)
hq2 : Eq (α := ZMod m.natAbs) (↑q₁.den : ZMod m.natAbs) (↑q₂.den : ZMod m.natAbs)
hd₁ : m ∣ q₁.num * q₂.num - d * HMul.hMul (α := ℤ) (↑q₁.den : ℤ) (↑q₂.den : ℤ)
hd₂ : m ∣ q₁.num * (↑q₂.den : ℤ) - q₂.num * (↑q₁.den : ℤ)
hm₀ : Ne (α := ℚ) (↑m : ℚ) 0
⊢ (HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ)) / (↑m : ℚ) ≠ 0
have refine_2 : HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₁.num : ℚ) (↑q₂.den : ℚ) - HMul.hMul (α := ℚ) (↑q₂.num : ℚ) (↑q₁.den : ℚ) ≠ 0
Tactic: refine div_ne_zero_iff.mpr ⟨?_, hm₀⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
⊢ (∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0) ↔ ¬IsSquare d
have refine : (∃ (x : ℤ) (y : ℤ), HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1 ∧ y ≠ 0) → ¬IsSquare d
Tactic: refine ⟨?_, exists_of_not_isSquare h₀⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
x y : ℤ
hy : y ≠ 0
a : ℤ
h₀ : 0 < a * a
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - a * a * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
⊢ False
have hxy₁ : (x + a * y) * (x - a * y) = 1
Tactic: rw [← sq, ← mul_pow, sq_sub_sq] at hxy
Cleared hypotheses: hxy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
have obtain : ∀ (x y : ℤ) (prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1) (hy : y ≠ 0),
  ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
Tactic: obtain ⟨x, y, prop, hy⟩ := exists_of_not_isSquare h₀ hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
have refine_1 : ∀ (H : mk x y prop = 1), False
Tactic: refine ⟨mk x y prop, fun H => ?_, fun H => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
refine_1 : ∀ (H : mk x y prop = 1), False
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), a ≠ 1 ∧ a ≠ -1
have refine_2 : ∀ (H : mk x y prop = -1), False
Tactic: refine ⟨mk x y prop, fun H => ?_, fun H => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
H : mk x y prop = 1
⊢ False
have H₁ : (mk x y prop).y = Solution₁.y (d := d) 1
Tactic: apply_fun Solution₁.y at H
Cleared hypotheses: H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
prop : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
H : mk x y prop = -1
⊢ False
have H₁ : (mk x y prop).y = Solution₁.y (d := d) (-1)
Tactic: apply_fun Solution₁.y at H
Cleared hypotheses: H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), 1 < a.x ∧ 0 < a.y
have obtain : ∀ (x y : ℤ) (h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1) (hy : y ≠ 0),
  ∃ (a : Solution₁ d), 1 < a.x ∧ 0 < a.y
Tactic: obtain ⟨x, y, h, hy⟩ := exists_of_not_isSquare h₀ hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) |x| 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) |y| 2 = 1
have rwa : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) |y| 2 = 1
Tactic: rwa [sq_abs, sq_abs]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), 1 < a.x ∧ 0 < a.y
have refine : 1 < Solution₁.x (d := d) (mk |x| |y| sorry)
Tactic: refine ⟨mk |x| |y| (by rwa [sq_abs, sq_abs]), ?_, abs_pos.mpr hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
x y : ℤ
h : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
hy : y ≠ 0
⊢ 1 < Solution₁.x (d := d) (mk |x| |y| ⋯)
have rw : 0 < d * HPow.hPow (β := ℕ) y 2
Tactic: rw [x_mk, ← one_lt_sq_iff_one_lt_abs, eq_add_of_sub_eq h, lt_add_iff_pos_right]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
⊢ a = b
have hx : a.x = b.x
Tactic: have hx := le_antisymm (ha.2.2 hb.1) (hb.2.2 ha.1)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ a = b
have refine : a.y = b.y
Tactic: refine Solution₁.ext hx ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
have rw : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
Tactic: rw [a.prop_y, b.prop_y, hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
rw : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
⊢ d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
have rw₁ : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1
Tactic: rw [a.prop_y, b.prop_y, hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
rw : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
rw₁ : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1
⊢ d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
have rw₂ : HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) b.x 2 - 1
Tactic: rw [a.prop_y, b.prop_y, hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
a b : Solution₁ d
ha : IsFundamental a
hb : IsFundamental b
hx : a.x = b.x
⊢ a.y = b.y
have this : d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = d * HPow.hPow (β := ℕ) b.y 2
Tactic: have : d * a.y ^ 2 = d * b.y ^ 2 := by rw [a.prop_y, b.prop_y, hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
have obtain : ∀ (a : Solution₁ d) (ha₁ : 1 < a.x) (ha₂ : 0 < a.y), ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
Tactic: obtain ⟨a, ha₁, ha₂⟩ := exists_pos_of_not_isSquare h₀ hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
have hax : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
Tactic: have hax := a.prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
hax : HPow.hPow (β := ℕ) a.x 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
have lift : ∀ (ax : ℕ) (ha₁ : LT.lt (α := ℤ) 1 (↑ax : ℤ))
  (hax : HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑ax : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1),
  ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
Tactic: lift a.x to ℕ using by positivity with ax
Cleared hypotheses: ha₁, hax
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₂ : 0 < a.y
ax : ℕ
ha₁ : LT.lt (α := ℤ) 1 (↑ax : ℤ)
hax : HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑ax : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) a.y 2 = 1
⊢ ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
have ha₃ : 1 < ax
Tactic: norm_cast at ha₁
Cleared hypotheses: ha₁
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (hypothesis)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
have P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
Tactic: have P : ∃ x' : ℕ, 1 < x' ∧ ∃ y' : ℤ, 0 < y' ∧ (x' : ℤ) ^ 2 - d * y' ^ 2 = 1 := by
    have hax := a.prop
    lift a.x to ℕ using by positivity with ax
    norm_cast at ha₁
    exact ⟨ax, ha₁, a.y, ha₂, hax⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
have obtain : ∀
  (hx :
    1 <
      Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
        1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P)
  (y₁ : ℤ) (hy₀ : 0 < y₁)
  (hy₁ :
    HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
          (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
                1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
                P) :
            ℤ)
          2 -
        d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
      1),
  ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
Tactic: obtain ⟨hx, y₁, hy₀, hy₁⟩ := Nat.find_spec P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.Pell (goal)
Goal:
d : ℤ
h₀ : 0 < d
hd : ¬IsSquare d
a : Solution₁ d
ha₁ : 1 < a.x
ha₂ : 0 < a.y
P : ∃ (x' : ℕ), 1 < x' ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑x' : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1
x₁ : ℕ :=
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
    1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
hx :
  1 <
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
      1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1) P
y₁ : ℤ
hy₀ : 0 < y₁
hy₁ :
  HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ)
        (↑(Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦
              1 < n ∧ ∃ (y' : ℤ), 0 < y' ∧ HPow.hPow (α := ℤ) (β := ℕ) (↑n : ℤ) 2 - d * HPow.hPow (β := ℕ) y' 2 = 1)
              P) :
          ℤ)
        2 -
      d * HPow.hPow (β := ℕ) y₁ 2 =
    1
⊢ ∃ (a : Solution₁ d), IsFundamental a
have refine : ∀ {b : Solution₁ d} (hb : 1 < b.x), (Solution₁.mk (↑x₁ : ℤ) y₁ hy₁).x ≤ b.x
Tactic: refine ⟨mk x₁ y₁ hy₁, by rw [x_mk]; exact mod_cast hx, hy₀, fun {b} hb => ?_⟩