awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst_1 : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst_2 : Semiring R''
A : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
S : Type u_9
T : Type u_10
inst_3 : AddCommMonoid M
inst_4 : AddCommMonoid N
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : AddCommMonoid Q
inst_7 : AddCommMonoid S
inst_8 : AddCommMonoid T
inst_9 : Module R M
inst_10 : Module R N
inst_11 : Module R Q
inst_12 : Module R S
inst_13 : Module R T
inst_14 : DistribMulAction R' M
inst_15 : Module R'' M
inst_16 : Module R P
P' : Type u_11
Q' : Type u_12
inst_17 : AddCommMonoid P'
inst_18 : Module R P'
inst_19 : AddCommMonoid Q'
inst_20 : Module R Q'
⊢ Eq (α := M ⊗[R] P ⊗[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
    (lift
        (lift
          ((↑lflip : (P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) →ₗ[R] N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) ∘ₗ
            compr₂ (mk R M P) (mk R (M ⊗[R] P) N))) ∘ₗ
      lift
        (lift
          ((↑lflip : (N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) →ₗ[R] P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) ∘ₗ
            compr₂ (mk R M N) (mk R (M ⊗[R] N) P))))
    LinearMap.id
have H : ∀ (x : M) (x_1 : P) (x_2 : N),
  Eq (α := M ⊗[R] P ⊗[R] N)
    ((((((compr₂ₛₗ (mk R M P)
                        (compr₂ₛₗ (mk R (M ⊗[R] P) N)
                          (lift
                              (lift
                                ((↑lflip : (P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) →ₗ[R] N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) ∘ₗ
                                  compr₂ (mk R M P) (mk R (M ⊗[R] P) N))) ∘ₗ
                            lift
                              (lift
                                ((↑lflip : (N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) →ₗ[R] P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) ∘ₗ
                                  compr₂ (mk R M N) (mk R (M ⊗[R] N) P))))) :
                      (a : M) → P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
                    x :
                  P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
                (a : P) → N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
              x_1 :
            N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
          (a : N) → M ⊗[R] P ⊗[R] N)
        x_2 :
      M ⊗[R] P ⊗[R] N)
    ((((((compr₂ₛₗ (mk R M P) (compr₂ₛₗ (mk R (M ⊗[R] P) N) LinearMap.id) : (a : M) → P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
                    x :
                  P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
                (a : P) → N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
              x_1 :
            N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
          (a : N) → M ⊗[R] P ⊗[R] N)
        x_2 :
      M ⊗[R] P ⊗[R] N)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst_1 : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst_2 : Semiring R''
A : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
S : Type u_9
T : Type u_10
inst_3 : AddCommMonoid M
inst_4 : AddCommMonoid N
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : AddCommMonoid Q
inst_7 : AddCommMonoid S
inst_8 : AddCommMonoid T
inst_9 : Module R M
inst_10 : Module R N
inst_11 : Module R Q
inst_12 : Module R S
inst_13 : Module R T
inst_14 : DistribMulAction R' M
inst_15 : Module R'' M
inst_16 : Module R P
P' : Type u_11
Q' : Type u_12
inst_17 : AddCommMonoid P'
inst_18 : Module R P'
inst_19 : AddCommMonoid Q'
inst_20 : Module R Q'
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P)
    (lift
        (lift
          ((↑lflip : (N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) →ₗ[R] P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) ∘ₗ
            compr₂ (mk R M N) (mk R (M ⊗[R] N) P))) ∘ₗ
      lift
        (lift
          ((↑lflip : (P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) →ₗ[R] N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) ∘ₗ
            compr₂ (mk R M P) (mk R (M ⊗[R] P) N))))
    LinearMap.id
have H : ∀ (x : M) (x_1 : N) (x_2 : P),
  Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] P)
    ((((((compr₂ₛₗ (mk R M N)
                        (compr₂ₛₗ (mk R (M ⊗[R] N) P)
                          (lift
                              (lift
                                ((↑lflip : (N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) →ₗ[R] P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) ∘ₗ
                                  compr₂ (mk R M N) (mk R (M ⊗[R] N) P))) ∘ₗ
                            lift
                              (lift
                                ((↑lflip : (P →ₗ[R] N →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) →ₗ[R] N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) ∘ₗ
                                  compr₂ (mk R M P) (mk R (M ⊗[R] P) N))))) :
                      (a : M) → N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P)
                    x :
                  N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) :
                (a : N) → P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P)
              x_1 :
            P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) :
          (a : P) → M ⊗[R] N ⊗[R] P)
        x_2 :
      M ⊗[R] N ⊗[R] P)
    ((((((compr₂ₛₗ (mk R M N) (compr₂ₛₗ (mk R (M ⊗[R] N) P) LinearMap.id) : (a : M) → N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P)
                    x :
                  N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) :
                (a : N) → P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P)
              x_1 :
            P →ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] P) :
          (a : P) → M ⊗[R] N ⊗[R] P)
        x_2 :
      M ⊗[R] N ⊗[R] P)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] P ≃ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) (rightComm R M N P)
    (TensorProduct.assoc R M N P ≪≫ₗ congr (LinearEquiv.refl R M) (TensorProduct.comm R N P) ≪≫ₗ
      LinearEquiv.symm (TensorProduct.assoc R M P N))
have a : Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) (↑(rightComm R M N P) : M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
  (↑(TensorProduct.assoc R M N P ≪≫ₗ congr (LinearEquiv.refl R M) (TensorProduct.comm R N P) ≪≫ₗ
        LinearEquiv.symm (TensorProduct.assoc R M P N)) :
    M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
Tactic: apply LinearEquiv.toLinearMap_injective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : Module R M
inst_5 : Module R N
inst_6 : Module R P
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) (↑(rightComm R M N P) : M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
    (↑(TensorProduct.assoc R M N P ≪≫ₗ congr (LinearEquiv.refl R M) (TensorProduct.comm R N P) ≪≫ₗ
          LinearEquiv.symm (TensorProduct.assoc R M P N)) :
      M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
have a : ∀ (x : M) (x_1 : N) (x_2 : P),
  Eq (α := M ⊗[R] P ⊗[R] N)
    ((((((compr₂ₛₗ (mk R M N)
                        (compr₂ₛₗ (mk R (M ⊗[R] N) P) (↑(rightComm R M N P) : M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)) :
                      (a : M) → N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
                    x :
                  N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
                (a : N) → P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
              x_1 :
            P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
          (a : P) → M ⊗[R] P ⊗[R] N)
        x_2 :
      M ⊗[R] P ⊗[R] N)
    ((((((compr₂ₛₗ (mk R M N)
                        (compr₂ₛₗ (mk R (M ⊗[R] N) P)
                          (↑(TensorProduct.assoc R M N P ≪≫ₗ congr (LinearEquiv.refl R M) (TensorProduct.comm R N P) ≪≫ₗ
                                LinearEquiv.symm (TensorProduct.assoc R M P N)) :
                            M ⊗[R] N ⊗[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)) :
                      (a : M) → N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
                    x :
                  N →ₗ[R] P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
                (a : N) → P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N)
              x_1 :
            P →ₗ[R] M ⊗[R] P ⊗[R] N) :
          (a : P) → M ⊗[R] P ⊗[R] N)
        x_2 :
      M ⊗[R] P ⊗[R] N)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : AddCommMonoid Q
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module R Q
inst_8 : Module R P
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q))
    (tensorTensorTensorComm R M N P Q ≪≫ₗ tensorTensorTensorComm R M P N Q)
    (LinearEquiv.refl R (M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q)))
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q) ≃ₗ[R] M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q))
  (LinearEquiv.symm (tensorTensorTensorComm R M P N Q) ≪≫ₗ tensorTensorTensorComm R M P N Q)
  (LinearEquiv.refl R (M ⊗[R] N ⊗[R] (P ⊗[R] Q)))
Tactic: rw [← tensorTensorTensorComm_symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : AddCommMonoid Q
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module R Q
inst_8 : Module R P
x : M →ₗ[R] N
⊢ Eq (α := P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q))
    (lTensor P (rTensor Q x) ∘ₗ (↑(assoc R P M Q) : P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (M ⊗[R] Q)))
    ((↑(assoc R P N Q) : P ⊗[R] N ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q)) ∘ₗ rTensor Q (lTensor P x))
have simp_rw : Eq (α := P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q))
  (lTensor P (map x id) ∘ₗ (↑(assoc R P M Q) : P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (M ⊗[R] Q)))
  ((↑(assoc R P N Q) : P ⊗[R] N ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q)) ∘ₗ map (lTensor P x) id)
Tactic: simp_rw [rTensor, lTensor, map_map_comp_assoc_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : AddCommMonoid Q
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module R Q
inst_8 : Module R P
x : M →ₗ[R] N
simp_rw :
  Eq (α := P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q))
    (lTensor P (map x id) ∘ₗ (↑(assoc R P M Q) : P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (M ⊗[R] Q)))
    ((↑(assoc R P N Q) : P ⊗[R] N ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q)) ∘ₗ map (lTensor P x) id)
⊢ Eq (α := P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q))
    (lTensor P (rTensor Q x) ∘ₗ (↑(assoc R P M Q) : P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (M ⊗[R] Q)))
    ((↑(assoc R P N Q) : P ⊗[R] N ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q)) ∘ₗ rTensor Q (lTensor P x))
have simp_rw₁ : Eq (α := P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q))
  (map id (map x id) ∘ₗ (↑(assoc R P M Q) : P ⊗[R] M ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (M ⊗[R] Q)))
  ((↑(assoc R P N Q) : P ⊗[R] N ⊗[R] Q →ₗ[R] P ⊗[R] (N ⊗[R] Q)) ∘ₗ map (map id x) id)
Tactic: simp_rw [rTensor, lTensor, map_map_comp_assoc_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : AddCommMonoid Q
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module R Q
inst_8 : Module R P
x : M →ₗ[R] N
⊢ Eq (α := P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q)
    (rTensor Q (lTensor P x) ∘ₗ (↑(LinearEquiv.symm (assoc R P M Q)) : P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] M ⊗[R] Q))
    ((↑(LinearEquiv.symm (assoc R P N Q)) : P ⊗[R] (N ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q) ∘ₗ lTensor P (rTensor Q x))
have simp_rw : Eq (α := P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q)
  (map (lTensor P x) id ∘ₗ (↑(LinearEquiv.symm (assoc R P M Q)) : P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] M ⊗[R] Q))
  ((↑(LinearEquiv.symm (assoc R P N Q)) : P ⊗[R] (N ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q) ∘ₗ lTensor P (map x id))
Tactic: simp_rw [rTensor, lTensor, map_map_comp_assoc_symm_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_5
N : Type u_6
P : Type u_7
Q : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : AddCommMonoid Q
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : Module R Q
inst_8 : Module R P
x : M →ₗ[R] N
simp_rw :
  Eq (α := P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q)
    (map (lTensor P x) id ∘ₗ (↑(LinearEquiv.symm (assoc R P M Q)) : P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] M ⊗[R] Q))
    ((↑(LinearEquiv.symm (assoc R P N Q)) : P ⊗[R] (N ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q) ∘ₗ lTensor P (map x id))
⊢ Eq (α := P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q)
    (rTensor Q (lTensor P x) ∘ₗ (↑(LinearEquiv.symm (assoc R P M Q)) : P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] M ⊗[R] Q))
    ((↑(LinearEquiv.symm (assoc R P N Q)) : P ⊗[R] (N ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q) ∘ₗ lTensor P (rTensor Q x))
have simp_rw₁ : Eq (α := P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q)
  (map (map id x) id ∘ₗ (↑(LinearEquiv.symm (assoc R P M Q)) : P ⊗[R] (M ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] M ⊗[R] Q))
  ((↑(LinearEquiv.symm (assoc R P N Q)) : P ⊗[R] (N ⊗[R] Q) →ₗ[R] P ⊗[R] N ⊗[R] Q) ∘ₗ map id (map x id))
Tactic: simp_rw [rTensor, lTensor, map_map_comp_assoc_symm_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_11
A : Type u_12
A' : Type u_13
B : Type u_14
B' : Type u_15
C : Type u_16
C' : Type u_17
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid A'
inst_2 : AddCommMonoid B'
inst_3 : AddCommMonoid C'
inst_4 : Module R A'
inst_5 : Module R B'
inst_6 : Module R C'
eA : A ≃ A'
eB : B ≃ B'
eC : C ≃ C'
⊢ Eq (α := A ⊗[R] B ⊗[R] C ≃ₗ[R] A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) (TensorProduct.assoc R A B C)
    (TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
      (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
        TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
          (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))))
have h : ∀ (x : A ⊗[R] B ⊗[R] C),
  Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) x : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
            (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
              TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
                (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
          (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
        x :
      A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_11
A : Type u_12
A' : Type u_13
B : Type u_14
B' : Type u_15
C : Type u_16
C' : Type u_17
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid A'
inst_2 : AddCommMonoid B'
inst_3 : AddCommMonoid C'
inst_4 : Module R A'
inst_5 : Module R B'
inst_6 : Module R C'
eA : A ≃ A'
eB : B ≃ B'
eC : C ≃ C'
x : A ⊗[R] B
a : C
⊢ Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) (x ⊗ₜ[R] a) : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
            (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
              TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
                (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
          (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
        (x ⊗ₜ[R] a) :
      A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
have h : Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
  ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) (0 ⊗ₜ[R] a) : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
  ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
          (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
            TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
              (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
        (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
      (0 ⊗ₜ[R] a) :
    A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
Tactic: induction x
Cleared hypotheses: x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_11
A : Type u_12
A' : Type u_13
B : Type u_14
B' : Type u_15
C : Type u_16
C' : Type u_17
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid A'
inst_2 : AddCommMonoid B'
inst_3 : AddCommMonoid C'
inst_4 : Module R A'
inst_5 : Module R B'
inst_6 : Module R C'
eA : A ≃ A'
eB : B ≃ B'
eC : C ≃ C'
x : A ⊗[R] B
a : C
h :
  Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) (0 ⊗ₜ[R] a) : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
            (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
              TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
                (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
          (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
        (0 ⊗ₜ[R] a) :
      A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
⊢ Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) (x ⊗ₜ[R] a) : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
            (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
              TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
                (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
          (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
        (x ⊗ₜ[R] a) :
      A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
have h₁ : ∀ (x : A) (y : B),
  Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) (x ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] a) : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
            (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
              TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
                (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
          (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
        (x ⊗ₜ[R] y ⊗ₜ[R] a) :
      A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
Tactic: induction x
Cleared hypotheses: x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Associator (goal)
Goal:
R : Type u_11
A : Type u_12
A' : Type u_13
B : Type u_14
B' : Type u_15
C : Type u_16
C' : Type u_17
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid A'
inst_2 : AddCommMonoid B'
inst_3 : AddCommMonoid C'
inst_4 : Module R A'
inst_5 : Module R B'
inst_6 : Module R C'
eA : A ≃ A'
eB : B ≃ B'
eC : C ≃ C'
x : A ⊗[R] B ⊗[R] C
⊢ Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) x : A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
            (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
              TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
                (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
          (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
        x :
      A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
have h : Eq (α := A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) ((TensorProduct.assoc R A B C : (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C)) 0)
  ((TensorProduct.congr (TensorProduct.congr (linearEquiv R eA) (linearEquiv R eB)) (linearEquiv R eC) ≪≫ₗ
        (TensorProduct.assoc R A' B' C' ≪≫ₗ
          TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eA))
            (TensorProduct.congr (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eB)) (LinearEquiv.symm (linearEquiv R eC)))) :
      (a : A ⊗[R] B ⊗[R] C) → A ⊗[R] (B ⊗[R] C))
    0)
Tactic: induction x with
  | zero => simp
  | add => simp [*]
  | tmul x a => induction x <;> simp [*, add_tmul]
Cleared hypotheses: x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
f : M →+ N →+ P
hf :
  ∀ (r : R) (m : M) (n : N),
    Eq.{u_9 + 1} (α := P) ((((f : (a : M) → N →+ P) (r • m) : N →+ P) : (a : N) → P) n : P)
      ((((f : (a : M) → N →+ P) m : N →+ P) : (a : N) → P) (r • n) : P)
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
n : N
⊢ Eq.{u_9 + 1} (α := P)
    (((FreeAddMonoid.lift : (a : M × N → P) → FreeAddMonoid (M × N) →+ P) fun (mn : M × N) ↦
            (((f : (a : M) → N →+ P) mn.1 : N →+ P) : (a : N) → P) mn.2 :
          (a : FreeAddMonoid (M × N)) → P)
        (FreeAddMonoid.of (0, n)) :
      P)
    (((FreeAddMonoid.lift : (a : M × N → P) → FreeAddMonoid (M × N) →+ P) fun (mn : M × N) ↦
            (((f : (a : M) → N →+ P) mn.1 : N →+ P) : (a : N) → P) mn.2 :
          (a : FreeAddMonoid (M × N)) → P)
        0 :
      P)
have simp_rw : Eq.{u_9 + 1} (α := P)
  (((FreeAddMonoid.lift : (a : M × N → P) → FreeAddMonoid (M × N) →+ P) fun (mn : M × N) ↦
          (((f : (a : M) → N →+ P) mn.1 : N →+ P) : (a : N) → P) mn.2 :
        (a : FreeAddMonoid (M × N)) → P)
      (FreeAddMonoid.of (0, n)) :
    P)
  (0 : P)
Tactic: simp_rw [map_zero, FreeAddMonoid.lift_eval_of, map_zero,
          AddMonoidHom.zero_apply]