awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X Y : Scheme
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
f g : X ⟶ Y
e : X.fromSpecStalk x ≫ f = X.fromSpecStalk x ≫ g
e₁ : Eq (α := ↥Y) (f x : ↥Y) (g x : ↥Y)
⊢ ∃ (U : X.Opens), x ∈ U ∧ U.ι ≫ f = U.ι ≫ g
have H : Scheme.Hom.stalkMap f x = Y.presheaf.stalkSpecializes sorry ≫ Scheme.Hom.stalkMap g x
Tactic: fapply spread_out_unique_of_isGermInjective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X Y : Scheme
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
f g : X ⟶ Y
e : X.fromSpecStalk x ≫ f = X.fromSpecStalk x ≫ g
⊢ Scheme.Hom.stalkMap f x = Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Scheme.Hom.stalkMap g x
have H : Spec.map (Scheme.Hom.stalkMap f x) = Spec.map (Y.presheaf.stalkSpecializes sorry ≫ Scheme.Hom.stalkMap g x)
Tactic: apply Spec.map_injective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X Y : Scheme
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
f g : X ⟶ Y
e : X.fromSpecStalk x ≫ f = X.fromSpecStalk x ≫ g
⊢ Spec.map (Scheme.Hom.stalkMap f x) = Spec.map (Y.presheaf.stalkSpecializes ⋯ ≫ Scheme.Hom.stalkMap g x)
have H : Spec.map (Scheme.Hom.stalkMap f x) ≫ Y.fromSpecStalk (f x) =
  CategoryStruct.comp (Y := Spec (Y.presheaf.stalk (f x)))
    (Spec.map (Y.presheaf.stalkSpecializes sorry ≫ Scheme.Hom.stalkMap g x)) (Y.fromSpecStalk (f x))
Tactic: rw [← cancel_mono (Y.fromSpecStalk _)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V),
    V ≤ U ∧ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
have obtain : ∀ (s : Finset (↑A : Type u))
  (hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤),
  ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V),
    V ≤ U ∧ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
Tactic: obtain ⟨s, hs⟩ := hφRA
Cleared hypotheses: hφRA
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
s : Finset (↑A : Type u)
hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V),
    V ≤ U ∧ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
have choose : ∀ (W : (t : (↑A : Type u)) → TopologicalSpace.Opens ↥X) (hxW : ∀ (t : (↑A : Type u)), x ∈ W t)
  (f :
    (t : (↑A : Type u)) →
      ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
        (X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))))
  (hf :
    ∀ (t : (↑A : Type u)),
      Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (W t) x sorry) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
            (f t) :
          (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) φ :
              (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
            t :
          (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))),
  ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V),
    V ≤ U ∧ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
Tactic: choose W hxW f hf using fun t ↦ X.presheaf.exists_germ_eq (φ t)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
s : Finset (↑A : Type u)
hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤
W : (t : (↑A : Type u)) → TopologicalSpace.Opens ↥X
hxW : ∀ (t : (↑A : Type u)), x ∈ W t
f :
  (t : (↑A : Type u)) →
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
      (X.presheaf.obj (Opposite.op (W t)))
hf :
  ∀ (t : (↑A : Type u)),
    Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (W t) x ⋯) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          (f t) :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) φ :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          t :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
⊢ x ∈ s.inf W ⊓ U
have rw : x ∈ s.inf (SetLike.coe ∘ W) ∩ (↑U : Set ↥X)
Tactic: rw [← SetLike.mem_coe, TopologicalSpace.Opens.coe_inf, TopologicalSpace.Opens.coe_finset_inf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (hypothesis)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
s : Finset (↑A : Type u)
hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤
W : (t : (↑A : Type u)) → TopologicalSpace.Opens ↥X
hxW : ∀ (t : (↑A : Type u)), x ∈ W t
f :
  (t : (↑A : Type u)) →
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
      (X.presheaf.obj (Opposite.op (W t)))
hf :
  ∀ (t : (↑A : Type u)),
    Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (W t) x ⋯) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          (f t) :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) φ :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          t :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V),
    V ≤ U ∧ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
have H : x ∈ s.inf W ⊓ U
Tactic: have H : x ∈ s.inf W ⊓ U := by
    rw [← SetLike.mem_coe, TopologicalSpace.Opens.coe_inf, TopologicalSpace.Opens.coe_finset_inf]
    exact ⟨by simpa using fun x _ ↦ hxW x, hxU⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
s : Finset (↑A : Type u)
hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤
W : (t : (↑A : Type u)) → TopologicalSpace.Opens ↥X
hxW : ∀ (t : (↑A : Type u)), x ∈ W t
f :
  (t : (↑A : Type u)) →
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
      (X.presheaf.obj (Opposite.op (W t)))
hf :
  ∀ (t : (↑A : Type u)),
    Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (W t) x ⋯) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          (f t) :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) φ :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          t :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
H : x ∈ s.inf W ⊓ U
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V),
    V ≤ U ∧ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
have refine : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ (s.inf W ⊓ U) x H))
Tactic: refine ⟨s.inf W ⊓ U, H, inf_le_right, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this_1 : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
s : Finset (↑A : Type u)
hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤
W : (t : (↑A : Type u)) → TopologicalSpace.Opens ↥X
hxW : ∀ (t : (↑A : Type u)), x ∈ W t
f :
  (t : (↑A : Type u)) →
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
      (X.presheaf.obj (Opposite.op (W t)))
hf :
  ∀ (t : (↑A : Type u)),
    Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (W t) x ⋯) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          (f t) :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) φ :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          t :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
H : x ∈ s.inf W ⊓ U
this_2 : Algebra (↑R : Type u) (↑Γ(X, U) : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRX).toAlgebra
this_3 : Algebra (↑R : Type u) (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
  RingHom.toAlgebra (CommRingCat.Hom.hom (φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU))
this : Algebra (↑R : Type u) (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (s.inf W ⊓ U))) : Type u) :=
  RingHom.toAlgebra (CommRingCat.Hom.hom (φRX ≫ X.presheaf.map (Quiver.Hom.op (homOfLE ⋯))))
φ' : (↑A : Type u) →ₐ[(↑R : Type u)] (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
  let __src := CommRingCat.Hom.hom φ;
  { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
ψ : (↑Γ(X, s.inf W ⊓ U) : Type u) →ₐ[(↑R : Type u)] (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
  let __src : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (s.inf W ⊓ U))) : Type u) →+* (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
    CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ (s.inf W ⊓ U) x H);
  { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ (s.inf W ⊓ U) x H))
have change : φ'.range ≤ ψ.range
Tactic: change AlgHom.range φ' ≤ AlgHom.range ψ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
U : X.Opens
x : ↥X
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
this_1 : Algebra (↑R : Type u) (↑A : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRA).toAlgebra
s : Finset (↑A : Type u)
hs : Eq (α := Subalgebra (↑R : Type u) (↑A : Type u)) (Algebra.adjoin (↑R : Type u) (↑s : Set (↑A : Type u))) ⊤
W : (t : (↑A : Type u)) → TopologicalSpace.Opens ↥X
hxW : ∀ (t : (↑A : Type u)), x ∈ W t
f :
  (t : (↑A : Type u)) →
    ToType (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := CommRingCat.carrier)
      (X.presheaf.obj (Opposite.op (W t)))
hf :
  ∀ (t : (↑A : Type u)),
    Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (W t) x ⋯) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (W t))) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          (f t) :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) φ :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
          t :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
H : x ∈ s.inf W ⊓ U
this_2 : Algebra (↑R : Type u) (↑Γ(X, U) : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom φRX).toAlgebra
this_3 : Algebra (↑R : Type u) (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
  RingHom.toAlgebra (CommRingCat.Hom.hom (φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU))
this : Algebra (↑R : Type u) (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (s.inf W ⊓ U))) : Type u) :=
  RingHom.toAlgebra (CommRingCat.Hom.hom (φRX ≫ X.presheaf.map (Quiver.Hom.op (homOfLE ⋯))))
φ' : (↑A : Type u) →ₐ[(↑R : Type u)] (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
  let __src := CommRingCat.Hom.hom φ;
  { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
ψ : (↑Γ(X, s.inf W ⊓ U) : Type u) →ₐ[(↑R : Type u)] (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
  let __src : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op (s.inf W ⊓ U))) : Type u) →+* (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u) :=
    CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ (s.inf W ⊓ U) x H);
  { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }
⊢ φ'.range ≤ ψ.range
have rw : (⇑φ' : (a : (↑A : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) '' (↑s : Set (↑A : Type u)) ⊆
  (↑ψ.range : Set (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
Tactic: rw [← Algebra.map_top, ← hs, AlgHom.map_adjoin, Algebra.adjoin_le_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
have obtain : ∀ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (iVU : V ≤ U)
  (hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))),
  ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
Tactic: obtain ⟨V, hxV, iVU, hV⟩ := exists_lift_of_germInjective_aux hxU φ φRA φRX hφRA e
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
have obtain : ∀ (V' : X.Opens) (hxV' : x ∈ V') (hV' : IsAffineOpen V') (iV'V : V' ≤ V)
  (H :
    Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))),
  ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
Tactic: obtain ⟨V', hxV', hV', iV'V, H⟩ := X.exists_le_and_germ_injective x V hxV
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
V' : X.Opens
hxV' : x ∈ V'
hV' : IsAffineOpen V'
iV'V : V' ≤ V
H :
  Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
      (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
f : X.presheaf.obj (Opposite.op V') ⟶ X.presheaf.stalk x := X.presheaf.germ V' x hxV'
⊢ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV)) ≤ (CommRingCat.Hom.hom f).range
have rw : RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.map iV'V.hom.op ≫ X.presheaf.germ V' x hxV')) ≤
  (CommRingCat.Hom.hom f).range
Tactic: rw [← X.presheaf.germ_res iV'V.hom _ hxV']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (hypothesis)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
V' : X.Opens
hxV' : x ∈ V'
hV' : IsAffineOpen V'
iV'V : V' ≤ V
H :
  Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
      (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
f : X.presheaf.obj (Opposite.op V') ⟶ X.presheaf.stalk x := X.presheaf.germ V' x hxV'
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
have hf' : RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV)) ≤ (CommRingCat.Hom.hom f).range
Tactic: have hf' : RingHom.range (X.presheaf.germ V x hxV).hom ≤ RingHom.range f.hom := by
    rw [← X.presheaf.germ_res iV'V.hom _ hxV']
    exact Set.range_comp_subset_range (X.presheaf.map iV'V.hom.op) f
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e_1 : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
V' : X.Opens
hxV' : x ∈ V'
hV' : IsAffineOpen V'
iV'V : V' ≤ V
H :
  Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
      (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
f : X.presheaf.obj (Opposite.op V') ⟶ X.presheaf.stalk x := X.presheaf.germ V' x hxV'
hf' : RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV)) ≤ (CommRingCat.Hom.hom f).range
e : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u) ≃+*
  ↥(RingHom.range
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV'))) :=
  RingEquiv.ofLeftInverse ⋯
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
have refine_1 : φ =
  CommRingCat.ofHom
      (e.symm.toRingHom.comp
        ((CommRingCat.Hom.hom φ).codRestrict
          (RingHom.range
            (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))
          sorry)) ≫
    X.presheaf.germ V' x hxV'
Tactic: refine ⟨V', hxV', CommRingCat.ofHom (e.symm.toRingHom.comp
    (φ.hom.codRestrict _ (fun x ↦ hf' (hV ⟨x, rfl⟩)))), iV'V.trans iVU, hV', ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.SpreadingOut (goal)
Goal:
X : Scheme
R A : CommRingCat
x : ↥X
inst : X.IsGermInjectiveAt x
U : X.Opens
hxU : x ∈ U
φ : A ⟶ X.presheaf.stalk x
φRA : R ⟶ A
φRX : R ⟶ Γ(X, U)
hφRA : (CommRingCat.Hom.hom φRA).FiniteType
e_1 : φRA ≫ φ = φRX ≫ X.presheaf.germ U x hxU
V : X.Opens
hxV : x ∈ V
iVU : V ≤ U
hV : (CommRingCat.Hom.hom φ).range ≤ RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV))
V' : X.Opens
hxV' : x ∈ V'
hV' : IsAffineOpen V'
iV'V : V' ≤ V
H :
  Function.Injective (α := (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) (β := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')) :
      (a : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u))
f : X.presheaf.obj (Opposite.op V') ⟶ X.presheaf.stalk x := X.presheaf.germ V' x hxV'
hf' : RingHom.range (CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V x hxV)) ≤ (CommRingCat.Hom.hom f).range
e : (↑(X.presheaf.obj (Opposite.op V')) : Type u) ≃+*
  ↥(RingHom.range
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV'))) :=
  RingEquiv.ofLeftInverse ⋯
refine_1 :
  φ =
    CommRingCat.ofHom
        (e.symm.toRingHom.comp
          ((CommRingCat.Hom.hom φ).codRestrict
            (RingHom.range
              (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))
            ⋯)) ≫
      X.presheaf.germ V' x hxV'
⊢ ∃ (V : X.Opens) (hxV : x ∈ V) (φ' : A ⟶ Γ(X, V)) (i : V ≤ U),
    IsAffineOpen V ∧ φ = φ' ≫ X.presheaf.germ V x hxV ∧ φRX ≫ X.presheaf.map i.hom.op = φRA ≫ φ'
have refine_2 : φRX ≫ X.presheaf.map sorry.hom.op =
  φRA ≫
    CommRingCat.ofHom
      (e.symm.toRingHom.comp
        ((CommRingCat.Hom.hom φ).codRestrict
          (RingHom.range
            (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ V' x hxV')))
          sorry))
Tactic: refine ⟨V', hxV', CommRingCat.ofHom (e.symm.toRingHom.comp
    (φ.hom.codRestrict _ (fun x ↦ hf' (hV ⟨x, rfl⟩)))), iV'V.trans iVU, hV', ?_, ?_⟩