awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 ω f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F) (fun (x : E) ↦ p x i) u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn ω g q v
h'q :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_3, u_4} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G) (fun (x : F) ↦ q x i) v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ insert (f x) (f '' s) ⊆ insert (f x) t
have h : f '' s ⊆ t
Tactic: apply insert_subset_insert
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 ω f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F) (fun (x : E) ↦ p x i) u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn ω g q v
h'q :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_3, u_4} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G) (fun (x : F) ↦ q x i) v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ AnalyticOn 𝕜 f w
have this : AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F)
  (fun (y : E) ↦
    (LinearIsometryEquiv.symm (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) :
        (a : F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F)
      (f y))
  w
Tactic: have : AnalyticOn 𝕜 (fun y ↦ (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f y)) w :=
          ((h'p 0).mono wu).congr fun y hy ↦ (hp.zero_eq' (wu hy)).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 ω f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F) (fun (x : E) ↦ p x i) u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn ω g q v
h'q :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_3, u_4} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G) (fun (x : F) ↦ q x i) v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
this :
  AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F)
    (fun (y : E) ↦
      (LinearIsometryEquiv.symm (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) :
          (a : F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F)
        (f y))
    w
⊢ AnalyticOn 𝕜 f w
have this₁ : AnalyticOn.{u_1, u_2, u_3} 𝕜 (F := F)
  (fun (y : E) ↦
    (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F : (a : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F) → F)
      ((LinearIsometryEquiv.symm (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F) :
            (a : F) → ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F)
          (f y) :
        ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin 0) ↦ E) F))
  w
Tactic: have : AnalyticOn 𝕜 (fun y ↦ (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F)
            ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f y))) w :=
          AnalyticOnNhd.comp_analyticOn (LinearIsometryEquiv.analyticOnNhd _ _) this
          (mapsTo_univ _ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 ω f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) F) (fun (x : E) ↦ p x i) u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn ω g q v
h'q :
  ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_3, u_4} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ F) G) (fun (x : F) ↦ q x i) v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ ∀ (i : ℕ),
    AnalyticOn 𝕜 (F := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_4} 𝕜 (fun (i : Fin i) ↦ E) G)
      (fun (x : E) ↦ (fun (y : E) ↦ (q (f y)).taylorComp (p y)) x i) w
have this : AnalyticOn 𝕜 f w
Tactic: have : AnalyticOn 𝕜 f w := by
        have : AnalyticOn 𝕜 (fun y ↦ (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f y)) w :=
          ((h'p 0).mono wu).congr fun y hy ↦ (hp.zero_eq' (wu hy)).symm
        have : AnalyticOn 𝕜 (fun y ↦ (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F)
            ((continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f y))) w :=
          AnalyticOnNhd.comp_analyticOn (LinearIsometryEquiv.analyticOnNhd _ _) this
          (mapsTo_univ _ _)
        simpa using this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
have rcases : ∀ (u : Set E) (hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x) (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F)
  (hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u),
  ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
Tactic: rcases hf m hm with ⟨u, hu, p, hp⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
have rcases : ∀ (v : Set F) (hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x) (q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G)
  (hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v),
  ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
Tactic: rcases hg m hm with ⟨v, hv, q, hq⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
have wv : w ⊆ f ⁻¹' v
Tactic: have wv : w ⊆ f ⁻¹' v := fun y hy => hy.2.2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
have wu : w ⊆ u
Tactic: have wu : w ⊆ u := fun y hy => hy.2.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, ∃ (p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E G), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) (g ∘ f) p u
have refine : w ∈ 𝓝[insert x s] x
Tactic: refine ⟨w, ?_, fun y ↦ (q (f y)).taylorComp (p y), hq.comp (hp.mono wu) wv⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ w ∈ 𝓝[insert x s] x
have apply : f ⁻¹' v ∈ 𝓝[insert x s] x
Tactic: apply inter_mem self_mem_nhdsWithin (inter_mem hu ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ f ⁻¹' v ∈ 𝓝[insert x s] x
have apply : v ∈ 𝓝[f '' insert x s] f x
Tactic: apply (continuousWithinAt_insert_self.2 hf.continuousWithinAt).preimage_mem_nhdsWithin'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ v ∈ 𝓝[f '' insert x s] f x
have apply : f '' insert x s ⊆ insert (f x) t
Tactic: apply nhdsWithin_mono _ _ hv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ f '' insert x s ⊆ insert (f x) t
have simp : insert (f x) (f '' s) ⊆ insert (f x) t
Tactic: simp only [image_insert_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n_1 : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
x : E
st : MapsTo f s t
n : ℕ∞
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n : ℕ∞ω) f s x
m : ℕ
hm : (↑m : ℕ∞) ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) f p u
v : Set F
hv : v ∈ 𝓝[insert (f x) t] f x
q : F → FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
hq : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m : ℕ∞ω) g q v
w : Set E := insert x s ∩ (u ∩ f ⁻¹' v)
wv : w ⊆ f ⁻¹' v
wu : w ⊆ u
⊢ insert (f x) (f '' s) ⊆ insert (f x) t
have h : f '' s ⊆ t
Tactic: apply insert_subset_insert
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set F
g : F → G
f : E → F
hg : ContDiffOn 𝕜 n g s
hf : ContDiff 𝕜 n f
hs : ∀ (x : E), f x ∈ s
⊢ ContDiff 𝕜 n (g ∘ f)
have rw : ∀ (hf : ContDiffOn 𝕜 n f univ) (hs : ∀ (x : E), f x ∈ s), ContDiffOn 𝕜 n (g ∘ f) univ
Tactic: rw [← contDiffOn_univ] at *
Cleared hypotheses: hf, hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t y
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
st : MapsTo f s t
hy : f x = y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x
have hg₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
Tactic: subst hy
Cleared hypotheses: y, hg, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t y
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : t ∈ 𝓝[f '' s] f x
hy : f x = y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x
have hg₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
Tactic: subst hy
Cleared hypotheses: y, hg, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t y
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hy : f x = y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) (s ∩ f ⁻¹' t) x
have hg₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
Tactic: subst hy
Cleared hypotheses: y, hg, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
n : ℕ∞ω
s : Set E
t : Set F
g : F → G
f : E → F
y : F
x : E
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t y
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hs : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x
hy : f x = y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x
have hg₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
Tactic: subst hy
Cleared hypotheses: y, hg, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
g : F → G
n : ℕ∞ω
y : F
x : E
hg : ContDiffAt 𝕜 n g y
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hy : f x = y
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (g ∘ f) s x
have hg₁ : ContDiffAt 𝕜 n g (f x)
Tactic: subst hy
Cleared hypotheses: y, hg, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
g : F → G
x : E
n : ℕ∞ω
t : Set F
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hst : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, f y ∈ t
i : ℕ
hi : (↑i : ℕ∞ω) ≤ n
⊢ ∃ (u : Set E),
    x ∈ u ∧
      IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧
        HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (s ∩ u) ∧
          HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) g (ftaylorSeriesWithin 𝕜 g t) (f '' (s ∩ u))
have hxt : f x ∈ t
Tactic: have hxt : f x ∈ t := hst.self_of_nhdsWithin hxs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
g : F → G
x : E
n : ℕ∞ω
t : Set F
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hst : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, f y ∈ t
i : ℕ
hi : (↑i : ℕ∞ω) ≤ n
hxt : f x ∈ t
⊢ ∃ (u : Set E),
    x ∈ u ∧
      IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧
        HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (s ∩ u) ∧
          HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) g (ftaylorSeriesWithin 𝕜 g t) (f '' (s ∩ u))
have hf_tendsto : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[t] f x)
Tactic: have hf_tendsto : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[t] (f x)) :=
      tendsto_nhdsWithin_iff.mpr ⟨hf.continuousWithinAt, hst⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
g : F → G
x : E
n : ℕ∞ω
t : Set F
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hst : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, f y ∈ t
i : ℕ
hi : (↑i : ℕ∞ω) ≤ n
hxt : f x ∈ t
hf_tendsto : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[t] f x)
⊢ ∃ (u : Set E),
    x ∈ u ∧
      IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧
        HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (s ∩ u) ∧
          HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) g (ftaylorSeriesWithin 𝕜 g t) (f '' (s ∩ u))
have H₁ : ∀ᶠ (u : Set E) in (𝓝[s] x).smallSets, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) u
Tactic: have H₁ : ∀ᶠ u in (𝓝[s] x).smallSets,
        HasFTaylorSeriesUpToOn i f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) u :=
      hf.eventually_hasFTaylorSeriesUpToOn hs hxs hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ContDiff.Comp (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
inst_5 : NormedAddCommGroup G
inst_6 : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
g : F → G
x : E
n : ℕ∞ω
t : Set F
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 n g t (f x)
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hxs : x ∈ s
hst : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[s] x, f y ∈ t
i : ℕ
hi : (↑i : ℕ∞ω) ≤ n
hxt : f x ∈ t
hf_tendsto : Tendsto f (𝓝[s] x) (𝓝[t] f x)
H₁ : ∀ᶠ (u : Set E) in (𝓝[s] x).smallSets, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) u
⊢ ∃ (u : Set E),
    x ∈ u ∧
      IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u ∧
        HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) f (ftaylorSeriesWithin 𝕜 f s) (s ∩ u) ∧
          HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) g (ftaylorSeriesWithin 𝕜 g t) (f '' (s ∩ u))
have H₂ : ∀ᶠ (u : Set E) in (𝓝[s] x).smallSets, HasFTaylorSeriesUpToOn (↑i : ℕ∞ω) g (ftaylorSeriesWithin 𝕜 g t) (f '' u)
Tactic: have H₂ : ∀ᶠ u in (𝓝[s] x).smallSets,
        HasFTaylorSeriesUpToOn i g (ftaylorSeriesWithin 𝕜 g t) (f '' u) :=
      hf_tendsto.image_smallSets.eventually (hg.eventually_hasFTaylorSeriesUpToOn ht hxt hi)