awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : -(⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sU
contra : Eq (α := ↥b.cartan → R) (-(⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)) 0
⊢ False
have contra₁ : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
Tactic: rw [neg_eq_zero, LinearMap.coe_zero_iff] at contra
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : -(⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sU
contra : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
⊢ False
have this : ∀ (i : ι), Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((Nat.cast ∘ n) i) 0
Tactic: have := Fintype.linearIndependent_iff.mp b.linearIndependent_baseSupp ((↑) ∘ n)
      (by simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul])
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
⊢ iSupIndep ![rootSpace b.cartan 0, U, V]
have hU0 : Disjoint s0 sU
Tactic: have hU0 : Disjoint s0 sU := by
    suffices ∀ g ∈ sU, g ≠ 0 by
      refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_
      obtain ⟨rfl⟩ : f = 0 := by simpa [hs0] using hf
      exact (this _ hg).symm
    intro g hg contra
    obtain ⟨n, hn, rfl⟩ : ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ g = -∑ i, n i • b.baseSupp i := by
      simpa [hsU] using hg
    rw [neg_eq_zero, LinearMap.coe_zero_iff] at contra
    have := Fintype.linearIndependent_iff.mp b.linearIndependent_baseSupp ((↑) ∘ n)
      (by simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul])
    exact hn <| funext fun i ↦ by simpa using this i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
this : ∀ g ∈ sV, g ≠ 0
⊢ Disjoint s0 sV
have refine : ∀ (f : ↥b.cartan → R) (hf : f ∈ s0) (g : ↥b.cartan → R) (hg : g ∈ sV), f ≠ g
Tactic: refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
this : ∀ g ∈ sV, g ≠ 0
f : ↥b.cartan → R
hf : f ∈ s0
g : ↥b.cartan → R
hg : g ∈ sV
⊢ f ≠ g
have obtain : ∀ (hf : 0 ∈ s0), 0 ≠ g
Tactic: obtain ⟨rfl⟩ : f = 0 := by simpa [hs0] using hf
Cleared hypotheses: f, hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
⊢ Disjoint s0 sV
have suffices : ∀ g ∈ sV, g ≠ 0
Tactic: suffices ∀ g ∈ sV, g ≠ 0 by
      refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_
      obtain ⟨rfl⟩ : f = 0 := by simpa [hs0] using hf
      exact (this _ hg).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
g : ↥b.cartan → R
hg : g ∈ sV
contra : g = 0
⊢ False
have obtain : ∀ (n : ι → ℕ) (hn : n ≠ 0) (hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV)
  (contra : Eq (α := ↥b.cartan → R) (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) 0), False
Tactic: obtain ⟨n, hn, rfl⟩ : ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ g = ∑ i, n i • b.baseSupp i := by
      simpa [hsV] using hg
Cleared hypotheses: g, hg, contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := ↥b.cartan → R) (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) 0
⊢ False
have contra₁ : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
Tactic: rw [LinearMap.coe_zero_iff] at contra
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
n : ι → ℕ
hn : n ≠ 0
hg : (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R) ∈ sV
contra : Eq (α := LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥b.cartan) R) (∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) 0
⊢ False
have this : ∀ (i : ι), Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((Nat.cast ∘ n) i) 0
Tactic: have := Fintype.linearIndependent_iff.mp b.linearIndependent_baseSupp ((↑) ∘ n)
      (by simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul])
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
⊢ iSupIndep ![rootSpace b.cartan 0, U, V]
have hV0 : Disjoint s0 sV
Tactic: have hV0 : Disjoint s0 sV := by
    suffices ∀ g ∈ sV, g ≠ 0 by
      refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_
      obtain ⟨rfl⟩ : f = 0 := by simpa [hs0] using hf
      exact (this _ hg).symm
    intro g hg contra
    obtain ⟨n, hn, rfl⟩ : ∃ n : ι → ℕ, n ≠ 0 ∧ g = ∑ i, n i • b.baseSupp i := by
      simpa [hsV] using hg
    rw [LinearMap.coe_zero_iff] at contra
    have := Fintype.linearIndependent_iff.mp b.linearIndependent_baseSupp ((↑) ∘ n)
      (by simpa [Nat.cast_smul_eq_nsmul])
    exact hn <| funext fun i ↦ by simpa using this i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Basis (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : LieRing L
inst_3 : LieAlgebra R L
b : Basis ι R L
inst_4 : Fintype ι
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsTorsionFree R L
U : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan
        (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hU :
  U =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑((-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R))
V : LieSubmodule R (↥b.cartan) L :=
  ⨆ (n : ι → ℕ),
    ⨆ (_ : n ≠ 0),
      rootSpace b.cartan (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
hV :
  V =
    ⨆ (n : ι → ℕ),
      ⨆ (_ : n ≠ 0),
        rootSpace b.cartan
          (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := (a : ↥b.cartan) → R) (n i) (⇑(b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R))
s0 : Set (↥b.cartan → R) := {0}
hs0 : s0 = {0}
sU : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsU : sU = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • (-b.baseSupp) i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
sV : Set (↥b.cartan → R) :=
  {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hsV : sV = {f : ↥b.cartan → R | ∃ (n : ι → ℕ), n ≠ 0 ∧ f = (⇑(∑ i : ι, n i • b.baseSupp i) : (a : ↥b.cartan) → R)}
hs0' : rootSpace b.cartan 0 = ⨆ i ∈ s0, LieModule.genWeightSpace L i
hsU' : U = ⨆ i ∈ sU, LieModule.genWeightSpace L i
hsV' : V = ⨆ i ∈ sV, LieModule.genWeightSpace L i
hU0 : Disjoint s0 sU
hV0 : Disjoint s0 sV
⊢ Disjoint sU sV
have refine : ∀ (f : ↥b.cartan → R) (hf : f ∈ sU) (g : ↥b.cartan → R) (hg : g ∈ sV), f ≠ g
Tactic: refine Set.disjoint_iff_forall_ne.mpr fun f hf g hg ↦ ?_