awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x y : N
e :
  Eq.{u_9 + 1} (α := M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) x : M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) ∧
    Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) x : P) ((g : (a : N) → P) y : P)
z : M
hz : (f : (a : M) → N) z = x - y
refine_1 : x - y = 0
refine_1₁ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) z : N) (0 : N)
refine_1₂ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) z : N) : M) : N)
    (0 : N)
refine_1₃ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) (x - y) : M) : N) (0 : N)
refine_1₄ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N)
    ((f : (a : M) → N)
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) x : M)
          (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M)) :
      N)
    (0 : N)
refine_1₅ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N)
    ((f : (a : M) → N)
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M)
          (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M)) :
      N)
    (0 : N)
⊢ x = y
have refine_1₆ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) 0 : N) (0 : N)
Tactic: rw [← sub_eq_zero, ← hz, ← h₁ z, hz, map_sub, e.1, sub_self, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x y : N
e :
  Eq.{u_9 + 1} (α := M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) x : M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) ∧
    Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) x : P) ((g : (a : N) → P) y : P)
z : M
hz : (f : (a : M) → N) z = x - y
refine_1 : x - y = 0
refine_1₁ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) z : N) (0 : N)
refine_1₂ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) z : N) : M) : N)
    (0 : N)
refine_1₃ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) (x - y) : M) : N) (0 : N)
refine_1₄ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N)
    ((f : (a : M) → N)
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) x : M)
          (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M)) :
      N)
    (0 : N)
refine_1₅ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N)
    ((f : (a : M) → N)
        (HSub.hSub (α := M) (β := M) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M)
          (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M)) :
      N)
    (0 : N)
refine_1₆ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) ((f : (a : M) → N) 0 : N) (0 : N)
⊢ x = y
have refine_1₇ : Eq.{u_10 + 1} (α := N) 0 0
Tactic: rw [← sub_eq_zero, ← hz, ← h₁ z, hz, map_sub, e.1, sub_self, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : M
y : P
⊢ ∃ (a : N), ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P) a = (x, y)
have refine_1 : ∀ (y : N),
  ∃ (a : N), Eq (α := M × P) (((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P) a : M × P) ((x, (g : (a : N) → P) y) : M × P)
Tactic: obtain ⟨y, rfl⟩ := hg y
Cleared hypotheses: y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : M
y : N
⊢ Eq (α := M × P)
    (((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P)
        (HSub.hSub (β := N) (HAdd.hAdd (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N) y)
          ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) : N)) :
      M × P)
    ((x, (g : (a : N) → P) y) : M × P)
have fst : (((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P)
      (HSub.hSub (β := N) (HAdd.hAdd (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N) y)
        ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) : N))).1 =
  ((x, (g : (a : N) → P) y) : M × P).1
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
x : M
y : N
fst :
  (((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P)
        (HSub.hSub (β := N) (HAdd.hAdd (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N) y)
          ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) : N))).1 =
    ((x, (g : (a : N) → P) y) : M × P).1
⊢ Eq (α := M × P)
    (((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P)
        (HSub.hSub (β := N) (HAdd.hAdd (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N) y)
          ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) : N)) :
      M × P)
    ((x, (g : (a : N) → P) y) : M × P)
have snd : Eq.{u_11 + 1} (α := P)
  ((((↑l : N →ₗ[R] M).prod g : (a : N) → M × P)
        (HSub.hSub (β := N) (HAdd.hAdd (α := N) ((f : (a : M) → N) x : N) y)
          ((f : (a : M) → N) (((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) y : M) : N))).2 :
    P)
  ((x, (g : (a : N) → P) y).2 : P)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (hypothesis)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
⊢ f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
    g = snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P)
have h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
Tactic: have h₁ : ∀ x, l.1 (f x) = x := LinearMap.congr_fun l.2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (hypothesis)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
⊢ f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
    g = snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P)
have h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
Tactic: have h₂ : ∀ x, g (f x) = 0 := congr_fun h.comp_eq_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
⊢ f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
    g = snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P)
have refine_2 : f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
refine_2 : f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P
⊢ f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧
    g = snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P)
have refine_2₁ : g = snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry) : N →ₗ[R] M × P)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
⊢ f = (↑(LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯)) : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P
have refine_2 : (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry) : N →ₗ[R] M × P) ∘ₗ f = inl R M P
Tactic: rw [LinearEquiv.eq_toLinearMap_symm_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
⊢ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P) ∘ₗ f = inl R M P
have refine_2 : ∀ (x : M),
  Eq.{u_9 + 1} (α := M)
    (((↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry) : N →ₗ[R] M × P) ∘ₗ f : (a : M) → M × P) x).1
    ((inl R M P : (a : M) → M × P) x).1
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
refine_2 :
  ∀ (x : M),
    Eq.{u_9 + 1} (α := M)
      (((↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P) ∘ₗ f : (a : M) → M × P) x).1
      ((inl R M P : (a : M) → M × P) x).1
⊢ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P) ∘ₗ f = inl R M P
have refine_2₁ : ∀ (x : M),
  Eq.{u_11 + 1} (α := P)
    (((↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry) : N →ₗ[R] M × P) ∘ₗ f : (a : M) → M × P) x).2
    ((inl R M P : (a : M) → M × P) x).2
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
h₁ : ∀ (x : M), ((↑l : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) ((f : (a : M) → N) x : N) = x
h₂ : ∀ (x : M), Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) ((f : (a : M) → N) x : N) : P) (0 : P)
⊢ g = snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) : N →ₗ[R] M × P)
have refine_2 : ∀ (x : N),
  Eq.{u_11 + 1} (α := P) ((g : (a : N) → P) x : P)
    ((snd R M P ∘ₗ (↑(LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry) : N →ₗ[R] M × P) : (a : N) → P) x : P)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
e : { e : N ≃ₗ[R] M × P // f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }
⊢ (fst R M P ∘ₗ (↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P) : N →ₗ[R] M × P)) ∘ₗ f = LinearMap.id
have refine_3 : Eq (α := M →ₗ[R] M) (fst R M P ∘ₗ inl R M P) LinearMap.id
Tactic: rw [LinearMap.comp_assoc, (LinearEquiv.eq_toLinearMap_symm_comp _ _).mp e.2.1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Exact (goal)
Goal:
R_1 : Type u_1
M_1 : Type u_2
M' : Type u_3
N_1 : Type u_4
N' : Type u_5
P_1 : Type u_6
P' : Type u_7
inst : Semiring R_1
inst_1 : AddCommGroup M_1
inst_2 : AddCommGroup N_1
inst_3 : AddCommGroup P_1
inst_4 : Module R_1 M_1
inst_5 : Module R_1 N_1
inst_6 : Module R_1 P_1
f_1 : M_1 →ₗ[R_1] N_1
g_1 : N_1 →ₗ[R_1] P_1
R : Type u_8
M : Type u_9
N : Type u_10
P : Type u_11
inst_7 : Semiring R
inst_8 : AddCommGroup M
inst_9 : AddCommGroup N
inst_10 : AddCommGroup P
inst_11 : Module R M
inst_12 : Module R N
inst_13 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
h : Exact.{u_9, u_10, u_11} (M := M) (N := N) (P := P) (⇑f : (a : M) → N) (⇑g : (a : N) → P)
hg : Surjective.{u_10 + 1, u_11 + 1} (α := N) (β := P) (⇑g : (a : N) → P)
x : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }
⊢ (fun
          (e :
            { e : N ≃ₗ[R] M × P //
              f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (l : N →ₗ[R] M) ↦ l ∘ₗ f = LinearMap.id)
            (fst R M P ∘ₗ (↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P) : N →ₗ[R] M × P)) ⋯ :
          { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }))
      ((fun (l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (e : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
              f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P))
              (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) ⋯) ⋯ :
            { e : N ≃ₗ[R] M × P //
              f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }))
        x) =
    x
have refine_4 : ∀ (x_1 : N),
  Eq.{u_9 + 1} (α := M)
    (((↑((fun
                    (e :
                      { e : N ≃ₗ[R] M × P //
                        f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }) ↦
                  (Subtype.mk (p := fun (l : N →ₗ[R] M) ↦ l ∘ₗ f = LinearMap.id)
                      (fst R M P ∘ₗ (↑(↑e : N ≃ₗ[R] M × P) : N →ₗ[R] M × P)) sorry :
                    { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }))
                ((fun (l : { l : N →ₗ[R] M // l ∘ₗ f = LinearMap.id }) ↦
                    (Subtype.mk (p := fun (e : N ≃ₗ[R] M × P) ↦
                        f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P))
                        (LinearEquiv.ofBijective ((↑l : N →ₗ[R] M).prod g) sorry) sorry :
                      { e : N ≃ₗ[R] M × P //
                        f = (↑e.symm : M × P →ₗ[R] N) ∘ₗ inl R M P ∧ g = snd R M P ∘ₗ (↑e : N →ₗ[R] M × P) }))
                  x)) :
            N →ₗ[R] M) :
          (a : N) → M)
        x_1 :
      M)
    (((↑x : N →ₗ[R] M) : (a : N) → M) x_1 : M)
Tactic: ext