-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
M' : PresheafOfModules R
cM' : Cocone M'.presheaf
hcM' : IsColimit cM'
M'' : PresheafOfModules R
cM'' : Cocone M''.presheaf
hcM'' : IsColimit cM''
m : ModuleColimit hcR hcM
m' : ModuleColimit hcR hcM'
m'' : ModuleColimit hcR hcM''
U : Cᵒᵖ
x :
  (M.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
x' :
  (M'.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
x'' :
  (M''.presheaf ⋙
        forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier)).obj
    U
h :
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              (NatTrans.app
                (Cocone.ι
                  (Cocone.tensor
                    (Functor.mapCocone
                      (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                        (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                      cM)
                    (Cocone.tensor
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM')
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM''))))
                U) :
            (a :
                (fun (X : Type w) ↦ X)
                  ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                        M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                    U)) →
              (fun (X : Type w) ↦ X)
                (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                      (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                            ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                  U))
          (x, x', x'')).1 =
      (m, m', m'').1 ∧
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM)
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM')
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM''))))
                    U) :
                (a :
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                            M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                        U)) →
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                      U))
              (x, x', x'')).2.1 =
        (m, m', m'').2.1 ∧
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                  (NatTrans.app
                    (Cocone.ι
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM)
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM')
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM''))))
                    U) :
                (a :
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                            M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                        U)) →
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                          (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                              (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                      U))
              (x, x', x'')).2.2 =
        (m, m', m'').2.2
⊢ ∃ (U : Cᵒᵖ) (x : (↑(M.obj U) : Type w)) (x' : (↑(M'.obj U) : Type w)) (x'' : (↑(M''.obj U) : Type w)),
    (ιM : (a : (↑(M.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x = m ∧
      (ιM : (a : (↑(M'.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x' = m' ∧
        (ιM : (a : (↑(M''.obj U) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM'') x'' = m''
have obtain : ∃ (U_1 : Cᵒᵖ) (x_1 : (↑(M.obj U_1) : Type w)) (x'_1 : (↑(M'.obj U_1) : Type w)) (x''_1 : (↑(M''.obj U_1) : Type w)),
  Eq (α := ModuleColimit hcR hcM)
      ((ιM : (a : (↑(M.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM) x_1 : ModuleColimit hcR hcM)
      (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (NatTrans.app
                  (Cocone.ι
                    (Cocone.tensor
                      (Functor.mapCocone
                        (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
                          (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                        cM)
                      (Cocone.tensor
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM')
                        (Functor.mapCocone
                          (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                            (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                          cM''))))
                  U) :
              (a :
                  (fun (X : Type w) ↦ X)
                    ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                          M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                      U)) →
                (fun (X : Type w) ↦ X)
                  (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                        (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                            (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                              ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                    U))
            (x, x', x'')).1 :
        Cocone.pt (F :=
          M.presheaf ⋙
            forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier))
          (Functor.mapCocone
            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier))
            cM)) ∧
    Eq (α := ModuleColimit hcR hcM')
        ((ιM : (a : (↑(M'.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM') x'_1 : ModuleColimit hcR hcM')
        (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (NatTrans.app
                      (Cocone.ι
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM)
                          (Cocone.tensor
                            (Functor.mapCocone
                              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                              cM')
                            (Functor.mapCocone
                              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                              cM''))))
                      U) :
                  (a :
                      (fun (X : Type w) ↦ X)
                        ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                              M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                          U)) →
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                            (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                  ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                        U))
                (x, x', x'')).2.1 :
          Cocone.pt (F :=
            M'.presheaf ⋙
              forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier))
            (Functor.mapCocone
              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              cM')) ∧
      Eq (α := ModuleColimit hcR hcM'')
        ((ιM : (a : (↑(M''.obj U_1) : Type w)) → ModuleColimit hcR hcM'') x''_1 : ModuleColimit hcR hcM'')
        (((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                    (NatTrans.app
                      (Cocone.ι
                        (Cocone.tensor
                          (Functor.mapCocone
                            (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                              (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                            cM)
                          (Cocone.tensor
                            (Functor.mapCocone
                              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                              cM')
                            (Functor.mapCocone
                              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                                (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC := AddCommGrpCat.carrier))
                              cM''))))
                      U) :
                  (a :
                      (fun (X : Type w) ↦ X)
                        ((M.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗
                              M'.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat ⊗ M''.presheaf ⋙ forget AddCommGrpCat).obj
                          U)) →
                    (fun (X : Type w) ↦ X)
                      (((Functor.const Cᵒᵖ).obj
                            (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM).tensor
                                (((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM').tensor
                                  ((forget AddCommGrpCat).mapCocone cM''))).pt).obj
                        U))
                (x, x', x'')).2.2 :
          Cocone.pt (F :=
            M''.presheaf ⋙
              forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier))
            (Functor.mapCocone
              (forget AddCommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier))
              cM''))
Tactic: obtain ⟨rfl, rfl, rfl⟩ := h
Cleared hypotheses: m, m', m'', h