awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
⊢ Membership.mem (γ := AddSubgroup (ι → R)) N'.toAddSubgroup g ↔
    Membership.mem (γ := AddSubgroup (ι → R))
      (AddSubgroup.pi (f := fun (i : ι) ↦ R) Set.univ fun (i : ι) ↦
        Submodule.toAddSubgroup
          (Ideal.span
            {if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
                a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
              else 0}))
      g
have h : (∃ (c : Fin n → R),
    g =
      ∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x)
          (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)) ↔
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
Tactic: simp only [Submodule.mem_toAddSubgroup, bN'.mem_submodule_iff', snf', AddSubgroup.mem_pi,
      Set.mem_univ, true_implies, Ideal.mem_span_singleton]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
⊢ (∃ (c : Fin n → R),
      g =
        ∑ x : Fin n,
          HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x)
            (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)) ↔
    ∀ (i : ι),
      (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
          a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
        else 0) ∣
        g i
have h : ∀
  (h :
    ∃ (c : Fin n → R),
      g =
        ∑ x : Fin n,
          HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x)
            (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R))
  (i : ι),
  (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
      a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0) ∣
    g i
Tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀
    (h :
      ∃ (c : Fin n → R),
        g =
          ∑ x : Fin n,
            HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x)
              (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R))
    (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
⊢ (∃ (c : Fin n → R),
      g =
        ∑ x : Fin n,
          HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x)
            (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)) ↔
    ∀ (i : ι),
      (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
          a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
        else 0) ∣
        g i
have h₁ : ∀
  (h :
    ∀ (i : ι),
      (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
          a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
        else 0) ∣
        g i),
  ∃ (c : Fin n → R),
    g =
      ∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)
Tactic: refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∃ (c : Fin n → R),
    g =
      ∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)
⊢ ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
have h₁ : ∀ (c : Fin n → R) (i : ι),
  Dvd.dvd.{u_2} (α := R)
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
      a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0)
    ((∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R))
      i)
Tactic: rcases h with ⟨c, rfl⟩
Cleared hypotheses: g, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
⊢ Dvd.dvd.{u_2} (α := R)
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
      a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0)
    ((∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R))
      i)
have h : Dvd.dvd.{u_2} (α := R)
  (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
    a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
  else 0)
  (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0)
Tactic: simp only [Finset.sum_apply, Pi.smul_apply, Pi.single_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
⊢ Dvd.dvd.{u_2} (α := R)
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
      a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0)
    (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0)
have pos : ∀ (h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i),
  a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) ∣
    ∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0
Tactic: split_ifs with h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
pos :
  ∀ (h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i),
    a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) ∣
      ∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0
⊢ Dvd.dvd.{u_2} (α := R)
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
      a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0)
    (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0)
have neg : ∀ (h : ¬∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i),
  Dvd.dvd.{u_2} (α := R) 0 (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0)
Tactic: split_ifs with h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) ∣
    ∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0
have h₁ : (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0) =
  c (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) *
    a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
Tactic: convert! dvd_mul_left (a h.choose) (c h.choose)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0) =
    c (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) *
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0
have refine : ∀ (b : Fin n),
  Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ b →
    b ≠ h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i) →
      (c b • if i = (f : (a : Fin n) → ι) b then a b else 0) = 0
Tactic: refine Finset.sum_eq_single h.choose ?_ (by simp)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
j : Fin n
hj : j ≠ h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)
⊢ (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
have hinj : Ne (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
  ((f : (a : Fin n) → ι) (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)
Tactic: have hinj := f.injective.ne hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
j : Fin n
hj : j ≠ h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)
hinj :
  Ne (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
    ((f : (a : Fin n) → ι) (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)
⊢ (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
have hinj₁ : (f : (a : Fin n) → ι) j ≠ i
Tactic: rw [h.choose_spec] at hinj
Cleared hypotheses: hinj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ¬∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ Dvd.dvd.{u_2} (α := R) 0 (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0)
have h₁ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0) 0
Tactic: convert! dvd_refl (0 : R)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ¬∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ x : Fin n, c x • if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then a x else 0) 0
have h₁ : ∀ (j : Fin n),
  Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ j → (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
Tactic: convert! Finset.sum_const_zero with j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ¬∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
j : Fin n
h_1 : Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ j
⊢ (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
have h₁ : ∀ (h : ∀ (x : Fin n), ¬(f : (a : Fin n) → ι) x = i) (j : Fin n),
  Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ j → (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
Tactic: rw [not_exists] at h
Cleared hypotheses: h, j, h_1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
h : ∀ (x : Fin n), ¬(f : (a : Fin n) → ι) x = i
j : Fin n
h_1 : Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ j
⊢ (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
have h₁ : ¬(f : (a : Fin n) → ι) j = i
Tactic: specialize h j
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
c : Fin n → R
i : ι
j : Fin n
h_1 : Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ j
h : ¬(f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ (c j • if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then a j else 0) = 0
have h₁ : ¬i = (f : (a : Fin n) → ι) j
Tactic: rw [eq_comm] at h
Cleared hypotheses: h