-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FiniteType R S
p : Ideal R
inst_4 : p.IsPrime
q : Ideal S
inst_5 : q.IsPrime
inst_6 : q.LiesOver p
inst_7 : QuasiFiniteAt R q
⊢ ∃ (R' : Type u) (x : CommRing R') (x_1 : Algebra R R') (_ : Etale R R') (P : Ideal R') (x_3 : P.IsPrime) (x_4 :
    P.LiesOver p) (e : R' ⊗[R] S) (_ : IsIdempotentElem e) (P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) (_ : P'.IsPrime) (_ :
    P'.LiesOver P),
    Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P' = q ∧
      e ∉ P' ∧
        Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
            (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField) ∧
          Module.Finite R' (Localization.Away e) ∧
            ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
have obtain : ∀ (R' : Type u) (w : CommRing R') (w_1 : Algebra R R'),
  Etale R R' →
    ∀ (P : Ideal R') (w_3 : P.IsPrime) (w_4 : P.LiesOver p) (e : R' ⊗[R] S) (he : IsIdempotentElem e)
      (e₀ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S)) (he₀ : IsIdempotentElem e₀)
      (he₀e :
        ((TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S) :
              (a : R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) → R' ⊗[R] S)
            e₀ =
          e)
      (P' : Ideal (R' ⊗[R] S)),
      P'.IsPrime →
        P'.LiesOver P →
          ∀ (hP'q : Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P' = q)
            (heP' : e ∉ P')
            (hpP :
              Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
                (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') sorry) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField))
            (H' :
              ∀ (P'' : Ideal (TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))),
                P''.IsPrime →
                  P''.LiesOver P →
                    e₀ ∉ P'' →
                      P'' =
                        Ideal.comap (F := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →+* R' ⊗[R] S)
                          (AlgHom.toRingHom
                            (TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                              TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S))
                          P')
            (H : ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'),
            ∃ (R' : Type u) (x : CommRing R') (x_1 : Algebra R R') (_ : Etale R R') (P : Ideal R') (x_3 : P.IsPrime)
              (x_4 : P.LiesOver p) (e : R' ⊗[R] S) (_ : IsIdempotentElem e) (P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) (_ : P'.IsPrime) (_
              : P'.LiesOver P),
              Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P' = q ∧
                e ∉ P' ∧
                  Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
                      (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') sorry) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField) ∧
                    Module.Finite R' (Localization.Away e) ∧
                      ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
Tactic: obtain ⟨R', _, _, _, P, _, _, e, he, e₀, he₀, he₀e, P', _, _, hP'q, heP', hpP, H', H⟩ :=
    exists_etale_isIdempotentElem_forall_liesOver_eq_aux p q