awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
N₂ : Type u_10
n : Type u_11
m : Type u_12
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid N₂
inst_2 : Module R N₂
inst_3 : Fintype n
inst_4 : Fintype m
inst_5 : DecidableEq m
inst_6 : DecidableEq n
B : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂
i : n
j : m
h :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N₂)
    ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) ((Pi.basisFun R n : (a : n) → n → R) i) : (m → R) →ₗ[R] N₂) :
          (a : m → R) → N₂)
        ((Pi.basisFun R m : (a : m) → m → R) j : m → R) :
      N₂)
    (((toMatrix₂' R : ((n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂) ≃ₗ[R] Matrix n m N₂) :
          (a : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂) → Matrix n m N₂)
        B i j :
      N₂)
h₁ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N₂)
    ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) ((Pi.basisFun R n : (a : n) → n → R) i) : (m → R) →ₗ[R] N₂) :
          (a : m → R) → N₂)
        ((Pi.basisFun R m : (a : m) → m → R) j : m → R) :
      N₂)
    ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) (Pi.single (M := fun (a : n) ↦ R) i 1) : (m → R) →ₗ[R] N₂) :
          (a : m → R) → N₂)
        (Pi.single (M := fun (a : m) ↦ R) j 1) :
      N₂)
h₂ :
  Eq.{u_10 + 1} (α := N₂)
    ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) (Pi.single (M := fun (j : n) ↦ R) i 1) : (m → R) →ₗ[R] N₂) :
          (a : m → R) → N₂)
        ((Pi.basisFun R m : (a : m) → m → R) j : m → R) :
      N₂)
    ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) (Pi.single (M := fun (a : n) ↦ R) i 1) : (m → R) →ₗ[R] N₂) :
          (a : m → R) → N₂)
        (Pi.single (M := fun (a : m) ↦ R) j 1) :
      N₂)
⊢ Eq.{u_10 + 1} (α := N₂)
    ((toMatrix₂ (Pi.basisFun R n) (Pi.basisFun R m) : (a : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂) → Matrix n m N₂) B i j : N₂)
    (((toMatrix₂' R : ((n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂) ≃ₗ[R] Matrix n m N₂) :
          (a : (n → R) →ₗ[R] (m → R) →ₗ[R] N₂) → Matrix n m N₂)
        B i j :
      N₂)
have h₃ : Eq.{u_10 + 1} (α := N₂)
  ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) (Pi.single (M := fun (j : n) ↦ R) i 1) : (m → R) →ₗ[R] N₂) : (a : m → R) → N₂)
      (Pi.single (M := fun (j : m) ↦ R) j 1) :
    N₂)
  ((((B : (a : n → R) → (m → R) →ₗ[R] N₂) (Pi.single (M := fun (a : n) ↦ R) i 1) : (m → R) →ₗ[R] N₂) : (a : m → R) → N₂)
      (Pi.single (M := fun (a : m) ↦ R) j 1) :
    N₂)
Tactic: rw [LinearMap.toMatrix₂_apply, LinearMap.toMatrix₂'_apply, Pi.basisFun_apply, Pi.basisFun_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
⊢ (toMatrix₂ b₁' b₂' : (a : M₁' →ₗ[R] M₂' →ₗ[R] R) → Matrix n' m' R) (B.compl₁₂ l r) =
    HMul.hMul (β := Matrix m m' R)
      (HMul.hMul (α := Matrix n' n R) (β := Matrix n m R) ((toMatrix b₁' b₁ : (a : M₁' →ₗ[R] M₁) → Matrix n n' R) l)ᵀ
        ((toMatrix₂ b₁ b₂ : (a : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R) → Matrix n m R) B : Matrix n m R))
      ((toMatrix b₂' b₂ : (a : M₂' →ₗ[R] M₂) → Matrix m m' R) r : Matrix m m' R)
have a : ∀ (i : n') (j : m'),
  (toMatrix₂ b₁' b₂' : (a : M₁' →ₗ[R] M₂' →ₗ[R] R) → Matrix n' m' R) (B.compl₁₂ l r) i j =
    HMul.hMul (β := Matrix m m' R)
      (HMul.hMul (α := Matrix n' n R) (β := Matrix n m R) ((toMatrix b₁' b₁ : (a : M₁' →ₗ[R] M₁) → Matrix n n' R) l)ᵀ
        ((toMatrix₂ b₁ b₂ : (a : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R) → Matrix n m R) B : Matrix n m R))
      ((toMatrix b₂' b₂ : (a : M₂' →ₗ[R] M₂) → Matrix m m' R) r : Matrix m m' R) i j
Tactic: ext i j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ (toMatrix₂ b₁' b₂' : (a : M₁' →ₗ[R] M₂' →ₗ[R] R) → Matrix n' m' R) (B.compl₁₂ l r) i j =
    HMul.hMul (β := Matrix m m' R)
      (HMul.hMul (α := Matrix n' n R) (β := Matrix n m R) ((toMatrix b₁' b₁ : (a : M₁' →ₗ[R] M₁) → Matrix n n' R) l)ᵀ
        ((toMatrix₂ b₁ b₂ : (a : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R) → Matrix n m R) B : Matrix n m R))
      ((toMatrix b₂' b₂ : (a : M₂' →ₗ[R] M₂) → Matrix m m' R) r : Matrix m m' R) i j
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
      ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂') : M₂) :
    R)
  (∑ x : m,
      ∑ i_1 : n,
        HMul.hMul (β := R)
          (HMul.hMul (α := R) (β := R)
            ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                  (a : n) → R)
                i_1 :
              R)
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i_1) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
              R))
          ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                (a : m) → R)
              x :
            R) :
    R)
Tactic: simp only [LinearMap.toMatrix₂_apply, compl₁₂_apply, transpose_apply, Matrix.mul_apply,
    LinearMap.toMatrix_apply, sum_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
        ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂') : M₂) :
      R)
    (∑ x : m,
        ∑ i_1 : n,
          HMul.hMul (β := R)
            (HMul.hMul (α := R) (β := R)
              ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                    (a : n) → R)
                  i_1 :
                R)
              ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i_1) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                  ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
                R))
            ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                  (a : m) → R)
                x :
              R) :
      R)
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
      ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂') : M₂) :
    R)
  (∑ y : n,
      ∑ x : m,
        HMul.hMul (β := R)
          (HMul.hMul (α := R) (β := R)
            ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                  (a : n) → R)
                y :
              R)
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) y) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
              R))
          ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                (a : m) → R)
              x :
            R) :
    R)
Tactic: rw [sum_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
| ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
      ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂') : M₂) :
    R)
have rw : Finsupp.sum ((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')))
  fun (i : n) (xi : R) ↦
  Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
    fun (j : m) (yj : R) ↦
    xi •>
      yj •>
        ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
            ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
          R)
Tactic: rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul b₁ b₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
        ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂') : M₂) :
      R)
    (∑ y : n,
        ∑ x : m,
          HMul.hMul (β := R)
            (HMul.hMul (α := R) (β := R)
              ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                    (a : n) → R)
                  y :
                R)
              ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) y) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                  ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
                R))
            ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                  (a : m) → R)
                x :
              R) :
      R)
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  (Finsupp.sum ((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')))
    fun (i : n) (xi : R) ↦
    Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
      fun (j : m) (yj : R) ↦
      xi •>
        yj •>
          ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
              ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
            R))
  (∑ y : n,
    ∑ x : m,
      HMul.hMul (β := R)
        (HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                (a : n) → R)
              y :
            R)
          ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) y) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
              ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
            R))
        ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
              (a : m) → R)
            x :
          R))
Tactic: conv_lhs => rw [← LinearMap.sum_repr_mul_repr_mul b₁ b₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (Finsupp.sum ((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')))
      fun (i : n) (xi : R) ↦
      Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
        fun (j : m) (yj : R) ↦
        xi •>
          yj •>
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
              R))
    (∑ y : n,
      ∑ x : m,
        HMul.hMul (β := R)
          (HMul.hMul (α := R) (β := R)
            ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                  (a : n) → R)
                y :
              R)
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) y) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
              R))
          ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                (a : m) → R)
              x :
            R))
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  (∑ i_1 : n,
    Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
      fun (j : m) (yj : R) ↦
      ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) : (a : n) → R)
            i_1 :
          R) •>
        yj •>
          ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i_1) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
              ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
            R))
  (∑ y : n,
    ∑ x : m,
      HMul.hMul (β := R)
        (HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                (a : n) → R)
              y :
            R)
          ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) y) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
              ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
            R))
        ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
              (a : m) → R)
            x :
          R))
Tactic: rw [Finsupp.sum_fintype]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∑ i_1 : n,
      Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
        fun (j : m) (yj : R) ↦
        ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                (a : n) → R)
              i_1 :
            R) •>
          yj •>
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i_1) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
              R))
    (∑ y : n,
      ∑ x : m,
        HMul.hMul (β := R)
          (HMul.hMul (α := R) (β := R)
            ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                  (a : n) → R)
                y :
              R)
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) y) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
              R))
          ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                (a : m) → R)
              x :
            R))
have a : ∀ (x : n),
  Membership.mem (γ := Finset n) univ x →
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
      (Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
        fun (j : m) (yj : R) ↦
        ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                (a : n) → R)
              x :
            R) •>
          yj •>
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) x) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
              R))
      (∑ x_1 : m,
        HMul.hMul (β := R)
          (HMul.hMul (α := R) (β := R)
            ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                  (a : n) → R)
                x :
              R)
            ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) x) : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
                ((b₂ : (a : m) → M₂) x_1 : M₂) :
              R))
          ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
                (a : m) → R)
              x_1 :
            R))
Tactic: apply sum_congr rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SesquilinearForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₁' : Type u_8
M₂' : Type u_9
n : Type u_11
m : Type u_12
n' : Type u_13
m' : Type u_14
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M₁
inst_2 : Module R M₁
inst_3 : AddCommMonoid M₂
inst_4 : Module R M₂
inst_5 : Fintype n
inst_6 : Fintype m
inst_7 : DecidableEq m
inst_8 : DecidableEq n
b₁ : Basis n R M₁
b₂ : Basis m R M₂
inst_9 : AddCommMonoid M₁'
inst_10 : Module R M₁'
inst_11 : AddCommMonoid M₂'
inst_12 : Module R M₂'
b₁' : Basis n' R M₁'
b₂' : Basis m' R M₂'
inst_13 : Fintype n'
inst_14 : Fintype m'
inst_15 : DecidableEq n'
inst_16 : DecidableEq m'
B : M₁ →ₗ[R] M₂ →ₗ[R] R
l : M₁' →ₗ[R] M₁
r : M₂' →ₗ[R] M₂
i : n'
j : m'
i' : n
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (Finsupp.sum ((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')))
      fun (j : m) (yj : R) ↦
      ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) : (a : n) → R)
            i' :
          R) •>
        yj •>
          ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i') : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
              ((b₂ : (a : m) → M₂) j : M₂) :
            R))
    (∑ x : m,
      HMul.hMul (β := R)
        (HMul.hMul (α := R) (β := R)
          ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
                (a : n) → R)
              i' :
            R)
          ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i') : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
              ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
            R))
        ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) :
              (a : m) → R)
            x :
          R))
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  (∑ i_1 : m,
    ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) : (a : n) → R)
          i' :
        R) •>
      ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) : (a : m) → R)
            i_1 :
          R) •>
        ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i') : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
            ((b₂ : (a : m) → M₂) i_1 : M₂) :
          R))
  (∑ x : m,
    HMul.hMul (β := R)
      (HMul.hMul (α := R) (β := R)
        ((((b₁.repr : (a : M₁) → n →₀ R) ((l : (a : M₁') → M₁) ((b₁' : (a : n') → M₁') i : M₁')) : n →₀ R) :
              (a : n) → R)
            i' :
          R)
        ((((B : (a : M₁) → M₂ →ₗ[R] R) ((b₁ : (a : n) → M₁) i') : M₂ →ₗ[R] R) : (a : M₂) → R)
            ((b₂ : (a : m) → M₂) x : M₂) :
          R))
      ((((b₂.repr : (a : M₂) → m →₀ R) ((r : (a : M₂') → M₂) ((b₂' : (a : m') → M₂') j : M₂')) : m →₀ R) : (a : m) → R)
          x :
        R))
Tactic: rw [Finsupp.sum_fintype]