awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
this : j = i ∨ Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ False
have inl : ∀ (hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) j : M)), False
Tactic: rcases this with rfl | this
Cleared hypotheses: i, hj, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
this : j = i ∨ Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
inl : ∀ (hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) j : M)), False
⊢ False
have inr : ∀ (this : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)), False
Tactic: rcases this with rfl | this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
j : ι
hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ False
have hj₁ : HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) 1 ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
  HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (↑n : ℤ) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: replace hj : (1 : ℤ) • P.root j = (n : ℤ) • P.root j := by simpa
Cleared hypotheses: hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
j : ι
hj :
  HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) 1 ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (↑n : ℤ) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ False
have hj₁ : Eq (α := ℤ) (↑n : ℤ) 1
Tactic: rw [(smul_left_injective ℤ <| P.ne_zero j).eq_iff, eq_comm] at hj
Cleared hypotheses: hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
j : ι
hj : Eq (α := ℤ) (↑n : ℤ) 1
⊢ False
have this : 2 ≤ n
Tactic: have : 2 ≤ n := Nat.AtLeastTwo.prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
this : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ False
have this₁ : HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (-1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
Tactic: rw [← one_smul ℤ (P.root i), ← neg_smul, hj] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
this :
  HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (-1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ False
have this₁ : HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (↑n : ℤ) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (-1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
Tactic: replace this : (n : ℤ) • P.root i = -1 • P.root i := by simpa
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
n : ℕ
inst_8 : n.AtLeastTwo
i j : ι
hj : (P.root : (a : ι) → M) j = HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
this :
  HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (↑n : ℤ) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HSMul.hSMul (α := ℤ) (β := M) (-1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ False
have this₁ : Eq (α := ℤ) (↑n : ℤ) (-1)
Tactic: rw [(smul_left_injective ℤ <| P.ne_zero i).eq_iff] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
⊢ LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
have refine_1 : ∀ (hij : i = j), False
Tactic: refine IsReduced.linearIndependent P (fun hij ↦ ?_) (fun hij ↦ P.zero_notMem_range_root ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
refine_1 : ∀ (hij : i = j), False
⊢ LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
have refine_2 : ∀ (hij : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)),
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0
Tactic: refine IsReduced.linearIndependent P (fun hij ↦ ?_) (fun hij ↦ P.zero_notMem_range_root ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hij : i = j
⊢ False
have h₁ : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
Tactic: rw [hij, ← two_smul (R := ℕ)] at h
Cleared hypotheses: h, hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hij : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0
have refine_2 : ∀
  (h :
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)))
  (hij : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)),
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0
Tactic: rwa [hij, neg_add_cancel] at h
Cleared hypotheses: h, hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hij : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
refine_2 :
  ∀
    (h :
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)))
    (hij : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)),
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0
have refine_2₁ : ∀ (h : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0)
  (hij : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)),
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)) 0
Tactic: rwa [hij, neg_add_cancel] at h
Cleared hypotheses: h, hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
⊢ LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
have suffices : LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
  (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) j : ι)] :
    Fin (Nat.succ 0).succ → M)
Tactic: suffices LinearIndependent R ![P.root i, P.root (P.reflectionPerm j j)] by simpa using this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : CharZero R
inst_6 : IsAddTorsionFree M
inst_7 : P.IsReduced
i j : ι
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
⊢ LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) j : ι)] :
      Fin (Nat.succ 0).succ → M)
have apply : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
    ((P.root : (a : ι) → M) ((P.reflectionPerm j : (a : ι) → ι) j : ι) : M))
Tactic: apply P.linearIndependent_of_add_mem_range_root
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ Infinite ι
have refine_1 : Subset.{u_3} (α := Set M)
  (range fun (n : ℕ) ↦ (⇑(Module.reflection sorry ≪≫ₗ Module.reflection sorry) : (a : M) → M)^[n] ((P.root : (a : ι) → M) j))
  (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
Tactic: refine (infinite_range_iff (Embedding.injective P.root)).mp (Infinite.mono ?_
    ((infinite_range_reflection_reflection_iterate_iff (P.coroot_root_two i)
    (P.coroot_root_two j) ?_).mpr ?_))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
refine_1 :
  Subset.{u_3} (α := Set M)
    (range fun (n : ℕ) ↦ (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯) : (a : M) → M)^[n] ((P.root : (a : ι) → M) j))
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
⊢ Infinite ι
have refine_2 : HMul.hMul (α := R) (β := R)
    ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
      R)
    ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R) =
  4
Tactic: refine (infinite_range_iff (Embedding.injective P.root)).mp (Infinite.mono ?_
    ((infinite_range_reflection_reflection_iterate_iff (P.coroot_root_two i)
    (P.coroot_root_two j) ?_).mpr ?_))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
refine_1 :
  Subset.{u_3} (α := Set M)
    (range fun (n : ℕ) ↦ (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯) : (a : M) → M)^[n] ((P.root : (a : ι) → M) j))
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
refine_2 :
  HMul.hMul (α := R) (β := R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
        R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
⊢ Infinite ι
have refine_3 : HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
    ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
      R)
    ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ≠
  HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: refine (infinite_range_iff (Embedding.injective P.root)).mp (Infinite.mono ?_
    ((infinite_range_reflection_reflection_iterate_iff (P.coroot_root_two i)
    (P.coroot_root_two j) ?_).mpr ?_))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ Subset.{u_3} (α := Set M)
    (range fun (n : ℕ) ↦ (⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯) : (a : M) → M)^[n] ((P.root : (a : ι) → M) j))
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
have refine_1 : ∀ (y : ℕ),
  Membership.mem (α := M) (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    ((⇑(Module.reflection sorry ≪≫ₗ Module.reflection sorry) : (a : M) → M)^[y] ((P.root : (a : ι) → M) j) : M)
Tactic: rw [range_subset_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
n : ℕ
⊢ Membership.mem (α := M) (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    ((⇑(Module.reflection ⋯ ≪≫ₗ Module.reflection ⋯) : (a : M) → M)^[n] ((P.root : (a : ι) → M) j) : M)
have refine_1 : Membership.mem (α := M) (γ := Set M)
  ((comp (β := M) (⇑(Module.reflection sorry) : (a : M) → M) (⇑(Module.reflection sorry) : (a : M) → M))^[n] ''
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  ((⇑(Module.reflection sorry ≪≫ₗ Module.reflection sorry) : (a : M) → M)^[n] ((P.root : (a : ι) → M) j) : M)
Tactic: rw [← IsFixedPt.image_iterate ((bijOn_reflection_of_mapsTo (P.coroot_root_two i)
      (P.mapsTo_reflection_root i)).comp (bijOn_reflection_of_mapsTo (P.coroot_root_two j)
      (P.mapsTo_reflection_root j))).image_eq n]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
⊢ HMul.hMul (α := R) (β := R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
        R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
have refine_2 : HMul.hMul (β := R) (P.pairing j i)
    ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R) =
  4
Tactic: rw [coroot_root_eq_pairing, coroot_root_eq_pairing, ← hc, mul_comm, coxeterWeight]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
refine_2 :
  HMul.hMul (β := R) (P.pairing j i)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
⊢ HMul.hMul (α := R) (β := R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
        R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
have refine_2₁ : P.pairing j i * P.pairing i j = 4
Tactic: rw [coroot_root_eq_pairing, coroot_root_eq_pairing, ← hc, mul_comm, coxeterWeight]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
refine_2 :
  HMul.hMul (β := R) (P.pairing j i)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
refine_2₁ : P.pairing j i * P.pairing i j = 4
⊢ HMul.hMul (α := R) (β := R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
        R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
have refine_2₂ : P.pairing j i * P.pairing i j = P.coxeterWeight i j
Tactic: rw [coroot_root_eq_pairing, coroot_root_eq_pairing, ← hc, mul_comm, coxeterWeight]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Reduced (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
i j : ι
inst_5 : NeZero.{u_2} (R := R) 2
inst_6 : IsAddTorsionFree M
hl :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
hc : P.coxeterWeight i j = 4
refine_2 :
  HMul.hMul (β := R) (P.pairing j i)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
refine_2₁ : P.pairing j i * P.pairing i j = 4
refine_2₂ : P.pairing j i * P.pairing i j = P.coxeterWeight i j
⊢ HMul.hMul (α := R) (β := R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) :
        R)
      ((((P.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((P.coroot : (a : ι) → N) j) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) i : M) :
        R) =
    4
have refine_2₃ : P.pairing i j * P.pairing j i = P.coxeterWeight i j
Tactic: rw [coroot_root_eq_pairing, coroot_root_eq_pairing, ← hc, mul_comm, coxeterWeight]