awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
w : A
x : V
hx :
  Membership.mem (γ := Set V)
    (AddSubsemigroup.carrier
      (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup
        (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_4} (R := R) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k))))
    x
⊢ Membership.mem (γ := Set V)
    (AddSubsemigroup.carrier
      (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup
        (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_4} (R := R) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k))))
    ⁅w, x⁆
have rw : Membership.mem (γ := Set V)
  (AddSubsemigroup.carrier
    (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup
      (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_4} (R := R) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k))))
  (HAdd.hAdd (α := V) ((T χ w : (a : V) → V) x : V) (χ w • x))
Tactic: rw [show ⁅w, x⁆ = (T χ w) x + χ w • x by simp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
w : A
x : V
hx :
  Membership.mem (γ := Set V)
    (AddSubsemigroup.carrier
      (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup
        (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_4} (R := R) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k))))
    x
⊢ Membership.mem (γ := Set V)
    (AddSubsemigroup.carrier
      (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup
        (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_4} (R := R) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k))))
    (HAdd.hAdd (α := V) ((T χ w : (a : V) → V) x : V) (χ w • x))
have apply : Membership.mem (α := V) (γ := Submodule R V) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k) ((T χ w : (a : V) → V) x : V)
Tactic: apply add_mem _ (Submodule.smul_mem _ _ hx)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
w : A
x : V
hx :
  Membership.mem (γ := Set V)
    (AddSubsemigroup.carrier
      (AddSubmonoid.toAddSubsemigroup
        (Submodule.toAddSubmonoid.{u_1, u_4} (R := R) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k))))
    x
⊢ Membership.mem (α := V) (γ := Submodule R V) (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k)
    ((T χ w : (a : V) → V) x : V)
have set : let U : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k;
∀ (hx : x ∈ U.carrier), Membership.mem (α := V) U ((T χ w : (a : V) → V) x : V)
Tactic: set U := ⨆ k : ℕ, U' k
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
w : A
x : V
U : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k
hx : x ∈ U.carrier
⊢ Membership.mem (α := V) U ((T χ w : (a : V) → V) x : V)
have suffices : Submodule.map (T χ w) U ≤ U
Tactic: suffices Submodule.map (T χ w) U ≤ U from this <| Submodule.mem_map_of_mem hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
w : A
x : V
U : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k
hx : x ∈ U.carrier
⊢ Submodule.map (T χ w) U ≤ U
have rw : ∀ (i : ℕ), Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) i) ≤ U
Tactic: rw [Submodule.map_iSup, iSup_le_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
U : LieSubmodule R A V :=
  let __Submodule : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k;
  { toSubmodule := __Submodule, lie_mem := ⋯ }
x : V
hx : x ∈ U
⊢ Membership.mem (α := V) U
    (((((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z : Module.End R V) :
          (a : V) → V)
        x :
      V)
have suffices : Submodule.map (σ₁₂ := RingHom.id R)
    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z) (↑U : Submodule R V) ≤
  (↑U : Submodule R V)
Tactic: suffices Submodule.map (π z) U ≤ U from this <| Submodule.mem_map_of_mem hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
U : LieSubmodule R A V :=
  let __Submodule : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k;
  { toSubmodule := __Submodule, lie_mem := ⋯ }
x : V
hx : x ∈ U
⊢ Submodule.map (σ₁₂ := RingHom.id R)
      (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
      (↑U : Submodule R V) ≤
    (↑U : Submodule R V)
have simp : ∀ (i : ℕ),
  LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
    (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
      (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) i))
    (⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k)
Tactic: simp only [U, Submodule.map_iSup, iSup_le_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
U : LieSubmodule R A V :=
  let __Submodule : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k;
  { toSubmodule := __Submodule, lie_mem := ⋯ }
⊢ χ ⁅z, a⁆ = 0
have hzU : ∀ (x : V) (hx : x ∈ U),
  Membership.mem (α := V) U
    (((((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z : Module.End R V) :
          (a : V) → V)
        x :
      V)
Tactic: have hzU (x : V) (hx : x ∈ U) : (π z) x ∈ U := by
    suffices Submodule.map (π z) U ≤ U from this <| Submodule.mem_map_of_mem hx
    simp only [U, Submodule.map_iSup, iSup_le_iff]
    exact fun i ↦ (map_U'_le i).trans (le_iSup _ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
U : LieSubmodule R A V :=
  let __Submodule : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k;
  { toSubmodule := __Submodule, lie_mem := ⋯ }
hzU :
  ∀ (x : V) (hx : x ∈ U),
    Membership.mem (α := V) U
      (((((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z : Module.End R V) :
            (a : V) → V)
          x :
        V)
x : V
hx : x ∈ U
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := V)
    (↑(((((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R A ↥U : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R A (Module.End R ↥U)) : (a : A) → Module.End R ↥U)
                ⁅z, a⁆ :
              Module.End R ↥U) :
            (a : ↥U) → ↥U)
          (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ U) x hx)) :
      V)
    (↑(((⁅LinearMap.restrict
                  (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z) hzU,
                ((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R A ↥U : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R A (Module.End R ↥U)) :
                    (a : A) → Module.End R ↥U)
                  a⁆ :
              Module.End R ↥U) :
            (a : ↥U) → ↥U)
          (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ U) x hx)) :
      V)
have h : ⁅⁅z, a⁆, x⁆ = ⁅z, ⁅a, x⁆⁆ - ⁅a, ⁅z, x⁆⁆
Tactic: change ⁅⁅z, a⁆, x⁆ = ⁅z, ⁅a, x⁆⁆ - ⁅a, ⁅z, x⁆⁆
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.LieTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : LieRing L
inst_5 : LieAlgebra R L
inst_6 : LieRing A
inst_7 : LieAlgebra R A
inst_8 : Bracket L A
inst_9 : Bracket A L
inst_10 : AddCommGroup V
inst_11 : Module R V
inst_12 : Module.Free R V
inst_13 : Module.Finite R V
inst_14 : LieRingModule L V
inst_15 : LieModule R L V
inst_16 : LieRingModule A V
inst_17 : LieModule R A V
inst_18 : IsLieTower L A V
inst_19 : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  {
    toFun := fun (n : ℕ) ↦
      Submodule.span R
        {x : V |
          ∃ i < n,
            (HPow.hPow (α := Module.End R V)
                    (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z :
                      Module.End R V)
                    i :
                  (a : V) → V)
                v =
              x},
    monotone' := ⋯ }
map_U'_le :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V)
      (Submodule.map (R := R) (M := V) (σ₁₂ := RingHom.id R)
        (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z)
        ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1))
T_apply_succ :
  ∀ (w : A) (n : ℕ),
    LE.le.{u_4} (α := Submodule R V) (Submodule.map (T χ w) ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) (n + 1)))
      ((U' : (a : ℕ) → Submodule R V) n)
U : LieSubmodule R A V :=
  let __Submodule : Submodule R V := ⨆ (k : ℕ), (U' : (a : ℕ) → Submodule R V) k;
  { toSubmodule := __Submodule, lie_mem := ⋯ }
hzU :
  ∀ (x : V) (hx : x ∈ U),
    Membership.mem (α := V) U
      (((((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z : Module.End R V) :
            (a : V) → V)
          x :
        V)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((LinearMap.trace R ↥U : (a : ↥U →ₗ[R] ↥U) → R)
        (((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R A ↥U : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R A (Module.End R ↥U)) : (a : A) → Module.End R ↥U)
            ⁅z, a⁆ :
          Module.End R ↥U) :
      R)
    (0 : R)
have hres : Eq.{u_4 + 1} (α := Module.End R ↥U)
  (((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R A ↥U : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R A (Module.End R ↥U)) : (a : A) → Module.End R ↥U) ⁅z, a⁆ :
    Module.End R ↥U)
  (⁅LinearMap.restrict (((toEnd R L V : LieHom.{u_1, u_2, u_4} R L (Module.End R V)) : (a : L) → Module.End R V) z) hzU,
      ((toEnd.{u_1, u_3, u_4} R A ↥U : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R A (Module.End R ↥U)) : (a : A) → Module.End R ↥U) a⁆ :
    Module.End R ↥U)
Tactic: have hres : LieModule.toEnd R A U ⁅z, a⁆ = ⁅(π z).restrict hzU, LieModule.toEnd R A U a⁆ := by
      ext ⟨x, hx⟩
      change ⁅⁅z, a⁆, x⁆ = ⁅z, ⁅a, x⁆⁆ - ⁅a, ⁅z, x⁆⁆
      simp only [leibniz_lie z a, add_sub_cancel_right]