-- Lean 4 proof step from Mathlib.ModelTheory.Encoding (goal)
Goal:
L : Language
α : Type u'
l_1 : List ((n : ℕ) × L.BoundedFormula α n)
n φ_n φ_l : ℕ
φ_R : L.Relations φ_l
ts : Fin φ_l → Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin φ_n)
l : List ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k) ⊕ (n : ℕ) × L.Relations n ⊕ ℕ)
h :
  ∀ (i : Fin φ_l),
    (getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((n : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin n)))) (i : Fin φ_l) ↦
          (↑i : ℕ) < xs.length)
          (List.map Sum.getLeft?
            (List.map
                (fun (i : Fin φ_l) ↦
                  Sum.inl
                    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin n))
                      ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
                        L.BoundedFormula α n))
                      (ts i)))
                (finRange φ_l) ++
              l))
          i).join =
      some (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin n)) φ_n (ts i))
⊢ (if h :
          ∀ (i : Fin φ_l),
            (getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                    (↑i : ℕ) < xs.length)
                    (List.map Sum.getLeft?
                      (List.map
                          (fun (i : Fin φ_l) ↦
                            Sum.inl
                              (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β :=
                                  fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                (ts i)))
                          (finRange φ_l) ++
                        l))
                    i).join.isSome =
              true then
        if h' :
            ∀ (i : Fin φ_l),
              ((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                            (↑i : ℕ) < xs.length)
                            (List.map Sum.getLeft?
                              (List.map
                                  (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                    Sum.inl
                                      (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                        ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β :=
                                          fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                        (ts i)))
                                  (finRange φ_l) ++
                                l))
                            i).join.get
                      ⋯).fst
                  (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)) =
                (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
                  L.BoundedFormula α n) then
          Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n)
            ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
              L.BoundedFormula α n))
            (rel φ_R fun (i : Fin φ_l) ↦
              ⋯.mp
                (((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                            (↑i : ℕ) < xs.length)
                            (List.map Sum.getLeft?
                              (List.map
                                  (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                    Sum.inl
                                      (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                        ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β :=
                                          fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                        (ts i)))
                                  (finRange φ_l) ++
                                l))
                            i).join.get
                      ⋯).snd
                  (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))))
        else default
      else default) ::
      listDecode
        (drop φ_l
          (List.map
              (fun (i : Fin φ_l) ↦
                Sum.inl
                  (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                    ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
                      L.BoundedFormula α n))
                    (ts i)))
              (finRange φ_l) ++
            l)) =
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts) :: listDecode l
have rel : (if h' :
        ∀ (i : Fin φ_l),
          ((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                        (↑i : ℕ) < xs.length)
                        (List.map Sum.getLeft?
                          (List.map
                              (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                Sum.inl
                                  (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                    ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β :=
                                      fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                    (ts i)))
                              (finRange φ_l) ++
                            l))
                        i).join.get
                  sorry).fst
              (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)) =
            (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
              L.BoundedFormula α n) then
      Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n)
        ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
          L.BoundedFormula α n))
        (rel φ_R fun (i : Fin φ_l) ↦
          sorry.mp
            (((getElem? (valid := fun (xs : List (Option ((k : ℕ) × Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k)))) (i : Fin φ_l) ↦
                        (↑i : ℕ) < xs.length)
                        (List.map Sum.getLeft?
                          (List.map
                              (fun (i : Fin φ_l) ↦
                                Sum.inl
                                  (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                                    ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β :=
                                      fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n))
                                    (ts i)))
                              (finRange φ_l) ++
                            l))
                        i).join.get
                  sorry).snd
              (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))))
    else default) ::
    listDecode
      (drop φ_l
        (List.map
            (fun (i : Fin φ_l) ↦
              Sum.inl
                (Sigma.mk (β := fun (k : ℕ) ↦ Term.{u, v, u'} L (α ⊕ Fin k))
                  ((Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts)).fst (β := fun (n : ℕ) ↦
                    L.BoundedFormula α n))
                  (ts i)))
            (finRange φ_l) ++
          l)) =
  Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ L.BoundedFormula α n) φ_n (rel φ_R ts) :: listDecode l
Tactic: rw [dif_pos]