awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
n : N
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (0, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) 0 : M ⊗[R] N)
have simp_rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (0, n)) : M ⊗[R] N)
  (0 : M ⊗[R] N)
Tactic: simp_rw [map_zero, SMul.aux_of, smul_zero, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
n : N
simp_rw :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (0, n)) : M ⊗[R] N)
    (0 : M ⊗[R] N)
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (0, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) 0 : M ⊗[R] N)
have simp_rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul (β := M) r 0 ⊗ₜ[R] n) 0
Tactic: simp_rw [map_zero, SMul.aux_of, smul_zero, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
n : N
simp_rw :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (0, n)) : M ⊗[R] N)
    (0 : M ⊗[R] N)
simp_rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul (β := M) r 0 ⊗ₜ[R] n) 0
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (0, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) 0 : M ⊗[R] N)
have simp_rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] n) 0
Tactic: simp_rw [map_zero, SMul.aux_of, smul_zero, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m : M
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, 0)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) 0 : M ⊗[R] N)
have simp_rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, 0)) : M ⊗[R] N)
  (0 : M ⊗[R] N)
Tactic: simp_rw [map_zero, SMul.aux_of, tmul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m : M
simp_rw :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, 0)) : M ⊗[R] N)
    (0 : M ⊗[R] N)
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, 0)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) 0 : M ⊗[R] N)
have simp_rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • m) ⊗ₜ[R] 0) 0
Tactic: simp_rw [map_zero, SMul.aux_of, tmul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m₁ m₂ : M
n : N
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁, n) + FreeAddMonoid.of (m₂, n)) :
      M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁ + m₂, n)) : M ⊗[R] N)
have simp_rw : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₂, n)) : M ⊗[R] N) =
  (SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁ + m₂, n))
Tactic: simp_rw [map_add, SMul.aux_of, smul_add, add_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m₁ m₂ : M
n : N
simp_rw :
  HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N)
      ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁, n)) : M ⊗[R] N)
      ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₂, n)) : M ⊗[R] N) =
    (SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁ + m₂, n))
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁, n) + FreeAddMonoid.of (m₂, n)) :
      M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁ + m₂, n)) : M ⊗[R] N)
have simp_rw₁ : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m₁) ⊗ₜ[R] n) ((r • m₂) ⊗ₜ[R] n) = (r • (m₁ + m₂)) ⊗ₜ[R] n
Tactic: simp_rw [map_add, SMul.aux_of, smul_add, add_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m₁ m₂ : M
n : N
simp_rw :
  HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N)
      ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁, n)) : M ⊗[R] N)
      ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₂, n)) : M ⊗[R] N) =
    (SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁ + m₂, n))
simp_rw₁ : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m₁) ⊗ₜ[R] n) ((r • m₂) ⊗ₜ[R] n) = (r • (m₁ + m₂)) ⊗ₜ[R] n
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁, n) + FreeAddMonoid.of (m₂, n)) :
      M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m₁ + m₂, n)) : M ⊗[R] N)
have simp_rw₂ : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m₁) ⊗ₜ[R] n) ((r • m₂) ⊗ₜ[R] n) = (r • m₁ + r • m₂) ⊗ₜ[R] n
Tactic: simp_rw [map_add, SMul.aux_of, smul_add, add_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m : M
n₁ n₂ : N
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁) + FreeAddMonoid.of (m, n₂)) :
      M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁ + n₂)) : M ⊗[R] N)
have simp_rw : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₂)) : M ⊗[R] N) =
  (SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁ + n₂))
Tactic: simp_rw [map_add, SMul.aux_of, tmul_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
m : M
n₁ n₂ : N
simp_rw :
  HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N)
      ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁)) : M ⊗[R] N)
      ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₂)) : M ⊗[R] N) =
    (SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁ + n₂))
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁) + FreeAddMonoid.of (m, n₂)) :
      M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, n₁ + n₂)) : M ⊗[R] N)
have simp_rw₁ : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m) ⊗ₜ[R] n₁) ((r • m) ⊗ₜ[R] n₂) = (r • m) ⊗ₜ[R] (n₁ + n₂)
Tactic: simp_rw [map_add, SMul.aux_of, tmul_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
s : R
m : M
n : N
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (s • m, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)) : M ⊗[R] N)
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n)
  ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)))
Tactic: rw [SMul.aux_of, SMul.aux_of, ← smul_comm, smul_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
s : R
m : M
n : N
rw :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)))
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (s • m, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)) : M ⊗[R] N)
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n))
Tactic: rw [SMul.aux_of, SMul.aux_of, ← smul_comm, smul_tmul]