awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered (hypothesis)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
⊢ V ∈ T j
have this : ∀ (S : Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) (E : Finset J) (P : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
  (_univ : Set.univ ∈ S) (_inter : ∀ (A B : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))), A ∈ S → B ∈ S → A ∩ B ∈ S)
  (_cond : ∀ (e : J) (_he : e ∈ E), P e ∈ S), ⋂ e ∈ E, P e ∈ S
Tactic: have :
        ∀ (S : Set (Set (F.obj j))) (E : Finset J) (P : J → Set (F.obj j)) (_univ : Set.univ ∈ S)
          (_inter : ∀ A B : Set (F.obj j), A ∈ S → B ∈ S → A ∩ B ∈ S)
          (_cond : ∀ (e : J) (_he : e ∈ E), P e ∈ S), (⋂ (e) (_he : e ∈ E), P e) ∈ S := by
        intro S E
        induction E using Finset.induction_on with
        | empty =>
          intro P he _hh
          simpa
        | insert a E _ha hh1 =>
          intro hh2 hh3 hh4 hh5
          rw [Finset.set_biInter_insert]
          refine hh4 _ _ (hh5 _ (Finset.mem_insert_self _ _)) (hh1 _ hh3 hh4 ?_)
          intro e he
          exact hh5 e (Finset.mem_insert_of_mem he)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
this :
  ∀ (S : Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) (E : Finset J) (P : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
    (_univ : Set.univ ∈ S) (_inter : ∀ (A B : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))), A ∈ S → B ∈ S → A ∩ B ∈ S)
    (_cond : ∀ (e : J) (_he : e ∈ E), P e ∈ S), ⋂ e ∈ E, P e ∈ S
⊢ V ∈ T j
have h : ∀ (e : J) (_he : e ∈ G), Vs e ∈ T j
Tactic: refine this _ _ _ (univ _) (inter _) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
this :
  ∀ (S : Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))) (E : Finset J) (P : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
    (_univ : Set.univ ∈ S) (_inter : ∀ (A B : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))), A ∈ S → B ∈ S → A ∩ B ∈ S)
    (_cond : ∀ (e : J) (_he : e ∈ E), P e ∈ S), ⋂ e ∈ E, P e ∈ S
e : J
he : e ∈ G
⊢ (if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ) ∈
    T j
have h : (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
          (F.map (g e he))) :
      (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
    U e ∈
  T j
Tactic: rw [dif_pos he]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
⊢ U0 =
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
            (C.π.app j)) :
        (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
      V
have h : Eq (α := Set (↑C.pt : Type (max u v)))
  (⋂ i ∈ G,
    (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (C.π.app i) :
            (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
          x) ⁻¹'
      U i)
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
          (C.π.app j)) :
      (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
    V)
Tactic: rw [h2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
e : J
⊢ Eq (α := Set (↑C.pt : Type (max u v)))
    (⋂ (_ : e ∈ G),
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app e) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj e) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U e)
    (⋂ (_ : e ∈ G),
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (C.π.app j)) :
          (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        Vs e)
have h : Eq (α := e ∈ G → Set (↑C.pt : Type (max u v)))
  (fun (x : e ∈ G) ↦
    (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (C.π.app e) :
            (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj e) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v)))
          x) ⁻¹'
      U e)
  fun (i : e ∈ G) ↦
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
          (C.π.app j)) :
      (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
    Vs e
Tactic: apply congrArg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Cofiltered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
inst_1 : IsCofiltered.{w, v} J
F : J ⥤ TopCat
C : Cone F
hC : IsLimit C
T : (j : J) → Set (Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)))
hT : ∀ (j : J), IsTopologicalBasis (T j)
univ : ∀ (i : J), Set.univ ∈ T i
inter : ∀ (i : J) (U1 U2 : Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))), U1 ∈ T i → U2 ∈ T i → U1 ∩ U2 ∈ T i
compat :
  ∀ (i j : J) (f : i ⟶ j) (V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v))) (_hV : V ∈ T j),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
              (F.map f)) :
          (a : (↑(F.obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
        V ∈
      T i
U0 : Set (↑C.pt : Type (max u v))
U : (i : J) → Set (↑(F.obj i) : Type (max u v))
G : Finset J
h1 : ∀ i ∈ G, U i ∈ T i
h2 :
  U0 =
    ⋂ i ∈ G,
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app i) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj i) : Type (max u v))) → (↑(F.obj i) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U i
j : J
hj : ∀ {X : J}, X ∈ G → Nonempty.{w + 1} (j ⟶ X)
g : (e : J) → e ∈ G → (j ⟶ e) := fun (x : J) (he : x ∈ G) ↦ ⋯.some
Vs : J → Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) :=
  fun (e : J) ↦
    if h : e ∈ G then
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (F.map (g e h))) :
          (a : (↑(F.obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v))) ⁻¹'
        U e
    else Set.univ
V : Set (↑(F.obj j) : Type (max u v)) := ⋂ e ∈ G, Vs e
e : J
⊢ Eq (α := e ∈ G → Set (↑C.pt : Type (max u v)))
    (fun (x : e ∈ G) ↦
      (fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
                carrier) (C.π.app e) :
              (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj e) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v)))
            x) ⁻¹'
        U e)
    fun (i : e ∈ G) ↦
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC := carrier)
            (C.π.app j)) :
        (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
      Vs e
have h : ∀ (he : e ∈ G),
  Eq (α := Set (↑C.pt : Type (max u v)))
    ((fun (x : (↑C.pt : Type (max u v))) ↦
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
              carrier) (C.π.app e) :
            (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj e) : Type (max u v))) → (↑(F.obj e) : Type (max u v)))
          x) ⁻¹'
      U e)
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat) ↦ C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CC :=
            carrier) (C.π.app j)) :
        (a : (↑(((Functor.const J).obj C.pt).obj j) : Type (max u v))) → (↑(F.obj j) : Type (max u v))) ⁻¹'
      Vs e)
Tactic: ext1 he
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have inl : IsEmpty J → (partialSections F H).Nonempty
Tactic: cases isEmpty_or_nonempty J
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
inl : IsEmpty J → (partialSections F H).Nonempty
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have inr : Nonempty J → (partialSections F H).Nonempty
Tactic: cases isEmpty_or_nonempty J
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
h_1 : Nonempty J
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have this : IsCofiltered J
Tactic: haveI : IsCofiltered J := ⟨⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
h_1 : Nonempty J
this : IsCofiltered J
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have h₁ : (fun (j : J) ↦
    if hj : j ∈ G then
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
            F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
          (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj j) : Type v))
        (Nonempty.some sorry)
    else sorry.some) ∈
  partialSections F H
Tactic: use fun j : J =>
    if hj : j ∈ G then F.map (IsCofiltered.infTo G H hj) (h (IsCofiltered.inf G H)).some
    else (h _).some
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
h_1 : Nonempty J
this : IsCofiltered J
X Y : J
hX : X ∈ G
hY : Y ∈ G
f : X ⟶ Y
hf :
  PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))) ∈
    H
⊢ Eq (α := (↑(F.obj Y) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (F.map f) :
          (a : (↑(F.obj X) : Type v)) → (↑(F.obj Y) : Type v))
        (if hj : X ∈ G then
          (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
                F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
              (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj X) : Type v))
            (Nonempty.some ⋯)
        else ⋯.some) :
      (↑(F.obj Y) : Type v))
    (if hj : Y ∈ G then
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
            (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj Y) : Type v))
          (Nonempty.some ⋯)
      else ⋯.some :
      (↑(F.obj Y) : Type v))
have h₁ : Eq (α := (↑(F.obj Y) : Type v))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (F.map f) :
        (a : (↑(F.obj X) : Type v)) → (↑(F.obj Y) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hX)) :
            (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj X) : Type v))
          (Nonempty.some sorry) :
        (↑(F.obj X) : Type v)) :
    (↑(F.obj Y) : Type v))
  (if hj : Y ∈ G then
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
            F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
          (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj Y) : Type v))
        (Nonempty.some sorry)
    else sorry.some :
    (↑(F.obj Y) : Type v))
Tactic: rwa [dif_pos hX, dif_pos hY, ← comp_app, ← F.map_comp, @IsCofiltered.infTo_commutes _ _ _ G H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have inl : IsEmpty J → (partialSections F H).Nonempty
Tactic: classical
  cases isEmpty_or_nonempty J
  · exact ⟨isEmptyElim, fun {j} => IsEmpty.elim' inferInstance j.1⟩
  haveI : IsCofiltered J := ⟨⟩
  use fun j : J =>
    if hj : j ∈ G then F.map (IsCofiltered.infTo G H hj) (h (IsCofiltered.inf G H)).some
    else (h _).some
  rintro ⟨X, Y, hX, hY, f⟩ hf
  dsimp only
  rwa [dif_pos hX, dif_pos hY, ← comp_app, ← F.map_comp, @IsCofiltered.infTo_commutes _ _ _ G H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
inl : IsEmpty J → (partialSections F H).Nonempty
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have inr : Nonempty J → (partialSections F H).Nonempty
Tactic: classical
  cases isEmpty_or_nonempty J
  · exact ⟨isEmptyElim, fun {j} => IsEmpty.elim' inferInstance j.1⟩
  haveI : IsCofiltered J := ⟨⟩
  use fun j : J =>
    if hj : j ∈ G then F.map (IsCofiltered.infTo G H hj) (h (IsCofiltered.inf G H)).some
    else (h _).some
  rintro ⟨X, Y, hX, hY, f⟩ hf
  dsimp only
  rwa [dif_pos hX, dif_pos hY, ← comp_app, ← F.map_comp, @IsCofiltered.infTo_commutes _ _ _ G H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
inl : IsEmpty J → (partialSections F H).Nonempty
inr inr₁ : Nonempty J → (partialSections F H).Nonempty
⊢ (partialSections F H).Nonempty
have inr₂ : Nonempty J → ∀ (this : IsCofiltered J), (partialSections F H).Nonempty
Tactic: classical
  cases isEmpty_or_nonempty J
  · exact ⟨isEmptyElim, fun {j} => IsEmpty.elim' inferInstance j.1⟩
  haveI : IsCofiltered J := ⟨⟩
  use fun j : J =>
    if hj : j ∈ G then F.map (IsCofiltered.infTo G H hj) (h (IsCofiltered.inf G H)).some
    else (h _).some
  rintro ⟨X, Y, hX, hY, f⟩ hf
  dsimp only
  rwa [dif_pos hX, dif_pos hY, ← comp_app, ← F.map_comp, @IsCofiltered.infTo_commutes _ _ _ G H]