awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
refine_1 : IsCompact (σₙ ℝ a)
⊢ CompactSpace (↑s : Type)
have refine_2 : IsCompact (σₙ ℝ b)
Tactic: refine isCompact_iff_compactSpace.mp <| (IsCompact.union ?_ ?_).union ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
refine_1 : IsCompact (σₙ ℝ a)
refine_2 : IsCompact (σₙ ℝ b)
⊢ CompactSpace (↑s : Type)
have refine_3 : IsCompact (σₙ ℝ (-c))
Tactic: refine isCompact_iff_compactSpace.mp <| (IsCompact.union ?_ ?_).union ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
⊢ a⁺ = b
have hs : CompactSpace (↑s : Type)
Tactic: have hs : CompactSpace s := by
    refine isCompact_iff_compactSpace.mp <| (IsCompact.union ?_ ?_).union ?_
    all_goals exact isCompact_quasispectrum _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
⊢ a⁺ = b
have has : σₙ ℝ a ⊆ s
Tactic: obtain ⟨has, hbs, hcs⟩ : σₙ ℝ a ⊆ s ∧ σₙ ℝ b ⊆ s ∧ σₙ ℝ (-c) ⊆ s := by grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
⊢ a⁺ = b
have hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
Tactic: obtain ⟨has, hbs, hcs⟩ : σₙ ℝ a ⊆ s ∧ σₙ ℝ b ⊆ s ∧ σₙ ℝ (-c) ⊆ s := by grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
⊢ a⁺ = b
have hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
Tactic: obtain ⟨has, hbs, hcs⟩ : σₙ ℝ a ⊆ s ∧ σₙ ℝ b ⊆ s ∧ σₙ ℝ (-c) ⊆ s := by grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
⊢ a⁺ = b
have this : Fact (0 ∈ s)
Tactic: have : Fact (0 ∈ s) := ⟨by aesop⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          f :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have id : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        g :
      A) =
  0
Tactic: refine f.nonUnitalStarAlgHom_apply_mul_eq_zero _ _ ?id ?star_id
      (cfcₙHomSuperset_continuous hb' hbs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
id :
  HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          f :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have star_id : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (star (ContinuousMapZero.id s)) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        g :
      A) =
  0
Tactic: refine f.nonUnitalStarAlgHom_apply_mul_eq_zero _ _ ?id ?star_id
      (cfcₙHomSuperset_continuous hb' hbs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (star (ContinuousMapZero.id s)) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have star_id : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        g :
      A) =
  0
Tactic: rw [star_trivial]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (star (ContinuousMapZero.id s)) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have star_id : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        g :
      A) =
  0
Tactic: case' star_id => rw [star_trivial]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have star_id : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A) =
  0
Tactic: refine g.mul_nonUnitalStarAlgHom_apply_eq_zero _ _ ?_ ?_
        (cfcₙHomSuperset_continuous hc' hcs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
star_id :
  HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A) =
    0
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have star_id₁ : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (star (ContinuousMapZero.id s)) :
      A) =
  0
Tactic: refine g.mul_nonUnitalStarAlgHom_apply_eq_zero _ _ ?_ ?_
        (cfcₙHomSuperset_continuous hc' hcs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have id : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A) =
  0
Tactic: refine g.mul_nonUnitalStarAlgHom_apply_eq_zero _ _ ?_ ?_
        (cfcₙHomSuperset_continuous hc' hcs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
f g : C((↑s : Type), ℝ)₀
id :
  HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A) =
    0
⊢ HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          (ContinuousMapZero.id s) :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
have id₁ : HMul.hMul (α := A) (β := A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (ContinuousMapZero.id s) :
      A)
    (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
          (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
        (star (ContinuousMapZero.id s)) :
      A) =
  0
Tactic: refine g.mul_nonUnitalStarAlgHom_apply_eq_zero _ _ ?_ ?_
        (cfcₙHomSuperset_continuous hc' hcs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
⊢ a⁺ = b
have mul₁ : ∀ (f g : C((↑s : Type), ℝ)₀),
  HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          f :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
Tactic: have mul₁ (f g : C(s, ℝ)₀) :
      (cfcₙHomSuperset hb' hbs f) * (cfcₙHomSuperset hc' hcs g) = 0 := by
    refine f.nonUnitalStarAlgHom_apply_mul_eq_zero _ _ ?id ?star_id
      (cfcₙHomSuperset_continuous hb' hbs)
    case' star_id => rw [star_trivial]
    all_goals
      refine g.mul_nonUnitalStarAlgHom_apply_eq_zero _ _ ?_ ?_
        (cfcₙHomSuperset_continuous hc' hcs)
      all_goals simp only [star_trivial, cfcₙHomSuperset_id hb' hbs,
        cfcₙHomSuperset_id hc' hcs, mul_neg, hbc, neg_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.ContinuousFunctionalCalculus.PosPart.Basic (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalRing A
inst_1 : Module ℝ A
inst_2 : SMulCommClass ℝ A A
inst_3 : IsScalarTower ℝ A A
inst_4 : StarRing A
inst_5 : TopologicalSpace A
inst_6 : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ A IsSelfAdjoint
inst_7 : PartialOrder A
inst_8 : StarOrderedRing A
inst_9 : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst_10 : IsSemitopologicalRing A
inst_11 : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : 0 ≤ b
hc : 0 ≤ c
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace (↑s : Type)
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
this : Fact (0 ∈ s)
mul₁ :
  ∀ (f g : C((↑s : Type), ℝ)₀),
    HMul.hMul (α := A) (β := A)
        (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
              (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
            f :
          A)
        (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
              (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
            g :
          A) =
      0
⊢ a⁺ = b
have mul₂ : ∀ (f g : C((↑s : Type), ℝ)₀),
  HMul.hMul (α := A) (β := A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hc' (s := s) hcs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          f :
        A)
      (((cfcₙHomSuperset (p := IsSelfAdjoint) hb' (s := s) hbs : C((↑s : Type), ℝ)₀ →⋆ₙₐ[ℝ] A) :
            (a : C((↑s : Type), ℝ)₀) → A)
          g :
        A) =
    0
Tactic: have mul₂ (f g : C(s, ℝ)₀) : (cfcₙHomSuperset hc' hcs f) * (cfcₙHomSuperset hb' hbs g) = 0 := by
    simpa only [star_mul, star_zero, ← map_star, star_trivial] using congr(star $(mul₁ g f))