awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x
h_unit :
  ∀ (x : ↥U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
hcover : U ≤ iSup V
⊢ IsUnit f
have choose : ∀ (g : (x : ↥U) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
  (hg :
    ∀ (x : ↥U),
      HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          (g x) =
        1),
  IsUnit f
Tactic: choose g hg using fun x : U => IsUnit.exists_right_inv (h_unit x)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x
h_unit :
  ∀ (x : ↥U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)
hg :
  ∀ (x : ↥U),
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        (g x) =
      1
⊢ IsUnit f
have ic : IsCompatible (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier)
  ((sheaf X).obj (P :=
    CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))))
  V g
Tactic: have ic : IsCompatible (sheaf X).obj V g := by
    intro x y
    apply section_ext X.sheaf (V x ⊓ V y)
    rintro z ⟨hzVx, hzVy⟩
    rw [germ_res_apply, germ_res_apply]
    apply (h z ((iVU x).le hzVx)).mul_right_inj.mp
    rw [← germ_res_apply X.presheaf (iVU x) z hzVx f]
    -- Porting note: change was not necessary in Lean3
    change X.presheaf.germ _ z hzVx _ * (X.presheaf.germ _ z hzVx _) =
      X.presheaf.germ _ z hzVx _ * X.presheaf.germ _ z hzVy (g y)
    rw [← map_mul, hg x, germ_res_apply X.presheaf _ _ _ f,
      ← germ_res_apply X.presheaf (iVU y) z hzVy f, ← map_mul, (hg y), map_one, map_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h :
  ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : (x : ↥U) → Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
m : ∀ (x : ↥U), (↑x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ∈ V x
h_unit :
  ∀ (x : ↥U),
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
hcover : U ≤ iSup V
g : (x : ↥U) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1)
hg :
  ∀ (x : ↥U),
    HMul.hMul (α := (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (iVU x).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (V x))) : Type u_1))
        (g x) =
      1
ic :
  IsCompatible (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC := CommRingCat.carrier)
    ((sheaf X).obj (P :=
      CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))))
    V g
⊢ IsUnit f
have obtain : ∀ (gl : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1))
  (gl_spec :
    ∀ (i : ↥U),
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier)
              ((sheaf X).obj (P :=
                    CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf
                      (Opens.grothendieckTopology (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))).map
                (iVU i).op) :
            (a : (↑((sheaf X).obj.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑((sheaf X).obj.obj (op (V i))) : Type u_1))
          gl =
        g i),
  IsUnit f
Tactic: obtain ⟨gl, gl_spec, -⟩ :
    -- We need to rephrase the result from `ConcreteCategory` to `CommRingCat`.
    ∃ gl : X.presheaf.obj (op U), (∀ i, ((sheaf X).obj.map (iVU i).op) gl = g i) ∧ _ :=
    X.sheaf.existsUnique_gluing' V U iVU hcover g ic
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
⊢ IsOpen.{u_1} (X := (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
    {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
      ∃ (hx : x ∈ U),
        IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))}
have rw : ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)),
  Membership.mem (γ := Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
      {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
        ∃ (hx : x ∈ U),
          IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                  (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
                f :
              (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))}
      x →
    ∃
      t ⊆
        {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
          ∃ (hx : x ∈ U),
            IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                    (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
                  f :
                (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))},
      IsOpen t ∧ x ∈ t
Tactic: rw [isOpen_iff_forall_mem_open]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
⊢ ∃
    t ⊆
      {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
        ∃ (hx : x ∈ U),
          IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                  (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
                f :
              (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))},
    IsOpen t ∧ x ∈ t
have obtain : ∀ (V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (i : V ⟶ U) (hxV : x ∈ V)
  (hf :
    IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))),
  ∃
    t ⊆
      {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
        ∃ (hx : x ∈ U),
          IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                  (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
                f :
              (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))},
    IsOpen t ∧ x ∈ t
Tactic: obtain ⟨V, i, hxV, hf⟩ := X.isUnit_res_of_isUnit_germ U f x hxU hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
i : V ⟶ U
hxV : x ∈ V
hf :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
⊢ ∃
    t ⊆
      {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
        ∃ (hx : x ∈ U),
          IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                  (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
                f :
              (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))},
    IsOpen t ∧ x ∈ t
have h : V.carrier ⊆
    {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
      ∃ (hx : x ∈ U),
        IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))} ∧
  IsOpen V.carrier ∧ x ∈ V.carrier
Tactic: use V.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
i : V ⟶ U
hxV : x ∈ V
hf :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
⊢ V.carrier ⊆
      {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
        ∃ (hx : x ∈ U),
          IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                  (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
                f :
              (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))} ∧
    IsOpen V.carrier ∧ x ∈ V.carrier
have h : V.carrier ⊆
  {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
    ∃ (hx : x ∈ U),
      IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))}
Tactic: refine ⟨?_, V.2, hxV⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
i : V ⟶ U
hxV : x ∈ V
hf :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
y : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hy : y ∈ V.carrier
⊢ Membership.mem (γ := Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
    {x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1) |
      ∃ (hx : x ∈ U),
        IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
              f :
            (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))}
    y
have h : IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk y) (X.presheaf.germ U y sorry) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
      f :
    (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
Tactic: use i.le hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
V : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
i : V ⟶ U
hxV : x ∈ V
hf :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
y : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hy : y ∈ V.carrier
⊢ IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk y) (X.presheaf.germ U y ⋯) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
have h : Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk y) (X.presheaf.germ U y sorry) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
      f :
    (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
  ((CommRingCat.Hom.hom (X.presheaf.germ V y hy) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i.op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op V)) : Type u_1)) :
    (↑(X.presheaf.stalk y) : Type u_1))
Tactic: convert! RingHom.isUnit_map (X.presheaf.germ _ y hy).hom hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
⊢ IsUnit (M := (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1))
have h : ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) (hx : x ∈ X.basicOpen f),
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (X.basicOpen f) x hx) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE sorry).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
Tactic: apply isUnit_of_isUnit_germ