awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ (n + 1)
hprime : Nat.Prime p
hchar : CharP K p
pos :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ (n + 1) • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₁ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) ((p * p ^ n) • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₂ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p • p ^ n • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₃ :
  HSMul.hSMul (β := K) p ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
pos₄ :
  HMul.hMul (α := K) (β := K) ((↑p : K) : K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos₅ : HMul.hMul (α := K) (β := K) (0 : K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
  (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
Tactic: rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ (n + 1)
hprime : Nat.Prime p
hchar : CharP K p
pos :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ (n + 1) • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₁ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) ((p * p ^ n) • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₂ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p • p ^ n • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₃ :
  HSMul.hSMul (β := K) p ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
pos₄ :
  HMul.hMul (α := K) (β := K) ((↑p : K) : K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
pos₅ :
  HMul.hMul (α := K) (β := K) (0 : K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos₆ : Eq.{u_4 + 1} (α := K) (0 : K)
  ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
Tactic: rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ (n + 1)
hprime : Nat.Prime p
hchar : CharP K p
pos :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ (n + 1) • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₁ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) ((p * p ^ n) • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₂ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p • p ^ n • x) : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
pos₃ :
  HSMul.hSMul (β := K) p ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
pos₄ :
  HMul.hMul (α := K) (β := K) ((↑p : K) : K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
pos₅ :
  HMul.hMul (α := K) (β := K) (0 : K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (p ^ n • x) : K) =
    (0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L)
pos₆ :
  Eq.{u_4 + 1} (α := K) (0 : K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos₇ : Eq.{u_4 + 1} (α := K) 0 0
Tactic: rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ (n + 1)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos : ∀ [CharZero K] (this : Ne (α := ℕ) 1 0) (hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = HPow.hPow (α := ℕ) 1 (n + 1)),
  Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
Tactic: cases hp with
      | zero =>
        rw [one_pow, IntermediateField.finrank_eq_one_iff_eq_top, separableClosure.eq_top_iff] at hn
        cases H hn
      | prime hprime =>
        rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
Cleared hypotheses: p, hp, this, hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ (n + 1)
pos :
  ∀ [CharZero K] (this : Ne (α := ℕ) 1 0) (hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = HPow.hPow (α := ℕ) 1 (n + 1)),
    Eq.{u_4 + 1} (α := K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
        K)
      ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos₁ : ∀ (hprime : Nat.Prime p) [CharP K p],
  Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
Tactic: cases hp with
      | zero =>
        rw [one_pow, IntermediateField.finrank_eq_one_iff_eq_top, separableClosure.eq_top_iff] at hn
        cases H hn
      | prime hprime =>
        rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
Cleared hypotheses: hp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ n
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos : ∀ (hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = HPow.hPow (β := ℕ) p 0),
  Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
Tactic: cases n with
    | zero =>
      rw [pow_zero, IntermediateField.finrank_eq_one_iff_eq_top, separableClosure.eq_top_iff] at hn
      cases H hn
    | succ n =>
      cases hp with
      | zero =>
        rw [one_pow, IntermediateField.finrank_eq_one_iff_eq_top, separableClosure.eq_top_iff] at hn
        cases H hn
      | prime hprime =>
        rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
Cleared hypotheses: n, hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
h₀ : FiniteDimensional K L
x : ↥(separableClosure K L)
n : ℕ
hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ n
pos :
  ∀ (hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = HPow.hPow (β := ℕ) p 0),
    Eq.{u_4 + 1} (α := K)
      ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
        K)
      ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
have pos₁ : ∀ (n : ℕ) (hn : finrank (↥(separableClosure K L)) L = p ^ (n + 1)),
  Eq.{u_4 + 1} (α := K)
    ((trace K ↥(separableClosure K L) : (a : ↥(separableClosure K L)) → K) (finrank (↥(separableClosure K L)) L • x) :
      K)
    ((0 : (a : L) → K) ((algebraMap (↥(separableClosure K L)) L : (a : ↥(separableClosure K L)) → L) x : L) : K)
Tactic: cases n with
    | zero =>
      rw [pow_zero, IntermediateField.finrank_eq_one_iff_eq_top, separableClosure.eq_top_iff] at hn
      cases H hn
    | succ n =>
      cases hp with
      | zero =>
        rw [one_pow, IntermediateField.finrank_eq_one_iff_eq_top, separableClosure.eq_top_iff] at hn
        cases H hn
      | prime hprime =>
        rw [hn, pow_succ', mul_smul, LinearMap.map_smul_of_tower, nsmul_eq_mul,
          CharP.cast_eq_zero, zero_mul, LinearMap.zero_apply]
Cleared hypotheses: n, hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := K) ((trace K L : (a : L) → K) x : K) ((0 : (a : L) → K) x : K)
have neg : (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
Tactic: rw [trace_eq_finrank_mul_minpoly_nextCoeff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
have neg : ∀ (g : K[X]) (hg₁ : g.Separable) (m : ℕ)
  (hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ m) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])),
  (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
Tactic: obtain ⟨g, hg₁, m, hg₂⟩ :=
      (minpoly.irreducible (IsIntegral.isIntegral (R := K) x)).hasSeparableContraction p
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
have hg₃ : Separable (minpoly K x)
Tactic: obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa using hg₂
Cleared hypotheses: g, hg₁, hg₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
hg₃ : Separable (minpoly K x)
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
have hg₄ : Eq (α := K[X]) ((expand K (HPow.hPow (β := ℕ) p 0) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])
Tactic: obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa using hg₂
Cleared hypotheses: g, hg₁, hg₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
have neg : ¬p ^ (n + 1) ∣ natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) - 1
Tactic: rw [nextCoeff, if_neg, ← hg₂, coeff_expand (by positivity),
        if_neg, neg_zero, mul_zero, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
neg : ¬p ^ (n + 1) ∣ natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) - 1
⊢ (↑(finrank (↥K⟮x⟯) L) : K) * -nextCoeff (minpoly K x) = (0 : (a : L) → K) x
have neg₁ : ¬natDegree (minpoly K x) = 0
Tactic: rw [nextCoeff, if_neg, ← hg₂, coeff_expand (by positivity),
        if_neg, neg_zero, mul_zero, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ ¬p ^ (n + 1) ∣ natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) - 1
have neg : ¬p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
Tactic: rw [natDegree_expand]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
⊢ False
have this₁ : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
Tactic: have := Nat.dvd_sub (dvd_mul_left (p ^ (n + 1)) g.natDegree) h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
⊢ False
have neg : ∀ (this : p ^ (n + 1) = 1), False
Tactic: rw [tsub_tsub_cancel_of_le, Nat.dvd_one] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
neg : ∀ (this : p ^ (n + 1) = 1), False
⊢ False
have neg₁ : 1 ≤ g.natDegree * p ^ (n + 1)
Tactic: rw [tsub_tsub_cancel_of_le, Nat.dvd_one] at this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
⊢ False
have hg₃ : Separable (minpoly K x)
Tactic: obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂
Cleared hypotheses: g, hg₁, hg₂, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
hg₃ : Separable (minpoly K x)
⊢ False
have hg₄ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])
Tactic: obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂
Cleared hypotheses: g, hg₁, hg₂, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) = 1
hg₃ : Separable (minpoly K x)
hg₄ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) (minpoly K x) : K[X]) (minpoly K x : K[X])
⊢ False
have h₁ : p ^ (n + 1) ∣ natDegree (minpoly K x) * p ^ (n + 1) - 1
Tactic: obtain rfl : g = minpoly K x := by simpa [this] using hg₂
Cleared hypotheses: g, hg₁, hg₂, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
⊢ 1 ≤ g.natDegree * p ^ (n + 1)
have neg : g.natDegree * p ^ (n + 1) ≠ 0
Tactic: rw [Nat.one_le_iff_ne_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
e : g.natDegree = 0
⊢ False
have this₁ : natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) = natDegree (minpoly K x)
Tactic: have := congr(natDegree $hg₂)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Trace.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_4
L : Type u_5
inst : Field K
inst_1 : Field L
inst_2 : Algebra K L
H : ¬Algebra.IsSeparable K L
p : ℕ
hp : ExpChar K p
this_1 : p ≠ 0
x : L
h₀ : FiniteDimensional K L
hx : ¬IsSeparable K x
g : K[X]
hg₁ : g.Separable
n : ℕ
hg₂ : Eq (α := K[X]) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g : K[X]) (minpoly K x : K[X])
h : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1
this_2 : p ^ (n + 1) ∣ g.natDegree * p ^ (n + 1) - (g.natDegree * p ^ (n + 1) - 1)
e : g.natDegree = 0
this : natDegree.{u_4} (R := K) ((expand K (p ^ (n + 1)) : (a : K[X]) → K[X]) g) = natDegree (minpoly K x)
⊢ False
have this₁ : 0 = natDegree (minpoly K x)
Tactic: rw [natDegree_expand, e, zero_mul] at this
Cleared hypotheses: this