awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x y1) (f x y2)
⊢ ∃ y0 ∈ Y, ∀ x ∈ X, t < f x y0
have by_contra! : ∀ (hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t), False
Tactic: by_contra! hinfi_le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x y1) (f x y2)
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
⊢ False
have obtain : ∀ (a : E) (ha : a ∈ X) (ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x y1) (f x y2)) X a), False
Tactic: obtain ⟨a, ha, ha'⟩ := (hfy y1 hy1).sup (hfy y2 hy2) |>.exists_isMinOn ne_X kX
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x y1) (f x y2)
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x y1) (f x y2)) X a
⊢ False
have obtain : ∀ (t' : β) (htt' : t < t') (ht' : t' < max (f a y1) (f a y2)), False
Tactic: obtain ⟨t', htt', ht'⟩ := exists_between (ht a ha)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
y1 : F
hy1 : y1 ∈ Y
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x y1) (f x y2)
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x y1) (f x y2)) X a
t' : β
htt' : t < t'
ht' : t' < max (f a y1) (f a y2)
⊢ False
have lift : ∀ (y1 : { x : F // x ∈ Y }) (ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x y2))
  (ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x y2)) X a)
  (ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a y2)), False
Tactic: lift y1 to Y using hy1
Cleared hypotheses: y1, hy1, ht, ha', ht'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
y2 : F
hy2 : y2 ∈ Y
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x y2)
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x y2)) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a y2)
⊢ False
have lift : ∀ (y2 : { x : F // x ∈ Y }) (ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F)))
  (ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a)
  (ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))), False
Tactic: lift y2 to Y using hy2
Cleared hypotheses: y2, hy2, ht, ha', ht'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
⊢ False
have mem_J1_iff : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
  z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
Tactic: have mem_J1_iff (z : segment ℝ (y1 : F) y2) :
      z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t z ⊆ sublevelLeft X f t' y1 := by
    simp [J1, setOf_sublevelLeft_subset]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
⊢ False
have mem_J2_iff : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
  z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
Tactic: have mem_J2_iff (z : segment ℝ (y1 : F) y2) :
      z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t z ⊆ sublevelLeft X f t' y2 := by
    simp [J2, setOf_sublevelLeft_subset, φ, Homeomorph.setCongr]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
mem_J2_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
⊢ False
have h_mem_Y : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), (↑z : F) ∈ Y
Tactic: have h_mem_Y (z : segment ℝ (y1 : F) y2) : (z : F) ∈ Y := cY.segment_subset y1.2 y2.2 z.prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
mem_J2_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
h_mem_Y : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), (↑z : F) ∈ Y
⊢ J1 ∩ J2 = ∅
have rw : ∀ (x : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), x ∉ J1 ∩ J2
Tactic: rw [Set.eq_empty_iff_forall_notMem]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
mem_J2_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
h_mem_Y : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), (↑z : F) ∈ Y
⊢ ∀ (x : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), x ∉ J1 ∩ J2
have simp : ∀ (x : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
  ¬(sublevelLeft X f t (↑x : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F) ∧
      sublevelLeft X f t (↑x : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F))
Tactic: simp only [mem_inter_iff, mem_J1_iff, mem_J2_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
mem_J2_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
h_mem_Y : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), (↑z : F) ∈ Y
z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)
⊢ ¬(sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F) ∧
      sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F))
have this : ∀ (hz1 : sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F))
  (hz2 : sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)), False
Tactic: ⟨hz1, hz2⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (goal)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
mem_J2_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
h_mem_Y : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), (↑z : F) ∈ Y
z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)
hz1 : sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
hz2 : sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
⊢ False
have apply : sublevelLeft X f t (↑(Subtype.mk (p := fun (x : F) ↦ x ∈ Y) (↑z : F) sorry) : F) ⊆ ∅
Tactic: apply (nonempty_sublevelLeft ne_X kX hfy ⟨z, h_mem_Y z⟩ hinfi_le).not_subset_empty
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sion (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
F : Type u_2
β : Type u_3
inst : LinearOrder β
X : Set E
Y : Set F
f : E → F → β
inst_1 : TopologicalSpace E
inst_2 : AddCommGroup E
inst_3 : Module ℝ E
inst_4 : IsTopologicalAddGroup E
inst_5 : ContinuousSMul ℝ E
ne_X : X.Nonempty
kX : IsCompact X
hfy : ∀ y ∈ Y, LowerSemicontinuousOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ f x y) X
hfy' : ∀ y ∈ Y, QuasiconvexOn.{0, u_1, u_3} ℝ (β := β) X fun (x : E) ↦ f x y
inst_6 : TopologicalSpace F
inst_7 : AddCommGroup F
inst_8 : Module ℝ F
cY : Convex ℝ Y
hfx : ∀ x ∈ X, UpperSemicontinuousOn.{u_2, u_3} (β := β) (fun (y : F) ↦ f x y) Y
hfx' : ∀ x ∈ X, QuasiconcaveOn.{0, u_2, u_3} ℝ (β := β) Y fun (y : F) ↦ f x y
inst_9 : DenselyOrdered β
inst_10 : IsTopologicalAddGroup F
inst_11 : ContinuousSMul ℝ F
t : β
hinfi_le : ∀ (y0 : F) (_ : y0 ∈ Y), ∃ x ∈ X, f x y0 ≤ t
a : E
ha : a ∈ X
t' : β
htt' : t < t'
y1 y2 : { x : F // x ∈ Y }
ht : ∀ x ∈ X, t < max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))
ha' : IsMinOn.{u_1, u_3} (β := β) (fun (x : E) ↦ max (f x (↑y1 : F)) (f x (↑y2 : F))) X a
ht' : t' < max (f a (↑y1 : F)) (f a (↑y2 : F))
J1 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) := setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y1 y2
mem_J1_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J1 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y1 : F)
φ : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) ≃ₜ (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2) :=
  Homeomorph.setCongr (s := segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) (t := segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) ⋯
J2 : Set (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2) :=
  preimage (β := (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (⇑φ : (a : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)) → (↑(segment ℝ (↑y2 : F) (↑y1 : F)) : Type u_2))
    (setOf_sublevelLeft_subset X Y f t t' y2 y1)
mem_J2_iff :
  ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)),
    z ∈ J2 ↔ sublevelLeft X f t (↑z : F) ⊆ sublevelLeft X f t' (↑y2 : F)
h_mem_Y : ∀ (z : (↑(segment ℝ (↑y1 : F) (↑y2 : F)) : Type u_2)), (↑z : F) ∈ Y
⊢ False
have hJ1J2 : J1 ∩ J2 = ∅
Tactic: have hJ1J2 : J1 ∩ J2 = ∅ := by
    rw [Set.eq_empty_iff_forall_notMem]
    simp only [mem_inter_iff, mem_J1_iff, mem_J2_iff]
    intro z ⟨hz1, hz2⟩
    apply (nonempty_sublevelLeft ne_X kX hfy ⟨z, h_mem_Y z⟩ hinfi_le).not_subset_empty
    simpa using Set.disjoint_of_subset hz1 hz2 (disjoint_sublevelLeft ha' ht')