awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosed (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
inst : MeasurableSpace Ω
inst_1 : TopologicalSpace Ω
inst_2 : HasOuterApproxClosed Ω
inst_3 : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
inst_5 : IsFiniteMeasure ν
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : Ω) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : Ω), (f : (a : Ω) → ℝ) x ∂ν)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ ∫⁻ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ = ∫⁻ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂ν
have h₁ : (∫⁻ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal = (∫⁻ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂ν).toReal
Tactic: apply (ENNReal.toReal_eq_toReal_iff' (lintegral_lt_top_of_nnreal μ f).ne
      (lintegral_lt_top_of_nnreal ν f).ne).mp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosed (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
inst : MeasurableSpace Ω
inst_1 : TopologicalSpace Ω
inst_2 : HasOuterApproxClosed Ω
inst_3 : BorelSpace Ω
μ ν : Measure Ω
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
inst_5 : IsFiniteMeasure ν
h : ∀ (f : Ω →ᵇ ℝ), Eq (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : Ω) → ℝ) x ∂μ) (∫ (x : Ω), (f : (a : Ω) → ℝ) x ∂ν)
f : Ω →ᵇ ℝ≥0
⊢ (∫⁻ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂μ).toReal = (∫⁻ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ≥0∞) ∂ν).toReal
have h₁ : Eq (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ) ∂μ) (∫ (x : Ω), (↑((f : (a : Ω) → ℝ≥0) x) : ℝ) ∂ν)
Tactic: rw [toReal_lintegral_coe_eq_integral f μ, toReal_lintegral_coe_eq_integral f ν]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
have h₁ : (μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ =
  ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
    (↑(∏ i : ι, ((1 i : X i →ᵇ ℝ≥0) : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) *
      (↑(∏ j : κ, ((1 j : Y j →ᵇ ℝ≥0) : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ
Tactic: convert! h 1 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
h₁ :
  (μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ =
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
      (↑(∏ i : ι, ((1 i : X i →ᵇ ℝ≥0) : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) *
        (↑(∏ j : κ, ((1 j : Y j →ᵇ ℝ≥0) : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
have h₂ : (ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ =
  ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
    (↑(∏ i : ι, ((1 i : X i →ᵇ ℝ≥0) : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) *
      (↑(∏ j : κ, ((1 j : Y j →ᵇ ℝ≥0) : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
Tactic: convert! h 1 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
⊢ μ = ν
have hμν : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
  ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
Tactic: have hμν : μ univ = ν univ := by convert! h 1 1 <;> simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
⊢ μ = ν
have this : IsFiniteMeasure ν
Tactic: have : IsFiniteMeasure ν := ⟨by simp [← hμν]⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
s₁ : (i : ι) → Set (X i)
hs₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₁
t₁ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₁
s₂ : (i : ι) → Set (X i)
hs₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₂
t₂ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₂
⊢ (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₁)
        (Set.pi (α := Y) univ t₁) ∩
      (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₂)
        (Set.pi (α := Y) univ t₂) ∈
    π
have refine_1 : Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
  (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) fun (i : ι) ↦
  s₁ i ∩ s₂ i
Tactic: refine ⟨_, ⟨fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i, ?_, rfl⟩, _, ⟨fun j ↦ t₁ j ∩ t₂ j, ?_, rfl⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
s₁ : (i : ι) → Set (X i)
hs₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₁
t₁ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₁
s₂ : (i : ι) → Set (X i)
hs₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₂
t₂ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₂
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) fun (i : ι) ↦
    s₁ i ∩ s₂ i
⊢ (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₁)
        (Set.pi (α := Y) univ t₁) ∩
      (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t) (Set.pi (α := X) univ s₂)
        (Set.pi (α := Y) univ t₂) ∈
    π
have refine_2 : Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
  (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) fun (j : κ) ↦
  t₁ j ∩ t₂ j
Tactic: refine ⟨_, ⟨fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i, ?_, rfl⟩, _, ⟨fun j ↦ t₁ j ∩ t₂ j, ?_, rfl⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
s₁ : (i : ι) → Set (X i)
hs₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₁
t₁ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₁
s₂ : (i : ι) → Set (X i)
hs₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₂
t₂ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₂
⊢ Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) fun (i : ι) ↦
    s₁ i ∩ s₂ i
have refine_1 : ∀ (hs₁ : ∀ (i : ι), IsClosed[inst i] (s₁ i)) (hs₂ : ∀ (i : ι), IsClosed[inst i] (s₂ i)) (i : ι),
  IsClosed[inst i] (s₁ i ∩ s₂ i)
Tactic: simp only [Set.mem_pi, mem_univ, mem_setOf_eq, forall_const] at hs₁ hs₂ ⊢
Cleared hypotheses: hs₁, hs₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
s₁ : (i : ι) → Set (X i)
hs₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₁
t₁ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₁ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₁
s₂ : (i : ι) → Set (X i)
hs₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → Set (X i)))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}) s₂
t₂ : (i : κ) → Set (Y i)
ht₂ :
  Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) t₂
⊢ Membership.mem (γ := Set ((i : κ) → Set (Y i)))
    (Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t}) fun (j : κ) ↦
    t₁ j ∩ t₂ j
have refine_2 : ∀ (ht₁ : ∀ (i : κ), IsClosed[inst_3 i] (t₁ i)) (ht₂ : ∀ (i : κ), IsClosed[inst_3 i] (t₂ i)) (i : κ),
  IsClosed[inst_3 i] (t₁ i ∩ t₂ i)
Tactic: simp only [Set.mem_pi, mem_univ, mem_setOf_eq, forall_const] at ht₁ ht₂ ⊢
Cleared hypotheses: ht₁, ht₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
⊢ μ = ν
have hπ1 : IsPiSystem π
Tactic: have hπ1 : IsPiSystem π := by
    rintro - ⟨-, ⟨s₁, hs₁, rfl⟩, -, ⟨t₁, ht₁, rfl⟩, rfl⟩ -
      ⟨-, ⟨s₂, hs₂, rfl⟩, -, ⟨t₂, ht₂, rfl⟩, rfl⟩ -
    refine ⟨_, ⟨fun i ↦ s₁ i ∩ s₂ i, ?_, rfl⟩, _, ⟨fun j ↦ t₁ j ∩ t₂ j, ?_, rfl⟩, ?_⟩
    · simp only [Set.mem_pi, mem_univ, mem_setOf_eq, forall_const] at hs₁ hs₂ ⊢
      exact fun i ↦ (hs₁ i).inter (hs₂ i)
    · simp only [Set.mem_pi, mem_univ, mem_setOf_eq, forall_const] at ht₁ ht₂ ⊢
      exact fun j ↦ (ht₁ j).inter (ht₂ j)
    simp [Set.pi_inter_distrib, Set.prod_inter_prod]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.HasOuterApproxClosedProd (goal)
Goal:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : ι → Type u_5
Y : κ → Type u_6
mX : (i : ι) → MeasurableSpace (X i)
inst : (i : ι) → TopologicalSpace (X i)
inst_1 : ∀ (i : ι), BorelSpace.{u_5} (X i)
inst_2 : ∀ (i : ι), HasOuterApproxClosed.{u_5} (X i)
mY : (j : κ) → MeasurableSpace (Y j)
inst_3 : (j : κ) → TopologicalSpace (Y j)
inst_4 : ∀ (j : κ), BorelSpace.{u_6} (Y j)
inst_5 : ∀ (j : κ), HasOuterApproxClosed.{u_6} (Y j)
inst_6 : Fintype ι
inst_7 : Fintype κ
μ ν : Measure (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
h :
  ∀ (f : (i : ι) → X i →ᵇ ℝ≥0) (g : (j : κ) → Y j →ᵇ ℝ≥0),
    ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂μ =
      ∫⁻ (p : ((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j)),
        (↑(∏ i : ι, (f i : (a : X i) → ℝ≥0) (p.1 i)) : ℝ≥0∞) * (↑(∏ j : κ, (g j : (a : Y j) → ℝ≥0) (p.2 j)) : ℝ≥0∞) ∂ν
hμν :
  Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
    ((ν : (a : Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) → ℝ≥0∞) univ : ℝ≥0∞)
this : IsFiniteMeasure ν
π : Set (Set (((i : ι) → X i) × ((j : κ) → Y j))) :=
  image2 (fun (s : Set ((i : ι) → X i)) (t : Set ((j : κ) → Y j)) ↦ s ×ˢ t)
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s})
    (Set.pi (α := Y) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : κ) ↦ Set (Y i)) univ fun (x : κ) ↦ {t : Set (Y x) | IsClosed[inst_3 x] t})
hπ1 : IsPiSystem π
⊢ Prod.instMeasurableSpace = generateFrom π
have hC : Eq (α := MeasurableSpace ((i : ι) → X i))
  (generateFrom
    (Set.pi (α := X) univ ''
      Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ Set (X i)) univ fun (x : ι) ↦ {s : Set (X x) | IsClosed[inst x] s}))
  (MeasurableSpace.pi (X := X))
Tactic: rw [← generateFrom_eq_prod (C := Set.univ.pi '' (Set.univ.pi fun _ ↦ {s | IsClosed s}))
      (D := Set.univ.pi '' (Set.univ.pi fun _ ↦ {t | IsClosed t}))]