awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₂ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖ / 3
hf3 : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-(‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-(‖f‖ / 3)) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
hle₁ : -(‖f‖ / 3) ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have dist : ‖f‖ / 3 + ‖f‖ / 3 = 2 / 3 * ‖f‖
Tactic: calc
          dist (g (e x)) (f x) ≤ |g (e x)| + |f x| := dist_le_norm_add_norm _ _
          _ ≤ ‖f‖ / 3 + ‖f‖ / 3 := (add_le_add (abs_le.2 <| hgf _) (abs_le.2 ⟨hle₁, hle₂⟩))
          _ = 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
have rw : |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
  HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
Tactic: rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
              abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
rw :
  |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
have rw₁ : |HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y))| =
  HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
Tactic: rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
              abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
rw :
  |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
rw₁ :
  |HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y))| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
have rw₂ : |HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)| = HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
Tactic: rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
              abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
rw :
  |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
rw₁ :
  |HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y))| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
rw₂ : |HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)| = HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
have rw₃ : HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) = HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
Tactic: rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
              abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
⊢ HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → 3 / 3 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → 3 / 3 = 1
⊢ HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith₁ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → 3 / 3 = 1
linarith₁ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
⊢ HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith₂ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → HMul.hMul (α := ℝ) 3 1 = 3
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → 3 / 3 = 1
linarith₁ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
linarith₂ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → HMul.hMul (α := ℝ) 3 1 = 3
linarith₃ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → 3 / 3 = 1
linarith₄ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
⊢ HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith₅ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) → GT.gt (α := ℝ) 3 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have f₁ : |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
  HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
Tactic: calc
          |g (e x) - f x| = f x - ‖f‖ / 3 := by
            rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
              abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
          _ ≤ 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
f₁ :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3)
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have f₂ : HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (‖f‖ / 3) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
Tactic: calc
          |g (e x) - f x| = f x - ‖f‖ / 3 := by
            rw [hg₂ (mem_image_of_mem _ hle₂), abs_sub_comm, Function.const_apply,
              abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₂)]
          _ ≤ 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
⊢ ∃ (g : Y →ᵇ ℝ), ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
have choose : ∀ (F : (f : X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ) (hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3)
  (hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖),
  ∃ (g : Y →ᵇ ℝ), ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
Tactic: choose F hF_norm hF_dist using fun f : X →ᵇ ℝ => tietze_extension_step f e he
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
F : (f : X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (fun (g : Y →ᵇ ℝ) ↦ g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
⊢ ∃ (g : Y →ᵇ ℝ), ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
have g0 : g 0 = 0
Tactic: have g0 : g 0 = 0 := rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
F : (f : X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (fun (g : Y →ᵇ ℝ) ↦ g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
⊢ ∃ (g : Y →ᵇ ℝ), ‖g‖ = ‖f‖ ∧ g.compContinuous e = f
have g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
Tactic: have g_succ : ∀ n, g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e) := fun n =>
    Function.iterate_succ_apply' _ _ _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
F : (f : X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (fun (g : Y →ᵇ ℝ) ↦ g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
n : ℕ
ihn : dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
⊢ dist ((g (n + 1)).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ (n + 1) * ‖f‖
have succ : dist ((F (f - (g n).compContinuous e)).compContinuous e) (f - (g n).compContinuous e) ≤ 2 / 3 * ((2 / 3) ^ n * ‖f‖)
Tactic: rw [g_succ n, add_compContinuous, ← dist_sub_right, add_sub_cancel_left, pow_succ', mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
F : (f : X →ᵇ ℝ) → Y →ᵇ ℝ
hF_norm : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), ‖F f‖ ≤ ‖f‖ / 3
hF_dist : ∀ (f : X →ᵇ ℝ), dist ((F f).compContinuous e) f ≤ 2 / 3 * ‖f‖
g : ℕ → Y →ᵇ ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (fun (g : Y →ᵇ ℝ) ↦ g + F (f - g.compContinuous e))^[n] 0
g0 : g 0 = 0
g_succ : ∀ (n : ℕ), g (n + 1) = g n + F (f - (g n).compContinuous e)
n : ℕ
ihn : dist ((g n).compContinuous e) f ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
⊢ dist ((F (f - (g n).compContinuous e)).compContinuous e) (f - (g n).compContinuous e) ≤ 2 / 3 * ((2 / 3) ^ n * ‖f‖)
have succ : ‖f - (g n).compContinuous e‖ ≤ (2 / 3) ^ n * ‖f‖
Tactic: refine (hF_dist _).trans (mul_le_mul_of_nonneg_left ?_ (by norm_num1))