awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (goal)
Goal:
G : GrpCat
g : (↑G : Type u)
⊢ Eq (α :=
      (↑(GrpCat.of
            (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
              Type u)) :
        Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := GrpCat.carrier)
              (eta G) :
            (a : (↑G : Type u)) → (↑(GrpCat.of (↑(completion G).toProfinite.toTop : Type u)) : Type u))
          g :
        (↑(GrpCat.of
              (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) :
          Type u))
      (1 :
        (↑(GrpCat.of
              (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) :
          Type u)) ↔
    ∀ (H : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)), g ∈ H
have rw : (∀ (x : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)),
    Eq.{u + 1} (α :=
      (↑(((diagram G).obj x).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
      ((↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  GrpCat.carrier) (eta G) :
                (a : (↑G : Type u)) → (↑(GrpCat.of (↑(completion G).toProfinite.toTop : Type u)) : Type u))
              g) :
          (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
        x)
      ((↑1 : (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) x)) ↔
  ∀ (H : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)), g ∈ H
Tactic: rw [Subtype.ext_iff, funext_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (goal)
Goal:
G : GrpCat
⊢ DenseRange (etaFn G)
have apply : ∀
  (U :
    Set
      (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u)),
  IsOpen U → U.Nonempty → (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
Tactic: apply dense_iff_inter_open.mpr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (hypothesis)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  Subtype.mk (p :=
      fun
        (x :
          (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
            (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
              Type u)) ↦
      x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc ∈
    U
⊢ (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
have uDefaultSpec₁ : (↑(Subtype.mk (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
    (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
  s
Tactic: rw [← hsv, Set.mem_preimage] at uDefaultSpec
Cleared hypotheses: uDefaultSpec
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (goal)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                  Type u)) ↦
          x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
    s
⊢ (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
have rcases : ∀ (J : Finset (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)))
  (fJ :
    (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      Set
        (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
          Type u))
  (hJ1 :
    ∀ a ∈ J,
      IsOpen (fJ a) ∧
        (↑(Subtype.mk (p :=
                  fun
                    (x :
                      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                        (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                              TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                          Type u)) ↦
                  x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
            a ∈
          fJ a)
  (hJ2 :
    (↑J : Set (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))).pi (α := fun (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) ↦
        (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
          Type u))
        fJ ⊆
      s),
  (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
Tactic: rcases (isOpen_pi_iff.mp hsO) _ uDefaultSpec with ⟨J, fJ, hJ1, hJ2⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (hypothesis)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                  Type u)) ↦
          x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
    s
J : Finset (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))
fJ :
  (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    Set
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u)
hJ1 :
  ∀ a ∈ J,
    IsOpen (fJ a) ∧
      (↑(Subtype.mk (p :=
                fun
                  (x :
                    (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                        Type u)) ↦
                x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
          a ∈
        fJ a
hJ2 :
  (↑J : Set (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))).pi (α := fun (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) ↦
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
      fJ ⊆
    s
M : Subgroup (↑G : Type u) := ⨅ (j : ↥J), (↑j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)).toSubgroup
⊢ (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
have hM : M.Normal
Tactic: have hM : M.Normal := Subgroup.normal_iInf_normal fun j => inferInstance
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (goal)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                  Type u)) ↦
          x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
    s
J : Finset (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))
fJ :
  (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    Set
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u)
hJ1 :
  ∀ a ∈ J,
    IsOpen (fJ a) ∧
      (↑(Subtype.mk (p :=
                fun
                  (x :
                    (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                        Type u)) ↦
                x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
          a ∈
        fJ a
hJ2 :
  (↑J : Set (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))).pi (α := fun (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) ↦
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
      fJ ⊆
    s
M : Subgroup (↑G : Type u) := ⨅ (j : ↥J), (↑j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)).toSubgroup
hM : M.Normal
⊢ M.FiniteIndex
have hf : ∀ (i : ↥J), (↑i : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)).FiniteIndex
Tactic: apply Subgroup.finiteIndex_iInf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (hypothesis)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                  Type u)) ↦
          x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
    s
J : Finset (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))
fJ :
  (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    Set
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u)
hJ1 :
  ∀ a ∈ J,
    IsOpen (fJ a) ∧
      (↑(Subtype.mk (p :=
                fun
                  (x :
                    (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                        Type u)) ↦
                x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
          a ∈
        fJ a
hJ2 :
  (↑J : Set (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))).pi (α := fun (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) ↦
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
      fJ ⊆
    s
M : Subgroup (↑G : Type u) := ⨅ (j : ↥J), (↑j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)).toSubgroup
hM : M.Normal
⊢ (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
have hMFinite : M.FiniteIndex
Tactic: have hMFinite : M.FiniteIndex := by
    apply Subgroup.finiteIndex_iInf
    infer_instance
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (goal)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                  Type u)) ↦
          x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
    s
J : Finset (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))
fJ :
  (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    Set
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u)
hJ1 :
  ∀ a ∈ J,
    IsOpen (fJ a) ∧
      (↑(Subtype.mk (p :=
                fun
                  (x :
                    (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                        Type u)) ↦
                x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
          a ∈
        fJ a
hJ2 :
  (↑J : Set (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))).pi (α := fun (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) ↦
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
      fJ ⊆
    s
M : Subgroup (↑G : Type u) := ⨅ (j : ↥J), (↑j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)).toSubgroup
hM : M.Normal
hMFinite : M.FiniteIndex
m : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u) := { toSubgroup := M, isNormal' := ⋯, isFiniteIndex' := ⋯ }
⊢ (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
have rcases : ∀ (origin : (↑G : Type u)) (horigin : (QuotientGroup.mk' M : (a : (↑G : Type u)) → (↑G : Type u) ⧸ M) origin = spc m),
  (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
Tactic: rcases QuotientGroup.mk'_surjective M (spc m) with ⟨origin, horigin⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.Category.ProfiniteGrp.Completion (goal)
Goal:
G : GrpCat
U :
  Set
    (↑((completion G).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
s :
  Set
    ((j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
hsO : IsOpen s
hsv :
  Subtype.val (p :=
        fun
          (x :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
              (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                    TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                Type u)) ↦
        x ∈ limitConePtAux (diagram G)) ⁻¹'
      s =
    U
spc :
  (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦ TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
      Type u)
hspc : spc ∈ limitConePtAux (diagram G)
uDefaultSpec :
  (↑(Subtype.mk (p :=
          fun
            (x :
              (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                      TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                  Type u)) ↦
          x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
      (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u)) ∈
    s
J : Finset (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))
fJ :
  (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
    Set
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u)
hJ1 :
  ∀ a ∈ J,
    IsOpen (fJ a) ∧
      (↑(Subtype.mk (p :=
                fun
                  (x :
                    (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) →
                      (↑(((diagram G).obj j).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
                            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
                        Type u)) ↦
                x ∈ limitConePtAux (diagram G)) spc hspc) :
            (j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) → (↑((diagram G).obj j).toProfinite.toTop : Type u))
          a ∈
        fJ a
hJ2 :
  (↑J : Set (FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u))).pi (α := fun (a : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)) ↦
      (↑(((diagram G).obj a).toProfinite.toTop (P := fun (X : TopCat.{u}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace.{u} (↑X : Type u))) :
        Type u))
      fJ ⊆
    s
M : Subgroup (↑G : Type u) := ⨅ (j : ↥J), (↑j : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u)).toSubgroup
hM : M.Normal
hMFinite : M.FiniteIndex
m : FiniteIndexNormalSubgroup (↑G : Type u) := { toSubgroup := M, isNormal' := ⋯, isFiniteIndex' := ⋯ }
origin : (↑G : Type u)
horigin : (QuotientGroup.mk' M : (a : (↑G : Type u)) → (↑G : Type u) ⧸ M) origin = spc m
⊢ (U ∩ Set.range (etaFn G)).Nonempty
have h : etaFn G origin ∈ U ∩ Set.range (etaFn G)
Tactic: use etaFn G origin