awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
⊢ ∃ q ≤ 0, ∃ p ≥ 0, S = Icc q p
have refine : ∀ r ∈ S,
  ∀ s ∈ S,
    ∀ (hrs : Disjoint (Ioo r s) S) (k : ι)
      (hk :
        (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))
      (l : ι)
      (hl :
        (P.root : (a : ι) → M) l =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))),
      s ≤ r + 1
Tactic: refine ⟨sInf S, csInf_le h_fin.bddBelow hS₀, sSup S, le_csSup h_fin.bddAbove hS₀,
    (h_ne.eq_Icc_iff_int h_fin.bddBelow h_fin.bddAbove).mpr fun r ⟨k, hk⟩ s ⟨l, hl⟩ hrs ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ s ≤ r + 1
have by_contra! : ∀ (contra : r + 1 < s), False
Tactic: by_contra! contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
⊢ HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (r + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
have rw : HAdd.hAdd (β := M)
    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))
    ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (r + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: rw [hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
⊢ HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
have hk₁ : HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (r + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: replace hk : P.root k + P.root i = P.root j + (r + 1) • P.root i := by rw [hk]; module
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hk :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (r + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
have contra₁ : r + 1 ∉ S
Tactic: replace contra : r + 1 ∉ S := hrs.notMem_of_mem_left <| by simp [contra]
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
⊢ False
have hki_notMem : HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
  range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
Tactic: have hki_notMem : P.root k + P.root i ∉ range P.root := by
    replace hk : P.root k + P.root i = P.root j + (r + 1) • P.root i := by rw [hk]; module
    replace contra : r + 1 ∉ S := hrs.notMem_of_mem_left <| by simp [contra]
    simpa only [hk, S_def, mem_setOf_eq, S] using contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hki_notMem :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
have rw : HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) ≠
  -(P.root : (a : ι) → M) i
Tactic: rw [hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hki_notMem :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) ≠
    -(P.root : (a : ι) → M) i
have contrapose! : ∀
  (h :
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) =
      -(P.root : (a : ι) → M) i),
  ∃ (s : ℤ) (t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 ∧
      ∀ (_ : s = 0), t ≠ 0
Tactic: contrapose! h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hki_notMem :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) =
    -(P.root : (a : ι) → M) i
⊢ HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
have rw : HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HSub.hSub (β := M)
    (-HSub.hSub (α := M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))
    ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
Tactic: rw [← sub_eq_of_eq_add h.symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hki_notMem :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
h :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M)) =
    -(P.root : (a : ι) → M) i
⊢ ∃ (s : ℤ) (t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 ∧
      ∀ (_ : s = 0), t ≠ 0
have h₁ : HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HSub.hSub (α := M) (β := M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
Tactic: replace h : r • P.root i = - P.root j - P.root i := by rw [← sub_eq_of_eq_add h.symm]; module
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hki_notMem :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ False
have hki_ne : Ne.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
Tactic: have hki_ne : P.root k ≠ -P.root i := by
    rw [hk]
    contrapose! h
    replace h : r • P.root i = - P.root j - P.root i := by rw [← sub_eq_of_eq_add h.symm]; module
    exact ⟨r + 1, 1, by simp [add_smul, h], by lia⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  ∀ (s t : ℤ),
    HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) t ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = 0 →
      s = 0 ∧ t = 0
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
hS₀ : 0 ∈ S
h_fin : S.Finite
h_ne : S.Nonempty
r : ℤ
h_1 : r ∈ S
s : ℤ
h_2 : s ∈ S
hrs : Disjoint (Ioo r s) S
k : ι
hk :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) r ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
contra : r + 1 < s
hki_notMem :
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
hki_ne : Ne.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
⊢ HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (s - 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
have rw : HSub.hSub (β := M)
    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) s ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))
    ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (s - 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: rw [hl]