awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) (⨆ (μ : 𝕜), eigenspace T μ)ᗮ ⊥
have hT' : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := ↥(⨆ (μ : 𝕜), eigenspace T μ)ᗮ) (T.restrict sorry)
Tactic: have hT' : IsSymmetric _ :=
    hT.restrict_invariant hT.orthogonalComplement_iSup_eigenspaces_invariant
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hT' : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := ↥(⨆ (μ : 𝕜), eigenspace T μ)ᗮ) (T.restrict ⋯)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) (⨆ (μ : 𝕜), eigenspace T μ)ᗮ ⊥
have this : Subsingleton.{u_2 + 1} ↥(⨆ (μ : 𝕜), eigenspace T μ)ᗮ
Tactic: haveI :=
    hT'.subsingleton_of_no_eigenvalue_finiteDimensional hT.orthogonalComplement_iSup_eigenspaces
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) (⨆ (μ : { μ : 𝕜 // eigenspace T μ ≠ ⊥ }), eigenspace T (↑μ : 𝕜))ᗮ ⊥
have rw : Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) (⨆ (i : 𝕜), eigenspace T i)ᗮ ⊥
Tactic: rw [iSup_ne_bot_subtype, hT.orthogonalComplement_iSup_eigenspaces_eq_bot]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
rw : Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) (⨆ (i : 𝕜), eigenspace T i)ᗮ ⊥
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) (⨆ (μ : { μ : 𝕜 // eigenspace T μ ≠ ⊥ }), eigenspace T (↑μ : 𝕜))ᗮ ⊥
have rw₁ : Eq.{u_2 + 1} (α := Submodule 𝕜 E) ⊥ ⊥
Tactic: rw [iSup_ne_bot_subtype, hT.orthogonalComplement_iSup_eigenspaces_eq_bot]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
v : E
μ : Eigenvalues T
⊢ ofLp (p := 2)
      ((hT.diagonalization :
          (a : E) → PiLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ)))
        ((T : (a : E) → E) v))
      μ =
    HSMul.hSMul (β := (fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))) μ)
      ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ)
      (ofLp (p := 2)
        ((hT.diagonalization :
            (a : E) → PiLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ)))
          v)
        μ)
have w : ∀ (w : PiLp.{u_1, u_2} 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))),
  Eq (α := E)
    ((T : (a : E) → E)
        ((LinearIsometryEquiv.symm hT.diagonalization :
              (a : PiLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))) →
                E)
            w :
          E) :
      E)
    ((LinearIsometryEquiv.symm hT.diagonalization :
          (a : PiLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))) → E)
        (toLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ (↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ • w.ofLp μ) :
      E)
Tactic: suffices
    ∀ w : PiLp 2 fun μ : Eigenvalues T => eigenspace T μ,
      T (hT.diagonalization.symm w) = hT.diagonalization.symm (toLp 2 fun μ => (μ : 𝕜) • w μ) by
    simpa only [LinearIsometryEquiv.symm_apply_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply] using
      congr_arg (fun w => hT.diagonalization w μ) (this (hT.diagonalization v))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
v : E
μ : Eigenvalues T
w : PiLp.{u_1, u_2} 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))
⊢ Eq (α := E)
    ((T : (a : E) → E)
        ((LinearIsometryEquiv.symm hT.diagonalization :
              (a : PiLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))) →
                E)
            w :
          E) :
      E)
    ((LinearIsometryEquiv.symm hT.diagonalization :
          (a : PiLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ ↥(eigenspace T ((↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ))) → E)
        (toLp 2 fun (μ : Eigenvalues T) ↦ (↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ • w.ofLp μ) :
      E)
have hwT : ∀ (μ : Eigenvalues T),
  (T : (a : E) → E) (↑(w.ofLp μ) : E) = (↑T : (k : ℕ∞) → UnifEigenvalues T k → 𝕜) 1 μ • (↑(w.ofLp μ) : E)
Tactic: have hwT : ∀ μ, T (w μ) = (μ : 𝕜) • w μ := fun μ => mem_eigenspace_iff.1 (w μ).2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
⊢ HasEigenvalue T
    (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))) :
      𝕜)
have let : ∀ (x : 𝕜) (hx : HasUnifEigenvalue T x 1),
  HasEigenvalue T
    (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx))) :
      𝕜)
Tactic: let ⟨x, hx⟩ := hT.direct_sum_isInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn i
    hT.orthogonalFamily_eigenspaces'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
x : 𝕜
hx : HasUnifEigenvalue T x 1
⊢ HasEigenvalue T
    (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx))) :
      𝕜)
have rwa : HasEigenvalue T (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) x) : 𝕜)
Tactic: rwa [Eigenvalues.val_mk, RCLike.conj_eq_iff_re.mp (hT.conj_eigenvalue_eq_self hx)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
x : 𝕜
hx : HasUnifEigenvalue T x 1
rwa : HasEigenvalue T (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) x) : 𝕜)
⊢ HasEigenvalue T
    (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx))) :
      𝕜)
have rwa₁ : HasEigenvalue T x
Tactic: rwa [Eigenvalues.val_mk, RCLike.conj_eq_iff_re.mp (hT.conj_eigenvalue_eq_self hx)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
⊢ ∃ (i : Fin n), (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have hx : let x := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ;
x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
Tactic: let (eq := hx) x : Eigenvalues T := ⟨μ, hμ⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
⊢ ∃ (i : Fin n), (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have obtain : ∀ (i : Fin n) (hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn sorry i sorry = x),
  ∃ (i : Fin n), (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
Tactic: obtain ⟨i, hi⟩ := hT.direct_sum_isInternal.exists_subordinateOrthonormalBasisIndex_eq hn
    hT.orthogonalFamily_eigenspaces' (hasEigenvalue_iff.mp x.prop)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
i : Fin n
hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ = x
⊢ ∃ (i : Fin n), (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h : (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
Tactic: use i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
i : Fin n
hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ = x
⊢ (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
        ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn sorry i sorry))) :
    𝕜) =
  μ
Tactic: rw [unsortedEigenvalues, hi, hx, Eigenvalues.val_mk, ← RCLike.conj_eq_iff_re,
    hT.conj_eigenvalue_eq_self hμ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
i : Fin n
hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ = x
h :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))) :
      𝕜) =
    μ
⊢ (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h₁ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) x)) : 𝕜) = μ
Tactic: rw [unsortedEigenvalues, hi, hx, Eigenvalues.val_mk, ← RCLike.conj_eq_iff_re,
    hT.conj_eigenvalue_eq_self hμ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
i : Fin n
hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ = x
h :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))) :
      𝕜) =
    μ
h₁ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) x)) : 𝕜) = μ
h₂ :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ))) :
      𝕜) =
    μ
⊢ (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h₃ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) = μ
Tactic: rw [unsortedEigenvalues, hi, hx, Eigenvalues.val_mk, ← RCLike.conj_eq_iff_re,
    hT.conj_eigenvalue_eq_self hμ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
i : Fin n
hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ = x
h :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))) :
      𝕜) =
    μ
h₁ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) x)) : 𝕜) = μ
h₂ :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ))) :
      𝕜) =
    μ
h₃ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) = μ
⊢ (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h₄ : (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) μ = μ
Tactic: rw [unsortedEigenvalues, hi, hx, Eigenvalues.val_mk, ← RCLike.conj_eq_iff_re,
    hT.conj_eigenvalue_eq_self hμ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
x : Eigenvalues T := Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
hx : x = Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
i : Fin n
hi : DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ = x
h :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))) :
      𝕜) =
    μ
h₁ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) x)) : 𝕜) = μ
h₂ :
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
          ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ))) :
      𝕜) =
    μ
h₃ : (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) = μ
h₄ : (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) μ = μ
⊢ (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ
have h₅ : μ = μ
Tactic: rw [unsortedEigenvalues, hi, hx, Eigenvalues.val_mk, ← RCLike.conj_eq_iff_re,
    hT.conj_eigenvalue_eq_self hμ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
⊢ Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
    finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
have pos : ∀ (hμ : HasEigenvalue T μ),
  Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
    finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
Tactic: by_cases hμ : HasEigenvalue T μ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
pos :
  ∀ (hμ : HasEigenvalue T μ),
    Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
      finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
⊢ Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
    finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
have neg : ∀ (hμ : ¬HasEigenvalue T μ),
  Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
    finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
Tactic: by_cases hμ : HasEigenvalue T μ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
⊢ Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
    finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
have h : ∀ (i : Fin n),
  Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ i →
    ((↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ ↔
      DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn sorry i sorry =
        Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ)
Tactic: convert!
      hT.direct_sum_isInternal.card_filter_subordinateOrthonormalBasisIndex_eq hn
        hT.orthogonalFamily_eigenspaces' ⟨μ, hμ⟩ with i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
i : Fin n
h : Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ i
⊢ (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
            ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯))) :
        𝕜) =
      μ ↔
    DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯ =
      Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
have h : ∀ (x : 𝕜) (hx : HasUnifEigenvalue T x 1),
  (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
            ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx))) :
        𝕜) =
      μ ↔
    Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx =
      Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
Tactic: let ⟨x, hx⟩ := hT.direct_sum_isInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn i
      hT.orthogonalFamily_eigenspaces'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : HasEigenvalue T μ
i : Fin n
h : Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ i
x : 𝕜
hx : HasUnifEigenvalue T x 1
⊢ (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ)
            ((↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx))) :
        𝕜) =
      μ ↔
    Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx =
      Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
have h : x = μ ↔
  Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) x hx =
    Subtype.mk (p := fun (μ : 𝕜) ↦ HasUnifEigenvalue T μ 1) μ hμ
Tactic: rw [Eigenvalues.val_mk, RCLike.conj_eq_iff_re.mp (hT.conj_eigenvalue_eq_self hx)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
μ : 𝕜
hμ : ¬HasEigenvalue T μ
⊢ Finset.card (α := Fin n) {i : Fin n | (↑(hT.unsortedEigenvalues hn i) : 𝕜) = μ} =
    finrank.{u_1, u_2} 𝕜 ↥(eigenspace T μ)
have neg : ∀ (x : Fin n), Membership.mem (γ := Finset (Fin n)) Finset.univ x → ¬(↑(hT.unsortedEigenvalues hn x) : 𝕜) = μ
Tactic: rw [Module.End.hasEigenvalue_iff.not_left.mp hμ, finrank_bot, Finset.card_filter_eq_zero_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i
μ : 𝕜 := (↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
⊢ v ∈ eigenspace T μ
have simp_rw : Membership.mem (α := E) (eigenspace T μ)
  ((DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasis hn sorry sorry : (a : Fin n) → E) i : E)
Tactic: simp_rw [v, unsortedEigenvectorBasis]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i
μ : 𝕜 := (↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
⊢ HasEigenvector T μ v
have H₁ : v ∈ eigenspace T μ
Tactic: have H₁ : v ∈ eigenspace T μ := by
      simp_rw [v, unsortedEigenvectorBasis]
      exact
        hT.direct_sum_isInternal.subordinateOrthonormalBasis_subordinate hn i
          hT.orthogonalFamily_eigenspaces'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i
μ : 𝕜 := (↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
H₁ : v ∈ eigenspace T μ
⊢ HasEigenvector T μ v
have H₂ : v ≠ 0
Tactic: have H₂ : v ≠ 0 := by simpa using (hT.unsortedEigenvectorBasis hn).toBasis.ne_zero i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i
μ : 𝕜 := (↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
⊢ HasEigenvector T (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) v
have key : HasEigenvector T μ v
Tactic: have key : HasEigenvector T μ v := by
    have H₁ : v ∈ eigenspace T μ := by
      simp_rw [v, unsortedEigenvectorBasis]
      exact
        hT.direct_sum_isInternal.subordinateOrthonormalBasis_subordinate hn i
          hT.orthogonalFamily_eigenspaces'
    have H₂ : v ≠ 0 := by simpa using (hT.unsortedEigenvectorBasis hn).toBasis.ne_zero i
    exact ⟨H₁, H₂⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Spectrum (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
inst_3 : FiniteDimensional 𝕜 E
n : ℕ
hT : IsSymmetric.{u_1, u_2} (𝕜 := 𝕜) (E := E) T
hn : finrank 𝕜 E = n
i : Fin n
v : E := (hT.unsortedEigenvectorBasis hn : (a : Fin n) → E) i
μ : 𝕜 := (↑T : Eigenvalues T → 𝕜) (DirectSum.IsInternal.subordinateOrthonormalBasisIndex hn ⋯ i ⋯)
key : HasEigenvector T μ v
⊢ (↑((RCLike.re : (a : 𝕜) → ℝ) μ) : 𝕜) = μ
have rw : (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) μ = μ
Tactic: rw [← RCLike.conj_eq_iff_re]