awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
E : S → Type u_4
F : T → Type u_5
inst : (s : S) → TopologicalSpace (E s)
inst_1 : (s : S) → MeasurableSpace (E s)
inst_2 : ∀ (s : S), BorelSpace.{u_4} (E s)
inst_3 : ∀ (s : S), HasOuterApproxClosed.{u_4} (E s)
inst_4 : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_5 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_6 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_7 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
X : (s : S) → Ω → E s
Y : (t : T) → Ω → F t
inst_8 : IsFiniteMeasure P
inst_9 : Finite S
inst_10 : Finite T
mX : ∀ (s : S), AEMeasurable (X s) P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : ((s : S) → E s) →ᵇ ℝ) (g : ((t : T) → F t) →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        (fun (ω : Ω) ↦
            HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : (s : S) → E s) → ℝ) fun (x : S) ↦ X x ω : ℝ)
              ((g : (a : (t : T) → F t) → ℝ) fun (x : T) ↦ Y x ω : ℝ))
          x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (fun (ω : Ω) ↦ ((f : (a : (s : S) → E s) → ℝ) fun (x : S) ↦ X x ω : ℝ)) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (fun (ω : Ω) ↦ ((g : (a : (t : T) → F t) → ℝ) fun (x : T) ↦ Y x ω : ℝ)) x ∂P)
this_1 : Fintype S
this : Fintype T
f : (s : S) → E s →ᵇ ℝ
g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ
h₁ :
  ∀ (x x : Ω),
    HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) (∏ s : S, (⇑(f s) : (a : E s) → ℝ) ∘ X s)
        (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x =
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ)
        ((∏ s : S, (f s).compContinuous { toFun := Function.eval (β := E) s, continuous_toFun := ⋯ } :
              (a : (s : S) → E s) → ℝ)
            fun (x_1 : S) ↦ X x_1 x :
          ℝ)
        ((∏ t : T, (g t).compContinuous { toFun := Function.eval (β := F) t, continuous_toFun := ⋯ } :
              (a : (t : T) → F t) → ℝ)
            fun (x_1 : T) ↦ Y x_1 x :
          ℝ)
h₂ :
  ∀ (x x : Ω),
    Eq (α := ℝ) ((∏ s : S, (⇑(f s) : (a : E s) → ℝ) ∘ X s) x : ℝ)
      ((∏ s : S, (f s).compContinuous { toFun := Function.eval (β := E) s, continuous_toFun := ⋯ } :
            (a : (s : S) → E s) → ℝ)
          fun (x_1 : S) ↦ X x_1 x :
        ℝ)
⊢ ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) (∏ s : S, (⇑(f s) : (a : E s) → ℝ) ∘ X s)
        (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (∏ s : S, (⇑(f s) : (a : E s) → ℝ) ∘ X s) x ∂P)
      (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
have h₃ : ∀ (x x : Ω),
  Eq (α := ℝ) ((∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x : ℝ)
    ((∏ t : T, (g t).compContinuous { toFun := Function.eval (β := F) t, continuous_toFun := sorry } :
          (a : (t : T) → F t) → ℝ)
        fun (x_1 : T) ↦ Y x_1 x :
      ℝ)
Tactic: convert!
    h (∏ s, (f s).compContinuous ⟨Function.eval s, by fun_prop⟩)
      (∏ t, (g t).compContinuous ⟨Function.eval t, by fun_prop⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
⊢ Z ⟂ᵢ[P] fun (ω : Ω) (t : T) ↦ Y t ω
have rw : Eq (α := Measure (G × ((a : T) → F a))) (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
  (Measure.prod (map Z P) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P))
Tactic: rw [indepFun_iff_map_prod_eq_prod_map_map mZ (aemeasurable_pi_lambda _ mY)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
⊢ Eq (α := Measure (G × ((a : T) → F a))) (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
    (Measure.prod (map Z P) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P))
have refine : ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ),
  (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
Tactic: refine eq_prod_of_integral_mul_prod_boundedContinuousFunction fun f g ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
have rw : ∫ (x : Ω),
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
      (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
  HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
    (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
Tactic: rw [integral_map, integral_map, integral_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
rw :
  ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
⊢ (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
have hφ : AEMeasurable (β := (j : T) → F j) (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P
Tactic: rw [integral_map, integral_map, integral_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
rw :
  ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
hφ : AEMeasurable (β := (j : T) → F j) (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P
⊢ (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
have hfm : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := MeasurableSpace.pi (X := F))
  (fun (y : (j : T) → F j) ↦ ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P)
Tactic: rw [integral_map, integral_map, integral_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
rw :
  ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
hφ : AEMeasurable (β := (j : T) → F j) (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P
hfm :
  AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := MeasurableSpace.pi (X := F))
    (fun (y : (j : T) → F j) ↦ ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P)
hφ₁ : AEMeasurable Z P
⊢ (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
have hfm₁ : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := inst_5) (⇑f : (a : G) → ℝ) (map Z P)
Tactic: rw [integral_map, integral_map, integral_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
rw :
  ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
hφ : AEMeasurable (β := (j : T) → F j) (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P
hfm :
  AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := MeasurableSpace.pi (X := F))
    (fun (y : (j : T) → F j) ↦ ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P)
hφ₁ : AEMeasurable Z P
hfm₁ : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := inst_5) (⇑f : (a : G) → ℝ) (map Z P)
⊢ (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
have hφ₂ : AEMeasurable (β := G × ((j : T) → F j)) (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P
Tactic: rw [integral_map, integral_map, integral_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
rw :
  ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
hφ : AEMeasurable (β := (j : T) → F j) (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P
hfm :
  AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := MeasurableSpace.pi (X := F))
    (fun (y : (j : T) → F j) ↦ ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P)
hφ₁ : AEMeasurable Z P
hfm₁ : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := inst_5) (⇑f : (a : G) → ℝ) (map Z P)
hφ₂ : AEMeasurable (β := G × ((j : T) → F j)) (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P
⊢ (@integral _ _ _ _ Prod.instMeasurableSpace (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
      fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ)) =
    HMul.hMul (α := ℝ) (@integral _ _ _ _ inst_5 (map Z P) fun (z : G) ↦ (f : (a : G) → ℝ) z)
      (@integral _ _ _ _ (MeasurableSpace.pi (X := F)) (map (fun (c : Ω) (a : T) ↦ Y a c) P) fun (y : (j : T) → F j) ↦
        ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j))
have hfm₂ : AEStronglyMeasurable (β := ℝ) (m₀ := Prod.instMeasurableSpace)
  (fun (p : G × ((j : T) → F j)) ↦
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) p.1 : ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (p.2 j) : ℝ))
  (map (fun (ω : Ω) ↦ (Z ω, fun (a : T) ↦ Y a ω)) P)
Tactic: rw [integral_map, integral_map, integral_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
have h₁ : ∀ (x : Ω),
  HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
      (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) =
    HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x
Tactic: convert! h f g
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
h₁ :
  ∀ (x : Ω),
    HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) =
      HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x
⊢ ∫ (x : Ω),
      HMul.hMul (α := ℝ) (β := ℝ) ((f : (a : G) → ℝ) (Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).1 : ℝ)
        (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((Z x, fun (a : T) ↦ Y a x).2 j) : ℝ) ∂P =
    HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), (f : (a : G) → ℝ) (Z x) ∂P)
      (∫ (x : Ω), ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j) ∂P)
have h₂ : ∀ (x : Ω),
  Eq (α := ℝ) (∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) ((fun (a : T) ↦ Y a x) j)) ((∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x)
Tactic: convert! h f g
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.BoundedContinuousFunction (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
T : Type u_3
mΩ : MeasurableSpace Ω
P : Measure Ω
F : T → Type u_5
G : Type u_6
inst : (t : T) → TopologicalSpace (F t)
inst_1 : (t : T) → MeasurableSpace (F t)
inst_2 : ∀ (t : T), BorelSpace.{u_5} (F t)
inst_3 : ∀ (t : T), HasOuterApproxClosed.{u_5} (F t)
inst_4 : TopologicalSpace G
inst_5 : MeasurableSpace G
inst_6 : BorelSpace G
inst_7 : HasOuterApproxClosed G
Y : (t : T) → Ω → F t
Z : Ω → G
inst_8 : Fintype T
inst_9 : IsFiniteMeasure P
mZ : AEMeasurable Z P
mY : ∀ (t : T), AEMeasurable (Y t) P
h :
  ∀ (f : G →ᵇ ℝ) (g : (t : T) → F t →ᵇ ℝ),
    ∫ (x : Ω),
        HMul.hMul (α := Ω → ℝ) (β := Ω → ℝ) ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P =
      HMul.hMul (α := ℝ) (∫ (x : Ω), ((⇑f : (a : G) → ℝ) ∘ Z) x ∂P)
        (∫ (x : Ω), (∏ t : T, (⇑(g t) : (a : F t) → ℝ) ∘ Y t) x ∂P)
f : G →ᵇ ℝ
g : (j : T) → F j →ᵇ ℝ
⊢ Measurable (β := ℝ) fun (y : (j : T) → F j) ↦ ∏ j : T, (g j : (a : F j) → ℝ) (y j)
have funProp : ∀ (i : T), Membership.mem (γ := Finset T) Finset.univ i → inst_1 i ≤ inst_1 i
Tactic: fun_prop