awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ (h : V ≃ₗ[K] V),
    (LinearEquiv.det : (a : V ≃ₗ[K] V) → Kˣ) h = a ∧
      HSMul.hSMul (β := ℙ K V) h (mk K D.rep ⋯) = mk K D.rep ⋯ ∧
        HSMul.hSMul (β := ℙ K V) h (mk K D'.rep ⋯) = mk K D'.rep ⋯
have pos : (LinearEquiv.det : (a : V ≃ₗ[K] V) → Kˣ)
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
      HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
        ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
      sorry) =
  a
Tactic: refine ⟨dilatransvection (f := b.coord ⟨D.rep, hD_mem⟩)
      (v := (a.val - 1) • b ⟨D.rep, hD_mem⟩) (by simp), ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
pos :
  (LinearEquiv.det : (a : V ≃ₗ[K] V) → Kˣ)
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        ⋯) =
    a
⊢ ∃ (h : V ≃ₗ[K] V),
    (LinearEquiv.det : (a : V ≃ₗ[K] V) → Kˣ) h = a ∧
      HSMul.hSMul (β := ℙ K V) h (mk K D.rep ⋯) = mk K D.rep ⋯ ∧
        HSMul.hSMul (β := ℙ K V) h (mk K D'.rep ⋯) = mk K D'.rep ⋯
have pos₁ : HSMul.hSMul (α := V ≃ₗ[K] V) (β := ℙ K V)
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
      HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
        ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
      sorry)
    (mk K D.rep sorry) =
  mk K D.rep sorry
Tactic: refine ⟨dilatransvection (f := b.coord ⟨D.rep, hD_mem⟩)
      (v := (a.val - 1) • b ⟨D.rep, hD_mem⟩) (by simp), ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
pos :
  (LinearEquiv.det : (a : V ≃ₗ[K] V) → Kˣ)
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        ⋯) =
    a
pos₁ :
  HSMul.hSMul (α := V ≃ₗ[K] V) (β := ℙ K V)
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        ⋯)
      (mk K D.rep ⋯) =
    mk K D.rep ⋯
⊢ ∃ (h : V ≃ₗ[K] V),
    (LinearEquiv.det : (a : V ≃ₗ[K] V) → Kˣ) h = a ∧
      HSMul.hSMul (β := ℙ K V) h (mk K D.rep ⋯) = mk K D.rep ⋯ ∧
        HSMul.hSMul (β := ℙ K V) h (mk K D'.rep ⋯) = mk K D'.rep ⋯
have pos₂ : HSMul.hSMul (α := V ≃ₗ[K] V) (β := ℙ K V)
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
      HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
        ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
      sorry)
    (mk K D'.rep sorry) =
  mk K D'.rep sorry
Tactic: refine ⟨dilatransvection (f := b.coord ⟨D.rep, hD_mem⟩)
      (v := (a.val - 1) • b ⟨D.rep, hD_mem⟩) (by simp), ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ HSMul.hSMul (α := V ≃ₗ[K] V) (β := ℙ K V)
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        ⋯)
      (mk K D.rep ⋯) =
    mk K D.rep ⋯
have pos : ∃ (a_1 : Kˣ),
  a_1 • D.rep =
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
          HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
            ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
          sorry :
        (a : V) → V)
      D.rep
Tactic: rw [smul_mk, mk_eq_mk_iff, LinearEquiv.smul_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ (a_1 : Kˣ),
    a_1 • D.rep =
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
            HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
              ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
            ⋯ :
          (a : V) → V)
        D.rep
have h : a • D.rep =
  (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        sorry :
      (a : V) → V)
    D.rep
Tactic: use a
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ a • D.rep =
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
          HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
            ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
          ⋯ :
        (a : V) → V)
      D.rep
have h : a • D.rep =
  D.rep +
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
      ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
            (a : (↑s : Type u_2)) → K)
          (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
        K)
      (HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
        ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
Tactic: rw [← coe_coe, dilatransvection.coe_toLinearMap,
        LinearMap.transvection.apply, Module.Basis.coord_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this_2 : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this_2
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := K)
    ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
          (a : (↑s : Type u_2)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
      K)
    (1 : K)
⊢ a • D.rep =
    D.rep +
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
        ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
              (a : (↑s : Type u_2)) → K)
            (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
          K)
        (HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
have rw : (↑a : K) • D.rep =
  D.rep +
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K) 1
      (((↑a : K) - 1) • (↑(Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
Tactic: rw [this, Module.Basis.extend_apply_self, Units.smul_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ a • D.rep =
    D.rep +
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
        ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
              (a : (↑s : Type u_2)) → K)
            (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
          K)
        (HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := K)
  ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
        (a : (↑s : Type u_2)) → K)
      (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
    K)
  (1 : K)
Tactic: suffices (b.repr D.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 1 by
        rw [this, Module.Basis.extend_apply_self, Units.smul_def]
        module
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K)
    ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
          (a : (↑s : Type u_2)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
      K)
    (1 : K)
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := K)
  ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V) :
          Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
        (a : (↑s : Type u_2)) → K)
      (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
    K)
  (1 : K)
Tactic: nth_rewrite 1 [show D.rep = (⟨D.rep, hD_mem⟩ : s) from by rfl]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K)
    ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V) :
            Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
          (a : (↑s : Type u_2)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
      K)
    (1 : K)
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := K)
  ((Finsupp.single (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) 1 : (a : (↑s : Type u_2)) → K)
      (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
    K)
  (1 : K)
Tactic: rw [← Module.Basis.extend_apply_self, Module.Basis.repr_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ HSMul.hSMul (α := V ≃ₗ[K] V) (β := ℙ K V)
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        ⋯)
      (mk K D'.rep ⋯) =
    mk K D'.rep ⋯
have pos : ∃ (a_1 : Kˣ),
  a_1 • D'.rep =
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
          HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
            ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
          sorry :
        (a : V) → V)
      D'.rep
Tactic: rw [smul_mk, mk_eq_mk_iff, LinearEquiv.smul_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ ∃ (a_1 : Kˣ),
    a_1 • D'.rep =
      (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
            HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
              ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
            ⋯ :
          (a : V) → V)
        D'.rep
have h : HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := Kˣ) 1 D'.rep =
  (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
        HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
        sorry :
      (a : V) → V)
    D'.rep
Tactic: use 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := Kˣ) 1 D'.rep =
    (dilatransvection (f := b.coord (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem)) (v :=
          HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
            ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
          ⋯ :
        (a : V) → V)
      D'.rep
have h : D'.rep =
  D'.rep +
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
      ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
            (a : (↑s : Type u_2)) → K)
          (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
        K)
      (HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
        ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
Tactic: rw [one_smul, ← coe_coe, dilatransvection.coe_toLinearMap,
        LinearMap.transvection.apply, Module.Basis.coord_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this_2 : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this_2
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := K)
    ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
          (a : (↑s : Type u_2)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
      K)
    (0 : K)
⊢ D'.rep =
    D'.rep +
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
        ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
              (a : (↑s : Type u_2)) → K)
            (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
          K)
        (HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
have rw : D'.rep =
  D'.rep +
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
      ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
            (a : (↑s : Type u_2)) → K)
          (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
        K)
      (((↑a : K) - 1) • (↑(Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
Tactic: rw [Module.Basis.extend_apply_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ D'.rep =
    D'.rep +
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K)
        ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
              (a : (↑s : Type u_2)) → K)
            (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
          K)
        (HSMul.hSMul (β := V) ((↑a : K) - 1)
          ((b : (a : (↑s : Type u_2)) → V) (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) : V))
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := K)
  ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
        (a : (↑s : Type u_2)) → K)
      (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
    K)
  (0 : K)
Tactic: suffices (b.repr D'.rep) ⟨D.rep, hD_mem⟩ = 0 by
        rw [Module.Basis.extend_apply_self]
        simp [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Projectivization.Action (goal)
Goal:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst : AddCommGroup V
inst_1 : Field K
inst_2 : Module K V
this_1 : ∀ {a b c d : ℙ K V}, a ≠ b → c ≠ d → ∃ (g : V ≃ₗ[K] V), g • a = c ∧ g • b = d
D D' E E' : ℙ K V
hD : LinearIndependent K ![D.rep, D'.rep]
hE : E ≠ E'
g : V ≃ₗ[K] V
gD : g • D = E
gE : g • D' = E'
hV : FiniteDimensional K V
a : Kˣ
this : LinearIndepOn (ι := V) K id {D.rep, D'.rep}
s : Set V := ⋯.extend (s := {D.rep, D'.rep}) (t := Set.univ) ⋯
b : Module.Basis (↑s : Type u_2) K V := Module.Basis.extend (s := {D.rep, D'.rep}) this
hD_mem : D.rep ∈ s
hD'_mem : D'.rep ∈ s
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K)
    ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) D'.rep : Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
          (a : (↑s : Type u_2)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
      K)
    (0 : K)
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := K)
  ((((b.repr : (a : V) → (↑s : Type u_2) →₀ K) (↑(Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D'.rep hD'_mem) : V) :
          Finsupp.{u_2, u_1} (↑s : Type u_2) K) :
        (a : (↑s : Type u_2)) → K)
      (Subtype.mk (p := fun (x : V) ↦ x ∈ s) D.rep hD_mem) :
    K)
  (0 : K)
Tactic: nth_rewrite 1 [show D'.rep = (⟨D'.rep, hD'_mem⟩ : s) from by rfl]