awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (hypothesis)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
⊢ ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := T) t
have hy : y.Compatible (R := S)
Tactic: have hy : y.Compatible := by
    intro Y₁ Y₂ Z g₁ g₂ f₁ f₂ h₁ h₂ h
    rw [← types_comp_apply (P.map (i h₁).op) (P.map g₁.op),
      ← types_comp_apply (P.map (i h₂).op) (P.map g₂.op),
      ← P.map_comp, ← op_comp, ← P.map_comp, ← op_comp]
    apply hx
    simp only [h2, h, Category.assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (hypothesis)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
⊢ ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := T) t
have left : IsSeparatedFor P S
Tactic: let ⟨_, h2'⟩ := hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (hypothesis)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
⊢ ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := T) t
have h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
Tactic: let ⟨_, h2'⟩ := hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
⊢ ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := T) t
have refine_2 : ∀ (z : P.obj (Opposite.op X)) (hz : y.IsAmalgamation (R := S) z),
  ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := T) t
Tactic: obtain ⟨z, hz⟩ := h2' y hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation (R := S) z
⊢ ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := T) t
have refine_2 : ∀ (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : T g),
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      z =
    x g hg
Tactic: refine ⟨z, fun Y g hg => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation (R := S) z
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : T g
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      z =
    x g hg
have refine_2 : ∀ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y) (hR1 : IsSeparatedFor P R) (hR2 : R.FactorsThruAlong S g),
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      z =
    x g hg
Tactic: obtain ⟨R, hR1, hR2⟩ := h hg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation (R := S) z
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : T g
R : Presieve.{v_1, u_2} Y
hR1 : IsSeparatedFor P R
hR2 : R.FactorsThruAlong S g
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      z =
    x g hg
have refine_2 : ∀ (WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C) (ii : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → Z ⟶ WW a)
  (ee : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → WW a ⟶ X) (hh1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (a : R g), S (ee a))
  (hh2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g_1 : Z ⟶ Y⦄ (a : R g_1), ii a ≫ ee a = g_1 ≫ g),
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      z =
    x g hg
Tactic: choose WW ii ee hh1 hh2 using hR2
Cleared hypotheses: hR2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation (R := S) z
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : T g
R : Presieve.{v_1, u_2} Y
hR1 : IsSeparatedFor P R
WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C
ii : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → Z ⟶ WW a
ee : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → WW a ⟶ X
hh1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (a : R g), S (ee a)
hh2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g_1 : Z ⟶ Y⦄ (a : R g_1), ii a ≫ ee a = g_1 ≫ g
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      z =
    x g hg
have refine_2 : ∀ (Q : C) (t : Q ⟶ Y) (ht : R t),
  Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map t.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
              (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op X))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
            z :
          (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map t.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
        (x g hg) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
Tactic: refine hR1.ext (fun Q t ht => ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_2
inst : Category.{v_1, u_2} C
X : C
S T : Presieve.{v_1, u_2} X
P : Functor.{v_1, u_1, u_2, u_1 + 1} Cᵒᵖ (Type u_1)
h : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, T f → ∃ (R : Presieve.{v_1, u_2} Y), IsSeparatedFor P R ∧ R.FactorsThruAlong S f
hS :
  IsSeparatedFor P S ∧
    ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
W : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → S g → C
i : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → Z ⟶ W a
e : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ X⦄ → (a : S g) → W a ⟶ X
h1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), T (e a)
h2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ X⦄ (a : S g), i a ≫ e a = g
x : FamilyOfElements P T
hx : x.Compatible (R := T)
y : FamilyOfElements P S :=
  fun (Y : C) (g : Y ⟶ X) (hg : S g) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (i hg).op) :
        (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W hg)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y)))
      (x (e hg) ⋯)
hy : y.Compatible (R := S)
left : IsSeparatedFor P S
h2' : ∀ (x : FamilyOfElements P S), x.Compatible (R := S) → ∃ (t : P.obj (Opposite.op X)), x.IsAmalgamation (R := S) t
z : P.obj (Opposite.op X)
hz : y.IsAmalgamation (R := S) z
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : T g
R : Presieve.{v_1, u_2} Y
hR1 : IsSeparatedFor P R
WW : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → R g → C
ii : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → Z ⟶ WW a
ee : ⦃Z : C⦄ → ⦃g : Z ⟶ Y⦄ → (a : R g) → WW a ⟶ X
hh1 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g : Z ⟶ Y⦄ (a : R g), S (ee a)
hh2 : ∀ ⦃Z : C⦄ ⦃g_1 : Z ⟶ Y⦄ (a : R g_1), ii a ≫ ee a = g_1 ≫ g
Q : C
t : Q ⟶ Y
ht : R t
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map (ii ht ≫ i ⋯).op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op (W ⋯)))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
        (x (e ⋯) ⋯) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map t.op) :
          (a : (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Y))) → (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
        (x g hg) :
      (fun (X : Type u_1) ↦ X) (P.obj (Opposite.op Q)))
have refine_2 : (ii ht ≫ i sorry) ≫ e sorry = t ≫ g
Tactic: apply hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
D : Type ?u.31285
inst : Category.{v_1, u_1} C
inst_1 : Category.{v_2, ?u.31285} D
J : GrothendieckTopology.{v_1, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve.{v_1, u_1} X
⊢ Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v_1, u_1} X))
      {S : Presieve.{v_1, u_1} X | Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) X} S →
    ∃ (T : Presieve.{v_1, u_1} Y),
      Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v_1, u_1} Y))
          {S : Presieve.{v_1, u_1} Y | Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) Y} T ∧
        T.FactorsThruAlong S f
have S₁ : ∀ (hS : Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) X),
  ∃ (T : Presieve.{v_1, u_1} Y),
    Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v_1, u_1} Y))
        {S : Presieve.{v_1, u_1} Y | Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) Y} T ∧
      T.FactorsThruAlong S f
Tactic: (hS : Sieve.generate S ∈ J X)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
D : Type ?u.31285
inst : Category.{v_1, u_1} C
inst_1 : Category.{v_2, ?u.31285} D
J : GrothendieckTopology.{v_1, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) X
⊢ ∃ (T : Presieve.{v_1, u_1} Y),
    Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v_1, u_1} Y))
        {S : Presieve.{v_1, u_1} Y | Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) Y} T ∧
      T.FactorsThruAlong S f
have refine : Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v_1, u_1} Y))
  {S : Presieve.{v_1, u_1} Y | Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) Y}
  (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows
Tactic: refine ⟨(Sieve.generate S).pullback f, ?_, fun Z g h => h⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
D : Type ?u.31285
inst : Category.{v_1, u_1} C
inst_1 : Category.{v_2, ?u.31285} D
J : GrothendieckTopology.{v_1, u_1} C
X Y : C
f : Y ⟶ X
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : Sieve.generate S ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) X
⊢ Sieve.generate (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) Y
have rw : Sieve.pullback f (Sieve.generate S) ∈ (J : (a : C) → Set (Sieve a)) Y
Tactic: rw [Sieve.generate_sieve]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X Y : C
S T : Sieve.{v_1, u_1} X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ Sieve.pullback f T = ⊤
have h₁ : ∀ ⦃Z : C⦄ (g : Z ⟶ Y), (Sieve.pullback f T).arrows g ↔ Sieve.arrows ⊤ g
Tactic: ext Z g
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X Y : C
S T : Sieve.{v_1, u_1} X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.pullback f T).arrows g ↔ Sieve.arrows ⊤ g
have h₁ : T.arrows (g ≫ f)
Tactic: simp only [Sieve.pullback_apply, Sieve.top_apply, iff_true]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X Y : C
S T : Sieve.{v_1, u_1} X
h : S ≤ T
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ T.arrows (g ≫ f)
have h₁ : S.arrows (g ≫ f)
Tactic: apply h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X : C
S T : Sieve.{v_1, u_1} X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
⊢ K.Saturate X T
have apply : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, S.arrows f → K.Saturate Y (Sieve.pullback f T)
Tactic: apply Saturate.transitive _ _ _ hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X : C
S T : Sieve.{v_1, u_1} X
h : S ≤ T
hS : K.Saturate X S
Y : C
g : Y ⟶ X
hg : S.arrows g
⊢ K.Saturate Y (Sieve.pullback g T)
have rw : K.Saturate Y ⊤
Tactic: rw [eq_top_pullback (h := h)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : S ∈ K.coverings X
f : Y ⟶ X
⊢ K.Saturate Y (Sieve.pullback f (Sieve.generate S))
have of : ∀ (R : Presieve.{v_1, u_1} Y) (hR1 : R ∈ K.coverings Y) (hR2 : R.FactorsThruAlong S f),
  K.Saturate Y (Sieve.pullback f (Sieve.generate S))
Tactic: obtain ⟨R, hR1, hR2⟩ := K.pullback f S hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : S ∈ K.coverings X
f : Y ⟶ X
R : Presieve.{v_1, u_1} Y
hR1 : R ∈ K.coverings Y
hR2 : R.FactorsThruAlong S f
⊢ K.Saturate Y (Sieve.pullback f (Sieve.generate S))
have of : Sieve.generate R ≤ Sieve.pullback f (Sieve.generate S)
Tactic: suffices Sieve.generate R ≤ (Sieve.generate S).pullback f from
      saturate_of_superset _ this (Saturate.of _ _ hR1)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : S ∈ K.coverings X
f : Y ⟶ X
R : Presieve.{v_1, u_1} Y
hR1 : R ∈ K.coverings Y
hR2 : R.FactorsThruAlong S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
⊢ (Sieve.generate R).arrows g → (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
have of : ∀ (W : C) (i : Z ⟶ W) (e : W ⟶ Y) (h1 : R e) (h2 : i ≫ e = g), (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
Tactic: ⟨W, i, e, h1, h2⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : S ∈ K.coverings X
f : Y ⟶ X
R : Presieve.{v_1, u_1} Y
hR1 : R ∈ K.coverings Y
hR2 : R.FactorsThruAlong S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
W : C
i : Z ⟶ W
e : W ⟶ Y
h1 : R e
h2 : i ≫ e = g
⊢ (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
have of : ∀ (WW : C) (ii : W ⟶ WW) (ee : WW ⟶ X) (hh1 : S ee) (hh2 : ii ≫ ee = e ≫ f),
  (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
Tactic: obtain ⟨WW, ii, ee, hh1, hh2⟩ := hR2 h1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
S : Presieve.{v_1, u_1} X
hS : S ∈ K.coverings X
f : Y ⟶ X
R : Presieve.{v_1, u_1} Y
hR1 : R ∈ K.coverings Y
hR2 : R.FactorsThruAlong S f
Z : C
g : Z ⟶ Y
W : C
i : Z ⟶ W
e : W ⟶ Y
h1 : R e
h2 : i ≫ e = g
WW : C
ii : W ⟶ WW
ee : WW ⟶ X
hh1 : S ee
hh2 : ii ≫ ee = e ≫ f
⊢ (Sieve.pullback f (Sieve.generate S)).arrows g
have of : (i ≫ ii) ≫ ee = g ≫ f
Tactic: refine ⟨WW, i ≫ ii, ee, hh1, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
R S : Sieve.{v_1, u_1} X
h : K.Saturate X R
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → K.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
H1 : ∀ (f : Y ⟶ X), K.Saturate Y (Sieve.pullback f R)
a_ih : ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ X⦄, R.arrows f → ∀ (f_1 : Y ⟶ Y_1), K.Saturate Y (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S))
f : Y ⟶ X
⊢ K.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
have transitive : ∀ (Z : C) (g : Z ⟶ Y) (hg : (Sieve.pullback f R).arrows g), K.Saturate Z (Sieve.pullback g (Sieve.pullback f S))
Tactic: refine (H1 f).transitive _ _ _ fun Z g hg ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Coverage (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
K : Coverage.{v_1, u_1} C
X_1 Y : C
S_1 : Sieve.{v_1, u_1} X_1
X : C
R S : Sieve.{v_1, u_1} X
h : K.Saturate X R
hS : ∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ X⦄, R.arrows f → K.Saturate Y (Sieve.pullback f S)
H1 : ∀ (f : Y ⟶ X), K.Saturate Y (Sieve.pullback f R)
a_ih : ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ X⦄, R.arrows f → ∀ (f_1 : Y ⟶ Y_1), K.Saturate Y (Sieve.pullback f_1 (Sieve.pullback f S))
f : Y ⟶ X
Z : C
g : Z ⟶ Y
hg : (Sieve.pullback f R).arrows g
⊢ K.Saturate Z (Sieve.pullback g (Sieve.pullback f S))
have transitive : K.Saturate Z (Sieve.pullback (g ≫ f) S)
Tactic: rw [← Sieve.pullback_comp]