awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
e f : L
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
h : ↥H
ht : IsSl2Triple (↑h : L) e f
key : Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) h : K) (2 : K)
α' : ↥H := ((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α)
hef :
  ⁅e, f⁆ =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K)
      (↑α' : L)
hα' : α' = ((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α)
h_eq :
  h =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K)
      α'
hef₀ : Ne.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) (0 : K)
h₁ :
  HMul.hMul (β := K) (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := K) 2 (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K))
        (((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f)⁻¹ : K) •
      HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K)
        ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) α' =
    coroot α
h₂ :
  HMul.hMul (β := K)
        (HMul.hMul (β := K) (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := K) 2 (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K))
          (((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f)⁻¹ : K))
        ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) •
      α' =
    coroot α
h₃ :
  (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := K) 2 (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K) *
        HMul.hMul (α := K) (β := K) (((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f)⁻¹ : K)
          ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K)) •
      α' =
    coroot α
h₄ : (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := K) 2 (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K) * 1) • α' = coroot α
h₅ : HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := K) 2 (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K) • α' = coroot α
h₆ : HSMul.hSMul (α := ℕ) 2 (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K) α') = coroot α
⊢ HMul.hMul (β := K) (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := K) 2 (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K))
        (((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) e : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f)⁻¹ : K) •
      h =
    coroot α
have h₇ : HSMul.hSMul (α := ℕ) 2 (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (((α : (a : ↥H) → K) α')⁻¹ : K) α') =
  HSMul.hSMul (α := ℕ) 2
    (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) (β := ↥H)
      (((α : (a : ↥H) → K) (((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α) : ↥H))⁻¹ : K)
      (((cartanEquivDual H).symm : (a : Dual K ↥H) → ↥H) (Weight.toLinear K (↥H) L α) : ↥H))
Tactic: rw [h_eq, smul_smul, mul_assoc, inv_mul_cancel₀ hef₀, mul_one, smul_assoc, coroot]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
this : ¬1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
⊢ finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) ≠ 0
have convert_to : finrank.{u_2, u_3} K ↥(↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L) ≠ 0
Tactic: convert_to finrank K (rootSpace H α).toSubmodule ≠ 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
this : ¬1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
⊢ finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) = 1
have h₀ : finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) ≠ 0
Tactic: have h₀ : finrank K (rootSpace H α) ≠ 0 := by
      convert_to finrank K (rootSpace H α).toSubmodule ≠ 0
      simpa using α.genWeightSpace_ne_bot
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) = 1
have suffices : ¬1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
Tactic: suffices ¬ 1 < finrank K (rootSpace H α) by
    have h₀ : finrank K (rootSpace H α) ≠ 0 := by
      convert_to finrank K (rootSpace H α).toSubmodule ≠ 0
      simpa using α.genWeightSpace_ne_bot
    lia
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
⊢ False
have obtain : ∀ (h e f : L) (ht : IsSl2Triple h e f) (heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
  (hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))), False
Tactic: obtain ⟨h, e, f, ht, heα, hfα⟩ := exists_isSl2Triple_of_weight_isNonZero hα
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
⊢ False
have hF : F.ker ≠ ⊥
Tactic: have hF : LinearMap.ker F ≠ ⊥ := F.ker_ne_bot_of_finrank_lt <| by rwa [finrank_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
⊢ False
have obtain : ∀ (y : L) (hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
  (hy : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ∈ F.ker)
  (hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0), False
Tactic: obtain ⟨⟨y, hyα⟩, hy, hy₀⟩ := (Submodule.ne_bot_iff _).mp hF
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ∈ F.ker
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
⊢ ⁅y, f⁆ = 0
have this : Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) y : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) f : K) (0 : K)
Tactic: have : killingForm K L y f = 0 := by simpa [F, traceForm_comm] using hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ∈ F.ker
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
⊢ False
have hy₁ : ⁅y, f⁆ = 0
Tactic: replace hy : ⁅y, f⁆ = 0 := by
    have : killingForm K L y f = 0 := by simpa [F, traceForm_comm] using hy
    simpa [this] using lie_eq_killingForm_smul_of_mem_rootSpace_of_mem_rootSpace_neg hyα hfα
Cleared hypotheses: hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
⊢ ⁅f, y⁆ = 0
have rw : -⁅y, f⁆ = 0
Tactic: rw [← lie_skew, hy, neg_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
rw : -⁅y, f⁆ = 0
⊢ ⁅f, y⁆ = 0
have rw₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) (-0) 0
Tactic: rw [← lie_skew, hy, neg_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
rw : -⁅y, f⁆ = 0
rw₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) (-0) 0
⊢ ⁅f, y⁆ = 0
have rw₂ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) 0 0
Tactic: rw [← lie_skew, hy, neg_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
⊢ False
have P : IsSl2Triple.HasPrimitiveVectorWith.{u_2, u_3, u_3} (R := K) sorry y (-2)
Tactic: have P : ht.symm.HasPrimitiveVectorWith y (-2 : K) :=
    { ne_zero := by simpa [LieSubmodule.mk_eq_zero] using hy₀
      lie_h := by simp only [neg_smul, neg_lie, ht.h_eq_coroot hα heα hfα,
        ← H.coe_bracket_of_module, lie_eq_smul_of_mem_rootSpace hyα (coroot α),
        root_apply_coroot hα]
      lie_e := by rw [← lie_skew, hy, neg_zero] }
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
P : IsSl2Triple.HasPrimitiveVectorWith.{u_2, u_3, u_3} (R := K) ⋯ y (-2)
⊢ False
have obtain : ∀ (n : ℕ) (hn : Eq.{u_2 + 1} (α := K) (-2) (↑n : K)), False
Tactic: obtain ⟨n, hn⟩ := P.exists_nat
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
contra : 1 < finrank.{u_2, u_3} K ↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
h e f : L
ht : IsSl2Triple h e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
F : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id K) (↥(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))) K :=
  (killingForm K L : (a : L) → L →ₗ[K] K) f ∘ₗ (↑(rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) : Submodule K L).subtype
hF : F.ker ≠ ⊥
y : L
hyα : y ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hy₀ : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)) y hyα ≠ 0
hy : ⁅y, f⁆ = 0
P : IsSl2Triple.HasPrimitiveVectorWith.{u_2, u_3, u_3} (R := K) ⋯ y (-2)
n : ℕ
hn : Eq.{u_2 + 1} (α := K) (-2) (↑n : K)
⊢ False
have assumption_mod_cast : ∀ (P : IsSl2Triple.HasPrimitiveVectorWith.{u_2, u_3, u_3} (R := K) sorry y (↑(Int.negSucc 1) : K)) (hn : False), False
Tactic: assumption_mod_cast
Cleared hypotheses: P, hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ LieSubalgebra K L
have choose : (h e f : L) →
  (t : IsSl2Triple h e f) →
    (ht : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))) → LieSubalgebra K L
Tactic: choose h e f t ht using exists_isSl2Triple_of_weight_isNonZero hα
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
x : L
hx : x ∈ (sl2SubalgebraOfRoot hα).carrier
⊢ ⁅h, x⁆ ∈ (sl2SubalgebraOfRoot hα).carrier
have suffices : ⁅(↑h : L), x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
Tactic: suffices ⁅(h : L), x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα by simpa
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
x : L
hx : x ∈ (sl2SubalgebraOfRoot hα).carrier
⊢ ⁅(↑h : L), x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
have obtain : ∀ (h' e f : L) (ht : IsSl2Triple h' e f) (heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K))
  (hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))), ⁅(↑h : L), x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
Tactic: obtain ⟨h', e, f, ht, heα, hfα⟩ := exists_isSl2Triple_of_weight_isNonZero hα
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
x : L
hx : x ∈ (sl2SubalgebraOfRoot hα).carrier
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
⊢ ⁅(↑h : L), x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
have hx₁ : x ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
Tactic: replace hx : x ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα := hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
x h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
hx : x ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
⊢ ⁅(↑h : L), x⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
have obtain : ∀ (c₁ c₂ c₃ : K) (hx : c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα),
  ⁅(↑h : L), c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
Tactic: obtain ⟨c₁, c₂, c₃, rfl⟩ := (mem_sl2SubalgebraOfRoot_iff hα ht heα hfα).mp hx
Cleared hypotheses: x, hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
c₁ c₂ c₃ : K
hx : c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
⊢ ⁅(↑h : L), c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
have rw : ∃ (c₁_1 : K) (c₂_1 : K) (c₃_1 : K),
  c₁ • ⁅(↑h : L), e⁆ + c₂ • ⁅(↑h : L), f⁆ + c₃ • ⁅(↑h : L), ⁅e, f⁆⁆ = c₁_1 • e + c₂_1 • f + c₃_1 • ⁅e, f⁆
Tactic: rw [mem_sl2SubalgebraOfRoot_iff hα ht heα hfα, lie_add, lie_add, lie_smul, lie_smul, lie_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
c₁ c₂ c₃ : K
hx : c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
⊢ ∃ (c₁_1 : K) (c₂_1 : K) (c₃_1 : K),
    c₁ • ⁅(↑h : L), e⁆ + c₂ • ⁅(↑h : L), f⁆ + c₃ • ⁅(↑h : L), ⁅e, f⁆⁆ = c₁_1 • e + c₂_1 • f + c₃_1 • ⁅e, f⁆
have he_wt : ⁅(↑h : L), e⁆ = HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) h : K) e
Tactic: have he_wt : ⁅(h : L), e⁆ = α h • e := lie_eq_smul_of_mem_rootSpace heα h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_6 : H.IsCartanSubalgebra
inst_7 : IsKilling K L
inst_8 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_9 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ↥H
h' e f : L
ht : IsSl2Triple h' e f
heα : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
hfα : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
c₁ c₂ c₃ : K
hx : c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆ ∈ sl2SubalgebraOfRoot hα
he_wt : ⁅(↑h : L), e⁆ = HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) ((α : (a : ↥H) → K) h : K) e
⊢ ∃ (c₁_1 : K) (c₂_1 : K) (c₃_1 : K),
    c₁ • ⁅(↑h : L), e⁆ + c₂ • ⁅(↑h : L), f⁆ + c₃ • ⁅(↑h : L), ⁅e, f⁆⁆ = c₁_1 • e + c₂_1 • f + c₃_1 • ⁅e, f⁆
have hf_wt : ⁅(↑h : L), f⁆ = HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := K) ((-α : (a : ↥H) → K) h : K) f
Tactic: have hf_wt : ⁅(h : L), f⁆ = (-α) h • f := lie_eq_smul_of_mem_rootSpace hfα h