awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
hk : k ≠ 1
rw : bernoulliFun k 1 = (↑(bernoulli k) : ℝ)
rw₁ : Polynomial.eval 1 (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli k)) = (↑(bernoulli k) : ℝ)
rw₂ :
  Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (Polynomial.eval 1 (Polynomial.bernoulli k)) : ℝ)
    ((↑(bernoulli k) : ℝ) : ℝ)
⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0
have rw₃ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli k) : ℝ) : ℝ)
Tactic: rw [bernoulliFun_eval_zero, bernoulliFun, Polynomial.eval_one_map, Polynomial.bernoulli_eval_one,
    bernoulli_eq_bernoulli'_of_ne_one hk, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
hk : k ≠ 1
rw : bernoulliFun k 1 = (↑(bernoulli k) : ℝ)
rw₁ : Polynomial.eval 1 (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli k)) = (↑(bernoulli k) : ℝ)
rw₂ :
  Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (Polynomial.eval 1 (Polynomial.bernoulli k)) : ℝ)
    ((↑(bernoulli k) : ℝ) : ℝ)
rw₃ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli k) : ℝ) : ℝ)
⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0
have rw₄ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli' k) : ℝ) : ℝ)
Tactic: rw [bernoulliFun_eval_zero, bernoulliFun, Polynomial.eval_one_map, Polynomial.bernoulli_eval_one,
    bernoulli_eq_bernoulli'_of_ne_one hk, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
hk : k ≠ 1
rw : bernoulliFun k 1 = (↑(bernoulli k) : ℝ)
rw₁ : Polynomial.eval 1 (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli k)) = (↑(bernoulli k) : ℝ)
rw₂ :
  Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (Polynomial.eval 1 (Polynomial.bernoulli k)) : ℝ)
    ((↑(bernoulli k) : ℝ) : ℝ)
rw₃ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli k) : ℝ) : ℝ)
rw₄ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli' k) : ℝ) : ℝ)
⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0
have rw₅ : Eq (α := ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ)
Tactic: rw [bernoulliFun_eval_zero, bernoulliFun, Polynomial.eval_one_map, Polynomial.bernoulli_eval_one,
    bernoulli_eq_bernoulli'_of_ne_one hk, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
⊢ bernoulliFun k 1 = bernoulliFun k 0 + if k = 1 then 1 else 0
have rw : (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) (if k = 1 then 1 else 0)
Tactic: rw [bernoulliFun, bernoulliFun_eval_zero, Polynomial.eval_one_map, Polynomial.bernoulli_eval_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
⊢ (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) (if k = 1 then 1 else 0)
have pos : ∀ (h : k = 1), (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 1
Tactic: split_ifs with h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
pos : ∀ (h : k = 1), (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 1
⊢ (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) (if k = 1 then 1 else 0)
have neg : ∀ (h : ¬k = 1), (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 0
Tactic: split_ifs with h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
h : k = 1
⊢ (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 1
have pos : (↑(1 / 2) : ℝ) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(-1 / 2) : ℝ) 1
Tactic: rw [h, bernoulli_one, bernoulli'_one, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
h : k = 1
⊢ (↑(1 / 2) : ℝ) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(-1 / 2) : ℝ) 1
have pos : HDiv.hDiv (α := ℝ) 1 2 = HDiv.hDiv (α := ℝ) (-1) 2 + 1
Tactic: push_cast
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
h : ¬k = 1
⊢ (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 0
have neg : (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ) 0
Tactic: rw [bernoulli_eq_bernoulli'_of_ne_one h, add_zero, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
h : ¬k = 1
neg : (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ) 0
⊢ (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 0
have neg₁ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli' k) : ℝ) : ℝ)
Tactic: rw [bernoulli_eq_bernoulli'_of_ne_one h, add_zero, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
h : ¬k = 1
neg : (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ) 0
neg₁ : Eq (α := ℝ) ((algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) : ℝ) ((↑(bernoulli' k) : ℝ) : ℝ)
⊢ (algebraMap ℚ ℝ : (a : ℚ) → ℝ) (bernoulli' k) = HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(bernoulli k) : ℝ) 0
have neg₂ : Eq (α := ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ) (↑(bernoulli' k) : ℝ)
Tactic: rw [bernoulli_eq_bernoulli'_of_ne_one h, add_zero, eq_ratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (bernoulliFun k) ((↑k : ℝ) * bernoulliFun (k - 1) x) x
have h : (↑k : ℝ) * bernoulliFun (k - 1) x =
  Polynomial.eval x
    ((Polynomial.derivative : (a : Polynomial ℝ) → Polynomial ℝ)
      (Polynomial.map (algebraMap ℚ ℝ) (Polynomial.bernoulli k)))
Tactic: convert! ((Polynomial.bernoulli k).map <| algebraMap ℚ ℝ).hasDerivAt x using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
⊢ deriv (bernoulliFun k) = fun (x : ℝ) ↦ (↑k : ℝ) * bernoulliFun (k - 1) x
have h : ∀ (x : ℝ), deriv (bernoulliFun k) x = (↑k : ℝ) * bernoulliFun (k - 1) x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) x / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1) (bernoulliFun k x) x
have h : bernoulliFun k x = (↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun (k + 1 - 1) x / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1
Tactic: convert! (hasDerivAt_bernoulliFun (k + 1) x).div_const _ using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ Eq (α := ℝ) (∫ (x : ℝ) in 0..1, bernoulliFun k x) 0
have rw : Eq (α := ℝ) (if k = 0 then 1 else 0) 0
Tactic: rw [integral_bernoulliFun, if_neg hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
hk : k ≠ 0
rw : Eq (α := ℝ) (if k = 0 then 1 else 0) 0
⊢ Eq (α := ℝ) (∫ (x : ℝ) in 0..1, bernoulliFun k x) 0
have rw₁ : Eq (α := ℝ) 0 0
Tactic: rw [integral_bernoulliFun, if_neg hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
x y : ℝ
⊢ bernoulliFun (k + 1) y = bernoulliFun (k + 1) x + ∫ (t : ℝ) in x..y, (↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k t
have hderiv : ∀ x_1 ∈ [[x, y]], HasDerivAt (bernoulliFun (k + 1)) ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k x_1) x_1
Tactic: rw [intervalIntegral.integral_eq_sub_of_hasDerivAt, add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k : ℕ
x y : ℝ
hderiv : ∀ x_1 ∈ [[x, y]], HasDerivAt (bernoulliFun (k + 1)) ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k x_1) x_1
⊢ bernoulliFun (k + 1) y = bernoulliFun (k + 1) x + ∫ (t : ℝ) in x..y, (↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k t
have hint : IntervalIntegrable (ε := ℝ) (fun (t : ℝ) ↦ (↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k t) volume x y
Tactic: rw [intervalIntegral.integral_eq_sub_of_hasDerivAt, add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (hypothesis)
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) =
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
      ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
have m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
Tactic: have m0' : (m : ℝ) ≠ 0 := Nat.cast_ne_zero.mpr m0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) =
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
      ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
have rw : bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
      ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) =
  0
Tactic: rw [← sub_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
k m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
⊢ bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) =
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
      ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
have suffices : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
Tactic: suffices h : ∀ x, f k x = 0 by
    rw [← sub_eq_zero]
    exact h x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
x : ℝ
⊢ f 0 x = 0
have zero : 1 = HMul.hMul (α := ℝ) (↑m : ℝ)⁻¹ (↑m : ℝ)
Tactic: simp only [f, bernoulliFun_zero, pow_zero, one_div, Finset.sum_const, Finset.card_range,
      nsmul_eq_mul, mul_one, sub_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
x : ℝ
⊢ 1 = HMul.hMul (α := ℝ) (↑m : ℝ)⁻¹ (↑m : ℝ)
have zero : Eq (α := ℝ) 1 1
Tactic: rw [inv_mul_cancel₀ (Nat.cast_ne_zero.mpr m0)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (f (k + 1)) ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * f k x) x
have simp : HasDerivAt
  (fun (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
  ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
    ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
        bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
  x
Tactic: simp only [f, mul_sub, Finset.mul_sum, pow_succ, mul_div_cancel_right₀ _ m0',
        ← mul_assoc, mul_comm _ (_ / _), div_mul_cancel₀ _ m0']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
          HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
          bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
have hf : HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
  ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x)) x
Tactic: apply HasDerivAt.sub
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
hf :
  HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x)) x
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
          HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
          bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
have hg : HasDerivAt (F := ℝ)
  (fun (x : ℝ) ↦
    ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
  (∑ x_2 ∈ Finset.range m,
    HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
      bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
  x
Tactic: apply HasDerivAt.sub
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
    ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x)) x
have hf : HasDerivAt (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x))
  ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) * (↑m : ℝ)) x
Tactic: rw [mul_assoc, mul_comm (m : ℝ) _, ← Nat.cast_add_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
⊢ HasDerivAt (F := ℝ)
    (fun (x : ℝ) ↦
      ∑ x_2 ∈ Finset.range m,
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (∑ x_2 ∈ Finset.range m,
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
        bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑x_2 : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
have hg : ∀ i ∈ Finset.range m,
  HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
      bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
Tactic: refine HasDerivAt.fun_sum fun i _ ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 *
      bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    x
have hg : HasDerivAt
  (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
  (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))) x
Tactic: simp only [mul_assoc, ← Nat.cast_add_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
⊢ HasDerivAt
    (fun (x : ℝ) ↦ HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    (HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k * ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))) x
have hg : HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
  ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))) x
Tactic: apply HasDerivAt.const_mul
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x_1 : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
x : ℝ
i : ℕ
h_1 : i ∈ Finset.range m
⊢ HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))) x
have hg : HasDerivAt (fun (y : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) (y + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
  ((↑(k + 1) : ℝ) * bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)) * 1) x
Tactic: rw [← mul_one (_ * _)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (hypothesis)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
⊢ ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = 0
have d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * f k x) x
Tactic: have d (x) : HasDerivAt (f (k + 1)) (m * (k + 1) * f k x) x := by
      simp only [f, mul_sub, Finset.mul_sum, pow_succ, mul_div_cancel_right₀ _ m0',
        ← mul_assoc, mul_comm _ (_ / _), div_mul_cancel₀ _ m0']
      apply HasDerivAt.sub
      · rw [mul_assoc, mul_comm (m : ℝ) _, ← Nat.cast_add_one]
        exact (hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ (hasDerivAt_const_mul ..)
      · refine HasDerivAt.fun_sum fun i _ ↦ ?_
        simp only [mul_assoc, ← Nat.cast_add_one]
        apply HasDerivAt.const_mul
        rw [← mul_one (_ * _)]
        exact (hasDerivAt_bernoulliFun _ _).comp _ ((hasDerivAt_id' _).add_const _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (hypothesis)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) ((↑m : ℝ) * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑k : ℝ) 1 * f k x) x
⊢ ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = 0
have d₁ : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
Tactic: simp only [h, mul_zero] at d
Cleared hypotheses: d
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (hypothesis)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
⊢ ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = 0
have fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = f (k + 1) 0
Tactic: have fc (x) : f (k + 1) x = f (k + 1) 0 :=
      is_const_of_deriv_eq_zero (fun _ ↦ (d _).differentiableAt) (fun _ ↦ (d _).deriv) x 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = f (k + 1) 0
⊢ ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = 0
have succ : ∀ (c : ℝ) (fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c) (x : ℝ), f (k + 1) x = 0
Tactic: generalize f (k + 1) 0 = c at fc
Cleared hypotheses: fc
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
⊢ Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) *
          ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0
have rw : HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) = 0 ∨
  Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹, ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0
Tactic: rw [intervalIntegral.integral_sub, intervalIntegral.integral_comp_mul_left _ m0', mul_zero,
        mul_inv_cancel₀ m0', integral_bernoulliFun_eq_zero (by lia), smul_zero, sub_eq_zero,
        intervalIntegral.integral_const_mul, eq_comm (a := 0), mul_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ZetaValues (goal)
Goal:
m : ℕ
m0 : m ≠ 0
x : ℝ
m0' : Ne (α := ℝ) (↑m : ℝ) 0
f : (k : ℕ) → (x : ℝ) → ℝ :=
  fun (k : ℕ) (x : ℝ) ↦
    bernoulliFun k ((↑m : ℝ) * x) -
      HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) k / (↑m : ℝ) *
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun k (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ))
k : ℕ
h : ∀ (x : ℝ), f k x = 0
d : ∀ (x : ℝ), HasDerivAt (f (k + 1)) 0 x
c : ℝ
fc : ∀ (x : ℝ), f (k + 1) x = c
rw :
  HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) = 0 ∨
    Eq (α := ℝ)
      (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
        ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
      0
⊢ Eq (α := ℝ)
    (∫ (x : ℝ) in 0..(↑m : ℝ)⁻¹,
      bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x) -
        HPow.hPow (α := ℝ) (↑m : ℝ) (k + 1) / (↑m : ℝ) *
          ∑ i ∈ Finset.range m, bernoulliFun (k + 1) (x + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑i : ℝ) (↑m : ℝ)))
    0
have hf : IntervalIntegrable (ε := ℝ) (fun (x : ℝ) ↦ bernoulliFun (k + 1) ((↑m : ℝ) * x)) volume 0 (↑m : ℝ)⁻¹
Tactic: rw [intervalIntegral.integral_sub, intervalIntegral.integral_comp_mul_left _ m0', mul_zero,
        mul_inv_cancel₀ m0', integral_bernoulliFun_eq_zero (by lia), smul_zero, sub_eq_zero,
        intervalIntegral.integral_const_mul, eq_comm (a := 0), mul_eq_zero]