awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
refine_1 : ∀ (p : α × ℝ), Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p → p.1 ∈ s
⊢ ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
have refine_2 : ∀ (p : α × ℝ), Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p → p.2 ∈ f p.1
Tactic: refine ⟨⋃ n, u n, countable_iUnion fun n => (u n).countable_toSet, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
refine_1 : ∀ (p : α × ℝ), Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p → p.1 ∈ s
refine_2 : ∀ (p : α × ℝ), Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p → p.2 ∈ f p.1
⊢ ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
have refine_3 : Eq (α := ℝ≥0∞)
  ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
      (s \
        ⋃ (p : α × ℝ),
          ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
    ℝ≥0∞)
  (0 : ℝ≥0∞)
Tactic: refine ⟨⋃ n, u n, countable_iUnion fun n => (u n).countable_toSet, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
refine_1 : ∀ (p : α × ℝ), Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p → p.1 ∈ s
refine_2 : ∀ (p : α × ℝ), Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p → p.2 ∈ f p.1
refine_3 :
  Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (0 : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
have refine_4 : PairwiseDisjoint (α := Set α) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
Tactic: refine ⟨⋃ n, u n, countable_iUnion fun n => (u n).countable_toSet, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
p : α × ℝ
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p
⊢ p.1 ∈ s
have refine_1 : ∀ (n : ℕ) (hn : p ∈ (↑(u n) : Set (α × ℝ))), p.1 ∈ s
Tactic: rcases mem_iUnion.1 hp with ⟨n, hn⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
p : α × ℝ
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p
⊢ p.2 ∈ f p.1
have refine_2 : ∀ (n : ℕ) (hn : p ∈ (↑(u n) : Set (α × ℝ))), p.2 ∈ f p.1
Tactic: rcases mem_iUnion.1 hp with ⟨n, hn⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
have h : Subset.{u_1} (α := Set α) (⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2)
  (⋃ (p : α × ℝ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2)
Tactic: gcongr μ (s \ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (0 : ℝ≥0∞)
have A : ∀ (n : ℕ),
  LE.le (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
Tactic: have A :
      ∀ n,
        μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ ⋃ n : ℕ, (u n : Set (α × ℝ))), closedBall p.fst p.snd) ≤
          μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
      intro n
      gcongr μ (s \ ?_)
      exact biUnion_subset_biUnion_left (subset_iUnion (fun i => (u i : Set (α × ℝ))) n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
have rw : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F (u n), closedBall p.1 p.2) ≤
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
Tactic: rw [u_succ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
have grw : HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞)
    ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 * ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
Tactic: grw [pow_succ', mul_assoc, IH]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
grw :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞)
      ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 * ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
have grw₁ : HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
  (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
Tactic: grw [pow_succ', mul_assoc, IH]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
grw :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞)
      ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 * ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
grw₁ :
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
have grw₂ : (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ≤
  (↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 *
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
Tactic: grw [pow_succ', mul_assoc, IH]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
n : ℕ
IH :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ (n + 1))
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
have _ : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
Tactic: calc
          _ ≤ N / (N + 1) * μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
            rw [u_succ]; exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
          _ ≤ _ := by grw [pow_succ', mul_assoc, IH]