awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
⊢ WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
Tactic: have hj' : s.points j ∈ affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points) := by
    simpa using hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
⊢ WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have refine : ∃ (p₂ : P),
  Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) p₂ ∧
    SameRay R ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁ -ᵥ s.points j)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ -ᵥ p₂)
Tactic: refine (wSameSide_iff_exists_left hj').2 (.inr ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
⊢ ∃ (p₂ : P),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) p₂ ∧
      SameRay R ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁ -ᵥ s.points j)
        ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ -ᵥ p₂)
have rw : ∃ (p₂ : P),
  Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) p₂ ∧
    SameRay R
      ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
        (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ -ᵥ p₂)
Tactic: rw [← Finset.univ.affineCombination_piSingle R s.points
    (Finset.mem_univ j), Finset.affineCombination_vsub]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
⊢ ∃ (p₂ : P),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) p₂ ∧
      SameRay R
        ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
          (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1))
        ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ -ᵥ p₂)
have hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
Tactic: have hw₃1 : ∑ k, w₃ k = 1 := by simp [w₃, hw₂, ← Finset.mul_sum, hw₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
⊢ ∃ (p₂ : P),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) p₂ ∧
      SameRay R
        ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
          (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1))
        ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ -ᵥ p₂)
have hw₃i : w₃ i = 0
Tactic: have hw₃i : w₃ i = 0 := by simp [w₃, hj.symm, h0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
⊢ ∃ (p₂ : P),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) p₂ ∧
      SameRay R
        ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
          (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1))
        ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ -ᵥ p₂)
have refine : SameRay R
  ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
    (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1))
  (VSub.vsub.{u_2, u_4} (P := P) ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ : P)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₃ : P))
Tactic: refine ⟨Finset.univ.affineCombination R s.points w₃,
    (s.affineCombination_mem_affineSpan_faceOpposite_iff hw₃1).2 hw₃i, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
⊢ SameRay R
    ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
      (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1))
    (VSub.vsub.{u_2, u_4} (P := P)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ : P)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₃ : P))
have simp : 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹ ∨
  Eq.{u_2 + 1} (α := V)
    ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
        (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1) :
      V)
    (0 : V)
Tactic: simp only [w₃, Finset.affineCombination_vsub, sub_sub_cancel, smul_smul, map_smul,
    sameRay_smul_right_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
⊢ 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹ ∨
    Eq.{u_2 + 1} (α := V)
      ((Finset.weightedVSub Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → V)
          (w₁ - Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1) :
        V)
      (0 : V)
have h : 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
Tactic: left
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
⊢ 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
have h : ∀ (h : w₁ i < 0), 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
Tactic: rcases h0.lt_or_gt with h | h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
h : ∀ (h : w₁ i < 0), 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
⊢ 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
have h₁ : ∀ (h : 0 < w₁ i), 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
Tactic: rcases h0.lt_or_gt with h | h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
h : w₁ i < 0
⊢ 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
have h₁ : ∀ (hs : w₂ i < 0) (h0 : w₁ i ≠ 0) (h0' : w₂ i ≠ 0) (j : Fin (n + 1)) (hj : j ≠ i)
  (hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)),
  let w₃ := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1);
  ∀ (hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1) (hw₃i : w₃ i = 0) (h : w₁ i < 0), 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
Tactic: rw [sign_neg h, eq_comm, sign_eq_neg_one_iff] at hs
Cleared hypotheses: hs, h0, h0', j, hj, hj', w₃, hw₃1, hw₃i, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h0 : w₁ i ≠ 0
h0' : w₂ i ≠ 0
j : Fin (n + 1)
hj : j ≠ i
hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)
w₃ : Fin (n + 1) → R := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1)
hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1
hw₃i : w₃ i = 0
h : 0 < w₁ i
⊢ 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
have h₁ : ∀ (hs : 0 < w₂ i) (h0 : w₁ i ≠ 0) (h0' : w₂ i ≠ 0) (j : Fin (n + 1)) (hj : j ≠ i)
  (hj' : Membership.mem (γ := AffineSubspace R P) (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points j)),
  let w₃ := w₂ - w₂ i • (w₁ i)⁻¹ • (w₁ - Pi.single (M := fun (j : Fin (n + 1)) ↦ R) j 1);
  ∀ (hw₃1 : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ k : Fin (n + 1), w₃ k) 1) (hw₃i : w₃ i = 0) (h : 0 < w₁ i), 0 ≤ w₂ i * (w₁ i)⁻¹
Tactic: rw [sign_pos h, eq_comm, sign_eq_one_iff] at hs
Cleared hypotheses: hs, h0, h0', j, hj, hj', w₃, hw₃1, hw₃i, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs₁ : 0 < w₁ i
hs₂ : w₂ i < 0
w₃ : Fin (n + 1) → R := (lineMap w₁ w₂ : (a : R) → Fin (n + 1) → R) (w₁ i / (w₁ i - w₂ i))
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have hp : 0 < w₁ i - w₂ i
Tactic: have hp : 0 < w₁ i - w₂ i := by grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs₁ : 0 < w₁ i
hs₂ : w₂ i < 0
w₃ : Fin (n + 1) → R := (lineMap w₁ w₂ : (a : R) → Fin (n + 1) → R) (w₁ i / (w₁ i - w₂ i))
hp : 0 < w₁ i - w₂ i
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have hw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₃ j) 1
Tactic: have hw₃ : ∑ j, w₃ j = 1 := by
    simp [w₃, lineMap_apply, Finset.sum_add_distrib, ← Finset.mul_sum, hw₁, hw₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs₁ : 0 < w₁ i
hs₂ : w₂ i < 0
w₃ : Fin (n + 1) → R := (lineMap w₁ w₂ : (a : R) → Fin (n + 1) → R) (w₁ i / (w₁ i - w₂ i))
hp : 0 < w₁ i - w₂ i
hw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₃ j) 1
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have h : Sbtw R w₁ w₃ w₂
Tactic: have h : Sbtw R w₁ w₃ w₂ := sbtw_lineMap_iff.2
    ⟨(by grind), div_pos hs₁ hp, (div_lt_one hp).2 (by grind)⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs₁ : 0 < w₁ i
hs₂ : w₂ i < 0
w₃ : Fin (n + 1) → R := (lineMap w₁ w₂ : (a : R) → Fin (n + 1) → R) (w₁ i / (w₁ i - w₂ i))
hp : 0 < w₁ i - w₂ i
hw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₃ j) 1
h : Sbtw R w₁ w₃ w₂
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have h' : Sbtw.{u_1, u_2, u_4} R (P := P) ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁ : P)
  ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₃ : P)
  ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ : P)
Tactic: have h' : Sbtw R (Finset.univ.affineCombination R s.points w₁)
      (Finset.univ.affineCombination R s.points w₃)
      (Finset.univ.affineCombination R s.points w₂) := by
    rwa [s.independent.injOn_affineCombination_fintypeAffineCoords.sbtw_map_iff
     (mem_fintypeAffineCoords_iff_sum.2 hw₁) (mem_fintypeAffineCoords_iff_sum.2 hw₃)
     (mem_fintypeAffineCoords_iff_sum.2 hw₂)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs₁ : 0 < w₁ i
hs₂ : w₂ i < 0
w₃ : Fin (n + 1) → R := (lineMap w₁ w₂ : (a : R) → Fin (n + 1) → R) (w₁ i / (w₁ i - w₂ i))
hp : 0 < w₁ i - w₂ i
hw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₃ j) 1
h : Sbtw R w₁ w₃ w₂
h' :
  Sbtw.{u_1, u_2, u_4} R (P := P) ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁ : P)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₃ : P)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ : P)
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have refine : w₃ i = 0
Tactic: refine h'.sOppSide_of_notMem_of_mem
    ((s.affineCombination_mem_affineSpan_faceOpposite_iff hw₁).not.2 hs₁.ne')
    ((s.affineCombination_mem_affineSpan_faceOpposite_iff hw₃).2 ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
hs₁ : 0 < w₁ i
hs₂ : w₂ i < 0
w₃ : Fin (n + 1) → R := (lineMap w₁ w₂ : (a : R) → Fin (n + 1) → R) (w₁ i / (w₁ i - w₂ i))
hp : 0 < w₁ i - w₂ i
hw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₃ j) 1
h : Sbtw R w₁ w₃ w₂
h' :
  Sbtw.{u_1, u_2, u_4} R (P := P) ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁ : P)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₃ : P)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂ : P)
⊢ w₃ i = 0
have simp : w₁ i / (w₁ i - w₂ i) * (w₂ i - w₁ i) + w₁ i = 0
Tactic: simp only [lineMap_apply, vsub_eq_sub, vadd_eq_add, Pi.add_apply, Pi.smul_apply, Pi.sub_apply,
    smul_eq_mul, w₃]