awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ ∞ ∨ Ne (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) ∞
have hr : HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1 ≠ ∞
Tactic: left
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (0 : ℝ≥0∞)
have C : Tendsto
  (fun (n : ℕ) ↦
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
  atTop (𝓝 (HMul.hMul (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)))
Tactic: have C : Tendsto (fun n : ℕ => ((N : ℝ≥0∞) / (N + 1)) ^ n * μ s) atTop (𝓝 (0 * μ s)) := by
      apply ENNReal.Tendsto.mul_const _ (Or.inr (measure_lt_top μ s).ne)
      apply ENNReal.tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one
      rw [ENNReal.div_lt_iff, one_mul]
      · conv_lhs => rw [← add_zero (N : ℝ≥0∞)]
        exact ENNReal.add_lt_add_left (ENNReal.natCast_ne_top N) zero_lt_one
      · simp
      · left; finiteness
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
C :
  Tendsto
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 (HMul.hMul (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)))
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (0 : ℝ≥0∞)
have C₁ : Tendsto (β := ℝ≥0∞)
  (fun (n : ℕ) ↦
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
  atTop (𝓝 0)
Tactic: rw [zero_mul] at C
Cleared hypotheses: C
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A :
  ∀ (n : ℕ),
    LE.le (α := ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
          (s \
            ⋃ (p : α × ℝ),
              ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
        ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
B :
  ∀ (n : ℕ),
    (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
C :
  Tendsto (β := ℝ≥0∞)
    (fun (n : ℕ) ↦
      HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) (((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ^ n)
        ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞))
    atTop (𝓝 0)
⊢ Eq (α := ℝ≥0∞)
    ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
        (s \
          ⋃ (p : α × ℝ),
            ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
      ℝ≥0∞)
    (0 : ℝ≥0∞)
have refine_3 : LE.le (α := ℝ≥0∞)
  ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞)
      (s \
        ⋃ (p : α × ℝ),
          ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) p), closedBall p.1 p.2) :
    ℝ≥0∞)
  (⊥ : ℝ≥0∞)
Tactic: apply le_bot_iff.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ PairwiseDisjoint (α := Set α) (⋃ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ))) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
have refine_4 : Directed (fun (x1 x2 : Set (α × ℝ)) ↦ x1 ⊆ x2) fun (n : ℕ) ↦ (↑(u n) : Set (α × ℝ))
Tactic: refine (pairwiseDisjoint_iUnion ?_).2 fun n => (Pu n).1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
⊢ Directed (fun (x1 x2 : Set (α × ℝ)) ↦ x1 ⊆ x2) fun (n : ℕ) ↦ (↑(u n) : Set (α × ℝ))
have apply : ∀ (n : ℕ), (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(u (n + 1)) : Set (α × ℝ))
Tactic: apply (monotone_nat_of_le_succ fun n => ?_).directed_le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : (t : Finset (α × ℝ)) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧
        P (F t) ∧
          (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞)
u : (n : ℕ) → Finset (α × ℝ) := fun (n : ℕ) ↦ F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
n : ℕ
⊢ (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(u (n + 1)) : Set (α × ℝ))
have rw : (↑(u n) : Set (α × ℝ)) ≤ (↑(F (u n)) : Set (α × ℝ))
Tactic: rw [← Nat.succ_eq_add_one, u_succ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
have rcases : ∀ (ν : Measure α) (hν : IsFiniteMeasure ν) (hμν : μ ≪ ν),
  ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
Tactic: rcases exists_isFiniteMeasure_absolutelyContinuous μ with ⟨ν, hν, hμν, -⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
ν : Measure α
hν : IsFiniteMeasure ν
hμν : μ ≪ ν
⊢ ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
have rcases : ∀ (t : Set (α × ℝ)) (t_count : t.Countable) (ts : ∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) (tr : ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1)
  (tν : Eq (α := ℝ≥0∞) ((ν : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞))
  (tdisj : t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2),
  ∃ (t : Set (α × ℝ)),
    t.Countable ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧
        (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
Tactic: rcases exists_disjoint_closedBall_covering_ae_of_finiteMeasure_aux ν f s hf with
    ⟨t, t_count, ts, tr, tν, tdisj⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
x : α
hx : x ∈ s
δ : ℝ
δpos : δ > 0
⊢ (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
have rcases : ∀ (r : ℝ) (hr : r ∈ f x ∩ Ioo 0 (min δ (R x))), (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
Tactic: rcases hf x hx (min δ (R x)) (lt_min δpos (hR x hx)) with ⟨r, hr⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
Tactic: have hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty := fun x hx δ δpos ↦ by
    rcases hf x hx (min δ (R x)) (lt_min δpos (hR x hx)) with ⟨r, hr⟩
    exact ⟨r, ⟨⟨hr.1, hr.2.1, hr.2.2.trans_le (min_le_right _ _)⟩,
      ⟨hr.2.1, hr.2.2.trans_le (min_le_left _ _)⟩⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have rcases : ∀ (v : Set (α × ℝ)) (v_count : v.Countable) (vs : ∀ p ∈ v, p.1 ∈ s) (vg : ∀ p ∈ v, p.2 ∈ g p.1)
  (μv : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ v, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞))
  (v_disj : v.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2),
  ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
Tactic: rcases exists_disjoint_closedBall_covering_ae_aux μ g s hg with ⟨v, v_count, vs, vg, μv, v_disj⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
v : Set (α × ℝ)
v_count : v.Countable
vs : ∀ p ∈ v, p.1 ∈ s
vg : ∀ p ∈ v, p.2 ∈ g p.1
μv : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ v, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
v_disj : v.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
⊢ ∃ (r : α → ℝ) (t : Set α), v = graphOn r t
have I : ∀ p ∈ v, 0 ≤ p.2
Tactic: have I : ∀ p ∈ v, 0 ≤ p.2 := fun p hp => (vg p hp).2.1.le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
v : Set (α × ℝ)
v_count : v.Countable
vs : ∀ p ∈ v, p.1 ∈ s
vg : ∀ p ∈ v, p.2 ∈ g p.1
μv : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ v, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
v_disj : v.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
I : ∀ p ∈ v, 0 ≤ p.2
⊢ ∃ (r : α → ℝ) (t : Set α), v = graphOn r t
have rw : InjOn Prod.fst v
Tactic: rw [exists_eq_graphOn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
v : Set (α × ℝ)
v_count : v.Countable
vs : ∀ p ∈ v, p.1 ∈ s
vg : ∀ p ∈ v, p.2 ∈ g p.1
μv : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ v, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
v_disj : v.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
I : ∀ p ∈ v, 0 ≤ p.2
⊢ InjOn Prod.fst v
have refine : ∀ (x : α × ℝ) (hx : x ∈ v) (y : α × ℝ) (hy : y ∈ v) (heq : x.1 = y.1),
  Membership.mem (γ := Set α) ((fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) x) x.1 ∧
    Membership.mem (γ := Set α) ((fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) y) x.1
Tactic: refine fun x hx y hy heq ↦ v_disj.eq hx hy <| not_disjoint_iff.2 ⟨x.1, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
R : α → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, 0 < R x
g : (x : α) → Set ℝ := fun (x : α) ↦ f x ∩ Ioo 0 (R x)
hg : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (g x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
v : Set (α × ℝ)
v_count : v.Countable
vs : ∀ p ∈ v, p.1 ∈ s
vg : ∀ p ∈ v, p.2 ∈ g p.1
μv : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ v, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
v_disj : v.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have obtain : ∀ (r : α → ℝ) (t : Set α) (v_count : (graphOn r t).Countable) (vs : ∀ p ∈ graphOn r t, p.1 ∈ s)
  (vg : ∀ p ∈ graphOn r t, p.2 ∈ g p.1)
  (μv : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ graphOn r t, closedBall p.1 p.2) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞))
  (v_disj : (graphOn r t).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2),
  ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)) ∧
          Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ∧
            t.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
Tactic: obtain ⟨r, t, rfl⟩ : ∃ (r : α → ℝ) (t : Set α), v = graphOn r t := by
    have I : ∀ p ∈ v, 0 ≤ p.2 := fun p hp => (vg p hp).2.1.le
    rw [exists_eq_graphOn]
    refine fun x hx y hy heq ↦ v_disj.eq hx hy <| not_disjoint_iff.2 ⟨x.1, ?_⟩
    simp [*]
Cleared hypotheses: v, v_count, vs, vg, μv, v_disj