awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
⊢ ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
    ∀ (i : Fin (n' + 1)),
      (↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N ⋯ ⋯ : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
        HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
          (↑((Basis.mkFinConsOfLE y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' ⋯ : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE ⋯ i)) : O)
have neg : ∀ (i : Fin (n' + 1)),
  (↑((Basis.mkFinConsOfLE y yN bN' N'_le_N sorry sorry : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := O) (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n' + 1)) ↦ R) a as i : R)
      (↑((Basis.mkFinConsOfLE y' y'M bM' M'_le_M y'_ortho_M' sorry : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE sorry i)) : O)
Tactic: refine ⟨Fin.cons a as, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
mk_y' :
  Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M = ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M)
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (1 : R)
ϕy'_ne_zero : Ne.{u_2 + 1} (α := R) ((ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M) : R) (0 : R)
M' : Submodule R O := map M.subtype ϕ.ker
N' : Submodule R O := map N.subtype (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M).ker
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'
m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'
as : Fin n' → R
h :
  ∀ (i : Fin n'),
    (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
      HSMul.hSMul (β := O) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)
i : Fin (n' + 1)
⊢ (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (n' + 1)) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ N) y yN)
          (Function.comp (β := ↥N') (⇑(inclusion N'_le_N) : (a : ↥N') → ↥N) (⇑bN' : (a : Fin n') → ↥N')) 0) :
      O) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := O) (Fin.cons (α := fun (a : Fin (n' + 1)) ↦ R) a as 0 : R)
      (↑(Fin.cons (α := fun (i : Fin (m' + 1)) ↦ ↥M) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y' y'M)
            (Function.comp (β := ↥M') (⇑(inclusion M'_le_M) : (a : ↥M') → ↥M) (⇑bM' : (a : Fin m') → ↥M'))
            (Fin.castLE ⋯ 0)) :
        O)
have neg : y = a • y'
Tactic: simp only [Fin.cons_zero, Fin.castLE_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have haveI : ∀ (this : DecidableEq M), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: haveI := Classical.decEq M
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have intro : ∀ (val : Fintype ι), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: cases nonempty_fintype ι
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have pos : ∀ (N_bot : N = ⊥), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: by_cases N_bot : N = ⊥
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
pos : ∀ (N_bot : N = ⊥), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have neg : ∀ (N_bot : ¬N = ⊥), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: by_cases N_bot : N = ⊥
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : N = ⊥
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have pos : ∀
  (ih :
    ∀ N' ≤ ⊥,
      ∀ (x : M),
        Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x →
          (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')),
  ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
Tactic: subst N_bot
Cleared hypotheses: N, ih, N_bot
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have neg : ∀ (y : M) (a : R) (hay : a • y ∈ N) (M' N' : Submodule R M) (N'_le_N : N' ≤ N)
  (ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0)
  (h' :
    ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
      ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
        ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
          ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
            ∀ (as : Fin n' → R),
              (∀ (i : Fin n'),
                  (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
                ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                  ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                    (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                      HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)),
  ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: obtain ⟨y, -, a, hay, M', -, N', N'_le_N, -, -, ay_ortho, h'⟩ :=
    Submodule.basis_of_pid_aux ⊤ N b' N_bot le_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
a : R
hay : a • y ∈ N
M' N' : Submodule R M
N'_le_N : N' ≤ N
ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h' :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have neg : ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'), ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: obtain ⟨n', ⟨bN'⟩⟩ := ih N' N'_le_N _ hay ay_ortho
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
N : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ N,
    ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (Fintype.card ι)) R ↥⊤ :=
  Basis.map (b.reindex (Fintype.equivFin ι)) (LinearEquiv.symm (LinearEquiv.ofTop ⊤ ⋯))
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
a : R
hay : a • y ∈ N
M' N' : Submodule R M
N'_le_N : N' ≤ N
ay_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h' :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'),
    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
          ∀ (as : Fin n' → R),
            (∀ (i : Fin n'),
                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                    HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)
n' : ℕ
bN' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n') R ↥N'
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have neg : ∀ (bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (n' + 1)) R ↥N)
  (_hbN :
    ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin m') R ↥M'),
      ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin (m' + 1)) R ↥⊤),
        ∀ (as : Fin n' → R),
          (∀ (i : Fin n'),
              (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : M) =
                HSMul.hSMul (β := M) (as i) (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : M)) →
            ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
              ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : M) =
                  HSMul.hSMul (β := M) (as' i) (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥⊤) (Fin.castLE hnm i)) : M)),
  ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: obtain ⟨bN, _hbN⟩ := h' n' bN'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
this : DecidableEq M
val : Fintype ι
⊢ ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
have intro : ∀ (N : Submodule R M)
  (ih :
    ∀ N' ≤ N,
      ∀ x ∈ N, (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N')),
  ∃ (n : ℕ), Nonempty (Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N)
Tactic: induction N using inductionOnRank b with | ih N ih =>
  let b' := (b.reindex (Fintype.equivFin ι)).map (LinearEquiv.ofTop _ rfl).symm
  by_cases N_bot : N = ⊥
  · subst N_bot
    exact ⟨0, ⟨Basis.empty _⟩⟩
  obtain ⟨y, -, a, hay, M', -, N', N'_le_N, -, -, ay_ortho, h'⟩ :=
    Submodule.basis_of_pid_aux ⊤ N b' N_bot le_top
  obtain ⟨n', ⟨bN'⟩⟩ := ih N' N'_le_N _ hay ay_ortho
  obtain ⟨bN, _hbN⟩ := h' n' bN'
  exact ⟨n' + 1, ⟨bN⟩⟩
Cleared hypotheses: N
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
⊢ Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) (basisOfPid b ⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥))
have obtain : ∀ (n : ℕ) (b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥),
  Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) n b')
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥))
Tactic: obtain ⟨n, b'⟩ := Submodule.basisOfPid b ⊥
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
ι : Type u_4
inst_5 : Finite ι
b : Basis ι R M
n : ℕ
b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥
e : Fin n ≃ Fin 0 := b'.indexEquiv (Basis.empty ↥⊥)
⊢ Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) n b')
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥))
have obtain : ∀ (b' : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin 0) R ↥⊥),
  Eq (α := (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 b' : (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
    (Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥) 0 (Basis.empty ↥⊥) :
      (n : ℕ) × Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥⊥)
Tactic: obtain rfl : n = 0 := by simpa using Fintype.card_eq.mpr ⟨e⟩
Cleared hypotheses: n, b', e
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
⊢ (n : ℕ) × Basis (Fin n) R M
have this : ∃ (s_1 : Set ι),
  LinearIndepOn R s s_1 ∧
    ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
Tactic: have := exists_maximal_linearIndepOn R s
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
⊢ (n : ℕ) × Basis (Fin n) R M
have indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
Tactic: obtain
      ⟨indepI : LinearIndependent R (s ∘ (fun x => x) : I → M), hI :
        ∀ i ∉ I, ∃ a : R, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ span R (s '' I)⟩ :=
      this.choose_spec
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
⊢ (n : ℕ) × Basis (Fin n) R M
have hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
Tactic: obtain
      ⟨indepI : LinearIndependent R (s ∘ (fun x => x) : I → M), hI :
        ∀ i ∉ I, ∃ a : R, a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ span R (s '' I)⟩ :=
      this.choose_spec
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
⊢ ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
have pos : ∀ (hi : i ∈ I), ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
Tactic: by_cases hi : i ∈ I
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
b : ι → M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
inst_4 : IsDomain R
inst_5 : Fintype ι
s : ι → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (span R (range s)) ⊤
inst_6 : IsTorsionFree R M
this :
  ∃ (s_1 : Set ι),
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i)
I : Set ι :=
  this.choose (p := fun (s_1 : Set ι) ↦
    LinearIndepOn R s s_1 ∧
      ∀ i ∉ s_1, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' s_1)) (a • s i))
indepI : LinearIndependent (ι := (↑I : Type u_1)) R (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι))
hI : ∀ i ∉ I, ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (s '' I)) (a • s i)
N : Submodule R M := span R (range (ι := (↑I : Type u_1)) (s ∘ fun (x : (↑I : Type u_1)) ↦ (↑x : ι)))
_sI : (↑I : Type u_1) → ↥N := fun (i : (↑I : Type u_1)) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (s (↑i : ι)) ⋯
sI_basis : Basis.{u_1, u_2, u_3} (↑I : Type u_1) R ↥N := Basis.span indepI
i : ι
pos : ∀ (hi : i ∈ I), ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
⊢ ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
have neg : ∀ (hi : i ∉ I), ∃ (a : R), a ≠ 0 ∧ a • s i ∈ N
Tactic: by_cases hi : i ∈ I