awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i n : ℕ
npos : 0 < n
j : ℕ
ij : i < j + 1
j2n : j + 1 ≤ 2 * n
jnn : j + 1 ≠ n
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j + 1 = 2)
lem2 : ∀ k > n, k ≤ 2 * n → (↑(xn a1 k % xn a1 n) : ℤ) = HSub.hSub (α := ℤ) (↑(xn a1 n) : ℤ) (↑(xn a1 (2 * n - k)) : ℤ)
o : j = n ∨ n < j
jn : j > n
lem1 : j ≠ n → xn a1 j % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n → xn a1 i % xn a1 n < xn a1 (j + 1) % xn a1 n
⊢ 2 * n - (j + 1) < 2 * n - j
have rw : (2 * n - j).pred < 2 * n - j
Tactic: rw [Nat.sub_succ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ False
have refine : xn a1 j % xn a1 n < xn a1 i % xn a1 n
Tactic: refine _root_.ne_of_gt ?_ h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ xn a1 j % xn a1 n < xn a1 i % xn a1 n
have rw : 0 < xn a1 i % xn a1 n
Tactic: rw [jn, Nat.mod_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 0 % xn a1 n
have rw : 0 < xn a1 0
Tactic: rw [Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x a1 (Nat.pos_of_ne_zero npos))]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n
have x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
Tactic: have x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n := by
          rw [Nat.mod_eq_of_lt (strictMono_x a1 (Nat.pos_of_ne_zero npos))]
          exact Nat.succ_pos _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n
have zero : ∀ (ij : 0 ≤ j) (h : xn a1 0 ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]) (ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ Eq (α := ℕ) 0 0 ∧ j = 2)) (ij' : 0 < j),
  0 < xn a1 0 % xn a1 n
Tactic: rcases i with - | i
Cleared hypotheses: i, ij, h, ntriv, ij'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ij : i ≤ j
j2n : j ≤ 2 * n
h : xn a1 i ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i = 0 ∧ j = 2)
npos : ¬n = 0
ij' : i < j
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
zero :
  ∀ (ij : 0 ≤ j) (h : xn a1 0 ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]) (ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ Eq (α := ℕ) 0 0 ∧ j = 2))
    (ij' : 0 < j), 0 < xn a1 0 % xn a1 n
⊢ 0 < xn a1 i % xn a1 n
have succ : ∀ (i : ℕ) (ij : i + 1 ≤ j) (h : xn a1 (i + 1) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]) (ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i + 1 = 0 ∧ j = 2))
  (ij' : i + 1 < j), 0 < xn a1 (i + 1) % xn a1 n
Tactic: rcases i with - | i
Cleared hypotheses: i, ij, h, ntriv, ij'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : i + 1 ≤ j
h : xn a1 (i + 1) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i + 1 = 0 ∧ j = 2)
ij' : i + 1 < j
⊢ 0 < xn a1 (i + 1) % xn a1 n
have ij'₁ : i + 1 < n
Tactic: rw [jn] at ij'
Cleared hypotheses: ij'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
j n : ℕ
j2n : j ≤ 2 * n
npos : ¬n = 0
jn : j = n
x0 : 0 < xn a1 0 % xn a1 n
i : ℕ
ij : i + 1 ≤ j
h : xn a1 (i + 1) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ntriv : ¬(a = 2 ∧ n = 1 ∧ i + 1 = 0 ∧ j = 2)
ij' : i + 1 < n
h_1 : a = 2 ∧ n = 1 ∧ Eq (α := ℕ) 0 0 ∧ i + 1 = 2
left : a = 2
n1 : n = 1
left_1 : Eq (α := ℕ) 0 0
i2 : i + 1 = 2
⊢ False
have ij'₁ : LT.lt (α := ℕ) 2 1
Tactic: rw [n1, i2] at ij'
Cleared hypotheses: ij', h_1, left, n1, left_1, i2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ i ≤ 2 * n
have apply : n ≤ 2 * n
Tactic: apply le_trans hin
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
⊢ n ≤ 2 * n
have rw : n ≤ n + n
Tactic: rw [two_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : j ≤ 2 * n
h_1 : a = 2
n1 : n = 1
h_2 : j = 0
i2 : i = 2
⊢ False
have hin₁ : LE.le (α := ℕ) 2 1
Tactic: rw [n1, i2] at hin
Cleared hypotheses: hin, j4n, h, i2n, j2n, h_1, n1, h_2, i2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
j42n : 4 * n - j ≤ 2 * n
t : xn a1 (4 * n - (4 * n - j)) ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n] := ⋯
⊢ xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
have rwa : ∀ (t : xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]), xn a1 j ≡ xn a1 (4 * n - j) [MOD xn a1 n]
Tactic: rwa [tsub_tsub_cancel_of_le j4n] at t
Cleared hypotheses: t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
this : i = 4 * n - j
⊢ j + i = 4 * n
have rw : j + (4 * n - j) = 4 * n
Tactic: rw [this, add_tsub_cancel_of_le j4n]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
j4n : j ≤ 4 * n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
i2n : i ≤ 2 * n
j2n : 2 * n < j
this : i = 4 * n - j
rw : j + (4 * n - j) = 4 * n
⊢ j + i = 4 * n
have rw₁ : 4 * n = 4 * n
Tactic: rw [this, add_tsub_cancel_of_le j4n]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
⊢ j % (4 * n) = j' % (4 * n)
have rw : j % (4 * n) = j'
Tactic: rw [Nat.mod_eq_of_lt jl]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j_1 n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j_1 ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j_1 % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j_1 ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (j + 4 * n * (q + 1)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
have succ : xn a1 (4 * n + (j + 4 * n * q)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
Tactic: rw [Nat.mul_succ, ← add_assoc, add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j_1 n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j_1 ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j_1 % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j_1 ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
⊢ xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
have zero : xn a1 (j + 4 * n * 0) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
Tactic: induction q with
    | zero => simp [ModEq.refl]
    | succ q IH =>
      rw [Nat.mul_succ, ← add_assoc, add_comm]
      exact (xn_modEq_x4n_add _ _ _).trans IH
Cleared hypotheses: q
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j_1 n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j_1 ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j_1 % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j_1 ≡ j' [MOD 4 * n]
j q : ℕ
zero : xn a1 (j + 4 * n * 0) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
have succ : ∀ (q : ℕ) (IH : xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]), xn a1 (j + 4 * n * (q + 1)) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
Tactic: induction q with
    | zero => simp [ModEq.refl]
    | succ q IH =>
      rw [Nat.mul_succ, ← add_assoc, add_comm]
      exact (xn_modEq_x4n_add _ _ _).trans IH
Cleared hypotheses: q
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
ji : j' + i = 4 * n
⊢ j' + i ≡ 0 [MOD 4 * n]
have rw : 4 * n ≡ 0 [MOD 4 * n]
Tactic: rw [ji]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
i j n : ℕ
ipos : 0 < i
hin : i ≤ n
h : xn a1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
j' : ℕ := j % (4 * n)
n4 : 0 < 4 * n
jl : j' < 4 * n
jj : j ≡ j' [MOD 4 * n]
this : ∀ (j q : ℕ), xn a1 (j + 4 * n * q) ≡ xn a1 j [MOD xn a1 n]
⊢ xn a1 j ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
have rw : xn a1 (j % (4 * n) + 4 * n * (j / (4 * n))) ≡ xn a1 j' [MOD xn a1 n]
Tactic: rw [← Nat.mod_add_div j (4 * n)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ xn a1 (n + 2) + xn a1 n ≡ xn b1 (n + 2) + xn b1 n [MOD c]
have rw : 2 * a * xn a1 (n + 1) ≡ 2 * b * xn b1 (n + 1) [MOD c]
Tactic: rw [xn_succ_succ a1, xn_succ_succ b1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a b c : ℕ
a1 : 1 < a
b1 : 1 < b
h : a ≡ b [MOD c]
n : ℕ
⊢ yn a1 (n + 2) + yn a1 n ≡ yn b1 (n + 2) + yn b1 n [MOD c]
have rw : 2 * a * yn a1 (n + 1) ≡ 2 * b * yn b1 (n + 1) [MOD c]
Tactic: rw [yn_succ_succ a1, yn_succ_succ b1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
h : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
⊢ 1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
have rw : 1 < a ∧
  k ≤ yn a1 k ∧
    (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
      ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
        xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
Tactic: rw [← hx, ← hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
h : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
k0 : k = 0
⊢ k ≤ yn a1 k ∧
    (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
      ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
        xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
have rw : 0 ≤ yn a1 0 ∧
  (xn a1 0 = 1 ∧ yn a1 0 = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      xn a1 0 * xn a1 0 - (a * a - 1) * yn a1 0 * yn a1 0 = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 0] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 0 * yn a1 0 ∣ v ∧ s ≡ xn a1 0 [MOD u] ∧ t ≡ 0 [MOD 4 * yn a1 0])
Tactic: rw [k0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
h : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x
hy : yn a1 k = y
⊢ 1 < a ∧
    k ≤ yn a1 k ∧
      (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
have refine : ∀ (kpos : k > 0),
  k ≤ yn a1 k ∧
    (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨
      ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
        xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧
          u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
            s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
              1 < b ∧
                b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧
                  b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])
Tactic: refine ⟨a1,
        (Nat.eq_zero_or_pos k).elim (fun k0 => by rw [k0]; exact ⟨le_rfl, Or.inl ⟨rfl, rfl⟩⟩)
          fun kpos => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a k x_1 y_1 : ℕ
h : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x_1 ∧ yn a1 k = y_1
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x_1
hy : yn a1 k = y_1
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : u.Coprime (4 * y)
b : ℕ
ba : b % u = a % u
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this_1 : xn a1 1 < u
this : a < u
⊢ a ≤ b
have ba₁ : b % u = a
Tactic: rw [Nat.mod_eq_of_lt this] at ba
Cleared hypotheses: ba, bm1, m1, vp, this_1, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x_1 y_1 : ℕ
h : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x_1 ∧ yn a1 k = y_1
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x_1
hy : yn a1 k = y_1
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : u.Coprime (4 * y)
b : ℕ
ba : b % u = a
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
this_1 : xn a1 1 < u
this : a < u
⊢ a ≤ b
have rw : b % u ≤ b
Tactic: rw [← ba]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x_1 y_1 : ℕ
h : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x_1 ∧ yn a1 k = y_1
a1 : 1 < a
hx : xn a1 k = x_1
hy : yn a1 k = y_1
kpos : k > 0
x : ℕ := xn a1 k
y : ℕ := yn a1 k
m : ℕ := 2 * (k * y)
u : ℕ := xn a1 m
v : ℕ := yn a1 m
ky : k ≤ y
yv : y * y ∣ v
uco : u.Coprime (4 * y)
b : ℕ
ba : b ≡ a [MOD u]
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * y]
m1 : 1 < m
vp : 0 < v
b1 : 1 < b
s : ℕ := xn b1 k
t : ℕ := yn b1 k
sx : s ≡ x [MOD u]
⊢ Dvd.dvd (α := ℤ) (↑(4 * y) : ℤ) (↑(b - 1) : ℤ)
have rw : (↑(4 * y) : ℤ) ∣ HSub.hSub (α := ℤ) (↑b : ℤ) (↑1 : ℤ)
Tactic: rw [Int.ofNat_sub (le_of_lt b1)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a k x y : ℕ
h :
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
a1 : 1 < a
ky : k ≤ y
o :
  x = 1 ∧ y = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
x1 : x = 1
y0 : y = 0
⊢ xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
have ky₁ : k ≤ 0
Tactic: rw [y0] at ky
Cleared hypotheses: ky, o, x1, y0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
h :
  1 < a ∧
    k ≤ y ∧
      (x = 1 ∧ y = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])
a1 : 1 < a
ky : k ≤ 0
o :
  x = 1 ∧ y = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
x1 : x = 1
y0 : y = 0
⊢ xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y
have rw : xn a1 0 = 1 ∧ yn a1 0 = 0
Tactic: rw [Nat.eq_zero_of_le_zero ky, x1, y0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky_1 : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
h :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
i0 : i = 0
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
have ky₁ : k = 0
Tactic: simp only [i0, yn_zero, nonpos_iff_eq_zero] at ky
Cleared hypotheses: ky
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky_1 : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
h :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
i0 : i = 0
ky : k = 0
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
have rw : xn a1 0 = xn a1 0 ∧ yn a1 0 = yn a1 0
Tactic: rw [i0, ky]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky_1 : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
h :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
ipos : i > 0
this : i = k
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
have rw : xn a1 k = xn a1 k ∧ yn a1 k = yn a1 k
Tactic: rw [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky_1 : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
rem : b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
h :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
o :
  xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
    ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
      xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
        u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
          s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
            1 < b ∧
              b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
xy : xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1
uv : xn a1 n * xn a1 n - (a * a - 1) * yn a1 n * yn a1 n = 1
st : xn b1 j * xn b1 j - (b * b - 1) * yn b1 j * yn b1 j = 1
ipos : i > 0
⊢ xn a1 k = xn a1 i ∧ yn a1 k = yn a1 i
have suffices : i = k
Tactic: suffices i = k by rw [this]; exact ⟨rfl, rfl⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a k x y : ℕ
a1 : 1 < a
ky_1 : k ≤ y
u v s t b : ℕ
b1 : 1 < b
i n j : ℕ
bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]
ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]
vp : 0 < yn a1 n
yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n
sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]
tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]
ky : k ≤ yn a1 i
h :
  1 < a ∧
    k ≤ yn a1 i ∧
      (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨
        ∃ (u : ℕ) (v : ℕ) (s : ℕ) (t : ℕ) (b : ℕ),
          xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧
            u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧
              s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧
                1 < b ∧
                  b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧
                    b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])
ipos : i > 0
⊢ i = k
have iln : i ≤ n
Tactic: have iln : i ≤ n :=
              le_of_not_gt fun hin =>
                not_lt_of_ge (Nat.le_of_dvd vp (dvd_of_mul_left_dvd yv)) (strictMono_y a1 hin)