awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
pos :
  ∀ (h0 : w₁ i = 0),
    Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
        (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
      w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
⊢ Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
have neg : ∀ (h0 : ¬w₁ i = 0),
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
Tactic: by_cases h0 : w₁ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
h0 : ¬w₁ i = 0
⊢ Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
have pos : ∀ (h0' : w₂ i = 0),
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
Tactic: by_cases h0' : w₂ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
h0 : ¬w₁ i = 0
pos :
  ∀ (h0' : w₂ i = 0),
    Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
        (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
      w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
⊢ Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
have neg : ∀ (h0' : ¬w₂ i = 0),
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
Tactic: by_cases h0' : w₂ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have pos : ∀ (h0 : w₁ i = 0),
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
Tactic: by_cases h0 : w₁ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
pos :
  ∀ (h0 : w₁ i = 0),
    WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have neg : ∀ (h0 : ¬w₁ i = 0),
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
Tactic: by_cases h0 : w₁ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
h0 : ¬w₁ i = 0
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have pos : ∀ (h0' : w₂ i = 0),
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
Tactic: by_cases h0' : w₂ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
h0 : ¬w₁ i = 0
pos :
  ∀ (h0' : w₂ i = 0),
    WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have neg : ∀ (h0' : ¬w₂ i = 0),
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
Tactic: by_cases h0' : w₂ i = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType) ∨
    w₁ i = 0 ∨ w₂ i = 0
h0 : ¬w₁ i = 0
h0' : ¬w₂ i = 0
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have h₁ : Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
  (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
Tactic: simp only [h0, h0', or_self, or_false] at h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h0 : ¬w₁ i = 0
h0' : ¬w₂ i = 0
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have neg : ∀ (h' : w₁ i < 0),
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
Tactic: rcases Ne.lt_or_gt h0 with h' | h'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h0 : ¬w₁ i = 0
h0' : ¬w₂ i = 0
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
neg :
  ∀ (h' : w₁ i < 0),
    WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have neg₁ : ∀ (h' : 0 < w₁ i),
  WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
Tactic: rcases Ne.lt_or_gt h0 with h' | h'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h0 : ¬w₁ i = 0
h0' : ¬w₂ i = 0
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h' : w₁ i < 0
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have h₁ : 0 < w₂ i
Tactic: rw [sign_neg h', neg_inj, eq_comm, sign_eq_one_iff] at h
Cleared hypotheses: h, h'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w₁ w₂ : Fin (n + 1) → R
hw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₁ j) 1
hw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w₂ j) 1
i : Fin (n + 1)
h0 : ¬w₁ i = 0
h0' : ¬w₂ i = 0
h :
  Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₁ i) : SignType)
    (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (w₂ i) : SignType)
h' : 0 < w₁ i
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₁)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w₂)
have h₁ : w₂ i < 0
Tactic: rw [sign_pos h', eq_comm, neg_eq_iff_eq_neg, sign_eq_neg_one_iff] at h
Cleared hypotheses: h, h'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ SSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    0 < w i
have rw : Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w i) : SignType)
      ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) : SignType) ∧
    Ne.{u_1 + 1} (α := R) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) (0 : R) ↔
  0 < w i
Tactic: rw [← Finset.univ.affineCombination_piSingle R s.points (Finset.mem_univ i),
    s.sSameSide_affineSpan_faceOpposite_iff (Fintype.sum_pi_single' _ _) hw, eq_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ SSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) (s.points i) ↔
    0 < w i
have rw : SSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
  0 < w i
Tactic: rw [sSameSide_comm, s.sSameSide_affineSpan_faceOpposite_point_left_iff hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
rw :
  SSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    0 < w i
⊢ SSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) (s.points i) ↔
    0 < w i
have rw₁ : 0 < w i ↔ 0 < w i
Tactic: rw [sSameSide_comm, s.sSameSide_affineSpan_faceOpposite_point_left_iff hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    w i < 0
have rw : Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) : SignType) ∧
    Ne.{u_1 + 1} (α := R) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) (0 : R) ↔
  w i < 0
Tactic: rw [← Finset.univ.affineCombination_piSingle R s.points (Finset.mem_univ i),
    s.sOppSide_affineSpan_faceOpposite_iff (Fintype.sum_pi_single' _ _) hw, eq_comm,
    neg_eq_iff_eq_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) (s.points i) ↔
    w i < 0
have rw : SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
  w i < 0
Tactic: rw [sOppSide_comm, s.sOppSide_affineSpan_faceOpposite_point_left_iff hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
rw :
  SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    w i < 0
⊢ SOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) (s.points i) ↔
    w i < 0
have rw₁ : w i < 0 ↔ w i < 0
Tactic: rw [sOppSide_comm, s.sOppSide_affineSpan_faceOpposite_point_left_iff hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    0 ≤ w i
have rw : Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w i) : SignType)
      ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) : SignType) ∨
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) (0 : R) ∨ w i = 0 ↔
  0 ≤ w i
Tactic: rw [← Finset.univ.affineCombination_piSingle R s.points (Finset.mem_univ i),
    s.wSameSide_affineSpan_faceOpposite_iff (Fintype.sum_pi_single' _ _) hw, eq_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) (s.points i) ↔
    0 ≤ w i
have rw : WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
    ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
  0 ≤ w i
Tactic: rw [wSameSide_comm, s.wSameSide_affineSpan_faceOpposite_point_left_iff hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
rw :
  WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    0 ≤ w i
⊢ WSameSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points))
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) (s.points i) ↔
    0 ≤ w i
have rw₁ : 0 ≤ w i ↔ 0 ≤ w i
Tactic: rw [wSameSide_comm, s.wSameSide_affineSpan_faceOpposite_point_left_iff hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Side (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst : Field R
inst_1 : LinearOrder R
inst_2 : IsStrictOrderedRing R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : AffineSpace V P
n : ℕ
inst_6 : NeZero n
s : Simplex R P n
w : Fin (n + 1) → R
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ j : Fin (n + 1), w j) 1
i : Fin (n + 1)
⊢ WOppSide (affineSpan R (Set.range (s.faceOpposite i).points)) (s.points i)
      ((Finset.affineCombination R Finset.univ s.points : (a : Fin (n + 1) → R) → P) w) ↔
    w i ≤ 0
have rw : Eq (α := SignType) ((SignType.sign : (a : R) → SignType) (w i) : SignType)
      (-(SignType.sign : (a : R) → SignType) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) : SignType) ∨
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) (Pi.single (M := fun (a : Fin (n + 1)) ↦ R) i 1 i : R) (0 : R) ∨ w i = 0 ↔
  w i ≤ 0
Tactic: rw [← Finset.univ.affineCombination_piSingle R s.points (Finset.mem_univ i),
    s.wOppSide_affineSpan_faceOpposite_iff (Fintype.sum_pi_single' _ _) hw, eq_comm,
    neg_eq_iff_eq_neg]