awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxU : x ∈ U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
⊢ IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X := X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) (Y := X.presheaf.stalk x)
            (X.presheaf.germ (X.basicOpen f) x ⋯) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
have h : Eq (α := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (X := X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) (Y := X.presheaf.stalk x)
          (X.presheaf.germ (X.basicOpen f) x sorry) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (homOfLE sorry).op) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj (op (X.basicOpen f))) : Type u_1)) :
    (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hxU) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      f :
    (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
Tactic: convert! hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
⊢ X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f) =
    unop V ⊓ X.basicOpen f
have h : ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)),
  x ∈
      (↑(X.basicOpen (U := unop V)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
              f)) :
        Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
⊢ x ∈
      (↑(X.basicOpen (U := unop V)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
              f)) :
        Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
have h : x ∈
    (↑(X.basicOpen (U := unop V)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
            f)) :
      Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) →
  x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
h :
  x ∈
      (↑(X.basicOpen (U := unop V)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
              f)) :
        Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) →
    x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
⊢ x ∈
      (↑(X.basicOpen (U := unop V)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
                (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
              f)) :
        Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
have h₁ : x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) →
  x ∈
    (↑(X.basicOpen (U := unop V)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
            f)) :
      Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxV : x ∈ unop V
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (unop V) x hxV) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (unop V))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1)) :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
⊢ x ∈ (↑(unop V ⊓ X.basicOpen f) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
have hx₁ : IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (unop U) x sorry) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (unop U))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      f :
    (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
Tactic: rw [germ_res_apply' X.presheaf] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hxV : x ∈ (↑(unop V) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
w : x ∈ unop U
hx :
  IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (unop U) x w) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj (op (unop U))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
        f :
      (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
⊢ x ∈
    (↑(X.basicOpen (U := unop V)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
            f)) :
      Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
have h : IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ (unop V) x hxV) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op (unop V))) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1)) :
    (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
Tactic: refine ⟨hxV, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst : IsIso i
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
⊢ X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f) =
    X.basicOpen f
have a : X.basicOpen (U := unop V)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
      f) ≤
  X.basicOpen f
Tactic: apply le_antisymm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst : IsIso i
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
a :
  X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f) ≤
    X.basicOpen f
⊢ X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f) =
    X.basicOpen f
have a₁ : X.basicOpen f ≤
  X.basicOpen (U := unop V)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
      f)
Tactic: apply le_antisymm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst : IsIso i
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
⊢ X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f) ≤
    X.basicOpen f
have a : unop V ⊓ X.basicOpen f ≤ X.basicOpen f
Tactic: rw [X.basicOpen_res i f]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst : IsIso i
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
⊢ X.basicOpen f ≤
    X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f)
have this : X.basicOpen (U := unop U)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (inv i)) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
          f :
        (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))) =
  unop U ⊓
    X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f)
Tactic: have := X.basicOpen_res (inv i) (X.presheaf.map i f)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (hypothesis)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst : IsIso i
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
this :
  X.basicOpen (U := unop U)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map (inv i)) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
              (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
            f :
          (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))) =
    unop U ⊓
      X.basicOpen (U := unop V)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
          f)
⊢ X.basicOpen f ≤
    X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f)
have this₁ : X.basicOpen f =
  unop U ⊓
    X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f)
Tactic: rw [← CommRingCat.comp_apply, ← X.presheaf.map_comp, IsIso.hom_inv_id, X.presheaf.map_id,
        CommRingCat.id_apply] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U V : (Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᵒᵖ
i : U ⟶ V
inst : IsIso i
f : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)
this :
  X.basicOpen f =
    unop U ⊓
      X.basicOpen (U := unop V)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
            (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
          f)
⊢ X.basicOpen f ≤
    X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f)
have a : unop U ⊓
    X.basicOpen (U := unop V)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
          (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
        f) ≤
  X.basicOpen (U := unop V)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (X.presheaf.map i) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj U) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.obj V) : Type u_1))
      f)
Tactic: rw [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f g : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
⊢ X.basicOpen (f * g) = X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g
have h : ∀ (x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)),
  x ∈ (↑(X.basicOpen (f * g)) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f g : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
⊢ x ∈ (↑(X.basicOpen (f * g)) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
have pos : ∀ (hx : x ∈ U),
  x ∈ (↑(X.basicOpen (f * g)) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: by_cases hx : x ∈ U
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f g : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
pos :
  ∀ (hx : x ∈ U),
    x ∈ (↑(X.basicOpen (f * g)) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
      x ∈ (↑(X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
⊢ x ∈ (↑(X.basicOpen (f * g)) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
have neg : ∀ (hx : x ∉ U),
  x ∈ (↑(X.basicOpen (f * g)) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)) ↔
    x ∈ (↑(X.basicOpen f ⊓ X.basicOpen g) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: by_cases hx : x ∈ U
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ X.basicOpen (f ^ n) = X.basicOpen f
have obtain : ∀ (k : ℕ) (h : 0 < k + Nat.succ 0), X.basicOpen (f ^ (k + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
Tactic: obtain ⟨k, rfl⟩ := Nat.exists_eq_add_of_le' h
Cleared hypotheses: n, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
n : ℕ
hn : ∀ (h : 0 < n + Nat.succ 0), X.basicOpen (f ^ (n + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
h : 0 < n + 1 + Nat.succ 0
⊢ X.basicOpen (f ^ (n + 1 + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
have succ : X.basicOpen (f ^ (n + 1) * f ^ Nat.succ 0) = X.basicOpen f
Tactic: rw [pow_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
k : ℕ
h : 0 < k + Nat.succ 0
⊢ X.basicOpen (f ^ (k + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
have zero : ∀ (h : 0 < 0 + Nat.succ 0), X.basicOpen (f ^ (0 + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
Tactic: induction k with
  | zero => simp
  | succ n hn => rw [pow_add]; simp_all
Cleared hypotheses: k, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
k : ℕ
h : 0 < k + Nat.succ 0
zero : ∀ (h : 0 < 0 + Nat.succ 0), X.basicOpen (f ^ (0 + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
⊢ X.basicOpen (f ^ (k + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
have succ : ∀ (n : ℕ) (hn : ∀ (h : 0 < n + Nat.succ 0), X.basicOpen (f ^ (n + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f)
  (h : 0 < n + 1 + Nat.succ 0), X.basicOpen (f ^ (n + 1 + Nat.succ 0)) = X.basicOpen f
Tactic: induction k with
  | zero => simp
  | succ n hn => rw [pow_add]; simp_all
Cleared hypotheses: k, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
hf : IsUnit f
⊢ X.basicOpen f = U
have a : X.basicOpen f ≤ U
Tactic: apply le_antisymm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
hf : IsUnit f
a : X.basicOpen f ≤ U
⊢ X.basicOpen f = U
have a₁ : U ≤ X.basicOpen f
Tactic: apply le_antisymm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
f : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
hf : IsUnit f
x : (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
hx : x ∈ U
⊢ x ∈ X.basicOpen f
have a : IsUnit (M := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u_1}) ↦ (↑R : Type u_1) →+* (↑S : Type u_1)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) (Y := X.presheaf.stalk x) (X.presheaf.germ U x hx) :
        (a : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)) → (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
      f :
    (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u_1))
Tactic: rw [X.mem_basicOpen f x hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
s : Set (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
⊢ IsClosed (X.zeroLocus s)
have h : ∀ i ∈ s, IsClosed (↑(X.basicOpen i) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᶜ
Tactic: apply isClosed_biInter
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Basic (goal)
Goal:
X : RingedSpace
U : Opens (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1)
s : Set (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
i : (↑(X.presheaf.obj (op U)) : Type u_1)
h : i ∈ s
⊢ IsClosed (↑(X.basicOpen i) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))ᶜ
have h : IsOpen (↑(X.basicOpen i) : Set (↑(↑X.toPresheafedSpace : TopCat) : Type u_1))
Tactic: simp only [isClosed_compl_iff]