awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i : ℕ
hi :
  ∀ {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + i = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + i),
    δ₀Iter i ⋯ ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter i hi'
n : ℕ
j' : Fin (n + 1)
m : ℕ
hi' : n + (i + 1) = m + 1
j : Fin (m + 1)
hj' : (↑j.succ : ℕ) = (↑j' : ℕ) + (i + 1)
succ : δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0 ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
⊢ δ₀Iter (i + 1) ⋯ ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
have succ₁ : δ₀Iter i sorry ≫ δ 0 ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter i sorry ≫ δ 0
Tactic: rw [δ₀Iter_succ_assoc .., δ₀Iter_succ ..,
        dsimp% δ_comp_σ_of_le (i := 0) (j := j) (by simp),
        reassoc_of% hi j j' (by lia) (by grind)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i : ℕ
hi :
  ∀ {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + i = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + i),
    δ₀Iter i ⋯ ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter i hi'
n : ℕ
j' : Fin (n + 1)
m : ℕ
hi' : n + (i + 1) = m + 1
j : Fin (m + 1)
hj' : (↑j.succ : ℕ) = (↑j' : ℕ) + (i + 1)
succ : δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0 ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
succ₁ : δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0 ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0
⊢ δ₀Iter (i + 1) ⋯ ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
have succ₂ : δ₀Iter i sorry ≫ σ j ≫ δ 0 = σ j' ≫ δ₀Iter i sorry ≫ δ 0
Tactic: rw [δ₀Iter_succ_assoc .., δ₀Iter_succ ..,
        dsimp% δ_comp_σ_of_le (i := 0) (j := j) (by simp),
        reassoc_of% hi j j' (by lia) (by grind)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i : ℕ
hi :
  ∀ {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + i = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + i),
    δ₀Iter i ⋯ ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter i hi'
n : ℕ
j' : Fin (n + 1)
m : ℕ
hi' : n + (i + 1) = m + 1
j : Fin (m + 1)
hj' : (↑j.succ : ℕ) = (↑j' : ℕ) + (i + 1)
succ : δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0 ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
succ₁ : δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0 ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0
succ₂ : δ₀Iter i ⋯ ≫ σ j ≫ δ 0 = σ j' ≫ δ₀Iter i ⋯ ≫ δ 0
⊢ δ₀Iter (i + 1) ⋯ ≫ σ j.succ = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
have succ₃ : σ j' ≫ δ₀Iter i sorry ≫ δ 0 = σ j' ≫ δ₀Iter i sorry ≫ δ 0
Tactic: rw [δ₀Iter_succ_assoc .., δ₀Iter_succ ..,
        dsimp% δ_comp_σ_of_le (i := 0) (j := j) (by simp),
        reassoc_of% hi j j' (by lia) (by grind)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
j' : Fin (n + 1)
hi' : n + i = m
hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + i
⊢ δ₀Iter i ⋯ ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter i hi'
have zero : ∀ {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + 0 = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + 0),
  δ₀Iter 0 sorry ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter 0 hi'
Tactic: induction i generalizing n m with
  | zero =>
    obtain rfl : n = m := by lia
    obtain rfl : j = j' := by lia
    simp
  | succ i hi =>
    obtain _ | m := m
    · grind
    · obtain ⟨j, rfl⟩ := j.eq_succ_of_ne_zero
        (by rintro rfl; dsimp at hj'; lia)
      rw [δ₀Iter_succ_assoc .., δ₀Iter_succ ..,
        dsimp% δ_comp_σ_of_le (i := 0) (j := j) (by simp),
        reassoc_of% hi j j' (by lia) (by grind)]
Cleared hypotheses: i, n, m, j, j', hi', hj'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
j' : Fin (n + 1)
hi' : n + i = m
hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + i
zero :
  ∀ {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + 0 = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + 0),
    δ₀Iter 0 ⋯ ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter 0 hi'
⊢ δ₀Iter i ⋯ ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter i hi'
have succ : ∀ (i : ℕ)
  (hi :
    ∀ {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + i = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + i),
      δ₀Iter i sorry ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter i hi')
  {n m : ℕ} (j : Fin (m + 1)) (j' : Fin (n + 1)) (hi' : n + (i + 1) = m) (hj' : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + (i + 1)),
  δ₀Iter (i + 1) sorry ≫ σ j = σ j' ≫ δ₀Iter (i + 1) hi'
Tactic: induction i generalizing n m with
  | zero =>
    obtain rfl : n = m := by lia
    obtain rfl : j = j' := by lia
    simp
  | succ i hi =>
    obtain _ | m := m
    · grind
    · obtain ⟨j, rfl⟩ := j.eq_succ_of_ne_zero
        (by rintro rfl; dsimp at hj'; lia)
      rw [δ₀Iter_succ_assoc .., δ₀Iter_succ ..,
        dsimp% δ_comp_σ_of_le (i := 0) (j := j) (by simp),
        reassoc_of% hi j j' (by lia) (by grind)]
Cleared hypotheses: i, n, m, j, j', hi', hj'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : i ≤ (↑j : ℕ)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    (↑j : ℕ) - i
have dsimp : (↑(if (↑j : ℕ) < i then 0 else (⟨(↑j : ℕ) - i, sorry⟩ : Fin (n + 1))) : ℕ) = (↑j : ℕ) - i
Tactic: dsimp [σ₀Iter, Hom.mk, ConcreteCategory.hom, Hom.toOrderHom]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : i ≤ (↑j : ℕ)
⊢ (↑(if (↑j : ℕ) < i then 0 else (⟨(↑j : ℕ) - i, ⋯⟩ : Fin (n + 1))) : ℕ) = (↑j : ℕ) - i
have rw : (↑(⟨(↑j : ℕ) - i, sorry⟩ : Fin (n + 1)) : ℕ) = (↑j : ℕ) - i
Tactic: rw [if_neg (by lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    0
have inl : ∀ (hi : n + (↑j : ℕ) = m) (hj : (↑j : ℕ) ≤ (↑j : ℕ)),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (↑j : ℕ) hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    0
Tactic: obtain rfl | hj := hj.eq_or_lt
Cleared hypotheses: i, hi, hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
inl :
  ∀ (hi : n + (↑j : ℕ) = m) (hj : (↑j : ℕ) ≤ (↑j : ℕ)),
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (↑j : ℕ) hi) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
            j) :
        ℕ) =
      0
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    0
have inr : ∀ (hj : (↑j : ℕ) < i),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    0
Tactic: obtain rfl | hj := hj.eq_or_lt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + (↑j : ℕ) = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ (↑j : ℕ)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (↑j : ℕ) hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    0
have inl : (↑j : ℕ) - (↑j : ℕ) = 0
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_ge .., tsub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + (↑j : ℕ) = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ (↑j : ℕ)
inl : (↑j : ℕ) - (↑j : ℕ) = 0
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (↑j : ℕ) hi) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          j) :
      ℕ) =
    0
have inl₁ : Eq (α := ℕ) 0 0
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_ge .., tsub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
⊢ σ₀Iter 0 ⋯ = 𝟙 ⦋n⦌
have a : ∀ (x : Fin (⦋n⦌.len + 1)),
  (↑((Hom.toOrderHom (σ₀Iter 0 sorry) : (a : Fin (⦋n⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1)) x) : ℕ) =
    (↑((Hom.toOrderHom (𝟙 ⦋n⦌) : (a : Fin (⦋n⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1)) x) : ℕ)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
⊢ Eq (α := ⦋n + 1⦌ ⟶ ⦋n⦌) (σ₀Iter 1 ⋯) (σ 0)
have refine : ∀ (k : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)),
  Eq (α := Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 sorry) :
          (a : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
          (a : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
Tactic: refine ConcreteCategory.hom_ext _ _ (fun k ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
k : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)
⊢ Eq (α := Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 ⋯) :
          (a : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
          (a : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
have h : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 sorry) :
          (a : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ) =
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
          (a : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
k : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k) :
      ℕ)
have h : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 sorry) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
        0) :
    ℕ) =
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
        0) :
    ℕ)
Tactic: obtain rfl | ⟨k, rfl⟩ := k.eq_zero_or_eq_succ
Cleared hypotheses: k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
k : Fin (⦋n + 1⦌.len + 1)
h :
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          0) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          0) :
      ℕ)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k) :
      ℕ)
have h₁ : ∀ (k : Fin ⦋n + 1⦌.len),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 sorry) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k.succ) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k.succ) :
      ℕ)
Tactic: obtain rfl | ⟨k, rfl⟩ := k.eq_zero_or_eq_succ
Cleared hypotheses: k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
k : Fin ⦋n + 1⦌.len
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ₀Iter 1 ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k.succ) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          k.succ) :
      ℕ)
have h : (↑k.succ : ℕ) - 1 = (↑(Fin.predAbove 0 k.succ) : ℕ)
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_ge .., coe_σ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
h : n + (i + 1) = m
⊢ σ₀Iter (i + 1) h = σ₀Iter i ⋯ ≫ σ 0
have refine : ∀ (k : Fin (⦋m⦌.len + 1)),
  Eq (α := Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry ≫ σ 0) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
Tactic: refine ConcreteCategory.hom_ext _ _ (fun k ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
h : n + (i + 1) = m
k : Fin (⦋m⦌.len + 1)
⊢ Eq (α := Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯ ≫ σ 0) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
have h₁ : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ) =
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry ≫ σ 0) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
h : n + (i + 1) = m
k : Fin (⦋m⦌.len + 1)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯ ≫ σ 0) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
have h₁ : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
          (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ) =
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
          k)) :
    ℕ)
Tactic: rw [dsimp% ConcreteCategory.comp_apply (σ₀Iter i) (σ 0)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
h : n + (i + 1) = m
k : Fin (⦋m⦌.len + 1)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
            k)) :
      ℕ)
have pos : ∀ (hk : (↑k : ℕ) ≤ i),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
            k)) :
      ℕ)
Tactic: by_cases! hk : k.val ≤ i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
h : n + (i + 1) = m
k : Fin (⦋m⦌.len + 1)
pos :
  ∀ (hk : (↑k : ℕ) ≤ i),
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
              (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
            k) :
        ℕ) =
      (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
              (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                  fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
                (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
              k)) :
        ℕ)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
            k)) :
      ℕ)
have neg : ∀ (hk : i < (↑k : ℕ)),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
            k)) :
      ℕ)
Tactic: by_cases! hk : k.val ≤ i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
h : n + (i + 1) = m
k : Fin (⦋m⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) ≤ i
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) h) :
            (a : Fin (⦋m⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (X := ⦋n + 1⦌) (σ 0) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (n + 1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
            k)) :
      ℕ)
have pos : 0 =
  (↑(Fin.predAbove 0
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
          k)) :
    ℕ)
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_lt .., coe_σ]