awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 = 0
rw₁ : HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 3 = 0
rw₂ : HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 3 = 0
⊢ W'.addZ P Q * (P z * Q z) = 0
have rw₃ : Eq.{r + 1} (α := R) 0 0
Tactic: rw [addZ_eq' hP hQ, hx, sub_self, zero_pow three_ne_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
⊢ P x / P z ≠ Q x / Q z
have rwa : ¬P x / P z = Q x / Q z
Tactic: rwa [ne_eq, ← X_eq_iff hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
rwa : ¬P x / P z = Q x / Q z
⊢ P x / P z ≠ Q x / Q z
have a : F
Tactic: rwa [ne_eq, ← X_eq_iff hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
rwa : ¬P x / P z = Q x / Q z
a b : F
rwa₁ : Type u
⊢ P x / P z ≠ Q x / Q z
have rwa₂ : ¬P x * Q z = Q x * P z
Tactic: rwa [ne_eq, ← X_eq_iff hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 =
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
              W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
            W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
        Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
      (P x * Q z - Q x * P z)
have a : W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 +
      ((2 * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) * 0 +
        (Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) * 0) -
    ((HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) +
      ((2 * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P z +
                W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)) +
        (Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * Q z + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * Q z +
                W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)))) =
  0
Tactic: linear_combination (norm := (rw [addX]; ring1))
    (2 * Q x * P z * Q z ^ 3 - P x * Q z ^ 4) * (equation_iff _).mp hP
      + (Q x * P z ^ 4 - 2 * P x * P z ^ 3 * Q z) * (equation_iff _).mp hQ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ W.addX P Q =
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
have rw : W.addX P Q = W.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
Tactic: rw [← addX_eq' hP hQ, mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
rw : W.addX P Q = W.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
⊢ W.addX P Q =
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
have rw₁ : W.addX P Q = W.addX P Q
Tactic: rw [← addX_eq' hP hQ, mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.addX (u • P) (v • Q) = HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * W'.addX P Q
have simp : -(u * P x) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q y) 2 * (u * P z) + v * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P y) 2 * (v * Q z) -
                              2 * (u * P x) * (u * P y) * (v * Q y) * (v * Q z) +
                            2 * (v * Q x) * (u * P y) * (v * Q y) * (u * P z) -
                          W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P x) 2 * (v * Q y) * (v * Q z) +
                        W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q x) 2 * (u * P y) * (u * P z) +
                      W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P x) 2 * (v * Q x) * (v * Q z) -
                    W'.a₂ * (u * P x) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q x) 2 * (u * P z) -
                  W'.a₃ * (u * P x) * (u * P y) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 +
                W'.a₃ * (v * Q x) * (v * Q y) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 -
              2 * W'.a₃ * (u * P x) * (v * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) +
            2 * W'.a₃ * (v * Q x) * (u * P y) * (u * P z) * (v * Q z) +
          W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
        W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 +
      3 * W'.a₆ * (u * P x) * (u * P z) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
    3 * W'.a₆ * (v * Q x) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 * (v * Q z) =
  HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 *
    (-P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z + Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z - 2 * P x * P y * Q y * Q z +
                              2 * Q x * P y * Q y * P z -
                            W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q y * Q z +
                          W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y * P z +
                        W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * Q z -
                      W'.a₂ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P z -
                    W'.a₃ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  W'.a₃ * Q x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
                2 * W'.a₃ * P x * Q y * P z * Q z +
              2 * W'.a₃ * Q x * P y * P z * Q z +
            W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
          W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
        3 * W'.a₆ * P x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
      3 * W'.a₆ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z)
Tactic: simp only [addX, smul_fin3_ext]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.addX P P = 0
have rw : -P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z + P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z - 2 * P x * P y * P y * P z +
                            2 * P x * P y * P y * P z -
                          W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P y * P z +
                        W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P y * P z +
                      W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P x * P z -
                    W'.a₂ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P z -
                  W'.a₃ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₃ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
              2 * W'.a₃ * P x * P y * P z * P z +
            2 * W'.a₃ * P x * P y * P z * P z +
          W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
        W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
      3 * W'.a₆ * P x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
    3 * W'.a₆ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * P z =
  0
Tactic: rw [addX]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.addX P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * Q x
have rw : -0 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * 0 + Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z -
                              HMul.hMul (α := R) 2 0 * P y * Q y * Q z +
                            2 * Q x * P y * Q y * 0 -
                          W'.a₁ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * Q y * Q z +
                        W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y * 0 +
                      W'.a₂ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * Q x * Q z -
                    W'.a₂ * 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * 0 -
                  W'.a₃ * 0 * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                W'.a₃ * Q x * Q y * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 -
              2 * W'.a₃ * 0 * Q y * 0 * Q z +
            2 * W'.a₃ * Q x * P y * 0 * Q z +
          W'.a₄ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
        W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 +
      3 * W'.a₆ * 0 * 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
    3 * W'.a₆ * Q x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * Q z =
  HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * Q x
Tactic: rw [addX, hPz, X_eq_zero_of_Z_eq_zero hP hPz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.addX P Q = -(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * P x
have rw : -P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z + 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * 0 - 2 * P x * P y * Q y * 0 +
                            HMul.hMul (α := R) 2 0 * P y * Q y * P z -
                          W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q y * 0 +
                        W'.a₁ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * P y * P z +
                      W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * 0 * 0 -
                    W'.a₂ * P x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * P z -
                  W'.a₃ * P x * P y * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 +
                W'.a₃ * 0 * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
              2 * W'.a₃ * P x * Q y * P z * 0 +
            2 * W'.a₃ * 0 * P y * P z * 0 +
          W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 -
        W'.a₄ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
      3 * W'.a₆ * P x * P z * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 -
    3 * W'.a₆ * 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * 0 =
  -(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * P x
Tactic: rw [addX, hQz, X_eq_zero_of_Z_eq_zero hQ hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
⊢ W'.addX P Q = 0
have apply : W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 = 0
Tactic: apply eq_zero_of_ne_zero_of_mul_right_eq_zero <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
⊢ W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 = 0
have rw : (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
            W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (Q x * P z - Q x * P z) -
          W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2 -
        Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2 -
      Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2) *
    (Q x * P z - Q x * P z) =
  0
Tactic: rw [addX_eq' hP hQ, hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
⊢ W.addX P Q / W.addZ P Q =
    W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
have rw : (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    W.addZ P Q =
  W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
Tactic: rw [addX_eq hP hQ hPz hQz, addZ_eq hP hQ hPz hQz, toAffine_slope_of_ne hPz hQz hx,
    toAffine_addX_of_ne hPz hQz <| sub_ne_zero.mpr hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
rw :
  (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                  W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
          (P x * Q z - Q x * P z) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      W.addZ P Q =
    W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
⊢ W.addX P Q / W.addZ P Q =
    W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
have rw₁ : (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 / (P z * Q z)) =
  W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
Tactic: rw [addX_eq hP hQ hPz hQz, addZ_eq hP hQ hPz hQz, toAffine_slope_of_ne hPz hQz hx,
    toAffine_addX_of_ne hPz hQz <| sub_ne_zero.mpr hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
rw :
  (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                  W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
          (P x * Q z - Q x * P z) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      W.addZ P Q =
    W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
rw₁ :
  (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                  W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
          (P x * Q z - Q x * P z) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      (HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 / (P z * Q z)) =
    W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
⊢ W.addX P Q / W.addZ P Q =
    W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
have rw₂ : (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 / (P z * Q z)) =
  W.toAffine.addX (P x / P z) (Q x / Q z) ((P y * Q z - Q y * P z) / (P x * Q z - Q x * P z))
Tactic: rw [addX_eq hP hQ hPz hQz, addZ_eq hP hQ hPz hQz, toAffine_slope_of_ne hPz hQz hx,
    toAffine_addX_of_ne hPz hQz <| sub_ne_zero.mpr hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ W'.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 =
    (P y * Q z - Q y * P z) *
        (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                  W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
      P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3
have a : W'.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 +
      ((2 * Q y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) * 0 +
        (Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) * 0) -
    ((P y * Q z - Q y * P z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                    W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                  W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 +
      ((2 * Q y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P z +
                W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)) +
        (Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * Q z + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * Q z +
                W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)))) =
  0
Tactic: linear_combination (norm := (rw [negAddY]; ring1))
    (2 * Q y * P z * Q z ^ 3 - P y * Q z ^ 4) * (equation_iff _).mp hP
      + (Q y * P z ^ 4 - 2 * P y * P z ^ 3 * Q z) * (equation_iff _).mp hQ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
⊢ W.negAddY P Q =
    ((P y * Q z - Q y * P z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                    W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                  W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
have rw : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
Tactic: rw [← negAddY_eq' hP hQ, mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
rw : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
⊢ W.negAddY P Q =
    ((P y * Q z - Q y * P z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                    W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                  W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
have rw₁ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q
Tactic: rw [← negAddY_eq' hP hQ, mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]