-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
i : ι
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
calc_2 :
  HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2 (shortRoot P) + longRoot P) :
        R) =
    2 *
        HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
calc_2₁ :
  2 *
      HAdd.hAdd (α := R) (β := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
            (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2 (shortRoot P)) :
          R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R) =
    2 *
        HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
calc_2₂ :
  HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
            (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) 2 (shortRoot P)) :
          R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R) =
    2 *
        HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
calc_2₃ :
  2 *
        HSMul.hSMul (α := R) (β := R) 2
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R) =
    2 *
        HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
⊢ HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (twoShortAddLongRoot P) :
        R) =
    2 *
        HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
have calc_2₄ : 2 *
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
    HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R) =
  2 *
      HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (shortRoot P) : R) +
    HMul.hMul (α := R) (β := R) (2 : R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (longRoot P) : R)
Tactic: rw [twoShortAddLongRoot_eq, map_add, mul_add, map_smul, smul_eq_mul]