awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
⊢ False
have refine_1 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)), 3 ∣ a
Tactic: refine H a b c 1 (by simp [hc]) (fun hdvd ↦ ha ?_) (fun hdvd ↦ hb ?_) ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
refine_1 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)), 3 ∣ a
⊢ False
have refine_2 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑b : 𝓞 K)), 3 ∣ b
Tactic: refine H a b c 1 (by simp [hc]) (fun hdvd ↦ ha ?_) (fun hdvd ↦ hb ?_) ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
refine_1 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)), 3 ∣ a
refine_2 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑b : 𝓞 K)), 3 ∣ b
⊢ False
have refine_3 : λ ∣ (↑c : 𝓞 K)
Tactic: refine H a b c 1 (by simp [hc]) (fun hdvd ↦ ha ?_) (fun hdvd ↦ hb ?_) ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
refine_1 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)), 3 ∣ a
refine_2 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑b : 𝓞 K)), 3 ∣ b
refine_3 : λ ∣ (↑c : 𝓞 K)
⊢ False
have refine_4 : IsCoprime.{u_1} (R := 𝓞 K) (↑a : 𝓞 K) (↑b : 𝓞 K)
Tactic: refine H a b c 1 (by simp [hc]) (fun hdvd ↦ ha ?_) (fun hdvd ↦ hb ?_) ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
refine_1 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)), 3 ∣ a
refine_2 : ∀ (hdvd : λ ∣ (↑b : 𝓞 K)), 3 ∣ b
refine_3 : λ ∣ (↑c : 𝓞 K)
refine_4 : IsCoprime.{u_1} (R := 𝓞 K) (↑a : 𝓞 K) (↑b : 𝓞 K)
⊢ False
have refine_5 : HPow.hPow (α := 𝓞 K) (β := ℕ) (↑a : 𝓞 K) 3 + HPow.hPow (α := 𝓞 K) (β := ℕ) (↑b : 𝓞 K) 3 =
  (↑1 : 𝓞 K) * HPow.hPow (α := 𝓞 K) (β := ℕ) (↑c : 𝓞 K) 3
Tactic: refine H a b c 1 (by simp [hc]) (fun hdvd ↦ ha ?_) (fun hdvd ↦ hb ?_) ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)
⊢ 3 ∣ a
have refine_1 : ∀ (hdvd : (Algebra.norm ℤ : (a : 𝓞 K) → ℤ) λ ∣ a), 3 ∣ a
Tactic: rwa [← Ideal.norm_dvd_iff (hζ.prime_norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)),
      hζ.norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)] at hdvd
Cleared hypotheses: hdvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
hdvd : λ ∣ (↑a : 𝓞 K)
refine_1 : ∀ (hdvd : (Algebra.norm ℤ : (a : 𝓞 K) → ℤ) λ ∣ a), 3 ∣ a
⊢ 3 ∣ a
have refine_1₁ : ∀ (hdvd : (↑3 : ℤ) ∣ a), 3 ∣ a
Tactic: rwa [← Ideal.norm_dvd_iff (hζ.prime_norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)),
      hζ.norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)] at hdvd
Cleared hypotheses: hdvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
hdvd : λ ∣ (↑b : 𝓞 K)
⊢ 3 ∣ b
have refine_2 : ∀ (hdvd : (Algebra.norm ℤ : (a : 𝓞 K) → ℤ) λ ∣ b), 3 ∣ b
Tactic: rwa [← Ideal.norm_dvd_iff (hζ.prime_norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)),
      hζ.norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)] at hdvd
Cleared hypotheses: hdvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
H : FermatLastTheoremForThreeGen hζ
a b c : ℤ
hc : c ≠ 0
ha : ¬3 ∣ a
hb : ¬3 ∣ b
h_1 : 3 ∣ c
hcoprime : IsCoprime a b
h : HPow.hPow (β := ℕ) a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) b 3 = HPow.hPow (β := ℕ) c 3
x : ℤ
hx : c = 3 * x
hdvd : λ ∣ (↑b : 𝓞 K)
refine_2 : ∀ (hdvd : (Algebra.norm ℤ : (a : 𝓞 K) → ℤ) λ ∣ b), 3 ∣ b
⊢ 3 ∣ b
have refine_2₁ : ∀ (hdvd : (↑3 : ℤ) ∣ b), 3 ∣ b
Tactic: rwa [← Ideal.norm_dvd_iff (hζ.prime_norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)),
      hζ.norm_toInteger_sub_one_of_prime_ne_two' (by decide)] at hdvd
Cleared hypotheses: hdvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
T : Set ℕ := {n : ℕ | ∃ (S' : Solution hζ), S'.multiplicity = n}
⊢ ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.isMinimal
have rcases : ∀ (S₁ : Solution hζ) (hS₁ : S₁.multiplicity = Nat.find (p := Membership.mem T) sorry), ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.isMinimal
Tactic: rcases Nat.find_spec (⟨S.multiplicity, ⟨S, rfl⟩⟩ : T.Nonempty) with ⟨S₁, hS₁⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S : Solution hζ
let let₁ let₂ : ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.isMinimal
⊢ ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.isMinimal
have let₃ : let T : Set ℕ := {n : ℕ | ∃ (S' : Solution hζ), S'.multiplicity = n};
∀ (S₁ : Solution hζ) (hS₁ : S₁.multiplicity = Nat.find (p := Membership.mem T) sorry), ∃ (S₁ : Solution hζ), S₁.isMinimal
Tactic: classical
  let T := {n | ∃ (S' : Solution hζ), S'.multiplicity = n}
  rcases Nat.find_spec (⟨S.multiplicity, ⟨S, rfl⟩⟩ : T.Nonempty) with ⟨S₁, hS₁⟩
  exact ⟨S₁, fun S'' ↦ hS₁ ▸ Nat.find_min' _ ⟨S'', rfl⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have obtain : ∀ (z : 𝓞 K) (hz : S'.c = λ * z),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: obtain ⟨z, hz⟩ := S'.hcdvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inl : ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.ha with
    ⟨x, hx⟩ | ⟨x, hx⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
inl :
  ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x),
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
      HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inr : ∀ (x : 𝓞 K) (hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.ha with
    ⟨x, hx⟩ | ⟨x, hx⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inl : ∀ (y : 𝓞 K) (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.hb with
    ⟨y, hy⟩ | ⟨y, hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
inl :
  ∀ (y : 𝓞 K) (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
      HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inl₁ : ∀ (y : 𝓞 K) (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.hb with
    ⟨y, hy⟩ | ⟨y, hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inr : ∀ (y : 𝓞 K) (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.hb with
    ⟨y, hy⟩ | ⟨y, hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
inr :
  ∀ (y : 𝓞 K) (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
      HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inr₁ : ∀ (y : 𝓞 K) (hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y),
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
Tactic: rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.hb with
    ⟨y, hy⟩ | ⟨y, hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 ∧ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1
have inl : False
Tactic: exfalso
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ False
have hζ₁ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
Tactic: replace hζ : IsPrimitiveRoot ζ (3 ^ 1) := by rwa [pow_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ False
have inl : 2 =
  (hζ.toInteger - 1) *
    ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y))
Tactic: refine hζ.toInteger_sub_one_not_dvd_two (by decide) ⟨S'.u * λ ^ 2 * z ^ 3 - λ ^ 3 * (x + y), ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ 2 =
    (hζ.toInteger - 1) *
      ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
        HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y))
have inl : (hζ.toInteger - 1) *
    ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) z 3 -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 3 * (x + y)) =
  2
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
⊢ (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
have rw : (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
rw :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
⊢ (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
have rw₁ : (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
rw :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
rw₁ :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
⊢ (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
have rw₂ : (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ_1 : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ_1
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ_1.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (HPow.hPow (α := ℕ) (β := ℕ) 3 1)
rw :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
rw₁ :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
rw₂ :
  (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
⊢ (↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) ((hζ_1.toInteger - 1) * z) 3 - HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * x -
      HPow.hPow (β := ℕ) (hζ_1.toInteger - 1) 4 * y =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
      (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
have rw₃ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1) =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1) -
    (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)
Tactic: rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]