awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have refine_1 : t ∉ Q
Tactic: refine ⟨t, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
refine_1 : t ∉ Q
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have refine_2 : ∀ (Q' : Ideal S), Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q'
Tactic: refine ⟨t, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
refine_1 : t ∉ Q
refine_2 :
  ∀ (Q' : Ideal S), Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q'
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have refine_3 : Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
  (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
  ⊤
Tactic: refine ⟨t, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
⊢ t ∉ Q
have refine_1 : ¬HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    0
Tactic: rw [← Ideal.algebraMap_residueField_eq_zero, ← e']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
Q' : Ideal S
left : Q'.IsPrime
right : Q'.LiesOver (Ideal.under R Q)
H : Q' ≠ Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime p) (Localization.AtPrime Q') :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver p Q'
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := Q'.ResidueField) ((algebraMap R Q'.ResidueField : (a : R) → Q'.ResidueField) s : Q'.ResidueField)
    (0 : Q'.ResidueField)
have suffices : s ∉ Ideal.under R Q'
Tactic: suffices s ∉ Q'.under _ by simpa [IsScalarTower.algebraMap_apply R S Q'.ResidueField]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
Q' : Ideal S
left : Q'.IsPrime
right : Q'.LiesOver (Ideal.under R Q)
H : Q' ≠ Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime p) (Localization.AtPrime Q') :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver p Q'
⊢ t ∈ Q'
have hsQ'' : Ne.{u_3 + 1} (α := Q'.ResidueField) ((algebraMap R Q'.ResidueField : (a : R) → Q'.ResidueField) s : Q'.ResidueField)
  (0 : Q'.ResidueField)
Tactic: have hsQ'' : algebraMap R Q'.ResidueField s ≠ 0 := by
      suffices s ∉ Q'.under _ by simpa [IsScalarTower.algebraMap_apply R S Q'.ResidueField]
      rwa [← Q'.over_def p]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
Q' : Ideal S
left : Q'.IsPrime
right : Q'.LiesOver (Ideal.under R Q)
H : Q' ≠ Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime p) (Localization.AtPrime Q') :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver p Q'
hsQ'' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q'.ResidueField) ((algebraMap R Q'.ResidueField : (a : R) → Q'.ResidueField) s : Q'.ResidueField)
    (0 : Q'.ResidueField)
φ' : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q'.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q'.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q'.ResidueField) ⋯
⊢ t ∈ Q'
have H₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := Q'.ResidueField) ((φ' : (a : p.Fiber S) → Q'.ResidueField) r : Q'.ResidueField) (0 : Q'.ResidueField)
Tactic: have H : φ' r = 0 := (hr (α ⟨Q', ⟨‹_›, ‹_›⟩⟩).asIdeal inferInstance (by
        rwa [ne_eq, ← PrimeSpectrum.ext_iff, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, Subtype.mk.injEq]) :)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
e' :
  HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
      ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
      ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
    (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
Q' : Ideal S
left : Q'.IsPrime
right : Q'.LiesOver (Ideal.under R Q)
H_1 : Q' ≠ Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime p) (Localization.AtPrime Q') :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver p Q'
hsQ'' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q'.ResidueField) ((algebraMap R Q'.ResidueField : (a : R) → Q'.ResidueField) s : Q'.ResidueField)
    (0 : Q'.ResidueField)
φ' : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q'.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q'.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q'.ResidueField) ⋯
H :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q'.ResidueField) ((φ' : (a : p.Fiber S) → Q'.ResidueField) r : Q'.ResidueField)
    (0 : Q'.ResidueField)
⊢ t ∈ Q'
have refine_2 : Eq (α := Q'.ResidueField) ((algebraMap S Q'.ResidueField : (a : S) → Q'.ResidueField) t : Q'.ResidueField)
  (0 : Q'.ResidueField)
Tactic: rw [← Ideal.algebraMap_residueField_eq_zero]