-- Lean 4 proof step from Mathlib.Condensed.Light.Sequence (goal)
Goal:
R : Type
inst : CommRing R
X Y : LightCondMod R
p : X ⟶ Y
hp : Epi p
S : LightProfinite
f :
  obj (free R)
      (tensorObj (𝒞 :=
          CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
          S ℕ∪{∞}).toCondensed ⟶
    Y
T : LightProfinite
π :
  T ⟶
    tensorObj (𝒞 :=
      CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
      S ℕ∪{∞}
g : obj (free R) T.toCondensed ⟶ X
hπ : Epi π
comm : CategoryTheory.Functor.map (lightProfiniteToLightCondSet ⋙ free R) π ≫ f = g ≫ p
S' T' : LightProfinite
y' : S' ⟶ S
π' :
  T' ⟶
    tensorObj (𝒞 :=
      CompHausLike.category fun (X : TopCat.{0}) ↦
        TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))
      S' ℕ∪{∞}
g' : T' ⟶ T
hπ' : Epi π'
hy' : Epi y'
comp : π' ≫ y' ▷ ℕ∪{∞} = g' ≫ π
epi : Epi (cover π')
split :
  SplitEpi (X := LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}))
    (LightProfinite.fibreIncl ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}) ≫ π' ≫ fst S' ℕ∪{∞})
hS' :
  Nonempty
    (↑(S'.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
          TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
      Type)
⊢ Mono (X := LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞})) (LightProfinite.fibreIncl ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}))
have rw : Function.Injective (α :=
  (fun
        (X :
          CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
      (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
        Type))
    (LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞})))
  (β :=
  (fun
        (X :
          CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
      (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
            TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
        Type))
    T')
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC :=
        fun
          (x1 x2 :
            CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
        C((↑(x1.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
            Type),
          (↑(x2.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
                TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
            Type)))
        (CC :=
        fun
          (X :
            CompHausLike fun (X : TopCat.{0}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
        (↑(X.toTop (P := fun (X : TopCat.{0}) ↦
              TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type))) :
          Type))
        (X := LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞})) (LightProfinite.fibreIncl ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}))) :
    (a :
        (fun
              (X :
                CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                  TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
            (↑X.toTop : Type))
          (LightProfinite.fibre ∞ (π' ≫ snd S' ℕ∪{∞}))) →
      (fun
            (X :
              CompHausLike fun (X : TopCat) ↦
                TotallyDisconnectedSpace (↑X : Type) ∧ SecondCountableTopology (↑X : Type)) ↦
          (↑X.toTop : Type))
        T')
Tactic: rw [CompHausLike.mono_iff_injective]