awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
x : RXm
rw :
  Eq.{w₂ + 1} (α := A)
    ((eval₂Hom (algebraMap R A) fun (i : Fin m) ↦ (f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) :
          (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
        x :
      A)
    ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
rw₁ :
  Eq.{w₂ + 1} (α := A)
    ((MvPolynomial.aeval fun (i : Fin m) ↦ (f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) :
          (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
        x :
      A)
    ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
rw₂ :
  Eq.{w₂ + 1} (α := A)
    ((MvPolynomial.aeval fun (i : Fin m) ↦
            Function.comp.{1, w₁ + 1, w₂ + 1} (β := MvPolynomial (Fin m) R) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
              MvPolynomial.X i :
          (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
        x :
      A)
    ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A)
    ((eval₂Hom
            (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (↑f : MvPolynomial (Fin n) R →+* A)
              (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R)))
            fun (i : Fin m) ↦ (f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) :
          (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
        x :
      A)
    ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
have rw₃ : Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
Tactic: rw [AlgHom.comp_algebraMap, ← aeval_eq_eval₂Hom,
        -- Porting note: added line below
        ← funext fun i => Function.comp_apply (f := ↑f') (g := MvPolynomial.X),
        ← aeval_unique]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (hypothesis)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
⊢ Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin n) R)) (Ideal.span (Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)))
    (RingHom.ker f.toRingHom)
have hh' : ∀ (x : RXm),
  Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
    ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
Tactic: have hh' : ∀ x, f (aeval_h x) = f' x := by
      intro x
      rw [← f.coe_toRingHom, map_aeval]
      simp_rw [AlgHom.coe_toRingHom, hh]
      rw [AlgHom.comp_algebraMap, ← aeval_eq_eval₂Hom,
        -- Porting note: added line below
        ← funext fun i => Function.comp_apply (f := ↑f') (g := MvPolynomial.X),
        ← aeval_unique]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
⊢ LE.le (α := Ideal RXn) (Ideal.span s') (RingHom.ker f.toRingHom)
have rw : s' ⊆ (↑(RingHom.ker f.toRingHom) : Set RXn)
Tactic: rw [Ideal.span_le]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
i : Fin n
⊢ g' i ∈ (↑(RingHom.ker f.toRingHom) : Set RXn)
have inl : Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (g' i) : A) (0 : A)
Tactic: change f (g' i) = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
i : Fin n
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (g' i) : A) (0 : A)
have inl : HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
    ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
  0
Tactic: rw [map_sub, ← hg, hh', sub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
i : Fin n
inl :
  HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
    0
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (g' i) : A) (0 : A)
have inl₁ : HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
    ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
  0
Tactic: rw [map_sub, ← hg, hh', sub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
i : Fin n
inl :
  HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
    0
inl₁ :
  HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
    0
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (g' i) : A) (0 : A)
have inl₂ : HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
    ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A) =
  0
Tactic: rw [map_sub, ← hg, hh', sub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
i : Fin n
inl :
  HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
    0
inl₁ :
  HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn) : A) =
    0
inl₂ :
  HSub.hSub (α := A) (β := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A) =
    0
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (g' i) : A) (0 : A)
have inl₃ : Eq.{w₂ + 1} (α := A) 0 0
Tactic: rw [map_sub, ← hg, hh', sub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
x : RXm
hx : x ∈ (↑s : Set RXm)
⊢ Membership.mem (α := RXn) (↑(RingHom.ker f.toRingHom) : Set RXn) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn)
have inr : Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A) (0 : A)
Tactic: change f (aeval_h x) = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
x : RXm
hx : x ∈ (↑s : Set RXm)
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A) (0 : A)
have inr : Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A) (0 : A)
Tactic: rw [hh']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.FinitePresentation (goal)
Goal:
R : Type w₁
A : Type w₂
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := A) (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A)
inst_3 : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective.{w₁ + 1, w₂ + 1} (α := MvPolynomial (Fin m) R) (β := A) (⇑f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A)
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs :
  Eq (α := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (Ideal.span (↑s : Set (MvPolynomial (Fin m) R))) (RingHom.ker f'.toRingHom)
RXn : Type w₁ := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type w₁ := MvPolynomial (Fin m) R
g : (i : Fin n) → MvPolynomial (Fin m) R
hg :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (g i) : A)
      ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
h : (i : Fin m) → MvPolynomial (Fin n) R
hh :
  ∀ (i : Fin m),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) (h i) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) (MvPolynomial.X i) : A)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn :=
  fun (i : Fin n) ↦
    HSub.hSub (α := MvPolynomial (Fin n) R) (β := RXn) (MvPolynomial.X i) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) (g i) : RXn)
hh' :
  ∀ (x : RXm),
    Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f : (a : MvPolynomial (Fin n) R) → A) ((aeval_h : (a : RXm) → RXn) x : RXn) : A)
      ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A)
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ (⇑aeval_h : (a : RXm) → RXn) '' (↑s : Set RXm)
x : RXm
hx : x ∈ (↑s : Set RXm)
⊢ Eq.{w₂ + 1} (α := A) ((f' : (a : MvPolynomial (Fin m) R) → A) x : A) (0 : A)
have inr : Membership.mem (γ := Ideal (MvPolynomial (Fin m) R)) (RingHom.ker f'.toRingHom) x
Tactic: change x ∈ RingHom.ker f'.toRingHom