awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
g₁ : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_6} (RingHom.id R) (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₁ j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g₁ i
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₂ j ∘ₗ f' i j h = f'' i j h ∘ₗ g₂ i
i j : ι
h : i ≤ j
rw : g₂ j ∘ₗ g₁ j ∘ₗ f i j h = f'' i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
rw₁ : g₂ j ∘ₗ f' i j h ∘ₗ g₁ i = f'' i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
rw₂ : (g₂ j ∘ₗ f' i j h) ∘ₗ g₁ i = f'' i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
rw₃ : (f'' i j h ∘ₗ g₂ i) ∘ₗ g₁ i = f'' i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
⊢ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) j ∘ₗ f i j h = f'' i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
have rw₄ : f'' i j h ∘ₗ g₂ i ∘ₗ g₁ i = f'' i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) i
Tactic: rw [LinearMap.comp_assoc, hg₁ i, ← LinearMap.comp_assoc, hg₂ i, LinearMap.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
G' : ι → Type u_5
inst_5 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
g₁ : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_5, u_6} (RingHom.id R) (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₁ j ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ g₁ i
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), g₂ j ∘ₗ f' i j h = f'' i j h ∘ₗ g₂ i
⊢ Eq (α := DirectLimit G f →ₗ[R] DirectLimit G'' f'')
    (map (G := G') (G' := G'') g₂ hg₂ ∘ₗ map (G := G) (G' := G') g₁ hg₁)
    (map (G := G) (G' := G'') (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) ⋯)
have h : ∀ (i : ι) (x : G i),
  Eq (α := DirectLimit G'' f'')
    (((map (G := G') (G' := G'') g₂ hg₂ ∘ₗ map (G := G) (G' := G') g₁ hg₁) ∘ₗ of R ι G f i :
          (a : G i) → DirectLimit G'' f'')
        x :
      DirectLimit G'' f'')
    ((map (G := G) (G' := G'') (fun (i : ι) ↦ g₂ i ∘ₗ g₁ i) sorry ∘ₗ of R ι G f i : (a : G i) → DirectLimit G'' f'') x :
      DirectLimit G'' f'')
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₄ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑((e i).symm ≪≫ₗ e i) : G' i →ₗ[R] G' i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₄ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑((e i).symm ≪≫ₗ e i) : G' i →ₗ[R] G' i)
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₅ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(LinearEquiv.refl R (G' i)) : G' i →ₗ[R] G' i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₄ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑((e i).symm ≪≫ₗ e i) : G' i →ₗ[R] G' i)
rw₅ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(LinearEquiv.refl R (G' i)) : G' i →ₗ[R] G' i)
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₆ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ LinearMap.id
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
P : Type u_4
inst_5 : AddCommMonoid P
inst_6 : Module R P
g : (i : ι) → LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_4} (RingHom.id R) (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_4 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) ((f i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) : P)
      ((g i : (a : G i) → P) x : P)
G' : ι → Type u_5
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
G'' : ι → Type u_6
inst_9 : (i : ι) → AddCommMonoid (G'' i)
inst_10 : (i : ι) → Module.{u_1, u_6} R (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →ₗ[R] G'' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
rw₄ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑((e i).symm ≪≫ₗ e i) : G' i →ₗ[R] G' i)
rw₅ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(LinearEquiv.refl R (G' i)) : G' i →ₗ[R] G' i)
rw₆ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ LinearMap.id
⊢ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) j ∘ₗ f' i j h =
    f i j h ∘ₗ (fun (i : ι) ↦ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)) i
have rw₇ : f' i j h = f' i j h
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
        refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
G' : ι → Type u_5
inst_5 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i_1 : ι
g : G' i_1
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ (↑(e j).symm : G' j →ₗ[R] G j) ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
have rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
      refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
G' : ι → Type u_5
inst_5 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i_1 : ι
g : G' i_1
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
⊢ (↑(e j).symm : G' j →ₗ[R] G j) ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
have rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
      refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
G' : ι → Type u_5
inst_5 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i_1 : ι
g : G' i_1
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
⊢ (↑(e j).symm : G' j →ₗ[R] G j) ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
have rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
      refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
G' : ι → Type u_5
inst_5 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i_1 : ι
g : G' i_1
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
⊢ (↑(e j).symm : G' j →ₗ[R] G j) ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
have rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
      refl_toLinearMap, comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Module (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Semiring R
ι : Type u_2
inst_1 : Preorder ι
G : ι → Type u_3
inst_2 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_3 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →ₗ[R] G j
inst_4 : DecidableEq ι
G' : ι → Type u_5
inst_5 : (i : ι) → AddCommMonoid (G' i)
inst_6 : (i : ι) → Module.{u_1, u_5} R (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →ₗ[R] G' j
e : (i : ι) → LinearEquiv.{u_1, u_1, u_3, u_5} (RingHom.id R) (G i) (G' i)
he : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)
i_1 : ι
g : G' i_1
i j : ι
h : i ≤ j
rw : f' i j h = (↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
rw₁ : f' i j h = ((↑(e j) : G j →ₗ[R] G' j) ∘ₗ f i j h) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
rw₂ : f' i j h = (f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i)) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
rw₃ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑(e i) : G i →ₗ[R] G' i) ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
⊢ (↑(e j).symm : G' j →ₗ[R] G j) ∘ₗ f' i j h = f i j h ∘ₗ (↑(e i).symm : G' i →ₗ[R] G i)
have rw₄ : f' i j h = f' i j h ∘ₗ (↑((e i).symm ≪≫ₗ e i) : G' i →ₗ[R] G' i)
Tactic: rw [toLinearMap_symm_comp_eq, ← comp_assoc, he i, comp_assoc, comp_coe, symm_trans_self,
      refl_toLinearMap, comp_id]