-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t y : (↑I : Type)
yH : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} y
⊢ Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
    (({
            toFun := fun (x_1 : (↑I : Type)) ↦
              ContinuousMap.toFun
                (ContinuousMap.Homotopy.toContinuousMap (f₀ := (toLoop i p).toContinuousMap) (f₁ :=
                  (toLoop i q).toContinuousMap)
                  {
                    toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                      Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                        Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                          (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                        ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t)
                        ⋯,
                    continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ })
                (t, x_1),
            continuous_toFun := ⋯ } :
          (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
        y :
      (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
    (((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
      (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
have refine_5 : ∀ (y_1 : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (((({
                  toFun := fun (x_1 : (↑I : Type)) ↦
                    ContinuousMap.toFun
                      (ContinuousMap.Homotopy.toContinuousMap (f₀ := (toLoop i p).toContinuousMap) (f₁ :=
                        (toLoop i q).toContinuousMap)
                        {
                          toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                            Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                              ((homotopyTo i H :
                                  (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X))
                                t)
                              sorry,
                          continuous_toFun := sorry, map_zero_left := sorry, map_one_left := sorry })
                      (t, x_1),
                  continuous_toFun := sorry } :
                (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
              y :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
    (((((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
Tactic: ext