awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
x y : L
ixy : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ ixy
hixy_def :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) ixy : K)
⊢ Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((∑ i : ι,
              (B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                (HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K) (β := L)
                    ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K) ((B : (a : ι) → L) i : L) *
                  ∑ i : ι,
                    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := K) (β := L)
                      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K) ((B : (a : ι) → L) i : L)) :
            (a : ι) → K)
          ixy :
        K) ≤
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y
have h : Norm.norm.{u_1} (E := K)
    ((∑ x_1 : ι,
            HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
              (∑ x : ι,
                HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                  ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                      (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                    ι →₀ K)) :
          (a : ι) → K)
        ixy :
      K) ≤
  B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y
Tactic: simp_rw [smul_mul_assoc, map_smul, mul_sum, map_finsetSum, mul_smul_comm, map_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
x y : L
ixy : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ ixy
hixy_def :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (x * y) : ι →₀ K) : (a : ι) → K) ixy : K)
⊢ Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((∑ x_1 : ι,
              HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) x : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x_1 : K)
                (∑ x : ι,
                  HSMul.hSMul (α := K) (β := ι →₀ K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)
                    ((B.repr : (a : L) → ι →₀ K)
                        (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) x_1 : L) ((B : (a : ι) → L) x : L)) :
                      ι →₀ K)) :
            (a : ι) → K)
          ixy :
        K) ≤
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L)) * B.norm x * B.norm y
have hna' : IsNonarchimedean (R := ℝ) (α := K) (⇑(NormedField.toMulRingNorm K) : (a : K) → ℝ)
Tactic: have hna' : IsNonarchimedean (NormedField.toMulRingNorm K) := hna
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := L) (1 : L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 1 : L)
have rw : Eq.{u_2 + 1} (α := L) 1 1
Tactic: rw [map_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
⊢ 0 < B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) ((B : (a : ι) → L) i : L))
have h1 : Eq.{u_2 + 1} (α := L) (1 : L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 1 : L)
Tactic: have h1 : (1 : L) = (algebraMap K L) 1 := by rw [map_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
h1 : Eq.{u_2 + 1} (α := L) (1 : L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 1 : L)
⊢ 0 < B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) ((B : (a : ι) → L) i : L))
have rw : 0 < Norm.norm.{u_1} (E := K) 1
Tactic: rw [hBi, mul_one, h1, Basis.norm_extends hBi]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_3
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
hna : IsNonarchimedean.{0, u_1} (α := K) Norm.norm
c : ι × ι
left : Membership.mem (γ := Finset (ι × ι)) univ c
hc :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι × ι) ↦
      B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i.1 : L) ((B : (a : ι) → L) i.2 : L))) =
    B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
⊢ 0 < B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) c.1 : L) ((B : (a : ι) → L) c.2 : L))
have h_pos : 0 < B.norm (HMul.hMul (α := L) (β := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) ((B : (a : ι) → L) i : L))
Tactic: have h_pos : (0 : ℝ) < B.norm (B i * B i) := by
      have h1 : (1 : L) = (algebraMap K L) 1 := by rw [map_one]
      rw [hBi, mul_one, h1, Basis.norm_extends hBi]
      simp [norm_one, zero_lt_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have pos : ∀ (hk : k = 0),
  B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
Tactic: by_cases hk : k = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
pos :
  ∀ (hk : k = 0),
    B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
      B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have neg : ∀ (hk : ¬k = 0),
  B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
Tactic: by_cases hk : k = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : k = 0
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have pos : B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0 : L) y) =
  B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0) * B.norm y
Tactic: rw [hk, map_zero, zero_mul, B.norm_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : k = 0
pos :
  B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0 : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0) * B.norm y
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have pos₁ : B.norm (0 * y) = B.norm 0 * B.norm y
Tactic: rw [hk, map_zero, zero_mul, B.norm_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : k = 0
pos :
  B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0 : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0) * B.norm y
pos₁ : B.norm (0 * y) = B.norm 0 * B.norm y
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have pos₂ : B.norm 0 = B.norm 0 * B.norm y
Tactic: rw [hk, map_zero, zero_mul, B.norm_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : k = 0
pos :
  B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0 : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0) * B.norm y
pos₁ : B.norm (0 * y) = B.norm 0 * B.norm y
pos₂ : B.norm 0 = B.norm 0 * B.norm y
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have pos₃ : 0 = 0 * B.norm y
Tactic: rw [hk, map_zero, zero_mul, B.norm_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : k = 0
pos :
  B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0 : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) 0) * B.norm y
pos₁ : B.norm (0 * y) = B.norm 0 * B.norm y
pos₂ : B.norm 0 = B.norm 0 * B.norm y
pos₃ : 0 = 0 * B.norm y
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have pos₄ : Eq (α := ℝ) 0 0
Tactic: rw [hk, map_zero, zero_mul, B.norm_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) =
    B.norm ((algebraMap K L : (a : K) → L) k) * B.norm y
have neg : B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) = ‖k‖ * B.norm y
Tactic: rw [norm_extends hBi]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) = ‖k‖ * B.norm y
have neg : ∀ (i : ι),
  Membership.mem (γ := Finset ι) univ i →
    ∀
      (hi :
        (sup' univ sorry fun (i : ι) ↦
            Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
          Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)),
      B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) = ‖k‖ * B.norm y
Tactic: obtain ⟨i, _, hi⟩ := exists_mem_eq_sup' univ_nonempty (fun i ↦ ‖B.repr y i‖)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i_1 : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
i : ι
left : Membership.mem (γ := Finset ι) univ i
hi :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
⊢ B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) = ‖k‖ * B.norm y
have neg : ∀ (j : ι),
  Membership.mem (γ := Finset ι) univ j →
    ∀
      (hj :
        (sup' univ sorry fun (i : ι) ↦
            Norm.norm.{u_1} (E := K)
              ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
                    (a : ι) → K)
                  i :
                K)) =
          Norm.norm.{u_1} (E := K)
            ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
                  (a : ι) → K)
                j :
              K)),
      B.norm (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) = ‖k‖ * B.norm y
Tactic: obtain ⟨j, _, hj⟩ := exists_mem_eq_sup' univ_nonempty
      (fun i ↦ ‖B.repr ((algebraMap K L) k * y) i‖)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i_1 : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
i : ι
left : Membership.mem (γ := Finset ι) univ i
hi :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
j : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ j
hj :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
        ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
              (a : ι) → K)
            i :
          K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
            (a : ι) → K)
          j :
        K)
⊢ Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
have rw : (sup' univ sorry fun (i : ι) ↦ Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
  Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
Tactic: rw [← hi]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (goal)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i_1 : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
i : ι
left : Membership.mem (γ := Finset ι) univ i
hi :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
j : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ j
hj :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
        ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
              (a : ι) → K)
            i :
          K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
            (a : ι) → K)
          j :
        K)
⊢ (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
have apply : B.norm y ≤ Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
Tactic: apply le_antisymm _ (norm_repr_le_norm B j)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i_1 : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
i : ι
left : Membership.mem (γ := Finset ι) univ i
hi :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
j : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ j
hj :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
        ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
              (a : ι) → K)
            i :
          K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
            (a : ι) → K)
          j :
        K)
⊢ B.norm y ≤ Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
have hj' : Norm.norm.{u_1} (E := K)
    ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
          (a : ι) → K)
        i :
      K) ≤
  sup' univ sorry fun (i : ι) ↦
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
            (a : ι) → K)
          i :
        K)
Tactic: have hj' := Finset.le_sup' (fun i ↦ ‖B.repr ((algebraMap K L) k * y) i‖) (mem_univ i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Normed.Unbundled.FiniteExtension (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst : NormedField K
inst_1 : Ring L
inst_2 : Algebra K L
ι : Type u_4
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : Nonempty ι
B : Basis ι K L
i_1 : ι
hBi : Eq.{u_2 + 1} (α := L) ((B : (a : ι) → L) i_1 : L) (1 : L)
k : K
y : L
hk : ¬k = 0
i : ι
left : Membership.mem (γ := Finset ι) univ i
hi :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) i : K)
j : ι
left_1 : Membership.mem (γ := Finset ι) univ j
hj :
  (sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
        ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
              (a : ι) → K)
            i :
          K)) =
    Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
            (a : ι) → K)
          j :
        K)
hj' :
  Norm.norm.{u_1} (E := K)
      ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
            (a : ι) → K)
          i :
        K) ≤
    sup' univ ⋯ fun (i : ι) ↦
      Norm.norm.{u_1} (E := K)
        ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap K L : (a : K) → L) k : L) y) : ι →₀ K) :
              (a : ι) → K)
            i :
          K)
⊢ B.norm y ≤ Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
have hj₁ : (sup' univ sorry fun (x : ι) ↦
    ‖k‖ * Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) x : K)) =
  ‖k‖ * Norm.norm.{u_1} (E := K) ((((B.repr : (a : L) → ι →₀ K) y : ι →₀ K) : (a : ι) → K) j : K)
Tactic: simp only [repr_smul', norm_mul, ← hi] at hj hj'
Cleared hypotheses: hj, hj'