awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : Free R M
inst_10 : Module.Finite R M
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz :
  Membership.mem (γ := LieSubmodule A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) (lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1) (1 ⊗ₜ[R] z)
hzc : Membership.mem (γ := LieIdeal A (A ⊗[R] L)) (LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)) (1 ⊗ₜ[R] z)
h :
  Eq (α := Submodule A (A ⊗[R] M))
    (⨆ (μ : A),
      End.maxGenEigenspace ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) μ)
    ⊤
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := A)
    ((trace A (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] M →ₗ[A] A ⊗[R] M) → A)
        ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ
          (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) :
      A)
    (0 : A)
have h₁ : ∀ (μ : A),
  Eq.{u_1 + 1} (α := A)
    ((trace A
            ↥(End.maxGenEigenspace ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x))
                μ) :
          (a :
              ↥(((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).maxGenEigenspace
                    μ) →ₗ[A]
                ↥(((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).maxGenEigenspace
                    μ)) →
            A)
        (LinearMap.restrict ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z)) sorry) :
      A)
    (0 : A)
Tactic: apply LinearMap.trace_comp_eq_zero_of_commute_of_trace_restrict_eq_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : Free R M
inst_10 : Module.Finite R M
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz :
  Membership.mem (γ := LieSubmodule A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) (lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1) (1 ⊗ₜ[R] z)
hzc : Membership.mem (γ := LieIdeal A (A ⊗[R] L)) (LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)) (1 ⊗ₜ[R] z)
h :
  Eq (α := Submodule A (A ⊗[R] M))
    (⨆ (μ : A),
      End.maxGenEigenspace ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) μ)
    ⊤
h₁ :
  ∀ (μ : A),
    Eq.{u_1 + 1} (α := A)
      ((trace A
              ↥(End.maxGenEigenspace ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x))
                  μ) :
            (a :
                ↥(((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).maxGenEigenspace
                      μ) →ₗ[A]
                  ↥(((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)).maxGenEigenspace
                      μ)) →
              A)
          (LinearMap.restrict ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z)) ⋯) :
        A)
      (0 : A)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := A)
    ((trace A (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] M →ₗ[A] A ⊗[R] M) → A)
        ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) ∘ₗ
          (toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) :
      A)
    (0 : A)
have h₂ : Commute (S := End A (A ⊗[R] M))
  ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x) : End A (A ⊗[R] M))
  ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M) : (a : A ⊗[R] L) → End A (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z) : End A (A ⊗[R] M))
Tactic: apply LinearMap.trace_comp_eq_zero_of_commute_of_trace_restrict_eq_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
hy' :
  ∀ m ∈ N,
    Membership.mem (α := M) N
      ((((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
              ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y :
            (a : M) → M)
          m :
        M)
this : ∀ (m : M), ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ∈ N
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
      R)
    ((trace R ↥N : (a : ↥N →ₗ[R] ↥N) → R)
        (LinearMap.restrict
          (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
          hy') :
      R)
have this₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  ((trace R ↥N : (a : ↥N →ₗ[R] ↥N) → R)
      (LinearMap.restrict
        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
        sorry) :
    R)
  ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
      (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
        ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
    R)
Tactic: have : (trace R { x // x ∈ N }) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict _) = (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) :=
      (φ x ∘ₗ φ y).trace_restrict_eq_of_forall_mem _ this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
hy' :
  ∀ m ∈ N,
    Membership.mem (α := M) N
      ((((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
              ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y :
            (a : M) → M)
          m :
        M)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
      R)
    ((trace R ↥N : (a : ↥N →ₗ[R] ↥N) → R)
        (LinearMap.restrict
          (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
          hy') :
      R)
have suffices : ∀ (m : M), ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ∈ N
Tactic: suffices ∀ m, ⁅x, ⁅y, m⁆⁆ ∈ N by
    have : (trace R { x // x ∈ N }) ((φ x ∘ₗ φ y).restrict _) = (trace R M) (φ x ∘ₗ φ y) :=
      (φ x ∘ₗ φ y).trace_restrict_eq_of_forall_mem _ this
    simp [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
⊢ traceForm.{u_1, u_3, u_4} R ↥I ↥N =
    LinearMap.BilinForm.restrict (traceForm R L M) (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule
have H : ∀ (x : L) (hx : x ∈ I) (y : L) (hy : y ∈ I),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((traceForm.{u_1, u_3, u_4} R ↥I ↥N : (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
            LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
          (a : ↥I) → R)
        (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
      R)
    ((((LinearMap.BilinForm.restrict (traceForm R L M) (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule :
                (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R)
              (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
            LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
          (a : ↥I) → R)
        (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
      R)
Tactic: ext ⟨x, hx⟩ ⟨y, hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x : L
hx : x ∈ I
y : L
hy : y ∈ I
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((traceForm.{u_1, u_3, u_4} R ↥I ↥N : (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
            LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
          (a : ↥I) → R)
        (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
      R)
    ((((LinearMap.BilinForm.restrict (traceForm R L M) (LieIdeal.toLieSubalgebra R L I).toSubmodule :
                (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R)
              (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
            LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
          (a : ↥I) → R)
        (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
      R)
have H : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  ((((traceForm.{u_1, u_3, u_4} R ↥I ↥N : (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
          LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
        (a : ↥I) → R)
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
    R)
  ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
      (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
        ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
    R)
Tactic: change _ = trace R M (φ x ∘ₗ φ y)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x : L
hx : x ∈ I
y : L
hy : y ∈ I
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((traceForm.{u_1, u_3, u_4} R ↥I ↥N : (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
            LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
          (a : ↥I) → R)
        (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
      R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
      R)
have H : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  ((((traceForm.{u_1, u_3, u_4} R ↥I ↥N : (a : ↥I) → ↥I →ₗ[R] R) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) x hx) :
          LinearMap.{u_1, u_1, u_3, u_1} (RingHom.id R) (↥I) R) :
        (a : ↥I) → R)
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ I) y hy) :
    R)
  ((trace R ↥N : (a : ↥N →ₗ[R] ↥N) → R)
      (LinearMap.restrict
        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
        sorry) :
    R)
Tactic: rw [N.trace_eq_trace_restrict_of_le_idealizer I h x hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst_11 : LieModule.IsTrivial.{u_3, u_4} ↥I ↥N
hy' : ∀ m ∈ N,
  Membership.mem (α := M) N
    ((((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y :
          (a : M) → M)
        m :
      M) :=
  ⋯
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
      R)
    (0 : R)
have suffices : LinearMap.restrict
    (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
      ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
    hy' =
  0
Tactic: suffices (φ x ∘ₗ φ y).restrict hy' = 0 by
    simp [this, N.trace_eq_trace_restrict_of_le_idealizer I h x hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst_11 : LieModule.IsTrivial.{u_3, u_4} ↥I ↥N
hy' : ∀ m ∈ N,
  Membership.mem (α := M) N
    ((((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y :
          (a : M) → M)
        m :
      M) :=
  ⋯
⊢ LinearMap.restrict
      (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
        ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
      hy' =
    0
have h₁ : ∀ (n : ↥N),
  Eq.{u_4 + 1} (α := M)
    (↑((LinearMap.restrict
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
                ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
              hy' :
            (a : ↥(↑N : Submodule R M)) → ↥(↑N : Submodule R M))
          n) :
      M)
    (↑((0 : (a : ↥(↑N : Submodule R M)) → ↥(↑N : Submodule R M)) n) : M)
Tactic: ext (n : N)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : Free R M
inst_8 : Module.Finite R M
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
N : LieSubmodule R L M
I : LieIdeal R L
h : I ≤ N.idealizer
x y : L
hy : y ∈ I
inst_11 : LieModule.IsTrivial.{u_3, u_4} ↥I ↥N
hy' : ∀ m ∈ N,
  Membership.mem (α := M) N
    ((((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y :
          (a : M) → M)
        m :
      M) :=
  ⋯
n : ↥N
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := M)
    (↑((LinearMap.restrict
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
                ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y)
              hy' :
            (a : ↥(↑N : Submodule R M)) → ↥(↑N : Submodule R M))
          n) :
      M)
    (↑((0 : (a : ↥(↑N : Submodule R M)) → ↥(↑N : Submodule R M)) n) : M)
have h₁ : ⁅y, (↑n : M)⁆ = 0
Tactic: suffices ⁅y, (n : M)⁆ = 0 by simp [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
⊢ Eq (α := Submodule R L) (LieSubalgebra.toSubmodule (toLieSubalgebra R L (killingCompl R L ⊤)))
    (LinearMap.ker (killingForm R L))
have h : ∀ (x : L),
  Membership.mem (γ := Submodule R L) (LieSubalgebra.toSubmodule (toLieSubalgebra R L (killingCompl R L ⊤))) x ↔
    Membership.mem (γ := Submodule R L) (LinearMap.ker (killingForm R L)) x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst_3 : Free R L
inst_4 : Module.Finite R L
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : IsPrincipalIdealRing R
inst_7 : IsLieAbelian.{u_3} ↥I
x : L
hx : x ∈ I
⊢ Membership.mem (γ := LieSubmodule R L L) (killingCompl R L ⊤) x
have simp : ∀ (y : L), Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((killingForm R L : (a : L) → L →ₗ[R] R) y : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) x : R) (0 : R)
Tactic: simp only [mem_killingCompl, LieSubmodule.mem_top, forall_true_left]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
I : LieIdeal R L
inst_3 : Free R L
inst_4 : Module.Finite R L
inst_5 : IsDomain R
inst_6 : IsPrincipalIdealRing R
inst_7 : IsLieAbelian.{u_3} ↥I
x : L
hx : x ∈ I
y : L
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((killingForm R L : (a : L) → L →ₗ[R] R) y : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) x : R) (0 : R)
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  ((trace R L : (a : L →ₗ[R] L) → R)
      ((LieModule.toEnd R L L : (a : L) → End R L) y ∘ₗ (LieModule.toEnd R L L : (a : L) → End R L) x) :
    R)
  (0 : R)
Tactic: rw [LieModule.traceForm_apply_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : Module K M
inst_6 : LieModule K L M
inst_7 : FiniteDimensional K M
inst_8 : LieRing.IsNilpotent L
inst_9 : LinearWeights K L M
inst_10 : IsTriangularizable K L M
x y : L
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((traceForm K L M : (a : L) → L →ₗ[K] K) x : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) y : K)
    (∑ χ : Weight K L M,
        finrank.{u_2, u_4} K ↥(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) •
          HMul.hMul (α := K) (β := K) ((χ : (a : L) → K) x : K) ((χ : (a : L) → K) y : K) :
      K)
have hxy : ∀ (χ : Weight K L M),
  MapsTo
    (⇑(((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) x ∘ₗ
          ((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) y) :
      (a : M) → M)
    (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M) (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M)
Tactic: have hxy : ∀ χ : Weight K L M, MapsTo (toEnd K L M x ∘ₗ toEnd K L M y)
      (genWeightSpace M χ) (genWeightSpace M χ) :=
    fun χ m hm ↦ LieSubmodule.lie_mem _ <| LieSubmodule.lie_mem _ hm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : Module K M
inst_6 : LieModule K L M
inst_7 : FiniteDimensional K M
inst_8 : LieRing.IsNilpotent L
inst_9 : LinearWeights K L M
inst_10 : IsTriangularizable K L M
x y : L
hxy :
  ∀ (χ : Weight K L M),
    MapsTo
      (⇑(((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) x ∘ₗ
            ((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) y) :
        (a : M) → M)
      (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M) (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((traceForm K L M : (a : L) → L →ₗ[K] K) x : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) y : K)
    (∑ χ : Weight K L M,
        finrank.{u_2, u_4} K ↥(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) •
          HMul.hMul (α := K) (β := K) ((χ : (a : L) → K) x : K) ((χ : (a : L) → K) y : K) :
      K)
have hds : DirectSum.IsInternal (S := Submodule K M) fun (i : Weight K L M) ↦
  (↑(genWeightSpace M (⇑i : (a : L) → K)) : Submodule K M)
Tactic: have hds := DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top
    (LieSubmodule.iSupIndep_toSubmodule.mpr <| iSupIndep_genWeightSpace' K L M)
    (LieSubmodule.iSup_toSubmodule_eq_top.mpr <| iSup_genWeightSpace_eq_top' K L M)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : Module K M
inst_6 : LieModule K L M
inst_7 : FiniteDimensional K M
inst_8 : LieRing.IsNilpotent L
inst_9 : LinearWeights K L M
inst_10 : IsTriangularizable K L M
x y : L
hxy :
  ∀ (χ : Weight K L M),
    MapsTo
      (⇑(((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) x ∘ₗ
            ((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) y) :
        (a : M) → M)
      (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M) (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M)
hds :
  DirectSum.IsInternal (S := Submodule K M) fun (i : Weight K L M) ↦
    (↑(genWeightSpace M (⇑i : (a : L) → K)) : Submodule K M)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((traceForm K L M : (a : L) → L →ₗ[K] K) x : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) y : K)
    (∑ χ : Weight K L M,
        finrank.{u_2, u_4} K ↥(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) •
          HMul.hMul (α := K) (β := K) ((χ : (a : L) → K) x : K) ((χ : (a : L) → K) y : K) :
      K)
have simp_rw : Eq.{u_2 + 1} (α := K)
  (∑ i : Weight K L M,
    (trace K ↥(↑(genWeightSpace M (⇑i : (a : L) → K)) : Submodule K M) :
        (a :
            ↥(↑(genWeightSpace M (⇑i : (a : L) → K)) : Submodule K M) →ₗ[K]
              ↥(↑(genWeightSpace M (⇑i : (a : L) → K)) : Submodule K M)) →
          K)
      (LinearMap.restrict
        (((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) x ∘ₗ
          ((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) y)
        sorry))
  (∑ x_1 : Weight K L M,
    (((traceForm.{u_2, u_3, u_4} K L ↥(genWeightSpace M (⇑x_1 : (a : L) → K)) : (a : L) → L →ₗ[K] K) x : L →ₗ[K] K) :
        (a : L) → K)
      y)
Tactic: simp_rw [traceForm_apply_apply, LinearMap.trace_eq_sum_trace_restrict hds hxy,
    ← traceForm_genWeightSpace_eq K L M _ x y]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : LieRing L
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : LieRingModule L M
inst_3 : Field K
inst_4 : LieAlgebra K L
inst_5 : Module K M
inst_6 : LieModule K L M
inst_7 : FiniteDimensional K M
inst_8 : LieRing.IsNilpotent L
inst_9 : LinearWeights K L M
inst_10 : IsTriangularizable K L M
x y : L
hxy :
  ∀ (χ : Weight K L M),
    MapsTo
      (⇑(((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) x ∘ₗ
            ((toEnd K L M : LieHom.{u_2, u_3, u_4} K L (End K M)) : (a : L) → End K M) y) :
        (a : M) → M)
      (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M) (↑(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) : Set M)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((traceForm K L M : (a : L) → L →ₗ[K] K) x : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) y : K)
    (∑ χ : Weight K L M,
        finrank.{u_2, u_4} K ↥(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) •
          HMul.hMul (α := K) (β := K) ((χ : (a : L) → K) x : K) ((χ : (a : L) → K) y : K) :
      K)
have have : ∀
  (hds :
    DirectSum.IsInternal (S := Submodule K M) fun (i : Weight K L M) ↦
      (↑(genWeightSpace M (⇑i : (a : L) → K)) : Submodule K M)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := K) ((((traceForm K L M : (a : L) → L →ₗ[K] K) x : L →ₗ[K] K) : (a : L) → K) y : K)
    (∑ χ : Weight K L M,
        finrank.{u_2, u_4} K ↥(genWeightSpace M (⇑χ : (a : L) → K)) •
          HMul.hMul (α := K) (β := K) ((χ : (a : L) → K) x : K) ((χ : (a : L) → K) y : K) :
      K)
Tactic: classical
  have hds := DirectSum.isInternal_submodule_of_iSupIndep_of_iSup_eq_top
    (LieSubmodule.iSupIndep_toSubmodule.mpr <| iSupIndep_genWeightSpace' K L M)
    (LieSubmodule.iSup_toSubmodule_eq_top.mpr <| iSup_genWeightSpace_eq_top' K L M)
  simp_rw [traceForm_apply_apply, LinearMap.trace_eq_sum_trace_restrict hds hxy,
    ← traceForm_genWeightSpace_eq K L M _ x y]
  rfl