awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ
this : Ne.{u_1 + 1} (α := 𝕜) (↑(↑q.den : ℤ) : 𝕜) 0
rw :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑((↑(Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)) : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    (Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)).den
rw₁ :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑q.num : 𝕜) (↑(↑q.den : ℤ) : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    (Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)).den
rw₂ :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑q.num : 𝕜) (↑q.den : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    (Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)).den
⊢ addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑((↑q : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    q.den
have rw₃ : addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
    (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑q.num : 𝕜) (↑q.den : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
  q.den
Tactic: rw [← q.num_divInt_den, Rat.cast_divInt_of_ne_zero _ this, Int.cast_natCast, Rat.num_divInt_den,
    addOrderOf_div_of_gcd_eq_one' q.pos q.reduced]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
q : ℚ
this : Ne.{u_1 + 1} (α := 𝕜) (↑(↑q.den : ℤ) : 𝕜) 0
rw :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑((↑(Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)) : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    (Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)).den
rw₁ :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑q.num : 𝕜) (↑(↑q.den : ℤ) : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    (Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)).den
rw₂ :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑q.num : 𝕜) (↑q.den : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    (Rat.divInt q.num (↑q.den : ℤ)).den
rw₃ :
  addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑q.num : 𝕜) (↑q.den : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    q.den
⊢ addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑((↑q : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    q.den
have rw₄ : q.den = q.den
Tactic: rw [← q.num_divInt_den, Rat.cast_divInt_of_ne_zero _ this, Int.cast_natCast, Rat.num_divInt_den,
    addOrderOf_div_of_gcd_eq_one' q.pos q.reduced]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ n • u = 0 ↔ ∃ m < n, (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u
have refine_1 : (∃ m < n, (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u) → n • u = 0
Tactic: refine ⟨QuotientAddGroup.induction_on u fun k hk ↦ ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
refine_1 : (∃ m < n, (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u) → n • u = 0
⊢ n • u = 0 ↔ ∃ m < n, (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u
have refine_2 : ∀ (k : 𝕜) (hk : HSMul.hSMul (β := AddCircle p) n (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = 0),
  ∃ m < n,
    Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: refine ⟨QuotientAddGroup.induction_on u fun k hk ↦ ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ (∃ m < n, (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u) → n • u = 0
have refine_1 : (∃ m < n, (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u) → addOrderOf u ∣ n
Tactic: rw [← addOrderOf_dvd_iff_nsmul_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
h : 0 < n
m : ℕ
⊢ addOrderOf (G := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ∣ n
have refine_1 : n = addOrderOf (G := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) * m.gcd n
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : HSMul.hSMul (β := AddCircle p) n (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = 0
⊢ ∃ m < n,
    Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have hk₁ : ∃ (n_1 : ℤ), n_1 • p = n • k
Tactic: rw [← coe_nsmul, coe_eq_zero_iff] at hk
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
hk : ∃ (n_1 : ℤ), n_1 • p = n • k
⊢ ∃ m < n,
    Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have refine_2 : ∀ (a : ℤ) (ha : a • p = n • k),
  ∃ m < n,
    Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: obtain ⟨a, ha⟩ := hk
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
a : ℤ
ha : a • p = n • k
⊢ ∃ m < n,
    Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have refine_2 : Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(a.natMod (↑n : ℤ)) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
  (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: refine ⟨a.natMod n, Int.natMod_lt h.ne', ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
a : ℤ
ha : a • p = n • k
⊢ Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(a.natMod (↑n : ℤ)) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have h0 : Ne.{u_1 + 1} (α := 𝕜) (↑n : 𝕜) 0
Tactic: have h0 : (n : 𝕜) ≠ 0 := Nat.cast_ne_zero.2 h.ne'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
a : ℤ
ha : a • p = n • k
h0 : Ne.{u_1 + 1} (α := 𝕜) (↑n : 𝕜) 0
⊢ Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(a.natMod (↑n : ℤ)) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have ha₁ : (↑(a / (↑n : ℤ)) : 𝕜) * p + (a % (↑n : ℤ)) • p / (↑n : 𝕜) = k
Tactic: rw [nsmul_eq_mul, mul_comm, ← div_eq_iff h0, ← a.ediv_mul_add_emod n, add_smul, add_div,
    zsmul_eq_mul, Int.cast_mul, Int.cast_natCast, mul_assoc, ← mul_div, mul_comm _ p,
    mul_div_cancel_right₀ p h0] at ha
Cleared hypotheses: ha, h0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
k : 𝕜
a : ℤ
ha : (↑(a / (↑n : ℤ)) : 𝕜) * p + (a % (↑n : ℤ)) • p / (↑n : 𝕜) = k
h0 : Ne.{u_1 + 1} (α := 𝕜) (↑n : 𝕜) 0
⊢ Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(a.natMod (↑n : ℤ)) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have refine_2 : 0 ≤ a % (↑n : ℤ)
Tactic: rw [← ha, coe_add, ← Int.cast_natCast, Int.natMod, Int.toNat_of_nonneg, zsmul_eq_mul,
    mul_div_right_comm, eq_comm, add_eq_right, ← zsmul_eq_mul, coe_zsmul, coe_period, smul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
⊢ addOrderOf u = n ↔ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u
have refine_1 : (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u) → addOrderOf u = n
Tactic: refine ⟨QuotientAddGroup.induction_on u ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
n : ℕ
h : 0 < n
refine_1 :
  (∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u) → addOrderOf u = n
⊢ addOrderOf u = n ↔ ∃ m < n, m.gcd n = 1 ∧ (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = u
have refine_2 : ∀ (z : 𝕜),
  addOrderOf (G := AddCircle p) (↑z : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = n →
    ∃ m < n,
      m.gcd n = 1 ∧
        Eq (α := AddCircle p) (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) (↑z : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: refine ⟨QuotientAddGroup.induction_on u ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
k : 𝕜
h : 0 < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ ∃ m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p),
    m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) = 1 ∧
      Eq (α := AddCircle p)
        (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
          𝕜 ⧸ zmultiples p)
        (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have refine_2 : ∀ (m : ℕ) (hm : m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p))
  (hk :
    Eq (α := AddCircle p)
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
        𝕜 ⧸ zmultiples p)
      (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)),
  ∃ m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p),
    m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) = 1 ∧
      Eq (α := AddCircle p)
        (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
          𝕜 ⧸ zmultiples p)
        (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: obtain ⟨m, hm, hk⟩ := (AddCircle.nsmul_eq_zero_iff h).mp
    (addOrderOf_nsmul_eq_zero (k : AddCircle p))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
k : 𝕜
h : 0 < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
m : ℕ
hm : m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
hk :
  Eq (α := AddCircle p)
    (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
      𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ ∃ m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p),
    m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) = 1 ∧
      Eq (α := AddCircle p)
        (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
          𝕜 ⧸ zmultiples p)
        (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have refine_2 : m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
  1 * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: refine ⟨m, hm, mul_right_cancel₀ h.ne' ?_, hk⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
k : 𝕜
h : 0 < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
m : ℕ
hm : m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
hk :
  Eq (α := AddCircle p)
    (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
      𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
      addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    1 * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have h₁ : m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
  m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
    addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
        𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: convert! gcd_mul_addOrderOf_div_eq p m h using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
k : 𝕜
h : 0 < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
m : ℕ
hm : m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
hk :
  Eq (α := AddCircle p)
    (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
      𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
h₁ :
  m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
      addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
      addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
        (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
          𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
      addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    1 * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
have h₂ : 1 * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) = addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: convert! gcd_mul_addOrderOf_div_eq p m h using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
u : AddCircle p
k : 𝕜
h : 0 < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
m : ℕ
hm : m < addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
hk :
  Eq (α := AddCircle p)
    (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
      𝕜 ⧸ zmultiples p)
    (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
      addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
      addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p))
        (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑m : 𝕜) (↑(addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) : 𝕜) * p) :
          𝕜 ⧸ zmultiples p)
have h₁ : m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) * addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
  m.gcd (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)) *
    addOrderOf (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑k : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: rw [hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : Field 𝕜
p : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
a : 𝕜
⊢ ¬IsOfFinAddOrder (G := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑a : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ↔
    ∀ (q : ℚ), (↑q : 𝕜) ≠ a / p
have simp : (∀ (x : ℤ), ¬x = 0 → ∀ (x_1 : ℤ), ¬p * (↑x_1 : 𝕜) = a * (↑x : 𝕜)) ↔
  ∀ (a_1 b : ℤ), ¬b = 0 → ¬p * (↑a_1 : 𝕜) = a * (↑b : 𝕜)
Tactic: simp +contextual [← QuotientAddGroup.mk_zsmul, mul_comm (Int.cast _), mem_zmultiples_iff,
    eq_div_iff (Fact.out : 0 < p).ne', isOfFinAddOrder_iff_zsmul_eq_zero, Rat.forall, div_eq_iff,
    div_mul_eq_mul_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst : Field 𝕜
p q : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Bijective.{1, u_1 + 1} (β := (↑{u : AddCircle p | addOrderOf u = n} : Type u_1))
    fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
      Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ⋯
have refine_1 : ∀ (m₁ m₂ : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type))
  (h :
    Eq.{u_1 + 1} (α := (↑{u : AddCircle p | addOrderOf u = n} : Type u_1))
      ((fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
              Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
              (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) sorry :
            { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
        m₁)
      ((fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
              Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
              (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) sorry :
            { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
        m₂)),
  (↑m₁ : ℕ) = (↑m₂ : ℕ)
Tactic: refine ⟨fun m₁ m₂ h => Subtype.ext ?_, fun u => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst : Field 𝕜
p q : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
refine_1 :
  ∀ (m₁ m₂ : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type))
    (h :
      Eq.{u_1 + 1} (α := (↑{u : AddCircle p | addOrderOf u = n} : Type u_1))
        ((fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
            (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
                Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
                (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ⋯ :
              { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
          m₁)
        ((fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
            (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
                Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
                (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ⋯ :
              { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
          m₂)),
    (↑m₁ : ℕ) = (↑m₂ : ℕ)
⊢ Bijective.{1, u_1 + 1} (β := (↑{u : AddCircle p | addOrderOf u = n} : Type u_1))
    fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
      Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
      (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ⋯
have refine_2 : ∀ (u : (↑{u : AddCircle p | addOrderOf u = n} : Type u_1)),
  ∃ (a : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)),
    (fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
          (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
              Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
              (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) sorry :
            { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
        a =
      u
Tactic: refine ⟨fun m₁ m₂ h => Subtype.ext ?_, fun u => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst : Field 𝕜
p q : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
m₁ m₂ : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)
h :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (↑{u : AddCircle p | addOrderOf u = n} : Type u_1))
    ((fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
            Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
            (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ⋯ :
          { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
      m₁)
    ((fun (m : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (x : AddCircle p) ↦
            Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x)
            (↑(HDiv.hDiv (α := 𝕜) (↑(↑m : ℕ) : 𝕜) (↑n : 𝕜) * p) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) ⋯ :
          { x : AddCircle p // Membership.mem (γ := Set (AddCircle p)) {u : AddCircle p | addOrderOf u = n} x }))
      m₂)
⊢ (↑m₁ : ℕ) = (↑m₂ : ℕ)
have h₁ : HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₁ : ℕ)
    (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
  HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₂ : ℕ)
    (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
Tactic: simp_rw [Subtype.mk_eq_mk, natCast_div_mul_eq_nsmul] at h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst : Field 𝕜
p q : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
m₁ m₂ : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)
h :
  HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₁ : ℕ)
      (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₂ : ℕ)
      (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ (↑m₁ : ℕ) = (↑m₂ : ℕ)
have refine_1 : (↑m₁ : ℕ) ∈ Iio (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p))
Tactic: refine nsmul_injOn_Iio_addOrderOf ?_ ?_ h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst : Field 𝕜
p q : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
m₁ m₂ : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)
h :
  HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₁ : ℕ)
      (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₂ : ℕ)
      (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
refine_1 : (↑m₁ : ℕ) ∈ Iio (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p))
⊢ (↑m₁ : ℕ) = (↑m₂ : ℕ)
have refine_1₁ : (↑m₂ : ℕ) ∈ Iio (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p))
Tactic: refine nsmul_injOn_Iio_addOrderOf ?_ ?_ h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Instances.AddCircle.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst : Field 𝕜
p q : 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
hp : Fact (0 < p)
n : ℕ
hn : 0 < n
m₁ m₂ : (↑{m : ℕ | m < n ∧ m.gcd n = 1} : Type)
h :
  HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₁ : ℕ)
      (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p) =
    HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient 𝕜 (B := AddSubgroup 𝕜) (zmultiples p)) (↑m₂ : ℕ)
      (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p)
⊢ (↑m₁ : ℕ) ∈ Iio (addOrderOf (G := AddCircle p) (↑(p / (↑n : 𝕜)) : 𝕜 ⧸ zmultiples p))
have refine_1 : (↑m₁ : ℕ) ∈ Iio n
Tactic: rw [addOrderOf_period_div hn]