awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set (↑(D.U i) : Type u)
⊢ Eq (α := Set (↑(D.U j) : Type u))
    (Set.image (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f j i)) :
        (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U j) : Type u))
      (Set.image (α := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.t i j)) :
          (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.f i j)) :
            (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
          U)))
    (Set.image (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f j i)) :
        (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U j) : Type u))
      (Function.comp (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.f i j)) :
            (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.t j i)) :
            (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ⁻¹'
        U))
have h : Eq (α := Set (↑(D.V (j, i)) : Type u))
  (Set.image (α := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
          (D.t i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      U))
  (Function.comp (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.t j i)) :
        (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ⁻¹'
    U)
Tactic: congr! 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set (↑(D.U i) : Type u)
⊢ Eq (α := Set (↑(D.V (j, i)) : Type u))
    (Set.image (α := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.t i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.f i j)) :
          (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
        U))
    (Function.comp (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.f i j)) :
          (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.t j i)) :
          (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ⁻¹'
      U)
have h : Eq (α := Set (↑(D.V (i, j)) : Type u))
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (D.f i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
    U)
  ((fun (x : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ↦
      Function.comp (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u)) (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.f i j)) :
          (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
        ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.t j i)) :
            (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) :
          (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.t i j) :
              (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
            x :
          (↑(D.V (j, i)) : Type u))) ⁻¹'
    U)
Tactic: rw [← Set.eq_preimage_iff_image_eq, Set.preimage_preimage]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set (↑(D.U i) : Type u)
h :
  Eq (α := Set (↑(D.V (i, j)) : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      U)
    ((fun (x : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ↦
        Function.comp (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u)) (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.f i j)) :
            (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
          ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                  (D.t j i)) :
              (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) :
            (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                  (D.t i j) :
                (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
              x :
            (↑(D.V (j, i)) : Type u))) ⁻¹'
      U)
⊢ Eq (α := Set (↑(D.V (j, i)) : Type u))
    (Set.image (α := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.t i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.f i j)) :
          (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
        U))
    (Function.comp (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.f i j)) :
          (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.t j i)) :
          (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ⁻¹'
      U)
have h₁ : Function.Bijective (α := (↑(D.V (i, j)) : Type u)) (β := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (D.t i j)) :
    (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
Tactic: rw [← Set.eq_preimage_iff_image_eq, Set.preimage_preimage]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set (↑(D.U i) : Type u)
⊢ Eq (α := Set (↑(D.V (i, j)) : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      U)
    ((fun (x : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) ↦
        Function.comp (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u)) (β := (↑(D.V (i, j)) : Type u))
          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                (D.f i j)) :
            (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u))
          ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                  (D.t j i)) :
              (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u)) :
            (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.V (i, j)) : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
                  (D.t i j) :
                (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
              x :
            (↑(D.V (j, i)) : Type u))) ⁻¹'
      U)
have h : Eq (α := Set (↑(D.V (i, j)) : Type u))
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (D.f i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
    U)
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
          (D.t i j ≫ D.t j i ≫ D.f i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
    U)
Tactic: change _ = (D.t i j ≫ D.t j i ≫ _) ⁻¹' _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set (↑(D.U i) : Type u)
⊢ Eq (α := Set (↑(D.V (i, j)) : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      U)
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.t i j ≫ D.t j i ≫ D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      U)
have h : Eq (α := Set (↑(D.V (i, j)) : Type u))
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (D.f i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
    U)
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (D.f i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
    U)
Tactic: rw [𝖣.t_inv_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i j : D.J
U : Set (↑(D.U i) : Type u)
⊢ Function.Bijective (α := (↑(D.V (i, j)) : Type u)) (β := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
          (D.t i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u))
have h : IsIso (X := (↑(D.V (i, j)) : Type u)) (Y := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
  (↾(⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
          (D.t i j)) :
      (a : (↑(D.V (i, j)) : Type u)) → (↑(D.V (j, i)) : Type u)))
Tactic: rw [bijective_iff_isIso_ofHom]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens (↑(D.U i) : Type u)
⊢ IsOpen (X := (↑D.glued : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
            D.glued) (D.ι i)) :
        (a : (↑(D.U i) : Type u)) → (↑D.glued : Type u)) ''
      (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u)))
have rw : ∀ (i_1 : D.J),
  IsOpen (X := (↑(D.U i_1) : Type u))
    (Set.preimage (β := (↑D.glued : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
            D.glued) (D.ι i_1)) :
        (a : (↑(D.U i_1) : Type u)) → (↑D.glued : Type u))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
              D.glued) (D.ι i)) :
          (a : (↑(D.U i) : Type u)) → (↑D.glued : Type u)) ''
        (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u))))
Tactic: rw [isOpen_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens (↑(D.U i) : Type u)
j : D.J
⊢ IsOpen (X := (↑(D.U j) : Type u))
    (Set.preimage (β := (↑D.glued : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
            D.glued) (D.ι j)) :
        (a : (↑(D.U j) : Type u)) → (↑D.glued : Type u))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier) (Y :=
              D.glued) (D.ι i)) :
          (a : (↑(D.U i) : Type u)) → (↑D.glued : Type u)) ''
        (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u))))
have rw : IsOpen (X := (↑(D.U j) : Type u))
  (Set.image (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
          (D.f j i)) :
      (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U j) : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.t j i ≫ D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u))))
Tactic: rw [preimage_image_eq_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens (↑(D.U i) : Type u)
j : D.J
⊢ IsOpen (X := (↑(D.U j) : Type u))
    (Set.image (α := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.f j i)) :
        (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U j) : Type u))
      ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
              (D.t j i ≫ D.f i j)) :
          (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
        (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u))))
have a : IsOpen (X := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
  ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
          (D.t j i ≫ D.f i j)) :
      (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
    (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u)))
Tactic: apply (D.f_open _ _).isOpenMap
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
i : D.J
U : Opens (↑(D.U i) : Type u)
j : D.J
⊢ IsOpen (X := (↑(D.V (j, i)) : Type u))
    ((⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := carrier)
            (D.t j i ≫ D.f i j)) :
        (a : (↑(D.V (j, i)) : Type u)) → (↑(D.U i) : Type u)) ⁻¹'
      (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u)))
have a : IsOpen (↑U : Set (↑(D.U i) : Type u))
Tactic: apply (D.t j i ≫ D.f i j).hom.continuous_toFun.isOpen_preimage
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
          (h.t i j) :
        (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
          (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (h.t j i) :
          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
        x) =
    x
have refine_2 : ∀
  (this :
    Eq.{u_1 + 1} (α := (↑(h.U j) : Type u_1))
      (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                (h.t i j) :
              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
                (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
            (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V i j)
              (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                        carrier) (h.t j i) :
                      (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
                        (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
                    x) :
                (↑(h.U i) : Type u_1))
              sorry)) :
        (↑(h.U j) : Type u_1))
      (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                (h.t j j) :
              (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j j)) : Type u_1)) →
                (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j j)) : Type u_1))
            (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V j j) (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1)) sorry)) :
        (↑(h.U j) : Type u_1))),
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
          (h.t i j) :
        (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
          (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (h.t j i) :
          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
        x) =
    x
Tactic: have := h.cocycle j i j x ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
refine_2 :
  ∀
    (this :
      Eq.{u_1 + 1} (α := (↑(h.U j) : Type u_1))
        (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                  (h.t i j) :
                (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
                  (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
              (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V i j)
                (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                          carrier) (h.t j i) :
                        (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
                          (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
                      x) :
                  (↑(h.U i) : Type u_1))
                ⋯)) :
          (↑(h.U j) : Type u_1))
        (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
                  (h.t j j) :
                (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j j)) : Type u_1)) →
                  (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j j)) : Type u_1))
              (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V j j) (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ⋯)) :
          (↑(h.U j) : Type u_1))),
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (h.t i j) :
          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (h.t j i) :
            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
              (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
          x) =
      x
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
          (h.t i j) :
        (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
          (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (h.t j i) :
          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
        x) =
    x
have refine_1 : (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ∈ h.V j j
Tactic: have := h.cocycle j i j x ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (hypothesis)
Goal:
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (↑(h.U j) : Type u_1))
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (h.t i j) :
            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
              (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V i j)
            (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                      carrier) (h.t j i) :
                    (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
                      (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
                  x) :
              (↑(h.U i) : Type u_1))
            ⋯)) :
      (↑(h.U j) : Type u_1))
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
              (h.t j j) :
            (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j j)) : Type u_1)) →
              (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j j)) : Type u_1))
          (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V j j) (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ⋯)) :
      (↑(h.U j) : Type u_1))
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
          (h.t i j) :
        (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
          (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (h.t j i) :
          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
        x) =
    x
have this₁ : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC := carrier)
            (h.t i j) :
          (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1)) →
            (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U i) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V i j)
          (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_1}) ↦ C((↑X : Type u_1), (↑Y : Type u_1))) (CC :=
                    carrier) (h.t j i) :
                  (a : (↑((Opens.toTopCat (h.U j)).obj (h.V j i)) : Type u_1)) →
                    (↑((Opens.toTopCat (h.U i)).obj (h.V i j)) : Type u_1))
                x) :
            (↑(h.U i) : Type u_1))
          sorry)) :
    (↑(h.U j) : Type u_1)) =
  (↑(id (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ↦ x ∈ h.V j j) (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1)) sorry)) :
    (↑(h.U j) : Type u_1))
Tactic: rw [h.t_id] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
h : MkCore
i j : h.J
x : ↥(h.V j i)
⊢ (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1)) ∈ h.V j j
have refine_1 : Membership.mem (γ := Opens (↑(h.U j) : Type u_1)) ⊤ (↑x : (↑(h.U j) : Type u_1))
Tactic: rw [h.V_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
⊢ IsIso (h.t i j)
have h₁ : h.t i j ≫ h.t j i = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) ∧
  h.t j i ≫ h.t i j = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i))
Tactic: use h.t j i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
⊢ h.t i j ≫ h.t j i = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) ∧
    h.t j i ≫ h.t i j = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i))
have h₁ : h.t i j ≫ h.t j i = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j))
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Gluing (goal)
Goal:
D : GlueData
h : MkCore
i j : h.J
h₁ : h.t i j ≫ h.t j i = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j))
⊢ h.t i j ≫ h.t j i = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U i)) (h.V i j)) ∧
    h.t j i ≫ h.t i j = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i))
have h₂ : h.t j i ≫ h.t i j = 𝟙 (Functor.obj (Opens.toTopCat (h.U j)) (h.V j i))
Tactic: constructor