awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : Algebra.IsAlgebraic R S
a b : S
hb : b ≠ 0
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr :
  LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a' - b' • q) : R) : ℤ)
    ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) ((algebraMap R S : (a : R) → S) b' : S) : R) : ℤ)
rw :
  (abv : (a : R) → ℤ)
      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) ((algebraMap R S : (a : R) → S) b' : S) : R)
        ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a - q * b) : R)) =
    HMul.hMul (α := ℤ) (β := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a' - b' • q) : R) : ℤ)
      ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ)
rw₁ :
  (abv : (a : R) → ℤ)
      ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (HMul.hMul (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) b' : S) (r • a - q * b)) :
        R) =
    HMul.hMul (α := ℤ) (β := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a' - b' • q) : R) : ℤ)
      ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ)
rw₂ :
  Eq (α := ℤ)
    ((abv : (a : R) → ℤ)
        ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (HMul.hMul (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) b' : S) (r • a - q * b)) :
          R) :
      ℤ)
    ((abv : (a : R) → ℤ)
        (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a' - b' • q) : R)
          ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R)) :
      ℤ)
rw₃ :
  Eq (α := ℤ)
    ((abv : (a : R) → ℤ)
        ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (HMul.hMul (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) b' : S) (r • a - q * b)) :
          R) :
      ℤ)
    ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) ((r • a' - b' • q) * b) : R) : ℤ)
rw₄ :
  Eq (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (b' • (r • a - q * b)) : R) : ℤ)
    ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) ((r • a' - b' • q) * b) : R) : ℤ)
⊢ HMul.hMul (α := ℤ) (β := ℤ)
      ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) ((algebraMap R S : (a : R) → S) b' : S) : R) : ℤ)
      ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a - q * b) : R) : ℤ) =
    HMul.hMul (α := ℤ) (β := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (r • a' - b' • q) : R) : ℤ)
      ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ)
have rw₅ : Eq (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) (b' • r • a - b' • (q * b)) : R) : ℤ)
  ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) ((r • a' - b' • q) * b) : R) : ℤ)
Tactic: rw [← abv.map_mul, ← map_mul, ← abv.map_mul, ← map_mul, ← Algebra.smul_def,
    smul_sub b', sub_mul, smul_comm, h, mul_comm b a', Algebra.smul_mul_assoc r a' b,
    Algebra.smul_mul_assoc b' q b]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
⊢ Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) : S) (0 : S)
have refine : ¬Eq (α := R) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) 0
Tactic: refine mt ((injective_iff_map_eq_zero _).mp bS.algebraMap_injective _) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
⊢ ¬Eq (α := R) (∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m) 0
have simp : ∀ (x : R), ¬(x ∈ finsetApprox bS adm ∧ x = 0)
Tactic: simp only [Finset.prod_eq_zero_iff, not_exists]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
⊢ ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
Tactic: have hM : algebraMap R S M ≠ 0 := prod_finsetApprox_ne_zero bS adm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
⊢ ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have obtain : ∀ (b : S) (b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)) (b_ne_zero : b ≠ 0)
  (b_min :
    ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
      LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
          ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
        c = 0),
  ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
Tactic: obtain ⟨b, b_mem, b_ne_zero, b_min⟩ := exists_min abv I
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
this : Ideal.span {b} ∣ Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S)
⊢ ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have obtain : ∀ (J : Ideal S)
  (hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J),
  ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
Tactic: obtain ⟨J, hJ⟩ := this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have refine_1 : Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ J
Tactic: refine ⟨⟨J, ?_⟩, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
refine_1 : Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ J
⊢ ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have refine_2 : Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
  ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S)
      (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J sorry) :
    ClassGroup S)
Tactic: refine ⟨⟨J, ?_⟩, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
refine_1 : Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ J
refine_2 :
  Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
    ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S)
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J ⋯) :
      ClassGroup S)
⊢ ∃ (J : ↥(Ideal S)⁰),
    Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
        ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) J : ClassGroup S) ∧
      Membership.mem (α := S) (↑J : Ideal S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have refine_3 : Membership.mem (α := S)
  (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J sorry) : Ideal S)
  ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
Tactic: refine ⟨⟨J, ?_⟩, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ J
have refine_1 : J ≠ 0
Tactic: rw [mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
hJ :
  Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) =
    HMul.hMul (α := Ideal S) (Ideal.span {b}) 0
⊢ False
have hJ₁ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = ⊥
Tactic: rw [Ideal.zero_eq_bot, Ideal.mul_bot] at hJ
Cleared hypotheses: hJ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ Eq (α := ClassGroup S) ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S) I : ClassGroup S)
    ((mk0 : (a : ↥(Ideal S)⁰) → ClassGroup S)
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J ⋯) :
      ClassGroup S)
have refine_2 : ∃ (x : S) (y : S) (_ : x ≠ 0) (_ : y ≠ 0),
  Ideal.span {x} * (↑I : Ideal S) =
    Ideal.span {y} *
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J sorry) : Ideal S)
Tactic: rw [ClassGroup.mk0_eq_mk0_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ Membership.mem (α := S)
    (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J ⋯) : Ideal S)
    ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)
have refine_3 : (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J sorry) : Ideal S) ∣
  Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S))
Tactic: rw [← SetLike.mem_coe, ← Set.singleton_subset_iff, ← Ideal.span_le, ← Ideal.dvd_iff_le]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
apply : Ideal S
⊢ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J ⋯) : Ideal S) ∣
    Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S))
have apply₁ : Ne (α := Ideal S) (Ideal.span {b}) 0
Tactic: apply (mul_dvd_mul_iff_left _).mp _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
apply : Ideal S
apply₁ : Ne (α := Ideal S) (Ideal.span {b}) 0
⊢ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J ⋯) : Ideal S) ∣
    Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S))
have apply₂ : Ideal.span {b} *
    (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J sorry) : Ideal S) ∣
  HMul.hMul (α := Ideal S) (Ideal.span {b}) (Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)))
Tactic: apply (mul_dvd_mul_iff_left _).mp _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ Ideal.span {b} *
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Submonoid (Ideal S)) (Ideal S)⁰ x) J ⋯) : Ideal S) ∣
    HMul.hMul (α := Ideal S) (Ideal.span {b}) (Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)))
have rw : HMul.hMul (α := Ideal S) (Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S))) (Ideal.span {b}) ≤
  Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S)
Tactic: rw [Subtype.coe_mk, Ideal.dvd_iff_le, ← hJ, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ HMul.hMul (α := Ideal S) (Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S))) (Ideal.span {b}) ≤
    Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S)
have apply : Ideal.span {b} ≤ (↑I : Ideal S)
Tactic: apply Ideal.mul_mono le_rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.ClassNumber.Finite (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : EuclideanDomain R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : IsDomain S
inst_3 : Algebra R S
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst_4 : DecidableEq ι
inst_5 : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst_6 : Infinite R
inst_7 : DecidableEq R
inst_8 : IsDedekindDomain S
inst_9 : Algebra.IsAlgebraic R S
I : ↥(Ideal S)⁰
M : R := ∏ m ∈ finsetApprox bS adm, m
hM : Ne.{u_2 + 1} (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S) (0 : S)
b : S
b_mem : b ∈ (↑I : Ideal S)
b_ne_zero : b ≠ 0
b_min :
  ∀ c ∈ (↑I : Ideal S),
    LT.lt (α := ℤ) ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) c : R) : ℤ)
        ((abv : (a : R) → ℤ) ((Algebra.norm R : (a : S) → R) b : R) : ℤ) →
      c = 0
J : Ideal S
hJ : Ideal.span (singleton (α := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) M : S)) * (↑I : Ideal S) = Ideal.span {b} * J
⊢ Ideal.span {b} ≤ (↑I : Ideal S)
have rw : b ∈ (↑(↑I : Ideal S) : Set S)
Tactic: rw [Ideal.span_le, Set.singleton_subset_iff]