awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x : ↥(P.rootSpan S)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N)
    (∑ x_1 : ι,
      HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N) ((P.coroot'In S x_1 : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) x : S)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) x_1 : N))
    (∑ i : ι,
      HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
have refine : ∀ (i : ι) (hi : Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ i),
  HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N) ((P.coroot'In S i : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) x : S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
Tactic: refine Finset.sum_congr rfl fun i hi ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x : ↥(P.rootSpan S)
i : ι
hi : Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ i
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N) ((P.coroot'In S i : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) x : S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
have rw : HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R) ((P.coroot'In S i : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) x : S) : R)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
Tactic: rw [algebra_compatible_smul R (P.coroot'In S i x) (P.coroot i), algebraMap_coroot'In_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x : ↥(P.rootSpan S)
i : ι
hi : Membership.mem (γ := Finset ι) Finset.univ i
rw :
  HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
      ((algebraMap S R : (a : S) → R) ((P.coroot'In S i : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) x : S) : R)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N) ((P.coroot'In S i : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) x : S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
have rw₁ : HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N) ((P.coroot' i : (a : M) → R) (↑x : M) : R)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)
Tactic: rw [algebra_compatible_smul R (P.coroot'In S i x) (P.coroot i), algebraMap_coroot'In_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Fintype ι
⊢ Submodule.map P.Polarization (P.rootSpan R) = LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.PolarizationIn R)
have h : ∀ (x : N),
  x ∈ Submodule.map P.Polarization (P.rootSpan R) ↔
    Membership.mem (γ := Submodule R N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan R)) (P.PolarizationIn R)) x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
x y : ↥(P.rootSpan S)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) (↑y : M) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
        ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) x : N) :
      R)
    ((algebraMap S R : (a : S) → R)
        ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) x :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
              (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
            y :
          S) :
      R)
have rw : Eq.{u_2 + 1} (α := R)
  ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) (↑y : M) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
      ((P.Polarization : (a : M) → N) (↑x : M) : N) :
    R)
  ((((P.RootForm : (a : M) → M →ₗ[R] R) (↑x : M) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (↑y : M) : R)
Tactic: rw [PolarizationIn_eq, algebraMap_rootFormIn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : P.IsValuedIn S
inst_12 : Fintype ι
x : N
hx : Membership.mem (γ := Submodule S N) (LinearMap.range (M := ↥(P.rootSpan S)) (P.PolarizationIn S)) x
⊢ Membership.mem (γ := Submodule S N) (P.corootSpan S) x
have obtain : ∀ (y : ↥(P.rootSpan S)) (hy : (P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) y = x),
  Membership.mem (γ := Submodule S N) (P.corootSpan S) x
Tactic: obtain ⟨y, hy⟩ := hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : P.IsValuedIn S
inst_12 : Fintype ι
x : N
y : ↥(P.rootSpan S)
hy : (P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) y = x
⊢ Membership.mem (γ := Submodule S N) (P.corootSpan S) x
have hy₁ : ∑ i : ι,
    HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N) ((P.coroot'In S i : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) y : S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  x
Tactic: rw [PolarizationIn_apply] at hy
Cleared hypotheses: hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
have simp_rw : Eq.{u_4 + 1} (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
  (∑ j : ι,
    HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
      ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N))
Tactic: simp_rw [PolarizationIn_apply, coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
have hP : Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
  (∑ j : ι,
      HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
        ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
    N)
Tactic: have hP : P.PolarizationIn S (P.rootSpanMem S i) =
      ∑ j : ι, P.pairingIn S i (P.reflectionPerm i j) • P.coroot (P.reflectionPerm i j) := by
    simp_rw [PolarizationIn_apply, coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn]
    exact (Fintype.sum_equiv (P.reflectionPerm i)
          (fun j ↦ P.pairingIn S i (P.reflectionPerm i j) • P.coroot (P.reflectionPerm i j))
          (fun j ↦ P.pairingIn S i j • P.coroot j) (congrFun rfl)).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := N) 2 ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
have rw : HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
    ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) :
      S)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
Tactic: rw [two_nsmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
      ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
have nth_rw : HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
    ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) :
      S)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
Tactic: nth_rw 2 [hP]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (β := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
      (∑ j : ι,
          HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
            ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
        N)
have rw : HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
    ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) :
      S)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HAdd.hAdd (α := N)
    (∑ i_1 : ι,
      HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
        ((P.coroot'In S i_1 : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) (P.rootSpanMem S i) : S) ((P.coroot : (a : ι) → N) i_1 : N))
    (∑ j : ι,
      HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
        ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N))
Tactic: rw [PolarizationIn_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N)
      (∑ i_1 : ι,
        HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
          ((P.coroot'In S i_1 : (a : ↥(P.rootSpan S)) → S) (P.rootSpanMem S i) : S) ((P.coroot : (a : ι) → N) i_1 : N))
      (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N))
have simp : HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
    ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
            LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
          (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
        (P.rootSpanMem S i) :
      S)
    ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
    (∑ x : ι,
      (-HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) +
        P.pairingIn S i x •
          HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
            ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
              R)
            ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)))
Tactic: simp only [coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn, pairingIn_reflectionPerm,
    pairingIn_reflectionPerm_self_left, ← reflectionPerm_coroot, neg_smul,
    smul_sub, sub_neg_eq_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((P.RootFormIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S) (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
      (∑ x : ι,
        (-HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) +
          P.pairingIn S i x •
            HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
              ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                  ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
                R)
              ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N)))
have rw : HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
      ((((∑ i : ι, LinearMap.smulRight (P.coroot'In S i) (P.coroot'In S i) :
                  (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S)
                (P.rootSpanMem S i) :
              LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
            (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
          (P.rootSpanMem S i) :
        S)
      ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) -
    ∑ x : ι,
      P.pairingIn S i x •
        HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
          ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
              ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
            R)
          ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
  HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
    (∑ x : ι, -HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
Tactic: rw [Finset.sum_add_distrib, ← add_assoc, ← sub_eq_iff_eq_add, RootFormIn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.CanonicalBilinear (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
S : Type u_5
inst_5 : CommRing S
inst_6 : Algebra S R
inst_7 : FaithfulSMul S R
inst_8 : Module S M
inst_9 : IsScalarTower S R M
inst_10 : Module S N
inst_11 : IsScalarTower S R N
inst_12 : P.IsValuedIn S
inst_13 : Fintype ι
i : ι
hP :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P.PolarizationIn S : (a : ↥(P.rootSpan S)) → N) (P.rootSpanMem S i) : N)
    (∑ j : ι,
        HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j))
          ((P.coroot : (a : ι) → N) ((P.reflectionPerm i : (a : ι) → ι) j : ι) : N) :
      N)
⊢ HSMul.hSMul.{u_5, u_4, u_4} (α := S) (β := N)
        ((((∑ i : ι, LinearMap.smulRight (P.coroot'In S i) (P.coroot'In S i) :
                    (a : ↥(P.rootSpan S)) → ↥(P.rootSpan S) →ₗ[S] S)
                  (P.rootSpanMem S i) :
                LinearMap.{u_5, u_5, u_3, u_5} (RingHom.id S) (↥(P.rootSpan S)) S) :
              (a : ↥(P.rootSpan S)) → S)
            (P.rootSpanMem S i) :
          S)
        ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) -
      ∑ x : ι,
        P.pairingIn S i x •
          HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
            ((((P.toLinearMap : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
                ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N) :
              R)
            ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N) =
    HAdd.hAdd (α := N) (∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
      (∑ x : ι, -HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) x : N))
have simp : Eq.{u_4 + 1} (α := N)
  (∑ i_1 : ι, HSMul.hSMul (β := N) (P.pairingIn S i i_1 * P.pairingIn S i i_1) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
  (∑ x : ι, P.pairingIn S i x • HSMul.hSMul (β := N) (P.pairing i x) ((P.coroot : (a : ι) → N) i : N))
Tactic: simp only [LinearMap.coe_sum, LinearMap.coe_smulRight, Finset.sum_apply,
    coroot'In_rootSpanMem_eq_pairingIn, LinearMap.smul_apply, smul_eq_mul, Finset.sum_smul,
    root_coroot_eq_pairing, Finset.sum_neg_distrib, add_neg_cancel, sub_eq_zero]