awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
V : Opens (↑U : Type v)
x : (↑U : Type v)
hx : x ∈ V
rw :
  Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x)) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
hx₁ : x ∈ V
rw₁ :
  Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
hx₂ : x ∈ V
⊢ Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (X.presheaf.germ (h.functor.obj V)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              f :
            (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x)
        ⋯ ≫
      Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
have rw₂ : (X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ 𝟙 ((X.restrict h).presheaf.stalk x) = (X.restrict h).presheaf.germ V x hx
Tactic: rw [← restrictStalkIso_hom_eq_germ, Category.assoc, Iso.hom_inv_id, Category.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
V : Opens (↑U : Type v)
x : (↑U : Type v)
hx : x ∈ V
rw :
  Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x)) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
hx₁ : x ∈ V
rw₁ :
  Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
hx₂ : x ∈ V
rw₂ : (X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ 𝟙 ((X.restrict h).presheaf.stalk x) = (X.restrict h).presheaf.germ V x hx
hx₃ : x ∈ V
⊢ Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (X.presheaf.germ (h.functor.obj V)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              f :
            (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x)
        ⋯ ≫
      Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
have rw₃ : Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x) ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
  ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
Tactic: rw [← restrictStalkIso_hom_eq_germ, Category.assoc, Iso.hom_inv_id, Category.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
x : (↑U : Type v)
⊢ IsIso (X :=
    X.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (X.ofRestrict h).base :
          (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
        x))
    (Hom.stalkMap (X.ofRestrict h) x)
have rw : IsIso (X :=
  X.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (X.ofRestrict h).base :
        (a : (↑(↑(X.restrict h) : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x))
  (Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
Tactic: rw [← restrictStalkIso_inv_eq_ofRestrict]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
⊢ Hom.stalkMap (𝟙 X) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have dsimp : map (stalkFunctor C x) (Hom.c (𝟙 X)) ≫ stalkPushforward C (𝟙 (↑X : TopCat)) X.presheaf x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: dsimp [Hom.stalkMap]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
⊢ map (stalkFunctor C x) (Hom.c (𝟙 X)) ≫ stalkPushforward C (𝟙 (↑X : TopCat)) X.presheaf x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have ih : ∀ (U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type v)) (hxU : x ∈ U),
  X.presheaf.germ U x hxU ≫ map (stalkFunctor C x) (Hom.c (𝟙 X)) ≫ stalkPushforward C (𝟙 (↑X : TopCat)) X.presheaf x =
    X.presheaf.germ U x hxU ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h₁ : α = β
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h₂ : x = x'
⊢ X.presheaf.stalk x = X.presheaf.stalk x'
have rw : X.presheaf.stalk x' = X.presheaf.stalk x'
Tactic: rw [h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h₁ : α = β
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h₂ : x = x'
⊢ Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) =
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            β.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x')
have rw : Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          β.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x) =
  Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          β.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x')
Tactic: rw [h₁, h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h₁ : α = β
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h₂ : x = x'
rw :
  Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            β.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) =
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            β.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x')
⊢ Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) =
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            β.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x')
have rw₁ : Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          β.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x') =
  Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          β.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x')
Tactic: rw [h₁, h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h₁ : α = β
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h₂ : x = x'
⊢ Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x')
    (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x')
have ih : ∀ (U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
  (hxU :
    Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x :
        (↑(↑Y : TopCat) : Type v))),
  Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x')
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
      (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hxU)
      (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom sorry))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
      (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hxU)
      (eqToHom sorry ≫ Hom.stalkMap β x'))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h₁ : α = β
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h₂ : x = x'
U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)
hxU :
  Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
⊢ Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x')
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
      (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hxU)
      (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
      (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hxU)
      (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x'))
have ih : Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
  (CategoryStruct.comp (Y :=
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
    (Y.presheaf.germ U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x)
      hxU)
    (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom sorry))
  (CategoryStruct.comp (Y :=
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
    (Y.presheaf.germ U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x)
      hxU)
    (eqToHom sorry ≫ Hom.stalkMap α x))
Tactic: substs h₁ h₂
Cleared hypotheses: β, h₁, x', h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
⊢ Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) =
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            β.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x)
have rw : Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          β.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x) =
  Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          β.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x)
Tactic: rw [h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
⊢ Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (Hom.stalkMap α x) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x)
have rw : Eq (α :=
  Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) ⟶
    X.presheaf.stalk x)
  (Hom.stalkMap α x) (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom sorry)
Tactic: rw [← stalkMap.congr α β h x x rfl, eqToHom_refl, Category.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
rw :
  Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (Hom.stalkMap α x) (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯)
⊢ Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (Hom.stalkMap α x) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x)
have rw₁ : Hom.stalkMap α x = Hom.stalkMap α x ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: rw [← stalkMap.congr α β h x x rfl, eqToHom_refl, Category.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α β : X ⟶ Y
h : α = β
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
rw :
  Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (Hom.stalkMap α x) (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯)
rw₁ : Hom.stalkMap α x = Hom.stalkMap α x ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
⊢ Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (Hom.stalkMap α x) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap β x)
have rw₂ : Eq (α :=
  Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) ⟶
    X.presheaf.stalk x)
  (Hom.stalkMap α x) (Hom.stalkMap α x)
Tactic: rw [← stalkMap.congr α β h x x rfl, eqToHom_refl, Category.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h : x = x'
⊢ X.presheaf.stalk x = X.presheaf.stalk x'
have rw : X.presheaf.stalk x' = X.presheaf.stalk x'
Tactic: rw [h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h : x = x'
⊢ Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) =
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x')
have rw : Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          α.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x') =
  Y.presheaf.stalk
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          α.base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
      x')
Tactic: rw [h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
x x' : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
h : x = x'
⊢ Eq (α :=
    Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x')
    (Hom.stalkMap α x ≫ eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap α x')
have rw : Eq (α :=
  Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) ⟶
    X.presheaf.stalk x')
  (eqToHom sorry ≫ Hom.stalkMap α x') (eqToHom sorry ≫ Hom.stalkMap α x')
Tactic: rw [stalkMap.congr α α rfl x x' h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
have rw : (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
        (Hom.base (𝟙 X)) :
      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    x =
  x
Tactic: rw [IsIso.hom_inv_id α, id_base, TopCat.id_app]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
rw :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (Hom.base (𝟙 X)) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
have rw₁ : (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
        (𝟙 (↑X : TopCat)) :
      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    x =
  x
Tactic: rw [IsIso.hom_inv_id α, id_base, TopCat.id_app]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
rw :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (Hom.base (𝟙 X)) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
rw₁ :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (𝟙 (↑X : TopCat)) :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
have rw₂ : x = x
Tactic: rw [IsIso.hom_inv_id α, id_base, TopCat.id_app]