awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
i : ↥s
h : i ∈ s.attach
hfi : (H (↑i : ι)).FiniteIndex
⊢ ∑ s_1 : ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}),
      (↑(if
              K (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})) i s_1) =
                D then
            1
          else 0) :
        ℚ) =
    HMul.hMul (α := ℚ) (↑(H (↑i : ι)).index : ℚ)⁻¹ (↑D.index : ℚ)
have pos : Eq (α := ℚ)
  (∑ s_1 : ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}),
    (↑(if
            K (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1})) i s_1) =
              D then
          1
        else 0) :
      ℚ))
  (↑(D.relIndex (H (↑i : ι))) : ℚ)
Tactic: rw [← relIndex_mul_index (hD_le i.2 hfi), Nat.cast_mul, mul_comm,
        mul_inv_cancel_right₀ (Nat.cast_ne_zero.mpr hfi.index_ne_zero)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
i : ↥s
h : i ∈ s.attach
hfi : ¬(H (↑i : ι)).FiniteIndex
⊢ ∑ s_1 : ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}),
      (↑(if
              K (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})) i s_1) =
                D then
            1
          else 0) :
        ℚ) =
    HMul.hMul (α := ℚ) (↑(H (↑i : ι)).index : ℚ)⁻¹ (↑D.index : ℚ)
have neg : Eq (α := ℚ)
  (∑ s_1 : ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}),
    (↑(if
            K (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1})) i s_1) =
              D then
          1
        else 0) :
      ℚ))
  0
Tactic: rw [of_not_not (FiniteIndex.mk.mt hfi), Nat.cast_zero, inv_zero, zero_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (hypothesis)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
have hdensity : ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
Tactic: have hdensity : ∑ i ∈ s, ((H i).index : ℚ)⁻¹ =
      (Finset.univ.filter (K · = D)).card * (D.index : ℚ)⁻¹ := by
    rw [eq_mul_inv_iff_mul_eq₀ (Nat.cast_ne_zero.mpr hD.index_ne_zero), Finset.sum_mul,
      ← Finset.sum_attach, eq_comm, Finset.card_filter, Nat.cast_sum, ← Finset.univ_sigma_univ,
      Finset.sum_sigma, Finset.sum_coe_sort_eq_attach]
    refine Finset.sum_congr rfl fun i _ => ?_
    by_cases hfi : (H i).FiniteIndex
    · rw [← relIndex_mul_index (hD_le i.2 hfi), Nat.cast_mul, mul_comm,
        mul_inv_cancel_right₀ (Nat.cast_ne_zero.mpr hfi.index_ne_zero)]
      simpa [K, hfi] using (ht i.1 i.2 hfi).1.card_left
    · rw [of_not_not (FiniteIndex.mk.mt hfi), Nat.cast_zero, inv_zero, zero_mul]
      simpa [K, hfi] using hHD i hfi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
have refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ
Tactic: refine ⟨?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
have refine_2 : LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹)
Tactic: refine ⟨?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ
refine_2 : LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
have refine_3 : Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
  Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
    g i • (↑(H i) : Set G)
Tactic: refine ⟨?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ
have refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G))
  (⋃ (x : ι),
    ⋃ (hx : x ∈ s),
      ⋃ (a :
        ↥(if h : (H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) : ι)).FiniteIndex then
            t (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) : ι) sorry h
          else {1})),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D}
            (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
              (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a)),
          f
              (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
                (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a) •
            (↑D : Set G))
Tactic: rw [← hcovers', Set.iUnion_sigma, Set.iUnion_subtype]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
⊢ LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹)
have refine_2 : 1 ≤ HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
Tactic: rw [hdensity]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity :
  ∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹ = HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
⊢ 1 ≤ HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹
have refine_2 : HMul.hMul (α := ℚ) 1 (↑D.index : ℚ) ≤
  HMul.hMul (α := ℚ) (↑(Finset.card (α := κ) {x : κ | K x = D}) : ℚ) (↑D.index : ℚ)⁻¹ * (↑D.index : ℚ)
Tactic: refine le_of_mul_le_mul_right ?_ (Nat.cast_pos.mpr (Nat.pos_of_ne_zero hD.index_ne_zero))