awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k : ↥b.support
l : ι
h₁ :
  ∀ (x : ι),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∧
        k = i ∧ x = -(↑i : ι))
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inl k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inl k) (Sum.inr l)
have h₂ : ∀ (x : ι),
  ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
        HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
      k = i ∧ x = (↑i : ι))
Tactic: have h₂ (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root i + P.root l ∧ k = i ∧ x = i) := by
      simp only [not_and]
      rintro contra rfl rfl
      simp [P.ne_zero] at contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k l : ι
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
have a : ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (↑i : ι)) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (↑i : ι)) (Sum.inr l)
Tactic: rcases eq_or_ne k i with rfl | hki
Cleared hypotheses: k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k l : ι
a : ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (↑i : ι)) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (↑i : ι)) (Sum.inr l)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
have a₁ : ∀ (hki : k ≠ (↑i : ι)), ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
Tactic: rcases eq_or_ne k i with rfl | hki
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l x : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ False
have refine : (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
Tactic: refine P.nsmul_notMem_range_root (n := 2) (i := i) ⟨x, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l x : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
have rwa : ∀
  (contra :
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) =
      (P.root : (a : ι) → M) x),
  (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
Tactic: rwa [eq_sub_iff_add_eq, ← two_smul ℕ, eq_comm] at contra
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l x : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
rwa :
  ∀
    (contra :
      HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) x),
    (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
have rwa₁ : ∀ (contra : HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) = (P.root : (a : ι) → M) x),
  (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
Tactic: rwa [eq_sub_iff_add_eq, ← two_smul ℕ, eq_comm] at contra
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l x : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
rwa :
  ∀
    (contra :
      HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) =
        (P.root : (a : ι) → M) x),
    (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
rwa₁ :
  ∀ (contra : HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) = (P.root : (a : ι) → M) x),
    (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
have rwa₂ : ∀ (contra : (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)),
  (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
Tactic: rwa [eq_sub_iff_add_eq, ← two_smul ℕ, eq_comm] at contra
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (↑i : ι)) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (↑i : ι)) (Sum.inr l)
have hx : ∀ (x : ι),
  ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
        HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
      (P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
Tactic: have hx (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root i + P.root l ∧ P.root i = P.root x - P.root i) := by
        rintro ⟨-, contra⟩
        refine P.nsmul_notMem_range_root (n := 2) (i := i) ⟨x, ?_⟩
        rwa [eq_sub_iff_add_eq, ← two_smul ℕ, eq_comm] at contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k l : ι
hki : k ≠ (↑i : ι)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
have a : ∀ (hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)), ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l)
Tactic: rcases eq_or_ne k (-i) with rfl | hki'
Cleared hypotheses: k, hki
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k l : ι
hki : k ≠ (↑i : ι)
a : ∀ (hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)), ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
have a₁ : ∀ (hki' : k ≠ -(↑i : ι)), ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
Tactic: rcases eq_or_ne k (-i) with rfl | hki'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)
x : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)
⊢ False
have refine : (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) : M)
Tactic: refine P.nsmul_notMem_range_root (n := 2) (i := -i) ⟨x, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)
x : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) x = HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 2 ((P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) : M)
have contra₁ : (P.root : (a : ι) → M) x =
  -HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
Tactic: replace contra : P.root x = -(P.root i + P.root i) := by
          simpa [neg_eq_iff_add_eq_zero, ← add_assoc, add_eq_zero_iff_eq_neg'] using contra
Cleared hypotheses: contra
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l)
have hx : ∀ (x : ι),
  ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∧
      (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
        HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
Tactic: have hx (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root l - P.root i ∧ P.root (-i) = P.root i + P.root x) := by
        rintro ⟨-, contra⟩
        refine P.nsmul_notMem_range_root (n := 2) (i := -i) ⟨x, ?_⟩
        replace contra : P.root x = -(P.root i + P.root i) := by
          simpa [neg_eq_iff_add_eq_zero, ← add_assoc, add_eq_zero_iff_eq_neg'] using contra
        simp [contra, two_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)
hx :
  ∀ (x : ι),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l)
have aux : ∀ (x : ι),
  ¬(P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
      HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
Tactic: have aux (x : ι) : ¬ P.root (-i) = P.root x - P.root i := by
        simp [P.ne_zero x, eq_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
l : ι
hki : -(↑i : ι) ≠ (↑i : ι)
hx :
  ∀ (x : ι),
    ¬((P.root : (a : ι) → M) x =
          HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ∧
        (P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
          HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M))
aux :
  ∀ (x : ι),
    ¬(P.root : (a : ι) → M) (-(↑i : ι)) =
        HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr (-(↑i : ι))) (Sum.inr l)
have a : -HAdd.hAdd (α := R)
      (∑ x : ↥b.support,
        HMul.hMul (α := R) (↑|b.cartanMatrix i x| : R)
          (Matrix.fromBlocks (l := ↥b.support) (o := ι) 0
            ((Matrix.of : (a : ↥b.support → ι → R) → Matrix (↥b.support) ι R) fun (i' : ↥b.support) (j : ι) ↦
              if i' = i ∧ j = -(↑i : ι) then 1 else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ↥b.support → R) → Matrix ι (↥b.support) R) fun (i' : ι) (j : ↥b.support) ↦
              if i' = (↑i : ι) then (↑|b.cartanMatrix i j| : R) else 0)
            ((Matrix.of : (a : ι → ι → R) → Matrix ι ι R) fun (i' j : ι) ↦
              if
                  (P.root : (a : ι) → M) i' =
                    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
                      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) then
                HAdd.hAdd (α := R)
                  (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) j) : R) 1
              else 0)
            (Sum.inl x) (Sum.inr l)))
      (∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) x =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) then
          0
        else 0) =
  if -(↑i : ι) = l then (↑(P.pairingIn ℤ (-(↑i : ι)) (↑i : ι)) : R) else 0
Tactic: simp only [e, f, h, Ring.lie_def, Matrix.sub_apply, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₁, Matrix.of_apply, hki, reduceIte, zero_mul, Finset.sum_const_zero,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₂, mul_ite, ite_mul, mul_zero, ← ite_and, if_neg (hx _), add_zero,
        aux, zero_sub, Matrix.diagonal_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k l : ι
hki : k ≠ (↑i : ι)
hki' : k ≠ -(↑i : ι)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
have a : ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr k) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr k)
Tactic: rcases eq_or_ne k l with rfl | hkl
Cleared hypotheses: l
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
k l : ι
hki : k ≠ (↑i : ι)
hki' : k ≠ -(↑i : ι)
a : ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr k) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr k)
⊢ ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
have a₁ : ∀ (hkl : k ≠ l), ⁅e i, f i⁆ (Sum.inr k) (Sum.inr l) = h i (Sum.inr k) (Sum.inr l)
Tactic: rcases eq_or_ne k l with rfl | hkl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i : ↥b.support
inst_10 : P.IsReduced
this_1 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this_2 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
⊢ ⁅e i, f i⁆ = h i
have a : ∀ (k l : ↥b.support), ⁅e i, f i⁆ (Sum.inl k) (Sum.inl l) = h i (Sum.inl k) (Sum.inl l)
Tactic: classical
  ext (k | k) (l | l)
  · simp [e, f, h]
  · have h₁ (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root l - P.root i ∧ k = i ∧ x = -i) := by
      simp only [not_and]
      rintro contra rfl rfl
      simp [P.ne_zero, sub_eq_add_neg] at contra
    have h₂ (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root i + P.root l ∧ k = i ∧ x = i) := by
      simp only [not_and]
      rintro contra rfl rfl
      simp [P.ne_zero] at contra
    simp [e, f, h, h₁, h₂, -indexNeg_neg, ← ite_and]
  · simp [e, f, h]
  · rcases eq_or_ne k i with rfl | hki
    · have hx (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root i + P.root l ∧ P.root i = P.root x - P.root i) := by
        rintro ⟨-, contra⟩
        refine P.nsmul_notMem_range_root (n := 2) (i := i) ⟨x, ?_⟩
        rwa [eq_sub_iff_add_eq, ← two_smul ℕ, eq_comm] at contra
      simp only [e, f, h, P.ne_zero, P.ne_neg, Ring.lie_def, Fintype.sum_sum_type, Matrix.sub_apply,
        Matrix.mul_apply, Matrix.fromBlocks_apply₂₁, Matrix.of_apply, Matrix.fromBlocks_apply₂₂,
        left_eq_add, zero_mul, mul_zero, ite_mul, mul_ite, ← ite_and]
      rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) (by aesop)]
      simp [hx, eq_comm]
    rcases eq_or_ne k (-i) with rfl | hki'
    · have hx (x : ι) : ¬ (P.root x = P.root l - P.root i ∧ P.root (-i) = P.root i + P.root x) := by
        rintro ⟨-, contra⟩
        refine P.nsmul_notMem_range_root (n := 2) (i := -i) ⟨x, ?_⟩
        replace contra : P.root x = -(P.root i + P.root i) := by
          simpa [neg_eq_iff_add_eq_zero, ← add_assoc, add_eq_zero_iff_eq_neg'] using contra
        simp [contra, two_smul]
      have aux (x : ι) : ¬ P.root (-i) = P.root x - P.root i := by
        simp [P.ne_zero x, eq_comm]
      simp only [e, f, h, Ring.lie_def, Matrix.sub_apply, Matrix.mul_apply, Fintype.sum_sum_type,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₁, Matrix.of_apply, hki, reduceIte, zero_mul, Finset.sum_const_zero,
        Matrix.fromBlocks_apply₂₂, mul_ite, ite_mul, mul_zero, ← ite_and, if_neg (hx _), add_zero,
        aux, zero_sub, Matrix.diagonal_apply]
      rw [Finset.sum_eq_single_of_mem i (Finset.mem_univ _) (by aesop)]
      simp [eq_comm, apply_ite ((-·) : R → R)]
    rcases eq_or_ne k l with rfl | hkl
    · exact lie_e_f_same_aux i k hki hki'
    · simp_all [h, e, f]