awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
hy :
  Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)))
    y
refine_1 :
  ∀ (x : Bˣ) (h : Membership.mem (γ := Set Bˣ) (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)) x),
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x_1 : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑x : B) = (f : (a : A) → B) x_1
⊢ ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
have refine_1₁ : ∃ (a : A),
  Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
    ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) a : B) ((↑1 : B) : B) = (f : (a : A) → B) x
Tactic: induction hy using Subgroup.closure_induction with
    | mem _ h =>
      obtain ⟨a, ha⟩ := h
      exact ⟨a, ha.symm ▸ Units.ne_zero _, ⟨a * a, by simp [← ha]⟩⟩
    | one => exact ⟨1, by simp, 1, by simp⟩
    | mul c d hc hd hcy hdy =>
      obtain ⟨u, hu, a, ha⟩ := hcy
      obtain ⟨v, hv, b, hb⟩ := hdy
      refine ⟨u * v, by simp [hu, hv], a * b, ?_⟩
      simpa [map_mul, Units.val_mul, ← hb, ← ha] using mul_mul_mul_comm ..
    | inv c hc hcy =>
      obtain ⟨u, hu, a, ha⟩ := hcy
      exact ⟨a, by simp [← ha, hu], u, by simp [← ha]⟩
Cleared hypotheses: hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
hy :
  Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)))
    y
refine_1 :
  ∀ (x : Bˣ) (h : Membership.mem (γ := Set Bˣ) (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)) x),
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x_1 : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑x : B) = (f : (a : A) → B) x_1
refine_1₁ :
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) a : B) ((↑1 : B) : B) = (f : (a : A) → B) x
⊢ ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
have refine_1₂ : ∀ (c d : Bˣ)
  (hc :
    Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ)
      (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B))) c)
  (hd :
    Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ)
      (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B))) d)
  (hcy :
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑c : B) = (f : (a : A) → B) x)
  (hdy :
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑d : B) = (f : (a : A) → B) x),
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑(c * d) : B) = (f : (a : A) → B) x
Tactic: induction hy using Subgroup.closure_induction with
    | mem _ h =>
      obtain ⟨a, ha⟩ := h
      exact ⟨a, ha.symm ▸ Units.ne_zero _, ⟨a * a, by simp [← ha]⟩⟩
    | one => exact ⟨1, by simp, 1, by simp⟩
    | mul c d hc hd hcy hdy =>
      obtain ⟨u, hu, a, ha⟩ := hcy
      obtain ⟨v, hv, b, hb⟩ := hdy
      refine ⟨u * v, by simp [hu, hv], a * b, ?_⟩
      simpa [map_mul, Units.val_mul, ← hb, ← ha] using mul_mul_mul_comm ..
    | inv c hc hcy =>
      obtain ⟨u, hu, a, ha⟩ := hcy
      exact ⟨a, by simp [← ha, hu], u, by simp [← ha]⟩
Cleared hypotheses: hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
hy :
  Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)))
    y
refine_1 :
  ∀ (x : Bˣ) (h : Membership.mem (γ := Set Bˣ) (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)) x),
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x_1 : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑x : B) = (f : (a : A) → B) x_1
refine_1₁ :
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) a : B) ((↑1 : B) : B) = (f : (a : A) → B) x
refine_1₂ :
  ∀ (c d : Bˣ)
    (hc :
      Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ)
        (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B))) c)
    (hd :
      Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ)
        (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B))) d)
    (hcy :
      ∃ (a : A),
        Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
          ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑c : B) = (f : (a : A) → B) x)
    (hdy :
      ∃ (a : A),
        Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
          ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑d : B) = (f : (a : A) → B) x),
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑(c * d) : B) = (f : (a : A) → B) x
⊢ ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
have refine_1₃ : ∀ (c : Bˣ)
  (hc :
    Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ)
      (Subgroup.closure (Units.val ⁻¹' range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B))) c)
  (hcy :
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑c : B) = (f : (a : A) → B) x),
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑c⁻¹ : B) = (f : (a : A) → B) x
Tactic: induction hy using Subgroup.closure_induction with
    | mem _ h =>
      obtain ⟨a, ha⟩ := h
      exact ⟨a, ha.symm ▸ Units.ne_zero _, ⟨a * a, by simp [← ha]⟩⟩
    | one => exact ⟨1, by simp, 1, by simp⟩
    | mul c d hc hd hcy hdy =>
      obtain ⟨u, hu, a, ha⟩ := hcy
      obtain ⟨v, hv, b, hb⟩ := hdy
      refine ⟨u * v, by simp [hu, hv], a * b, ?_⟩
      simpa [map_mul, Units.val_mul, ← hb, ← ha] using mul_mul_mul_comm ..
    | inv c hc hcy =>
      obtain ⟨u, hu, a, ha⟩ := hcy
      exact ⟨a, by simp [← ha, hu], u, by simp [← ha]⟩
Cleared hypotheses: hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hy : HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) y
have hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
Tactic: have hv : f x ≠ 0 := by
      simp only [← hy, ne_eq, mul_eq_zero, ha, Units.ne_zero, or_self, not_false_eq_true]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hy : HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) y
have hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
Tactic: have hv₀ : f x = ↑v := IsUnit.unit_spec (Ne.isUnit hv)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hy : HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) y
have ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
Tactic: have ha₀ : f a = ↑u := IsUnit.unit_spec (Ne.isUnit ha)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hy : HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
hv₁ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
ha₁ :
  let u := ⋯.unit;
  (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) y
have hy₁ : let u := sorry.unit;
u⁻¹ * v = y
Tactic: rw_mod_cast [hv₀, ha₀, Eq.comm, ← inv_mul_eq_iff_eq_mul] at hy
Cleared hypotheses: hy, hv₀, u, ha₀
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    ¬Eq.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
hy : u⁻¹ * v = y
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) y
have refine_2 : Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) (u⁻¹ * v)
Tactic: rw [← hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    ¬Eq.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
hy : u⁻¹ * v = y
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) (u⁻¹ * v)
have refine_2 : Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) u⁻¹
Tactic: apply Subgroup.mul_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    ¬Eq.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
hy : u⁻¹ * v = y
refine_2 : Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) u⁻¹
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) (u⁻¹ * v)
have refine_2₁ : Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) v
Tactic: apply Subgroup.mul_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    ¬Eq.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
hy : u⁻¹ * v = y
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) u⁻¹
have refine_2 : Membership.mem (γ := Set B) (range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)) (↑u : B)
Tactic: apply inv_mem_valueGroup
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
h :
  ∃ (a : A),
    ¬Eq.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
a : A
ha : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B)
x : A
hv : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B)
v : Bˣ := ⋯.unit
hv₀ : (f : (a : A) → B) x = (↑v : B)
u : Bˣ := ⋯.unit
ha₀ : (f : (a : A) → B) a = (↑u : B)
hy : u⁻¹ * v = y
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) v
have refine_2 : Membership.mem (γ := Set B) (range.{u_2, u_1 + 1} (ι := A) (⇑f : (a : A) → B)) (↑v : B)
Tactic: apply mem_valueGroup
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
y : Bˣ
⊢ Membership.mem (γ := Subgroup Bˣ) (valueGroup f) y ↔
    ∃ (a : A),
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
        ∃ (x : A),
          Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B) ∧
            HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
have rw : (∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A), HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x) ↔
  ∃ (a : A),
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (0 : B) ∧
      ∃ (x : A),
        Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) x : B) (0 : B) ∧
          HMul.hMul (α := B) ((f : (a : A) → B) a : B) (↑y : B) = (f : (a : A) → B) x
Tactic: rw [mem_valueGroup_iff_of_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
r₁ s₁ r₂ s₂ : A
hr₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) (0 : B)
hs₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B) (0 : B)
hr₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) (0 : B)
hs₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) (0 : B)
⊢ Eq (α := ↥(valueGroup f)) (mk f r₁ s₁ hr₁ hs₁) (mk f r₂ s₂ hr₂ hs₂) ↔
    Eq.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) (r₁ * s₂) : B) ((f : (a : A) → B) (r₂ * s₁) : B)
have simp : HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ) =
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) ↔
  HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) =
    HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B)
Tactic: simp only [mk, Subtype.mk.injEq, map_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
r₁ s₁ r₂ s₂ : A
hr₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) (0 : B)
hs₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B) (0 : B)
hr₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) (0 : B)
hs₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) (0 : B)
⊢ HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ) =
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) ↔
    HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) =
      HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B)
have rw : HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁ : Bˣ) =
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂ : Bˣ) ↔
  HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) =
    HMul.hMul (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B)
Tactic: rw [inv_mul_eq_inv_mul_iff_mul_eq_mul, eq_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
r₁ s₁ r₂ s₂ : A
hr₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) (0 : B)
hs₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B) (0 : B)
hr₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) (0 : B)
hs₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) (0 : B)
⊢ HMul.hMul (α := ↥(valueGroup f)) (mk f r₁ s₁ hr₁ hs₁) (mk f r₂ s₂ hr₂ hs₂) = mk f (r₁ * r₂) (s₁ * s₂) ⋯ ⋯
have simp : HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ) *
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) =
  (HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) sorry : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) sorry : Bˣ))⁻¹ *
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) sorry : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) sorry : Bˣ)
Tactic: simp only [mk, map_mul, MulMemClass.mk_mul_mk, Units.mk0_mul, Subtype.mk.injEq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
r₁ s₁ r₂ s₂ : A
hr₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) (0 : B)
hs₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B) (0 : B)
hr₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) (0 : B)
hs₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) (0 : B)
⊢ HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ) *
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) =
    (HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) ⋯ : Bˣ)
          (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) ⋯ : Bˣ))⁻¹ *
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) ⋯ : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) ⋯ : Bˣ)
have rw : HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
      ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ) *
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) =
  (HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) sorry : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) sorry : Bˣ))⁻¹ *
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) sorry : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) sorry : Bˣ)
Tactic: rw [mul_mul_mul_comm, mul_inv]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
r₁ s₁ r₂ s₂ : A
hr₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₁ : B) (0 : B)
hs₁ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₁ : B) (0 : B)
hr₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r₂ : B) (0 : B)
hs₂ : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s₂ : B) (0 : B)
rw :
  HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
        ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ) *
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) =
    (HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) ⋯ : Bˣ)
          (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) ⋯ : Bˣ))⁻¹ *
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) ⋯ : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) ⋯ : Bˣ)
⊢ HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ) *
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ)
        (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) =
    (HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) ⋯ : Bˣ)
          (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) ⋯ : Bˣ))⁻¹ *
      HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) ⋯ : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) ⋯ : Bˣ)
have rw₁ : HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) hr₁)⁻¹ : Bˣ)
      ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) hr₂)⁻¹ : Bˣ) *
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) hs₁ : Bˣ)
      (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) hs₂ : Bˣ) =
  HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₁) sorry)⁻¹ : Bˣ)
      ((Units.mk0 ((f : (a : A) → B) r₂) sorry)⁻¹ : Bˣ) *
    HMul.hMul (α := Bˣ) (β := Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₁) sorry : Bˣ) (Units.mk0 ((f : (a : A) → B) s₂) sorry : Bˣ)
Tactic: rw [mul_mul_mul_comm, mul_inv]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.GroupWithZero.Range (goal)
Goal:
A : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
inst : FunLike F A B
f : F
inst_1 : MonoidWithZero A
inst_2 : CommGroupWithZero B
inst_3 : MonoidWithZeroHomClass F A B
x : ValueGroup₀ f
⊢ x = 0 ∨
    ∃ (r : A) (s : A) (hr : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r : B) (0 : B)) (hs :
      Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s : B) (0 : B)),
      x = (↑(valueGroup.mk f r s hr hs) : WithZero ↥(valueGroup f))
have none : Eq.{u_2 + 1} (α := ValueGroup₀ f) none 0 ∨
  ∃ (r : A) (s : A) (hr : Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) r : B) (0 : B)) (hs :
    Ne.{u_2 + 1} (α := B) ((f : (a : A) → B) s : B) (0 : B)),
    Eq (α := ValueGroup₀ f) none (↑(valueGroup.mk f r s hr hs) : WithZero ↥(valueGroup f))
Tactic: obtain _ | ⟨x, hx⟩ := x
Cleared hypotheses: x