-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Group.UniqueProds.Basic (goal)
Goal:
G_1 : Type u
H : Type v
inst : Mul G_1
inst_1 : Mul H
ι : Type u_2
G : ι → Type u_1
inst_2 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_3 : ∀ (i : ι), TwoUniqueProds.{u_1} (G i)
A : Finset ((i : ι) → G i)
let let₁ let₂ :
  ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
    1 < #A * #B → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₃ let₄ :
  ∀ (x : Finset ((i : ι) → G i)),
    (∀ y ⊂ x,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2) →
      ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
        1 < #x * #B → ∃ p1 ∈ x ×ˢ B, ∃ p2 ∈ x ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul x B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul x B p2.1 p2.2
let₅ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)},
    1 < #A * #B → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₆ let₇ let₈ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B), ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₉ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B) (hA : 0 < #A) (hB : 0 < #B) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₁₀ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B) (hA : A.Nonempty) (hB : B.Nonempty) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₁₁ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B) (hA : A.Nonempty) (hB : B.Nonempty) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B) (i : ι)
    (hc :
      (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
        1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₁₂ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B) (hA : A.Nonempty) (hB : B.Nonempty) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B) (i : ι)
    (hc :
      (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
        1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B)
    (p1 : G i × G i)
    (h1 :
      p1 ∈
        SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
          (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B))
    (p2 : G i × G i)
    (h2 :
      p2 ∈
        SProd.sprod (α := Finset (G i)) (β := Finset (G i)) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A)
          (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B))
    (hne : p1 ≠ p2)
    (hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2)
    (hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
let₁₃ :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B) (hA : A.Nonempty) (hB : B.Nonempty) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B) (i : ι)
    (hc :
      (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
        1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B)
    (p1 p2 : G i × G i) (hne : p1 ≠ p2)
    (hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2)
    (hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2)
    (h1 : {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty)
    (h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
refine_2 :
  ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihA :
      ∀ y ⊂ A,
        ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
          1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
    {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
    (ihB :
      ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
    (hc : 1 < #A * #B) (hA : A.Nonempty) (hB : B.Nonempty) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B) (i : ι)
    (hc :
      (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
        1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B)
    (p1 p2 : G i × G i) (hne : p1 ≠ p2)
    (hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2)
    (hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2)
    (h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty)
    (h1 :
      ∃ a ∈ {a ∈ A | a i = p1.1},
        ∃ b ∈ {a ∈ B | a i = p1.2}, UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) a b),
    ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
⊢ ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
    1 < #A * #B → ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2
have refine_1 : ∀ (A : Finset ((i : ι) → G i))
  (ihA :
    ∀ y ⊂ A,
      ∀ {B : Finset ((i : ι) → G i)},
        1 < #y * #B → ∃ p1 ∈ y ×ˢ B, ∃ p2 ∈ y ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul y B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul y B p2.1 p2.2)
  {B : Finset ((i : ι) → G i)} (B : Finset ((i : ι) → G i))
  (ihB :
    ∀ y ⊂ B, 1 < #A * #y → ∃ p1 ∈ A ×ˢ y, ∃ p2 ∈ A ×ˢ y, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A y p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A y p2.1 p2.2)
  (hc : 1 < #A * #B) (hA : A.Nonempty) (hB : B.Nonempty) (hc : 1 < #A ∨ 1 < #B) (i : ι)
  (hc :
    (1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ A | x i = ai} ⊂ A) ∨
      1 < card.{u_1} (α := G i) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) ∧ ∀ (ai : G i), {x ∈ B | x i = ai} ⊂ B)
  (p1 p2 : G i × G i) (hne : p1 ≠ p2)
  (hi1 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p1.1 p1.2)
  (hi2 : UniqueMul (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) A) (image (fun (x : (i : ι) → G i) ↦ x i) B) p2.1 p2.2)
  (h1 : {a ∈ A | a i = p1.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p1.2}.Nonempty)
  (h2 : {a ∈ A | a i = p2.1}.Nonempty ∧ {a ∈ B | a i = p2.2}.Nonempty),
  1 < #({a ∈ A | a i = p1.1}) * #({a ∈ B | a i = p1.2}) →
    ∃ p1_1 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
      ∃ p2 ∈ {a ∈ A | a i = p1.1} ×ˢ {a ∈ B | a i = p1.2},
        p1_1 ≠ p2 ∧
          UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p1_1.1 p1_1.2 ∧
            UniqueMul ({a ∈ A | a i = p1.1}) ({a ∈ B | a i = p1.2}) p2.1 p2.2
Tactic: classical
    let _ := isWellFounded_ssubset (α := ∀ i, G i) -- why need this?
    apply IsWellFounded.induction (· ⊂ ·) A; intro A ihA B
    apply IsWellFounded.induction (· ⊂ ·) B; intro B ihB hc
    obtain ⟨hA, hB, hc⟩ := Nat.one_lt_mul_iff.mp hc
    rw [card_pos] at hA hB
    obtain ⟨i, hc⟩ := exists_or.mpr (hc.imp exists_of_one_lt_card_pi exists_of_one_lt_card_pi)
    obtain ⟨p1, h1, p2, h2, hne, hi1, hi2⟩ := uniqueMul_of_one_lt_card (Nat.one_lt_mul_iff.mpr
      ⟨card_pos.2 (hA.image _), card_pos.2 (hB.image _), hc.imp And.left And.left⟩)
    simp_rw [mem_product, mem_image, ← filter_nonempty_iff] at h1 h2
    replace h1 := uniqueMul_of_twoUniqueMul ?_ h1.1 h1.2
    on_goal 1 => replace h2 := uniqueMul_of_twoUniqueMul ?_ h2.1 h2.2
    · obtain ⟨a1, ha1, b1, hb1, hu1⟩ := h1
      obtain ⟨a2, ha2, b2, hb2, hu2⟩ := h2
      rw [mem_filter] at ha1 hb1 ha2 hb2
      simp_rw [mem_product]
      refine ⟨(a1, b1), ⟨ha1.1, hb1.1⟩, (a2, b2), ⟨ha2.1, hb2.1⟩, ?_,
        UniqueMul.of_image_filter (Pi.evalMulHom G i) ha1.2 hb1.2 hi1 hu1,
        UniqueMul.of_image_filter (Pi.evalMulHom G i) ha2.2 hb2.2 hi2 hu2⟩
      grind
    all_goals rcases hc with hc | hc; · exact ihA _ (hc.2 _)
    · by_cases hA : {a ∈ A | a i = p2.1} = A
      · rw [hA]
        exact ihB _ (hc.2 _)
      · exact ihA _ ((A.filter_subset _).ssubset_of_ne hA)
    · by_cases hA : {a ∈ A | a i = p1.1} = A
      · rw [hA]
        exact ihB _ (hc.2 _)
      · exact ihA _ ((A.filter_subset _).ssubset_of_ne hA)