awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
have obtain : ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
  (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
  (hi :
    ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
      ∃ (r : k),
        ∀ (j : ι),
          r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
  ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
Tactic: obtain ⟨w'', fs'', hw'', hw''p', hi⟩ := hp.exists_affineCombination_eq_smul_eq hs hw hp'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
have refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) 1
Tactic: refine ⟨Set.indicator fs'' w'', ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) 1
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
have refine_2 : (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') = p'
Tactic: refine ⟨Set.indicator fs'' w'', ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) 1
refine_2 : (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') = p'
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
have refine_3 : ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
  ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
Tactic: refine ⟨Set.indicator fs'' w'', ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) 1
have refine_1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) (∑ j ∈ fs'', w'' j)
Tactic: rw [← hw'']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
⊢ (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') = p'
have refine_2 : Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') : P)
  ((Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' : P)
Tactic: rw [← hw''p']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
i : (↑s : Type u_4)
⊢ ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
have refine_3 : ∀ (r : k)
  (hr :
    ∀ (j : ι),
      r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
  ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
Tactic: obtain ⟨r, hr⟩ := hi i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  ∀ (j : ι),
    r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
⊢ ∃ (r : k),
    ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
have refine_3 : ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
Tactic: refine ⟨r, fun j ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  ∀ (j : ι),
    r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
j : ι
⊢ r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
have h : r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j
Tactic: convert! hr j using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  ∀ (j : ι),
    r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
j : ι
h : r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j
⊢ r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j
have h₁ : Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
Tactic: convert! hr j using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  ∀ (j : ι),
    r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
j : ι
⊢ Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
have pos : ∀ (hj : j = (↑i : ι)),
  Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
Tactic: by_cases hj : j = (i : ι)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
w'' : ι → k
fs'' : Finset ι
hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1
hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p'
hi :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    ∃ (r : k),
      ∀ (j : ι),
        r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
i : (↑s : Type u_4)
r : k
hr :
  ∀ (j : ι),
    r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
j : ι
pos :
  ∀ (hj : j = (↑i : ι)),
    Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
⊢ Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
have neg : ∀ (hj : ¬j = (↑i : ι)),
  Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ ((↑fs'' : Set ι).indicator w'') j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j
Tactic: by_cases hj : j = (i : ι)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
have obtain : ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
  (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
  (hi :
    ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
      ∃ (r : k),
        ∀ (j : ι),
          r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
  ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
Tactic: classical
  obtain ⟨w'', fs'', hw'', hw''p', hi⟩ := hp.exists_affineCombination_eq_smul_eq hs hw hp'
  refine ⟨Set.indicator fs'' w'', ?_, ?_, ?_⟩
  · rw [← hw'']
    exact Finset.sum_indicator_subset _ (by simp)
  · rw [← hw''p']
    exact (Finset.affineCombination_indicator_subset _ _ (by simp)).symm
  · intro i
    obtain ⟨r, hr⟩ := hi i
    refine ⟨r, fun j ↦ ?_⟩
    convert! hr j using 1
    · simp [Set.indicator_apply]
    · by_cases hj : j = (i : ι) <;> simp [Set.indicator_apply, hj]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Ceva (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
inst_4 : Fintype ι
p : ι → P
hp : AffineIndependent k p
s : Set ι
hs : s.Nonempty
w : (↑s : Type u_4) → ι → k
hw : ∀ (i : (↑s : Type u_4)), Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w i j) 1
p' : P
hp' :
  ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
    Membership.mem (γ := AffineSubspace k P)
      (affineSpan k
        (insert (p (↑i : ι))
          (singleton (α := P) ((Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) (w i) : P))))
      p'
obtain :
  ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
    (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
    (hi :
      ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
        ∃ (r : k),
          ∀ (j : ι),
            r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j =
              ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
    ∃ (w' : ι → k),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
        (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
          ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
            ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
⊢ ∃ (w' : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, w' j) 1 ∧
      (Finset.affineCombination k Finset.univ p : (a : ι → k) → P) w' = p' ∧
        ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
          ∃ (r : k), ∀ (j : ι), r * Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ (w i) j = Set.indicator {(↑i : ι)}ᶜ w' j
have refine_1 : ∀ (w'' : ι → k) (fs'' : Finset ι) (hw'' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j ∈ fs'', w'' j) 1)
  (hw''p' : (Finset.affineCombination k fs'' p : (a : ι → k) → P) w'' = p')
  (hi :
    ∀ (i : (↑s : Type u_4)),
      ∃ (r : k),
        ∀ (j : ι),
          r * ((↑Finset.univ : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator (w i) j = ((↑fs'' : Set ι) \ {(↑i : ι)}).indicator w'' j),
  Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ j : ι, (↑fs'' : Set ι).indicator w'' j) 1
Tactic: classical
  obtain ⟨w'', fs'', hw'', hw''p', hi⟩ := hp.exists_affineCombination_eq_smul_eq hs hw hp'
  refine ⟨Set.indicator fs'' w'', ?_, ?_, ?_⟩
  · rw [← hw'']
    exact Finset.sum_indicator_subset _ (by simp)
  · rw [← hw''p']
    exact (Finset.affineCombination_indicator_subset _ _ (by simp)).symm
  · intro i
    obtain ⟨r, hr⟩ := hi i
    refine ⟨r, fun j ↦ ?_⟩
    convert! hr j using 1
    · simp [Set.indicator_apply]
    · by_cases hj : j = (i : ι) <;> simp [Set.indicator_apply, hj]