-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
    Set.univ
have rw : ∀
  (hcovers :
    Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • (↑(H i) : Set G))
      Set.univ),
  let D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k;
  ∀ (hD : D.FiniteIndex) (hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i)
    (t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i))
    (ht :
      ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
        IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
          ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)),
    let κ := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1});
    let f : (k : κ) → G := fun (k : κ) ↦
      g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) : ι) *
        (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
              ↥(H (↑k.fst : ι))) :
          G);
    let K : (k : κ) → Subgroup G := fun (k : κ) ↦
      if
          (H
              (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
                ι)).FiniteIndex then
        D
      else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) : ι);
    Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
      Set.univ
Tactic: rw [← s.filter_union_filter_not_eq (fun i => (H i).FiniteIndex)] at hcovers
Cleared hypotheses: hcovers, D, hD, hD_le, t, ht, κ, f, K