awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
pos : ∀ (his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0), ∀ i ∈ s, w i = 0
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0
have neg : ∀ (his : ¬(i ∈ s ∧ w i ≠ 0)), ∀ i ∈ s, w i = 0
Tactic: by_cases his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0
have pos : Membership.mem (γ := AffineSubspace k P) (affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})) (p i)
Tactic: refine False.elim (hi ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P) (affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})) (p i)
have hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
Tactic: have hms : s.weightedVSub p wm = (0 : V) := by simp [wm, hs]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P) (affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})) (p i)
have hwm : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, wm i) 0
Tactic: have hwm : ∑ i ∈ s, wm i = 0 := by simp [wm, ← Finset.mul_sum, hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
hwm : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, wm i) 0
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P) (affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})) (p i)
have hwmi : wm i = -1
Tactic: have hwmi : wm i = -1 := by simp [wm, his.2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
hwm : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, wm i) 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ wm (↑x : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 1
have simp_rw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s with x ≠ i, wm x) 1
Tactic: simp_rw [w', s', Finset.sum_subtype_eq_sum_filter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
hwm : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, wm i) 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ wm (↑x : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s with x ≠ i, wm x) 1
have hwm₁ : HAdd.hAdd (α := k) (∑ x ∈ s with x ≠ i, wm x) (∑ x ∈ s with ¬x ≠ i, wm x) = 0
Tactic: rw [← s.sum_filter_add_sum_filter_not (· ≠ i)] at hwm
Cleared hypotheses: hwm, hwmi, w'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
hwm : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, wm i) 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ wm (↑x : ι)
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P) (affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})) (p i)
have hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 1
Tactic: have hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 1 := by
        simp_rw [w', s', Finset.sum_subtype_eq_sum_filter]
        rw [← s.sum_filter_add_sum_filter_not (· ≠ i)] at hwm
        simpa only [not_not, Finset.filter_eq' _ i, if_pos his.1, sum_singleton, hwmi,
          add_neg_eq_zero] using hwm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
hms : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) wm : V) (0 : V)
hwm : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, wm i) 0
hwmi : wm i = -1
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ wm (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 1
⊢ Membership.mem (γ := AffineSubspace k P) (affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})) (p i)
have pos : Membership.mem (α := P) (γ := AffineSubspace k P)
  (affineSpan k
    (Set.range (ι := { x : ι // Membership.mem (γ := Set ι) {x : ι | x ≠ i} x })
      (p ∘ Subtype.val (p := fun (x : ι) ↦ Membership.mem (γ := Set ι) {x : ι | x ≠ i} x))))
  ((affineCombination k (Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s) fun (i_1 : { x : ι // x ≠ i }) ↦ p (↑i_1 : ι) :
        (a : { x : ι // x ≠ i } → k) → P)
      fun (i_1 : { x : ι // x ≠ i }) ↦ wm (↑i_1 : ι) :
    P)
Tactic: rw [← s.affineCombination_eq_of_weightedVSub_eq_zero_of_eq_neg_one hms his.1 hwmi, ←
        (Subtype.range_coe : _ = { x | x ≠ i }), ← Set.range_comp, ←
        s.affineCombination_subtype_eq_filter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : ¬(i ∈ s ∧ w i ≠ 0)
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0
have his₁ : i ∉ s ∨ w i = 0
Tactic: rw [not_and_or, Classical.not_not] at his
Cleared hypotheses: his
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
have simp_rw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s with x ≠ i, w x) 0
Tactic: simp_rw [w', s', Finset.sum_subtype_eq_sum_filter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s with x ≠ i, w x) 0
have rw : ∀ x ∈ s, w x ≠ 0 → x ≠ i
Tactic: rw [Finset.sum_filter_of_ne, hw]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0
have hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
Tactic: have hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0 := by
        simp_rw [w', s', Finset.sum_subtype_eq_sum_filter]
        rw [Finset.sum_filter_of_ne, hw]
        rintro x hxs hwx rfl
        exact hwx (his.neg_resolve_left hxs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s'.weightedVSub p' : (a : { y : ι // y ≠ i } → k) → V) w' : V) (0 : V)
have simp_rw : Eq.{u_2 + 1} (α := V) (({x ∈ s | x ≠ i}.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
Tactic: simp_rw [w', s', p', Finset.weightedVSub_subtype_eq_filter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := V) (({x ∈ s | x ≠ i}.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
have h : ∀ i_1 ∈ s, w i_1 ≠ 0 → i_1 ≠ i
Tactic: rw [Finset.weightedVSub_filter_of_ne, hs]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
⊢ ∀ i ∈ s, w i = 0
have hs' : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s'.weightedVSub p' : (a : { y : ι // y ≠ i } → k) → V) w' : V) (0 : V)
Tactic: have hs' : s'.weightedVSub p' w' = (0 : V) := by
        simp_rw [w', s', p', Finset.weightedVSub_subtype_eq_filter]
        rw [Finset.weightedVSub_filter_of_ne, hs]
        rintro x hxs hwx rfl
        exact hwx (his.neg_resolve_left hxs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
hs' : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s'.weightedVSub p' : (a : { y : ι // y ≠ i } → k) → V) w' : V) (0 : V)
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ w j = 0
have pos : ∀ (hji : j = i), w j = 0
Tactic: by_cases hji : j = i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
hs' : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s'.weightedVSub p' : (a : { y : ι // y ≠ i } → k) → V) w' : V) (0 : V)
j : ι
hj : j ∈ s
pos : ∀ (hji : j = i), w j = 0
⊢ w j = 0
have neg : ∀ (hji : ¬j = i), w j = 0
Tactic: by_cases hji : j = i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
s' : Finset { y : ι // y ≠ i } := Finset.subtype (fun (x : ι) ↦ x ≠ i) s
p' : { y : ι // y ≠ i } → P := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
his : i ∉ s ∨ w i = 0
w' : { y : ι // y ≠ i } → k := fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ w (↑x : ι)
hw' : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ x ∈ s', w' x) 0
hs' : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s'.weightedVSub p' : (a : { y : ι // y ≠ i } → k) → V) w' : V) (0 : V)
j : ι
hj : j ∈ s
hji : j = i
⊢ w j = 0
have hj₁ : i ∈ s
Tactic: rw [hji] at hj
Cleared hypotheses: hj, hji
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : DivisionRing k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i : ι
ha : AffineIndependent.{u_1, u_2, u_3, u_4} k (P := P) fun (x : { y : ι // y ≠ i }) ↦ p (↑x : ι)
hi : p i ∉ affineSpan k (p '' {x : ι | x ≠ i})
⊢ AffineIndependent k p
have intro : ∀ (s : Finset ι) (w : ι → k),
  Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0 →
    Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V) → ∀ i ∈ s, w i = 0
Tactic: classical
    intro s w hw hs
    let s' : Finset { y // y ≠ i } := s.subtype (· ≠ i)
    let p' : { y // y ≠ i } → P := fun x => p x
    by_cases his : i ∈ s ∧ w i ≠ 0
    · refine False.elim (hi ?_)
      let wm : ι → k := -(w i)⁻¹ • w
      have hms : s.weightedVSub p wm = (0 : V) := by simp [wm, hs]
      have hwm : ∑ i ∈ s, wm i = 0 := by simp [wm, ← Finset.mul_sum, hw]
      have hwmi : wm i = -1 := by simp [wm, his.2]
      let w' : { y // y ≠ i } → k := fun x => wm x
      have hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 1 := by
        simp_rw [w', s', Finset.sum_subtype_eq_sum_filter]
        rw [← s.sum_filter_add_sum_filter_not (· ≠ i)] at hwm
        simpa only [not_not, Finset.filter_eq' _ i, if_pos his.1, sum_singleton, hwmi,
          add_neg_eq_zero] using hwm
      rw [← s.affineCombination_eq_of_weightedVSub_eq_zero_of_eq_neg_one hms his.1 hwmi, ←
        (Subtype.range_coe : _ = { x | x ≠ i }), ← Set.range_comp, ←
        s.affineCombination_subtype_eq_filter]
      exact affineCombination_mem_affineSpan hw' p'
    · rw [not_and_or, Classical.not_not] at his
      let w' : { y // y ≠ i } → k := fun x => w x
      have hw' : ∑ x ∈ s', w' x = 0 := by
        simp_rw [w', s', Finset.sum_subtype_eq_sum_filter]
        rw [Finset.sum_filter_of_ne, hw]
        rintro x hxs hwx rfl
        exact hwx (his.neg_resolve_left hxs)
      have hs' : s'.weightedVSub p' w' = (0 : V) := by
        simp_rw [w', s', p', Finset.weightedVSub_subtype_eq_filter]
        rw [Finset.weightedVSub_filter_of_ne, hs]
        rintro x hxs hwx rfl
        exact hwx (his.neg_resolve_left hxs)
      intro j hj
      by_cases hji : j = i
      · rw [hji] at hj
        exact hji.symm ▸ his.neg_resolve_left hj
      · exact ha s' w' hw' hs' ⟨j, hji⟩ (Finset.mem_subtype.2 hj)