-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.ColimitFunctor (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : LocallySmall.{w, v, u} C
inst_2 : IsCofiltered.{v, u} C
inst_3 : InitiallySmall.{w, v, u} C
R : CategoryTheory.Functor.{v, w, u, w + 1} Cᵒᵖ RingCat
cR : Cocone R
hcR : IsColimit cR
M : PresheafOfModules R
cM : Cocone M.presheaf
hcM : IsColimit cM
M' : PresheafOfModules R
cM' : Cocone M'.presheaf
hcM' : IsColimit cM'
M'' : PresheafOfModules R
cM'' : Cocone M''.presheaf
hcM'' : IsColimit cM''
N : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)
φ : ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM) ⟶ N
⊢ Eq (α :=
    Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
          LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM)) ⟶
      Functor.obj
        (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
          LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
          (CD := AddCommGrpCat.carrier))
        (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (↑N : Type w)))
    (CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
        LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
        ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
      ((fun (ψ : M ⟶ (constFunctor cR).obj N) ↦
          (ModuleCat.ofHom
              {
                toFun :=
                  (⇑((AddEquiv.symm (homEquiv' hcR hcM) :
                            (a : M.presheaf ⟶ (Functor.const Cᵒᵖ).obj (AddCommGrpCat.of N.1)) →
                              ModuleColimit hcR hcM →+ N.1)
                          ((toPresheaf R).map ψ) :
                        ModuleColimit hcR hcM →+ N.1) :
                    (a : ModuleColimit hcR hcM) → N.1),
                map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
            Quiver.Hom (V := ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM))
              (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (↑N : Type w))))
        ((fun (φ : ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM) ⟶ N) ↦
            (homMk
                ((homEquiv' hcR hcM :
                    (a : ModuleColimit hcR hcM →+ N.1) → M.presheaf ⟶ (Functor.const Cᵒᵖ).obj (AddCommGrpCat.of N.1))
                  (AddCommGrpCat.Hom.hom
                    (CategoryTheory.Functor.map
                      (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
                        LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w))
                        (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                        (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      φ)))
                ⋯ :
              M ⟶ (constFunctor cR).obj N))
          φ)))
    (CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
        LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
        ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
      φ)
have hf : Eq (α :=
  (↑(Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
            LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
            (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM))) :
      Type w) →+
    (↑(Functor.obj
          (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
            LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
            (CD := AddCommGrpCat.carrier))
          (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (↑N : Type w))) :
      Type w))
  (AddCommGrpCat.Hom.hom
    (CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
        LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
        ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
      ((fun (ψ : M ⟶ (constFunctor cR).obj N) ↦
          (ModuleCat.ofHom
              {
                toFun :=
                  (⇑((AddEquiv.symm (homEquiv' hcR hcM) :
                            (a : M.presheaf ⟶ (Functor.const Cᵒᵖ).obj (AddCommGrpCat.of N.1)) →
                              ModuleColimit hcR hcM →+ N.1)
                          ((toPresheaf R).map ψ) :
                        ModuleColimit hcR hcM →+ N.1) :
                    (a : ModuleColimit hcR hcM) → N.1),
                map_add' := sorry, map_smul' := sorry } :
            Quiver.Hom (V := ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM))
              (ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (↑N : Type w))))
        ((fun (φ : ModuleCat.of (↑cR.pt : Type w) (ModuleColimit hcR hcM) ⟶ N) ↦
            (homMk
                ((homEquiv' hcR hcM :
                    (a : ModuleColimit hcR hcM →+ N.1) → M.presheaf ⟶ (Functor.const Cᵒᵖ).obj (AddCommGrpCat.of N.1))
                  (AddCommGrpCat.Hom.hom
                    (CategoryTheory.Functor.map
                      (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
                        LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w))
                        (CC := ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦
                        (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w)) (CD := AddCommGrpCat.carrier))
                      φ)))
                sorry :
              M ⟶ (constFunctor cR).obj N))
          φ))))
  (AddCommGrpCat.Hom.hom
    (CategoryTheory.Functor.map
      (forget₂ (ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat (↑cR.pt : Type w)) ↦
        LinearMap (R := (↑cR.pt : Type w)) (RingHom.id (↑cR.pt : Type w)) (↑x1 : Type w) (↑x2 : Type w)) (CC :=
        ModuleCat.carrier) AddCommGrpCat (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{w}) ↦ (↑x1 : Type w) →+ (↑x2 : Type w))
        (CD := AddCommGrpCat.carrier))
      φ))
Tactic: ext : 1