awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
rw : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • (x + y)
rw₁ : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y
rw₂ : r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y
⊢ MulOpposite.op r • (x + y) = r • (x + y)
have rw₃ : r • x + r • y = r • x + r • y
Tactic: rw [smul_add, smul_add, hx, hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ r' • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r'₂ (m ⊗ₜ[R] n) = r'₂ • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r' (m ⊗ₜ[R] n)
have simp_rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r' • r'₂ • m) ⊗ₜ[R] n) ((r'₂ • r' • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: simp_rw [smul_tmul', smul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : r' • r'₂ • x = r'₂ • r' • x
ihy : r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • y
⊢ r' • r'₂ • (x + y) = r'₂ • r' • (x + y)
have simp_rw : r' • r'₂ • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
Tactic: simp_rw [TensorProduct.smul_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : r' • r'₂ • x = r'₂ • r' • x
ihy : r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • y
⊢ r' • r'₂ • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
have rw : r'₂ • r' • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
Tactic: rw [ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMulCommClass R' R'₂ M
r' : R'
r'₂ : R'₂
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : r' • r'₂ • x = r'₂ • r' • x
ihy : r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • y
rw : r'₂ • r' • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
⊢ r' • r'₂ • x + r' • r'₂ • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
have rw₁ : r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y = r'₂ • r' • x + r'₂ • r' • y
Tactic: rw [ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) (m ⊗ₜ[R] n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
have rw : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', smul_tmul', smul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
rw : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) (m ⊗ₜ[R] n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
have rw₁ : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s ((r • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', smul_tmul', smul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
rw : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
rw₁ : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s ((r • m) ⊗ₜ[R] n)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) (m ⊗ₜ[R] n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
have rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) (((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', smul_tmul', smul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
rw : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
rw₁ : ((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s ((r • m) ⊗ₜ[R] n)
rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) (((s • r) • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (s • r) (m ⊗ₜ[R] n) = s • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n)
have rw₃ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', smul_tmul', smul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (s • r) • x = s • r • x
ihy : (s • r) • y = s • r • y
⊢ (s • r) • (x + y) = s • r • (x + y)
have rw : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • (x + y)
Tactic: rw [smul_add, smul_add, smul_add, ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (s • r) • x = s • r • x
ihy : (s • r) • y = s • r • y
rw : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • (x + y)
⊢ (s • r) • (x + y) = s • r • (x + y)
have rw₁ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • (r • x + r • y)
Tactic: rw [smul_add, smul_add, smul_add, ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (s • r) • x = s • r • x
ihy : (s • r) • y = s • r • y
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rw₁ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • (r • x + r • y)
⊢ (s • r) • (x + y) = s • r • (x + y)
have rw₂ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
Tactic: rw [smul_add, smul_add, smul_add, ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
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inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
R'₂ : Type u_22
inst_37 : Monoid R'₂
inst_38 : DistribMulAction R'₂ M
inst_39 : SMulCommClass R R'₂ M
inst_40 : SMul R'₂ R'
inst_41 : IsScalarTower R'₂ R' M
s : R'₂
r : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (s • r) • x = s • r • x
ihy : (s • r) • y = s • r • y
rw : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • (x + y)
rw₁ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • (r • x + r • y)
rw₂ : (s • r) • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
⊢ (s • r) • (x + y) = s • r • (x + y)
have rw₃ : s • r • x + (s • r) • y = s • r • x + s • r • y
Tactic: rw [smul_add, smul_add, smul_add, ihx, ihy]