awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Constructions (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst_4 : TopologicalSpace M'
inst_5 : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst_8 : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst_9 : TopologicalSpace N
inst_10 : TopologicalSpace N'
inst_11 : ChartedSpace H' N
inst_12 : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiffOn I J (M' := N ⊕ N') n (Sum.inr ∘ g) univ
h_1 : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun (x : N) ↦ default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
x : M'
_hx : Membership.mem (γ := Set M') univ x
w : N'
left : Membership.mem (γ := Set N') univ (g x)
⊢ Membership.mem (γ := Set (N ⊕ N')) (Sum.inr '' univ) (Sum.inr (g x))
have right : Eq (α := N ⊕ N') (Sum.inr (g x)) (Sum.inr (g x))
Tactic: use g x, trivial
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
    ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
simp_rw :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
    ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range id) (id x) ↔
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
simp_rw :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₁ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range id) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw₂ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
    ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ univ) (id x) ↔
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
simp_rw :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₁ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range id) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₂ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ univ) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw₃ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
    ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s) (id x) ↔
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
simp_rw :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₁ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range id) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₂ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ univ) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₃ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw₄ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ id) (id ⁻¹' s) (id x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
simp_rw :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₁ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range id) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₂ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ univ) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₃ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₄ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ id) (id ⁻¹' s) (id x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw₅ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) (id ⁻¹' s) (id x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst_3 : NormedAddCommGroup E'
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_5 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n : ℕ∞ω
f : E → H'
s : Set E
x : E
simp_rw :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range (↑𝓘(𝕜, E) : E → E)) ((↑𝓘(𝕜, E) : E → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₁ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ range id) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₂ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s ∩ univ) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₃ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E))
      ((↑(ModelWithCorners.symm 𝓘(𝕜, E)) : E → E) ⁻¹' s) (id x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₄ :
  ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ id) (id ⁻¹' s) (id x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
simp_rw₅ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) (id ⁻¹' s) (id x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
⊢ ContDiffWithinAtProp 𝓘(𝕜, E) I' n f s x ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
have simp_rw₆ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) (id s) (id x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I' : H' → E') ∘ f) s x
Tactic: simp_rw [ContDiffWithinAtProp, modelWithCornersSelf_coe, range_id, inter_univ,
    modelWithCornersSelf_coe_symm, CompTriple.comp_eq, preimage_id_eq, id_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst_3] u
xu : x ∈ u
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' m f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' m f (s ∩ u) x
have this : (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range (↑I : H → E) =
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u
Tactic: have : I.symm ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range I = I.symm ⁻¹' s ∩ range I ∩ I.symm ⁻¹' u := by
      simp only [inter_right_comm, preimage_inter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst_3] u
xu : x ∈ u
this :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range (↑I : H → E) =
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' m f s x ↔ ContDiffWithinAtProp I I' m f (s ∩ u) x
have rw : ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x) ↔
  ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u) ((↑I : H → E) x)
Tactic: rw [ContDiffWithinAtProp, ContDiffWithinAtProp, this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst_3] u
xu : x ∈ u
this :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range (↑I : H → E) =
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑I : H → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H))
      ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u) ((↑I : H → E) x)
have symm : ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u) ((↑I : H → E) x) ↔
  ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst_3] u
xu : x ∈ u
this :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range (↑I : H → E) =
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H))
      ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u) ((↑I : H → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
      ((↑I : H → E) x)
have h : (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u ∈ 𝓝 ((↑I : H → E) x)
Tactic: apply contDiffWithinAt_inter
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst_3] u
xu : x ∈ u
this :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range (↑I : H → E) =
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u
⊢ u ∈ 𝓝 ((↑I.symm : E → H) ((↑I : H → E) x))
have rw : u ∈ 𝓝 x
Tactic: rw [ModelWithCorners.left_inv]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
u : Set H
f : H → H'
u_open : IsOpen[inst_3] u
xu : x ∈ u
this :
  (↑I.symm : E → H) ⁻¹' (s ∩ u) ∩ range (↑I : H → E) =
    (↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) ∩ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u
⊢ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' u ∈ 𝓝 ((↑I : H → E) x)
have this₁ : u ∈ 𝓝 ((↑I.symm : E → H) ((↑I : H → E) x))
Tactic: have : u ∈ 𝓝 (I.symm (I x)) := by
      rw [ModelWithCorners.left_inv]
      exact u_open.mem_nhds xu
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h : ContDiffWithinAtProp I I' m f s x
⊢ ContDiffWithinAtProp I I' m (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ((↑e.symm : H → H) ⁻¹' s) ((↑e : H → H) x)
have h₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
  ((↑I : H → E) x)
Tactic: rw [ContDiffWithinAtProp] at h ⊢
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
have this : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
Tactic: have : I x = (I ∘ e.symm ∘ I.symm) (I (e x)) := by simp only [hx, mfld_simps]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) x)
this : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
have h₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
  (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
Tactic: rw [this] at h
Cleared hypotheses: h, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
have this₁ : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
Tactic: have : I (e x) ∈ I.symm ⁻¹' e.target ∩ range I := by simp only [hx, mfld_simps]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
E' : Type u_5
inst_4 : NormedAddCommGroup E'
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_6 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
n m : ℕ∞ω
hmn : m ≤ n
s : Set H
x : H
f : H → H'
e : OpenPartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
hx : x ∈ e.source
h :
  ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ f ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E))
    (((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x)))
this_1 : (↑I : H → E) x = ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
this : (↑I : H → E) ((↑e : H → H) x) ∈ (↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 m ((↑I' : H' → E') ∘ (f ∘ (↑e.symm : H → H)) ∘ (↑I.symm : E → H))
    ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' (↑e.symm : H → H) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
have this₁ : ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑I : H → E) ∘ (↑e.symm : H → H) ∘ (↑I.symm : E → H))
  ((↑I.symm : E → H) ⁻¹' e.target ∩ range (↑I : H → E)) ((↑I : H → E) ((↑e : H → H) x))
Tactic: have := (mem_groupoid_of_pregroupoid.2 he).2.contDiffWithinAt this