-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.EqualizerSheafCondition (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve.{v, u} X
x : FirstObj P S.arrows
t :
  Eq (α := (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstMap P S) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
        x :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (secondMap P S) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
        x :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
Y Z : C
f : Y ⟶ X
g : Z ⟶ Y
hf : S.arrows f
⊢ Eq (α := P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P S.arrows).hom :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P S.arrows))
        x (g ≫ f) ⋯ :
      P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P S.arrows).hom :
            (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P S.arrows))
          x f hf) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z)))
have mpr : ∀
  (t :
    ∀ (j : Discrete ((Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })),
      Eq (α :=
        (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
          (Functor.obj
            (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
              P.obj
                (op
                  (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                    fun (Z : C) ↦
                    (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                      { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                        S.arrows f' }))))
            j))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (limit.π
                  (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                    P.obj
                      (op
                        (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                          fun (Z : C) ↦
                          (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                            { f' :
                              f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                              S.arrows f' }))))
                  j) :
              (a :
                  (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                    (limit
                      (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                        P.obj (op f.snd.fst)))) →
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                  ((Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                        P.obj (op f.snd.fst)).obj
                    j))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstMap P S) :
                (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
                  (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
              x) :
          (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
            (Functor.obj
              (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                P.obj
                  (op
                    (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                      fun (Z : C) ↦
                      (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                        { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                          S.arrows f' }))))
              j))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
                (limit.π
                  (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                    P.obj
                      (op
                        (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                          fun (Z : C) ↦
                          (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                            { f' :
                              f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                              S.arrows f' }))))
                  j) :
              (a :
                  (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                    (limit
                      (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                        P.obj (op f.snd.fst)))) →
                (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
                  ((Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                        P.obj (op f.snd.fst)).obj
                    j))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (secondMap P S) :
                (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
                  (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (SecondObj P S))
              x) :
          (fun (X : Type (max u v)) ↦ X)
            (Functor.obj
              (Discrete.functor fun (f : (Y : C) × (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ↦
                P.obj
                  (op
                    (f.snd (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }).fst (β :=
                      fun (Z : C) ↦
                      (_ : Z ⟶ f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' })) ×
                        { f' : f.fst (β := fun (Y : C) ↦ (Z : C) × (_ : Z ⟶ Y) × { f' : Y ⟶ X // S.arrows f' }) ⟶ X //
                          S.arrows f' }))))
              j)))
  ⦃Y Z : C⦄ (f : Y ⟶ X) (g : Z ⟶ Y) (hf : S.arrows f),
  Eq (α := P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P S.arrows).hom :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
            (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P S.arrows))
        x (g ≫ f) sorry :
      P.obj (op Z))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (P.map g.op) :
          (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Y))) → (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (firstObjEqFamily P S.arrows).hom :
            (a : (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (FirstObj P S.arrows)) →
              (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (Presieve.FamilyOfElements P S.arrows))
          x f hf) :
      (fun (X : Type (max u v)) ↦ X) (P.obj (op Z)))
Tactic: rw [Types.limit_ext_iff'] at t
Cleared hypotheses: t, Y, Z, f, g, hf