awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.negAddY (u • P) (v • Q) = HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * W'.negAddY P Q
have simp : -3 * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P x) 2 * (v * Q x) * (v * Q y) +
                                    3 * (u * P x) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q x) 2 * (u * P y) -
                                  HPow.hPow (β := ℕ) (u * P y) 2 * (v * Q y) * (v * Q z) +
                                u * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q y) 2 * (u * P z) +
                              W'.a₁ * (u * P x) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q y) 2 * (u * P z) -
                            W'.a₁ * (v * Q x) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P y) 2 * (v * Q z) -
                          W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P x) 2 * (v * Q y) * (v * Q z) +
                        W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q x) 2 * (u * P y) * (u * P z) +
                      2 * W'.a₂ * (u * P x) * (v * Q x) * (u * P y) * (v * Q z) -
                    2 * W'.a₂ * (u * P x) * (v * Q x) * (v * Q y) * (u * P z) -
                  W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 +
                W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 +
              W'.a₄ * (u * P x) * (u * P y) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
            2 * W'.a₄ * (u * P x) * (v * Q y) * (u * P z) * (v * Q z) +
          2 * W'.a₄ * (v * Q x) * (u * P y) * (u * P z) * (v * Q z) -
        W'.a₄ * (v * Q x) * (v * Q y) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 +
      3 * W'.a₆ * (u * P y) * (u * P z) * HPow.hPow (β := ℕ) (v * Q z) 2 -
    3 * W'.a₆ * (v * Q y) * HPow.hPow (β := ℕ) (u * P z) 2 * (v * Q z) =
  HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 *
    (-3 * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * Q y + 3 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y -
                                    HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q y * Q z +
                                  P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z +
                                W'.a₁ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z -
                              W'.a₁ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z -
                            W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q y * Q z +
                          W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y * P z +
                        2 * W'.a₂ * P x * Q x * P y * Q z -
                      2 * W'.a₂ * P x * Q x * Q y * P z -
                    W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₄ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
              2 * W'.a₄ * P x * Q y * P z * Q z +
            2 * W'.a₄ * Q x * P y * P z * Q z -
          W'.a₄ * Q x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
        3 * W'.a₆ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
      3 * W'.a₆ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z)
Tactic: simp only [negAddY, smul_fin3_ext]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ W'.negAddY P P = 0
have rw : -3 * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P x * P y + 3 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P y -
                                  HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P y * P z +
                                P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z +
                              W'.a₁ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z -
                            W'.a₁ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z -
                          W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P y * P z +
                        W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P y * P z +
                      2 * W'.a₂ * P x * P x * P y * P z -
                    2 * W'.a₂ * P x * P x * P y * P z -
                  W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
              W'.a₄ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
            2 * W'.a₄ * P x * P y * P z * P z +
          2 * W'.a₄ * P x * P y * P z * P z -
        W'.a₄ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
      3 * W'.a₆ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
    3 * W'.a₆ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * P z =
  0
Tactic: rw [negAddY]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * W'.negY Q
have rw : -3 * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * Q x * Q y + HMul.hMul (α := R) 3 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y -
                                  HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q y * Q z +
                                P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * 0 +
                              W'.a₁ * 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * 0 -
                            W'.a₁ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z -
                          W'.a₂ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * Q y * Q z +
                        W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y * 0 +
                      2 * W'.a₂ * 0 * Q x * P y * Q z -
                    2 * W'.a₂ * 0 * Q x * Q y * 0 -
                  W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 +
              W'.a₄ * 0 * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
            2 * W'.a₄ * 0 * Q y * 0 * Q z +
          2 * W'.a₄ * Q x * P y * 0 * Q z -
        W'.a₄ * Q x * Q y * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 +
      3 * W'.a₆ * P y * 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
    3 * W'.a₆ * Q y * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * Q z =
  HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * (-Q y - W'.a₁ * Q x - W'.a₃ * Q z)
Tactic: rw [negAddY, hPz, X_eq_zero_of_Z_eq_zero hP hPz, negY]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.negAddY P Q = -(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * W'.negY P
have rw : -3 * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * 0 * Q y + 3 * P x * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * P y -
                                  HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q y * 0 +
                                P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z +
                              W'.a₁ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z -
                            W'.a₁ * 0 * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * 0 -
                          W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q y * 0 +
                        W'.a₂ * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 * P y * P z +
                      2 * W'.a₂ * P x * 0 * P y * 0 -
                    2 * W'.a₂ * P x * 0 * Q y * P z -
                  W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 +
                W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
              W'.a₄ * P x * P y * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 -
            2 * W'.a₄ * P x * Q y * P z * 0 +
          2 * W'.a₄ * 0 * P y * P z * 0 -
        W'.a₄ * 0 * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
      3 * W'.a₆ * P y * P z * HPow.hPow (α := R) (β := ℕ) 0 2 -
    3 * W'.a₆ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * 0 =
  -(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)
Tactic: rw [negAddY, hQz, X_eq_zero_of_Z_eq_zero hQ hQz, negY]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z = Q x * P z
⊢ W'.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 * (P z * Q z)
have rw : (P y * Q z - Q y * P z) *
      (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (Q x * P z - Q x * P z) -
              W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2 -
            Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2 -
        Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 2) +
    P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x * P z - Q x * P z) 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 * (P z * Q z)
Tactic: rw [negAddY_eq' hP hQ, hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw₁ : W.negAddY P Q = - -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₁ : W.negAddY P Q = - -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw₂ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z)
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₁ : W.negAddY P Q = - -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₂ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z)
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw₃ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 * (P z * Q z) / (P z * Q z * (P z * Q z))
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₁ : W.negAddY P Q = - -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₂ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z)
rw₃ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 * (P z * Q z) / (P z * Q z * (P z * Q z))
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw₄ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / (P z * Q z * (P z * Q z))
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₁ : W.negAddY P Q = - -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₂ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z)
rw₃ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 * (P z * Q z) / (P z * Q z * (P z * Q z))
rw₄ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / (P z * Q z * (P z * Q z))
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw₅ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z = Q x * P z
rw : W.negAddY P Q = -(-HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₁ : W.negAddY P Q = - -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z))
rw₂ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 / (P z * Q z)
rw₃ : W.negAddY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 3 * (P z * Q z) / (P z * Q z * (P z * Q z))
rw₄ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / (P z * Q z * (P z * Q z))
rw₅ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 / HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2
⊢ W.negAddY P Q = -addU P Q
have rw₆ : W.negAddY P Q = W.negAddY P Q
Tactic: rw [addU, neg_div, neg_neg, ← mul_div_mul_right _ _ <| mul_ne_zero hPz hQz,
    ← negAddY_of_X_eq' hP hQ hx, ← sq,
    mul_div_cancel_right₀ _ <| pow_ne_zero 2 <| mul_ne_zero hPz hQz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
P Q : Fin 3 → F
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
n d : F
hd : d ≠ 0
⊢ W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (n / d) =
    (n *
            (HPow.hPow (β := ℕ) n 2 * P z * Q z + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
                  P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
                Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2) +
          P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 3) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      (HPow.hPow (β := ℕ) d 3 / (P z * Q z))
have rw : n / d *
      ((HPow.hPow (β := ℕ) n 2 * P z * Q z + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
                  P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
                Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2) *
              d /
            HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
          (HPow.hPow (β := ℕ) d 3 / (P z * Q z)) -
        P x / P z) +
    P y / P z =
  (n *
          (HPow.hPow (β := ℕ) n 2 * P z * Q z + W.a₁ * n * P z * Q z * d - W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) d 3) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    (HPow.hPow (β := ℕ) d 3 / (P z * Q z))
Tactic: rw [Affine.negAddY, toAffine_addX_of_ne hPz hQz hd]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
⊢ W.negAddY P Q / W.addZ P Q =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
      (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
have rw : ((P y * Q z - Q y * P z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                    W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                  W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    W.addZ P Q =
  W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
    (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
Tactic: rw [negAddY_eq hP hQ hPz hQz, addZ_eq hP hQ hPz hQz, toAffine_slope_of_ne hPz hQz hx,
    toAffine_negAddY_of_ne hPz hQz <| sub_ne_zero.mpr hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
rw :
  ((P y * Q z - Q y * P z) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                      W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                    W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                  P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
          P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      W.addZ P Q =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
      (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
⊢ W.negAddY P Q / W.addZ P Q =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
      (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
have rw₁ : ((P y * Q z - Q y * P z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                    W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                  W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 / (P z * Q z)) =
  W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
    (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
Tactic: rw [negAddY_eq hP hQ hPz hQz, addZ_eq hP hQ hPz hQz, toAffine_slope_of_ne hPz hQz hx,
    toAffine_negAddY_of_ne hPz hQz <| sub_ne_zero.mpr hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Projective F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ≠ Q x * P z
rw :
  ((P y * Q z - Q y * P z) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                      W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                    W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                  P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
          P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      W.addZ P Q =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
      (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
rw₁ :
  ((P y * Q z - Q y * P z) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                      W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                    W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                  P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
          P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
      (HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 / (P z * Q z)) =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
      (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
⊢ W.negAddY P Q / W.addZ P Q =
    W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z)
      (W.toAffine.slope (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) (Q y / Q z))
have rw₂ : ((P y * Q z - Q y * P z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                    W.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                  W.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
                P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) +
        P y * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3) /
      HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 /
    (HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 3 / (P z * Q z)) =
  W.toAffine.negAddY (P x / P z) (Q x / Q z) (P y / P z) ((P y * Q z - Q y * P z) / (P x * Q z - Q x * P z))
Tactic: rw [negAddY_eq hP hQ hPz hQz, addZ_eq hP hQ hPz hQz, toAffine_slope_of_ne hPz hQz hx,
    toAffine_negAddY_of_ne hPz hQz <| sub_ne_zero.mpr hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
u v : R
⊢ W'.addY (u • P) (v • Q) = HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * W'.addY P Q
have simp : -(HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * W'.negAddY P Q) - W'.a₁ * (HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * W'.addX P Q) -
    W'.a₃ * (HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * W'.addZ P Q) =
  HPow.hPow (β := ℕ) (u * v) 2 * (-W'.negAddY P Q - W'.a₁ * W'.addX P Q - W'.a₃ * W'.addZ P Q)
Tactic: simp only [addY, negY_eq, negAddY_smul, addX_smul, addZ_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hPz : P z = 0
⊢ W'.addY P Q = HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * Q y
have rw : -(HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * (-Q y - W'.a₁ * Q x - W'.a₃ * Q z)) -
      W'.a₁ * (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * Q x) -
    W'.a₃ * (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * Q z) =
  HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z * Q y
Tactic: rw [addY, negY_eq, negAddY_of_Z_eq_zero_left hP hPz, negY, addX_of_Z_eq_zero_left hP hPz,
    addZ_of_Z_eq_zero_left hP hPz]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
inst_1 : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hQ : W'.Equation Q
hQz : Q z = 0
⊢ W'.addY P Q = -(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * P y
have rw : -(-(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) -
      W'.a₁ * (-(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * P x) -
    W'.a₃ * (-(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * P z) =
  -(HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z) * P y
Tactic: rw [addY, negY_eq, negAddY_of_Z_eq_zero_right hQ hQz, negY, addX_of_Z_eq_zero_right hQ hQz,
    addZ_of_Z_eq_zero_right hQ hQz]