awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
this : dist (u n) 0 < ε
⊢ u n ≤ ε
have this₁ : |u n| < ε
Tactic: simp only [Real.dist_eq, add_zero, sub_eq_add_neg, neg_zero] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
⊢ ∃ (β : Type) (x : Fintype β) (F : (↑t : Type) → β),
    ∀ (x y : (↑t : Type)), F x = F y → dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
have u_le_ε : u n ≤ ε
Tactic: have u_le_ε : u n ≤ ε := by
    have := hn n le_rfl
    simp only [Real.dist_eq, add_zero, sub_eq_add_neg, neg_zero] at this
    exact le_of_lt (lt_of_le_of_lt (le_abs_self _) this)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have pos : ∀ (hp : p ∉ t),
  ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: by_cases hp : p ∉ t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
pos :
  ∀ (hp : p ∉ t),
    ∃ (s : Set p.Rep),
      ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have neg : ∀ (hp : ¬p ∉ t),
  ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: by_cases hp : p ∉ t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : p ∉ t
⊢ Nonempty ((↑∅ : Type) ≃ Fin 0)
have rw : Fintype.card (↑∅ : Type) = Fintype.card (Fin 0)
Tactic: rw [← Fintype.card_eq, card_empty, Fintype.card_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : p ∉ t
rw : Fintype.card (↑∅ : Type) = Fintype.card (Fin 0)
⊢ Nonempty ((↑∅ : Type) ≃ Fin 0)
have rw₁ : 0 = Fintype.card (Fin 0)
Tactic: rw [← Fintype.card_eq, card_empty, Fintype.card_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : p ∉ t
rw : Fintype.card (↑∅ : Type) = Fintype.card (Fin 0)
rw₁ : 0 = Fintype.card (Fin 0)
⊢ Nonempty ((↑∅ : Type) ≃ Fin 0)
have rw₂ : Eq (α := ℕ) 0 0
Tactic: rw [← Fintype.card_eq, card_empty, Fintype.card_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : p ∉ t
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have this : Nonempty ((↑∅ : Type) ≃ Fin 0)
Tactic: have : Nonempty (Equiv (∅ : Set p.Rep) (Fin 0)) := by
        rw [← Fintype.card_eq, card_empty, Fintype.card_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : p ∉ t
this : Nonempty ((↑∅ : Type) ≃ Fin 0)
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have h : p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ (x : p.Rep), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Set p.Rep) ∅ x), ball x (u n))
Tactic: use ∅, 0, bot_le, this.some
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have neg : ∀ (s : Set p.Rep) (scard : #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}))
  (scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))),
  ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: rcases hcov _ (Set.not_notMem.1 hp) n with ⟨s, ⟨scard, scover⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scard : #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0})
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have neg : ∀ (N : ℕ) (hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})),
  ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: rcases Cardinal.lt_aleph0.1 (scard.trans_lt Cardinal.natCast_lt_aleph0) with ⟨N, hN⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scard : #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0})
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
N : ℕ
hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have scard₁ : N ≤ K n
Tactic: rw [hN, Nat.cast_le] at scard
Cleared hypotheses: scard, hN
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
N : ℕ
scard : N ≤ K n
hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})
⊢ #(↑s : Type) = #(Fin N)
have rw : (↑N : Cardinal.{0}) = #(Fin N)
Tactic: rw [hN, Cardinal.mk_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
N : ℕ
scard : N ≤ K n
hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})
rw : (↑N : Cardinal.{0}) = #(Fin N)
⊢ #(↑s : Type) = #(Fin N)
have rw₁ : Eq (α := Cardinal.{0}) (↑N : Cardinal.{0}) (↑N : Cardinal.{0})
Tactic: rw [hN, Cardinal.mk_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
N : ℕ
scard : N ≤ K n
hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have this : #(↑s : Type) = #(Fin N)
Tactic: have : #s = #(Fin N) := by rw [hN, Cardinal.mk_fin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
N : ℕ
scard : N ≤ K n
hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})
this : #(↑s : Type) = #(Fin N)
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have neg : ∀ (E : (↑s : Type) ≃ Fin N),
  ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: obtain ⟨E⟩ := Quotient.exact this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
p : GHSpace
hp : ¬p ∉ t
s : Set p.Rep
scover : Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
N : ℕ
scard : N ≤ K n
hN : #(↑s : Type) = (↑N : Cardinal.{0})
this : #(↑s : Type) = #(Fin N)
E : (↑s : Type) ≃ Fin N
⊢ ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
have h : p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: use s, N, scard, E
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
⊢ ∃ (β : Type) (x : Fintype β) (F : (↑t : Type) → β),
    ∀ (x y : (↑t : Type)), F x = F y → dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
have this : ∀ (p : GHSpace),
  ∃ (s : Set p.Rep),
    ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
Tactic: have :
    ∀ p : GHSpace,
      ∃ s : Set p.Rep, ∃ N ≤ K n, ∃ _ : Equiv s (Fin N), p ∈ t → univ ⊆ ⋃ x ∈ s, ball x (u n) := by
    intro p
    by_cases hp : p ∉ t
    · have : Nonempty (Equiv (∅ : Set p.Rep) (Fin 0)) := by
        rw [← Fintype.card_eq, card_empty, Fintype.card_fin]
      use ∅, 0, bot_le, this.some
      exact fun hp' => (hp hp').elim
    · rcases hcov _ (Set.not_notMem.1 hp) n with ⟨s, ⟨scard, scover⟩⟩
      rcases Cardinal.lt_aleph0.1 (scard.trans_lt Cardinal.natCast_lt_aleph0) with ⟨N, hN⟩
      rw [hN, Nat.cast_le] at scard
      have : #s = #(Fin N) := by rw [hN, Cardinal.mk_fin]
      obtain ⟨E⟩ := Quotient.exact this
      use s, N, scard, E
      simp only [scover, imp_true_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
this :
  ∀ (p : GHSpace),
    ∃ (s : Set p.Rep),
      ∃ N ≤ K n, ∃ (x : (↑s : Type) ≃ Fin N), p ∈ t → Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
⊢ ∃ (β : Type) (x : Fintype β) (F : (↑t : Type) → β),
    ∀ (x y : (↑t : Type)), F x = F y → dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
have choose : ∀ (s : (p : GHSpace) → Set p.Rep) (N : (p : GHSpace) → ℕ) (hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n)
  (E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p))
  (hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))),
  ∃ (β : Type) (x : Fintype β) (F : (↑t : Type) → β),
    ∀ (x y : (↑t : Type)), F x = F y → dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
Tactic: choose s N hN E hs using this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
⊢ ∃ (β : Type) (x : Fintype β) (F : (↑t : Type) → β),
    ∀ (x y : (↑t : Type)), F x = F y → dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
have refine_1 : Fintype ((k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
Tactic: refine ⟨_, ?_, fun p => F p, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
refine_1 : Fintype ((k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
⊢ ∃ (β : Type) (x : Fintype β) (F : (↑t : Type) → β),
    ∀ (x y : (↑t : Type)), F x = F y → dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
have refine_2 : ∀ (x y : (↑t : Type)),
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
      ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) x) ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) y) →
    dist (↑x : GHSpace) (↑y : GHSpace) < δ
Tactic: refine ⟨_, ?_, fun p => F p, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
⊢ dist (↑(Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt) : GHSpace)
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt) : GHSpace) <
    δ
have Npq : N p = N q
Tactic: have Npq : N p = N q := Fin.ext_iff.1 (Sigma.mk.inj_iff.1 hpq).1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
t : Set GHSpace
C : ℝ
u : ℕ → ℝ
K : ℕ → ℕ
ulim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
hdiam : ∀ p ∈ t, diam (α := p.Rep) univ ≤ C
hcov :
  ∀ p ∈ t,
    ∀ (n : ℕ),
      ∃ (s : Set p.Rep), #(↑s : Type) ≤ (↑(K n) : Cardinal.{0}) ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s, ball x (u n))
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 1 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ n_1 ≥ n, dist (u n_1) 0 < ε
u_le_ε : u n ≤ ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
N : (p : GHSpace) → ℕ
hN : ∀ (p : GHSpace), N p ≤ K n
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (N p)
hs : ∀ p ∈ t, Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x (u n))
M : ℕ := ⌊ε⁻¹ * max C 0⌋₊
F : GHSpace → (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (k : Fin (K n).succ) ↦ Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ) ⟨N p, ⋯⟩
      fun (a b : Fin (↑(⟨N p, ⋯⟩ : Fin (K n).succ) : ℕ)) ↦
      ⟨min M
          ⌊ε⁻¹ *
              dist (α := (↑(s p) : Type)) (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
                (((E p).symm : (a : Fin (N p)) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋₊,
        ⋯⟩
p : GHSpace
pt : p ∈ t
q : GHSpace
qt : q ∈ t
hpq :
  Eq (α := (k : Fin (K n).succ) × (Fin (↑k : ℕ) → Fin (↑k : ℕ) → Fin M.succ))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) p pt))
    ((fun (p : (↑t : Type)) ↦ F (↑p : GHSpace)) (Subtype.mk (p := fun (x : GHSpace) ↦ x ∈ t) q qt))
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (N q)) → (↑(s q) : Type)) (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (N p)) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
⊢ ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
have refine_1 : ∀ (x : p.Rep), ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
Tactic: refine ghDist_le_of_approx_subsets Φ ?_ ?_ ?_