awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
S : ShortComplex (J ⥤ AddCommGrpCat)
hS :
  ∀ (j : J),
    LE.le (α := AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j))) : Type u))
      (AddMonoidHom.ker (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.g (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
      (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map (Functor.obj (evaluation J AddCommGrpCat) j)))))
j : J
y :
  ToType (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)
    (S.X₂.obj j)
hx :
  Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimMap S.g) : (a : (↑(colimit S.X₂) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₂) (colimit.ι S.X₂ j) :
              (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₂) : Type u))
            y :
          (↑(colimit S.X₂) : Type u)) :
      (↑(colimit S.X₃) : Type u))
    (0 : (↑(ShortComplex.X₃ (S.map colim)) : Type u))
⊢ Membership.mem (α := (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u)) (γ :=
    AddSubgroup (↑(ShortComplex.X₂ (S.map colim)) : Type u))
    (AddMonoidHom.range (AddCommGrpCat.Hom.hom (ShortComplex.f (S.map colim))))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₂) (colimit.ι S.X₂ j) :
          (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₂) : Type u))
        y :
      (↑(colimit S.X₂) : Type u))
have hx₁ : Eq (α := (↑(colimit S.X₃) : Type u))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (Y := colimit S.X₃) (colimit.ι S.X₃ j) :
        (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (S.g.app j) :
            (a : (↑(S.X₂.obj j) : Type u)) → (↑(S.X₃.obj j) : Type u))
          y :
        (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) :
    (↑(colimit S.X₃) : Type u))
  ((AddCommGrpCat.Hom.hom (colimit.ι S.X₃ j) : (a : (↑(S.X₃.obj j) : Type u)) → (↑(colimit S.X₃) : Type u)) 0 :
    (↑(colimit S.X₃) : Type u))
Tactic: rw [← ConcreteCategory.comp_apply, colimMap_eq, colimit.ι_map, ConcreteCategory.comp_apply,
      ← map_zero (colimit.ι S.X₃ j).hom] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
⊢ HasExactLimitsOfShape (Discrete J) AddCommGrpCat
have inst : Functor.PreservesEpimorphisms.{u, u, u + 1, u + 1} (C := Discrete J ⥤ AddCommGrpCat) lim
Tactic: apply +allowSynthFailures hasExactLimitsOfShape_of_preservesEpi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
X Y : Discrete J ⥤ AddCommGrpCat
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
iX : limit X ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit X))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ X.obj { as := j })))
iY : limit Y ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit Y))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j })))
⊢ Epi (X := Functor.obj lim X) (CategoryTheory.Functor.map lim f)
have this : Eq (α := ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
  (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
    fun (i : J) ↦
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
      (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
  (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
        AddCommGrpCat.carrier) (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
        (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)) :
    (a : (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u)) →
      (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
Tactic: have : Pi.map (fun i ↦ f.app ⟨i⟩) = iX.inv ≫ lim.map f ≫ iY.hom := by
        simp only [Discrete.functor_obj_eq_as, Discrete.mk_as, Pi.isoLimit,
          IsLimit.conePointUniqueUpToIso, limit.cone, AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone,
          Iso.trans_inv, Functor.mapIso_inv, IsLimit.uniqueUpToIso_inv, Cone.forget_map,
          IsLimit.liftConeMorphism_hom, limit.isLimit_lift, Iso.symm_inv, Functor.mapIso_hom,
          IsLimit.uniqueUpToIso_hom, lim_obj, lim_map, Iso.trans_hom, Iso.symm_hom,
          AddCommGrpCat.HasLimit.lift, Functor.const_obj_obj, Category.assoc, limit.lift_map_assoc,
          Pi.cone_pt, iX, iY]
        ext g j
        change _ = (_ ≫ limit.π (Discrete.functor fun j ↦ Y.obj { as := j }) ⟨j⟩) _
        simp only [Discrete.functor_obj_eq_as, productIsProduct', limit.lift_π, Fan.mk_pt,
          Fan.mk_π_app, Pi.map_apply]
        change _ = (_ ≫ _ ≫ limit.π Y ⟨j⟩) _
        simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
X Y : Discrete J ⥤ AddCommGrpCat
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
iX : limit X ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit X))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ X.obj { as := j })))
iY : limit Y ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit Y))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j })))
this :
  Eq (α := ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
    (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
      fun (i : J) ↦
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
        (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
          (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)) :
      (a : (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u)) →
        (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
⊢ Epi (X := Functor.obj lim X) (CategoryTheory.Functor.map lim f)
have suffices : Epi (iX.hom ≫ (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom) ≫ iY.inv)
Tactic: suffices Epi (iX.hom ≫ (iX.inv ≫ lim.map f ≫ iY.hom) ≫ iY.inv) by simpa using this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
X Y : Discrete J ⥤ AddCommGrpCat
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
iX : limit X ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit X))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ X.obj { as := j })))
iY : limit Y ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit Y))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j })))
this :
  Eq (α := ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
    (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
      fun (i : J) ↦
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
        (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
          (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)) :
      (a : (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u)) →
        (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
⊢ Epi (iX.hom ≫ (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom) ≫ iY.inv)
have suffices : Epi (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
  (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)
Tactic: suffices Epi (iX.inv ≫ lim.map f ≫ iY.hom) from inferInstance
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
X Y : Discrete J ⥤ AddCommGrpCat
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
iX : limit X ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit X))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ X.obj { as := j })))
iY : limit Y ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit Y))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j })))
this :
  Eq (α := ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
    (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
      fun (i : J) ↦
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
        (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
          (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)) :
      (a : (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u)) →
        (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
⊢ Epi (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
    (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)
have rw : Function.Surjective.{u + 1, u + 1} (α := (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
  (β := (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
  (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
    fun (i : J) ↦
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
      (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
Tactic: rw [AddCommGrpCat.epi_iff_surjective, ← this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
X Y : Discrete J ⥤ AddCommGrpCat
f : X ⟶ Y
hf : Epi f
iX : limit X ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit X))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ X.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ X.obj { as := j })))
iY : limit Y ≅ AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)) :=
  Iso.trans (Y := ∏ᶜ fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }) (Iso.symm (Pi.isoLimit Y))
    (IsLimit.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (Discrete.functor fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j }))
      (LimitCone.isLimit (AddCommGrpCat.HasLimit.productLimitCone fun (j : J) ↦ Y.obj { as := j })))
this :
  Eq (α := ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
    (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
      fun (i : J) ↦
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
        (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (Y := AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
          (iX.inv ≫ CategoryTheory.Functor.map lim f ≫ iY.hom)) :
      (a : (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u)) →
        (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
⊢ Function.Surjective.{u + 1, u + 1} (α := (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(X.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
    (β := (↑(AddCommGrpCat.of ((i : J) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))) : Type u))
    (Pi.map (α := fun (i : J) ↦ (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) (β := fun (i : J) ↦ (↑(Y.obj { as := i }) : Type u))
      fun (i : J) ↦
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := X.obj { as := i }) (f.app { as := i })) :
        (a : (↑(X.obj { as := i }) : Type u)) → (↑(Y.obj { as := i }) : Type u)))
have hf₁ : ∀ (k : Discrete J),
  Function.Surjective (α := (↑(X.obj k) : Type u)) (β := (↑(Y.obj k) : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (f.app k)) :
      (a : (↑(X.obj k) : Type u)) → (↑(Y.obj k) : Type u))
Tactic: simp_rw [CategoryTheory.NatTrans.epi_iff_epi_app, AddCommGrpCat.epi_iff_surjective] at hf
Cleared hypotheses: hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
⊢ ∃ (G : AddCommGrpCat.{u}), IsSeparator G
have h : IsSeparator (AddCommGrpCat.of (ULift.{u, 0} ℤ))
Tactic: use AddCommGrpCat.of (ULift ℤ)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
A B : AddCommGrpCat
f g : A ⟶ B
h :
  ∀ (G : AddCommGrpCat.{u}),
    ObjectProperty.singleton (AddCommGrpCat.of (ULift.{u, 0} ℤ)) G → ∀ (h : G ⟶ A), h ≫ f = h ≫ g
⊢ f = g
have h₁ : ∀
  (h :
    ∀ (h : AddCommGrpCat.of (ULift.{u, 0} ℤ) ⟶ A) (x : ℤ),
      Eq (α := (↑B : Type u))
        ((AddCommGrpCat.Hom.hom f : (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
            ((AddCommGrpCat.Hom.hom h : (a : ULift.{u, 0} ℤ) → (↑A : Type u)) { down := x : ULift.{u, 0} ℤ } :
              (↑A : Type u)) :
          (↑B : Type u))
        ((AddCommGrpCat.Hom.hom g : (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
            ((AddCommGrpCat.Hom.hom h : (a : ULift.{u, 0} ℤ) → (↑A : Type u)) { down := x : ULift.{u, 0} ℤ } :
              (↑A : Type u)) :
          (↑B : Type u)))
  (x : (↑A : Type u)),
  Eq (α := (↑B : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) f :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
        x :
      (↑B : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) g :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
        x :
      (↑B : Type u))
Tactic: simp_all only [ObjectProperty.singleton_iff, AddCommGrpCat.ext_iff,
      AddCommGrpCat.hom_comp, AddMonoidHom.coe_comp, Function.comp_apply, forall_eq', ULift.forall]
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.AB (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
inst_1 : IsFiltered J
A B : AddCommGrpCat
f g : A ⟶ B
h :
  ∀ (h : AddCommGrpCat.of (ULift.{u, 0} ℤ) ⟶ A) (x : ℤ),
    Eq (α := (↑B : Type u))
      ((AddCommGrpCat.Hom.hom f : (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
          ((AddCommGrpCat.Hom.hom h : (a : ULift.{u, 0} ℤ) → (↑A : Type u)) { down := x : ULift.{u, 0} ℤ } :
            (↑A : Type u)) :
        (↑B : Type u))
      ((AddCommGrpCat.Hom.hom g : (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
          ((AddCommGrpCat.Hom.hom h : (a : ULift.{u, 0} ℤ) → (↑A : Type u)) { down := x : ULift.{u, 0} ℤ } :
            (↑A : Type u)) :
        (↑B : Type u))
x : (↑A : Type u)
⊢ Eq (α := (↑B : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) f :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
        x :
      (↑B : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) g :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
        x :
      (↑B : Type u))
have h₁ : Eq (α := (↑B : Type u))
  ((AddCommGrpCat.Hom.hom f : (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
      ((AddCommGrpCat.Hom.hom (AddCommGrpCat.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun (y : ULift.{u, 0} ℤ) ↦ y • x) sorry)) :
            (a : ULift.{u, 0} ℤ) → (↑A : Type u))
          { down := 1 } :
        (↑A : Type u)) :
    (↑B : Type u))
  ((AddCommGrpCat.Hom.hom g : (a : (↑A : Type u)) → (↑B : Type u))
      ((AddCommGrpCat.Hom.hom (AddCommGrpCat.ofHom (AddMonoidHom.mk' (fun (y : ULift.{u, 0} ℤ) ↦ y • x) sorry)) :
            (a : ULift.{u, 0} ℤ) → (↑A : Type u))
          { down := 1 } :
        (↑A : Type u)) :
    (↑B : Type u))
Tactic: specialize h (AddCommGrpCat.ofHom
    (AddMonoidHom.mk' (fun y => y • x) fun y z => by simp only [add_smul])) 1
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (goal)
Goal:
X Y : Type u
inst : Group X
inst_1 : Group Y
a₁ a₂ : X →* Y
h : Eq.{u + 1} (α := of X ⟶ of Y) ((fun (f : X →* Y) ↦ ofHom f) a₁) ((fun (f : X →* Y) ↦ ofHom f) a₂)
⊢ a₁ = a₂
have h₁ : ∀ (x : X), Eq (α := Y) ((a₁ : (a : X) → Y) x : Y) ((a₂ : (a : X) → Y) x : Y)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (goal)
Goal:
X Y : Type u
inst : CommGroup X
inst_1 : CommGroup Y
a₁ a₂ : X →* Y
h : Eq.{u + 1} (α := of X ⟶ of Y) ((fun (f : X →* Y) ↦ ofHom f) a₁) ((fun (f : X →* Y) ↦ ofHom f) a₂)
⊢ a₁ = a₂
have h₁ : ∀ (x : X), Eq (α := Y) ((a₁ : (a : X) → Y) x : Y) ((a₂ : (a : X) → Y) x : Y)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (hypothesis)
Goal:
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
inst : Mono f
g₁ g₂ : (↑G : Type)
h :
  Eq (α := (↑H : Type))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{0}) ↦ (↑x1 : Type) →+ (↑x2 : Type)) (CC := carrier) f :
          (a : (↑G : Type)) → (↑H : Type))
        g₁ :
      (↑H : Type))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{0}) ↦ (↑x1 : Type) →+ (↑x2 : Type)) (CC := carrier) f :
          (a : (↑G : Type)) → (↑H : Type))
        g₂ :
      (↑H : Type))
⊢ g₁ = g₂
have t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
Tactic: have t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f := by cat_disch
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (hypothesis)
Goal:
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
inst : Mono f
g₁ g₂ : (↑G : Type)
h :
  Eq (α := (↑H : Type))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{0}) ↦ (↑x1 : Type) →+ (↑x2 : Type)) (CC := carrier) f :
          (a : (↑G : Type)) → (↑H : Type))
        g₁ :
      (↑H : Type))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{0}) ↦ (↑x1 : Type) →+ (↑x2 : Type)) (CC := carrier) f :
          (a : (↑G : Type)) → (↑H : Type))
        g₂ :
      (↑H : Type))
t0 : asHom g₁ ≫ f = asHom g₂ ≫ f
⊢ g₁ = g₂
have t1 : asHom g₁ = asHom g₂
Tactic: have t1 : asHom g₁ = asHom g₂ := (cancel_mono _).1 t0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (goal)
Goal:
X Y : GrpCat
i : X ≅ Y
⊢ (GrpCat.Hom.hom i.inv).comp (GrpCat.Hom.hom i.hom) = MonoidHom.id (↑X : Type u_1)
have h : ∀ (x : (↑X : Type u_1)),
  Eq (α := (↑X : Type u_1))
    (((GrpCat.Hom.hom i.inv).comp (GrpCat.Hom.hom i.hom) : (a : (↑X : Type u_1)) → (↑X : Type u_1)) x : (↑X : Type u_1))
    ((MonoidHom.id (↑X : Type u_1) : (a : (↑X : Type u_1)) → (↑X : Type u_1)) x : (↑X : Type u_1))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (goal)
Goal:
X Y : GrpCat
i : X ≅ Y
⊢ (GrpCat.Hom.hom i.hom).comp (GrpCat.Hom.hom i.inv) = MonoidHom.id (↑Y : Type u_1)
have h : ∀ (x : (↑Y : Type u_1)),
  Eq (α := (↑Y : Type u_1))
    (((GrpCat.Hom.hom i.hom).comp (GrpCat.Hom.hom i.inv) : (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)) x : (↑Y : Type u_1))
    ((MonoidHom.id (↑Y : Type u_1) : (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)) x : (↑Y : Type u_1))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (goal)
Goal:
X Y : CommGrpCat
i : X ≅ Y
⊢ (CommGrpCat.Hom.hom i.inv).comp (CommGrpCat.Hom.hom i.hom) = MonoidHom.id (↑X : Type u_1)
have h : ∀ (x : (↑X : Type u_1)),
  Eq (α := (↑X : Type u_1))
    (((CommGrpCat.Hom.hom i.inv).comp (CommGrpCat.Hom.hom i.hom) : (a : (↑X : Type u_1)) → (↑X : Type u_1)) x :
      (↑X : Type u_1))
    ((MonoidHom.id (↑X : Type u_1) : (a : (↑X : Type u_1)) → (↑X : Type u_1)) x : (↑X : Type u_1))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Basic (goal)
Goal:
X Y : CommGrpCat
i : X ≅ Y
⊢ (CommGrpCat.Hom.hom i.hom).comp (CommGrpCat.Hom.hom i.inv) = MonoidHom.id (↑Y : Type u_1)
have h : ∀ (x : (↑Y : Type u_1)),
  Eq (α := (↑Y : Type u_1))
    (((CommGrpCat.Hom.hom i.hom).comp (CommGrpCat.Hom.hom i.inv) : (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)) x :
      (↑Y : Type u_1))
    ((MonoidHom.id (↑Y : Type u_1) : (a : (↑Y : Type u_1)) → (↑Y : Type u_1)) x : (↑Y : Type u_1))
Tactic: ext