awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
⊢ smul α φ 0 m = 0
have a : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
          AddCommGrpCat.carrier) φ m).arrows
      f →
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ 0 m) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          0 :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
Tactic: apply A.isSeparated _ _ (Presheaf.imageSieve_mem J φ m)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
⊢ smul α φ r 0 = 0
have a : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
          r).arrows
      f →
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ r 0) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          0 :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
Tactic: apply A.isSeparated _ _ (Presheaf.imageSieve_mem J α r)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m m' : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
        AddCommGrpCat.carrier) φ m ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m'
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
have refine_1 : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
Tactic: refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m m' : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
        AddCommGrpCat.carrier) φ m ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m'
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
have refine_2 : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ m)
Tactic: refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m m' : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
        AddCommGrpCat.carrier) φ m ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m'
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
refine_2 :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
have refine_3 : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ m')
Tactic: refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (hypothesis)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m m' : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
        AddCommGrpCat.carrier) φ m ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m'
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
have hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
Tactic: have hS : S ∈ J X.unop := by
    refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
    all_goals apply Presheaf.imageSieve_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m m' : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
        AddCommGrpCat.carrier) φ m ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m'
hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
⊢ smul α φ r (m + m') = smul α φ r m + smul α φ r m'
have a : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
  S.arrows f →
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ r (m + m')) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ r m + smul α φ r m') :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
Tactic: apply A.isSeparated _ _ hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
have refine_1 : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
Tactic: refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
have refine_2 : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r')
Tactic: refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
refine_1 :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r)
refine_2 :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r')
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
have refine_3 : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ m)
Tactic: refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (hypothesis)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
⊢ smul α φ (r + r') m = smul α φ r m + smul α φ r' m
have hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
Tactic: have hS : S ∈ J X.unop := by
    refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
    all_goals apply Presheaf.imageSieve_mem