awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
s : R
m : M
n : N
rw :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)))
rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n))
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (s • m, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)) : M ⊗[R] N)
have rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n))
Tactic: rw [SMul.aux_of, SMul.aux_of, ← smul_comm, smul_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x y : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x y
s : R
m : M
n : N
rw :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)))
rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n))
rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((s • r • m) ⊗ₜ[R] n) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n))
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (s • m, n)) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (FreeAddMonoid.of (m, s • n)) : M ⊗[R] N)
have rw₃ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n)) ((r • m) ⊗ₜ[R] (s • n))
Tactic: rw [SMul.aux_of, SMul.aux_of, ← smul_comm, smul_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
r : R'
x_1 y_1 : FreeAddMonoid (M × N)
hxy : Eqv R M N x_1 y_1
x y : FreeAddMonoid (M × N)
⊢ Eq (α := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (x + y) : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) (y + x) : M ⊗[R] N)
have simp_rw : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) x : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) y : M ⊗[R] N) =
  HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (β := M ⊗[R] N) ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) y : M ⊗[R] N)
    ((SMul.aux r : (a : FreeAddMonoid (M × N)) → M ⊗[R] N) x : M ⊗[R] N)
Tactic: simp_rw [map_add, add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') (β := M ⊗[R] N) 0 0 = 0
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [TensorProduct.smul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') (β := M ⊗[R] N) 0 (m ⊗ₜ[R] n) = 0
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul.{u_5, u_7, u_7} (α := R'') 0 m ⊗ₜ[R] n) 0
Tactic: rw [this, zero_smul, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul.{u_5, u_7, u_7} (α := R'') 0 m ⊗ₜ[R] n) 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') (β := M ⊗[R] N) 0 (m ⊗ₜ[R] n) = 0
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] n) 0
Tactic: rw [this, zero_smul, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul.{u_5, u_7, u_7} (α := R'') 0 m ⊗ₜ[R] n) 0
rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] n) 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') (β := M ⊗[R] N) 0 (m ⊗ₜ[R] n) = 0
have rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [this, zero_smul, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x = 0
ihy : HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') 0 (x + y) = 0
have rw : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy, add_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x = 0
ihy : HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
rw : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') 0 (x + y) = 0
have rw₁ : 0 + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy, add_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x = 0
ihy : HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
rw : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
rw₁ : 0 + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') 0 (x + y) = 0
have rw₂ : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) 0 0 = 0
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy, add_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x = 0
ihy : HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
rw : HSMul.hSMul (α := R'') 0 x + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
rw₁ : 0 + HSMul.hSMul (α := R'') 0 y = 0
rw₂ : HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) 0 0 = 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R'') 0 (x + y) = 0
have rw₃ : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy, add_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : Monoid R'
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : DistribMulAction R' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
⊢ HSMul.hSMul (α := R') (β := M ⊗[R] N) 1 0 = 0
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [TensorProduct.smul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : Monoid R'
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : DistribMulAction R' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
⊢ HSMul.hSMul (α := R') (β := M ⊗[R] N) 1 (m ⊗ₜ[R] n) = m ⊗ₜ[R] n
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul.{u_4, u_7, u_7} (α := R') 1 m ⊗ₜ[R] n) (m ⊗ₜ[R] n)
Tactic: rw [this, one_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : Monoid R'
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : DistribMulAction R' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R' M
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (HSMul.hSMul.{u_4, u_7, u_7} (α := R') 1 m ⊗ₜ[R] n) (m ⊗ₜ[R] n)
⊢ HSMul.hSMul (α := R') (β := M ⊗[R] N) 1 (m ⊗ₜ[R] n) = m ⊗ₜ[R] n
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (m ⊗ₜ[R] n)
Tactic: rw [this, one_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : Monoid R'
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : DistribMulAction R' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R') 1 x = x
ihy : HSMul.hSMul (α := R') 1 y = y
⊢ HSMul.hSMul (α := R') 1 (x + y) = x + y
have rw : HSMul.hSMul (α := R') 1 x + HSMul.hSMul (α := R') 1 y = x + y
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : Monoid R'
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : DistribMulAction R' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R') 1 x = x
ihy : HSMul.hSMul (α := R') 1 y = y
rw : HSMul.hSMul (α := R') 1 x + HSMul.hSMul (α := R') 1 y = x + y
⊢ HSMul.hSMul (α := R') 1 (x + y) = x + y
have rw₁ : x + HSMul.hSMul (α := R') 1 y = x + y
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_4
inst : CommSemiring R
inst_1 : Monoid R'
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : DistribMulAction R' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R' M
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : HSMul.hSMul (α := R') 1 x = x
ihy : HSMul.hSMul (α := R') 1 y = y
rw : HSMul.hSMul (α := R') 1 x + HSMul.hSMul (α := R') 1 y = x + y
rw₁ : x + HSMul.hSMul (α := R') 1 y = x + y
⊢ HSMul.hSMul (α := R') 1 (x + y) = x + y
have rw₂ : x + y = x + y
Tactic: rw [TensorProduct.smul_add, ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r + s) (m ⊗ₜ[R] n) =
    HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) + HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s (m ⊗ₜ[R] n)
have simp_rw : ((r + s) • m) ⊗ₜ[R] n = HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: simp_rw [this, add_smul, add_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
m : M
n : N
simp_rw : ((r + s) • m) ⊗ₜ[R] n = HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • m) ⊗ₜ[R] n)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r + s) (m ⊗ₜ[R] n) =
    HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) + HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s (m ⊗ₜ[R] n)
have simp_rw₁ : (r • m + s • m) ⊗ₜ[R] n = HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) ((r • m) ⊗ₜ[R] n) ((s • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: simp_rw [this, add_smul, add_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
⊢ (r + s) • (x + y) = r • (x + y) + s • (x + y)
have simp_rw : (r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
Tactic: simp_rw [TensorProduct.smul_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
⊢ (r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
have rw : r • x + s • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
Tactic: rw [ihx, ihy, add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
rw : r • x + s • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
⊢ (r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
have rw₁ : r • x + s • x + (r • y + s • y) = r • x + r • y + (s • x + s • y)
Tactic: rw [ihx, ihy, add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : Semiring R''
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_2 : AddCommMonoid M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R'' M
inst_5 : Module R M
inst_6 : Module R N
inst_7 : SMulCommClass R R'' M
r s : R''
x_1 : M ⊗[R] N
this : ∀ (r : R'') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
x y : M ⊗[R] N
ihx : (r + s) • x = r • x + s • x
ihy : (r + s) • y = r • y + s • y
rw : r • x + s • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
rw₁ : r • x + s • x + (r • y + s • y) = r • x + r • y + (s • x + s • y)
⊢ (r + s) • x + (r + s) • y = r • x + r • y + (s • x + s • y)
have rw₂ : r • x + r • y + (s • x + s • y) = r • x + r • y + (s • x + s • y)
Tactic: rw [ihx, ihy, add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
n : N
hn : IsAddUnit n
m : M
⊢ IsAddUnit (M := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n)
have rw : ∀ (hn : ∃ (b : N), n + b = 0) (m : M), ∃ (b : M ⊗[R] N), m ⊗ₜ[R] n + b = 0
Tactic: rw [isAddUnit_iff_exists_neg] at hn ⊢
Cleared hypotheses: hn, m
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
n : N
hn : ∃ (b : N), n + b = 0
m : M
⊢ ∃ (b : M ⊗[R] N), m ⊗ₜ[R] n + b = 0
have have : ∀ (b : N) (eq : n + b = 0), ∃ (b : M ⊗[R] N), m ⊗ₜ[R] n + b = 0
Tactic: have ⟨b, eq⟩ := hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
n : N
hn : ∃ (b : N), n + b = 0
m : M
b : N
eq : n + b = 0
⊢ HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (m ⊗ₜ[R] b) = 0
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] (n + b)) 0
Tactic: rw [← tmul_add, eq, tmul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
n : N
hn : ∃ (b : N), n + b = 0
m : M
b : N
eq : n + b = 0
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] (n + b)) 0
⊢ HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (m ⊗ₜ[R] b) = 0
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] 0) 0
Tactic: rw [← tmul_add, eq, tmul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
n : N
hn : ∃ (b : N), n + b = 0
m : M
b : N
eq : n + b = 0
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] (n + b)) 0
rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] 0) 0
⊢ HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (m ⊗ₜ[R] b) = 0
have rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [← tmul_add, eq, tmul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
m : M
hm : IsAddUnit m
n : N
⊢ IsAddUnit (M := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n)
have rw : ∀ (hm : ∃ (b : M), m + b = 0) (n : N), ∃ (b : M ⊗[R] N), m ⊗ₜ[R] n + b = 0
Tactic: rw [isAddUnit_iff_exists_neg] at hm ⊢
Cleared hypotheses: hm, n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
m : M
hm : ∃ (b : M), m + b = 0
n : N
⊢ ∃ (b : M ⊗[R] N), m ⊗ₜ[R] n + b = 0
have have : ∀ (b : M) (eq : m + b = 0), ∃ (b : M ⊗[R] N), m ⊗ₜ[R] n + b = 0
Tactic: have ⟨b, eq⟩ := hm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
m : M
hm : ∃ (b : M), m + b = 0
n : N
b : M
eq : m + b = 0
⊢ HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (b ⊗ₜ[R] n) = 0
have rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((m + b) ⊗ₜ[R] n) 0
Tactic: rw [← add_tmul, eq, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
m : M
hm : ∃ (b : M), m + b = 0
n : N
b : M
eq : m + b = 0
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((m + b) ⊗ₜ[R] n) 0
⊢ HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (b ⊗ₜ[R] n) = 0
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] n) 0
Tactic: rw [← add_tmul, eq, zero_tmul]