awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Cochain (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
L : Type u_2
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : IsTrivial L M
a : ↥(twoCochain R L M)
h :
  ∀ (x y z : L),
    (((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) x : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) ⁅y, z⁆ =
      HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, y⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) z : M)
        ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) y : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) ⁅x, z⁆ : M)
x y z : L
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M)
    ((((((((d₂₃ R L M : (a : ↥(twoCochain R L M)) → L →ₗ[R] L →ₗ[R] L →ₗ[R] M) a : L →ₗ[R] L →ₗ[R] L →ₗ[R] M) :
                      (a : L) → L →ₗ[R] L →ₗ[R] M)
                    x :
                  L →ₗ[R] L →ₗ[R] M) :
                (a : L) → L →ₗ[R] M)
              y :
            L →ₗ[R] M) :
          (a : L) → M)
        z :
      M)
    ((((((0 : (a : L) → L →ₗ[R] L →ₗ[R] M) x : L →ₗ[R] L →ₗ[R] M) : (a : L) → L →ₗ[R] M) y : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M)
        z :
      M)
have mpr : HSub.hSub (β := M)
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) (-(((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, y⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) z : M)
      ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, z⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) y : M))
    ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅y, z⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) x : M) =
  0
Tactic: simp only [d₂₃_apply, trivial_lie_zero, sub_self, add_zero, zero_sub, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Cochain (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
L : Type u_2
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : IsTrivial L M
a : ↥(twoCochain R L M)
h :
  ∀ (x y z : L),
    (((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) x : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) ⁅y, z⁆ =
      HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, y⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) z : M)
        ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) y : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) ⁅x, z⁆ : M)
x y z : L
⊢ HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) (-(((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, y⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) z : M)
        ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, z⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) y : M))
      ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅y, z⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) x : M) =
    0
have mpr : HAdd.hAdd (α := M) (β := M) (-(((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, y⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) z : M)
      (-(((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) y : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) ⁅x, z⁆ : M) -
    -HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) ⁅x, y⁆ : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) z : M)
        ((((a : (a : L) → L →ₗ[R] M) y : L →ₗ[R] M) : (a : L) → M) ⁅x, z⁆ : M) =
  0
Tactic: rw [← twoCochain_skew a x, ← twoCochain_skew a y, h x y z]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : Derivation R A A
x y : A ⊗[R] L
⊢ ({ toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      ⁅x, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x,
          ({ toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ : A ⊗[R] L →ₗ[R] A ⊗[R] L } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            y⁆ :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y,
          ({ toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ : A ⊗[R] L →ₗ[R] A ⊗[R] L } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            x⁆ :
        A ⊗[R] L)
have simp : (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
  HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
    (⁅x, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
    (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: simp only [LinearMap.coe_mk, AddHom.coe_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : Derivation R A A
x y : A ⊗[R] L
⊢ (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_1 : ∀ (x : A) (l : L),
  (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l) y) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l)
          ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: refine x.induction_on (by simp) (fun _ l ↦ ?_) (fun _ _ h1 h2 ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : Derivation R A A
x y : A ⊗[R] L
refine_1 :
  ∀ (x : A) (l : L),
    (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l) y) =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l)
            ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L)
⊢ (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_2 : ∀ (x x_1 : A ⊗[R] L)
  (h1 :
    (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L))
  (h2 :
    (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x_1, y⁆ =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x_1, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_1⁆ : A ⊗[R] L)),
  (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x + x_1, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x + x_1, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x + x_1)⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: refine x.induction_on (by simp) (fun _ l ↦ ?_) (fun _ _ h1 h2 ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : Derivation R A A
x y : A ⊗[R] L
x_1 : A
l : L
⊢ (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) y) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
          ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_1 : ∀ (x : A) (l' : L),
  (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) (x ⊗ₜ[R] l')) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
          ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l')) :
        A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l')
          ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)) :
        A ⊗[R] L)
Tactic: refine y.induction_on (by simp) (fun _ l' ↦ ?_) (fun _ _ h1 h2 ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : Derivation R A A
x y : A ⊗[R] L
x_1 : A
l : L
refine_1 :
  ∀ (x : A) (l' : L),
    (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) (x ⊗ₜ[R] l')) =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
            ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l')) :
          A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] l')
            ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)) :
          A ⊗[R] L)
⊢ (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) y) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
          ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_1₁ : ∀ (x x_2 : A ⊗[R] L)
  (h1 :
    (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) x) =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
            ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅x, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L))
  (h2 :
    (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) x_2) =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
            ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x_2) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅x_2, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L)),
  (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l) (x + x_2)) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)
          ((LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x + x_2)) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅x + x_2, (LinearMap.rTensor L (↑d : A →ₗ[R] A) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] l)⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: refine y.induction_on (by simp) (fun _ l' ↦ ?_) (fun _ _ h1 h2 ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : Derivation R A A
⊢ { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑(x + x_1) : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } =
    HAdd.hAdd (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
      { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
      { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x_1 : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
have H : ∀ (a : A ⊗[R] L),
  Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑(x + x_1) : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
            map_smul' := sorry, leibniz' := sorry } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)
    ((HAdd.hAdd (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry, leibniz' := sorry : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
            { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x_1 : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry, leibniz' := sorry : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x : R
x_1 : Derivation R A A
⊢ { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑(x • x_1) : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ } =
    HSMul.hSMul (α := R) (β := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
      { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x_1 : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) }
have H : ∀ (a : A ⊗[R] L),
  Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑(x • x_1) : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
            map_smul' := sorry, leibniz' := sorry } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)
    ((HSMul.hSMul (α := R) (β := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L)) ((RingHom.id R : (a : R) → R) x : R)
            { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x_1 : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry, leibniz' := sorry : LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        a :
      A ⊗[R] L)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
x x_1 : Derivation R A A
⊢ Eq (α := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
    { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑⁅x, x_1⁆ : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
      map_smul' := ⋯, leibniz' := ⋯ }
    (Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
      { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ }
      { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x_1 : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯,
        leibniz' := ⋯ })
have H : ∀ (z : A ⊗[R] L),
  Eq (α := A ⊗[R] L)
    (({ toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑⁅x, x_1⁆ : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
            map_smul' := sorry, leibniz' := sorry } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        z :
      A ⊗[R] L)
    ((Bracket.bracket (L := LieDerivation R (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L))
            { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry, leibniz' := sorry }
            { toFun := (⇑(LinearMap.rTensor L (↑x_1 : A →ₗ[R] A)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := sorry,
              map_smul' := sorry, leibniz' := sorry } :
          (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        z :
      A ⊗[R] L)
Tactic: ext z
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
⊢ ({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } :
        (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      ⁅x, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x,
          ({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ : A ⊗[R] L →ₗ[R] A ⊗[R] L } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            y⁆ :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y,
          ({ toFun := (⇑(LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L)) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L), map_add' := ⋯,
                map_smul' := ⋯ : A ⊗[R] L →ₗ[R] A ⊗[R] L } :
              (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
            x⁆ :
        A ⊗[R] L)
have simp : (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
  HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
    (⁅x, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
    (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: simp only [LinearMap.coe_mk, AddHom.coe_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
⊢ (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_1 : ∀ (x : A) (y_1 : L),
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1) y) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: refine x.induction_on (by simp) ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
refine_1 :
  ∀ (x : A) (y_1 : L),
    (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1) y) =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1)
            ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
          A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
⊢ (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (⁅x, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_2 : ∀ (x y_1 : A ⊗[R] L),
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x, y⁆ =
      HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
        (⁅x, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
        (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) x⁆ : A ⊗[R] L) →
    (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅y_1, y⁆ =
        HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
          (⁅y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
          (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y_1⁆ : A ⊗[R] L) →
      (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) ⁅x + y_1, y⁆ =
        HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
          (⁅x + y_1, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y⁆ : A ⊗[R] L)
          (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x + y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
Tactic: refine x.induction_on (by simp) ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Derivation.BaseChange (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
L : Type u_3
inst_3 : LieRing L
inst_4 : LieAlgebra R L
d : LieDerivation R L L
x y : A ⊗[R] L
x_1 : A
y_1 : L
⊢ (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) y) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) y) :
        A ⊗[R] L)
      (⁅y, (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)⁆ : A ⊗[R] L)
have refine_1 : ∀ (x : A) (y : L),
  (LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1) (x ⊗ₜ[R] y)) =
    HSub.hSub (α := A ⊗[R] L) (β := A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y)) :
        A ⊗[R] L)
      (Bracket.bracket (L := A ⊗[R] L) (x ⊗ₜ[R] y)
          ((LinearMap.lTensor A (↑d : L →ₗ[R] L) : (a : A ⊗[R] L) → A ⊗[R] L) (x_1 ⊗ₜ[R] y_1)) :
        A ⊗[R] L)
Tactic: refine y.induction_on (by simp) ?_ ?_