awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
this :
  ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False
have choose! : ∀ (F : (δ : ℝ) → Fin N → E)
  (hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖), False
Tactic: choose! F hF using this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
have obtain : ∀ (u : ℕ → ℝ),
  (∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m) →
    ∀ (zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n) (hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)),
      ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
Tactic: obtain ⟨u, _, zero_lt_u, hu⟩ :
      ∃ u : ℕ → ℝ,
        (∀ m n : ℕ, m < n → u n < u m) ∧ (∀ n : ℕ, 0 < u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 0) :=
      exists_seq_strictAnti_tendsto (0 : ℝ)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
have A : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
Tactic: have A : ∀ n, F (u n) ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2 := by
      intro n
      simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right,
        (hF (u n) (zero_lt_u n)).left, forall_const]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
have obtain : ∀ (f : Fin N → E) (fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f) (φ : ℕ → ℕ) (φ_mono : StrictMono φ)
  (hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)),
  ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
Tactic: obtain ⟨f, fmem, φ, φ_mono, hf⟩ :
      ∃ f ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2,
        ∃ φ : ℕ → ℕ, StrictMono φ ∧ Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f) :=
      IsCompact.tendsto_subseq (isCompact_closedBall _ _) A
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
have refine_1 : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
Tactic: refine ⟨f, fun i => ?_, fun i j hij => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
refine_1 : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
⊢ ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
have refine_2 : ∀ (i j : Fin N) (hij : i ≠ j), (fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖) i j
Tactic: refine ⟨f, fun i => ?_, fun i j hij => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i : Fin N
⊢ ‖f i‖ ≤ 2
have fmem₁ : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
Tactic: simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right] at fmem
Cleared hypotheses: fmem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
⊢ (fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖) i j
have A₁ : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
Tactic: have A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖) :=
        ((hf.apply_nhds i).sub (hf.apply_nhds j)).norm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A_1 : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
A : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
⊢ (fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖) i j
have B : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (HSub.hSub (α := ℝ) 1 0))
Tactic: have B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (1 - 0)) :=
        tendsto_const_nhds.sub (hu.comp φ_mono.tendsto_atTop)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A_1 : ∀ (n : ℕ), Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) (F (u n))
f : Fin N → E
fmem : Membership.mem (γ := Set (Fin N → E)) (closedBall 0 2) f
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i j : Fin N
hij : i ≠ j
A : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖)
B : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (HSub.hSub (α := ℝ) 1 0))
⊢ (fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖) i j
have B₁ : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 1)
Tactic: rw [sub_zero] at B
Cleared hypotheses: B
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
⊢ False
have this : ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
Tactic: have : ∃ f : Fin N → E, (∀ i : Fin N, ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖ := by
    obtain ⟨u, _, zero_lt_u, hu⟩ :
      ∃ u : ℕ → ℝ,
        (∀ m n : ℕ, m < n → u n < u m) ∧ (∀ n : ℕ, 0 < u n) ∧ Filter.Tendsto u Filter.atTop (𝓝 0) :=
      exists_seq_strictAnti_tendsto (0 : ℝ)
    have A : ∀ n, F (u n) ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2 := by
      intro n
      simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right,
        (hF (u n) (zero_lt_u n)).left, forall_const]
    obtain ⟨f, fmem, φ, φ_mono, hf⟩ :
      ∃ f ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2,
        ∃ φ : ℕ → ℕ, StrictMono φ ∧ Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f) :=
      IsCompact.tendsto_subseq (isCompact_closedBall _ _) A
    refine ⟨f, fun i => ?_, fun i j hij => ?_⟩
    · simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right] at fmem
      exact fmem i
    · have A : Tendsto (fun n => ‖F (u (φ n)) i - F (u (φ n)) j‖) atTop (𝓝 ‖f i - f j‖) :=
        ((hf.apply_nhds i).sub (hf.apply_nhds j)).norm
      have B : Tendsto (fun n => 1 - u (φ n)) atTop (𝓝 (1 - 0)) :=
        tendsto_const_nhds.sub (hu.comp φ_mono.tendsto_atTop)
      rw [sub_zero] at B
      exact le_of_tendsto_of_tendsto' B A fun n => (hF (u (φ n)) (zero_lt_u _)).2 hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
this : ∃ (f : Fin N → E), (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False
have rcases : ∀ (f : Fin N → E) (hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) (h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖), False
Tactic: rcases this with ⟨f, hf, h'f⟩
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
⊢ i = j
have by_contra : ∀ (h : ¬i = j), False
Tactic: by_contra h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
⊢ False
have this : 1 ≤ ‖f i - f j‖
Tactic: have : 1 ≤ ‖f i - f j‖ := h'f h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
this : 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False
have this₁ : LE.le (α := ℝ) 1 0
Tactic: simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
⊢ False
have finj : Function.Injective f
Tactic: have finj : Function.Injective f := by
    intro i j hij
    by_contra h
    have : 1 ≤ ‖f i - f j‖ := h'f h
    simp only [hij, norm_zero, sub_self] at this
    exact lt_irrefl _ (this.trans_lt zero_lt_one)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ s.card = N
have rw : Finset.card (α := Fin N) Finset.univ = N
Tactic: rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
⊢ False
have s_card : s.card = N
Tactic: have s_card : s.card = N := by rw [Finset.card_image_of_injective _ finj]; exact Finset.card_fin N
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
⊢ False
have hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
Tactic: have hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2 := by
    simp only [s, hf, forall_apply_eq_imp_iff, forall_const, forall_exists_index, Finset.mem_univ,
      Finset.mem_image, true_and]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
⊢ ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
have simp : ∀ (a a_1 : Fin N), ¬f a = f a_1 → 1 ≤ ‖f a - f a_1‖
Tactic: simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h_1 :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ False
have hij₁ : ¬f j = f j
Tactic: rw [h] at hij
Cleared hypotheses: hij, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
⊢ 1 ≤ ‖f i - f j‖
have this : i ≠ j
Tactic: have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
⊢ False
have h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
Tactic: have h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖ := by
    simp only [s, forall_apply_eq_imp_iff, forall_exists_index, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
      Ne, forall_apply_eq_imp_iff, true_and]
    intro i j hij
    have : i ≠ j := fun h => by rw [h] at hij; exact hij rfl
    exact h'f this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ) (_ : δ < 1),
    ∃ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : (δ : ℝ) → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun (i j : Fin N) ↦ 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
⊢ False
have this : s.card ≤ multiplicity E
Tactic: have : s.card ≤ multiplicity E := card_le_multiplicity hs h's