-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : NonUnitalNonAssocRing A
inst_1 : StarRing A
inst_2 : Module ℂ A
inst_3 : IsScalarTower ℂ A A
inst_4 : SMulCommClass ℂ A A
inst_5 : StarModule ℂ A
x : A
rw :
  Commute (star x) x ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₁ :
  star x * x = x * star x ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₂ :
  star x * x - x * star x = 0 ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₃ :
  HSMul.hSMul (α := ℕ) 2
        (I •
          (HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) -
            HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A))) =
      0 ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₄ :
  I •
          (HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) -
            HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)) +
        I •
          (HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) -
            HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)) =
      0 ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₅ :
  HSMul.hSMul (α := ℂ) 2
        (I •
          (HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) -
            HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
              (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A))) =
      0 ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₆ :
  I •
        (HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
            (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) -
          HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
            (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)) =
      0 ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
rw₇ :
  HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
          (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) -
        HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
          (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
      0 ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
⊢ IsStarNormal x ↔
    Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
have rw₈ : HMul.hMul (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    HMul.hMul (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
      (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) ↔
  Commute.{u_1} (S := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
    (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A)
Tactic: rw [isStarNormal_iff, commute_iff_eq, ← sub_eq_zero, star_mul_self_sub_self_mul_star,
    two_smul ℕ, ← two_smul ℂ, smul_eq_zero_iff_right two_ne_zero, smul_eq_zero_iff_right I_ne_zero,
    sub_eq_zero, commute_iff_eq]