awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
h : Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R) ∨ a = 0
⊢ Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
have inl : ∀ (h : Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)), Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
Tactic: rcases h with h|h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
h : Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R) ∨ a = 0
inl : ∀ (h : Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)), Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
⊢ Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
have inr : ∀ (h : a = 0), Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
Tactic: rcases h with h|h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
h : Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
⊢ logDeriv a = 0
have unfold : HDiv.hDiv (α := R) (a′ : R) a = 0
Tactic: unfold logDeriv at *
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
s : Multiset ι
f : ι → R
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
⊢ logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
have empty : ∀ (h : ∀ (x : ι), Membership.mem (γ := Multiset ι) 0 x → f x ≠ 0),
  logDeriv (Multiset.map f 0).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) 0)
Tactic: induction s using Multiset.induction_on
Cleared hypotheses: s, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
s : Multiset ι
f : ι → R
h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
empty :
  ∀ (h : ∀ (x : ι), Membership.mem (γ := Multiset ι) 0 x → f x ≠ 0),
    logDeriv (Multiset.map f 0).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) 0)
⊢ logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
have cons : ∀ (a : ι) (s : Multiset ι),
  (∀ (h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0),
      logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)) →
    ∀ (h : ∀ x ∈ a ::ₘ s, f x ≠ 0),
      logDeriv (Multiset.map f (a ::ₘ s)).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) (a ::ₘ s))
Tactic: induction s using Multiset.induction_on
Cleared hypotheses: s, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
f : ι → R
a : ι
s : Multiset ι
h₂ :
  ∀ (h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0),
    logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
h : ∀ x ∈ a ::ₘ s, f x ≠ 0
⊢ logDeriv (Multiset.map f (a ::ₘ s)).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) (a ::ₘ s))
have cons : logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) = logDeriv (f a) + Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
Tactic: simp only [Multiset.map_cons, Multiset.sum_cons, Multiset.prod_cons]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
f : ι → R
a : ι
s : Multiset ι
h₂ :
  ∀ (h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0),
    logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
h : ∀ x ∈ a ::ₘ s, f x ≠ 0
⊢ logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) =
    logDeriv (f a) + Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
have cons : logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) = logDeriv (f a) + logDeriv (Multiset.map f s).prod
Tactic: rw [← h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
f : ι → R
a : ι
s : Multiset ι
h₂ :
  ∀ (h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0),
    logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
h : ∀ x ∈ a ::ₘ s, f x ≠ 0
cons : logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) = logDeriv (f a) + logDeriv (Multiset.map f s).prod
⊢ logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) =
    logDeriv (f a) + Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
have cons₁ : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0
Tactic: rw [← h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
f : ι → R
a : ι
s : Multiset ι
h₂ :
  ∀ (h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0),
    logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
h : ∀ x ∈ a ::ₘ s, f x ≠ 0
⊢ logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) = logDeriv (f a) + logDeriv (Multiset.map f s).prod
have cons : f a ≠ 0
Tactic: apply logDeriv_mul
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
f : ι → R
a : ι
s : Multiset ι
h₂ :
  ∀ (h : ∀ x ∈ s, f x ≠ 0),
    logDeriv (Multiset.map f s).prod = Multiset.sum (Multiset.map (fun (x : ι) ↦ logDeriv (f x)) s)
h : ∀ x ∈ a ::ₘ s, f x ≠ 0
cons : f a ≠ 0
⊢ logDeriv (f a * (Multiset.map f s).prod) = logDeriv (f a) + logDeriv (Multiset.map f s).prod
have cons₁ : (Multiset.map f s).prod ≠ 0
Tactic: apply logDeriv_mul
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
ι : Type u_2
s : Finset ι
f : ι → R
h : ∀ x ∈ s, f x = 0
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) (logDeriv (∏ x ∈ s, f x)) (∑ x ∈ s, logDeriv (f x))
have unfold : HDiv.hDiv (α := R) (β := R) ((∏ x ∈ s, f x)′ : R) (∏ x ∈ s, f x : R) = ∑ x ∈ s, HDiv.hDiv (α := R) ((f x)′ : R) (f x)
Tactic: unfold logDeriv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
F : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Differential F
inst_3 : Differential K
inst_4 : Algebra F K
inst_5 : DifferentialAlgebra F K
a : F
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := K) (logDeriv ((algebraMap F K : (a : F) → K) a) : K)
    ((algebraMap F K : (a : F) → K) (logDeriv a) : K)
have unfold : HDiv.hDiv (α := K) (β := K) (((algebraMap F K : (a : F) → K) a : K)′ : K) ((algebraMap F K : (a : F) → K) a : K) =
  (algebraMap F K : (a : F) → K) (HDiv.hDiv (α := F) (a′ : F) a)
Tactic: unfold logDeriv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
x : F[X]
hx :
  Eq (α := AdjoinRoot p) (((AdjoinRoot.mk p).toIntAlgHom : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) x : AdjoinRoot p)
    (0 : AdjoinRoot p)
⊢ Eq (α := AdjoinRoot p)
    (((AdjoinRoot.mk p).toIntAlgHom : (a : F[X]) → AdjoinRoot p)
        ((implicitDeriv
              ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                  (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p)
                  ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p))) :
            (a : F[X]) → F[X])
          x) :
      AdjoinRoot p)
    (0 : AdjoinRoot p)
have simp_all : ∀ (hx : p ∣ x),
  p ∣
    (implicitDeriv
          ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
            (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
              (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p)
              ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p))) :
        (a : F[X]) → F[X])
      x
Tactic: simp_all only [RingHom.toIntAlgHom_apply, AdjoinRoot.mk_eq_zero]
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
x : F[X]
hx : p ∣ x
⊢ p ∣
    (implicitDeriv
          ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
            (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
              (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p)
              ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p))) :
        (a : F[X]) → F[X])
      x
have obtain : ∀ (q : F[X]),
  p ∣
    (implicitDeriv
          ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
            (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
              (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p)
              ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p))) :
        (a : F[X]) → F[X])
      (p * q)
Tactic: obtain ⟨q, rfl⟩ := hx
Cleared hypotheses: x, hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ p ∣
    (implicitDeriv
          ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
            (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
              (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p)
              ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p))) :
        (a : F[X]) → F[X])
      (p * q)
have simp : p ∣
  HMul.hMul (β := F[X]) p
      ((implicitDeriv
              ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                  (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p)
                  ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p))) :
            (a : F[X]) → F[X])
          q :
        F[X]) +
    HMul.hMul (β := F[X]) q
      ((implicitDeriv
              ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                  (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p)
                  ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p))) :
            (a : F[X]) → F[X])
          p :
        F[X])
Tactic: simp only [Derivation.leibniz, smul_eq_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ p ∣
    HMul.hMul (β := F[X]) p
        ((implicitDeriv
                ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                  (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                    (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                      AdjoinRoot p)
                    ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                      AdjoinRoot p))) :
              (a : F[X]) → F[X])
            q :
          F[X]) +
      HMul.hMul (β := F[X]) q
        ((implicitDeriv
                ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                  (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                    (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                      AdjoinRoot p)
                    ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                      AdjoinRoot p))) :
              (a : F[X]) → F[X])
            p :
          F[X])
have apply : p ∣
  HMul.hMul (β := F[X]) q
    ((implicitDeriv
            ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
              (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                  AdjoinRoot p)
                ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                  AdjoinRoot p))) :
          (a : F[X]) → F[X])
        p :
      F[X])
Tactic: apply dvd_add (dvd_mul_right ..)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ p ∣
    HMul.hMul (β := F[X]) q
      ((implicitDeriv
              ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                  (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p)
                  ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p))) :
            (a : F[X]) → F[X])
          p :
        F[X])
have h : p ∣
  (implicitDeriv
        ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
          (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
            (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
              AdjoinRoot p)
            ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
              AdjoinRoot p))) :
      (a : F[X]) → F[X])
    p
Tactic: apply dvd_mul_of_dvd_right
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ p ∣
    (implicitDeriv
          ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
            (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
              (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p)
              ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                AdjoinRoot p))) :
        (a : F[X]) → F[X])
      p
have h : Eq (α := AdjoinRoot p)
  ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p)
      ((implicitDeriv
            ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
              (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                  AdjoinRoot p)
                ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                  AdjoinRoot p))) :
          (a : F[X]) → F[X])
        p) :
    AdjoinRoot p)
  (0 : AdjoinRoot p)
Tactic: rw [← AdjoinRoot.mk_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ Eq (α := AdjoinRoot p)
    ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p)
        ((mapCoeffs +
              HSMul.hSMul (α := F[X]) (β := Derivation ℤ F[X] F[X])
                ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                    (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                      (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                        AdjoinRoot p)
                      ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                        AdjoinRoot p)) :
                  F[X])
                (Derivation.restrictScalars ℤ derivative') :
            (a : F[X]) → F[X])
          p) :
      AdjoinRoot p)
    (0 : AdjoinRoot p)
have h : HAdd.hAdd (α := AdjoinRoot p)
    ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)
    (HMul.hMul (β := AdjoinRoot p)
      (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
        (-(AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)
        ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p))
      ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)) =
  0
Tactic: simp only [AdjoinRoot.aeval_eq, Derivation.coe_add, Derivation.coe_smul, Pi.add_apply,
        Pi.smul_apply, Derivation.restrictScalars_apply, derivative'_apply, smul_eq_mul, map_add,
        map_mul, AdjoinRoot.mk_leftInverse Fact.out _]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ HAdd.hAdd (α := AdjoinRoot p)
      ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)
      (HMul.hMul (β := AdjoinRoot p)
        (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
          (-(AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)
          ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p))
        ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)) =
    0
have h : Ne (α := AdjoinRoot p)
  ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p) (0 : AdjoinRoot p)
Tactic: rw [div_mul_cancel₀, add_neg_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ Ne (α := AdjoinRoot p)
    ((AdjoinRoot.mk p : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) : AdjoinRoot p)
    (0 : AdjoinRoot p)
have h : ¬p ∣ (derivative : (a : F[X]) → F[X]) p
Tactic: simp only [ne_eq, AdjoinRoot.mk_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
⊢ ¬p ∣ (derivative : (a : F[X]) → F[X]) p
have this : 0 < p.natDegree
Tactic: have : 0 < p.natDegree := Irreducible.natDegree_pos (Fact.out)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
this : 0 < p.natDegree
⊢ ¬p ∣ (derivative : (a : F[X]) → F[X]) p
have h : Ne (α := F[X]) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p : F[X]) (0 : F[X])
Tactic: apply not_dvd_of_natDegree_lt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
this : 0 < p.natDegree
h : Ne (α := F[X]) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p : F[X]) (0 : F[X])
⊢ ¬p ∣ (derivative : (a : F[X]) → F[X]) p
have h₁ : natDegree.{u_2} (R := F) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) < p.natDegree
Tactic: apply not_dvd_of_natDegree_lt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
q : F[X]
this : 0 < p.natDegree
⊢ natDegree.{u_2} (R := F) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) < p.natDegree
have h : p.natDegree ≠ 0
Tactic: apply natDegree_derivative_lt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a_1 b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
a : F
⊢ Eq (α := AdjoinRoot p) (((algebraMap F (AdjoinRoot p) : (a : F) → AdjoinRoot p) a)′ : AdjoinRoot p)
    ((algebraMap F (AdjoinRoot p) : (a : F) → AdjoinRoot p) a′ : AdjoinRoot p)
have change : Eq (α := AdjoinRoot p)
  ((Derivation.liftOfSurjective sorry (d :=
          implicitDeriv
            ((AdjoinRoot.modByMonicHom sorry : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
              (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                  AdjoinRoot p)
                ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                  AdjoinRoot p))))
          sorry :
        (a : AdjoinRoot p) → AdjoinRoot p)
      (((AdjoinRoot.mk p).toIntAlgHom : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((C : (a : F) → F[X]) a)) :
    AdjoinRoot p)
  ((algebraMap F (AdjoinRoot p) : (a : F) → AdjoinRoot p) a′ : AdjoinRoot p)
Tactic: change (Derivation.liftOfSurjective _ _) ((AdjoinRoot.mk p).toIntAlgHom (C a)) = _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a_1 b : R
F : Type u_2
inst_2 : Field F
inst_3 : Differential F
inst_4 : CharZero F
p : F[X]
inst_5 : Fact (Irreducible p)
inst_6 : Fact p.Monic
a : F
⊢ Eq (α := AdjoinRoot p)
    ((Derivation.liftOfSurjective ⋯ (d :=
            implicitDeriv
              ((AdjoinRoot.modByMonicHom ⋯ : (a : AdjoinRoot p) → F[X])
                (HDiv.hDiv (α := AdjoinRoot p) (β := AdjoinRoot p)
                  (-(aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((mapCoeffs : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p)
                  ((aeval (AdjoinRoot.root p) : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((derivative : (a : F[X]) → F[X]) p) :
                    AdjoinRoot p))))
            ⋯ :
          (a : AdjoinRoot p) → AdjoinRoot p)
        (((AdjoinRoot.mk p).toIntAlgHom : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((C : (a : F) → F[X]) a)) :
      AdjoinRoot p)
    ((algebraMap F (AdjoinRoot p) : (a : F) → AdjoinRoot p) a′ : AdjoinRoot p)
have rw : Eq (α := AdjoinRoot p)
  (((AdjoinRoot.mk p).toIntAlgHom : (a : F[X]) → AdjoinRoot p) ((C : (a : F) → F[X]) a′) : AdjoinRoot p)
  ((algebraMap F (AdjoinRoot p) : (a : F) → AdjoinRoot p) a′ : AdjoinRoot p)
Tactic: rw [Derivation.liftOfSurjective_apply, implicitDeriv_C]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (hypothesis)
Goal:
F : Type u_2
inst : Field F
inst_1 : Differential F
inst_2 : CharZero F
K : Type u_3
inst_3 : Field K
inst_4 : Algebra F K
inst_5 : FiniteDimensional F K
k : K := Exists.choose (p := fun (α : K) ↦ Eq (α := IntermediateField F K) F⟮α⟯ ⊤) ⋯
⊢ DifferentialAlgebra F K
have h : Eq (α := IntermediateField F K) F⟮k⟯ ⊤
Tactic: haveI h : F⟮k⟯ = ⊤ := (Field.exists_primitive_element F K).choose_spec