awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
i1 : ι
mp :
  AffineIndependent k p →
    LinearIndependent.{u_4, u_1, u_2} k (M := V) fun (i : { x : ι // x ≠ i1 }) ↦ p (↑i : ι) -ᵥ p i1
⊢ AffineIndependent k p ↔
    LinearIndependent.{u_4, u_1, u_2} k (M := V) fun (i : { x : ι // x ≠ i1 }) ↦ p (↑i : ι) -ᵥ p i1
have mpr : (LinearIndependent.{u_4, u_1, u_2} k (M := V) fun (i : { x : ι // x ≠ i1 }) ↦ p (↑i : ι) -ᵥ p i1) →
  AffineIndependent k p
Tactic: classical
    constructor
    · intro h
      rw [linearIndependent_iff']
      intro s g hg i hi
      set f : ι → k := fun x => if hx : x = i1 then -∑ y ∈ s, g y else g ⟨x, hx⟩ with hfdef
      let s2 : Finset ι := insert i1 (s.map (Embedding.subtype _))
      have hfg : ∀ x : { x // x ≠ i1 }, g x = f x := by grind
      rw [hfg]
      have hf : ∑ ι ∈ s2, f ι = 0 := by
        rw [Finset.sum_insert
            (Finset.notMem_map_subtype_of_not_property s (Classical.not_not.2 rfl)),
          Finset.sum_subtype_map_embedding fun x _ => (hfg x).symm]
        rw [hfdef]
        dsimp only
        rw [dif_pos rfl]
        exact neg_add_cancel _
      have hs2 : s2.weightedVSub p f = (0 : V) := by
        set f2 : ι → V := fun x => f x • (p x -ᵥ p i1) with hf2def
        set g2 : { x // x ≠ i1 } → V := fun x => g x • (p x -ᵥ p i1)
        have hf2g2 : ∀ x : { x // x ≠ i1 }, f2 x = g2 x := by
          simp only [g2, hf2def]
          refine fun x => ?_
          rw [hfg]
        rw [Finset.weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero s2 f p hf (p i1),
          Finset.weightedVSubOfPoint_insert, Finset.weightedVSubOfPoint_apply,
          Finset.sum_subtype_map_embedding fun x _ => hf2g2 x]
        exact hg
      exact h s2 f hf hs2 i (Finset.mem_insert_of_mem (Finset.mem_map.2 ⟨i, hi, rfl⟩))
    · intro h
      rw [linearIndependent_iff'] at h
      intro s w hw hs i hi
      rw [Finset.weightedVSub_eq_weightedVSubOfPoint_of_sum_eq_zero s w p hw (p i1), ←
        s.weightedVSubOfPoint_erase w p i1, Finset.weightedVSubOfPoint_apply] at hs
      let f : ι → V := fun i => w i • (p i -ᵥ p i1)
      have hs2 : (∑ i ∈ (s.erase i1).subtype fun i => i ≠ i1, f i) = 0 := by
        rw [← hs]
        convert! Finset.sum_subtype_of_mem f fun x => Finset.ne_of_mem_erase
      have h2 := h ((s.erase i1).subtype fun i => i ≠ i1) (fun x => w x) hs2
      simp_rw [Finset.mem_subtype] at h2
      have h2b : ∀ i ∈ s, i ≠ i1 → w i = 0 := fun i his hi =>
        h2 ⟨i, hi⟩ (Finset.mem_erase_of_ne_of_mem hi his)
      exact Finset.eq_zero_of_sum_eq_zero hw h2b i hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (AffineIndependent k (P := P) fun (p : (↑s : Type u_3)) ↦ (↑p : P)) ↔
    LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have rw : (LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
    fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
    (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) ↔
  LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
Tactic: rw [affineIndependent_iff_linearIndependent_vsub k (fun p => p : s → P) ⟨p₁, hp₁⟩]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
⊢ (LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
      fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
      (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) ↔
    LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have mp : (LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
    fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
    (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) →
  LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
mp :
  (LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
      fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
      (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) →
    LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
⊢ (LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
      fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
      (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) ↔
    LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have mpr : (LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)) →
  LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
    fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
    (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
h :
  LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
    fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
    (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)
⊢ LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have hv : ∀ (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)), (↑v : V) +ᵥ p₁ ∈ s \ {p₁}
Tactic: have hv : ∀ v : (fun p => (p -ᵥ p₁ : V)) '' (s \ {p₁}), (v : V) +ᵥ p₁ ∈ s \ {p₁} := fun v =>
      (vsub_left_injective p₁).mem_set_image.1 ((vadd_vsub (v : V) p₁).symm ▸ v.property)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
h :
  LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
    fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
    (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)
hv : ∀ (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)), (↑v : V) +ᵥ p₁ ∈ s \ {p₁}
f : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2) →
  { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ } :=
  fun (x : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x : (↑s : Type u_3)) ↦ x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁)
      (Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) ((↑x : V) +ᵥ p₁) ⋯) ⋯
⊢ LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have h₁ : ∀ (x : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)),
  Subtype.val (p := fun (x : V) ↦ Membership.mem (γ := Set V) ((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) x) =
    (fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
        (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) ∘
      f
Tactic: convert!
      h.comp f fun x1 x2 hx =>
        Subtype.ext (vadd_right_cancel p₁ (Subtype.ext_iff.1 (Subtype.ext_iff.1 hx)))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
h :
  LinearIndependent.{u_3, u_1, u_2} k (M := V)
    fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
    (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)
hv : ∀ (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)), (↑v : V) +ᵥ p₁ ∈ s \ {p₁}
f : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2) →
  { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ } :=
  fun (x : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x : (↑s : Type u_3)) ↦ x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁)
      (Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) ((↑x : V) +ᵥ p₁) ⋯) ⋯
x : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) : Type u_2)
⊢ Subtype.val (p := fun (x : V) ↦ Membership.mem (γ := Set V) ((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) x) =
    (fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
        (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) ∘
      f
have h₁ : ∀ (v : { x : V // Membership.mem (γ := Set V) ((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (s \ {p₁})) x }),
  (↑v : V) =
    ((fun (i : { x : (↑s : Type u_3) // x ≠ Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁ }) ↦
          (↑(↑i : (↑s : Type u_3)) : P) -ᵥ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : P) ↦ x ∈ s) p₁ hp₁) : P)) ∘
        f)
      v
Tactic: ext v
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ (LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑s : Type u_2)) ↦ (↑v : V)) ↔
    AffineIndependent k (P := P) fun (p : (↑({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) : Type u_3)) ↦ (↑p : P)
have rw : (LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑s : Type u_2)) ↦ (↑v : V)) ↔
  LinearIndependent k (M := V)
    fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
Tactic: rw [affineIndependent_set_iff_linearIndependent_vsub k
      (Set.mem_union_left _ (Set.mem_singleton p₁))]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ (fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}) = s
have simp_rw : s \ {0} = s
Tactic: simp_rw [Set.union_diff_left, Set.image_diff (vsub_left_injective p₁), Set.image_image,
      Set.image_singleton, vsub_self, vadd_vsub, Set.image_id']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
⊢ (LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑s : Type u_2)) ↦ (↑v : V)) ↔
    LinearIndependent k (M := V)
      fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have h : (fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}) = s
Tactic: have h : (fun p => (p -ᵥ p₁ : V)) '' (({p₁} ∪ (fun v => v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}) = s := by
    simp_rw [Set.union_diff_left, Set.image_diff (vsub_left_injective p₁), Set.image_image,
      Set.image_singleton, vsub_self, vadd_vsub, Set.image_id']
    exact Set.diff_singleton_eq_self fun h => hs 0 h rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
s : Set V
hs : ∀ v ∈ s, v ≠ 0
p₁ : P
h : (fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁}) = s
⊢ (LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑s : Type u_2)) ↦ (↑v : V)) ↔
    LinearIndependent k (M := V)
      fun (v : (↑((fun (p : P) ↦ p -ᵥ p₁) '' (({p₁} ∪ (fun (v : V) ↦ v +ᵥ p₁) '' s) \ {p₁})) : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
have rw : (LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑s : Type u_2)) ↦ (↑v : V)) ↔
  LinearIndependent k (M := V) fun (v : (↑s : Type u_2)) ↦ (↑v : V)
Tactic: rw [h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
⊢ AffineIndependent k p ↔
    ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1 →
        Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1 →
          Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
              ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P) →
            (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2
have mp : AffineIndependent k p →
  ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1 →
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1 →
        Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
            ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P) →
          (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
mp :
  AffineIndependent k p →
    ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1 →
        Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1 →
          Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
              ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P) →
            (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2
⊢ AffineIndependent k p ↔
    ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1 →
        Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1 →
          Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
              ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P) →
            (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2
have mpr : (∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1 →
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1 →
        Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
            ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P) →
          (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2) →
  AffineIndependent k p
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2
have mp : ∀ (i : ι), (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
Tactic: ext i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
have pos : ∀ (hi : i ∈ s1 ∪ s2), (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
Tactic: by_cases hi : i ∈ s1 ∪ s2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
pos : ∀ (hi : i ∈ s1 ∪ s2), (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
have neg : ∀ (hi : i ∉ s1 ∪ s2), (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
Tactic: by_cases hi : i ∈ s1 ∪ s2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i = (↑s2 : Set ι).indicator w2 i
have pos : (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
Tactic: rw [← sub_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
have pos : ∀ (hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s1 : Set ι).indicator w1 i) 1)
  (hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1)
  (heq :
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
      ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P))
  (i : ι) (hi : i ∈ s1 ∪ s2), (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
Tactic: rw [← Finset.sum_indicator_subset w1 (s1.subset_union_left (s₂ := s2))] at hw1
Cleared hypotheses: hw1, hw2, heq, i, hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s1 : Set ι).indicator w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
have pos : ∀ (hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s2 : Set ι).indicator w2 i) 1)
  (heq :
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
      ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P))
  (i : ι) (hi : i ∈ s1 ∪ s2), (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
Tactic: rw [← Finset.sum_indicator_subset w2 (s1.subset_union_right)] at hw2
Cleared hypotheses: hw2, heq, i, hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (hypothesis)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s1 : Set ι).indicator w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s2 : Set ι).indicator w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
have hws : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, ((↑s1 : Set ι).indicator w1 - (↑s2 : Set ι).indicator w2) i) 0
Tactic: have hws : (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (Set.indicator (↑s1) w1 - Set.indicator (↑s2) w2) i) = 0 := by
          simp [hw1, hw2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
s1 s2 : Finset ι
w1 w2 : ι → k
hw1 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s1 : Set ι).indicator w1 i) 1
hw2 : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, (↑s2 : Set ι).indicator w2 i) 1
heq :
  Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
    ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P)
i : ι
hi : i ∈ s1 ∪ s2
hws : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, ((↑s1 : Set ι).indicator w1 - (↑s2 : Set ι).indicator w2) i) 0
⊢ (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
have pos : ∀
  (heq :
    Eq.{u_2 + 1} (α := V)
      (((s1 ∪ s2).weightedVSub p : (a : ι → k) → V) ((↑s1 : Set ι).indicator w1 - (↑s2 : Set ι).indicator w2) : V)
      (0 : V))
  (i : ι) (hi : i ∈ s1 ∪ s2)
  (hws : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1 ∪ s2, ((↑s1 : Set ι).indicator w1 - (↑s2 : Set ι).indicator w2) i) 0),
  (↑s1 : Set ι).indicator w1 i - (↑s2 : Set ι).indicator w2 i = 0
Tactic: rw [Finset.affineCombination_indicator_subset w1 p (s1.subset_union_left (s₂ := s2)),
          Finset.affineCombination_indicator_subset w2 p s1.subset_union_right,
          ← @vsub_eq_zero_iff_eq V, Finset.affineCombination_vsub] at heq
Cleared hypotheses: heq, i, hi, hws
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.AffineSpace.Independent (goal)
Goal:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst : Ring k
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module k V
inst_3 : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha :
  ∀ (s1 s2 : Finset ι) (w1 w2 : ι → k),
    Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s1, w1 i) 1 →
      Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s2, w2 i) 1 →
        Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((affineCombination k s1 p : (a : ι → k) → P) w1 : P)
            ((affineCombination k s2 p : (a : ι → k) → P) w2 : P) →
          (↑s1 : Set ι).indicator w1 = (↑s2 : Set ι).indicator w2
s : Finset ι
w : ι → k
hw : Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w i) 0
hs : Eq.{u_2 + 1} (α := V) ((s.weightedVSub p : (a : ι → k) → V) w : V) (0 : V)
i0 : ι
hi0 : i0 ∈ s
w1 : ι → k := update (β := fun (a : ι) ↦ k) (const ι 0) i0 1
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := k) (∑ i ∈ s, w1 i) 1
have rw : HAdd.hAdd (α := k) 1 (∑ x ∈ s \ {i0}, const ι 0 x) = 1
Tactic: rw [Finset.sum_update_of_mem hi0]