awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
this : Module.IsReflexive R M
⊢ False
have rw : ∀ (this : Fintype ι) (B : P.InvariantForm)
  (h₂ :
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
        R)
      (0 : R))
  (h₁ :
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
          ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
        R)
      (0 : R))
  (this : Module.IsReflexive R M), False
Tactic: rw [isOrthogonal_iff_pairing_eq_zero, ← B.apply_root_root_zero_iff] at h₁ h₂
Cleared hypotheses: h₁, h₂, this_1, B, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
⊢ Eq (α := M →ₗ[R] R) ((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) (0 : M →ₗ[R] R)
have h : ∀ (x : M),
  Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    ((0 : (a : M) → R) x : R)
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    ((0 : (a : M) → R) x : R)
have hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x
Tactic: have hx : x ∈ span R {longRoot P, shortRoot P} := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    ((0 : (a : M) → R) x : R)
have h : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
  (0 : R)
Tactic: simp only [LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    (0 : R)
have h : Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) 0 : R)
  (0 : R)
Tactic: induction hx using Submodule.span_induction with
    | zero => simp
    | mem => grind
    | add => simp_all
    | smul => simp_all
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) 0 : R)
    (0 : R)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    (0 : R)
have h₃ : ∀ (x : M),
  Membership.mem (γ := Set M) {longRoot P, shortRoot P} x →
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R) (0 : R)
Tactic: induction hx using Submodule.span_induction with
    | zero => simp
    | mem => grind
    | add => simp_all
    | smul => simp_all
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) 0 : R)
    (0 : R)
h₃ :
  ∀ (x : M),
    Membership.mem (γ := Set M) {longRoot P, shortRoot P} x →
      Eq.{u_2 + 1} (α := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R) (0 : R)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    (0 : R)
have h₄ : ∀ (x y : M),
  Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x →
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) y →
      Eq.{u_2 + 1} (α := R)
          ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R) (0 : R) →
        Eq.{u_2 + 1} (α := R)
            ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) y : R) (0 : R) →
          Eq.{u_2 + 1} (α := R)
            ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (x + y) : R)
            (0 : R)
Tactic: induction hx using Submodule.span_induction with
    | zero => simp
    | mem => grind
    | add => simp_all
    | smul => simp_all
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
x : M
hx : Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) 0 : R)
    (0 : R)
h₃ :
  ∀ (x : M),
    Membership.mem (γ := Set M) {longRoot P, shortRoot P} x →
      Eq.{u_2 + 1} (α := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R) (0 : R)
h₄ :
  ∀ (x y : M),
    Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x →
      Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) y →
        Eq.{u_2 + 1} (α := R)
            ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R) (0 : R) →
          Eq.{u_2 + 1} (α := R)
              ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) y : R) (0 : R) →
            Eq.{u_2 + 1} (α := R)
              ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (x + y) : R)
              (0 : R)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R)
    (0 : R)
have h₅ : ∀ (a : R) (x : M),
  Membership.mem (γ := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) x →
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) x : R) (0 : R) →
      Eq.{u_2 + 1} (α := R)
        ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) (a • x) : R) (0 : R)
Tactic: induction hx using Submodule.span_induction with
    | zero => simp
    | mem => grind
    | add => simp_all
    | smul => simp_all
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
this_1 : Fintype ι
B : P.InvariantForm
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (long P) : M) :
      R)
    (0 : R)
h₁ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) :
      R)
    (0 : R)
this : Module.IsReflexive R M
⊢ False
have key : Eq (α := M →ₗ[R] R) ((B.form : (a : M) → M →ₗ[R] R) ((P.root : (a : ι) → M) i) : M →ₗ[R] R) (0 : M →ₗ[R] R)
Tactic: have key : B.form (P.root i) = 0 := by
    ext x
    have hx : x ∈ span R {longRoot P, shortRoot P} := by simp
    simp only [LinearMap.zero_apply]
    induction hx using Submodule.span_induction with
    | zero => simp
    | mem => grind
    | add => simp_all
    | smul => simp_all
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
x : M
hx : x ∈ (allRoots P).toFinset
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
have simp : (P.root : (a : ι) → M) (Exists.choose (p := fun (y : ι) ↦ (P.root : (a : ι) → M) y = x) sorry) = x
Tactic: simp only [Subtype.mk.injEq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
have rw : (allRoots P).length = 12
Tactic: rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_coe, toFinset_card_of_nodup (allRoots_nodup P)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ Nat.card ι = 12
have this : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
Tactic: have this : Nat.card (allRoots P).toFinset = 12 := by
    rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_coe, toFinset_card_of_nodup (allRoots_nodup P)]
    simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
⊢ Nat.card ι = 12
have rw : Nat.card ι = Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset
Tactic: rw [← this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ Nat.card ι = 12
have have : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
Tactic: classical
  have this : Nat.card (allRoots P).toFinset = 12 := by
    rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_coe, toFinset_card_of_nodup (allRoots_nodup P)]
    simp
  rw [← this]
  exact Nat.card_congr <| indexEquivAllRoots P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
have : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
⊢ Nat.card ι = 12
have have₁ : ∀ (this : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12), Nat.card ι = 12
Tactic: classical
  have this : Nat.card (allRoots P).toFinset = 12 := by
    rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_coe, toFinset_card_of_nodup (allRoots_nodup P)]
    simp
  rw [← this]
  exact Nat.card_congr <| indexEquivAllRoots P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
have : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
have₁ : ∀ (this : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12), Nat.card ι = 12
have₂ : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12
have₃ have₄ : ∀ (this : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12), Nat.card ι = 12
⊢ Nat.card ι = 12
have have₅ : ∀ (this : Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset = 12), Nat.card ι = Nat.card.{u_3} ↥(allRoots P).toFinset
Tactic: classical
  have this : Nat.card (allRoots P).toFinset = 12 := by
    rw [Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.card_coe, toFinset_card_of_nodup (allRoots_nodup P)]
    simp
  rw [← this]
  exact Nat.card_congr <| indexEquivAllRoots P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
⊢ b.support.card = 2
have have : ∀ (_i : P.EmbeddedG2), b.support.card = 2
Tactic: have _i : P.EmbeddedG2 := toEmbeddedG2 P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
_i : P.EmbeddedG2
⊢ b.support.card = 2
have _i₁ : Nonempty ι
Tactic: have _i : Nonempty ι := IsG2.nonempty P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
_i_1 : P.EmbeddedG2
_i : Nonempty ι
⊢ b.support.card = 2
have rw : b.support.card = Fintype.card (Fin 2)
Tactic: rw [← Fintype.card_fin 2, ← Module.finrank_eq_card_basis (EmbeddedG2.basis P),
    Module.finrank_eq_card_basis b.toWeightBasis, Fintype.card_coe]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
_i_1 : P.EmbeddedG2
_i : Nonempty ι
rw : b.support.card = Fintype.card (Fin 2)
⊢ b.support.card = 2
have rw₁ : b.support.card = Module.finrank R M
Tactic: rw [← Fintype.card_fin 2, ← Module.finrank_eq_card_basis (EmbeddedG2.basis P),
    Module.finrank_eq_card_basis b.toWeightBasis, Fintype.card_coe]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
_i_1 : P.EmbeddedG2
_i : Nonempty ι
rw : b.support.card = Fintype.card (Fin 2)
rw₁ : b.support.card = Module.finrank R M
⊢ b.support.card = 2
have rw₂ : b.support.card = Fintype.card.{u_1} ↥b.support
Tactic: rw [← Fintype.card_fin 2, ← Module.finrank_eq_card_basis (EmbeddedG2.basis P),
    Module.finrank_eq_card_basis b.toWeightBasis, Fintype.card_coe]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
_i_1 : P.EmbeddedG2
_i : Nonempty ι
rw : b.support.card = Fintype.card (Fin 2)
rw₁ : b.support.card = Module.finrank R M
rw₂ : b.support.card = Fintype.card.{u_1} ↥b.support
⊢ b.support.card = 2
have rw₃ : b.support.card = b.support.card
Tactic: rw [← Fintype.card_fin 2, ← Module.finrank_eq_card_basis (EmbeddedG2.basis P),
    Module.finrank_eq_card_basis b.toWeightBasis, Fintype.card_coe]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
h_ne : i ≠ j
⊢ Eq (α := Submodule ℤ M)
    (Submodule.span ℤ
      (insert (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (singleton (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))))
    (P.rootSpan ℤ)
have this : {i, j} ⊆ b.support
Tactic: have : {i, j} ⊆ b.support := by grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.IsG2
b : P.Base
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
i j : ι
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
h_ne : i ≠ j
this : {i, j} ⊆ b.support
⊢ Eq (α := Submodule ℤ M)
    (Submodule.span ℤ
      (insert (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (singleton (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))))
    (P.rootSpan ℤ)
have rw : Eq (α := Submodule ℤ M) (Submodule.span ℤ (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {i, j})) (P.rootSpan ℤ)
Tactic: rw [← image_pair, ← Finset.coe_pair, Finset.eq_of_subset_of_card_le this (by aesop),
    b.span_int_root_support]