awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have ah : Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
  a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
Tactic: have ah :
      Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨
        a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j := by
    simpa only [dist_eq_norm] using a.h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 0 ≤ δ
have linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
⊢ 0 ≤ δ
have linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ 0 ≤ δ
have linarith₂ : δ < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : δ < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 0 ≤ δ
have linarith₃ : δ < 0 → δ - 0 + 4 * (1 - τ) + (4 * τ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 + 1 * δ)) = 0
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have δnonneg : 0 ≤ δ
Tactic: have δnonneg : 0 ≤ δ := by linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₃ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 3 (-1) + (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - HMul.hMul (α := ℝ) 4 0) + (δ - 1) = 0
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ :
  1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 3 (-1) + (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - HMul.hMul (α := ℝ) 4 0) + (δ - 1) = 0
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₄ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 3 0
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have D : 0 ≤ 1 - δ / 4
Tactic: have D : 0 ≤ 1 - δ / 4 := by linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have τpos : 0 < τ
Tactic: have τpos : 0 < τ := _root_.zero_lt_one.trans_le hτ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₃ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → GT.gt (α := ℝ) 16 0
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
linarith₃ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → GT.gt (α := ℝ) 16 0
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₄ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 →
  HMul.hMul (α := ℝ) 16 1 - (HMul.hMul (α := ℝ) 16 1 - 1 * HPow.hPow (β := ℕ) (1 * δ) 2) +
      (0 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2) =
    0
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
Tactic: have I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1 :=
    calc
      (1 - δ / 4) * τ ≤ (1 - δ / 4) * (1 + δ / 4) := by gcongr
      _ = (1 : ℝ) - δ ^ 2 / 16 := by ring
      _ ≤ 1 := by linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
⊢ 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
have linarith : 1 - δ / 4 < 1 - δ → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith only [δnonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
linarith : 1 - δ / 4 < 1 - δ → 4 / 4 = 1
⊢ 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
have linarith₁ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith only [δnonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
linarith : 1 - δ / 4 < 1 - δ → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
have linarith₂ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith only [δnonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
linarith : 1 - δ / 4 < 1 - δ → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
have linarith₃ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 4 * δ) + 3 * (0 - δ) = 0
Tactic: linarith only [δnonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
linarith : 1 - δ / 4 < 1 - δ → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 4 * δ) + 3 * (0 - δ) = 0
⊢ 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
have linarith₄ : 1 - δ / 4 < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 3 0
Tactic: linarith only [δnonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
Tactic: have J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4 := by linarith only [δnonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
Tactic: have K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹ := by rw [inv_eq_one_div, le_div_iff₀ τpos]; exact I
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
L : τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have linarith : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith only [J, K, L]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
L : τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
linarith : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → 4 / 4 = 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have linarith₁ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith only [J, K, L]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
L : τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
linarith : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → 4 / 4 = 1
linarith₁ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have linarith₂ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith only [J, K, L]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
L : τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
linarith : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → 4 / 4 = 1
linarith₁ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → 4 / 4 = 1
linarith₄ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₅ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have linarith₆ : ‖a.c i - a.c j‖ < 1 - δ →
  4 * (‖a.c i - a.c j‖ - (1 - δ)) + (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 4 * δ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ)) +
        (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - 4 * τ⁻¹) +
      4 * (1 * τ⁻¹ - 1 * ‖a.c i - a.c j‖) =
    0
Tactic: linarith only [J, K, L]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have suffices : τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
Tactic: suffices L : τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖ by linarith only [J, K, L]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
k : Fin N.succ
⊢ τ⁻¹ ≤ a.r k
have rw : a.r (last N) ≤ τ * a.r k
Tactic: rw [inv_eq_one_div, div_le_iff₀ τpos, ← lastr, mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
Tactic: have hτ' : ∀ k, τ⁻¹ ≤ a.r k := by
    intro k
    rw [inv_eq_one_div, div_le_iff₀ τpos, ← lastr, mul_comm]
    exact a.hlast' k hτ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have inl : ∀ (H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i), τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
Tactic: rcases ah inej with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
inl : ∀ (H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i), τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have inr : ∀ (H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j), τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
Tactic: rcases ah inej with (H | H)