-- Lean 4 proof step from Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupCohomology.LowDegree (goal)
Goal:
k G : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
A : Rep k G
x : (↑((inhomogeneousCochains A).X 2) : Type u)
y : G × G × G
⊢ HSub.hSub (α := (↑A : Type u))
          ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) y.1 : (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
                (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
              (x
                (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                  (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))) :
            (↑A : Type u))
          (x
            (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) (y.1 * y.2.1)
              (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))) +
        x
          (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.1
            (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) (y.2.1 * y.2.2) (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G)))) -
      x
        (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.1
          (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.1 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G)))) =
    HAdd.hAdd (α := (↑A : Type u)) (β := (↑A : Type u))
      ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u))
                (Fin.cons (α := fun (a : Fin 3) ↦ G) y.1
                  (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                    (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                  0) :
              (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
            (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
          (x fun (i : Fin 2) ↦
            Fin.cons (α := fun (a : Fin 3) ↦ G) y.1
              (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
              i.succ) :
        (↑A : Type u))
      (∑ j : Fin 3,
          HPow.hPow (α := k) (-1) ((↑j : ℕ) + 1) •
            x
              (j.contractNth (fun (x1 x2 : G) ↦ x1 * x2)
                (((Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G :
                      G × ((i : Fin 2) → G) ≃ ((i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) → G)) :
                    (a : G × ((i : Fin 2) → G)) → (i : Fin 3) → G)
                  (Prod.map id
                    (fun (p : G × G) ↦
                      Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) p.1
                        (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) p.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                    y))) :
        (↑A : Type u))
have hf : HSub.hSub (α := (↑A : Type u))
        ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) y.1 : (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
              (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
            (x
              (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))) :
          (↑A : Type u))
        (x
          (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) (y.1 * y.2.1)
            (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))) +
      x
        (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.1
          (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) (y.2.1 * y.2.2) (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G)))) -
    x
      (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.1
        (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.1 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G)))) =
  HAdd.hAdd (α := (↑A : Type u))
    ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u))
              (Fin.cons (α := fun (a : Fin 3) ↦ G) y.1
                (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
                  (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                0) :
            (↑A : Type u) →ₗ[k] (↑A : Type u)) :
          (a : (↑A : Type u)) → (↑A : Type u))
        (x fun (i : Fin 2) ↦
          Fin.cons (α := fun (a : Fin 3) ↦ G) y.1
            (Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) y.2.1
              (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) y.2.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
            i.succ) :
      (↑A : Type u))
    (HPow.hPow (α := k) (-1) ((↑0 : ℕ) + 1) •
          x
            (Fin.contractNth 0 (fun (x1 x2 : G) ↦ x1 * x2)
              (((Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G :
                    G × ((i : Fin 2) → G) ≃ ((i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) → G)) :
                  (a : G × ((i : Fin 2) → G)) → (i : Fin 3) → G)
                (Prod.map id
                  (fun (p : G × G) ↦
                    Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) p.1
                      (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) p.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                  y))) +
        HPow.hPow (α := k) (-1) ((↑1 : ℕ) + 1) •
          x
            (Fin.contractNth 1 (fun (x1 x2 : G) ↦ x1 * x2)
              (((Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G :
                    G × ((i : Fin 2) → G) ≃ ((i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) → G)) :
                  (a : G × ((i : Fin 2) → G)) → (i : Fin 3) → G)
                (Prod.map id
                  (fun (p : G × G) ↦
                    Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) p.1
                      (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) p.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                  y))) +
      HPow.hPow (α := k) (-1) ((↑2 : ℕ) + 1) •
        x
          (Fin.contractNth 2 (fun (x1 x2 : G) ↦ x1 * x2)
            (((Fin.consEquiv.{u} (n := 2) fun (a : Fin 3) ↦ G :
                  G × ((i : Fin 2) → G) ≃ ((i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 2 1)) → G)) :
                (a : G × ((i : Fin 2) → G)) → (i : Fin 3) → G)
              (Prod.map id
                (fun (p : G × G) ↦
                  Fin.cons (α := fun (x : Fin 2) ↦ G) p.1
                    (Fin.cons (α := fun (i : Fin 1) ↦ G) p.2 (finZeroElim (α := fun (i : Fin 0) ↦ G))))
                y))))
Tactic: rw [Fin.sum_univ_three]