awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
a :
  (ofArrows Z g).bind Ti ≤
    ofArrows
      (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
        W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))
⊢ (ofArrows Z g).bind Ti =
    ofArrows
      (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
        W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))
have a₁ : (ofArrows
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
    p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) ≤
  (ofArrows Z g).bind Ti
Tactic: apply le_antisymm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
T Y : C
i : ι
v : T ⟶ Z i
hv : Ti (g i) ⋯ v
⊢ ofArrows
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
    (v ≫ g i)
have hv₁ : ofArrows (ι := κ (g i) sorry) (W (g i) sorry) (p (g i) sorry) v
Tactic: rw [hp] at hv
Cleared hypotheses: hv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
T Y : C
i : ι
v : T ⟶ Z i
hv : ofArrows (ι := κ (g i) ⋯) (W (g i) ⋯) (p (g i) ⋯) v
⊢ ofArrows
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
    (v ≫ g i)
have a : ∀ ⦃Y : C⦄ (j : κ (g i) sorry),
  ofArrows
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    (p (g i) sorry j ≫ g i)
Tactic: obtain ⟨j⟩ := hv
Cleared hypotheses: T, v, hv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
Y : C
ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯
⊢ (ofArrows Z g).bind Ti (Y := W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
have h : Ti (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (Y :=
    W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) ∧
  Eq (α := W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ⟶ X)
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
Tactic: use Z ij.1, p (g ij.1) ⟨ij.1⟩ ij.2, g ij.1, ⟨ij.1⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
Y : C
ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯
⊢ Ti (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (Y :=
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ∧
    Eq (α := W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ⟶ X)
      (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
have h : ofArrows (W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry) (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry) (Y :=
    W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) ∧
  Eq (α := W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ⟶ X)
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    (p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
Tactic: rw [hp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
⊢ (ofArrows Z g).bind Ti ∈ J.coverings X
have this : (ofArrows Z g).bind Ti =
  ofArrows
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
    p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))
Tactic: have : (Presieve.ofArrows Z g).bind Ti =
        .ofArrows (fun ij : Σ i, κ (g i) ⟨i⟩ ↦ W _ _ ij.2) (fun ij ↦ p _ _ ij.2 ≫ g ij.1) := by
      apply le_antisymm
      · rintro T u ⟨S, v, w, ⟨i⟩, hv, rfl⟩
        rw [hp] at hv
        obtain ⟨j⟩ := hv
        exact .mk <| Sigma.mk (β := fun i : ι ↦ κ (g i) ⟨i⟩) i j
      · rintro T u ⟨ij⟩
        use Z ij.1, p (g ij.1) ⟨ij.1⟩ ij.2, g ij.1, ⟨ij.1⟩
        rw [hp]
        exact ⟨⟨_⟩, rfl⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
this :
  (ofArrows Z g).bind Ti =
    ofArrows
      (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
        W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))
⊢ (ofArrows Z g).bind Ti ∈ J.coverings X
have rw : (ofArrows
    (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
      W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)))
    fun (ij : (i : ι) × κ (g i) sorry) ↦
    p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) sorry (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry)) ≫
      g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) sorry))) ∈
  J.coverings X
Tactic: rw [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
this :
  (ofArrows Z g).bind Ti =
    ofArrows
      (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
        W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))
⊢ (ofArrows
      (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
        W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ∈
    J.coverings X
have refine : ∀ (i : ι),
  Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v, u} (Z i))) (J.coverings (Z i))
    (ofArrows (ι := κ (g i) sorry) ((fun (i : ι) (j : κ (g i) sorry) ↦ W (g i) sorry j) i)
      ((fun (i : ι) (j : κ (g i) sorry) ↦ p (g i) sorry j) i))
Tactic: refine J.comp_mem_coverings (Y := fun (i : ι) (j : κ (g i) ⟨i⟩) ↦ W _ _ j)
      (g := fun i j ↦ p _ _ j) _ hR fun i ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pretopology (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasPullbacks (C := ?m.1) sorry
inst_2 : Limits.HasPullbacks.{v, u} C
J : Precoverage.{v, u} C
inst_3 : J.HasIsos
inst_4 : J.IsStableUnderBaseChange
inst_5 : J.IsStableUnderComposition
X : C
ι : Type (max u v)
Z : ι → C
g : (i : ι) → Z i ⟶ X
Ti : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Presieve.{v, u} Y
hR : ofArrows Z g ∈ J.coverings X
hTi : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (H : ofArrows Z g f), Ti f H ∈ J.coverings Y
κ : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → Type (max u v)
W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → κ f hf → C
p : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (hf : ofArrows Z g f) → (i : κ f hf) → W f hf i ⟶ Y
hp : ∀ ⦃Y : C⦄ (f : Y ⟶ X) (hf : ofArrows Z g f), Ti f hf = ofArrows (W f hf) (p f hf)
this :
  (ofArrows Z g).bind Ti =
    ofArrows
      (fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
        W (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)))
      fun (ij : (i : ι) × κ (g i) ⋯) ↦
      p (g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))) ⋯ (ij.snd (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯)) ≫
        g (ij.fst (β := fun (i : ι) ↦ κ (g i) ⋯))
i : ι
⊢ Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v, u} (Z i))) (J.coverings (Z i))
    (ofArrows (ι := κ (g i) ⋯) ((fun (i : ι) (j : κ (g i) ⋯) ↦ W (g i) ⋯ j) i)
      ((fun (i : ι) (j : κ (g i) ⋯) ↦ p (g i) ⋯ j) i))
have rw : Membership.mem (γ := Set (Presieve.{v, u} (Z i))) (J.coverings (Z i)) (Ti (g i) sorry)
Tactic: rw [← hp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Pullback (hypothesis)
Goal:
C : Type u₂
inst : Category.{v₂, u₂} C
D : Type u₃
inst_1 : Category.{v₃, u₃} D
G : Functor.{v₂, v₃, u₂, u₃} C D
A : Type u₁
inst_2 : Category.{v₁, u₁} A
J : GrothendieckTopology.{v₂, u₂} C
K : GrothendieckTopology.{v₃, u₃} D
inst_3 : G.IsContinuous J K
inst_4 : ∀ (F : Functor.{v₂, v₁, u₂, u₁} Cᵒᵖ A), G.op.HasLeftKanExtension F
inst_5 : RepresentablyFlat G
inst_6 : HasSheafify.{v₃, v₁, u₃, u₁} K A
inst_7 : HasSheafify.{v₂, v₁, u₂, u₁} J A
inst_8 : PreservesFiniteLimits (C := Functor.{v₂, v₁, u₂, u₁} Cᵒᵖ A) G.op.lan
⊢ PreservesFiniteLimits (C := Sheaf.{v₂, v₁, u₂, u₁} J A) (sheafPullback G A J K)
have this : PreservesFiniteLimits (C := Functor.{v₂, v₁, u₂, u₁} Cᵒᵖ A) (G.op.lan ⋙ presheafToSheaf K A)
Tactic: have : PreservesFiniteLimits (G.op.lan ⋙ presheafToSheaf K A) :=
    comp_preservesFiniteLimits _ _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.RegularEpi (goal)
Goal:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst : Category.{u_3, u_1} C
inst_1 : Category.{u_4, u_2} D
J : GrothendieckTopology.{u_3, u_1} C
inst_2 : HasPullbacks.{u_4, u_2} D
inst_3 : HasPushouts.{u_4, u_2} D
inst_4 : IsRegularEpiCategory.{u_4, u_2} D
h :
  ∀ {F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D} (f : F ⟶ G) [Epi f],
    ∃ (I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D) (p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I) (i :
      I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)), Epi p ∧ Mono i ∧ p ≫ i = f.hom
inst_5 : HasSheafify.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
inst_6 : Balanced (Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D)
F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
f : F ⟶ G
h_1 : Epi f
⊢ IsRegularEpi f
have obtain : ∀ (I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D) (p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I)
  (i : I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)) (hp : Epi p) (hi : Mono i) (hpi : p ≫ i = f.hom), IsRegularEpi f
Tactic: obtain ⟨I, p, i, hp, hi, hpi⟩ := h f
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.RegularEpi (hypothesis)
Goal:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst : Category.{u_3, u_1} C
inst_1 : Category.{u_4, u_2} D
J : GrothendieckTopology.{u_3, u_1} C
inst_2 : HasPullbacks.{u_4, u_2} D
inst_3 : HasPushouts.{u_4, u_2} D
inst_4 : IsRegularEpiCategory.{u_4, u_2} D
h :
  ∀ {F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D} (f : F ⟶ G) [Epi f],
    ∃ (I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D) (p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I) (i :
      I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)), Epi p ∧ Mono i ∧ p ≫ i = f.hom
inst_5 : HasSheafify.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
inst_6 : Balanced (Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D)
F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
f : F ⟶ G
h_1 : Epi f
I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D
p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I
i : I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
hp : Epi p
hi : Mono i
hpi : p ≫ i = f.hom
⊢ IsRegularEpi f
have h₁ : Eq (α :=
  Functor.obj (presheafToSheaf J D) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)) ⟶
    Functor.obj (presheafToSheaf J D) (G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)))
  (Functor.map (presheafToSheaf J D) f.hom)
  (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) F ≫
    f ≫ inv (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) G))
Tactic: have h₁ : (presheafToSheaf J D).map f.hom =
          (sheafificationAdjunction J D).counit.app F ≫ f ≫
          inv ((sheafificationAdjunction J D).counit.app G) := by
        simpa [← Category.assoc] using (sheafificationAdjunction J D).counit_naturality f
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.RegularEpi (hypothesis)
Goal:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst : Category.{u_3, u_1} C
inst_1 : Category.{u_4, u_2} D
J : GrothendieckTopology.{u_3, u_1} C
inst_2 : HasPullbacks.{u_4, u_2} D
inst_3 : HasPushouts.{u_4, u_2} D
inst_4 : IsRegularEpiCategory.{u_4, u_2} D
h :
  ∀ {F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D} (f : F ⟶ G) [Epi f],
    ∃ (I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D) (p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I) (i :
      I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)), Epi p ∧ Mono i ∧ p ≫ i = f.hom
inst_5 : HasSheafify.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
inst_6 : Balanced (Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D)
F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
f : F ⟶ G
h_1 : Epi f
I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D
p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I
i : I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
hp : Epi p
hi : Mono i
hpi : p ≫ i = f.hom
h₁ :
  Eq (α :=
    Functor.obj (presheafToSheaf J D) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)) ⟶
      Functor.obj (presheafToSheaf J D) (G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)))
    (Functor.map (presheafToSheaf J D) f.hom)
    (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) F ≫
      f ≫ inv (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) G))
⊢ IsRegularEpi f
have h₂ : f =
  CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (sheafToPresheaf J D ⋙ presheafToSheaf J D) F)
    (inv (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) F))
    (Functor.map (presheafToSheaf J D) f.hom ≫ NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) G)
Tactic: have h₂ : f = inv ((sheafificationAdjunction J D).counit.app F) ≫
        (presheafToSheaf J D).map f.hom ≫ (sheafificationAdjunction J D).counit.app G := by
      simp [h₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.RegularEpi (goal)
Goal:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst : Category.{u_3, u_1} C
inst_1 : Category.{u_4, u_2} D
J : GrothendieckTopology.{u_3, u_1} C
inst_2 : HasPullbacks.{u_4, u_2} D
inst_3 : HasPushouts.{u_4, u_2} D
inst_4 : IsRegularEpiCategory.{u_4, u_2} D
h :
  ∀ {F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D} (f : F ⟶ G) [Epi f],
    ∃ (I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D) (p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I) (i :
      I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)), Epi p ∧ Mono i ∧ p ≫ i = f.hom
inst_5 : HasSheafify.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
inst_6 : Balanced (Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D)
F G : Sheaf.{u_3, u_4, u_1, u_2} J D
f : F ⟶ G
h_1 : Epi f
I : Functor.{u_3, u_4, u_1, u_2} Cᵒᵖ D
p : F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J) ⟶ I
i : I ⟶ G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
hp : Epi p
hi : Mono i
hpi : p ≫ i = f.hom
h₁ :
  Eq (α :=
    Functor.obj (presheafToSheaf J D) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)) ⟶
      Functor.obj (presheafToSheaf J D) (G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)))
    (Functor.map (presheafToSheaf J D) f.hom)
    (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) F ≫
      f ≫ inv (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) G))
h₂ :
  f =
    CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (sheafToPresheaf J D ⋙ presheafToSheaf J D) F)
      (inv (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) F))
      (Functor.map (presheafToSheaf J D) f.hom ≫ NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) G)
⊢ Epi (X := Functor.obj (presheafToSheaf J D) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)))
    (Functor.map (presheafToSheaf J D) f.hom)
have rw : Epi (X := Functor.obj (presheafToSheaf J D) (F.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))) (Y :=
  Functor.obj (presheafToSheaf J D) (G.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)))
  (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) F ≫
    f ≫ inv (NatTrans.app (Adjunction.counit (sheafificationAdjunction J D)) G))
Tactic: rw [h₁]