awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h_option : ∀ (i : Option I), IsClopen (C i)
⊢ ∃ (C : Option I → Set X),
    (∀ (i : Option I), IsClopen (C i)) ∧
      (∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i) ∧
        (∀ (i : Option I), C i ⊆ D i) ∧
          Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) (⋃ (i : Option I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
have h_option₁ : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i
Tactic: refine ⟨C, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h_option : ∀ (i : Option I), IsClopen (C i)
h_option₁ : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i
⊢ ∃ (C : Option I → Set X),
    (∀ (i : Option I), IsClopen (C i)) ∧
      (∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i) ∧
        (∀ (i : Option I), C i ⊆ D i) ∧
          Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) (⋃ (i : Option I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
have h_option₂ : ∀ (i : Option I), C i ⊆ D i
Tactic: refine ⟨C, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h_option : ∀ (i : Option I), IsClopen (C i)
h_option₁ : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i
h_option₂ : ∀ (i : Option I), C i ⊆ D i
⊢ ∃ (C : Option I → Set X),
    (∀ (i : Option I), IsClopen (C i)) ∧
      (∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i) ∧
        (∀ (i : Option I), C i ⊆ D i) ∧
          Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) (⋃ (i : Option I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
have h_option₃ : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) (⋃ (i : Option I), C i)
Tactic: refine ⟨C, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h_option : ∀ (i : Option I), IsClopen (C i)
h_option₁ : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i
h_option₂ : ∀ (i : Option I), C i ⊆ D i
h_option₃ : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) (⋃ (i : Option I), C i)
⊢ ∃ (C : Option I → Set X),
    (∀ (i : Option I), IsClopen (C i)) ∧
      (∀ (i : Option I), Z i ⊆ C i) ∧
        (∀ (i : Option I), C i ⊆ D i) ∧
          Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) (⋃ (i : Option I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
have h_option₄ : PairwiseDisjoint univ C
Tactic: refine ⟨C, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
⊢ ∀ (i : Option I), C i ⊆ D i
have h_option : C none ⊆ D none
Tactic: try rintro (_ | i); all_goals grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
h_option : C none ⊆ D none
⊢ ∀ (i : Option I), C i ⊆ D i
have h_option₁ : ∀ (i : I), C (some i) ⊆ D (some i)
Tactic: try rintro (_ | i); all_goals grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx : Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : Option I), D i) x
⊢ Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : Option I), C i) x
have h_option : ∀ (hx : ∃ (i : Option I), x ∈ D i), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
Tactic: rw [mem_iUnion] at hx ⊢
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx : ∃ (i : Option I), x ∈ D i
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i
have pos : ∀ (hx0 : x ∈ C0), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
Tactic: by_cases hx0 : x ∈ C0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx : ∃ (i : Option I), x ∈ D i
pos : ∀ (hx0 : x ∈ C0), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i
have neg : ∀ (hx0 : x ∉ C0), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
Tactic: by_cases hx0 : x ∈ C0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx : ∃ (i : Option I), x ∈ D i
hx0 : x ∉ C0
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i
have pos : ∀ (hxD : x ∈ D none), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
Tactic: by_cases hxD : x ∈ D none
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (goal)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx : ∃ (i : Option I), x ∈ D i
hx0 : x ∉ C0
pos : ∀ (hxD : x ∈ D none), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i
have neg : ∀ (hxD : x ∉ D none), ∃ (i : Option I), x ∈ C i
Tactic: by_cases hxD : x ∈ D none
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Separation.Profinite (hypothesis)
Goal:
X : Type u_4
I_1 : Type u_5
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : CompactSpace X
inst_2 : T2Space X
inst_3 : TotallyDisconnectedSpace X
inst_4 : Finite I_1
I : Type u_5
inst_5 : Fintype I
IH :
  ∀ {Z D : I → Set X} (Z_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z i)) (D_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D i))
    (Z_subset_D : ∀ (i : I), Z i ⊆ D i) (Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z),
    ∃ (C : I → Set X),
      (∀ (i : I), IsClopen (C i)) ∧
        (∀ (i : I), Z i ⊆ C i) ∧
          (∀ (i : I), C i ⊆ D i) ∧ Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D i) (⋃ (i : I), C i) ∧ PairwiseDisjoint univ C
Z D : Option I → Set X
Z_closed : ∀ (i : Option I), IsClosed[inst] (Z i)
D_clopen : ∀ (i : Option I), IsClopen (D i)
Z_subset_D : ∀ (i : Option I), Z i ⊆ D i
Z_disj : PairwiseDisjoint univ Z
Z' : I → Set X := fun (i : I) ↦ Z (some i)
Z'_closed : ∀ (i : I), IsClosed[inst] (Z (some i))
Z'_disj : PairwiseDisjoint univ (Z ∘ some)
U : Set X := D none \ ⋃ (i : I), Z (some i)
U_open : IsOpen[inst] U
Z0_subset_U : Z none ⊆ U
V : Set X
V_clopen : IsClopen V
Z0_subset_V : Z none ⊆ V
V_subset_U : V ⊆ U
V_subset_D0 : V ⊆ D none
D' : I → Set X := fun (i : I) ↦ D (some i) \ V
D'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (D' i)
Z'_subset_D' : ∀ (i : I), Z' i ⊆ D' i
C' : I → Set X
C'_clopen : ∀ (i : I), IsClopen (C' i)
Z'_subset_C' : ∀ (i : I), Z (some i) ⊆ C' i
C'_subset_D' : ∀ (i : I), C' i ⊆ D' i
C'_cover_D' : Subset.{u_4} (α := Set X) (⋃ (i : I), D' i) (⋃ (i : I), C' i)
C'_disj : PairwiseDisjoint univ C'
C0 : Set X := D none \ ⋃ (i : I), C' i
this_1 : IsClopen C0
this : Z none ⊆ C0
C : Option I → Set X := fun (i : Option I) ↦ Option.casesOn (motive := fun (x : Option I) ↦ Set X) i C0 C'
x : X
hx : ∃ (i : Option I), x ∈ D i
hx0 : x ∉ C0
hxD : x ∈ D none
⊢ ∃ (i : Option I), x ∈ C i
have hxC' : Membership.mem (γ := Set X) (⋃ (i : I), C' i) x
Tactic: have hxC' : x ∈ ⋃ i, C' i := by grind