awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u_1
R' : Type u_2
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing R'
inst_2 : CommRing S
inst_3 : Algebra R R'
inst_4 : Algebra R S
p : Ideal R
q : Ideal R'
inst_5 : p.IsPrime
inst_6 : q.IsPrime
inst_7 : q.LiesOver p
H :
  Function.Bijective.{u_1 + 1, u_2 + 1} (α := p.ResidueField) (β := q.ResidueField)
    (⇑(ResidueField.mapₐ p q (Algebra.ofId R R') ⋯) : (a : p.ResidueField) → q.ResidueField)
P₁ P₂ : Ideal (R' ⊗[R] S)
inst_8 : P₁.IsPrime
inst_9 : P₂.IsPrime
inst_10 : P₁.LiesOver q
inst_11 : P₂.LiesOver q
H₂ :
  Eq (α := Ideal S) (comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom Algebra.TensorProduct.includeRight) P₁)
    (comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom Algebra.TensorProduct.includeRight) P₂)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
    ((fiberIsoOfBijectiveResidueField H :
          (a : (↑(q.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u_2 u_3))) → (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal (R' ⊗[R] S)) ↦
          Membership.mem (γ := Set (Ideal (R' ⊗[R] S))) (q.primesOver (R' ⊗[R] S)) x) P₁ ⋯) :
      (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
    ((fiberIsoOfBijectiveResidueField H :
          (a : (↑(q.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u_2 u_3))) → (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal (R' ⊗[R] S)) ↦
          Membership.mem (γ := Set (Ideal (R' ⊗[R] S))) (q.primesOver (R' ⊗[R] S)) x) P₂ ⋯) :
      (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
have a : Eq.{u_3 + 1} (α := Ideal S)
  (↑((fiberIsoOfBijectiveResidueField H :
          (a : (↑(q.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u_2 u_3))) → (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal (R' ⊗[R] S)) ↦
          Membership.mem (γ := Set (Ideal (R' ⊗[R] S))) (q.primesOver (R' ⊗[R] S)) x) P₁ sorry)) :
    Ideal S)
  (↑((fiberIsoOfBijectiveResidueField H :
          (a : (↑(q.primesOver (R' ⊗[R] S)) : Type (max u_2 u_3))) → (↑(p.primesOver S) : Type u_3))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal (R' ⊗[R] S)) ↦
          Membership.mem (γ := Set (Ideal (R' ⊗[R] S))) (q.primesOver (R' ⊗[R] S)) x) P₂ sorry)) :
    Ideal S)
Tactic: ext1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (hypothesis)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
⊢ ∃ r ∉ p,
    AlgHom.Finite.{u, u, u_1} (R := R) (A := Away r) (B := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
      (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r)
have this : IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
  (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
Tactic: have := PrimeSpectrum.isClosedMap_comap_of_isIntegral (algebraMap R S)
    (algebraMap_isIntegral_iff.mpr ‹_›) _ (PrimeSpectrum.isClosed_zeroLocus {g})
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (hypothesis)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
q : PrimeSpectrum S
hq : Membership.mem (γ := Set (PrimeSpectrum S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}) q
e : PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S) q = { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R }
⊢ False
have this₁ : q.asIdeal.LiesOver p
Tactic: have : q.asIdeal.LiesOver p := ⟨congr(($e).1).symm⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (hypothesis)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this_1 :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
q : PrimeSpectrum S
hq : Membership.mem (γ := Set (PrimeSpectrum S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}) q
e : PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S) q = { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R }
this : q.asIdeal.LiesOver p
⊢ False
have this₁ : 1 ⊗ₜ[R] g ∉
  PrimeSpectrum.asIdeal
    ((PrimeSpectrum.preimageEquivFiber R S { asIdeal := p, isPrime := inst_7 } :
        (a : (↑(PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S) ⁻¹' {{ asIdeal := p, isPrime := inst_7 }}) : Type v)) →
          PrimeSpectrum ({ asIdeal := p, isPrime := inst_7 }.asIdeal.Fiber S))
      (Subtype.mk (p := fun (x : PrimeSpectrum S) ↦
        Membership.mem (γ := Set (PrimeSpectrum S))
          (Set.preimage (β := PrimeSpectrum R) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S))
            {{ asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R }})
          x)
        q e))
Tactic: have : 1 ⊗ₜ g ∉ (PrimeSpectrum.preimageEquivFiber R S ⟨p, ‹_›⟩ ⟨q, e⟩).asIdeal :=
      fun h ↦ Ideal.IsPrime.ne_top' (Ideal.eq_top_of_isUnit_mem _ h hgp)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
⊢ ∃ r ∉ p,
    AlgHom.Finite.{u, u, u_1} (R := R) (A := Away r) (B := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
      (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r)
have obtain : ∀ (r : R)
  (hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)))
  (hrg :
    (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
      (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ),
  ∃ r ∉ p,
    AlgHom.Finite.{u, u, u_1} (R := R) (A := Away r) (B := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
      (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r)
Tactic: obtain ⟨_, ⟨_, ⟨r, rfl⟩, rfl⟩, hpr, hrg⟩ := PrimeSpectrum.isBasis_basic_opens
    |>.exists_subset_of_mem_open (a := ⟨p, ‹_›⟩) (ou := this.isOpen_compl) <| by
    rintro ⟨q, hq, e⟩
    have : q.asIdeal.LiesOver p := ⟨congr(($e).1).symm⟩
    have : 1 ⊗ₜ g ∉ (PrimeSpectrum.preimageEquivFiber R S ⟨p, ‹_›⟩ ⟨q, e⟩).asIdeal :=
      fun h ↦ Ideal.IsPrime.ne_top' (Ideal.eq_top_of_isUnit_mem _ h hgp)
    rw [PrimeSpectrum.preimageEquivFiber_apply_asIdeal] at this
    simp_all
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
⊢ ∃ r ∉ p,
    AlgHom.Finite.{u, u, u_1} (R := R) (A := Away r) (B := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
      (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r)
have refine_1 : RingHom.IsIntegral.{u, u_1} (R := Away r) (A := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
  (AlgHom.toRingHom (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r))
Tactic: refine ⟨r, hpr, RingHom.finite_iff_isIntegral_and_finiteType.mpr ⟨?_, ?_⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
refine_1 :
  RingHom.IsIntegral.{u, u_1} (R := Away r) (A := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
    (AlgHom.toRingHom (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r))
⊢ ∃ r ∉ p,
    AlgHom.Finite.{u, u, u_1} (R := R) (A := Away r) (B := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
      (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r)
have refine_2 : RingHom.FiniteType.{u, u_1} (A := Away r) (B := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
  (AlgHom.toRingHom (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r))
Tactic: refine ⟨r, hpr, RingHom.finite_iff_isIntegral_and_finiteType.mpr ⟨?_, ?_⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
⊢ IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((f.toRingHom : (a : S) → T) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S) : T)
    (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
have simp : IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)
  (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
Tactic: simp only [AlgHom.toRingHom_eq_coe, RingHom.coe_coe, AlgHom.commutes]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (hypothesis)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
⊢ RingHom.IsIntegral.{u, u_1} (R := Away r) (A := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
    (AlgHom.toRingHom (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r))
have this₁ : IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((f.toRingHom : (a : S) → T) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S) : T)
  (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
Tactic: have : IsLocalization.Away (f.toRingHom (algebraMap R S r))
        (Localization.Away (algebraMap R T r)) := by
      simp only [AlgHom.toRingHom_eq_coe, RingHom.coe_coe, AlgHom.commutes]; infer_instance
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (hypothesis)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this_1 :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
this :
  IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((f.toRingHom : (a : S) → T) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S) : T)
    (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
⊢ RingHom.IsIntegral.{u, u_1} (R := Away r) (A := Away (M := T) ((Algebra.ofId R T : (a : R) → T) r : T))
    (AlgHom.toRingHom (awayMapₐ (Algebra.ofId R T) r))
have h₁ : RingHom.IsIntegral.{u, v} (R := Away r) (A := Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
  (awayMap (algebraMap R S) r)
Tactic: have h₁ : (Localization.awayMap (algebraMap R S) r).IsIntegral := isIntegral_localization
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this_1 :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
this :
  IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((f.toRingHom : (a : S) → T) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S) : T)
    (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
h₁ :
  RingHom.IsIntegral.{u, v} (R := Away r) (A := Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
    (awayMap (algebraMap R S) r)
x : Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)
⊢ ∃ (a : Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S)),
    ((IsLocalization.Away.map (Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
              (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)) f.toRingHom ((algebraMap R S : (a : R) → S) r) :
            RingHom.{v, u_1} (Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
              (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))) :
          (a : Away ((algebraMap R S : (a : R) → S) r)) → Away ((algebraMap R T : (a : R) → T) r))
        a =
      x
have obtain : ∀ (x : T) (n : ℕ),
  ∃ (a : Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S)),
    Eq (α := Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
      (((IsLocalization.Away.map (Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
                (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)) f.toRingHom ((algebraMap R S : (a : R) → S) r) :
              RingHom.{v, u_1} (Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
                (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))) :
            (a : Away ((algebraMap R S : (a : R) → S) r)) → Away ((algebraMap R T : (a : R) → T) r))
          a :
        Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
      (IsLocalization.mk' (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)) x
          (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦
            Membership.mem (γ := Submonoid T) (Submonoid.powers ((algebraMap R T : (a : R) → T) r) : Submonoid T) x)
            ((fun (x : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T) x) n) sorry) :
        Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
Tactic: obtain ⟨x, ⟨_, n, rfl⟩, rfl⟩ := IsLocalization.exists_mk'_eq (.powers (algebraMap R T r)) x
Cleared hypotheses: x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this_1 :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
this :
  IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((f.toRingHom : (a : S) → T) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S) : T)
    (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
h₁ :
  RingHom.IsIntegral.{u, v} (R := Away r) (A := Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
    (awayMap (algebraMap R S) r)
x : T
n : ℕ
⊢ ∃ (a : Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S)),
    Eq (α := Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
      (((IsLocalization.Away.map (Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
                (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)) f.toRingHom ((algebraMap R S : (a : R) → S) r) :
              RingHom.{v, u_1} (Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
                (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))) :
            (a : Away ((algebraMap R S : (a : R) → S) r)) → Away ((algebraMap R T : (a : R) → T) r))
          a :
        Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
      (IsLocalization.mk' (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T)) x
          (Subtype.mk (p := fun (x : T) ↦
            Membership.mem (γ := Submonoid T) (Submonoid.powers ((algebraMap R T : (a : R) → T) r) : Submonoid T) x)
            ((fun (x : ℕ) ↦ HPow.hPow (α := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T) x) n) ⋯) :
        Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
have suffices : ∃ (a : S) (k : ℕ) (l : ℕ),
  HMul.hMul (β := T) (HPow.hPow (α := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T) (l + n)) ((f : (a : S) → T) a : T) =
    HPow.hPow (α := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T) (l + k) * x
Tactic: suffices ∃ a k l, algebraMap R T r ^ (l + n) * f a =
          algebraMap R T r ^ (l + k) * x by
        simpa [(IsLocalization.mk'_surjective (.powers (algebraMap R S r))).exists,
          IsLocalization.Away.map, IsLocalization.map_mk', IsLocalization.mk'_eq_iff_eq,
          ← map_pow, Submonoid.mem_powers_iff, IsLocalization.Away.map, IsLocalization.map_mk',
          IsLocalization.mk'_eq_iff_eq, ← map_mul, ← mul_assoc, ← pow_add,
          IsLocalization.eq_iff_exists (.powers (algebraMap R T r))]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (hypothesis)
Goal:
R : Type u
S : Type v
T : Type u_1
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : CommRing T
inst_3 : Algebra R S
inst_4 : Algebra R T
inst_5 : Algebra.FiniteType R T
inst_6 : Algebra.IsIntegral R S
f : S →ₐ[R] T
g : S
hg :
  Function.Surjective.{v + 1, u_1 + 1} (α := Away g) (β := Away (M := T) ((f : (a : S) → T) g : T))
    (⇑(awayMapₐ f g) : (a : Away g) → Away ((f : (a : S) → T) g))
p : Ideal R
inst_7 : p.IsPrime
hgp : IsUnit (M := p.Fiber S) (1 ⊗ₜ[R] g)
this_1 :
  IsClosed (X := PrimeSpectrum R)
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))
r : R
hpr : { asIdeal := p, isPrime := inst_7 : PrimeSpectrum R } ∈ (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R))
hrg :
  (↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) : Set (PrimeSpectrum R)) ⊆
    (Set.image (α := PrimeSpectrum S) (PrimeSpectrum.comap (algebraMap R S)) (PrimeSpectrum.zeroLocus {g}))ᶜ
this :
  IsLocalization.Away.{u_1, u_1} (R := T) ((f.toRingHom : (a : S) → T) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S) : T)
    (Away (M := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T))
h₁ :
  RingHom.IsIntegral.{u, v} (R := Away r) (A := Away (M := S) ((algebraMap R S : (a : R) → S) r : S))
    (awayMap (algebraMap R S) r)
x : T
n : ℕ
⊢ ∃ (a : S) (k : ℕ) (l : ℕ),
    HMul.hMul (β := T) (HPow.hPow (α := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T) (l + n)) ((f : (a : S) → T) a : T) =
      HPow.hPow (α := T) ((algebraMap R T : (a : R) → T) r : T) (l + k) * x
have this₁ : LE.le.{v} (α := TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum S))
  (PrimeSpectrum.basicOpen ((algebraMap R S : (a : R) → S) r) : TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum S))
  (PrimeSpectrum.basicOpen g : TopologicalSpace.Opens (PrimeSpectrum S))
Tactic: have : PrimeSpectrum.basicOpen (algebraMap R S r) ≤ PrimeSpectrum.basicOpen g := by
        simpa [← SetLike.coe_subset_coe] using hrg