-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.CompHaus.Basic (goal)
Goal:
X : TopCat
Y : CompHaus
f : (↑X : Type u) → (↑(compHausToTop.obj Y) : Type u)
hf : Continuous f
⊢ (fun (f : stoneCechObj X ⟶ Y) ↦
        TopCat.ofHom
          {
            toFun :=
              Function.comp (β :=
                (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                    (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
                  (stoneCechObj X))
                (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                      C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                        (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                      (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                      (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
                  (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (stoneCechObj X)) →
                    (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
                stoneCechUnit,
            continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑Y.1 : Type u)) })
      ((fun (f : X ⟶ compHausToTop.obj Y) ↦
          (ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) { toFun := stoneCechExtend ⋯, continuous_toFun := ⋯ } :
            Quiver.Hom (V := CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
              (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
              (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))))
        { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } }) =
    { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf : C((↑X : Type u), (↑(compHausToTop.obj Y) : Type u)) } :
      X.Hom (compHausToTop.obj Y) }
have w : ∀ (x : (↑(TopCat.of (↑X : Type u)) : Type u)),
  Eq (α := (↑(TopCat.of (↑Y.1 : Type u)) : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ TopCat.instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
            TopCat.carrier _ _ (TopCat.of (↑X : Type u)) (TopCat.of (↑Y.1 : Type u))
            ((fun (f : stoneCechObj X ⟶ Y) ↦
                TopCat.ofHom
                  {
                    toFun :=
                      Function.comp (β :=
                        (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                            (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
                          (stoneCechObj X))
                        (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                              C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                                (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                              (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                              (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
                          (a :
                              (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (stoneCechObj X)) →
                            (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
                        stoneCechUnit,
                    continuous_toFun := sorry : C((↑X : Type u), (↑Y.1 : Type u)) })
              ((fun (f : X ⟶ compHausToTop.obj Y) ↦
                  (ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) { toFun := stoneCechExtend sorry, continuous_toFun := sorry } :
                    Quiver.Hom (V := CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
                      (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
                      (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))))
                { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } })) :
          (a : (↑(TopCat.of (↑X : Type u)) : Type u)) → (↑(TopCat.of (↑Y.1 : Type u)) : Type u))
        x :
      (↑(TopCat.of (↑Y.1 : Type u)) : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ TopCat.instCategory (fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u)))
            TopCat.carrier _ _ (TopCat.of (↑X : Type u)) (TopCat.of (↑Y.1 : Type u))
            { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf : C((↑X : Type u), (↑(compHausToTop.obj Y) : Type u)) } :
              X.Hom (compHausToTop.obj Y) } :
          (a : (↑(TopCat.of (↑X : Type u)) : Type u)) → (↑(TopCat.of (↑Y.1 : Type u)) : Type u))
        x :
      (↑(TopCat.of (↑Y.1 : Type u)) : Type u))
Tactic: ext