awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
inst_11 : IsManifold I' 1 M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  MDifferentiableWithinAt I I' f univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
⊢ MDifferentiableAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw₁ : ContinuousWithinAt f univ x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
  ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
Tactic: rw [← mdifferentiableWithinAt_univ, mdifferentiableWithinAt_iff_target_of_mem_source hy,
    continuousWithinAt_univ, ← mdifferentiableWithinAt_univ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
inst_11 : IsManifold I' 1 M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  MDifferentiableWithinAt I I' f univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
rw₁ :
  ContinuousWithinAt f univ x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
⊢ MDifferentiableAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw₂ : ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
  ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
Tactic: rw [← mdifferentiableWithinAt_univ, mdifferentiableWithinAt_iff_target_of_mem_source hy,
    continuousWithinAt_univ, ← mdifferentiableWithinAt_univ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
inst_11 : IsManifold I' 1 M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  MDifferentiableWithinAt I I' f univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
rw₁ :
  ContinuousWithinAt f univ x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
rw₂ :
  ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
⊢ MDifferentiableAt I I' f x ↔ ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw₃ : ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
  ContinuousAt f x ∧ MDifferentiableWithinAt I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x
Tactic: rw [← mdifferentiableWithinAt_univ, mdifferentiableWithinAt_iff_target_of_mem_source hy,
    continuousWithinAt_univ, ← mdifferentiableWithinAt_univ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I 1 M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' 1 M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x)
have rw : ContinuousWithinAt f s x →
  (DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
      ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
      ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x))
Tactic: rw [mdifferentiableWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas he he' hx hy, and_congr_right_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I 1 M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' 1 M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x))
have refine : ContinuousWithinAt f s x →
  𝓝[(↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(e.extend I) : M → E) x =
    𝓝[(↑(e.extend I) : M → E) '' s] (↑(e.extend I) : M → E) x
Tactic: refine fun _ => differentiableWithinAt_congr_nhds ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I 1 M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' 1 M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ 𝓝[(↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(e.extend I) : M → E) x =
    𝓝[(↑(e.extend I) : M → E) '' s] (↑(e.extend I) : M → E) x
have simp_rw : (↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) =ᶠ[𝓝 ((↑(e.extend I) : M → E) x)] (↑(e.extend I) : M → E) '' s
Tactic: simp_rw [nhdsWithin_eq_iff_eventuallyEq, e.extend_symm_preimage_inter_range_eventuallyEq hs hx]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ MDifferentiableWithinAt I I' f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have refine : ContinuousWithinAt f s x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
  ContinuousWithinAt f s x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
Tactic: refine (mdifferentiableWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have hx₁ : x' ∈ (extChartAt I x).source
Tactic: rw [← extChartAt_source I] at hx
Cleared hypotheses: hx, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have hy₁ : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
Tactic: rw [← extChartAt_source I'] at hy
Cleared hypotheses: hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have rw : ContinuousWithinAt f s x' →
  (DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x'))
Tactic: rw [and_congr_right_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x'))
have set : let e := extChartAt I x;
∀ (hx : x' ∈ e.source),
  ContinuousWithinAt f s x' →
    (DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        ((↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑e : M → E) x') ↔
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        (e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ((↑e : M → E) x'))
Tactic: set e := extChartAt I x
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
⊢ ContinuousWithinAt f s x' →
    (DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        ((↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑e : M → E) x') ↔
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑e.symm : E → M))
        (e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)) ((↑e : M → E) x'))
have refine : ∀ (hc : ContinuousWithinAt f s x'),
  𝓝[(↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑e : M → E) x' =
    𝓝[e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)] (↑e : M → E) x'
Tactic: refine fun hc => differentiableWithinAt_congr_nhds ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
s : Set M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hy : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
e : PartialEquiv M E := extChartAt I x
hx : x' ∈ e.source
e' : PartialEquiv M' E' := extChartAt I' (f x)
hc : ContinuousWithinAt f s x'
⊢ 𝓝[(↑e.symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑e : M → E) x' =
    𝓝[e.target ∩ (↑e.symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source)] (↑e : M → E) x'
have rw : f ⁻¹' (extChartAt I' y).source ∈ 𝓝[s] x'
Tactic: rw [← e.image_source_inter_eq', ← map_extChartAt_nhdsWithin_eq_image' hx,
    ← map_extChartAt_nhdsWithin' hx, inter_comm, nhdsWithin_inter_of_mem]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContinuousWithinAt f univ x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousAt f x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have rw : ContinuousAt f x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
  ContinuousAt f x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
Tactic: rw [continuousWithinAt_univ, preimage_univ, univ_inter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.MFDeriv.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  ContinuousAt f x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousAt f x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
⊢ ContinuousWithinAt f univ x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousAt f x' ∧
      DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have rw₁ : ContinuousAt f x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      (univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
  ContinuousAt f x' ∧
    DifferentiableWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      (range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
Tactic: rw [continuousWithinAt_univ, preimage_univ, univ_inter]