awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
t : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 (n + 1) * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
rwa :
  ∀
    (t :
      b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
        pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := -1 }),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
rwa₁ :
  ∀
    (t :
      b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
        pellZd a1 n *
          HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
            { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
rwa₂ :
  ∀ (t : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n * 1),
    b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
⊢ b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
have rwa₃ : ∀ (t : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n),
  b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤ pellZd a1 n
Tactic: rwa [pellZd_succ, mul_assoc, a1m, mul_one] at t
Cleared hypotheses: t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
⊢ b = b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
have rw : b = b * 1
Tactic: rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
⊢ b = pellZd a1 (m + 1)
have rw : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 (m + 1)
Tactic: rw [show b = b * ⟨a, -1⟩ * ⟨a, 1⟩ by rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]; simp,
          pellZd_succ, e]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
rw :
  b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 (m + 1)
⊢ b = pellZd a1 (m + 1)
have rw₁ : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
  pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
Tactic: rw [show b = b * ⟨a, -1⟩ * ⟨a, 1⟩ by rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]; simp,
          pellZd_succ, e]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : { re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
m : ℕ
e : b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m
rw :
  b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 (m + 1)
rw₁ :
  b * { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
⊢ b = pellZd a1 (m + 1)
have rw₂ : pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
Tactic: rw [show b = b * ⟨a, -1⟩ * ⟨a, 1⟩ by rw [mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m]; simp,
          pellZd_succ, e]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
b : ℤ√(↑(d a1) : ℤ)
h1 : 1 ≤ b
hp : IsPell b
h : b ≤ pellZd a1 (n + 1)
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
ha : ¬{ re := (↑a : ℤ), im := 1 } ≤ b
h1l : 1 < b
⊢ False
have obtain : ∀ (x y : ℤ) (h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y })
  (hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }) (h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1))
  (ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y })
  (h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }), False
Tactic: obtain ⟨x, y⟩ := b
Cleared hypotheses: b, h1, hp, h, ha, h1l
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
⊢ False
have bm : HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
    { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
      im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
  1
Tactic: have bm : (_ * ⟨_, _⟩ : ℤ√d a1) = 1 := Pell.isPell_norm.1 hp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := -y }
⊢ False
have t : HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } 1 ≤
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } { re := x, im := -y }
Tactic: have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := -y }
t :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } 1 ≤
    HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } { re := x, im := -y }
⊢ False
have t₁ : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y } 1
Tactic: rw [bm, mul_one] at t
Cleared hypotheses: t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
⊢ False
have y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
Tactic: have y0l : (0 : ℤ√d a1) < ⟨x - x, y - -y⟩ :=
          sub_lt_sub h1l fun hn : (1 : ℤ√d a1) ≤ ⟨x, -y⟩ => by
            have t := mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)
            rw [bm, mul_one] at t
            exact h1l t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := -y } { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
⊢ False
have t : HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } { re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
    { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
    { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
Tactic: have t := mul_le_mul_of_nonneg_right
                      (mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)) a1p
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
hn : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := -y } { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
t :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } { re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
      { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } ≤
    HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
        { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } *
      { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
⊢ False
have t₁ : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
Tactic: rw [bm, one_mul, mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m, mul_one] at t
Cleared hypotheses: t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
⊢ False
have yl2 : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ))
  {
    re :=
      Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
        Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
    im :=
      Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
        Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }) }
  {
    re :=
      Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
        Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
    im :=
      Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
        Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }) }
Tactic: have yl2 : (⟨_, _⟩ : ℤ√_) < ⟨_, _⟩ :=
          show (⟨x, y⟩ - ⟨x, -y⟩ : ℤ√d a1) < ⟨a, 1⟩ - ⟨a, -1⟩ from
            sub_lt_sub ha fun hn : (⟨x, -y⟩ : ℤ√d a1) ≤ ⟨a, -1⟩ => by
              have t := mul_le_mul_of_nonneg_right
                      (mul_le_mul_of_nonneg_left hn (le_trans zero_le_one h1)) a1p
              rw [bm, one_mul, mul_assoc, Eq.trans (mul_comm _ _) a1m, mul_one] at t
              exact ha t
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := x - x, im := y - -y }
yl2 :
  LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ))
    {
      re :=
        Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
      im :=
        Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }) }
    {
      re :=
        Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
      im :=
        Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }) }
⊢ False
have y0l₁ : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := 0, im := y + y }
Tactic: simp only [sub_self, sub_neg_eq_add] at y0l
Cleared hypotheses: y0l
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
a1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
am1p : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := (↑a : ℤ), im := -1 }
a1m :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
x y : ℤ
h1 : LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
hp : IsPell (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y }
h : { re := x, im := y } ≤ pellZd a1 (n + 1)
ha : ¬LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 } { re := x, im := y }
h1l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := x, im := y }
bm :
  HMul.hMul (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }
      { re := Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) },
        im := -Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    1
yl2 :
  LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ))
    {
      re :=
        Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
      im :=
        Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := x, im := y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := x, im := -y : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }) }
    {
      re :=
        Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.re (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }),
      im :=
        Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } +
          Zsqrtd.im (d := (↑(d a1) : ℤ)) (-{ re := (↑a : ℤ), im := -1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) }) }
y0l : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 0 { re := 0, im := y + y }
⊢ False
have yl2₁ : LT.lt (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) { re := 0, im := y + y } { re := 0, im := HAdd.hAdd (α := ℤ) 1 1 }
Tactic: simp only [Zsqrtd.re_neg, add_neg_cancel,
          Zsqrtd.im_neg, neg_neg] at yl2
Cleared hypotheses: yl2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
x y : ℕ
hp_1 : x * x - d a1 * y * y = 1
hp : 0 - d a1 * y * y = 1
⊢ LE.le (α := ℤ√(↑(d a1) : ℤ)) 1 { re := (↑0 : ℤ), im := (↑y : ℤ) }
have hp₁ : Eq (α := ℕ) 0 1
Tactic: rw [zero_tsub] at hp
Cleared hypotheses: hp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
have rw : pellZd a1 (m + n + 1) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
Tactic: rw [← add_assoc, pellZd_succ, pellZd_succ, pellZd_add _ n, ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
rw : pellZd a1 (m + n + 1) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
have rw₁ : pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
Tactic: rw [← add_assoc, pellZd_succ, pellZd_succ, pellZd_add _ n, ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
rw : pellZd a1 (m + n + 1) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
rw₁ : pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
have rw₂ : pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
  pellZd a1 m * (pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) })
Tactic: rw [← add_assoc, pellZd_succ, pellZd_succ, pellZd_add _ n, ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
rw : pellZd a1 (m + n + 1) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
rw₁ : pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
rw₂ :
  pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    pellZd a1 m * (pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) })
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
have rw₃ : pellZd a1 m * pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
  pellZd a1 m * (pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) })
Tactic: rw [← add_assoc, pellZd_succ, pellZd_succ, pellZd_add _ n, ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (goal)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
rw : pellZd a1 (m + n + 1) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
rw₁ : pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
rw₂ :
  pellZd a1 (m + n) * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    pellZd a1 m * (pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) })
rw₃ :
  pellZd a1 m * pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
    pellZd a1 m * (pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) })
⊢ pellZd a1 (m + (n + 1)) = pellZd a1 m * pellZd a1 (n + 1)
have rw₄ : pellZd a1 m * pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 : ℤ√(↑(d a1) : ℤ) } =
  pellZd a1 m * pellZd a1 n * { re := (↑a : ℤ), im := 1 }
Tactic: rw [← add_assoc, pellZd_succ, pellZd_succ, pellZd_add _ n, ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PellMatiyasevic (hypothesis)
Goal:
a : ℕ
a1 : 1 < a
m n : ℕ
⊢ xn a1 (m + n) = xn a1 m * xn a1 n + d a1 * yn a1 m * yn a1 n
have h : (↑(xn a1 (m + n)) : ℤ) = (pellZd a1 m).re * (pellZd a1 n).re + (↑(d a1) : ℤ) * (pellZd a1 m).im * (pellZd a1 n).im
Tactic: injection pellZd_add a1 m n with h _