awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (hypothesis)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
c :
  Cone
    (F ⋙
      forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
hc : IsLimit c
this_1 :
  HasLimit
    (F ⋙
      forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
this :
  Small.{u, max u v}
    (↑(F ⋙
            forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier)).sections :
      Type (max u v))
⊢ LiftsToLimit F
    (forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
      (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
    c hc
have this₁ : Small.{u, max u v}
  (↑((F ⋙
            forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
                GrpCat (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier) ⋙
              forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := GrpCat.carrier)
                MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := MonCat.carrier)) ⋙
          forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
            MonCat.carrier)).sections :
    Type (max u v))
Tactic: have : Small.{u} ((F ⋙ forget₂ CommGrpCat GrpCat ⋙ forget₂ GrpCat MonCat) ⋙
      forget MonCat).sections := this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (hypothesis)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
c :
  Cone
    (F ⋙
      forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
hc : IsLimit c
this_1 :
  HasLimit
    (F ⋙
      forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
this_2 :
  Small.{u, max u v}
    (↑(F ⋙
            forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier)).sections :
      Type (max u v))
this :
  Small.{u, max u v}
    (↑((F ⋙
              forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
                  GrpCat (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier) ⋙
                forget₂ GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  GrpCat.carrier) MonCat (FD := fun (x1 x2 : MonCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD :=
                  MonCat.carrier)) ⋙
            forget MonCat (FC := fun (x1 x2 : MonCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              MonCat.carrier)).sections :
      Type (max u v))
⊢ LiftsToLimit F
    (forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
      (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
    c hc
have this₁ : Small.{u, max u v}
  (↑((F ⋙
            forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
              GrpCat (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier)) ⋙
          forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
            GrpCat.carrier)).sections :
    Type (max u v))
Tactic: have : Small.{u} ((F ⋙ forget₂ CommGrpCat GrpCat) ⋙ forget GrpCat).sections := this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
⊢ HasLimit F ↔
    Small.{u, max u v}
      (↑(F ⋙
              forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier)).sections :
        Type (max u v))
have mp : HasLimit F →
  Small.{u, max u v}
    (↑(F ⋙
            forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier)).sections :
      Type (max u v))
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
mp :
  HasLimit F →
    Small.{u, max u v}
      (↑(F ⋙
              forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier)).sections :
        Type (max u v))
⊢ HasLimit F ↔
    Small.{u, max u v}
      (↑(F ⋙
              forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier)).sections :
        Type (max u v))
have mpr : Small.{u, max u v}
    (↑(F ⋙
            forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier)).sections :
      Type (max u v)) →
  HasLimit F
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
c : Cone F
hc : IsLimit c
⊢ HasLimit
    (F ⋙
      forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
have rw : Small.{u, max u v}
  (↑((F ⋙
            forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
              GrpCat (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier)) ⋙
          forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
            GrpCat.carrier)).sections :
    Type (max u v))
Tactic: rw [GrpCat.hasLimit_iff_small_sections]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
c : Cone F
hc : IsLimit c
⊢ Small.{u, max u v}
    (↑((F ⋙
              forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
                GrpCat (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier)) ⋙
            forget GrpCat (FC := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              GrpCat.carrier)).sections :
      Type (max u v))
have change : Small.{u, max u v}
  (↑(F ⋙
          forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
            carrier)).sections :
    Type (max u v))
Tactic: change Small.{u} (F ⋙ forget CommGrpCat).sections
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
c : Cone F
hc : IsLimit c
⊢ Small.{u, max u v}
    (↑(F ⋙
            forget CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier)).sections :
      Type (max u v))
have rw : HasLimit F
Tactic: rw [← CommGrpCat.hasLimit_iff_small_sections]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (hypothesis)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : CategoryTheory.Functor.{w, u, v, u + 1} J CommGrpCat
c : Cone F
hc : IsLimit c
⊢ IsLimit (F :=
    F ⋙
      forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
    (Functor.mapCone
      (forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
        (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
      c)
have this : HasLimit
  (F ⋙
    forget₂ CommGrpCat (FC := fun (x1 x2 : CommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) GrpCat
      (FD := fun (x1 x2 : GrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →* (↑x2 : Type u)) (CD := GrpCat.carrier))
Tactic: have : HasLimit (F ⋙ forget₂ CommGrpCat GrpCat) := by
      rw [GrpCat.hasLimit_iff_small_sections]
      change Small.{u} (F ⋙ forget CommGrpCat).sections
      rw [← CommGrpCat.hasLimit_iff_small_sections]
      exact ⟨_, hc⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ Eq (α := ↥(Hom.hom f).ker)
    (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
          0)
        ⋯ :
      ↥(Hom.hom f).ker)
    (0 : ↥(Hom.hom f).ker)
have refine : Eq (α := (↑G : Type u))
  ((↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            0)
          sorry) :
      (↑G : Type u)) :
    (↑G : Type u))
  ((↑0 : (↑G : Type u)) : (↑G : Type u))
Tactic: refine Subtype.ext ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
g g' : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (X := kernel f) (kernel.ι f) :
          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
        (g + g'))
      ⋯ =
    HAdd.hAdd (α := ↥(Hom.hom f).ker) (β := ↥(Hom.hom f).ker)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            g)
          ⋯ :
        ↥(Hom.hom f).ker)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
              (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
            g')
          ⋯ :
        ↥(Hom.hom f).ker)
have refine : (↑(Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
              carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
          (g + g'))
        sorry) :
    (↑G : Type u)) =
  (↑(HAdd.hAdd (α := ↥(Hom.hom f).ker) (β := ↥(Hom.hom f).ker)
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
              g)
            sorry :
          ↥(Hom.hom f).ker)
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                  carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
              g')
            sorry :
          ↥(Hom.hom f).ker)) :
    (↑G : Type u))
Tactic: refine Subtype.ext ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ ofHom (Hom.hom f).ker.subtype ≫ f = 0
have hf : ∀ (x : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)),
  Eq (α := (↑H : Type u))
    ((Hom.hom (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype ≫ f) : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x :
      (↑H : Type u))
    ((Hom.hom 0 : (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑H : Type u)) x : (↑H : Type u))
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ ofHom
        {
          toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯,
          map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
      kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯ =
    𝟙 (kernel f)
have refine : CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
    (ofHom
        {
          toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              sorry,
          map_zero' := sorry, map_add' := sorry } ≫
      kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) sorry)
    (equalizer.ι f 0) =
  𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0
Tactic: refine equalizer.hom_ext ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
      (ofHom
          {
            toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
              Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                      carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                    (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                  g)
                ⋯,
            map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ } ≫
        kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
      (equalizer.ι f 0) =
    𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0
have hf : ∀ (x : (↑(kernel f) : Type u)),
  Eq (α := (↑G : Type u))
    ((Hom.hom
            (CategoryStruct.comp (Y := equalizer f 0)
              (ofHom
                  {
                    toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                      Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦
                              (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                            (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                          g)
                        sorry,
                    map_zero' := sorry, map_add' := sorry } ≫
                kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) sorry)
              (equalizer.ι f 0)) :
          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
        x :
      (↑G : Type u))
    ((Hom.hom (𝟙 (kernel f) ≫ equalizer.ι f 0) : (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u)) x : (↑G : Type u))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
      (ofHom
        {
          toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC :=
                    carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                  (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                g)
              ⋯,
          map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ }) =
    𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)
have w : ∀ (x : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)),
  Eq (α := (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
            (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) sorry)
              (ofHom
                {
                  toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                            (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                        g)
                      sorry,
                  map_zero' := sorry, map_add' := sorry })) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        x :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        x :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
Tactic: apply AddCommGrpCat.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
x : (↑G : Type u)
mem : x ∈ (Hom.hom f).ker
⊢ Eq (α := (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
            (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) ⋯)
              (ofHom
                {
                  toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                            (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                        g)
                      ⋯,
                  map_zero' := ⋯, map_add' := ⋯ })) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem) :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem) :
      (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
have w : Eq.{u + 1} (α := (↑G : Type u))
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (Y := of ↥(Hom.hom f).ker)
            (CategoryStruct.comp (Y := kernel f) (kernel.lift f (ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) sorry)
              (ofHom
                {
                  toFun := fun (g : (↑(limit.cone (parallelPair f 0)).1 : Type u)) ↦
                    Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker)
                      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u))
                            (CC := carrier) (X := kernel f) (kernel.ι f) :
                          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑G : Type u))
                        g)
                      sorry,
                  map_zero' := sorry, map_add' := sorry })) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem)) :
    (↑G : Type u))
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u}) ↦ (↑x1 : Type u) →+ (↑x2 : Type u)) (CC := carrier)
            (𝟙 (of ↥(Hom.hom f).ker)) :
          (a : (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u)) → (↑(of ↥(Hom.hom f).ker) : Type u))
        (Subtype.mk (p := fun (x : (↑G : Type u)) ↦ x ∈ (Hom.hom f).ker) x mem)) :
    (↑G : Type u))
Tactic: refine Subtype.ext ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Limits (goal)
Goal:
G H : AddCommGrpCat
f : G ⟶ H
⊢ (kernelIsoKer f).hom ≫ ofHom (Hom.hom f).ker.subtype = kernel.ι f
have hf : ∀ (x : (↑(kernel f) : Type u)),
  Eq (α := (↑(of (↑G : Type u)) : Type u))
    ((Hom.hom ((kernelIsoKer f).hom ≫ ofHom (Hom.hom f).ker.subtype) :
          (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑(of (↑G : Type u)) : Type u))
        x :
      (↑(of (↑G : Type u)) : Type u))
    ((Hom.hom (kernel.ι f) : (a : (↑(kernel f) : Type u)) → (↑(of (↑G : Type u)) : Type u)) x :
      (↑(of (↑G : Type u)) : Type u))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Grp.Shrink (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F G : CategoryTheory.Functor.{v, w', u, w' + 1} C GrpCat
τ : F ⟶ G
inst_1 : ∀ (X : C), Small.{w, w'} (↑(F.obj X) : Type w')
inst_2 : ∀ (X : C), Small.{w, w'} (↑(G.obj X) : Type w')
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ (shrinkFunctor.{w, w', v, u} F).map f ≫
      ofHom
        (MonoidHom.comp (MonoidHom.comp (MulEquiv.toMonoidHom (MulEquiv.symm Shrink.mulEquiv)) (Hom.hom (τ.app Y)))
          (MulEquiv.toMonoidHom Shrink.mulEquiv)) =
    ofHom
        (MonoidHom.comp (MonoidHom.comp (MulEquiv.toMonoidHom (MulEquiv.symm Shrink.mulEquiv)) (Hom.hom (τ.app X)))
          (MulEquiv.toMonoidHom Shrink.mulEquiv)) ≫
      (shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).map f
have hf : ∀ (x : (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} F).obj X) : Type w)),
  Eq (α := (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).obj Y) : Type w))
    ((Hom.hom
            ((shrinkFunctor.{w, w', v, u} F).map f ≫
              ofHom
                (MonoidHom.comp
                  (MonoidHom.comp (MulEquiv.toMonoidHom (MulEquiv.symm Shrink.mulEquiv)) (Hom.hom (τ.app Y)))
                  (MulEquiv.toMonoidHom Shrink.mulEquiv))) :
          (a : (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} F).obj X) : Type w)) →
            (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).obj Y) : Type w))
        x :
      (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).obj Y) : Type w))
    ((Hom.hom
            (ofHom
                (MonoidHom.comp
                  (MonoidHom.comp (MulEquiv.toMonoidHom (MulEquiv.symm Shrink.mulEquiv)) (Hom.hom (τ.app X)))
                  (MulEquiv.toMonoidHom Shrink.mulEquiv)) ≫
              (shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).map f) :
          (a : (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} F).obj X) : Type w)) →
            (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).obj Y) : Type w))
        x :
      (↑((shrinkFunctor.{w, w', v, u} G).obj Y) : Type w))
Tactic: ext x