awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesMonomorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : W ⟶ L.obj X
hw : w ≫ L.map f = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : W ⟶ L.obj X) (hw : w ≫ L.map f = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : W = L.obj Z) (z : Z ⟶ X), w = eqToHom hZ ≫ L.map z),
    ∃ (l : W ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : W = L.obj Z) (z : Z ⟶ X), w = eqToHom hZ ≫ L.map z
φ : P.isoModSerre.RightFraction (L.objPreimage W) X
hφ : L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) ≫ Iso.hom (L.objObjPreimageIso W) ≫ w = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))
⊢ ∃ (l : W ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = w
have inr : ∀ (l : L.obj (φ.X' (W := P.isoModSerre)) ⟶ L.obj (kernel f))
  (hl : l ≫ L.map (kernel.ι f) = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))),
  ∃ (l : W ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = w
Tactic: obtain ⟨l, hl⟩ := this _ (L.map φ.f) (by
      rw [← hφ, Category.assoc, Category.assoc, hw, comp_zero, comp_zero]) ⟨_, rfl, by simp⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesMonomorphisms
this : L.EssSurj
W : D
w : W ⟶ L.obj X
hw : w ≫ L.map f = 0
hw' : ∃ (Z : C) (hZ : W = L.obj Z) (z : Z ⟶ X), w = eqToHom hZ ≫ L.map z
⊢ ∃ (l : W ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = w
have obtain : ∀ (Z : C) (z : Z ⟶ X) (hw : (eqToHom sorry ≫ L.map z) ≫ L.map f = 0),
  ∃ (l : L.obj Z ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = eqToHom sorry ≫ L.map z
Tactic: obtain ⟨Z, rfl, z, rfl⟩ := hw'
Cleared hypotheses: W, w, hw, hw'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesMonomorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Z ⟶ X
hw : (eqToHom ⋯ ≫ L.map z) ≫ L.map f = 0
⊢ ∃ (l : L.obj Z ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = eqToHom ⋯ ≫ L.map z
have hw₁ : ∃ (X' : C) (s : X' ⟶ Z) (_ : P.isoModSerre s), s ≫ z ≫ f = 0
Tactic: simp only [eqToHom_refl, Category.id_comp, ← L.map_comp, map_eq_zero_iff L P,
    ← exists_isoModSerre_comp_eq_zero_iff P] at hw
Cleared hypotheses: hw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesMonomorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Z ⟶ X
hw : ∃ (X' : C) (s : X' ⟶ Z) (_ : P.isoModSerre s), s ≫ z ≫ f = 0
⊢ ∃ (l : L.obj Z ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = eqToHom ⋯ ≫ L.map z
have obtain : ∀ (Z' : C) (t : Z' ⟶ Z) (ht : P.isoModSerre t) (fac : t ≫ z ≫ f = 0),
  ∃ (l : L.obj Z ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = eqToHom sorry ≫ L.map z
Tactic: obtain ⟨Z', t, ht, fac⟩ := hw
Cleared hypotheses: hw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesMonomorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Z ⟶ X
Z' : C
t : Z' ⟶ Z
ht : P.isoModSerre t
fac : t ≫ z ≫ f = 0
⊢ ∃ (l : L.obj Z ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = eqToHom ⋯ ≫ L.map z
have this₁ : IsIso (L.map t)
Tactic: have := Localization.inverts L P.isoModSerre t ht
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesMonomorphisms
this_2 : L.EssSurj
Z : C
z : Z ⟶ X
Z' : C
t : Z' ⟶ Z
ht : P.isoModSerre t
fac : t ≫ z ≫ f = 0
this : IsIso (L.map t)
⊢ ∃ (l : L.obj Z ⟶ L.obj (kernel f)), l ≫ L.map (kernel.ι f) = eqToHom ⋯ ≫ L.map z
have fac₁ : (t ≫ z) ≫ f = 0
Tactic: rw [← Category.assoc] at fac
Cleared hypotheses: fac, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ PreservesColimit (parallelPair f 0) L
have this : L.PreservesEpimorphisms
Tactic: have := preservesEpimorphisms L P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this : L.PreservesEpimorphisms
⊢ PreservesColimit (parallelPair f 0) L
have this₁ : L.EssSurj
Tactic: have := Localization.essSurj L P.isoModSerre
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
⊢ PreservesColimit (parallelPair f 0) L
have suffices : ∀ (W : D) (z : L.obj Y ⟶ W) (hz : L.map f ≫ z = 0), ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = z
Tactic: suffices ∀ (W : D) (z : L.obj Y ⟶ W) (hz : L.map f ≫ z = 0),
      ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = z from
    preservesColimit_of_preserves_colimit_cocone (cokernelIsCokernel f)
      ((CokernelCofork.isColimitMapCoconeEquiv _ L).2
        (Cofork.IsColimit.ofExistsUnique
          (fun s ↦ existsUnique_of_exists_of_unique
            (this _ _ (CokernelCofork.condition s))
            (fun _ _ h₁ h₂ ↦ by simpa [cancel_epi] using h₁.trans h₂.symm))))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
have inr : ∀
  (this :
    ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
      (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
      ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w)
  (hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
  ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
Tactic: wlog hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
      generalizing W
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
inr :
  ∀
    (this :
      ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
        (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
        ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w)
    (hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
have wlog : ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
  (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
  ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
Tactic: wlog hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
      generalizing W
Cleared hypotheses: W, w, hw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
have inr : ∀ (φ : P.isoModSerre.LeftFraction Y (L.objPreimage W))
  (hφ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) = φ.map (W := P.isoModSerre) L sorry),
  ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
Tactic: obtain ⟨φ, hφ⟩ := Localization.exists_leftFraction L P.isoModSerre
      (w ≫ (L.objObjPreimageIso W).inv)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
φ : P.isoModSerre.LeftFraction Y (L.objPreimage W)
hφ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) = φ.map (W := P.isoModSerre) L ⋯
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
have hφ₁ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))
Tactic: rw [← cancel_mono (L.map φ.s), Category.assoc,
      MorphismProperty.LeftFraction.map_comp_map_s] at hφ
Cleared hypotheses: hφ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
φ : P.isoModSerre.LeftFraction Y (L.objPreimage W)
hφ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))
⊢ L.map f ≫ L.map (φ.f (W := P.isoModSerre)) = 0
have rw : L.map f ≫ w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = 0
Tactic: rw [← hφ, reassoc_of% hw, zero_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
φ : P.isoModSerre.LeftFraction Y (L.objPreimage W)
hφ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))
rw : L.map f ≫ w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = 0
⊢ L.map f ≫ L.map (φ.f (W := P.isoModSerre)) = 0
have rw₁ : Eq (α := L.obj X ⟶ L.obj (φ.Y' (W := P.isoModSerre)))
  (0 ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre))) 0
Tactic: rw [← hφ, reassoc_of% hw, zero_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
φ : P.isoModSerre.LeftFraction Y (L.objPreimage W)
hφ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))
rw : L.map f ≫ w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = 0
rw₁ :
  Eq (α := L.obj X ⟶ L.obj (φ.Y' (W := P.isoModSerre)))
    (0 ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre))) 0
⊢ L.map f ≫ L.map (φ.f (W := P.isoModSerre)) = 0
have rw₂ : Eq.{v' + 1} (α := L.obj X ⟶ L.obj (φ.Y' (W := P.isoModSerre))) 0 0
Tactic: rw [← hφ, reassoc_of% hw, zero_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this_2 : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
this :
  ∀ (W : D) (w : L.obj Y ⟶ W) (hw : L.map f ≫ w = 0)
    (hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ),
    ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
hw' : ¬∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
φ : P.isoModSerre.LeftFraction Y (L.objPreimage W)
hφ : w ≫ Iso.inv (L.objObjPreimageIso W) ≫ L.map (φ.s (W := P.isoModSerre)) = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
have inr : ∀ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj (φ.Y' (W := P.isoModSerre)))
  (hl : L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map (φ.f (W := P.isoModSerre))),
  ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
Tactic: obtain ⟨l, hl⟩ := this _ (L.map φ.f) (by rw [← hφ, reassoc_of% hw, zero_comp]) ⟨_, rfl, by simp⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
W : D
w : L.obj Y ⟶ W
hw : L.map f ≫ w = 0
hw' : ∃ (Z : C) (hZ : L.obj Z = W) (z : Y ⟶ Z), w = L.map z ≫ eqToHom hZ
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ W), L.map (cokernel.π f) ≫ l = w
have obtain : ∀ (Z : C) (z : Y ⟶ Z) (hw : L.map f ≫ L.map z ≫ eqToHom sorry = 0),
  ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj Z), L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map z ≫ eqToHom sorry
Tactic: obtain ⟨Z, rfl, z, rfl⟩ := hw'
Cleared hypotheses: W, w, hw, hw'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Y ⟶ Z
hw : L.map f ≫ L.map z ≫ eqToHom ⋯ = 0
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj Z), L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map z ≫ eqToHom ⋯
have hw₁ : ∃ (Y' : C) (s : Z ⟶ Y') (_ : P.isoModSerre s), (f ≫ z) ≫ s = 0
Tactic: simp only [eqToHom_refl, Category.comp_id, ← L.map_comp,
    map_eq_zero_iff L P, ← exists_comp_isoModSerre_eq_zero_iff P] at hw
Cleared hypotheses: hw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Y ⟶ Z
hw : ∃ (Y' : C) (s : Z ⟶ Y') (_ : P.isoModSerre s), (f ≫ z) ≫ s = 0
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj Z), L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map z ≫ eqToHom ⋯
have obtain : ∀ (Z' : C) (t : Z ⟶ Z') (ht : P.isoModSerre t) (fac : (f ≫ z) ≫ t = 0),
  ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj Z), L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map z ≫ eqToHom sorry
Tactic: obtain ⟨Z', t, ht, fac⟩ := hw
Cleared hypotheses: hw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Y ⟶ Z
Z' : C
t : Z ⟶ Z'
ht : P.isoModSerre t
fac : (f ≫ z) ≫ t = 0
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj Z), L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map z ≫ eqToHom ⋯
have fac₁ : f ≫ z ≫ t = 0
Tactic: rw [Category.assoc] at fac
Cleared hypotheses: fac
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : C
f : X ⟶ Y
this_1 : L.PreservesEpimorphisms
this : L.EssSurj
Z : C
z : Y ⟶ Z
Z' : C
t : Z ⟶ Z'
ht : P.isoModSerre t
fac : f ≫ z ≫ t = 0
⊢ ∃ (l : L.obj (cokernel f) ⟶ L.obj Z), L.map (cokernel.π f) ≫ l = L.map z ≫ eqToHom ⋯
have this₁ : IsIso (L.map t)
Tactic: have := Localization.inverts L P.isoModSerre t ht
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ HasKernel f
have obtain : ∀ (g : Arrow.{v, u} C) (e : L.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f), HasKernel f
Tactic: obtain ⟨g, ⟨e⟩⟩ :=
      (Localization.essSurj_mapArrow L P.isoModSerre).mem_essImage (Arrow.mk f)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
g : Arrow.{v, u} C
e : L.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f
⊢ HasKernel f
have this : PreservesLimit (parallelPair g.hom 0) L
Tactic: have := preservesKernel L P g.hom
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
g : Arrow.{v, u} C
e : L.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f
this : PreservesLimit (parallelPair g.hom 0) L
⊢ HasKernel f
have this₁ : HasLimit (parallelPair (L.map g.hom) 0)
Tactic: have : HasLimit (parallelPair (L.map g.hom) 0) :=
      ⟨_, (KernelFork.isLimitMapConeEquiv _ L).1
        (isLimitOfPreserves L (kernelIsKernel g.hom))⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
⊢ HasCokernel f
have obtain : ∀ (g : Arrow.{v, u} C) (e : L.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f), HasCokernel f
Tactic: obtain ⟨g, ⟨e⟩⟩ :=
      (Localization.essSurj_mapArrow L P.isoModSerre).mem_essImage (Arrow.mk f)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.SerreClass.Localization (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : Abelian.{v, u} C
D : Type u'
inst_2 : Category.{v', u'} D
L : Functor.{v, v', u, u'} C D
P : ObjectProperty.{v, u} C
inst_3 : P.IsSerreClass
inst_4 : L.IsLocalization P.isoModSerre
inst_5 : Preadditive.{v', u'} D
inst_6 : L.Additive
X Y : D
f : X ⟶ Y
g : Arrow.{v, u} C
e : L.mapArrow.obj g ≅ Arrow.mk f
⊢ HasCokernel f
have this : PreservesColimit (parallelPair g.hom 0) L
Tactic: have := preservesCokernel L P g.hom