awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (δ i) :
              (a : Fin (n + 1)) → Fin (n + 1 + 1))
            k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter j ⋯) :
            (a : Fin (n + 1)) → Fin (m + 1))
          k) :
      ℕ)
have neg : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) sorry) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
        (i.succAbove k)) :
    ℕ) =
  0
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_lt j .., coe_δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have pos : ∀ (hk' : i ≤ k.castSucc),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) sorry) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
Tactic: by_cases! hk' : i ≤ k.castSucc
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
pos :
  ∀ (hk' : i ≤ k.castSucc),
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
              (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
            (i.succAbove k)) :
        ℕ) =
      0
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have neg : ∀ (hk' : k.castSucc < i),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) sorry) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
Tactic: by_cases! hk' : i ≤ k.castSucc
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
hk' : i ≤ k.castSucc
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have pos : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) sorry) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
        k.succ) :
    ℕ) =
  0
Tactic: rw [Fin.succAbove_of_le_castSucc _ _ hk', σ₀Iter_coe_eq_of_lt ..]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
hk' : i ≤ k.castSucc
pos :
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          k.succ) :
      ℕ) =
    0
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have pos₁ : Eq (α := ℕ) 0 0
Tactic: rw [Fin.succAbove_of_le_castSucc _ _ hk', σ₀Iter_coe_eq_of_lt ..]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
hk' : k.castSucc < i
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have neg : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) sorry) :
          (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
        k.castSucc) :
    ℕ) =
  0
Tactic: rw [Fin.succAbove_of_castSucc_lt _ _ (by lia), σ₀Iter_coe_eq_of_lt ..]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
h : m + (j + 1) = n + 1
hi' : (↑i : ℕ) ≤ j + 1
k : Fin (⦋n⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) < j
hk' : k.castSucc < i
neg :
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          k.castSucc) :
      ℕ) =
    0
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (j + 1) ⋯) :
            (a : Fin (n + 1 + 1)) → Fin (m + 1))
          (i.succAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have neg₁ : Eq (α := ℕ) 0 0
Tactic: rw [Fin.succAbove_of_castSucc_lt _ _ (by lia), σ₀Iter_coe_eq_of_lt ..]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + 0 = n
hi' : 0 < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + 0
⊢ δ i ≫ σ₀Iter 0 ⋯ = σ₀Iter 0 ⋯ ≫ δ i'
have zero : ∀ (i' : Fin (n + 2)) (h : n + 0 = n) (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + 0), δ i ≫ σ₀Iter 0 sorry = σ₀Iter 0 sorry ≫ δ i'
Tactic: obtain rfl : n = m := by lia
Cleared hypotheses: m, i', h, hi''
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
hi' : 0 < (↑i : ℕ)
i' : Fin (n + 2)
h : n + 0 = n
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + 0
⊢ δ i ≫ σ₀Iter 0 ⋯ = σ₀Iter 0 ⋯ ≫ δ i'
have zero : ∀ (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i : ℕ) + 0), δ i ≫ σ₀Iter 0 sorry = σ₀Iter 0 sorry ≫ δ i
Tactic: obtain rfl : i = i' := by lia
Cleared hypotheses: i', hi''
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
j : ℕ
hj :
  ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + j = n) (hi' : j < (↑i : ℕ))
    (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j), δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ = σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + (j + 1) = n
hi' : j + 1 < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + (j + 1)
⊢ δ i ≫ σ₀Iter (j + 1) ⋯ = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
have succ : δ i ≫ σ₀Iter j sorry ≫ σ 0 = σ₀Iter (j + 1) sorry ≫ δ i'
Tactic: rw [σ₀Iter_succ _, σ₀Iter_succ_assoc _,
      reassoc_of% hj _ i'.succ (by lia) (by lia) (by grind),
      dsimp% δ_comp_σ_of_gt (i := i') (j := 0)
        (by rw [Fin.lt_def]; dsimp; lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
j : ℕ
hj :
  ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + j = n) (hi' : j < (↑i : ℕ))
    (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j), δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ = σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + (j + 1) = n
hi' : j + 1 < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + (j + 1)
succ : δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
⊢ δ i ≫ σ₀Iter (j + 1) ⋯ = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
have succ₁ : δ i ≫ σ₀Iter j sorry ≫ σ 0 = σ₀Iter j sorry ≫ σ 0 ≫ δ i'
Tactic: rw [σ₀Iter_succ _, σ₀Iter_succ_assoc _,
      reassoc_of% hj _ i'.succ (by lia) (by lia) (by grind),
      dsimp% δ_comp_σ_of_gt (i := i') (j := 0)
        (by rw [Fin.lt_def]; dsimp; lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
j : ℕ
hj :
  ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + j = n) (hi' : j < (↑i : ℕ))
    (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j), δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ = σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + (j + 1) = n
hi' : j + 1 < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + (j + 1)
succ : δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
succ₁ : δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 = σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 ≫ δ i'
⊢ δ i ≫ σ₀Iter (j + 1) ⋯ = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
have succ₂ : σ₀Iter j sorry ≫ δ i'.succ ≫ σ 0 = σ₀Iter j sorry ≫ σ 0 ≫ δ i'
Tactic: rw [σ₀Iter_succ _, σ₀Iter_succ_assoc _,
      reassoc_of% hj _ i'.succ (by lia) (by lia) (by grind),
      dsimp% δ_comp_σ_of_gt (i := i') (j := 0)
        (by rw [Fin.lt_def]; dsimp; lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
j : ℕ
hj :
  ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + j = n) (hi' : j < (↑i : ℕ))
    (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j), δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ = σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + (j + 1) = n
hi' : j + 1 < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + (j + 1)
succ : δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
succ₁ : δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 = σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 ≫ δ i'
succ₂ : σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'.succ ≫ σ 0 = σ₀Iter j ⋯ ≫ σ 0 ≫ δ i'
⊢ δ i ≫ σ₀Iter (j + 1) ⋯ = σ₀Iter (j + 1) ⋯ ≫ δ i'
have succ₃ : σ₀Iter j sorry ≫ σ 0 ≫ δ i' = σ₀Iter j sorry ≫ σ 0 ≫ δ i'
Tactic: rw [σ₀Iter_succ _, σ₀Iter_succ_assoc _,
      reassoc_of% hj _ i'.succ (by lia) (by lia) (by grind),
      dsimp% δ_comp_σ_of_gt (i := i') (j := 0)
        (by rw [Fin.lt_def]; dsimp; lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + j = n
hi' : j < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j
⊢ δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ = σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'
have zero : ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + 0 = n) (hi' : 0 < (↑i : ℕ))
  (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + 0), δ i ≫ σ₀Iter 0 sorry = σ₀Iter 0 sorry ≫ δ i'
Tactic: induction j generalizing n m with
  | zero =>
    obtain rfl : n = m := by lia
    obtain rfl : i = i' := by lia
    simp
  | succ j hj =>
    rw [σ₀Iter_succ _, σ₀Iter_succ_assoc _,
      reassoc_of% hj _ i'.succ (by lia) (by lia) (by grind),
      dsimp% δ_comp_σ_of_gt (i := i') (j := 0)
        (by rw [Fin.lt_def]; dsimp; lia)]
Cleared hypotheses: n, i, j, m, i', h, hi', hi''
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
i : Fin (n + 2)
j m : ℕ
i' : Fin (m + 2)
h : m + j = n
hi' : j < (↑i : ℕ)
hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j
zero :
  ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + 0 = n) (hi' : 0 < (↑i : ℕ))
    (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + 0), δ i ≫ σ₀Iter 0 ⋯ = σ₀Iter 0 ⋯ ≫ δ i'
⊢ δ i ≫ σ₀Iter j ⋯ = σ₀Iter j ⋯ ≫ δ i'
have succ : ∀ (j : ℕ)
  (hj :
    ∀ {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + j = n) (hi' : j < (↑i : ℕ))
      (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + j), δ i ≫ σ₀Iter j sorry = σ₀Iter j sorry ≫ δ i')
  {n : ℕ} (i : Fin (n + 2)) {m : ℕ} (i' : Fin (m + 2)) (h : m + (j + 1) = n) (hi' : j + 1 < (↑i : ℕ))
  (hi'' : (↑i : ℕ) = (↑i' : ℕ) + (j + 1)), δ i ≫ σ₀Iter (j + 1) sorry = σ₀Iter (j + 1) sorry ≫ δ i'
Tactic: induction j generalizing n m with
  | zero =>
    obtain rfl : n = m := by lia
    obtain rfl : i = i' := by lia
    simp
  | succ j hj =>
    rw [σ₀Iter_succ _, σ₀Iter_succ_assoc _,
      reassoc_of% hj _ i'.succ (by lia) (by lia) (by grind),
      dsimp% δ_comp_σ_of_gt (i := i') (j := 0)
        (by rw [Fin.lt_def]; dsimp; lia)]
Cleared hypotheses: n, i, j, m, i', h, hi', hi''
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
⊢ σ j ≫ σ₀Iter i hi = σ₀Iter (i + 1) ⋯
have refine : ∀ (k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)),
  Eq (α := Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ j ≫ σ₀Iter i hi) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) sorry) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
Tactic: refine ConcreteCategory.hom_ext _ _ (fun k ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
⊢ Eq (α := Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ j ≫ σ₀Iter i hi) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k :
      Fin (⦋n⦌.len + 1))
have h : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ j ≫ σ₀Iter i hi) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ) =
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) sorry) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ j ≫ σ₀Iter i hi) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
have h : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
          (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
        (j.predAbove k)) :
    ℕ) =
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) sorry) :
          (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
        k) :
    ℕ)
Tactic: rw [dsimp% ConcreteCategory.comp_apply (σ j) (σ₀Iter i), coe_σ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
have pos : ∀ (hk : i < (↑k : ℕ)),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) sorry) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
Tactic: by_cases! hk : i < k.val
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
pos :
  ∀ (hk : i < (↑k : ℕ)),
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
              (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
            (j.predAbove k)) :
        ℕ) =
      (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
                fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
              (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
            k) :
        ℕ)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
have neg : ∀ (hk : (↑k : ℕ) ≤ i),
  (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) sorry) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
Tactic: by_cases! hk : i < k.val
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
hk : i < (↑k : ℕ)
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
have pos : (↑(k.pred sorry) : ℕ) - i = (↑k : ℕ) - (i + 1)
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_ge (i + 1) ..,
      Fin.predAbove_of_castSucc_lt _ _ (by grind),
      σ₀Iter_coe_eq_of_ge ..]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) ≤ i
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter (i + 1) ⋯) :
            (a : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)) → Fin (⦋n⦌.len + 1))
          k) :
      ℕ)
have neg : (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
            fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i sorry) :
          (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
        (j.predAbove k)) :
    ℕ) =
  0
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_lt (i + 1) ..]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) ≤ i
⊢ (↑((ConcreteCategory.hom (FC := fun (i j : SimplexCategory) ↦ Fin (i.len + 1) →o Fin (j.len + 1)) (CC :=
              fun (X : SimplexCategory) ↦ Fin (X.len + 1)) (σ₀Iter i ⋯) :
            (a : Fin (m + 1)) → Fin (n + 1))
          (j.predAbove k)) :
      ℕ) =
    0
have rw : (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
Tactic: rw [σ₀Iter_coe_eq_of_le _ _ _ ?_]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) ≤ i
⊢ (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
have pos : ∀ (hk' : k ≤ j.castSucc), (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
Tactic: by_cases! hk' : k ≤ j.castSucc
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) ≤ i
pos : ∀ (hk' : k ≤ j.castSucc), (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
⊢ (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
have neg : ∀ (hk' : j.castSucc < k), (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
Tactic: by_cases! hk' : k ≤ j.castSucc
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
i n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
hi : n + i = m
hj : (↑j : ℕ) ≤ i
k : Fin (⦋m + 1⦌.len + 1)
hk : (↑k : ℕ) ≤ i
hk' : k ≤ j.castSucc
⊢ (↑(j.predAbove k) : ℕ) ≤ i
have pos : (↑(k.castPred sorry) : ℕ) ≤ i
Tactic: rwa [Fin.predAbove_of_le_castSucc _ _ (by lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n m : ℕ
j : Fin (m + 1)
j' : Fin (n + 1)
hi : n + 0 = m
hj : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + 0
⊢ σ j ≫ σ₀Iter 0 hi = σ₀Iter 0 ⋯ ≫ σ j'
have zero : ∀ (j : Fin (n + 1)) (hi : n + 0 = n) (hj : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + 0), σ j ≫ σ₀Iter 0 hi = σ₀Iter 0 sorry ≫ σ j'
Tactic: obtain rfl : n = m := by lia
Cleared hypotheses: m, j, hi, hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicTopology.SimplexCategory.DeltaZeroIter (goal)
Goal:
n : ℕ
j' j : Fin (n + 1)
hi : n + 0 = n
hj : (↑j : ℕ) = (↑j' : ℕ) + 0
⊢ σ j ≫ σ₀Iter 0 hi = σ₀Iter 0 ⋯ ≫ σ j'
have zero : ∀ (hj : (↑j : ℕ) = (↑j : ℕ) + 0), σ j ≫ σ₀Iter 0 hi = σ₀Iter 0 sorry ≫ σ j
Tactic: obtain rfl : j = j' := by lia
Cleared hypotheses: j', hj