awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
x_1 : (↑I : Type)
⊢ Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
    (ContinuousMap.toFun
      {
        toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
            Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
              (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
            ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
        continuous_toFun := ⋯ }
      (0, x_1))
    (((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
have refine_3 : ∀ (y : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((ContinuousMap.toFun
            {
              toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                  Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                    (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                  ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) sorry,
              continuous_toFun := sorry }
            (0, x_1) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    (((((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
x_1 : (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((ContinuousMap.toFun
            {
              toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                  Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                    (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                  ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
              continuous_toFun := ⋯ }
            (0, x_1) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    (((((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
have refine_3 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type), X)) (0, x_1) :
          ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) X) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y :
    X)
  ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
          (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y :
    X)
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
x_1 : (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type), X)) (0, x_1) :
            ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) X) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
have refine_3 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((H : (a : (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) → X)
      (((0, x_1).1,
          (Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
            ((0, x_1).2, y)) :
        (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) :
    X)
  ((p : (a : N → (↑I : Type)) → X)
      ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) (x_1, y) :
        N → (↑I : Type)) :
    X)
Tactic: rw [homotopyTo_apply, toLoop_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
x_1 : (↑I : Type)
⊢ Eq (α := (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
    (ContinuousMap.toFun
      {
        toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
            Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
              (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
            ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
        continuous_toFun := ⋯ }
      (1, x_1))
    (((toLoop i q).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1)
have refine_4 : ∀ (y : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((ContinuousMap.toFun
            {
              toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                  Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                    (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                  ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) sorry,
              continuous_toFun := sorry }
            (1, x_1) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    (((((toLoop i q).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
x_1 : (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((ContinuousMap.toFun
            {
              toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                  Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                    (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                  ((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) t) ⋯,
              continuous_toFun := ⋯ }
            (1, x_1) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    (((((toLoop i q).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
have refine_4 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type), X)) (1, x_1) :
          ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) X) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y :
    X)
  ((((toLoop i q : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
          (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y :
    X)
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
x_1 : (↑I : Type)
y : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type), X)) (1, x_1) :
            ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) X) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    ((((toLoop i q : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) x_1 :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
have refine_4 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((H : (a : (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) → X)
      (((1, x_1).1,
          (Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
            ((1, x_1).2, y)) :
        (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) :
    X)
  ((q : (a : N → (↑I : Type)) → X)
      ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) (x_1, y) :
        N → (↑I : Type)) :
    X)
Tactic: rw [homotopyTo_apply, toLoop_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t y : (↑I : Type)
yH : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} y
y_1 : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (((({
                  toFun := fun (x_1 : (↑I : Type)) ↦
                    ContinuousMap.toFun
                      (ContinuousMap.Homotopy.toContinuousMap (f₀ := (toLoop i p).toContinuousMap) (f₁ :=
                        (toLoop i q).toContinuousMap)
                        {
                          toFun := fun (t : (↑I : Type) × (↑I : Type)) ↦
                            Subtype.mk (p := fun (x_2 : ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X) ↦
                              Membership.mem (γ := Set (ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) X))
                                (Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) x_2)
                              ((homotopyTo i H :
                                  (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X))
                                t)
                              ⋯,
                          continuous_toFun := ⋯, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ })
                      (t, x_1),
                  continuous_toFun := ⋯ } :
                (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
              y :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
    (((((toLoop i p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
            (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
have refine_5 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type), X)) (t, y) :
          ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) X) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y_1 :
    X)
  ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
          (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y_1 :
    X)
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t y : (↑I : Type)
yH : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} y
y_1 : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((homotopyTo i H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → C({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type), X)) (t, y) :
            ContinuousMap.{u_1, u_2} ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) X) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
    ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
have refine_5 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((H : (a : (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) → X)
      (((t, y).1,
          (Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
            ((t, y).2, y_1)) :
        (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) :
    X)
  ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
          (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      y_1 :
    X)
Tactic: rw [homotopyTo_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t y : (↑I : Type)
yH : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} y
y_1 : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((H : (a : (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) → X)
        (((t, y).1,
            (Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
              ((t, y).2, y_1)) :
          (↑I : Type) × (N → (↑I : Type))) :
      X)
    ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) y :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        y_1 :
      X)
have refine_5 : Membership.mem (α := N → (↑I : Type)) (Cube.boundary N)
  ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) ((t, y).2, y_1) :
    N → (↑I : Type))
Tactic: apply H.eq_fst
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t y : (↑I : Type)
yH : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} y
y_1 : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Membership.mem (α := N → (↑I : Type)) (Cube.boundary N)
    ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) ((t, y).2, y_1) :
      N → (↑I : Type))
have h : Eq (α := (↑I : Type))
    ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) ((t, y).2, y_1) i) 0 ∨
  Eq (α := (↑I : Type))
    ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) ((t, y).2, y_1) i) 1
Tactic: use i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).HomotopyRel (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) (Cube.boundary N)
t y : (↑I : Type)
yH : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} y
y_1 : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)
⊢ Eq (α := (↑I : Type))
      ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) ((t, y).2, y_1) i)
      0 ∨
    Eq (α := (↑I : Type))
      ((Cube.insertAt i : (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type)) ((t, y).2, y_1) i) 1
have h : ((t, y).2, y_1).1 = 0 ∨ ((t, y).2, y_1).1 = 1
Tactic: rw [funSplitAt_symm_apply, dif_pos rfl]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
⊢ Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q) → Homotopic p q
have refine_1 : ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)) (x_1 : N → (↑I : Type)),
  (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨homotopyFrom i H, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
refine_1 :
  ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)) (x_1 : N → (↑I : Type)),
    (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
⊢ Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q) → Homotopic p q
have refine_2 : ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)) (x_1 : N → (↑I : Type)),
  (homotopyFrom i H).toFun (1, x_1) = ((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨homotopyFrom i H, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
refine_1 :
  ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)) (x_1 : N → (↑I : Type)),
    (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
refine_2 :
  ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)) (x_1 : N → (↑I : Type)),
    (homotopyFrom i H).toFun (1, x_1) = ((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
⊢ Path.Homotopic (toLoop i p) (toLoop i q) → Homotopic p q
have refine_3 : ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)) (t : (↑I : Type)),
  ∀ x_1 ∈ Cube.boundary N,
    Eq.{u_2 + 1} (α := X)
      (({
              toFun := fun (x_2 : N → (↑I : Type)) ↦
                (ContinuousMap.Homotopy.toContinuousMap (f₀ := (↑p : C(N → (↑I : Type), X))) (f₁ :=
                      (↑q : C(N → (↑I : Type), X)))
                      { toContinuousMap := homotopyFrom i H, map_zero_left := sorry, map_one_left := sorry :
                        (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).Homotopy (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) }).toFun
                  (t, x_2),
              continuous_toFun := sorry : ContinuousMap.{u_1, u_2} (N → (↑I : Type)) X } :
            (a : N → (↑I : Type)) → X)
          x_1 :
        X)
      (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
Tactic: refine Nonempty.map fun H ↦ ⟨⟨homotopyFrom i H, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (({
            toFun := fun (x_1 : N → (↑I : Type)) ↦
              (ContinuousMap.Homotopy.toContinuousMap (f₀ := (↑p : C(N → (↑I : Type), X))) (f₁ :=
                    (↑q : C(N → (↑I : Type), X)))
                    { toContinuousMap := homotopyFrom i H, map_zero_left := ⋯, map_one_left := ⋯ :
                      (↑p : C(N → (↑I : Type), X)).Homotopy (↑q : C(N → (↑I : Type), X)) }).toFun
                (t, x_1),
            continuous_toFun := ⋯ : ContinuousMap.{u_1, u_2} (N → (↑I : Type)) X } :
          (a : N → (↑I : Type)) → X)
        y :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  (Function.uncurry
      (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
        Function.uncurry
          (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
            (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1, x_2) :
                  (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
              y)
          y)
      (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
        (t, y)) :
    X)
  (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
Tactic: erw [homotopyFrom_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_1, x_2) :
                    (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
          (t, y)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3 : ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop j p) (toLoop j q)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_1, x_2) :
                    (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt j) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)))
          (t, y)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
Tactic: obtain rfl | h := eq_or_ne j i
Cleared hypotheses: i, H