-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
refine_1 :
  ∀ (a : (_ : n) × Perm n)
    (ha :
      Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
        (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a}) a),
    Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
      (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a})
      ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
            (x :
              Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                p) ↦
          f p)
        a ha)
refine_2 :
  ∀ (a : (_ : n) × Perm n)
    (ha :
      Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
        (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a}) a),
    Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
      (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
      ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
            (x :
              Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                  {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a})
                p) ↦
          f p)
        a ha)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := R)
    (∑ x ∈ Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a},
      A i (x.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((x.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k))
    (∑ x ∈ Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a},
      A i (x.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((x.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k))
have refine_3 : ∀ (a : (_ : n) × Perm n)
  (ha :
    Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
      (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a}) a),
  A i (a.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((a.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k) =
    A i
        (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
          ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                (x :
                  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                      {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                    p) ↦
              f p)
            a ha)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
                  ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                        (x :
                          Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                            (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                              {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                            p) ↦
                      f p)
                    a ha) :
                Perm n) :
              (a : n) → n)
            k)
Tactic: refine sum_bij' (fun p _ ↦ f p) (fun p _ ↦ f p) ?_ ?_ hf hf ?_