awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) (x, y).1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) (x, y).2 2 = 1
hy : (x, y).2 ≠ -1
⊢ Eq (α := { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 })
    ((fun (x : K) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1)
            (2 * x / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2), (1 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2)) ⋯ :
          { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }))
      ((fun (p : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }) ↦
          (↑p : K × K).1 / ((↑p : K × K).2 + 1))
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y)
          ⋯)))
    (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y) ⋯)
have change : ∀ (hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1),
  Eq (α := { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 })
    ((fun (x : K) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1)
            (2 * x / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2), (1 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2)) sorry :
          { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }))
      ((fun (p : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }) ↦
          (↑p : K × K).1 / ((↑p : K × K).2 + 1))
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y)
          sorry)))
    (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y) sorry)
Tactic: change x ^ 2 + y ^ 2 = 1 at hxy
Cleared hypotheses: hxy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
⊢ Eq (α := { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 })
    ((fun (x : K) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1)
            (2 * x / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2), (1 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2)) ⋯ :
          { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }))
      ((fun (p : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }) ↦
          (↑p : K × K).1 / ((↑p : K × K).2 + 1))
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y)
          ⋯)))
    (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y) ⋯)
have h2 : y + 1 ≠ 0
Tactic: have h2 : y + 1 ≠ 0 := mt eq_neg_of_add_eq_zero_left hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
have rw : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + (1 + -HPow.hPow (β := ℕ) y 2) = 2 * (y + 1)
Tactic: rw [(add_neg_eq_iff_eq_add.mpr hxy.symm).symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
⊢ Eq (α := { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 })
    ((fun (x : K) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1)
            (2 * x / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2), (1 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2)) ⋯ :
          { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }))
      ((fun (p : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }) ↦
          (↑p : K × K).1 / ((↑p : K × K).2 + 1))
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y)
          ⋯)))
    (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y) ⋯)
have h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
Tactic: have h3 : (y + 1) ^ 2 + x ^ 2 = 2 * (y + 1) := by
      rw [(add_neg_eq_iff_eq_add.mpr hxy.symm).symm]
      ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
⊢ Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
have h : 2 = 1 + HPow.hPow (α := K) (β := ℕ) 1 2
Tactic: convert! hk 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
⊢ 2 = 1 + HPow.hPow (α := K) (β := ℕ) 1 2
have h : 2 = HAdd.hAdd (α := K) 1 1
Tactic: rw [one_pow 2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
⊢ Eq (α := { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 })
    ((fun (x : K) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1)
            (2 * x / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2), (1 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2)) ⋯ :
          { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }))
      ((fun (p : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }) ↦
          (↑p : K × K).1 / ((↑p : K × K).2 + 1))
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y)
          ⋯)))
    (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y) ⋯)
have h4 : Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
Tactic: have h4 : (2 : K) ≠ 0 := by
      convert! hk 1
      rw [one_pow 2]
      ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
h4 : Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
⊢ Eq (α := { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 })
    ((fun (x : K) ↦
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1)
            (2 * x / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2), (1 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2)) ⋯ :
          { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }))
      ((fun (p : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }) ↦
          (↑p : K × K).1 / ((↑p : K × K).2 + 1))
        (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y)
          ⋯)))
    (Subtype.mk (p := fun (p : K × K) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1) (x, y) ⋯)
have simp : 2 * (x / (y + 1)) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = x ∧
  (1 - HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = y
Tactic: simp only [Prod.mk_inj, Subtype.mk_eq_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
h4 : Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
⊢ 2 * (x / (y + 1)) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = x ∧
    (1 - HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = y
have left : 2 * (x / (y + 1)) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = x
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
h4 : Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
left : 2 * (x / (y + 1)) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = x
⊢ 2 * (x / (y + 1)) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = x ∧
    (1 - HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = y
have right : (1 - HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = y
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
h4 : Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
⊢ (1 - HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) / (1 + HPow.hPow (β := ℕ) (x / (y + 1)) 2) = y
have right : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = y * (y + 1) * 2
Tactic: simp [field, h3]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
hk : ∀ (x : K), 1 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 ≠ 0
x_1 : { p : K × K // HPow.hPow (β := ℕ) p.1 2 + HPow.hPow (β := ℕ) p.2 2 = 1 ∧ p.2 ≠ -1 }
x y : K
hy : (x, y).2 ≠ -1
hxy : HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + HPow.hPow (β := ℕ) y 2 = 1
h2 : y + 1 ≠ 0
h3 : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 + HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = 2 * (y + 1)
h4 : Ne.{u_1 + 1} (α := K) 2 0
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 - HPow.hPow (β := ℕ) x 2 = y * (y + 1) * 2
have right : HPow.hPow (β := ℕ) (y + 1) 2 - (1 + -HPow.hPow (β := ℕ) y 2) = y * (y + 1) * 2
Tactic: rw [← add_neg_eq_iff_eq_add.mpr hxy.symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
have by_contra : ∀ (H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1),
  False
Tactic: by_contra H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
⊢ False
have obtain : ∀ (p : ℕ) (hp : Nat.Prime p) (hp1 : p ∣ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).natAbs)
  (hp2 : p ∣ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2).natAbs), False
Tactic: obtain ⟨p, hp, hp1, hp2⟩ := Nat.Prime.not_coprime_iff_dvd.mp H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).natAbs
hp2 : p ∣ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2).natAbs
⊢ False
have hp1₁ : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
Tactic: rw [← Int.natCast_dvd] at hp1 hp2
Cleared hypotheses: hp1, hp2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).natAbs
hp2 : p ∣ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2).natAbs
hp1₁ : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
⊢ False
have hp2₁ : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
Tactic: rw [← Int.natCast_dvd] at hp1 hp2
Cleared hypotheses: hp1, hp2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
⊢ (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
have h₁ : 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2 =
  HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2 + (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2)
Tactic: convert! dvd_add hp2 hp1 using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
⊢ False
have h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
Tactic: have h2m : (p : ℤ) ∣ 2 * m ^ 2 := by
    convert! dvd_add hp2 hp1 using 1
    ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
⊢ (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
have h₁ : 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2 =
  HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2 - (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2)
Tactic: convert! dvd_sub hp2 hp1 using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
⊢ False
have h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
Tactic: have h2n : (p : ℤ) ∣ 2 * n ^ 2 := by
    convert! dvd_sub hp2 hp1 using 1
    ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
⊢ False
have hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
Tactic: have hmc : p = 2 ∨ p ∣ Int.natAbs m := prime_two_or_dvd_of_dvd_two_mul_pow_self_two hp h2m
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
⊢ False
have hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
Tactic: have hnc : p = 2 ∨ p ∣ Int.natAbs n := prime_two_or_dvd_of_dvd_two_mul_pow_self_two hp h2n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
⊢ False
have pos : ∀ (h2 : p = 2), False
Tactic: by_cases h2 : p = 2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
pos : ∀ (h2 : p = 2), False
⊢ False
have neg : ∀ (h2 : ¬p = 2), False
Tactic: by_cases h2 : p = 2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1
have simp : (HMod.hMod (α := ℤ) 0 2 % 2 * (HMod.hMod (α := ℤ) 0 2 % 2) % 2 % 2 +
      HMod.hMod (α := ℤ) 1 2 % 2 * (HMod.hMod (α := ℤ) 1 2 % 2) % 2 % 2) %
    2 =
  1
Tactic: simp only [sq, Int.add_emod, Int.mul_emod, hm, hn, dvd_refl, Int.emod_emod_of_dvd]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
⊢ False
have h3 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1
Tactic: have h3 : (m ^ 2 + n ^ 2) % 2 = 1 := by
      simp only [sq, Int.add_emod, Int.mul_emod, hm, hn, dvd_refl, Int.emod_emod_of_dvd]
      decide
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
h3 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 0
have a : 2 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
Tactic: apply Int.emod_eq_zero_of_dvd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (goal)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
h3 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1
⊢ 2 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
have a : ∀ (hp2 : (↑2 : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) (h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2)
  (h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2) (hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs) (hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs) (h2 : p = 2)
  (h3 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1), 2 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
Tactic: rwa [h2] at hp2
Cleared hypotheses: hp2, h2m, h2n, hmc, hnc, h2, h3
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
h3 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1
⊢ False
have h4 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 0
Tactic: have h4 : (m ^ 2 + n ^ 2) % 2 = 0 := by
      apply Int.emod_eq_zero_of_dvd
      rwa [h2] at hp2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.PythagoreanTriples (hypothesis)
Goal:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2).gcd (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 - HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hp2 : (↑p : ℤ) ∣ HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2
h2m : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) m 2
h2n : (↑p : ℤ) ∣ 2 * HPow.hPow (β := ℕ) n 2
hmc : p = 2 ∨ p ∣ m.natAbs
hnc : p = 2 ∨ p ∣ n.natAbs
h2 : p = 2
h3 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 1
h4 : (HPow.hPow (β := ℕ) m 2 + HPow.hPow (β := ℕ) n 2) % 2 = 0
⊢ False
have h3₁ : Eq (α := ℤ) 0 1
Tactic: rw [h4] at h3
Cleared hypotheses: h3, h4