awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
this_1 : ∀ (n : Fin N), (|a| + y n + ε') * μ.real (E n) = (|a| + 2 * ε') * μ.real (E n) + (y n - ε') * μ.real (E n)
this : ∑ i : Fin N, μ.real (E i) = μ.real K
⊢ (|a| + 2 * ε') * μ.real K + ∑ x : Fin N, (y x - ε') * μ.real (E x) +
        (∑ i : Fin N, (|a| + y i + ε')) * (ε' / (↑N : ℝ)) -
      |a| * μ.real K =
    ∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n) + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε')
have linarith : (|a| + 2 * ε') * μ.real K + ∑ x : Fin N, (y x - ε') * μ.real (E x) + (∑ i : Fin N, (|a| + y i + ε')) * (ε' / (↑N : ℝ)) -
      |a| * μ.real K <
    ∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n) + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') →
  HMul.hMul (α := ℝ) 1 1 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ ∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n) + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε') ≤
    ∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ + 2 * ε' * μ.real K + ε' / (↑N : ℝ) * ∑ n : Fin N, (|a| + y n + ε')
have calc_6 : LE.le (α := ℝ) (∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n)) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
⊢ (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ
have hf : ∀ x ∈ E n, y n - ε' ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
Tactic: apply setIntegral_ge_of_const_le_real (hE.2.2.2 n) (hE' n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
hf : ∀ x ∈ E n, y n - ε' ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
⊢ (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ
have hfint : IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x) (E n) μ
Tactic: apply setIntegral_ge_of_const_le_real (hE.2.2.2 n) (hE' n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
x : X
hx : x ∈ E n
⊢ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1 - ε' ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
have linarith : (f : (a : X) → ℝ) x < a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1 - ε' →
  HSub.hSub (α := ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) (a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1 - ε') +
      HSub.hSub (β := ℝ) (a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) =
    0
Tactic: linarith [(hE.2.2.1 n x hx).1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
⊢ IntegrableOn (ε := ℝ) (fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x) (E n) μ
have hfint : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x) μ
Tactic: apply Integrable.integrableOn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
n : Fin N
⊢ Integrable (ε := ℝ) (fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x) μ
have hfint : @Integrable ℝ _ _ _ inst_2 (fun (x : X) ↦ (f : (a : X) → ℝ) x) (rieszContent (toNNRealLinear Λ)).measure
Tactic: dsimp [μ, rieszMeasure]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
⊢ LE.le (α := ℝ) (∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n)) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
have h : ∀ (n : Fin N), (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ
Tactic: have h : ∀ n, (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ x in (E n), f x ∂μ := by
      intro n
      apply setIntegral_ge_of_const_le_real (hE.2.2.2 n) (hE' n)
      · intro x hx
        dsimp [y]; linarith [(hE.2.2.1 n x hx).1]
      · apply Integrable.integrableOn
        dsimp [μ, rieszMeasure]
        exact Continuous.integrable_of_hasCompactSupport f.1.2 f.2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
h : ∀ (n : Fin N), (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ
⊢ Eq (α := ℝ) (∑ n : Fin N, ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
    (∫ (x : X) in ⋃ (n : Fin N), E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
have refine : ∀ (i : Fin N), IntegrableOn (ε := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (E i) μ
Tactic: refine Eq.symm <| integral_iUnion_fintype hE.2.2.2 (fun _ _ ↦ hE.2.1 trivial trivial) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
h : ∀ (n : Fin N), (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ
⊢ ∀ (i : Fin N), IntegrableOn (ε := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ) (E i) μ
have dsimp : ∀ (i : Fin N), IntegrableOn (ε := ℝ) (mα := inst_2) (⇑f : (a : X) → ℝ) (E i) (rieszContent (toNNRealLinear Λ)).measure
Tactic: dsimp [μ, rieszMeasure]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.RieszMarkovKakutani.Real (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : T2Space X
inst_2 : MeasurableSpace X
inst_3 : BorelSpace X
Λ : (X →C_c ℝ) →ₚ[ℝ] ℝ
inst_4 : LocallyCompactSpace X
f : X →C_c ℝ
μ : Measure X := rieszMeasure Λ
K : Set X := tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
a b : ℝ
hab : a < b ∧ range (ι := X) (⇑f : (a : X) → ℝ) ⊆ Ioo a b
N : ℕ
hN : 0 < N
ε' : ℝ := (b - a) / (↑N : ℝ)
hε' : 0 < ε' ∧ ε' * (2 * μ.real K + |a| + b + ε') ≤ ε
E : Fin N → Set X
hE :
  Eq (α := Set X) (tsupport (α := ℝ) (⇑f : (a : X) → ℝ)) (⋃ (j : Fin N), E j) ∧
    PairwiseDisjoint univ E ∧
      (∀ (n : Fin N),
          ∀ x ∈ E n,
            a + ε' * (↑(↑n : ℕ) : ℝ) < (f : (a : X) → ℝ) x ∧
              (f : (a : X) → ℝ) x ≤ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1) ∧
        ∀ (n : Fin N), MeasurableSet (E n)
y : Fin N → ℝ := fun (n : Fin N) ↦ a + ε' * HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑n : ℕ) : ℝ) 1
hE' : ∀ (n : Fin N), Ne (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (∞ : ℝ≥0∞)
V : Fin N → Opens X
hV :
  ∀ (n : Fin N),
    E n ⊆ (↑(V n) : Set X) ∧
      (∀ x ∈ V n, (f : (a : X) → ℝ) x < y n + ε') ∧
        (μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (↑(V n) : Set X) ≤
          HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set X) → ℝ≥0∞) (E n) : ℝ≥0∞) (ENNReal.ofReal (ε' / (↑N : ℝ)))
g : Fin N → X →C_c ℝ
hg :
  (∀ (n : Fin N), tsupport (α := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ) ⊆ (V n).carrier) ∧
    EqOn (β := ℝ) (∑ n : Fin N, (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)) 1 (tsupport f.toFun) ∧
      (∀ (n : Fin N) (x : X), Membership.mem (α := ℝ) (γ := Set ℝ) (Icc 0 1) ((g n : (a : X) → ℝ) x : ℝ)) ∧
        ∀ (n : Fin N), HasCompactSupport (α := X) (β := ℝ) (⇑(g n) : (a : X) → ℝ)
h : ∀ (n : Fin N), (y n - ε') * μ.real (E n) ≤ ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ
⊢ LE.le (α := ℝ) (∑ n : Fin N, (y n - ε') * μ.real (E n)) (∫ (x : X), (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
have _ : Eq (α := ℝ) (∑ n : Fin N, ∫ (x : X) in E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
  (∫ (x : X) in ⋃ (n : Fin N), E n, (f : (a : X) → ℝ) x ∂μ)
Tactic: calc
      _ ≤ ∑ n, ∫ (x : X) in E n, f x ∂μ := Finset.sum_le_sum fun i a ↦ h i
      _ = ∫ x in (⋃ n, E n), f x ∂μ := by
        refine Eq.symm <| integral_iUnion_fintype hE.2.2.2 (fun _ _ ↦ hE.2.1 trivial trivial) ?_
        dsimp [μ, rieszMeasure]
        exact fun _ ↦
          Integrable.integrableOn <| Continuous.integrable_of_hasCompactSupport f.1.2 f.2
      _ = ∫ x in tsupport f, f x ∂μ := by simp_rw [hE.1]
      _ = _ := setIntegral_tsupport