-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Killing (goal)
Goal:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : LieRing L
inst_1 : Field K
inst_2 : LieAlgebra K L
inst_3 : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst_4 : H.IsCartanSubalgebra
inst_5 : IsKilling K L
inst_6 : IsTriangularizable K (↥H) L
inst_7 : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h e f : L
t : IsSl2Triple h e f
hte : e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K)
htf : f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))
x : L
⊢ (∃ (c₁ : K) (c₂ : K) (c₃ : K),
      x =
        c₁ •
              Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                ∃ (f : L),
                  IsSl2Triple
                      (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                        ∃ (e : L) (f : L),
                          IsSl2Triple h e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        ⋯)
                      e f ∧
                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                ⋯ +
            c₂ •
              Classical.choose (p := fun (f : L) ↦
                IsSl2Triple
                    (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                      ∃ (e : L) (f : L),
                        IsSl2Triple h e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      ⋯)
                    (Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                      ∃ (f : L),
                        IsSl2Triple
                            (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                              ∃ (e : L) (f : L),
                                IsSl2Triple h e f ∧
                                  e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                              ⋯)
                            e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      ⋯)
                    f ∧
                  Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                        ∃ (f : L),
                          IsSl2Triple
                              (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                                ∃ (e : L) (f : L),
                                  IsSl2Triple h e f ∧
                                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                                ⋯)
                              e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        ⋯ ∈
                      rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧
                    f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                ⋯ +
          c₃ •
            ⁅Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                ∃ (f : L),
                  IsSl2Triple
                      (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                        ∃ (e : L) (f : L),
                          IsSl2Triple h e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        ⋯)
                      e f ∧
                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                ⋯,
              Classical.choose (p := fun (f : L) ↦
                IsSl2Triple
                    (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                      ∃ (e : L) (f : L),
                        IsSl2Triple h e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      ⋯)
                    (Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                      ∃ (f : L),
                        IsSl2Triple
                            (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                              ∃ (e : L) (f : L),
                                IsSl2Triple h e f ∧
                                  e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                              ⋯)
                            e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      ⋯)
                    f ∧
                  Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                        ∃ (f : L),
                          IsSl2Triple
                              (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                                ∃ (e : L) (f : L),
                                  IsSl2Triple h e f ∧
                                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                                ⋯)
                              e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        ⋯ ∈
                      rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧
                    f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                ⋯⁆) ↔
    ∃ (c₁ : K) (c₂ : K) (c₃ : K), x = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆
have generalize_proofs : ∀ (pf : LieRing.IsNilpotent.{u_3} ↥H) (pf_1 : LieModule K (↥H) L)
  (pf_2 :
    ∃ (h : L) (e : L) (f : L),
      IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
  (he :
    ∃ (e : L) (f : L),
      IsSl2Triple
          (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
            ∃ (e : L) (f : L),
              IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
            pf_2)
          e f ∧
        e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
  (hf :
    ∃ (f : L),
      IsSl2Triple
          (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
            ∃ (e : L) (f : L),
              IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
            pf_2)
          (Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
            ∃ (f : L),
              IsSl2Triple
                  (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                    ∃ (e : L) (f : L),
                      IsSl2Triple h e f ∧ e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                    pf_2)
                  e f ∧
                e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
            he)
          f ∧
        Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
              ∃ (f : L),
                IsSl2Triple
                    (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                      ∃ (e : L) (f : L),
                        IsSl2Triple h e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      pf_2)
                    e f ∧
                  e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
              he ∈
            rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧
          f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K))),
  (∃ (c₁ : K) (c₂ : K) (c₃ : K),
      x =
        c₁ •
              Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                ∃ (f : L),
                  IsSl2Triple
                      (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                        ∃ (e : L) (f : L),
                          IsSl2Triple h e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        pf_2)
                      e f ∧
                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                he +
            c₂ •
              Classical.choose (p := fun (f : L) ↦
                IsSl2Triple
                    (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                      ∃ (e : L) (f : L),
                        IsSl2Triple h e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      pf_2)
                    (Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                      ∃ (f : L),
                        IsSl2Triple
                            (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                              ∃ (e : L) (f : L),
                                IsSl2Triple h e f ∧
                                  e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                              pf_2)
                            e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      he)
                    f ∧
                  Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                        ∃ (f : L),
                          IsSl2Triple
                              (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                                ∃ (e : L) (f : L),
                                  IsSl2Triple h e f ∧
                                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                                pf_2)
                              e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        he ∈
                      rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧
                    f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                hf +
          c₃ •
            ⁅Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                ∃ (f : L),
                  IsSl2Triple
                      (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                        ∃ (e : L) (f : L),
                          IsSl2Triple h e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        pf_2)
                      e f ∧
                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                he,
              Classical.choose (p := fun (f : L) ↦
                IsSl2Triple
                    (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                      ∃ (e : L) (f : L),
                        IsSl2Triple h e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      pf_2)
                    (Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                      ∃ (f : L),
                        IsSl2Triple
                            (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                              ∃ (e : L) (f : L),
                                IsSl2Triple h e f ∧
                                  e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                              pf_2)
                            e f ∧
                          e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                      he)
                    f ∧
                  Classical.choose (p := fun (e : L) ↦
                        ∃ (f : L),
                          IsSl2Triple
                              (Classical.choose (p := fun (h : L) ↦
                                ∃ (e : L) (f : L),
                                  IsSl2Triple h e f ∧
                                    e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                                pf_2)
                              e f ∧
                            e ∈ rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧ f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                        he ∈
                      rootSpace H (⇑α : (a : ↥H) → K) ∧
                    f ∈ rootSpace H (-(⇑α : (a : ↥H) → K)))
                hf⁆) ↔
    ∃ (c₁ : K) (c₂ : K) (c₃ : K), x = c₁ • e + c₂ • f + c₃ • ⁅e, f⁆
Tactic: generalize_proofs _ _ _ he hf