awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M 0) m₀
hm₁ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingComp R L M) m₁
hB :
  ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M),
    (((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            n :
          M) =
      HSMul.hSMul (β := R) (HPow.hPow (α := R) (-1) k)
        ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R)
                  ((HPow.hPow (α := End R M)
                        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
                      (a : M) → M)
                    m) :
                M →ₗ[R] R) :
              (a : M) → R)
            n :
          R)
this :
  ∀ (x : L) (m : M),
    Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingCompOf R M x) m →
      Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m : R) (0 : R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m₁ : R) (0 : R)
have refine : ∀ (y z : M),
  (fun (m : M) ↦ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m : R) (0 : R)) y →
    (fun (m : M) ↦ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m : R) (0 : R)) z →
      (fun (m : M) ↦ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m : R) (0 : R))
        (y + z)
Tactic: refine LieSubmodule.iSup_induction (motive := fun m ↦ (B m₀) m = 0) _ hm₁ this (map_zero _) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ m₁ : M
hm₀ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M 0) m₀
hm₁ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingComp R L M) m₁
hB :
  ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M),
    (((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            n :
          M) =
      HSMul.hSMul (β := R) (HPow.hPow (α := R) (-1) k)
        ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R)
                  ((HPow.hPow (α := End R M)
                        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
                      (a : M) → M)
                    m) :
                M →ₗ[R] R) :
              (a : M) → R)
            n :
          R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m₁ : R) (0 : R)
have suffices : ∀ (x : L) (m : M),
  Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingCompOf R M x) m →
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m : R) (0 : R)
Tactic: suffices ∀ (x : L) m, m ∈ posFittingCompOf R M x → B m₀ m = 0 by
    refine LieSubmodule.iSup_induction (motive := fun m ↦ (B m₀) m = 0) _ hm₁ this (map_zero _) ?_
    simp_all
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hm₀ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M 0) m₀
hB :
  ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M),
    (((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            n :
          M) =
      HSMul.hSMul (β := R) (HPow.hPow (α := R) (-1) k)
        ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R)
                  ((HPow.hPow (α := End R M)
                        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
                      (a : M) → M)
                    m) :
                M →ₗ[R] R) :
              (a : M) → R)
            n :
          R)
x : L
m₁ : M
hm₁ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingCompOf R M x) m₁
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m₁ : R) (0 : R)
have hm₂ : ∀ (x : L),
  ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := M)
      ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
            (a : M) → M)
          m₀ :
        M)
      (0 : M)
Tactic: simp only [mem_genWeightSpace, Pi.zero_apply, zero_smul, sub_zero] at hm₀
Cleared hypotheses: hm₀
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB :
  ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M),
    (((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            n :
          M) =
      HSMul.hSMul (β := R) (HPow.hPow (α := R) (-1) k)
        ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R)
                  ((HPow.hPow (α := End R M)
                        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
                      (a : M) → M)
                    m) :
                M →ₗ[R] R) :
              (a : M) → R)
            n :
          R)
x : L
m₁ : M
hm₁ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingCompOf R M x) m₁
hm₀ :
  ∀ (x : L),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := M)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            m₀ :
          M)
        (0 : M)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m₁ : R) (0 : R)
have obtain : ∀ (k : ℕ)
  (hk :
    Eq (α := M)
      ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
            (a : M) → M)
          m₀ :
        M)
      (0 : M)),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m₁ : R) (0 : R)
Tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := hm₀ x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
B : LinearMap.BilinForm R M
m₀ : M
hB :
  ∀ (x : L) (k : ℕ) (m n : M),
    (((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            n :
          M) =
      HSMul.hSMul (β := R) (HPow.hPow (α := R) (-1) k)
        ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R)
                  ((HPow.hPow (α := End R M)
                        (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
                      (a : M) → M)
                    m) :
                M →ₗ[R] R) :
              (a : M) → R)
            n :
          R)
x : L
m₁ : M
hm₁ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingCompOf R M x) m₁
hm₀ :
  ∀ (x : L),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := M)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            m₀ :
          M)
        (0 : M)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := M)
    ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
          (a : M) → M)
        m₀ :
      M)
    (0 : M)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R) m₁ : R) (0 : R)
have obtain : ∀ (m : M)
  (hm₁ :
    Membership.mem (α := M) (γ := LieSubmodule R L M) (posFittingCompOf R M x)
      ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
            (a : M) → M)
          m :
        M)),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((((B : (a : M) → M →ₗ[R] R) m₀ : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((HPow.hPow (α := End R M) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) k :
              (a : M) → M)
            m :
          M) :
      R)
    (0 : R)
Tactic: obtain ⟨m, rfl⟩ := (mem_posFittingCompOf R x m₁).mp hm₁ k
Cleared hypotheses: m₁, hm₁
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L L) (lowerCentralSeries R L L k) x
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
      R)
    (0 : R)
have hx₁ : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L L) (lowerCentralSeries R L L 1) x
Tactic: replace hx : x ∈ lowerCentralSeries R L L 1 := antitone_lowerCentralSeries _ _ _ hk hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L L) (lowerCentralSeries R L L 1) x
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x
have hx₁ : Membership.mem (γ := Submodule R L)
  (Submodule.span R
    {x : L |
      ∃ (x_1 : L),
        Membership.mem (γ := LieIdeal R L) ⊤ x_1 ∧
          ∃ (n : L), Membership.mem (γ := LieSubmodule R L L) (lowerCentralSeries R L L 0) n ∧ ⁅x_1, n⁆ = x})
  x
Tactic: rw [lowerCentralSeries_succ, ← LieSubmodule.mem_toSubmodule,
      LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span'] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := LieSubmodule R L L) (lowerCentralSeries R L L 1) x
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
      R)
    (0 : R)
have hx₁ : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x
Tactic: replace hx : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ u v : L, ⁅u, v⁆ = m} := by
    rw [lowerCentralSeries_succ, ← LieSubmodule.mem_toSubmodule,
      LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span'] at hx
    simpa using hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
      R)
    (0 : R)
have refine_1 : ∀ (x : L) (h : Membership.mem (γ := Set L) {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m} x),
  (fun (x : L)
        (x_1 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
      Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
            (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
          R)
        (0 : R))
    x sorry
Tactic: refine Submodule.span_induction (p := fun x _ ↦ trace R _ (toEnd R L M x) = 0)
    ?_ ?_ (fun u v _ _ hu hv ↦ ?_) (fun t u _ hu ↦ ?_) hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x
refine_1 :
  ∀ (x : L) (h : Membership.mem (γ := Set L) {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m} x),
    (fun (x : L)
          (x_1 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
            R)
          (0 : R))
      x ⋯
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
      R)
    (0 : R)
have refine_2 : (fun (x : L) (x_1 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
    Eq.{u_1 + 1} (α := R)
      ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
          (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
        R)
      (0 : R))
  0 sorry
Tactic: refine Submodule.span_induction (p := fun x _ ↦ trace R _ (toEnd R L M x) = 0)
    ?_ ?_ (fun u v _ _ hu hv ↦ ?_) (fun t u _ hu ↦ ?_) hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x
refine_1 :
  ∀ (x : L) (h : Membership.mem (γ := Set L) {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m} x),
    (fun (x : L)
          (x_1 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
            R)
          (0 : R))
      x ⋯
refine_2 :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) 0) : R) (0 : R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
      R)
    (0 : R)
have refine_3 : ∀ (u v : L) (x : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) u)
  (x_1 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) v)
  (hu :
    (fun (x : L)
          (x_2 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
            R)
          (0 : R))
      u x)
  (hv :
    (fun (x : L)
          (x_2 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
            R)
          (0 : R))
      v x_1),
  (fun (x : L)
        (x_2 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
      Eq.{u_1 + 1} (α := R)
        ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
            (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
          R)
        (0 : R))
    (u + v) sorry
Tactic: refine Submodule.span_induction (p := fun x _ ↦ trace R _ (toEnd R L M x) = 0)
    ?_ ?_ (fun u v _ _ hu hv ↦ ?_) (fun t u _ hu ↦ ?_) hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
k : ℕ
x : L
hk : 1 ≤ k
hx : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x
y : L
⊢ ∀ (h : Membership.mem (γ := Set L) {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m} y),
    (fun (x : L)
          (x_1 : Membership.mem (γ := Submodule R L) (Submodule.span R {m : L | ∃ (u : L) (v : L), ⁅u, v⁆ = m}) x) ↦
        Eq.{u_1 + 1} (α := R)
          ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R)
              (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x : End R M) :
            R)
          (0 : R))
      y ⋯
have refine_1 : ∀ (u v : L) (huv : ⁅u, v⁆ = y),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y : End R M) :
      R)
    (0 : R)
Tactic: ⟨u, v, huv⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : IsPrincipalIdealRing R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
inst_12 : IsTriangularizable R L M
z : L
⊢ Eq (α := LinearMap.BilinForm R L) (traceForm R L M)
    (∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
      traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z))
have H : ∀ (x y : L),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((traceForm R L M : (a : L) → L →ₗ[R] R) x : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) y : R)
    ((((∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) sorry,
                  traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z) :
                (a : L) → L →ₗ[R] R)
              x :
            L →ₗ[R] R) :
          (a : L) → R)
        y :
      R)
Tactic: ext x y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : IsPrincipalIdealRing R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
inst_12 : IsTriangularizable R L M
z x y : L
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((traceForm R L M : (a : L) → L →ₗ[R] R) x : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) y : R)
    ((((∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
                  traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z) :
                (a : L) → L →ₗ[R] R)
              x :
            L →ₗ[R] R) :
          (a : L) → R)
        y :
      R)
have hxy : ∀ (χ : R),
  MapsTo
    (⇑(((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
          ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
      (a : M) → M)
    (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M)
Tactic: have hxy : ∀ χ : R, MapsTo ((toEnd R L M x).comp (toEnd R L M y))
      (genWeightSpaceOf M χ z) (genWeightSpaceOf M χ z) :=
    fun χ m hm ↦ LieSubmodule.lie_mem _ <| LieSubmodule.lie_mem _ hm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : IsPrincipalIdealRing R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
inst_12 : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy :
  ∀ (χ : R),
    MapsTo
      (⇑(((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
        (a : M) → M)
      (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M)
⊢ Set.Finite.{u_1} (α := R) {χ : R | Ne (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Submodule R M) ⊥}
have simp_rw : Set.Finite.{u_1} (α := R) {χ : R | ¬Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}
Tactic: simp_rw [ne_eq, LieSubmodule.toSubmodule_eq_bot (genWeightSpaceOf M _ _)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.TraceForm (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : IsPrincipalIdealRing R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
inst_12 : IsTriangularizable R L M
z x y : L
hxy :
  ∀ (χ : R),
    MapsTo
      (⇑(((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) x ∘ₗ
            ((φ : LieHom.{u_1, u_3, u_4} R L (End R M)) : (a : L) → End R M) y) :
        (a : M) → M)
      (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Set M)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((((traceForm R L M : (a : L) → L →ₗ[R] R) x : L →ₗ[R] R) : (a : L) → R) y : R)
    ((((∑ χ ∈ Finite.toFinset (s := {χ : R | Ne (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpaceOf M χ z) ⊥}) ⋯,
                  traceForm.{u_1, u_3, u_4} R L ↥(genWeightSpaceOf M χ z) :
                (a : L) → L →ₗ[R] R)
              x :
            L →ₗ[R] R) :
          (a : L) → R)
        y :
      R)
have hfin : Set.Finite.{u_1} (α := R) {χ : R | Ne (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceOf M χ z) : Submodule R M) ⊥}
Tactic: have hfin : {χ : R | (genWeightSpaceOf M χ z : Submodule R M) ≠ ⊥}.Finite := by
    simp_rw [ne_eq, LieSubmodule.toSubmodule_eq_bot (genWeightSpaceOf M _ _)]
    exact finite_genWeightSpaceOf_ne_bot R L M z