awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
x : R
p : A[X]
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
    ((PolynomialModule.eval x : (a : PolynomialModule R R) → R)
        ((PolynomialModule.map R (Algebra.linearMap A R) : (a : PolynomialModule A A) → PolynomialModule R R)
            ((Derivation.mapCoeffs deriv : (a : A[X]) → PolynomialModule A A) p) :
          PolynomialModule R R) :
      R)
⊢ ((aeval x : (a : A[X]) → R) p : R)′ =
    HAdd.hAdd (α := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
        (x′ : R))
have convert_7 : ∀ (a : A),
  Eq (α := R) ((Algebra.linearMap A R : (a : A) → R) (a′ : A) : R) (((algebraMap A R : (a : A) → R) a : R)′ : R)
Tactic: convert! Derivation.apply_aeval_eq' Differential.deriv _ (Algebra.linearMap A R) ..
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ Eq (α := R') ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have ha : Ne.{u_3 + 1} (α := R')
  (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
  (0 : R')
Tactic: apply mul_left_cancel₀ (a := aeval (f x) (derivative p))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
ha :
  Ne.{u_3 + 1} (α := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    (0 : R')
⊢ Eq (α := R') ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have h₁ : HMul.hMul (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') =
  HMul.hMul (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
Tactic: apply mul_left_cancel₀ (a := aeval (f x) (derivative p))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    (0 : R')
have ha : Ne.{u_3 + 1} (α := R') ((f.comp (aeval x) : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R') (0 : R')
Tactic: rw [Polynomial.aeval_algHom]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := R') ((f.comp (aeval x) : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
    (0 : R')
have ha : ¬Eq.{u_2 + 1} (α := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R) (0 : R)
Tactic: simp only [AlgHom.coe_comp, Function.comp_apply, ne_eq, map_eq_zero_iff f hf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
| HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') =
    HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have lhs : HMul.hMul (α := R') (β := R')
  (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
  ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R')
Tactic: lhs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
| HMul.hMul (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R')
have rw : HMul.hMul (α := R') (β := R') ((f.comp (aeval x) : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
  ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R')
Tactic: rw [Polynomial.aeval_algHom]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
| HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') =
    HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have rw : HMul.hMul (α := R') (β := R') ((f.comp (aeval x) : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
  ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R')
Tactic: lhs; rw [Polynomial.aeval_algHom]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') =
    HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have h₁ : HMul.hMul (α := R') (β := R') ((f.comp (aeval x) : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
    ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') =
  HMul.hMul (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
Tactic: conv => lhs; rw [Polynomial.aeval_algHom]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ HMul.hMul (α := R') (β := R') ((f.comp (aeval x) : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
      ((f : (a : R) → R') (x′ : R) : R') =
    HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have h₁ : (f : (a : R) → R')
    (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
      (x′ : R)) =
  HMul.hMul (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
      R')
    (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
Tactic: simp only [AlgHom.coe_comp, Function.comp_apply, ← map_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ (f : (a : R) → R')
      (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
        (x′ : R)) =
    HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R')
have h₁ : HAdd.hAdd (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
    ((f : (a : R) → R')
        (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
          (x′ : R)) :
      R') =
  HAdd.hAdd (α := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
    (HMul.hMul (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R'))
Tactic: apply add_left_cancel (a := aeval (f x) (mapCoeffs p))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.MapCoeffs (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : CommRing A
inst_1 : Differential A
R : Type u_2
inst_2 : CommRing R
inst_3 : Differential R
inst_4 : Algebra A R
inst_5 : DifferentialAlgebra A R
R' : Type u_3
inst_6 : CommRing R'
inst_7 : Differential R'
inst_8 : Algebra A R'
inst_9 : DifferentialAlgebra A R'
inst_10 : IsDomain R'
inst_11 : Nontrivial R
f : R →ₐ[A] R'
hf : Function.Injective.{u_2 + 1, u_3 + 1} (α := R) (β := R') (⇑f : (a : R) → R')
x : R
h : IsSeparable A x
p : A[X] := minpoly A x
⊢ HAdd.hAdd (α := R') (β := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      ((f : (a : R) → R')
          (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
            (x′ : R)) :
        R') =
    HAdd.hAdd (α := R')
      (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
        R')
      (HMul.hMul (α := R') (β := R')
        (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R')
            ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) :
          R')
        (((f : (a : R) → R') x : R')′ : R'))
have h₁ : HAdd.hAdd (α := R') (β := R')
    (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') ((mapCoeffs : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R')
    ((f : (a : R) → R')
        (HMul.hMul (α := R) (β := R) ((aeval x : (a : A[X]) → R) ((derivative : (a : A[X]) → A[X]) p : A[X]) : R)
          (x′ : R)) :
      R') =
  (((aeval ((f : (a : R) → R') x) : A[X] →ₐ[A] R') : (a : A[X]) → R') p : R')′
Tactic: rw [← deriv_aeval_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
⊢ Derivation.{u, v, w} R A ↥I
have refine_1 : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f)
  (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
Tactic: refine
    { diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ?_ with
      map_one_eq_zero' := ?_
      leibniz' := ?_ }
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
refine_1 :
  Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f)
    (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
⊢ Derivation.{u, v, w} R A ↥I
have refine_2 : Eq.{w + 1} (α := ↥I) ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) sorry : (a : A) → ↥I) 1) 0
Tactic: refine
    { diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ?_ with
      map_one_eq_zero' := ?_
      leibniz' := ?_ }
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
refine_1 :
  Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f)
    (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
refine_2 : Eq.{w + 1} (α := ↥I) ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯ : (a : A) → ↥I) 1) 0
⊢ Derivation.{u, v, w} R A ↥I
have refine_3 : ∀ (a b : A),
  (diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) sorry : (a : A) → ↥I) (a * b) =
    HSMul.hSMul (β := ↥I) a ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) sorry : (a : A) → ↥I) b : ↥I) +
      HSMul.hSMul (β := ↥I) b ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) sorry : (a : A) → ↥I) a : ↥I)
Tactic: refine
    { diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ?_ with
      map_one_eq_zero' := ?_
      leibniz' := ?_ }
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
⊢ Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f)
    (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
have refine_1 : ∀ (x : A),
  Eq.{w + 1} (α := B ⧸ I)
    (((AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f : AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) : (a : A) → B ⧸ I) x : B ⧸ I)
    (((AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B) : AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) :
          (a : A) → B ⧸ I)
        x :
      B ⧸ I)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
⊢ Eq.{w + 1} (α := ↥I) ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯ : (a : A) → ↥I) 1) 0
have refine_2 : Eq (α := B) ((↑((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) sorry : (a : A) → ↥I) 1) : B) : B)
  ((↑0 : B) : B)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
x y : A
⊢ Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f)
    (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
have rw : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
  (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
Tactic: rw [e]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
x y : A
⊢ Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
    (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B))
have H : ∀ (x : A),
  Eq.{w + 1} (α := B ⧸ I) ((IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I) : (a : A) → B ⧸ I) x : B ⧸ I)
    (((AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) (IsScalarTower.toAlgHom R A B) : AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) :
          (a : A) → B ⧸ I)
        x :
      B ⧸ I)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (goal)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
x y : A
F : LinearMap.{u, u, v, w} (RingHom.id R) A ↥I := diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯
⊢ HSub.hSub (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) x : B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) x : B) *
      HSub.hSub (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) y : B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) y : B) =
    0
have rw : HSub.hSub (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) x : B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) x : B) *
    HSub.hSub (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) y : B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) y : B) ∈
  I * I
Tactic: rw [← Ideal.mem_bot, ← hI, pow_two]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Derivation.ToSquareZero (hypothesis)
Goal:
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring A
inst_2 : CommRing B
inst_3 : Algebra R A
inst_4 : Algebra R B
I : Ideal B
inst_5 : Algebra A B
inst_6 : IsScalarTower R A B
hI : HPow.hPow (β := ℕ) I 2 = ⊥
f : A →ₐ[R] B
e : Eq (α := AlgHom.{u, v, w} R A (B ⧸ I)) (AlgHom.comp (Ideal.Quotient.mkₐ R I) f) (IsScalarTower.toAlgHom R A (B ⧸ I))
x y : A
F : LinearMap.{u, u, v, w} (RingHom.id R) A ↥I := diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯
⊢ (diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯ : (a : A) → ↥I) (x * y) =
    HSMul.hSMul (β := ↥I) x ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯ : (a : A) → ↥I) y : ↥I) +
      HSMul.hSMul (β := ↥I) y ((diffToIdealOfQuotientCompEq I f (IsScalarTower.toAlgHom R A B) ⋯ : (a : A) → ↥I) x : ↥I)
have this : HSub.hSub (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) x : B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) x : B) *
    HSub.hSub (α := B) (β := B) ((f : (a : A) → B) y : B) ((algebraMap A B : (a : A) → B) y : B) =
  0
Tactic: have : (f x - algebraMap A B x) * (f y - algebraMap A B y) = 0 := by
      rw [← Ideal.mem_bot, ← hI, pow_two]
      convert! Ideal.mul_mem_mul (F x).2 (F y).2 using 1