-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Units.Regulator (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
u : Fin (rank K) → (𝓞 K)ˣ
w₁ w₂ : InfinitePlace K
e₁ : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ≃ Fin (rank K)
e₂ : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K)
f : Fin (rank K + 1) ≃ InfinitePlace K :=
  Equiv.trans (finSuccEquiv (rank K))
    (↑((Equiv.symm (Equiv.optionSubtype w₁) :
            (a : Fin (rank K) ≃ { y : InfinitePlace K // y ≠ w₁ }) →
              { e : Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K //
                (e : (a : Option (Fin (rank K))) → InfinitePlace K) none = w₁ })
          e₁.symm) :
      Option (Fin (rank K)) ≃ InfinitePlace K)
g : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ≃ Fin (rank K) :=
  Equiv.trans (β := { b : Fin (rank K + 1) // b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂ })
    (f.symm.subtypeEquiv (p := fun (w : InfinitePlace K) ↦ w ≠ w₂) (q := fun (b : Fin (rank K + 1)) ↦
      b ≠ (f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂) ⋯)
    (Equiv.symm (finSuccAboveEquiv ((f.symm : (a : InfinitePlace K) → Fin (rank K + 1)) w₂)))
⊢ Eq (α := ℝ)
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ })
        ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₁ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)) :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₁ } ℝ)|
    |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)) :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)|
have h_col : |det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
      (submatrix (m := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
          ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)))
          (⇑(g.trans e₂.symm) : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) id :
        Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)| =
  |HMul.hMul (α := ℝ)
      (↑(↑(((Equiv.Perm.sign : Equiv.Perm { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } →* ℤˣ) :
                  (a : Equiv.Perm { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → ℤˣ)
                (g.trans e₂.symm)) :
            ℤ) :
        ℝ)
      (det (n := { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ })
        ((of :
              (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } → ℝ) →
                Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ)
            fun (i w : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) ↦
            (↑(↑w : InfinitePlace K).mult : ℝ) *
              Real.log
                (((↑w : InfinitePlace K) : (a : K) → ℝ)
                  ((algebraMap (𝓞 K) K : (a : 𝓞 K) → K)
                      (↑(u ((e₂ : (a : { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ }) → Fin (rank K)) i)) : 𝓞 K) :
                    K)) :
          Matrix { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } { w : InfinitePlace K // w ≠ w₂ } ℝ))|
Tactic: have h_col := congr_arg abs <| det_permute (g.trans e₂.symm)
    (of fun i w : {w // w ≠ w₂} ↦ (mult w.val : ℝ) * (w.val (u (e₂ i) : K)).log)