awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have cNn : c (N - 1) ≤ n
Tactic: have cNn : c (N - 1) ≤ n := by
      have : N - 1 < N := Nat.pred_lt Npos.ne'
      simpa only [not_lt] using Nat.find_min exN this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
have hcd : u (c (N - 1)) ≤ u n
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
⊢ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
have h : (↑(c N) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ)
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
⊢ (↑(c N) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ)
have B : N - 1 + 1 = N
Tactic: have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
⊢ ε * (1 + l) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have ha₁ : 0 ≤ ε * (1 + l)
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have l₁ : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
Tactic: calc
      (n : ℝ) * l - u n ≤ c N * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        exact hmono cNn
      _ ≤ (1 + ε) * c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
        simpa [B] using (ha _ aN').1
      _ = c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) + ε * c (N - 1) * l := by ring
      _ ≤ ε * c (N - 1) + ε * c (N - 1) * l := add_le_add (ha _ aN').2 le_rfl
      _ = ε * (1 + l) * c (N - 1) := by ring
      _ ≤ ε * (1 + l) * n := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
l₁ : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have l₂ : (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
Tactic: calc
      (n : ℝ) * l - u n ≤ c N * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        exact hmono cNn
      _ ≤ (1 + ε) * c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
        simpa [B] using (ha _ aN').1
      _ = c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) + ε * c (N - 1) * l := by ring
      _ ≤ ε * c (N - 1) + ε * c (N - 1) * l := add_le_add (ha _ aN').2 le_rfl
      _ = ε * (1 + l) * c (N - 1) := by ring
      _ ≤ ε * (1 + l) * n := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
l₁ : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
l₂ : (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have l₃ : (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) = (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) + ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l
Tactic: calc
      (n : ℝ) * l - u n ≤ c N * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        exact hmono cNn
      _ ≤ (1 + ε) * c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
        simpa [B] using (ha _ aN').1
      _ = c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) + ε * c (N - 1) * l := by ring
      _ ≤ ε * c (N - 1) + ε * c (N - 1) * l := add_le_add (ha _ aN').2 le_rfl
      _ = ε * (1 + l) * c (N - 1) := by ring
      _ ≤ ε * (1 + l) * n := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
l₁ : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
l₂ : (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
l₃ :
  (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) = (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) + ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have l₄ : ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) + ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l = ε * (1 + l) * (↑(c (N - 1)) : ℝ)
Tactic: calc
      (n : ℝ) * l - u n ≤ c N * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        exact hmono cNn
      _ ≤ (1 + ε) * c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
        simpa [B] using (ha _ aN').1
      _ = c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) + ε * c (N - 1) * l := by ring
      _ ≤ ε * c (N - 1) + ε * c (N - 1) * l := add_le_add (ha _ aN').2 le_rfl
      _ = ε * (1 + l) * c (N - 1) := by ring
      _ ≤ ε * (1 + l) * n := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
c : ℕ → ℕ
cgrowth : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c n) : ℝ)
ctop : Tendsto c atTop atTop
clim : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
L : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c n) : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * (↑(c n) : ℝ)
a : ℕ
ha : ∀ (b : ℕ), a ≤ b → (↑(c (b + 1)) : ℝ) ≤ (1 + ε) * (↑(c b) : ℝ) ∧ (↑(c b) : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * (↑(c b) : ℝ)
M : ℕ := max' (image (fun (i : ℕ) ↦ c i) (range (a + 1))) ⋯
n : ℕ
hn : n ∈ Set.Ici M
exN : ∃ (N : ℕ), n < c N
N : ℕ := Nat.find (p := fun (n_1 : ℕ) ↦ n < c n_1) exN
ncN : n < c N
aN : a + 1 ≤ N
Npos : 0 < N
aN' : a ≤ N - 1
cNn : c (N - 1) ≤ n
l₁ : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
l₂ : (↑(c N) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) ≤ (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1))
l₃ :
  (1 + ε) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) = (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l - u (c (N - 1)) + ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l
l₄ : ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) + ε * (↑(c (N - 1)) : ℝ) * l = ε * (1 + l) * (↑(c (N - 1)) : ℝ)
⊢ (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
have l₅ : ε * (1 + l) * (↑(c (N - 1)) : ℝ) ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
Tactic: calc
      (n : ℝ) * l - u n ≤ c N * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        exact hmono cNn
      _ ≤ (1 + ε) * c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
        simpa [B] using (ha _ aN').1
      _ = c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) + ε * c (N - 1) * l := by ring
      _ ≤ ε * c (N - 1) + ε * c (N - 1) * l := add_le_add (ha _ aN').2 le_rfl
      _ = ε * (1 + l) * c (N - 1) := by ring
      _ ≤ ε * (1 + l) * n := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u n / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
have B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
Tactic: have B : ∀ ε : ℝ, 0 < ε → ∀ᶠ n : ℕ in atTop, (n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * n := by
    intro ε εpos
    rcases hlim (1 + ε) ((lt_add_iff_pos_right _).2 εpos) with ⟨c, cgrowth, ctop, clim⟩
    have L : ∀ᶠ n : ℕ in atTop, (c n : ℝ) * l - u (c n) ≤ ε * c n := by
      rw [← tendsto_sub_nhds_zero_iff, ← Asymptotics.isLittleO_one_iff ℝ,
        Asymptotics.isLittleO_iff] at clim
      filter_upwards [clim εpos, ctop (Ioi_mem_atTop 0)] with n hn cnpos'
      have cnpos : 0 < c n := cnpos'
      calc
        (c n : ℝ) * l - u (c n) = -(u (c n) / c n - l) * c n := by field
        _ ≤ ε * c n := by
          gcongr
          refine le_trans (neg_le_abs _) ?_
          simpa using hn
    obtain ⟨a, ha⟩ :
      ∃ a : ℕ,
        ∀ b : ℕ, a ≤ b → (c (b + 1) : ℝ) ≤ (1 + ε) * c b ∧ (c b : ℝ) * l - u (c b) ≤ ε * c b :=
      eventually_atTop.1 (cgrowth.and L)
    let M := ((Finset.range (a + 1)).image fun i => c i).max' (by simp)
    filter_upwards [Ici_mem_atTop M] with n hn
    have exN : ∃ N, n < c N := by
      rcases (tendsto_atTop.1 ctop (n + 1)).exists with ⟨N, hN⟩
      exact ⟨N, by lia⟩
    let N := Nat.find exN
    have ncN : n < c N := Nat.find_spec exN
    have aN : a + 1 ≤ N := by
      by_contra! h
      have cNM : c N ≤ M := by
        apply le_max'
        apply mem_image_of_mem
        exact mem_range.2 h
      exact lt_irrefl _ ((cNM.trans hn).trans_lt ncN)
    have Npos : 0 < N := lt_of_lt_of_le Nat.succ_pos' aN
    have aN' : a ≤ N - 1 := (Nat.le_sub_one_iff_lt Npos).mpr aN
    have cNn : c (N - 1) ≤ n := by
      have : N - 1 < N := Nat.pred_lt Npos.ne'
      simpa only [not_lt] using Nat.find_min exN this
    calc
      (n : ℝ) * l - u n ≤ c N * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        exact hmono cNn
      _ ≤ (1 + ε) * c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) := by
        gcongr
        have B : N - 1 + 1 = N := Nat.succ_pred_eq_of_pos Npos
        simpa [B] using (ha _ aN').1
      _ = c (N - 1) * l - u (c (N - 1)) + ε * c (N - 1) * l := by ring
      _ ≤ ε * c (N - 1) + ε * c (N - 1) * l := add_le_add (ha _ aN').2 le_rfl
      _ = ε * (1 + l) * c (N - 1) := by ring
      _ ≤ ε * (1 + l) * n := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u n / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
have refine_1 : ∀ (d : ℝ) (hd : d < l), ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / (↑b : ℝ)
Tactic: refine tendsto_order.2 ⟨fun d hd => ?_, fun d hd => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
refine_1 : ∀ (d : ℝ) (hd : d < l), ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / (↑b : ℝ)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u n / (↑n : ℝ)) atTop (𝓝 l)
have refine_2 : ∀ (d : ℝ) (hd : d > l), ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, u b / (↑b : ℝ) < d
Tactic: refine tendsto_order.2 ⟨fun d hd => ?_, fun d hd => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
⊢ Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ d + ε * (1 + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (d + 0 * (1 + l)))
have apply : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ d + ε * (1 + l)) (𝓝 0) (𝓝 (d + 0 * (1 + l)))
Tactic: apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
⊢ ∃ (ε : ℝ), d + ε * (1 + l) < l ∧ 0 < ε
have L : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ d + ε * (1 + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (d + 0 * (1 + l)))
Tactic: have L : Tendsto (fun ε => d + ε * (1 + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (d + 0 * (1 + l))) := by
        apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
        exact tendsto_const_nhds.add (tendsto_id.mul tendsto_const_nhds)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (hypothesis)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
L : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ d + ε * (1 + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (d + 0 * (1 + l)))
⊢ ∃ (ε : ℝ), d + ε * (1 + l) < l ∧ 0 < ε
have L₁ : Tendsto (fun (ε : ℝ) ↦ d + ε * (1 + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 d)
Tactic: simp only [zero_mul, add_zero] at L
Cleared hypotheses: L
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / (↑b : ℝ)
have refine_1 : ∀ (ε : ℝ) (hε : d + ε * (1 + l) < l) (εpos : 0 < ε), ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / (↑b : ℝ)
Tactic: obtain ⟨ε, hε, εpos⟩ : ∃ ε : ℝ, d + ε * (1 + l) < l ∧ 0 < ε := by
      have L : Tendsto (fun ε => d + ε * (1 + l)) (𝓝[>] 0) (𝓝 (d + 0 * (1 + l))) := by
        apply Tendsto.mono_left _ nhdsWithin_le_nhds
        exact tendsto_const_nhds.add (tendsto_id.mul tendsto_const_nhds)
      simp only [zero_mul, add_zero] at L
      exact (((tendsto_order.1 L).2 l hd).and self_mem_nhdsWithin).exists
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecificLimits.FloorPow (goal)
Goal:
u : ℕ → ℝ
l : ℝ
hmono : Monotone u
hlim :
  ∀ (a : ℝ),
    1 < a →
      ∃ (c : ℕ → ℕ),
        (∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑(c (n + 1)) : ℝ) ≤ a * (↑(c n) : ℝ)) ∧
          Tendsto c atTop atTop ∧ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ u (c n) / (↑(c n) : ℝ)) atTop (𝓝 l)
lnonneg : 0 ≤ l
A : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, u n - (↑n : ℝ) * l ≤ ε * (1 + ε + l) * (↑n : ℝ)
B : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)
d : ℝ
hd : d < l
ε : ℝ
hε : d + ε * (1 + l) < l
εpos : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (b : ℕ) in atTop, d < u b / (↑b : ℝ)
have h : ∀ (n : ℕ) (hn : (↑n : ℝ) * l - u n ≤ ε * (1 + l) * (↑n : ℝ)) (npos : Membership.mem (γ := Set ℕ) (Set.Ioi 0) n),
  d < u n / (↑n : ℝ)
Tactic: filter_upwards [B ε εpos, Ioi_mem_atTop 0] with n hn npos