-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.Perm.Fin (goal)
Goal:
n : ℕ
R : Type u_1
inst : CommRing R
σ : Perm (Fin n)
f : Fin n → Fin n → R
hf : ∀ (i j : Fin n), f i j = -f j i
D : Finset ((_ : Fin n) × Fin n) := Finset.sigma (α := fun (i : Fin n) ↦ Fin n) Finset.univ Finset.Iio
hD : D = Finset.sigma (α := fun (i : Fin n) ↦ Fin n) Finset.univ Finset.Iio
hφD :
  Finset.image
      (fun (x : (_ : Fin n) × Fin n) ↦
        Sigma.mk (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
          (max ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
            ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
          (min ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
            ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))))
      D =
    D
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∏ x ∈ D,
      f ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
        ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
    (∏
      x ∈
        Finset.image
          (fun (x : (_ : Fin n) × Fin n) ↦
            Sigma.mk (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
              (max ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
              (min ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))))
          D,
      (↑(↑(if
                    LT.lt (α := Fin n) ((σ⁻¹ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)) : Fin n)
                      ((σ⁻¹ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)) : Fin n) then
                  1
                else -1) :
              ℤ) :
          R) *
        f (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  (∏ x ∈ D,
    f ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
      ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
  (∏ x ∈ D,
    (↑(↑(if
                  LT.lt (α := Fin n)
                    ((σ⁻¹ : (a : Fin n) → Fin n)
                        (Sigma.snd (α := Fin n) (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
                          (Sigma.mk (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
                              (max ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                                ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
                              (min ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                                ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))) :
                            (_ : Fin n) × Fin n)) :
                      Fin n)
                    ((σ⁻¹ : (a : Fin n) → Fin n)
                        (Sigma.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
                          (Sigma.mk (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
                            (max ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                              ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
                            (min ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                              ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))))) :
                      Fin n) then
                1
              else -1) :
            ℤ) :
        R) *
      f
        (Sigma.snd (α := Fin n) (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
          (Sigma.mk (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
              (max ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
              (min ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
                ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))) :
            (_ : Fin n) × Fin n))
        (Sigma.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
          (Sigma.mk (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)
            (max ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
              ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n))))
            (min ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.fst (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))
              ((σ : (a : Fin n) → Fin n) (x.snd (β := fun (i : Fin n) ↦ Fin n)))))))
Tactic: rw [Finset.prod_image fun x hx y hy ↦ Finset.injOn_of_card_image_eq (by rw [hφD]) hx hy]