awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
⊢ Membership.mem (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
    (HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
      (Ideal.span
        (Set.range (ι := D.rels)
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))
      2)
    ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
      MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
have hinj : Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
  (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
    (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
Tactic: have hinj : Function.Injective
        (MvPolynomial.map (σ := D.vars) (algebraMap (D.subalgebra R) A)) :=
      map_injective _ (FaithfulSMul.algebraMap_injective (D.subalgebra R) A)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
⊢ Membership.mem (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
    (HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
      (Ideal.span
        (Set.range (ι := D.rels)
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))
      2)
    ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
      MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
have refine_1 : ∃ (p_1 : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
  p_1.IsHomogeneous 2 ∧
    Eq (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
      ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
            (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          p_1 :
        MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
      ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
        MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
Tactic: rw [Ideal.mem_span_pow_iff_exists_isHomogeneous]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
⊢ ∃ (p_1 : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p_1.IsHomogeneous 2 ∧
      Eq (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
              (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            p_1 :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
have refine_1 : ∀ (q : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
  (hq :
    (MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
          (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) →
            MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
        q =
      D.p i),
  ∃ (p_1 : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p_1.IsHomogeneous 2 ∧
      Eq (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
              (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            p_1 :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
Tactic: obtain ⟨q, hq⟩ := (D.p i).mem_range_map_iff_coeffs_subset.mpr (D.coeffs_p_subset R i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
q : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
hq :
  (MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
        (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
      q =
    D.p i
⊢ ∃ (p_1 : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p_1.IsHomogeneous 2 ∧
      Eq (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
              (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            p_1 :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
have refine_1 : IsHomogeneous.{0, u} (σ := D.rels) (R := MvPolynomial D.vars A)
  ((MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
    q)
  2
Tactic: refine ⟨q, .of_map hinj ?_, hinj ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
q : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
hq :
  (MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
        (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
      q =
    D.p i
refine_1 :
  IsHomogeneous.{0, u} (σ := D.rels) (R := MvPolynomial D.vars A)
    ((MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
        (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
      q)
    2
⊢ ∃ (p_1 : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p_1.IsHomogeneous 2 ∧
      Eq (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
              (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            p_1 :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
have refine_1₁ : Eq (α := MvPolynomial D.vars A)
  ((MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
        (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
      ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
          (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        q) :
    MvPolynomial D.vars A)
  ((MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
        (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
      ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
        (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i)) :
    MvPolynomial D.vars A)
Tactic: refine ⟨q, .of_map hinj ?_, hinj ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
q : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
hq :
  (MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
        (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
      q =
    D.p i
⊢ IsHomogeneous.{0, u} (σ := D.rels) (R := MvPolynomial D.vars A)
    ((MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
        (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
      q)
    2
have refine_1 : (D.p i).IsHomogeneous 2
Tactic: rw [hq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
i : D.rels
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
q : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
hq :
  (MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
        (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars A))
      q =
    D.p i
⊢ Eq (α := MvPolynomial D.vars A)
    ((MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        ((eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
            (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          q) :
      MvPolynomial D.vars A)
    ((MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        ((aeval p : (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i)) :
      MvPolynomial D.vars A)
have refine_1 : Eq (α := MvPolynomial D.vars A)
  ((aeval D.h : (a : MvPolynomial D.vars A) → MvPolynomial D.vars A) (D.P.relation i) : MvPolynomial D.vars A)
  ((eval₂Hom
          (RingHom.comp (β := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
            (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A))
            (algebraMap (↥(subalgebra R D)) (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))))
          fun (i : D.vars) ↦ D.h i :
        (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
      (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) (↥(subalgebra R D)) i) :
    MvPolynomial D.vars A)
Tactic: simp_rw [map_eval, Function.comp_def, Presentation.map_relationOfHasCoeffs,
        hq, D.hp, MvPolynomial.map_aeval, hp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
⊢ AlgHom.comp
      (AlgHom.kerSquareLift
        (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
          (Ideal.span
            (Set.range (ι := D.rels)
              (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
      (Ideal.Quotient.liftₐ
        (Ideal.span
          (Set.range (ι := D.rels)
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))
        (AlgHom.comp
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
              (RingHom.ker (F :=
                MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
                  HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                    Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                    (Ideal.span
                      (Set.range (ι := D.rels)
                        (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                          ↥(subalgebra R D)))))
                (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                  (Ideal.span
                    (Set.range (ι := D.rels)
                      (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                        ↥(subalgebra R D))))))
              2))
          (aeval p))
        ⋯) =
    AlgHom.id (↥(subalgebra R D))
      (Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
        ↥(subalgebra R D))
have hf₀ : Function.Surjective.{u + 1, u + 1} (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β :=
  HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
    (Ideal.span
      (Set.range (ι := D.rels)
        (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)))))
  (⇑(Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
        (Ideal.span
          (Set.range (ι := D.rels)
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))) :
    (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) →
      MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
        Ideal.span (Set.range (Presentation.relationOfHasCoeffs ↥(subalgebra R D))))
Tactic: have hf₀ : Function.Surjective f₀ := Ideal.Quotient.mk_surjective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
hf₀ :
  Function.Surjective.{u + 1, u + 1} (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β :=
    HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
      (Ideal.span
        (Set.range (ι := D.rels)
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)))))
    (⇑(Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
          (Ideal.span
            (Set.range (ι := D.rels)
              (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) →
        MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
          Ideal.span (Set.range (Presentation.relationOfHasCoeffs ↥(subalgebra R D))))
i : D.vars
⊢ ∃ (p' : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p'.IsHomogeneous 1 ∧
      (eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
            (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          p' =
        p i - X i
have hinj : Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
  (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
    (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
Tactic: have hinj : Function.Injective
        (MvPolynomial.map (σ := D.vars) (algebraMap (D.subalgebra R) A)) :=
      map_injective _ (FaithfulSMul.algebraMap_injective (D.subalgebra R) A)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
hf₀ :
  Function.Surjective.{u + 1, u + 1} (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β :=
    HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
      (Ideal.span
        (Set.range (ι := D.rels)
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)))))
    (⇑(Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
          (Ideal.span
            (Set.range (ι := D.rels)
              (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) →
        MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
          Ideal.span (Set.range (Presentation.relationOfHasCoeffs ↥(subalgebra R D))))
i : D.vars
hinj :
  Function.Injective (α := MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (β := MvPolynomial D.vars A)
    (⇑(MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
      (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
⊢ ∃ (p' : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p'.IsHomogeneous 1 ∧
      (eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
            (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          p' =
        p i - X i
have refine_2 : ∀ (t : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
  (ht :
    (MvPolynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A)) :
          (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.rels D.P.Ring)
        t =
      D.q i),
  ∃ (p' : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))),
    p'.IsHomogeneous 1 ∧
      (eval (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)) :
            (a : MvPolynomial D.rels (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))
          p' =
        p i - X i
Tactic: obtain ⟨t, ht⟩ := (D.q i).mem_range_map_iff_coeffs_subset.mpr (D.coeffs_q_subset R i)