awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
⊢ 2 * x + A * (y - 1) = P.pairingIn ℤ m i
have h₄ : (P.root : (a : ι) → M) m =
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) (y - 1) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: replace h₂ : P.root m = x • P.root i + (y - 1) • P.root j := by rw [← h₂, ← h₀]; module
Cleared hypotheses: h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) (y - 1) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ 2 * x + A * (y - 1) = P.pairingIn ℤ m i
have h : 2 * x + A * (y - 1) = x * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i
Tactic: rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (S := ℤ) (j := i) h₂, pairingIn_same,
      Int.zsmul_eq_mul, Int.zsmul_eq_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
⊢ False
have h₄ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
Tactic: replace h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s := by
    convert! IsG2.pairingIn_mem_zero_one_three P m i hmi hmi'
    replace h₂ : P.root m = x • P.root i + (y - 1) • P.root j := by rw [← h₂, ← h₀]; module
    rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (S := ℤ) (j := i) h₂, pairingIn_same,
      Int.zsmul_eq_mul, Int.zsmul_eq_mul]
    ring
Cleared hypotheses: h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
have h : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = P.pairingIn ℤ n i
Tactic: convert! IsG2.pairingIn_mem_zero_one_three P n i hni hni'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSMul.hSMul (β := M) (x + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) +
      HSMul.hSMul (β := M) (y - 1) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
have rw : HSub.hSub (β := M)
    (HAdd.hAdd (β := M)
      (HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
  HSMul.hSMul (β := M) (x + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) +
    HSMul.hSMul (β := M) (y - 1) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: rw [h₃, ← h₀]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = P.pairingIn ℤ n i
have h₄ : (P.root : (a : ι) → M) n =
  HSMul.hSMul (β := M) (x + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) +
    HSMul.hSMul (β := M) (y - 1) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: replace h₃ : P.root n = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j := by rw [h₃, ← h₀]; module
Cleared hypotheses: h₃
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSMul.hSMul (β := M) (x + 1) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) +
      HSMul.hSMul (β := M) (y - 1) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = P.pairingIn ℤ n i
have h : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) = (x + 1) * 2 + (y - 1) * P.pairingIn ℤ j i
Tactic: rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (S := ℤ) (j := i) h₃, pairingIn_same,
      Int.zsmul_eq_mul, Int.zsmul_eq_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
h₃ :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
⊢ False
have h₄ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
Tactic: replace h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s := by
    convert! IsG2.pairingIn_mem_zero_one_three P n i hni hni'
    replace h₃ : P.root n = (x + 1) • P.root i + (y - 1) • P.root j := by rw [h₃, ← h₀]; module
    rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (S := ℤ) (j := i) h₃, pairingIn_same,
      Int.zsmul_eq_mul, Int.zsmul_eq_mul]
    ring
Cleared hypotheses: h₃
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * x + A * y ∈ s
have h : 2 * x + A * y = P.pairingIn ℤ k i
Tactic: convert! IsG2.pairingIn_mem_zero_one_three P k i hki hki'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ 2 * x + A * y = P.pairingIn ℤ k i
have h : 2 * x + A * y = x * 2 + y * P.pairingIn ℤ j i
Tactic: rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (j := i) h₀.symm, pairingIn_same,
      Int.zsmul_eq_mul, Int.zsmul_eq_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
h₀ :
  HSMul.hSMul (β := M) x ((P.root : (a : ι) → M) i : M) + HSMul.hSMul (β := M) y ((P.root : (a : ι) → M) j : M) =
    (P.root : (a : ι) → M) k
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
⊢ False
have h₄ : 2 * x + A * y ∈ s
Tactic: replace h₀ : 2 * x + A * y ∈ s := by
    convert! IsG2.pairingIn_mem_zero_one_three P k i hki hki'
    rw [pairingIn_eq_add_of_root_eq_smul_add_smul (j := i) h₀.symm, pairingIn_same,
      Int.zsmul_eq_mul, Int.zsmul_eq_mul]
    ring
Cleared hypotheses: h₀
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
this_1 : Module.IsReflexive R M
this : IsAddTorsionFree M
contra : P.IsG2
n : ι
x y : ℤ
s : Set ℤ := {-3, -1, 0, 1, 3}
A : ℤ := P.pairingIn ℤ j i
hki : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hki' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hli' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hmi' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
hni' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
h₁ : 2 * (x + 1) + A * y ∈ s
h₂ : 2 * x + A * (y - 1) ∈ s
h₃ : 2 * (x + 1) + A * (y - 1) ∈ s
h₀ : 2 * x + A * y ∈ s
⊢ False
have hA : A ∈ s
Tactic: have hA : A ∈ s := IsG2.pairingIn_mem_zero_one_three P j i (P.root.injective.ne_iff.mpr hij.symm)
    (b.root_ne_neg_of_ne hj hi hij.symm)