awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : Semiring R
inst_7 : (i : ι) → AddCommMonoid (G i)
inst_8 : (i : ι) → Module.{u_1, u_3} R (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), LinearMapClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
h : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), DistribMulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
i : ι
x : G i
simp_rw :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := R) 0 x)⟧ 0
⊢ HSMul.hSMul (α := R) (β := DirectLimit G (T := T) f) 0 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ = 0
have simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 0⟧ 0
Tactic: simp_rw [smul_def, zero_smul, zero_def i]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), IsScalarTower.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f)
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
have simp_rw : HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
  r •
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, smul_mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), IsScalarTower.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f)
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
have simp_rw₁ : HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
  r •
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, smul_mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), IsScalarTower.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
simp_rw₁ :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f)
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
have simp_rw₂ : ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x * x_1)⟧ =
  HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x_1)⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, smul_mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), IsScalarTower.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
simp_rw₁ :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
simp_rw₂ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x * x_1)⟧ =
    HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x_1)⟧
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f)
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
have simp_rw₃ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x * x_1)⟧
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • (x * x_1))⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, smul_mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), SMulCommClass.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
⊢ r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw : r •
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
    HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, mul_smul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), SMulCommClass.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
      HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
⊢ r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw₁ : r •
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x_1)⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, mul_smul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), SMulCommClass.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
      HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
simp_rw₁ :
  r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x_1)⟧
⊢ r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw₂ : HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x_1)⟧ =
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * r • x_1)⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, mul_smul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Mul (G i)
inst_7 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_8 : ∀ (i : ι), SMulCommClass.{u_1, u_3, u_3} R (G i) (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
r : R
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ *
      HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧
simp_rw₁ :
  r •
      HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x_1)⟧
simp_rw₂ :
  HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * x_1)⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * r • x_1)⟧
⊢ r •
      HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) (β := DirectLimit G (T := T) f)
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HSMul.hSMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw₃ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • (x * x_1))⟧
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * r • x_1)⟧
Tactic: simp_rw [smul_eq_mul, smul_def, mul_def, smul_def, mul_smul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst_7 : DivisionSemiring C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), RingHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
q : ℚ≥0
⊢ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        ((fun (x : ι) ↦ ((↑q : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧ =
    HDiv.hDiv (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
          ((fun (x : ι) ↦ ((↑q.num : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
          ((fun (x : ι) ↦ ((↑q.den : G x) : G x)) (Classical.arbitrary ι))⟧
have simp_rw : Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑q : G (Classical.arbitrary ι))⟧
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
      (HDiv.hDiv (α := G (Classical.arbitrary ι)) (↑q.num : G (Classical.arbitrary ι))
        (↑q.den : G (Classical.arbitrary ι)))⟧
Tactic: simp_rw [div₀_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst_7 : DivisionSemiring C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), RingHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
q : ℚ≥0
⊢ Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι) (↑q : G (Classical.arbitrary ι))⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
        (HDiv.hDiv (α := G (Classical.arbitrary ι)) (↑q.num : G (Classical.arbitrary ι))
          (↑q.den : G (Classical.arbitrary ι)))⟧
have rw : Eq (α := Quotient (α := (i : ι) × G i) (setoid (F := G) (T := T) f))
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
      (HDiv.hDiv (α := G (Classical.arbitrary ι)) (↑q.num : G (Classical.arbitrary ι))
        (↑q.den : G (Classical.arbitrary ι)))⟧
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) (Classical.arbitrary ι)
      (HDiv.hDiv (α := G (Classical.arbitrary ι)) (↑q.num : G (Classical.arbitrary ι))
        (↑q.den : G (Classical.arbitrary ι)))⟧
Tactic: rw [NNRat.cast_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_3 : ι) → (h : x ≤ x_3) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst_7 : DivisionSemiring C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), RingHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
q : ℚ≥0
x_1 x_2 : ι
h : x_1 ≤ x_2
x : G x_1
simp_rw simp_rw₁ :
  (f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) (q • x) =
    HSMul.hSMul (β := G x_2) q ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x : G x_2)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := G x_2) ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) ((fun (x : ι) (x_3 : G x) ↦ q • x_3) x_1 x) : G x_2)
    ((fun (x : ι) (x_3 : G x) ↦ q • x_3) x_2 ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x) : G x_2)
have simp_rw₂ : (f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) ((↑q : G x_1) * x) =
  HMul.hMul (α := G x_2) (β := G x_2) ((↑q : G x_2) : G x_2) ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x : G x_2)
Tactic: simp_rw [NNRat.smul_def, map_mul, map_nnratCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_3 : ι) → (h : x ≤ x_3) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → DivisionSemiring (G i)
inst_7 : DivisionSemiring C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), RingHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), RingHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
q : ℚ≥0
x_1 x_2 : ι
h : x_1 ≤ x_2
x : G x_1
simp_rw simp_rw₁ :
  (f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) (q • x) =
    HSMul.hSMul (β := G x_2) q ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x : G x_2)
simp_rw₂ :
  (f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) ((↑q : G x_1) * x) =
    HMul.hMul (α := G x_2) (β := G x_2) ((↑q : G x_2) : G x_2) ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x : G x_2)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := G x_2) ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) ((fun (x : ι) (x_3 : G x) ↦ q • x_3) x_1 x) : G x_2)
    ((fun (x : ι) (x_3 : G x) ↦ q • x_3) x_2 ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x) : G x_2)
have simp_rw₃ : HMul.hMul (α := G x_2) (β := G x_2) ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) (↑q : G x_1) : G x_2)
    ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x : G x_2) =
  HMul.hMul (α := G x_2) (β := G x_2) ((↑q : G x_2) : G x_2) ((f x_1 x_2 h : (a : G x_1) → G x_2) x : G x_2)
Tactic: simp_rw [NNRat.smul_def, map_mul, map_nnratCast]