awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)
have B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
Tactic: have B : ∀ᶠ n in atTop, ∀ i : γ n, ediam (t n i) ≤ 1 / n := by
    refine eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩
    intro f
    refine ediam_pi_le_of_le fun b => ?_
    simp only [Real.ediam_Icc, add_div, ENNReal.ofReal_div_of_pos (Nat.cast_pos.mpr hn), le_refl,
      add_sub_add_left_eq_sub, add_sub_cancel_left, ENNReal.ofReal_one, ENNReal.ofReal_natCast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
    Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ))
      (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i)
have refine : ∀ (n : ℕ) (hn : n ≥ 1),
  Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ)) (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ))
    (⋃ (i : γ n), t n i)
Tactic: refine eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
⊢ Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ)) (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ))
    (⋃ (i : γ n), t n i)
have npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
Tactic: have npos : (0 : ℝ) < n := Nat.cast_pos.2 hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx :
  Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → ℝ))
    (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) x
⊢ Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i) x
have hx₁ : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
Tactic: simp only [mem_Ioo, mem_univ_pi] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
⊢ Membership.mem (γ := Set ((i : ι) → ℝ)) (⋃ (i : γ n), t n i) x
have simp : ∃ (i : γ n),
  ∀ (i_1 : ι),
    x i_1 ∈
      Icc ((↑(a i_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
Tactic: simp only [t, mem_iUnion, mem_univ_pi]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ ⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ < ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
have h : (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
Tactic: apply Nat.floor_lt_ceil_of_lt_of_pos
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
h : (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
⊢ ⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ < ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
have h' : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
Tactic: apply Nat.floor_lt_ceil_of_lt_of_pos
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
have h : x i < (↑(b i) : ℝ)
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
i : ι
⊢ 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)
have h' : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
Tactic: refine mul_pos ?_ npos
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
⊢ ∃ (i : γ n),
    ∀ (i_1 : ι),
      x i_1 ∈
        Icc ((↑(a i_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
          ((↑(a i_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
have refine_1 : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ) ≤ x i
Tactic: refine ⟨f, fun i => ⟨?_, ?_⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
refine_1 : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ) ≤ x i
⊢ ∃ (i : γ n),
    ∀ (i_1 : ι),
      x i_1 ∈
        Icc ((↑(a i_1) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
          ((↑(a i_1) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(i i_1) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
have refine_2 : ∀ (i : ι), x i ≤ (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
Tactic: refine ⟨f, fun i => ⟨?_, ?_⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
have bc : (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) ≤ (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ) ≤ x i
have i₁ : (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) (↑n : ℝ) ≤
  (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
Tactic: calc
        (a i : ℝ) + ⌊(x i - a i) * n⌋₊ / n ≤ (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by
          gcongr
          exact Nat.floor_le (mul_nonneg (sub_nonneg.2 (hx i).1.le) npos.le)
        _ = x i := by field
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
i₁ :
  (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
⊢ (↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ) ≤ x i
have i₂ : (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) = x i
Tactic: calc
        (a i : ℝ) + ⌊(x i - a i) * n⌋₊ / n ≤ (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by
          gcongr
          exact Nat.floor_le (mul_nonneg (sub_nonneg.2 (hx i).1.le) npos.le)
        _ = x i := by field
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) ≤
    (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
have bc : (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
⊢ x i ≤ (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
have x₁ : x i = (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
Tactic: calc
        x i = (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by field
        _ ≤ (a i : ℝ) + (⌊(x i - a i) * n⌋₊ + 1) / n := by
          gcongr
          exact (Nat.lt_floor_add_one _).le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (goal)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
n : ℕ
hn : n ≥ 1
npos : LT.lt (α := ℝ) 0 (↑n : ℝ)
x : (i : ι) → ℝ
hx : ∀ (i : ι), (↑(a i) : ℝ) < x i ∧ x i < (↑(b i) : ℝ)
f : γ n := fun (i : ι) ↦ ⟨⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊, ⋯⟩
i : ι
x₁ : x i = (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ)
⊢ x i ≤ (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
have x₂ : (↑(a i) : ℝ) + (x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ) / (↑n : ℝ) ≤
  (↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑⌊(x i - (↑(a i) : ℝ)) * (↑n : ℝ)⌋₊ : ℝ) 1 / (↑n : ℝ)
Tactic: calc
        x i = (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by field
        _ ≤ (a i : ℝ) + (⌊(x i - a i) * n⌋₊ + 1) / n := by
          gcongr
          exact (Nat.lt_floor_add_one _).le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Measure.Hausdorff (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_4
inst : Fintype ι
a b : (i : ι) → ℚ
H : ∀ (i : ι), a i < b i
I : ∀ (i : ι), 0 ≤ HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ)
γ : (n : ℕ) → Type u_4 := fun (n : ℕ) ↦ (i : ι) → Fin ⌈HSub.hSub (α := ℝ) (↑(b i) : ℝ) (↑(a i) : ℝ) * (↑n : ℝ)⌉₊
t : (n : ℕ) → γ n → Set (ι → ℝ) :=
  fun (n : ℕ) (f : γ n) ↦
    Set.pi (α := fun (a : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦
      Icc ((↑(a i) : ℝ) + HDiv.hDiv (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) (↑n : ℝ))
        ((↑(a i) : ℝ) + HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑(↑(f i) : ℕ) : ℝ) 1 / (↑n : ℝ))
A : Tendsto (β := ℝ≥0∞) (fun (n : ℕ) ↦ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)) atTop (𝓝 0)
B : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : γ n), ediam (t n i) ≤ HDiv.hDiv (α := ℝ≥0∞) 1 (↑n : ℝ≥0∞)
⊢ LE.le (α := ℝ≥0∞)
    (((μH[(↑(Fintype.card ι) : ℝ)] : Measure (ι → ℝ)) : (a : Set ((i : ι) → ℝ)) → ℝ≥0∞)
        (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ)) :
      ℝ≥0∞)
    (∏ x : ι, (volume : (a : Set ℝ) → ℝ≥0∞) ((fun (i : ι) ↦ (Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ) : Set ℝ)) x) : ℝ≥0∞)
have C : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop,
  Subset.{u_4} (α := Set ((i : ι) → ℝ)) (Set.pi (α := fun (i : ι) ↦ ℝ) univ fun (i : ι) ↦ Ioo (↑(a i) : ℝ) (↑(b i) : ℝ))
    (⋃ (i : γ n), t n i)
Tactic: have C : ∀ᶠ n in atTop, (Set.pi univ fun i : ι => Ioo (a i : ℝ) (b i)) ⊆ ⋃ i : γ n, t n i := by
    refine eventually_atTop.2 ⟨1, fun n hn => ?_⟩
    have npos : (0 : ℝ) < n := Nat.cast_pos.2 hn
    intro x hx
    simp only [mem_Ioo, mem_univ_pi] at hx
    simp only [t, mem_iUnion, mem_univ_pi]
    let f : γ n := fun i =>
      ⟨⌊(x i - a i) * n⌋₊, by
        apply Nat.floor_lt_ceil_of_lt_of_pos
        · gcongr
          exact (hx i).right
        · refine mul_pos ?_ npos
          simpa only [Rat.cast_lt, sub_pos] using H i⟩
    refine ⟨f, fun i => ⟨?_, ?_⟩⟩
    · calc
        (a i : ℝ) + ⌊(x i - a i) * n⌋₊ / n ≤ (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by
          gcongr
          exact Nat.floor_le (mul_nonneg (sub_nonneg.2 (hx i).1.le) npos.le)
        _ = x i := by field
    · calc
        x i = (a i : ℝ) + (x i - a i) * n / n := by field
        _ ≤ (a i : ℝ) + (⌊(x i - a i) * n⌋₊ + 1) / n := by
          gcongr
          exact (Nat.lt_floor_add_one _).le