awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
⊢ ∀ᶠ (n : H) in 𝓝 x₀,
    AEStronglyMeasurable.{u_1, u_3} (β := E)
      (fun (a : α) ↦ ‖n - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F n a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (n - x₀) : E)) μ
have h : ∀ (a : H) (x_in : a ∈ ball x₀ ε),
  AEStronglyMeasurable.{u_1, u_3} (β := E)
    (fun (a_1 : α) ↦ ‖a - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F a a_1 - F x₀ a_1) ((F' a_1 : (a : H) → E) (a - x₀) : E)) μ
Tactic: filter_upwards [h_ball] with _ x_in
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
a : H
x_in : a ∈ ball x₀ ε
⊢ AEStronglyMeasurable.{u_1, u_3} (β := E)
    (fun (a_1 : α) ↦ ‖a - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F a a_1 - F x₀ a_1) ((F' a_1 : (a : H) → E) (a - x₀) : E)) μ
have h : AEStronglyMeasurable.{u_1, u_3} (β := E)
  (fun (a_1 : α) ↦ HSub.hSub (β := E) (F a a_1 - F x₀ a_1) ((F' a_1 : (a : H) → E) (a - x₀) : E)) μ
Tactic: apply AEStronglyMeasurable.const_smul
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
⊢ ∀ᶠ (n : H) in 𝓝 x₀,
    ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖‖n - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F n a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (n - x₀) : E)‖ ≤ b a + ‖F' a‖
have pos : ∀ (x : H) (hx : x ∈ ball x₀ ε),
  Membership.mem (γ := Set H)
    {x : H |
      (fun (n : H) ↦
          ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
            ‖‖n - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F n a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (n - x₀) : E)‖ ≤ b a + ‖F' a‖)
        x}
    x
Tactic: refine mem_of_superset h_ball fun x hx ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
⊢ Membership.mem (γ := Set H)
    {x : H |
      (fun (n : H) ↦
          ∀ᵐ (a : α) ∂μ,
            ‖‖n - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F n a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (n - x₀) : E)‖ ≤ b a + ‖F' a‖)
        x}
    x
have pos : ∀ (x_1 : α),
  (HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x x_1) (F' x_1) x₀ ∧
      ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x x_1 - F x₀ x_1‖ ≤ b x_1 * ‖x - x₀‖) →
    ‖‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x x_1 - F x₀ x_1) ((F' x_1 : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ ≤ b x_1 + ‖F' x_1‖
Tactic: apply (h_diff.and h_lipsch).mono
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
⊢ ∀ (x_1 : α),
    (HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x x_1) (F' x_1) x₀ ∧
        ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x x_1 - F x₀ x_1‖ ≤ b x_1 * ‖x - x₀‖) →
      ‖‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x x_1 - F x₀ x_1) ((F' x_1 : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ ≤ b x_1 + ‖F' x_1‖
have pos : ∀ (a : α) (ha_bound : ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖),
  ‖‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ ≤ b a + ‖F' a‖
Tactic: on_goal 1 => rintro a ⟨-, ha_bound⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ ‖‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ ≤ b a + ‖F' a‖
have ha_bound₁ : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
Tactic: replace ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖ := ha_bound x hx
Cleared hypotheses: ha_bound
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ ‖‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
    ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a) - HSMul.hSMul (β := E) ‖x - x₀‖⁻¹ ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖
have rw : ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a) - HSMul.hSMul (β := E) ‖x - x₀‖⁻¹ ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
  ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a) - HSMul.hSMul (β := E) ‖x - x₀‖⁻¹ ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖
Tactic: rw [smul_sub]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a)‖ + ‖HSMul.hSMul (β := E) ‖x - x₀‖⁻¹ ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
    ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖F x a - F x₀ a‖ + ‖x - x₀‖⁻¹ * norm.{u_3} (E := E) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)
have ht : 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
Tactic: rw [norm_smul_of_nonneg, norm_smul_of_nonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖F x a - F x₀ a‖ + ‖x - x₀‖⁻¹ * norm.{u_3} (E := E) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ≤
    ‖x - x₀‖⁻¹ * (b a * ‖x - x₀‖) + ‖x - x₀‖⁻¹ * (‖F' a‖ * ‖x - x₀‖)
have h₂ : norm.{u_3} (E := E) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ≤ ‖F' a‖ * ‖x - x₀‖
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ ‖‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ ≤ b a + ‖F' a‖
have pos : ‖x - x₀‖⁻¹ * (b a * ‖x - x₀‖) + ‖x - x₀‖⁻¹ * (‖F' a‖ * ‖x - x₀‖) ≤ b a + ‖F' a‖
Tactic: calc
      ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a - F' a (x - x₀))‖ =
          ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a) - ‖x - x₀‖⁻¹ • F' a (x - x₀)‖ := by rw [smul_sub]
      _ ≤ ‖‖x - x₀‖⁻¹ • (F x a - F x₀ a)‖ + ‖‖x - x₀‖⁻¹ • F' a (x - x₀)‖ := norm_sub_le _ _
      _ = ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖F x a - F x₀ a‖ + ‖x - x₀‖⁻¹ * ‖F' a (x - x₀)‖ := by
        rw [norm_smul_of_nonneg, norm_smul_of_nonneg] <;> exact nneg _
      _ ≤ ‖x - x₀‖⁻¹ * (b a * ‖x - x₀‖) + ‖x - x₀‖⁻¹ * (‖F' a‖ * ‖x - x₀‖) := by
        gcongr; exact (F' a).le_opNorm _
      _ ≤ b a + ‖F' a‖ := ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ ‖x - x₀‖⁻¹ * (b a * ‖x - x₀‖) + ‖x - x₀‖⁻¹ * (‖F' a‖ * ‖x - x₀‖) ≤ b a + ‖F' a‖
have pos : b a * ‖x - x₀‖ / ‖x - x₀‖ + ‖F' a‖ * ‖x - x₀‖ / ‖x - x₀‖ ≤ b a + ‖F' a‖
Tactic: simp only [← div_eq_inv_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
⊢ b a * ‖x - x₀‖ / ‖x - x₀‖ + ‖F' a‖ * ‖x - x₀‖ / ‖x - x₀‖ ≤ b a + ‖F' a‖
have pos : 0 ≤ ‖x - x₀‖
Tactic: apply_rules [add_le_add, div_le_of_le_mul₀]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.ParametricIntegral (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MeasurableSpace α
μ : Measure α
𝕜 : Type u_2
inst_1 : RCLike 𝕜
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace ℝ E
inst_4 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_4
inst_5 : NormedAddCommGroup H
inst_6 : NormedSpace 𝕜 H
F : H → α → E
x₀ : H
bound : α → ℝ
s : Set H
F' : α → H →L[𝕜] E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
hF_meas : ∀ x ∈ s, AEStronglyMeasurable (F x) μ
hF_int : Integrable (F x₀) μ
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' μ
bound_integrable : Integrable bound μ
h_diff : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, HasFDerivAt.{u_2, u_4, u_3} (𝕜 := 𝕜) (F := E) (fun (x : H) ↦ F x a) (F' a) x₀
ε : ℝ
ε_pos : ε > 0
hε : ball x₀ ε ⊆ s
x₀_in : x₀ ∈ ball x₀ ε
nneg : ∀ (x : H), 0 ≤ ‖x - x₀‖⁻¹
b : α → ℝ := fun (a : α) ↦ |bound a|
b_int : Integrable b μ
b_nonneg : ∀ (a : α), 0 ≤ b a
h_lipsch : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ∀ x ∈ ball x₀ ε, ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
hF_int' : ∀ x ∈ ball x₀ ε, Integrable (F x) μ
hF'_int : Integrable F' μ
hE : CompleteSpace E
h_ball : ball x₀ ε ∈ 𝓝 x₀
this :
  ∀ᶠ (x : H) in 𝓝 x₀,
    ‖x - x₀‖⁻¹ *
        ‖HSub.hSub (β := E) (HSub.hSub (α := E) (∫ (a : α), F x a ∂μ) (∫ (a : α), F x₀ a ∂μ))
            ((∫ (a : α), F' a ∂μ : (a : H) → E) (x - x₀) : E)‖ =
      norm.{u_3} (E := E)
        (∫ (a : α), ‖x - x₀‖⁻¹ • HSub.hSub (β := E) (F x a - F x₀ a) ((F' a : (a : H) → E) (x - x₀) : E) ∂μ)
x : H
hx : x ∈ ball x₀ ε
a : α
ha_bound : ‖F x a - F x₀ a‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
pos : 0 ≤ ‖x - x₀‖
⊢ b a * ‖x - x₀‖ / ‖x - x₀‖ + ‖F' a‖ * ‖x - x₀‖ / ‖x - x₀‖ ≤ b a + ‖F' a‖
have pos₁ : b a * ‖x - x₀‖ ≤ b a * ‖x - x₀‖
Tactic: apply_rules [add_le_add, div_le_of_le_mul₀]