awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Equalizers (goal)
Goal:
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
s : Fork g h
m :
  s.pt ⟶
    Cone.pt (F := parallelPair g h)
      (Fork.ofι
        (↾Subtype.val (p := fun (x : Y) ↦
            Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
              ((hom (FC := TypeCat.Fun) g : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
                (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
              ((hom (FC := TypeCat.Fun) h : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
                (fun (X : Type u) ↦ X) Z)))
        ⋯)
hm :
  m ≫
      Fork.ι
        (Fork.ofι
          (↾Subtype.val (p := fun (x : Y) ↦
              Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
                ((hom (FC := TypeCat.Fun) g : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
                  (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
                ((hom (FC := TypeCat.Fun) h : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
                  (fun (X : Type u) ↦ X) Z)))
          ⋯) =
    s.ι
⊢ m =
    ↾fun (i : s.pt) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x : Y) ↦
        Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
          ((hom (FC := TypeCat.Fun) g : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
            (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
          ((hom (FC := TypeCat.Fun) h : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
            (fun (X : Type u) ↦ X) Z))
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) s.ι : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) s.pt) → (fun (X : Type u) ↦ X) Y) i) ⋯
have h₁ : ∀ (x : s.pt),
  (hom (FC := TypeCat.Fun) m).toFun x =
    TypeCat.Fun.toFun
      (hom (FC := TypeCat.Fun)
        (↾fun (i : s.pt) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : Y) ↦
            Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
              ((hom (FC := TypeCat.Fun) g : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
                (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
              ((hom (FC := TypeCat.Fun) h : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) x :
                (fun (X : Type u) ↦ X) Z))
            ((hom (FC := TypeCat.Fun) s.ι : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) s.pt) → (fun (X : Type u) ↦ X) Y) i) sorry))
      x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
x y : (j : J) × F.obj j
h_1 : F.ColimitTypeRel x y
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
h :
  y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
    (hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
have rw : y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
  (hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
      (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
    (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
Tactic: rw [← h, Functor.map_id, id_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
x y : (j : J) × F.obj j
h_1 : F.ColimitTypeRel x y
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
h :
  y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
    (hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
rw :
  y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
    (hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
have rw₁ : y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
  (hom (FC := TypeCat.Fun) (𝟙 (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
      (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
    (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
Tactic: rw [← h, Functor.map_id, id_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
x y : (j : J) × F.obj j
h_1 : F.ColimitTypeRel x y
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
h :
  y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
    (hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
rw :
  y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
    (hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
rw₁ :
  y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) =
    (hom (FC := TypeCat.Fun) (𝟙 (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)))) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj (y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
have rw₂ : y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) = y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)
Tactic: rw [← h, Functor.map_id, id_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
x y : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
have refine_1 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x
  (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
Tactic: refine Relation.EqvGen.trans _ ⟨k, F.map f x.2⟩ _ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
x y : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
refine_1 :
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
      ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel x y
have refine_2 : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel
  (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) k
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
      (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j))))
  y
Tactic: refine Relation.EqvGen.trans _ ⟨k, F.map f x.2⟩ _ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
x y z : (j : J) × F.obj j
h_1 : FilteredColimit.Rel F x y
h_2 : FilteredColimit.Rel F y z
k : J
f : x.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
g : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k
h :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj x.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (x.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k))
k' : J
f' : y.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
g' : z.fst (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) ⟶ k'
h' :
  Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g') :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj z.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
        (z.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj k'))
l : J
fl : k ⟶ l
gl : k' ⟶ l
h_3 : True
m : J
n : l ⟶ m
hn : (g ≫ fl) ≫ n = (f' ≫ gl) ≫ n
⊢ Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((g ≫ fl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
    ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
        (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
have rw : Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
  ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
    (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
  ((hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ((f' ≫ gl) ≫ n)) :
        (a : (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj y.fst)) → (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
      (y.snd (β := fun (j : J) ↦ F.obj j)) :
    (fun (X : Type u) ↦ X) (F.obj m))
Tactic: rw [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
⊢ FilteredColimit.Rel F = Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel
have h : ∀ (j : J) (x : F.obj j) (j' : J) (y : F.obj j'),
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
Tactic: ext ⟨j, x⟩ ⟨j', y⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
⊢ FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
have h : FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
  Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
h :
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
⊢ FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) ↔
    Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
have h₁ : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
j : J
x : F.obj j
j' : J
y : F.obj j'
⊢ Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
have h : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y) →
  Relation.EqvGen (FilteredColimit.Rel F) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j x)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j' y)
Tactic: rw [← (FilteredColimit.rel_equiv F).eqvGen_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
inst_2 : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
⊢ Eq.{u + 1} (α := Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType i xi) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
have rw : Eq (α := F.ColimitType)
    ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
        ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType i xi)) :
      F.ColimitType)
    ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
        ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj)) :
      F.ColimitType) ↔
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
Tactic: rw [← (equivShrink _).symm.injective.eq_iff, Equiv.symm_apply_apply, Equiv.symm_apply_apply,
    Functor.ιColimitType_eq_iff, FilteredColimit.rel_eq_eqvGen_colimitTypeRel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
inst_2 : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
rw :
  Eq (α := F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType i xi)) :
        F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType j xj)) :
        F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
⊢ Eq.{u + 1} (α := Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType i xi) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
have rw₁ : F.ιColimitType i xi =
    (Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj)) ↔
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
Tactic: rw [← (equivShrink _).symm.injective.eq_iff, Equiv.symm_apply_apply, Equiv.symm_apply_apply,
    Functor.ιColimitType_eq_iff, FilteredColimit.rel_eq_eqvGen_colimitTypeRel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
inst_2 : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
rw :
  Eq (α := F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType i xi)) :
        F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType j xj)) :
        F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₁ :
  F.ιColimitType i xi =
      (Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
        ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj)) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
⊢ Eq.{u + 1} (α := Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType i xi) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
have rw₂ : F.ιColimitType i xi = F.ιColimitType j xj ↔
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
Tactic: rw [← (equivShrink _).symm.injective.eq_iff, Equiv.symm_apply_apply, Equiv.symm_apply_apply,
    Functor.ιColimitType_eq_iff, FilteredColimit.rel_eq_eqvGen_colimitTypeRel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Filtered (goal)
Goal:
J : Type v
inst : Category.{w, v} J
F : Functor.{w, u, v, u + 1} J (Type u)
inst_1 : IsFilteredOrEmpty.{w, v} J
inst_2 : HasColimit F
i j : J
xi : F.obj i
xj : F.obj j
rw :
  Eq (α := F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType i xi)) :
        F.ColimitType)
      ((Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
          ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
            (F.ιColimitType j xj)) :
        F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₁ :
  F.ιColimitType i xi =
      (Equiv.symm (equivShrink F.ColimitType) : (a : Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) → F.ColimitType)
        ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj)) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
rw₂ :
  F.ιColimitType i xi = F.ιColimitType j xj ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
⊢ Eq.{u + 1} (α := Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType i xi) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType)
      ((equivShrink F.ColimitType : (a : F.ColimitType) → Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) (F.ιColimitType j xj) :
        Shrink.{u, max u v} F.ColimitType) ↔
    FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
have rw₃ : Relation.EqvGen F.ColimitTypeRel (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi)
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj) ↔
  FilteredColimit.Rel F (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) i xi) (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ F.obj j) j xj)
Tactic: rw [← (equivShrink _).symm.injective.eq_iff, Equiv.symm_apply_apply, Equiv.symm_apply_apply,
    Functor.ιColimitType_eq_iff, FilteredColimit.rel_eq_eqvGen_colimitTypeRel]