awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := R)
    (∑ x ∈ Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a},
      A i (x.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((x.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k))
    (∑ x ∈ Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a},
      A i (x.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((x.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k))
have refine_1 : ∀ (a : (_ : n) × Perm n)
  (ha :
    Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
      (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a}) a),
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a})
    ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
          (x :
            Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
              (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
              p) ↦
        f p)
      a ha)
Tactic: refine sum_bij' (fun p _ ↦ f p) (fun p _ ↦ f p) ?_ ?_ hf hf ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
refine_1 :
  ∀ (a : (_ : n) × Perm n)
    (ha :
      Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
        (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a}) a),
    Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
      (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a})
      ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
            (x :
              Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                p) ↦
          f p)
        a ha)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := R)
    (∑ x ∈ Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a},
      A i (x.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((x.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k))
    (∑ x ∈ Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a},
      A i (x.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)) * ∏ k ∈ {j}ᶜ, A k ((x.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) : (a : n) → n) k))
have refine_2 : ∀ (a : (_ : n) × Perm n)
  (ha :
    Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
      (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a}) a),
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
          (x :
            Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
              (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign (-1) | (x : (a : n) → n) j = a})
              p) ↦
        f p)
      a ha)
Tactic: refine sum_bij' (fun p _ ↦ f p) (fun p _ ↦ f p) ?_ ?_ hf hf ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (hypothesis)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
⊢ A i (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n)
            k) =
    A i
        (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
          ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                (x :
                  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                      {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                    p) ↦
              f p)
            (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
                  ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                        (x :
                          Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                            (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                              {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                            p) ↦
                      f p)
                    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp) :
                Perm n) :
              (a : n) → n)
            k)
have hp₁ : Membership.mem (γ := Finset n) univ (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
  Eq (α := ℤˣ)
      (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
          (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
        ℤˣ)
      (1 : ℤˣ) ∧
    ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
      Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
Tactic: rw [mem_sigma, mem_filter, mem_ofSign] at hp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
⊢ Eq (α := Finset n) {j}ᶜ (disjUnion {i} {i, j}ᶜ ⋯)
have rw : Membership.mem (γ := Finset n) {j}ᶜ i
Tactic: rw [singleton_disjUnion, cons_eq_insert, compl_insert, insert_erase]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
⊢ Membership.mem (γ := Finset n) {j}ᶜ i
have rwa : i ∉ {j}
Tactic: rwa [mem_compl, mem_singleton]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
rwa : i ∉ {j}
⊢ Membership.mem (γ := Finset n) {j}ᶜ i
have rwa₁ : ¬i = j
Tactic: rwa [mem_compl, mem_singleton]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (hypothesis)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
⊢ A i (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n)
            k) =
    A i
        (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
          ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                (x :
                  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                      {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                    p) ↦
              f p)
            (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp_1)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
                  ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                        (x :
                          Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                            (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                              {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                            p) ↦
                      f p)
                    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp_1) :
                Perm n) :
              (a : n) → n)
            k)
have key : Eq (α := Finset n) {j}ᶜ (disjUnion {i} {i, j}ᶜ sorry)
Tactic: have key : ({j}ᶜ : Finset n) = disjUnion ({i} : Finset n) ({i, j} : Finset n)ᶜ (by simp) := by
      rw [singleton_disjUnion, cons_eq_insert, compl_insert, insert_erase]
      rwa [mem_compl, mem_singleton]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
key : Eq (α := Finset n) {j}ᶜ (disjUnion {i} {i, j}ᶜ ⋯)
⊢ A i (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n)
            k) =
    A i
        (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
          ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                (x :
                  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                      {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                    p) ↦
              f p)
            (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp_1)) *
      ∏ k ∈ {j}ᶜ,
        A k
          (((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n)
                  ((fun (p : (_ : n) × Perm n)
                        (x :
                          Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
                            (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦
                              {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
                            p) ↦
                      f p)
                    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) hp_1) :
                Perm n) :
              (a : n) → n)
            k)
have refine_3 : A i x * A i ((σ : (a : n) → n) i) * ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) x) =
  A i ((σ : (a : n) → n) i) * A i ((σ : (a : n) → n) j) *
    ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) ((swap i j : (a : n) → n) x : n))
Tactic: simp_rw [key, prod_disjUnion, prod_singleton, f, Perm.mul_apply, swap_apply_left, ← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
key : Eq (α := Finset n) {j}ᶜ (disjUnion {i} {i, j}ᶜ ⋯)
⊢ A i x * A i ((σ : (a : n) → n) i) * ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) x) =
    A i ((σ : (a : n) → n) i) * A i ((σ : (a : n) → n) j) *
      ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) ((swap i j : (a : n) → n) x : n))
have refine_3 : A i ((σ : (a : n) → n) i) * A i x * ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) x) =
  A i ((σ : (a : n) → n) i) * A i (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) *
    ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) ((swap i j : (a : n) → n) x : n))
Tactic: rw [mul_comm (A i x) (A i (σ i)), hp.2.2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (goal)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)
key : Eq (α := Finset n) {j}ᶜ (disjUnion {i} {i, j}ᶜ ⋯)
⊢ A i ((σ : (a : n) → n) i) * A i x * ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) x) =
    A i ((σ : (a : n) → n) i) * A i (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x σ)) *
      ∏ x ∈ {i, j}ᶜ, A x ((σ : (a : n) → n) ((swap i j : (a : n) → n) x : n))
have refine_3 : ∀ (x : n) (hx : Membership.mem (γ := Finset n) {i, j}ᶜ x),
  A x ((σ : (a : n) → n) x) = A x ((σ : (a : n) → n) ((swap i j : (a : n) → n) x : n))
Tactic: refine congr_arg _ (prod_congr rfl fun x hx ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Matrix.SemiringInverse (hypothesis)
Goal:
n : Type u_1
R : Type u_3
inst : Fintype n
inst_1 : DecidableEq n
inst_2 : CommSemiring R
A : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j
f : (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n :=
  fun (x : (_ : n) × Perm n) ↦
    match (motive := (_ : n) × Perm n → (_ : n) × Perm n) x with
    | ⟨x, σ⟩ => Sigma.mk (β := fun (x : n) ↦ Perm n) ((σ : (a : n) → n) i) (σ * swap i j)
t : (s : ℤˣ) → Finset ((_ : n) × Perm n) :=
  fun (s : ℤˣ) ↦ Finset.sigma (α := fun (x : n) ↦ Perm n) univ fun (x : n) ↦ {σ ∈ ofSign s | (σ : (a : n) → n) j = x}
hf : ∀ {s : ℤˣ}, ∀ p ∈ t s, f (f p) = p
x_1 : n
σ : Perm n
hp_1 :
  Membership.mem (γ := Finset ((_ : n) × Perm n))
    (Finset.sigma (α := fun (a : n) ↦ Perm n) univ fun (a : n) ↦ {x ∈ ofSign 1 | (x : (a : n) → n) j = a})
    (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x_1 σ)
hp :
  Membership.mem (γ := Finset n) univ
      (Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x_1 σ)) ∧
    Eq (α := ℤˣ)
        (((sign : Perm n →* ℤˣ) : (a : Perm n) → ℤˣ)
            (Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x_1 σ)) :
          ℤˣ)
        (1 : ℤˣ) ∧
      ((Sigma.snd (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x_1 σ) : Perm n) : (a : n) → n) j =
        Sigma.fst (β := fun (i : n) ↦ Perm n) (Sigma.mk (β := fun (i : n) ↦ Perm n) x_1 σ)
key : Eq (α := Finset n) {j}ᶜ (disjUnion {i} {i, j}ᶜ ⋯)
x : n
hx : Membership.mem (γ := Finset n) {i, j}ᶜ x
⊢ A x ((σ : (a : n) → n) x) = A x ((σ : (a : n) → n) ((swap i j : (a : n) → n) x : n))
have hx₁ : ¬x = i ∧ ¬x = j
Tactic: rw [mem_compl, mem_insert, mem_singleton, not_or] at hx
Cleared hypotheses: hx