awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
⊢ Hom.c (X.ofRestrict ⋯) = eqToHom ⋯
have w : ∀ (U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)),
  Eq (α :=
    X.presheaf.obj (op U) ⟶
      (obj (Presheaf.pushforward C (Hom.base (X.ofRestrict sorry)))
            (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                sorry).presheaf).obj
        (op U))
    (NatTrans.app (Hom.c (X.ofRestrict sorry)) (op U)) (NatTrans.app (eqToHom sorry) (op U))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)
⊢ Eq (α :=
    X.presheaf.obj (op U) ⟶
      (obj (Presheaf.pushforward C (Hom.base (X.ofRestrict ⋯)))
            (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                ⋯).presheaf).obj
        (op U))
    (NatTrans.app (Hom.c (X.ofRestrict ⋯)) (op U)) (NatTrans.app (eqToHom ⋯) (op U))
have w : Eq (α :=
  X.presheaf.obj (op U) ⟶
    X.presheaf.obj
      (op
        (obj (C := Opens (↑(obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) : Type u_2))
          (IsOpenEmbedding.functor sorry) (obj (Opens.map (Opens.inclusion' ⊤)) U))))
  (X.presheaf.map (Quiver.Hom.op (NatTrans.app (Adjunction.counit (IsOpenMap.adjunction sorry)) U)) :
    X.presheaf.obj (op U) ⟶
      X.presheaf.obj
        (op
          (obj (C :=
            Opens (↑(obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) : Type u_2))
            (IsOpenEmbedding.functor sorry) (obj (Opens.map (Opens.inclusion' ⊤)) U))))
  (NatTrans.app (eqToHom sorry) (op U) :
    X.presheaf.obj (op U) ⟶
      (obj (C :=
            Presheaf.{u_2, v_1, u_1} C (obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤))
            (Presheaf.pushforward C (Opens.inclusion' ⊤)) (Functor.op (IsOpenEmbedding.functor sorry) ⋙ X.presheaf)).obj
        (op U))
Tactic: dsimp [ofRestrict]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)
⊢ Eq (α :=
    X.presheaf.obj (op U) ⟶
      X.presheaf.obj
        (op
          (obj (C :=
            Opens (↑(obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) : Type u_2))
            (IsOpenEmbedding.functor ⋯) (obj (Opens.map (Opens.inclusion' ⊤)) U))))
    (X.presheaf.map (Quiver.Hom.op (NatTrans.app (Adjunction.counit (IsOpenMap.adjunction ⋯)) U)) :
      X.presheaf.obj (op U) ⟶
        X.presheaf.obj
          (op
            (obj (C :=
              Opens (↑(obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) : Type u_2))
              (IsOpenEmbedding.functor ⋯) (obj (Opens.map (Opens.inclusion' ⊤)) U))))
    (NatTrans.app (eqToHom ⋯) (op U) :
      X.presheaf.obj (op U) ⟶
        (obj (C :=
              Presheaf.{u_2, v_1, u_1} C
                (obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤))
              (Presheaf.pushforward C (Opens.inclusion' ⊤)) (Functor.op (IsOpenEmbedding.functor ⋯) ⋙ X.presheaf)).obj
          (op U))
have w : op U =
  op
    (obj (C := Opens (↑(obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) : Type u_2))
      (IsOpenEmbedding.functor sorry) (obj (Opens.map (Opens.inclusion' ⊤)) U))
Tactic: erw [eqToHom_map, eqToHom_app]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
U :
  Opens
    (↑(↑(X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) ⋯) : TopCat) :
      Type u_2)
⊢ Eq (α :=
    (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) ⋯).presheaf.obj
        (op U) ⟶
      ((Opens.map
                (Hom.base
                  (𝟙
                    (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                      ⋯)))).op ⋙
            (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                ⋯).presheaf).obj
        (op U))
    ((CategoryStruct.comp (Y :=
          obj (Presheaf.pushforward C (Hom.base (X.ofRestrict ⋯ ≫ X.toRestrictTop)))
            (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                ⋯).presheaf)
          (Hom.c (X.ofRestrict ⋯ ≫ X.toRestrictTop))
          (whiskerRight (eqToHom ⋯)
            (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                ⋯).presheaf)).app
      (op U))
    ((Hom.c (𝟙 (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) ⋯))).app
      (op U))
have h : Eq (α :=
  (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) sorry).presheaf.obj
      (op U) ⟶
    ((Opens.map
              (Hom.base
                (𝟙
                  (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
                    sorry)))).op ⋙
          (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤)
              sorry).presheaf).obj
      (op U))
  (NatTrans.app
    (𝟙 (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) sorry).presheaf)
    (op U))
  ((Hom.c (𝟙 (X.restrict (U := obj (C := Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) (Opens.toTopCat (↑X : TopCat)) ⊤) sorry))).app
    (op U))
Tactic: erw [comp_c, toRestrictTop_c, whiskerRight_id',
        comp_id, ofRestrict_top_c, eqToHom_map, eqToHom_trans, eqToHom_refl]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
⊢ X.toRestrictTop ≫ X.ofRestrict ⋯ = 𝟙 X
have w : ∀ (x : (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)),
  Eq (α := (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_2}) ↦ C((↑X : Type u_2), (↑Y : Type u_2))) (CC := TopCat.carrier)
            (X.toRestrictTop ≫ X.ofRestrict sorry).base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) → (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
        x :
      (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_2}) ↦ C((↑X : Type u_2), (↑Y : Type u_2))) (CC := TopCat.carrier)
            (Hom.base (𝟙 X)) :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) → (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
        x :
      (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
w :
  ∀ (x : (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)),
    Eq (α := (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_2}) ↦ C((↑X : Type u_2), (↑Y : Type u_2))) (CC :=
              TopCat.carrier) (X.toRestrictTop ≫ X.ofRestrict ⋯).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) → (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
          x :
        (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_2}) ↦ C((↑X : Type u_2), (↑Y : Type u_2))) (CC :=
              TopCat.carrier) (Hom.base (𝟙 X)) :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)) → (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
          x :
        (↑(↑X : TopCat) : Type u_2))
⊢ X.toRestrictTop ≫ X.ofRestrict ⋯ = 𝟙 X
have h : ∀ (U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)),
  Eq (α := X.presheaf.obj (op U) ⟶ ((Opens.map (Hom.base (𝟙 X))).op ⋙ X.presheaf).obj (op U))
    (NatTrans.app ((X.toRestrictTop ≫ X.ofRestrict sorry).c ≫ whiskerRight (eqToHom sorry) X.presheaf) (op U))
    ((Hom.c (𝟙 X)).app (op U))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_2} C
U : Opens (↑(↑X : TopCat) : Type u_2)
⊢ Eq (α := X.presheaf.obj (op U) ⟶ ((Opens.map (Hom.base (𝟙 X))).op ⋙ X.presheaf).obj (op U))
    (NatTrans.app ((X.toRestrictTop ≫ X.ofRestrict ⋯).c ≫ whiskerRight (eqToHom ⋯) X.presheaf) (op U))
    ((Hom.c (𝟙 X)).app (op U))
have h : Eq (α := X.presheaf.obj (op U) ⟶ ((Opens.map (Hom.base (𝟙 X))).op ⋙ X.presheaf).obj (op U))
  (NatTrans.app (𝟙 X.presheaf) (op U)) ((Hom.c (𝟙 X)).app (op U))
Tactic: erw [comp_c, ofRestrict_top_c, toRestrictTop_c, eqToHom_map, whiskerRight_id', comp_id,
        eqToHom_trans, eqToHom_refl]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst_1 : Category.{v_2, u_2} D
F : Functor.{v_1, v_2, u_1, u_2} C D
X : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_3} C
⊢ { base := Hom.base (𝟙 X), c := whiskerRight (Hom.c (𝟙 X)) F :
      { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D }.Hom
        { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } } =
    𝟙 { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F }
have w : ∀
  (x :
    (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
      Type u_3)),
  Eq (α :=
    (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
      Type u_3))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_3}) ↦ C((↑X : Type u_3), (↑Y : Type u_3))) (CC := TopCat.carrier)
            { base := Hom.base (𝟙 X), c := whiskerRight (Hom.c (𝟙 X)) F :
                { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D }.Hom
                  { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } }.base :
          (a : (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3)) →
            (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3))
        x :
      (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
        Type u_3))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_3}) ↦ C((↑X : Type u_3), (↑Y : Type u_3))) (CC := TopCat.carrier)
            (Hom.base
              (𝟙 { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D })) :
          (a : (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3)) →
            (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3))
        x :
      (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
        Type u_3))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.PresheafedSpace (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : Category.{v_1, u_1} C
D : Type u_2
inst_1 : Category.{v_2, u_2} D
F : Functor.{v_1, v_2, u_1, u_2} C D
X Y Z : PresheafedSpace.{v_1, u_1, u_3} C
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
⊢ { base := (f ≫ g).base, c := whiskerRight (f ≫ g).c F :
      { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D }.Hom
        { carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } } =
    { base := f.base, c := whiskerRight f.c F :
        { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D }.Hom
          { carrier := (↑Y : TopCat), presheaf := Y.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } } ≫
      { base := g.base, c := whiskerRight g.c F }
have w : ∀
  (x :
    (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
      Type u_3)),
  Eq (α :=
    (↑(↑{ carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
      Type u_3))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_3}) ↦ C((↑X : Type u_3), (↑Y : Type u_3))) (CC := TopCat.carrier)
            { base := (f ≫ g).base, c := whiskerRight (f ≫ g).c F :
                { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D }.Hom
                  { carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } }.base :
          (a : (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3)) →
            (↑(↑{ carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3))
        x :
      (↑(↑{ carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
        Type u_3))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u_3}) ↦ C((↑X : Type u_3), (↑Y : Type u_3))) (CC := TopCat.carrier)
            (X :=
            (↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat))
            (Y :=
            (↑{ carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat))
            (Hom.base
              ({ base := f.base, c := whiskerRight f.c F :
                  { carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D }.Hom
                    { carrier := (↑Y : TopCat), presheaf := Y.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } } ≫
                { base := g.base, c := whiskerRight g.c F })) :
          (a : (↑(↑{ carrier := (↑X : TopCat), presheaf := X.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3)) →
            (↑(↑{ carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F } : TopCat) : Type u_3))
        x :
      (↑(↑{ carrier := (↑Z : TopCat), presheaf := Z.presheaf ⋙ F : PresheafedSpace.{v_2, u_2, u_3} D } : TopCat) :
        Type u_3))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
hx :
  Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
⊢ Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hx ≫
      Hom.stalkMap α x)
    (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
have rw : Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
  (Y.presheaf.germ U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x)
      hx ≫
    map
        (stalkFunctor C
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x))
        α.c ≫
      stalkPushforward C α.base X.presheaf x)
  (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
Tactic: rw [Hom.stalkMap, stalkFunctor_map_germ_assoc, stalkPushforward_germ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
hx :
  Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
rw :
  Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hx ≫
      map
          (stalkFunctor C
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x))
          α.c ≫
        stalkPushforward C α.base X.presheaf x)
    (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
⊢ Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hx ≫
      Hom.stalkMap α x)
    (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
have rw₁ : Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
  (α.c.app (op U) ≫
    (obj (pushforward C α.base) X.presheaf).germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hx ≫
      stalkPushforward C α.base X.presheaf x)
  (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
Tactic: rw [Hom.stalkMap, stalkFunctor_map_germ_assoc, stalkPushforward_germ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
U : Opens (↑(↑Y : TopCat) : Type v)
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
hx :
  Membership.mem (α := (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x :
      (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
rw :
  Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hx ≫
      map
          (stalkFunctor C
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x))
          α.c ≫
        stalkPushforward C α.base X.presheaf x)
    (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
rw₁ :
  Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (α.c.app (op U) ≫
      (obj (pushforward C α.base) X.presheaf).germ U
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)
          hx ≫
        stalkPushforward C α.base X.presheaf x)
    (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
⊢ Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (Y.presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)
        hx ≫
      Hom.stalkMap α x)
    (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
have rw₂ : Eq (α := Y.presheaf.obj (op U) ⟶ X.presheaf.stalk x) (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
  (α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ ((Opens.map α.base).obj U) x hx)
Tactic: rw [Hom.stalkMap, stalkFunctor_map_germ_assoc, stalkPushforward_germ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
V : Opens (↑U : Type v)
x : (↑U : Type v)
hx : x ∈ V
⊢ Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (X.presheaf.germ (h.functor.obj V)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              f :
            (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x)
        ⋯ ≫
      Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
have rw : Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
  (((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x)) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
  ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
Tactic: rw [← restrictStalkIso_hom_eq_germ, Category.assoc, Iso.hom_inv_id, Category.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
U : TopCat
X : PresheafedSpace.{v, u, v} C
f : U ⟶ (↑X : TopCat)
h :
  IsOpenEmbedding (X := (↑U : Type v)) (Y := (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier) f) :
      (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
V : Opens (↑U : Type v)
x : (↑U : Type v)
hx : x ∈ V
rw :
  Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x)) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
hx₁ : x ∈ V
⊢ Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
    (X.presheaf.germ (h.functor.obj V)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              f :
            (a : (↑U : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x)
        ⋯ ≫
      Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
    ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
have rw₁ : Eq (α := X.presheaf.obj (op (h.functor.obj V)) ⟶ (X.restrict h).presheaf.stalk x)
  ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx ≫ Iso.hom (X.restrictStalkIso h x) ≫ Iso.inv (X.restrictStalkIso h x))
  ((X.restrict h).presheaf.germ V x hx)
Tactic: rw [← restrictStalkIso_hom_eq_germ, Category.assoc, Iso.hom_inv_id, Category.comp_id]