-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.Lifting (goal)
Goal:
E : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : TopologicalSpace X
p : E → X
cov : IsCoveringMap p
γ : C((↑I : Type), X)
e : E
γ_0 : (γ : (a : (↑I : Type)) → X) 0 = p e
U : (x : X) → Set X :=
  fun (x : X) ↦
    ⋯.choose (p := fun (U : Set X) ↦
      x ∈ U ∧
        IsOpen[inst_1] U ∧
          IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
            ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
              ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                  p (↑x_1 : E))
⊢ ∃ (Γ : C((↑I : Type), E)),
    Eq (α := (↑I : Type) → X) (p ∘ (⇑Γ : (a : (↑I : Type)) → E)) (⇑γ : (a : (↑I : Type)) → X) ∧
      (Γ : (a : (↑I : Type)) → E) 0 = e
have choose : ∀
  (mem_base :
    ∀ (x : X),
      x ∈
        sorry.choose (p := fun (U : Set X) ↦
          x ∈ U ∧
            IsOpen[inst_1] U ∧
              IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                  ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                    (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                      p (↑x_1 : E)))
  (U_open :
    ∀ (x : X),
      IsOpen[inst_1]
        (sorry.choose (p := fun (U : Set X) ↦
          x ∈ U ∧
            IsOpen[inst_1] U ∧
              IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                  ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                    (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                      p (↑x_1 : E)))),
  (∀ (x : X),
      IsOpen[inst]
        (p ⁻¹'
          sorry.choose (p := fun (U : Set X) ↦
            x ∈ U ∧
              IsOpen[inst_1] U ∧
                IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                  ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                    ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                      (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 : X) =
                        p (↑x_1 : E)))) →
    ∀
      (H :
        (x : X) →
          (↑(p ⁻¹'
                  sorry.choose (p := fun (U : Set X) ↦
                    x ∈ U ∧
                      IsOpen[inst_1] U ∧
                        IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                          ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                            ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                              (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                                        x_1).1 :
                                  X) =
                                p (↑x_1 : E))) :
              Type u_1) ≃ₜ
            Prod.{u_2, u_1}
              (↑(sorry.choose (p := fun (U : Set X) ↦
                    x ∈ U ∧
                      IsOpen[inst_1] U ∧
                        IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                          ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                            ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                              (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                                        x_1).1 :
                                  X) =
                                p (↑x_1 : E))) :
                Type u_2)
              (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
      (∀ (x : X)
          (x_1 :
            (↑(p ⁻¹'
                  sorry.choose (p := fun (U : Set X) ↦
                    x ∈ U ∧
                      IsOpen[inst_1] U ∧
                        IsOpen[inst] (p ⁻¹' U) ∧
                          ∃ (H : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1) ≃ₜ Prod.{u_2, u_1} (↑U : Type u_2) (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)),
                            ∀ (x_1 : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)),
                              (↑((H : (a : (↑(p ⁻¹' U) : Type u_1)) → (↑U : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1))
                                        x_1).1 :
                                  X) =
                                p (↑x_1 : E))) :
              Type u_1)),
          (↑((H x : (a : (↑(p ⁻¹' sorry.choose) : Type u_1)) → (↑sorry.choose : Type u_2) × (↑(p ⁻¹' {x}) : Type u_1)) x_1).1 :
              X) =
            p (↑x_1 : E)) →
        ∃ (Γ : C((↑I : Type), E)),
          Eq (α := (↑I : Type) → X) (p ∘ (⇑Γ : (a : (↑I : Type)) → E)) (⇑γ : (a : (↑I : Type)) → X) ∧
            (Γ : (a : (↑I : Type)) → E) 0 = e
Tactic: choose mem_base U_open _ H _ using fun x ↦ (cov x).2.choose_spec