-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y Z : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
β : Y ⟶ Z
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
⊢ Eq (α :=
    Z.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
          x) ⟶
      X.presheaf.stalk x)
    (Hom.stalkMap (α ≫ β) x)
    (Hom.stalkMap β
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ≫
      Hom.stalkMap α x)
have dsimp : Eq (α :=
  Z.presheaf.stalk
      ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
        ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
          (↑(↑Y : TopCat) : Type v))) ⟶
    X.presheaf.stalk x)
  (CategoryStruct.comp (Y :=
    colimit (J :=
      (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
          ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
            ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
              (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
      (Functor.op
          (OpenNhds.inclusion
            ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
        obj (pushforward C (α.base ≫ β.base)) X.presheaf))
    (colimMap
      (whiskerLeft
        (Functor.op
          (OpenNhds.inclusion
            ((TopCat.Hom.hom β.base : (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((TopCat.Hom.hom α.base : (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
        (α ≫ β).c))
    (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
      (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
      (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map (α.base ≫ β.base) x).op)))
  (CategoryStruct.comp (Y :=
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) β.base :
                (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x :
                (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
        (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) β.base :
                  (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))) ⋙
          obj (pushforward C β.base) Y.presheaf))
      (colimMap
        (whiskerLeft
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) β.base :
                  (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v)))))
          β.c))
      (CategoryStruct.comp (Y :=
        colimit (J :=
          (OpenNhds (X := (↑Z : TopCat))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) β.base :
                  (a : (↑(↑Y : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Z : TopCat) : Type v))
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x :
                  (↑(↑Y : TopCat) : Type v))))ᵒᵖ)
          (Functor.op
              (OpenNhds.map β.base
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x)) ⋙
            Functor.op
                (OpenNhds.inclusion
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                        TopCat.carrier) α.base :
                      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                    x)) ⋙
              Y.presheaf))
        (colimMap
          (whiskerRight
            (𝟙
              (Functor.op
                (OpenNhds.map β.base
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x) ⋙
                  OpenNhds.inclusion
                    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                          TopCat.carrier) α.base :
                        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                      x))))
            Y.presheaf))
        (colimit.pre
          (Functor.op
              (OpenNhds.inclusion
                ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                      TopCat.carrier) α.base :
                    (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                  x)) ⋙
            Y.presheaf)
          (Functor.op
            (OpenNhds.map β.base
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) α.base :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                x))))))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      colimit (J :=
        (OpenNhds (X := (↑Y : TopCat))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x))ᵒᵖ)
        (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) α.base :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                x)) ⋙
          obj (pushforward C α.base) X.presheaf))
      (colimMap
        (whiskerLeft
          (Functor.op
            (OpenNhds.inclusion
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                    TopCat.carrier) α.base :
                  (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
                x)))
          α.c))
      (CategoryStruct.comp (Y := colimit ((OpenNhds.map α.base x).op ⋙ (OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf))
        (colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map α.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf))
        (colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map α.base x).op))))
Tactic: dsimp [Hom.stalkMap, stalkFunctor, stalkPushforward]