-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Fourier.FourierTransformDeriv (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup V
inst_3 : NormedSpace ℝ V
inst_4 : NormedAddCommGroup W
inst_5 : NormedSpace ℝ W
L : ContinuousLinearMap.{0, 0, u_2, u_3} (RingHom.id ℝ) V (W →L[ℝ] ℝ)
f : V → E
K : ℕ∞ω
C : ℝ
hf : ContDiff ℝ K f
n k : ℕ
hk : (↑k : ℕ∞ω) ≤ K
v : V
hv :
  ∀ i ≤ k,
    ∀ j ≤ n,
      ‖v‖ ^ j *
          Norm.norm (E := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_1} ℝ (fun (i : Fin i) ↦ V) E)
            (iteratedFDeriv ℝ i f v) ≤
        C
T : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ) :=
  compContinuousLinearMapLRight (E := fun (i : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (i : Fin n) ↦ ℝ)
    (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ)
I₁ :
  ∀ (m : ℕ),
    Norm.norm (E :=
        ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin m) ↦ (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
        (iteratedFDeriv ℝ m (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) ≤
      HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)
⊢ Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin k) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) E))
      (iteratedFDeriv ℝ k
        (fun (v : V) ↦
          HSMul.hSMul (β := ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) E)
            ((-(2 * (↑π : ℂ) * I)) ^ n)
            (((smulRightL ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) E :
                      (a : ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) ℝ) →
                        E →L[ℝ] ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) E)
                    ((compContinuousLinearMapLRight (E := fun (x : Fin n) ↦ W) (E₁ := fun (x : Fin n) ↦ ℝ)
                          (ContinuousMultilinearMap.mkPiAlgebra ℝ (Fin n) ℝ) :
                        (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) ℝ)
                      fun (x : Fin n) ↦ (L : (a : V) → W →L[ℝ] ℝ) v) :
                  (a : E) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) E)
                (f v) :
              ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_3, u_1} ℝ (fun (x : Fin n) ↦ W) E))
        v) ≤
    (2 * π) ^ n * (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (↑n : ℝ) + 2) ^ k * ‖L‖ ^ n * C
have I₂ : ∀ (m : ℕ),
  Norm.norm (E :=
      ContinuousMultilinearMap.{0, 0, u_2, u_3} ℝ (fun (i : Fin m) ↦ V)
        (ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ))
      (iteratedFDeriv ℝ m
        (Function.comp (β := (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ)
          (⇑T : (a : (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ) → ContinuousMultilinearMap ℝ (fun (i : Fin n) ↦ W) ℝ)
          (⇑(ContinuousLinearMap.pi (φ := fun (x : Fin n) ↦ W →L[ℝ] ℝ) fun (x : Fin n) ↦ L) :
            (a : V) → (i : Fin n) → W →L[ℝ] ℝ))
        v) ≤
    HMul.hMul (α := ℝ) (↑(n.descFactorial m) : ℝ) 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m) * ‖L‖ ^ m
Tactic: have I₂ m : ‖iteratedFDeriv ℝ m (T ∘ (ContinuousLinearMap.pi (fun (_ : Fin n) ↦ L))) v‖ ≤
      (n.descFactorial m * 1 * (‖L‖ * ‖v‖) ^ (n - m)) * ‖L‖ ^ m := by
    rw [ContinuousLinearMap.iteratedFDeriv_comp_right _ (ContinuousMultilinearMap.contDiff _)
      _ (mod_cast le_top)]
    apply (norm_compContinuousLinearMap_le _ _).trans
    simp only [Finset.prod_const, Finset.card_fin]
    gcongr
    · exact I₁ m
    · exact ContinuousLinearMap.norm_pi_le_of_le (fun _ ↦ le_rfl) (norm_nonneg _)