awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst_7 : H.IsCartanSubalgebra
inst_8 : IsNoetherian R L
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
inst_11 : CharZero R
inst_12 : IsTorsionFree R M
inst_13 : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : Ne (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M χ) ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (p • α + χ)) ⊥
hq : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (q • α + χ)) ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun (k : ℤ) ↦ (↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M)
h₁ : iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦ N (↑i : ℤ)
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M) (↑(N i) : Set M) (↑(N i) : Set M)
h₃ : Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M) (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, N i)
⊢ (a • α + HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑b : ℤ) χ) x = 0
have rw : (a • α + HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑b : ℤ) χ) x =
  (LinearMap.trace R ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) :
      (a : ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) →ₗ[R] ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q)) → R)
    (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x) sorry)
Tactic: rw [← trace_toEnd_genWeightSpaceChain_eq_zero M α χ p q hp hq hx,
    ← LieSubmodule.toEnd_restrict_eq_toEnd]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst_7 : H.IsCartanSubalgebra
inst_8 : IsNoetherian R L
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
inst_11 : CharZero R
inst_12 : IsTorsionFree R M
inst_13 : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : Ne (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M χ) ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (p • α + χ)) ⊥
hq : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (q • α + χ)) ⊥
a : ℤ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i
b : ℕ := ∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))
hb : 0 < b
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
N : ℤ → Submodule R M := fun (k : ℤ) ↦ (↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M)
h₁ : iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦ N (↑i : ℤ)
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M) (↑(N i) : Set M) (↑(N i) : Set M)
h₃ : Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M) (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, N i)
⊢ (a • α + HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑b : ℤ) χ) x =
    (LinearMap.trace R ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) :
        (a : ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) →ₗ[R] ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q)) → R)
      (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x) ⋯)
have subst : ∀ (hb : LT.lt (α := ℕ) 0 (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))))
  (h₁ :
    iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦
      (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) (↑i : ℤ))
  (h₂ :
    ∀ (i : ℤ),
      MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M)
        (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
        (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M))
  (h₃ :
    Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M)
      (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i)),
  (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
        HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
      x =
    (LinearMap.trace R ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) :
        (a : ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) →ₗ[R] ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q)) → R)
      (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x) sorry)
Tactic: subst a b N
Cleared hypotheses: a, b, hb, N, h₁, h₂, h₃
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst_7 : H.IsCartanSubalgebra
inst_8 : IsNoetherian R L
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
inst_11 : CharZero R
inst_12 : IsTorsionFree R M
inst_13 : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : Ne (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M χ) ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (p • α + χ)) ⊥
hq : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (q • α + χ)) ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : LT.lt (α := ℕ) 0 (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)))
h₁ :
  iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦
    (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) (↑i : ℤ)
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
h₃ :
  Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M)
    (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i)
⊢ (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
        HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
      x =
    (LinearMap.trace R ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) :
        (a : ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q) →ₗ[R] ↥(genWeightSpaceChain M α χ p q)) → R)
      (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x) ⋯)
have erw : (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
      HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
    x =
  ∑ i ∈ Finset.Ioo p q,
    (LinearMap.trace R ↥(↑(genWeightSpace M (i • α + χ)) : Submodule R M) :
        (a :
            ↥(↑(genWeightSpace M (i • α + χ)) : Submodule R M) →ₗ[R]
              ↥(↑(genWeightSpace M (i • α + χ)) : Submodule R M)) →
          R)
      (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x) sorry)
Tactic: erw [LinearMap.trace_eq_sum_trace_restrict_of_eq_biSup _ h₁ h₂ (genWeightSpaceChain M α χ p q) h₃]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst_7 : H.IsCartanSubalgebra
inst_8 : IsNoetherian R L
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
inst_11 : CharZero R
inst_12 : IsTorsionFree R M
inst_13 : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : Ne (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M χ) ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (p • α + χ)) ⊥
hq : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (q • α + χ)) ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : LT.lt (α := ℕ) 0 (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)))
h₁ :
  iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦
    (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) (↑i : ℤ)
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
h₃ :
  Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M)
    (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i)
⊢ (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
        HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
      x =
    ∑ i ∈ Finset.Ioo p q,
      (LinearMap.trace R ↥(↑(genWeightSpace M (i • α + χ)) : Submodule R M) :
          (a :
              ↥(↑(genWeightSpace M (i • α + χ)) : Submodule R M) →ₗ[R]
                ↥(↑(genWeightSpace M (i • α + χ)) : Submodule R M)) →
            R)
        (LinearMap.restrict ((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x) ⋯)
have simp_rw : (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
      HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
    x =
  ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q,
    (LinearMap.trace R ↥(↑(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) : Submodule R M) :
        (a :
            ↥(↑(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) : Submodule R M) →ₗ[R]
              ↥(↑(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) : Submodule R M)) →
          R)
      (((toEnd.{u_1, u_2, u_3} R ↥H ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) :
              LieHom.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) (End R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)))) :
            (a : ↥H) → End R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)))
          x :
        End R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)))
Tactic: simp_rw [LieSubmodule.toEnd_restrict_eq_toEnd]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst_7 : H.IsCartanSubalgebra
inst_8 : IsNoetherian R L
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
inst_11 : CharZero R
inst_12 : IsTorsionFree R M
inst_13 : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : Ne (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M χ) ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (p • α + χ)) ⊥
hq : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (q • α + χ)) ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : LT.lt (α := ℕ) 0 (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)))
h₁ :
  iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦
    (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) (↑i : ℤ)
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
h₃ :
  Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M)
    (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i)
⊢ (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
        HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
      x =
    ∑ k ∈ Finset.Ioo p q,
      (LinearMap.trace R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)) :
          (a : ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)) →ₗ[R] ↥(genWeightSpace M (k • α + χ))) → R)
        (((toEnd.{u_1, u_2, u_3} R ↥H ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)) :
                LieHom.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) (End R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)))) :
              (a : ↥H) → End R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)))
            x :
          End R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)))
have convert_2 : (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
      HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
    x =
  ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • (x_1 • α + χ) x
Tactic: simp_rw [trace_toEnd_genWeightSpace, Pi.add_apply, Pi.smul_apply, smul_add,
    ← smul_assoc, Finset.sum_add_distrib, ← Finset.sum_smul, natCast_zsmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
inst_7 : H.IsCartanSubalgebra
inst_8 : IsNoetherian R L
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsPrincipalIdealRing R
inst_11 : CharZero R
inst_12 : IsTorsionFree R M
inst_13 : IsNoetherian R M
hα : α ≠ 0
hχ : Ne (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M χ) ⊥
p : ℤ
hp₀ : p < 0
q : ℤ
hq₀ : q > 0
hp : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (p • α + χ)) ⊥
hq : Eq (α := LieSubmodule.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) M) (genWeightSpace M (q • α + χ)) ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
hb : LT.lt (α := ℕ) 0 (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)))
h₁ :
  iSupIndep.{1, u_3} (α := Submodule R M) fun (i : ↥(Finset.Ioo p q)) ↦
    (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) (↑i : ℤ)
h₂ :
  ∀ (i : ℤ),
    MapsTo (⇑((toEnd R (↥H) M : (a : ↥H) → End R M) x : End R M) : (a : M) → M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
      (↑((fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i) : Set M)
h₃ :
  Eq (α := Submodule R M) (↑(genWeightSpaceChain M α χ p q) : Submodule R M)
    (⨆ i ∈ Finset.Ioo p q, (fun (k : ℤ) ↦ ((↑(genWeightSpace M (k • α + χ)) : Submodule R M) : Submodule R M)) i)
convert_2 :
  (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
        HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
      x =
    ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • (x_1 • α + χ) x
⊢ (HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α +
        HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ)
      x =
    ∑ k ∈ Finset.Ioo p q,
      (LinearMap.trace R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)) :
          (a : ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)) →ₗ[R] ↥(genWeightSpace M (k • α + χ))) → R)
        (((toEnd.{u_1, u_2, u_3} R ↥H ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)) :
                LieHom.{u_1, u_2, u_3} R (↥H) (End R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)))) :
              (a : ↥H) → End R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)))
            x :
          End R ↥(genWeightSpace M (k • α + χ)))
have convert_2₁ : HSMul.hSMul (α := ℤ) (∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ)) • i) α x +
    HSMul.hSMul (α := ℤ) (↑(∑ i ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (i • α + χ))) : ℤ) χ x =
  ∑ x_1 ∈ Finset.Ioo p q, finrank.{u_1, u_3} R ↥(genWeightSpace M (x_1 • α + χ)) • ((x_1 • α) x + χ x)
Tactic: simp_rw [trace_toEnd_genWeightSpace, Pi.add_apply, Pi.smul_apply, smul_add,
    ← smul_assoc, Finset.sum_add_distrib, ← Finset.sum_smul, natCast_zsmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
⊢ chainBotCoeff (-α) β = chainTopCoeff α β
have rw : chainTopCoeff (- -α) β = chainTopCoeff α β
Tactic: rw [← chainTopCoeff_neg, neg_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
rw : chainTopCoeff (- -α) β = chainTopCoeff α β
⊢ chainBotCoeff (-α) β = chainTopCoeff α β
have rw₁ : chainTopCoeff α β = chainTopCoeff α β
Tactic: rw [← chainTopCoeff_neg, neg_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ chainTopCoeff α β + 1 =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) ⋯
have rw : (Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) sorry).pred +
    1 =
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) sorry
Tactic: rw [chainTopCoeff, dif_neg hα]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ (Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥)
          ⋯).pred +
      1 =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) ⋯
have a : 0 < Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) sorry
Tactic: apply Nat.succ_pred_eq_of_pos
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ 0 < Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) ⋯
have a : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) sorry ≠ 0
Tactic: rw [zero_lt_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
e : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) ⋯ = 0
⊢ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (HSMul.hSMul (α := ℕ) 0 α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥
have rw : Eq (α := LieSubmodule R L M)
  (genWeightSpace M
    (Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) sorry •
        α +
      (⇑β : (a : L) → R)))
  ⊥
Tactic: rw [← e]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
e : Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) ⋯ = 0
⊢ False
have this : Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (HSMul.hSMul (α := ℕ) 0 α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥
Tactic: have : genWeightSpace M (0 • α + β : L → R) = ⊥ := by
    rw [← e]
    exact Nat.find_spec (eventually_genWeightSpace_smul_add_eq_bot M α β hα).exists
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Chain (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : LieRingModule L M
inst_6 : LieModule R L M
inst_7 : LieRing.IsNilpotent L
inst_8 : IsAddTorsionFree R
inst_9 : IsDomain R
inst_10 : IsTorsionFree R M
inst_11 : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
hα : α ≠ 0
⊢ chainTopCoeff α β + 1 =
    Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) ⋯
have rw : HAdd.hAdd (α := ℕ)
    (if hα : α = 0 then 0
    else
      (Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥)
          sorry).pred)
    1 =
  Nat.find (p := fun (n : ℕ) ↦ Eq (α := LieSubmodule R L M) (genWeightSpace M (n • α + (⇑β : (a : L) → R))) ⊥) sorry
Tactic: classical
  rw [chainTopCoeff, dif_neg hα]
  apply Nat.succ_pred_eq_of_pos
  rw [zero_lt_iff]
  intro e
  have : genWeightSpace M (0 • α + β : L → R) = ⊥ := by
    rw [← e]
    exact Nat.find_spec (eventually_genWeightSpace_smul_add_eq_bot M α β hα).exists
  exact β.genWeightSpace_ne_bot _ (by simpa only [zero_smul, zero_add] using this)