awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
refine_3 :
  ∀ (H : Path.Homotopy (toLoop j p) (toLoop j q)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := X)
      (Function.uncurry
          (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type))) ↦
            Function.uncurry
              (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) ↦
                (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                        (x_1, x_2) :
                      (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                    (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
                  y)
              y)
          (Prod.map id
            (⇑(Cube.splitAt j) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)))
            (t, y)) :
        X)
      (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_1, x_2) :
                    (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
          (t, y)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3₁ : ∀ (h : j ≠ i),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_1, x_2) :
                    (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
          (t, y)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
Tactic: obtain rfl | h := eq_or_ne j i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
H : Path.Homotopy (toLoop j p) (toLoop j q)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_1, x_2) :
                    (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt j) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)))
          (t, y)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) (t, y j) :
          (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N) :
    X)
  (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
Tactic: simp only [Prod.map_apply, id_eq, funSplitAt_apply, Function.uncurry_apply_pair]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
H : Path.Homotopy (toLoop j p) (toLoop j q)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) (t, y j) :
            (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  (((((toLoop j p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)))
            (y j) :
          (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N) :
    X)
  (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
Tactic: rw [H.eq_fst]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
H : Path.Homotopy (toLoop j p) (toLoop j q)
refine_3 :
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (((((toLoop j p).toContinuousMap : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2)))
              (y j) :
            (↑(Ω^ { j_1 : N // j_1 ≠ j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) (t, y j) :
            (↑(Ω^ { j_1 : N // ¬j_1 = j } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j_1 : N // ¬j_1 = j } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j_1 : { j_1 : N // ¬j_1 = j }) ↦ y (↑j_1 : N) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3₁ : Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) {0, 1} (y j)
Tactic: rw [H.eq_fst]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
h : j ≠ i
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_1, x_2) :
                    (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
          (t, y)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) y : X)
have refine_3 : Function.uncurry
    (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
      Function.uncurry
        (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
          (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1, x_2) :
                (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
              (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
            y)
        y)
    (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
      (t, y)) =
  x
Tactic: rw [p.2 _ ⟨j, jH⟩]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
t : (↑I : Type)
y : N → (↑I : Type)
j : N
jH : y j = 0 ∨ y j = 1
h : j ≠ i
⊢ Function.uncurry
      (fun (x_1 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
        Function.uncurry
          (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
            (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1, x_2) :
                  (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
              y)
          y)
      (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
        (t, y)) =
    x
have refine_3 : Membership.mem (γ := Set ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) (Cube.boundary { j : N // ¬j = i })
  (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
        (t, y)).2.2
Tactic: apply boundary
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ (homotopyFrom i H).toFun (0, x_1) = ((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
have refine_1 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  (Function.uncurry
      (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
        Function.uncurry
          (fun (x_3 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
            (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_2, x_3) :
                  (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
              y)
          y)
      (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
        (0, x_1)) :
    X)
  (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
Tactic: apply (homotopyFrom_apply _ _ _).trans
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_3 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_2, x_3) :
                    (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
          (0, x_1)) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have refine_1 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1 i) :
          (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
    X)
  (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
Tactic: simp only [Prod.map_apply, id_eq, funSplitAt_apply,
      Function.uncurry_apply_pair, ContinuousMap.HomotopyWith.apply_zero,
      ContinuousMap.HomotopyWith.apply_one, ne_eq, Path.coe_toContinuousMap]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1 i) :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have refine_1 : ((↑(Cube.insertAt i) : C((↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)), N → (↑I : Type))) :
      (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
    (x_1 i, fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N)) =
  x_1
Tactic: apply congr_arg p
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((toLoop i p : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1 i) :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
      X)
    (((↑p : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have refine_1 : ((↑(Cube.insertAt i) : C((↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)), N → (↑I : Type))) :
      (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
    (x_1 i, fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N)) =
  x_1
Tactic: first
    | apply congr_arg p
    | apply congr_arg q
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ (homotopyFrom i H).toFun (1, x_1) = ((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1
have refine_2 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  (Function.uncurry
      (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
        Function.uncurry
          (fun (x_3 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
            (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_2, x_3) :
                  (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
              y)
          y)
      (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
        (1, x_1)) :
    X)
  (((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
Tactic: apply (homotopyFrom_apply _ _ _).trans
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (Function.uncurry
        (fun (x_2 : (↑I : Type)) (y : (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type))) ↦
          Function.uncurry
            (fun (x_3 : (↑I : Type)) (y : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) ↦
              (((H : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                      (x_2, x_3) :
                    (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
                  (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
                y)
            y)
        (Prod.map id (⇑(Cube.splitAt i) : (a : N → (↑I : Type)) → (↑I : Type) × ({ j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)))
          (1, x_1)) :
      X)
    (((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have refine_2 : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  ((((toLoop i q : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1 i) :
          (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
        (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
    X)
  (((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
Tactic: simp only [Prod.map_apply, id_eq, funSplitAt_apply,
      Function.uncurry_apply_pair, ContinuousMap.HomotopyWith.apply_zero,
      ContinuousMap.HomotopyWith.apply_one, ne_eq, Path.coe_toContinuousMap]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((toLoop i q : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1 i) :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
      X)
    (((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have refine_2 : ((↑(Cube.insertAt i) : C((↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)), N → (↑I : Type))) :
      (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
    (x_1 i, fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N)) =
  x_1
Tactic: apply congr_arg q
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
p q : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
H : Path.Homotopy (toLoop i p) (toLoop i q)
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    ((((toLoop i q : (a : (↑I : Type)) → (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) (x_1 i) :
            (↑(Ω^ { j : N // ¬j = i } X x) : Type (max u_1 u_2))) :
          (a : { j : N // ¬j = i } → (↑I : Type)) → X)
        fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
      X)
    (((↑q : C(N → (↑I : Type), X)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have refine_2 : ((↑(Cube.insertAt i) : C((↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)), N → (↑I : Type))) :
      (a : (↑I : Type) × ({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type))) → N → (↑I : Type))
    (x_1 i, fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N)) =
  x_1
Tactic: first
    | apply congr_arg p
    | apply congr_arg q
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
f g : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
⊢ Eq (α := (N → (↑I : Type)) → X)
    (fun (t : N → (↑I : Type)) ↦
      if (↑(t i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
        (f : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) t i (Set.projIcc 0 1 ⋯ (2 * (↑(t i) : ℝ))))
      else
        (g : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) t i (Set.projIcc 0 1 ⋯ (2 * (↑(t i) : ℝ) - 1))))
    (⇑(fromLoop i (Path.trans (toLoop i f) (toLoop i g))) : (a : N → (↑I : Type)) → X)
have h : ∀ (x_1 : N → (↑I : Type)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (if (↑(x_1 i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
        (f : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 sorry (2 * (↑(x_1 i) : ℝ))))
      else
        (g : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 sorry (2 * (↑(x_1 i) : ℝ) - 1))) :
      X)
    ((fromLoop i (Path.trans (toLoop i f) (toLoop i g)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
Tactic: ext1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
f g : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X)
    (if (↑(x_1 i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
        (f : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 ⋯ (2 * (↑(x_1 i) : ℝ))))
      else
        (g : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 ⋯ (2 * (↑(x_1 i) : ℝ) - 1))) :
      X)
    ((fromLoop i (Path.trans (toLoop i f) (toLoop i g)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
have h : Eq.{u_2 + 1} (α := X) ((fromLoop i (Path.trans (toLoop i f) (toLoop i g)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
  (if (↑(x_1 i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
      (f : (a : N → (↑I : Type)) → X)
        (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 sorry (2 * (↑(x_1 i) : ℝ))))
    else
      (g : (a : N → (↑I : Type)) → X)
        (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 sorry (2 * (↑(x_1 i) : ℝ) - 1))) :
    X)
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Homotopy.HomotopyGroup (goal)
Goal:
N : Type u_1
X : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
x : X
inst_1 : DecidableEq N
i : N
f g : (↑(Ω^ N X x) : Type (max u_1 u_2))
x_1 : N → (↑I : Type)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := X) ((fromLoop i (Path.trans (toLoop i f) (toLoop i g)) : (a : N → (↑I : Type)) → X) x_1 : X)
    (if (↑(x_1 i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
        (f : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 ⋯ (2 * (↑(x_1 i) : ℝ))))
      else
        (g : (a : N → (↑I : Type)) → X)
          (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 ⋯ (2 * (↑(x_1 i) : ℝ) - 1))) :
      X)
have h : Eq.{u_2 + 1} (α := X)
  (((↑(if (↑(x_1 i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
              (Path.extend (toLoop i f) : (a : ℝ) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                (2 * (↑(x_1 i) : ℝ))
            else
              (Path.extend (toLoop i g) : (a : ℝ) → (↑(Ω^ { j : N // j ≠ i } X x) : Type (max u_1 u_2)))
                (2 * (↑(x_1 i) : ℝ) - 1)) :
          C({ j : N // j ≠ i } → (↑I : Type), X)) :
        (a : { j : N // j ≠ i } → (↑I : Type)) → X)
      fun (j : { j : N // ¬j = i }) ↦ x_1 (↑j : N) :
    X)
  (if (↑(x_1 i) : ℝ) ≤ 1 / 2 then
      (f : (a : N → (↑I : Type)) → X)
        (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 sorry (2 * (↑(x_1 i) : ℝ))))
    else
      (g : (a : N → (↑I : Type)) → X)
        (Function.update (β := fun (a : N) ↦ (↑I : Type)) x_1 i (Set.projIcc 0 1 sorry (2 * (↑(x_1 i) : ℝ) - 1))) :
    X)
Tactic: dsimp only [Path.trans, fromLoop, Path.coe_mk_mk, Function.comp_apply, mk_apply,
        ContinuousMap.comp_apply, ContinuousMap.coe_coe, funSplitAt_apply,
        ContinuousMap.uncurry_apply, ContinuousMap.coe_mk, Function.uncurry_apply_pair]