awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have apply : τ⁻¹ ≤ a.r i
Tactic: apply le_trans _ H.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have inr : τ⁻¹ ≤ ‖a.c j - a.c i‖
Tactic: rw [norm_sub_rev]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
τpos : 0 < τ
I : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
J : 1 - δ ≤ 1 - δ / 4
K : 1 - δ / 4 ≤ τ⁻¹
hτ' : ∀ (k : Fin N.succ), τ⁻¹ ≤ a.r k
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ τ⁻¹ ≤ ‖a.c j - a.c i‖
have apply : τ⁻¹ ≤ a.r j
Tactic: apply le_trans _ H.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
have ah : Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
  a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
Tactic: have ah :
      Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨
        a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j := by
    simpa only [dist_eq_norm] using a.h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 0 ≤ δ
have linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
⊢ 0 ≤ δ
have linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ 0 ≤ δ
have linarith₂ : δ < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
linarith : δ < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : δ < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : δ < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 0 ≤ δ
have linarith₃ : δ < 0 → δ - 0 + 4 * (1 - τ) + (4 * τ - (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 + 1 * δ)) = 0
Tactic: linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
have δnonneg : 0 ≤ δ
Tactic: have δnonneg : 0 ≤ δ := by linarith only [hτ, hδ1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₃ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 3 (-1) + (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - HMul.hMul (α := ℝ) 4 0) + (δ - 1) = 0
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
linarith : 1 - δ / 4 < 0 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : 1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₃ :
  1 - δ / 4 < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 3 (-1) + (HMul.hMul (α := ℝ) 4 1 - 1 * δ - HMul.hMul (α := ℝ) 4 0) + (δ - 1) = 0
⊢ 0 ≤ 1 - δ / 4
have linarith₄ : 1 - δ / 4 < 0 → GT.gt (α := ℝ) 3 0
Tactic: linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
have D : 0 ≤ 1 - δ / 4
Tactic: have D : 0 ≤ 1 - δ / 4 := by linarith only [hδ2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
have hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
Tactic: have hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1 := by simpa only [lastc, lastr, dist_zero_right] using a.inter' j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
⊢ a.r i ≤ 2
have inl : ∀ (H : i < last N), a.r i ≤ 2
Tactic: rcases lt_or_ge i (last N) with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
inl : ∀ (H : i < last N), a.r i ≤ 2
⊢ a.r i ≤ 2
have inr : ∀ (H : last N ≤ i), a.r i ≤ 2
Tactic: rcases lt_or_ge i (last N) with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
H : i < last N
⊢ a.r i ≤ 2
have inl : dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ 2
Tactic: apply (a.hlast i H).1.trans
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
H : last N ≤ i
⊢ a.r i ≤ 2
have this : i = last N
Tactic: have : i = last N := top_le_iff.1 H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
H : last N ≤ i
this : i = last N
⊢ a.r i ≤ 2
have inr : LE.le (α := ℝ) 1 2
Tactic: rw [this, lastr]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
have I : a.r i ≤ 2
Tactic: have I : a.r i ≤ 2 := by
    rcases lt_or_ge i (last N) with (H | H)
    · apply (a.hlast i H).1.trans
      simpa only [dist_eq_norm, lastc, sub_zero] using hi
    · have : i = last N := top_le_iff.1 H
      rw [this, lastr]
      exact one_le_two
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₃ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → GT.gt (α := ℝ) 16 0
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
linarith : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → 16 / 16 = 1
linarith₂ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 16 = 16
linarith₃ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 → GT.gt (α := ℝ) 16 0
⊢ 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 ≤ 1
have linarith₄ : 1 < 1 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2 / 16 →
  HMul.hMul (α := ℝ) 16 1 - (HMul.hMul (α := ℝ) 16 1 - 1 * HPow.hPow (β := ℕ) (1 * δ) 2) +
      (0 - HPow.hPow (β := ℕ) δ 2) =
    0
Tactic: linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖
have J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
Tactic: have J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1 :=
    calc
      (1 - δ / 4) * τ ≤ (1 - δ / 4) * (1 + δ / 4) := by gcongr
      _ = (1 : ℝ) - δ ^ 2 / 16 := by ring
      _ ≤ 1 := by linarith only [sq_nonneg δ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
⊢ a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have inl : ∀ (H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j), a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
Tactic: rcases ah inej.symm with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
inl : ∀ (H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j), a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
⊢ a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have inr : ∀ (H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i), a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
Tactic: rcases ah inej.symm with (H | H)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
have inl : a.r j - δ ≤ ‖a.c j - a.c i‖
Tactic: rw [norm_sub_rev]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.BesicovitchVectorSpace (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah :
  Pairwise fun (i j : Fin N.succ) ↦
    a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ a.r j - δ ≤ ‖a.c j - a.c i‖
have linarith : ‖a.c j - a.c i‖ < a.r j - δ → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith [H.1]