awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
x : M
S : TopCat.Presheaf CommRingCat (TopCat.of M) := TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)
U : Opens M
hxU : x ∈ U
f : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
hf :
  Ne (α := 𝕜)
    ((eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x : (a : (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u)) → 𝕜)
        ((CategoryTheory.ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                (CC := CommRingCat.carrier) (Y := S.stalk x) (S.germ U x hxU) :
              (a : (↑(S.obj (Opposite.op U)) : Type u)) → (↑(S.stalk x) : Type u))
            f :
          (↑(S.stalk x) : Type u)) :
      𝕜)
    (0 : 𝕜)
hf' : Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ U) x hxU) : 𝕜) (0 : 𝕜)
V : Opens M
hUV : V ≤ U
hV₀f :
  ∀ y ∈ Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV),
    Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) y : 𝕜) (0 : 𝕜)
hV₀ : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] (Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV))
hxV₀ :
  Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ U) x hxU ∈ Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV)
hxV : x ∈ (↑V : Set M)
hVf :
  ∀ (y : ↥V), Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV y) : 𝕜) (0 : 𝕜)
g : C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ↥V → 𝕜) ↦ ContMDiff IM 𝓘(𝕜, 𝕜) ∞ f)
    ((⇑f : (a : ↥U) → 𝕜) ∘ Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV)⁻¹ ⋯
⊢ HMul.hMul (β := (↑(S.obj (Opposite.op V)) : Type u)) g
      ((ContMDiffMap.restrictRingHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) 𝕜 hUV : (a : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) → C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) f :
        C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) =
    1
have h : (↑(HMul.hMul (β := (↑(S.obj (Opposite.op V)) : Type u)) g
        ((ContMDiffMap.restrictRingHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) 𝕜 hUV : (a : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) → C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) f :
          C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯)) :
    (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
      (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u))) =
  (↑1 :
    (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) → (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
Tactic: apply Subtype.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
x : M
S : TopCat.Presheaf CommRingCat (TopCat.of M) := TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)
U : Opens M
hxU : x ∈ U
f : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
hf :
  Ne (α := 𝕜)
    ((eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x : (a : (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u)) → 𝕜)
        ((CategoryTheory.ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                (CC := CommRingCat.carrier) (Y := S.stalk x) (S.germ U x hxU) :
              (a : (↑(S.obj (Opposite.op U)) : Type u)) → (↑(S.stalk x) : Type u))
            f :
          (↑(S.stalk x) : Type u)) :
      𝕜)
    (0 : 𝕜)
hf' : Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ U) x hxU) : 𝕜) (0 : 𝕜)
V : Opens M
hUV : V ≤ U
hV₀f :
  ∀ y ∈ Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV),
    Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) y : 𝕜) (0 : 𝕜)
hV₀ : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] (Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV))
hxV₀ :
  Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ U) x hxU ∈ Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV)
hxV : x ∈ (↑V : Set M)
hVf :
  ∀ (y : ↥V), Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV y) : 𝕜) (0 : 𝕜)
g : C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ↥V → 𝕜) ↦ ContMDiff IM 𝓘(𝕜, 𝕜) ∞ f)
    ((⇑f : (a : ↥U) → 𝕜) ∘ Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV)⁻¹ ⋯
⊢ (↑(HMul.hMul (β := (↑(S.obj (Opposite.op V)) : Type u)) g
          ((ContMDiffMap.restrictRingHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) 𝕜 hUV : (a : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) → C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) f :
            C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯)) :
      (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
        (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u))) =
    (↑1 :
      (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
        (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
have h : ∀ (y : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))),
  (↑(HMul.hMul (β := (↑(S.obj (Opposite.op V)) : Type u)) g
            ((ContMDiffMap.restrictRingHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) 𝕜 hUV : (a : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) → C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯)
                f :
              C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯)) :
        (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
          (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
      y =
    (↑1 :
        (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
          (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
      y
Tactic: ext y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
x : M
S : TopCat.Presheaf CommRingCat (TopCat.of M) := TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)
U : Opens M
hxU : x ∈ U
f : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯
hf :
  Ne (α := 𝕜)
    ((eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x : (a : (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u)) → 𝕜)
        ((CategoryTheory.ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u))
                (CC := CommRingCat.carrier) (Y := S.stalk x) (S.germ U x hxU) :
              (a : (↑(S.obj (Opposite.op U)) : Type u)) → (↑(S.stalk x) : Type u))
            f :
          (↑(S.stalk x) : Type u)) :
      𝕜)
    (0 : 𝕜)
hf' : Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ U) x hxU) : 𝕜) (0 : 𝕜)
V : Opens M
hUV : V ≤ U
hV₀f :
  ∀ y ∈ Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV),
    Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) y : 𝕜) (0 : 𝕜)
hV₀ : IsOpen[instTopologicalSpaceSubtype] (Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV))
hxV₀ :
  Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ U) x hxU ∈ Set.range (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV)
hxV : x ∈ (↑V : Set M)
hVf :
  ∀ (y : ↥V), Ne (α := 𝕜) ((f : (a : ↥U) → 𝕜) (Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV y) : 𝕜) (0 : 𝕜)
g : C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯ :=
  Subtype.mk (p := fun (f : ↥V → 𝕜) ↦ ContMDiff IM 𝓘(𝕜, 𝕜) ∞ f)
    ((⇑f : (a : ↥U) → 𝕜) ∘ Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV)⁻¹ ⋯
y : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))
⊢ (↑(HMul.hMul (β := (↑(S.obj (Opposite.op V)) : Type u)) g
            ((ContMDiffMap.restrictRingHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) 𝕜 hUV : (a : C^∞⟮IM, ↥U; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯) → C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯)
                f :
              C^∞⟮IM, ↥V; 𝓘(𝕜, 𝕜), 𝕜⟯)) :
        (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
          (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
      y =
    (↑1 :
        (x : ↥(Opposite.unop (Opposite.op V))) →
          (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑x : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
      y
have h : Ne (α := (fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ 𝕜) (↑y : (↑(TopCat.of M) : Type u)))
  (((⇑f : (a : ↥U) → 𝕜) ∘ Set.inclusion (s := (↑V : Set M)) (t := (↑U : Set M)) hUV) y) 0
Tactic: apply inv_mul_cancel₀
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
x : M
⊢ nonunits
      (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
        Type u) =
    (↑(RingHom.ker (F :=
          (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
              Type u) →+*
            𝕜)
          (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x)) :
      Set (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u))
have h : ∀
  (f :
    (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
      Type u)),
  Membership.mem (γ :=
      Set
        (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
          Type u))
      (nonunits
        (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
          Type u))
      f ↔
    f ∈
      (↑(RingHom.ker (F :=
            (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜))
                    x) :
                Type u) →+*
              𝕜)
            (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x)) :
        Set (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u))
Tactic: ext1 f
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
x : M
f :
  (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) : Type u)
⊢ Membership.mem (γ :=
      Set
        (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
          Type u))
      (nonunits
        (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
          Type u))
      f ↔
    f ∈
      (↑(RingHom.ker (F :=
            (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜))
                    x) :
                Type u) →+*
              𝕜)
            (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x)) :
        Set (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u))
have h : IsUnit f ↔
  f ∉
    (↑(RingHom.ker (F :=
          (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
              Type u) →+*
            𝕜)
          (eval IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x)) :
      Set (↑((smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜).presheaf.stalk x) : Type u))
Tactic: rw [mem_nonunits_iff, not_iff_comm, Iff.comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
EN : Type u_3
inst_6 : NormedAddCommGroup EN
inst_7 : NormedSpace 𝕜 EN
HN : Type u_4
inst_8 : TopologicalSpace HN
IN : ModelWithCorners 𝕜 EN HN
N : Type u
inst_9 : TopologicalSpace N
inst_10 : ChartedSpace HN N
EP : Type u_5
inst_11 : NormedAddCommGroup EP
inst_12 : NormedSpace 𝕜 EP
HP : Type u_6
inst_13 : TopologicalSpace HP
IP : ModelWithCorners 𝕜 EP HP
P : Type u
inst_14 : TopologicalSpace P
inst_15 : ChartedSpace HP P
x : M
⊢ IsLocalRing.{u}
    (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
      Type u)
have h : ∀
  (a b :
    (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
      Type u)),
  Membership.mem (γ :=
      Set
        (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
          Type u))
      (nonunits
        (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
          Type u))
      a →
    Membership.mem (γ :=
        Set
          (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
            Type u))
        (nonunits
          (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
            Type u))
        b →
      Membership.mem (γ :=
        Set
          (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
            Type u))
        (nonunits
          (↑(TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheafCommRing IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜)) x) :
            Type u))
        (a + b)
Tactic: apply IsLocalRing.of_nonunits_add
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
EN : Type u_3
inst_6 : NormedAddCommGroup EN
inst_7 : NormedSpace 𝕜 EN
HN : Type u_4
inst_8 : TopologicalSpace HN
IN : ModelWithCorners 𝕜 EN HN
N : Type u
inst_9 : TopologicalSpace N
inst_10 : ChartedSpace HN N
f : M → N
hf : ContMDiff IM IN ∞ f
x : M
⊢ PresheafedSpace.Hom.stalkMap (locallyRingedSpaceMapAux f hf) x ≫ smoothSheafCommRing.evalHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x =
    smoothSheafCommRing.evalHom IN 𝓘(𝕜, 𝕜) N 𝕜 (f x)
have ih : ∀ (U : Opens (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
  (hxU :
    Membership.mem (α := (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
              (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
            (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          x :
        (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))),
  (locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
              (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
            (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          x)
        hxU ≫
      PresheafedSpace.Hom.stalkMap (locallyRingedSpaceMapAux f hf) x ≫ smoothSheafCommRing.evalHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x =
    (locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
              (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
            (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          x)
        hxU ≫
      smoothSheafCommRing.evalHom IN 𝓘(𝕜, 𝕜) N 𝕜 (f x)
Tactic: apply TopCat.Presheaf.stalk_hom_ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.LocallyRingedSpace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_1
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_2
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
M : Type u
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace HM M
EN : Type u_3
inst_6 : NormedAddCommGroup EN
inst_7 : NormedSpace 𝕜 EN
HN : Type u_4
inst_8 : TopologicalSpace HN
IN : ModelWithCorners 𝕜 EN HN
N : Type u
inst_9 : TopologicalSpace N
inst_10 : ChartedSpace HN N
f : M → N
hf : ContMDiff IM IN ∞ f
x : M
U : Opens (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)
hxU :
  Membership.mem (α := (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) U
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
          (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
            (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
        x :
      (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
⊢ (locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
              (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
            (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          x)
        hxU ≫
      PresheafedSpace.Hom.stalkMap (locallyRingedSpaceMapAux f hf) x ≫ smoothSheafCommRing.evalHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x =
    (locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
              (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
            (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
              (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
          x)
        hxU ≫
      smoothSheafCommRing.evalHom IN 𝓘(𝕜, 𝕜) N 𝕜 (f x)
have ih : (locallyRingedSpaceMapAux f hf).c.app (Opposite.op U) ≫
    (locallyRingedSpace IM M).presheaf.germ ((Opens.map (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base).obj U) x hxU ≫
      smoothSheafCommRing.evalHom IM 𝓘(𝕜, 𝕜) M 𝕜 x =
  (locallyRingedSpace IN N).presheaf.germ U
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{u}) ↦ C((↑X : Type u), (↑Y : Type u))) (CC := TopCat.carrier)
            (locallyRingedSpaceMapAux f hf).base :
          (a : (↑(↑(locallyRingedSpace IM M).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u)) →
            (↑(↑(locallyRingedSpace IN N).toPresheafedSpace : TopCat) : Type u))
        x)
      hxU ≫
    smoothSheafCommRing.evalHom IN 𝓘(𝕜, 𝕜) N 𝕜 (f x)
Tactic: rw [PresheafedSpace.stalkMap_germ_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u
inst_7 : TopologicalSpace M
inst_8 : ChartedSpace HM M
N : Type u
inst_9 : TopologicalSpace N
inst_10 : ChartedSpace H N
x : M
⊢ Function.Surjective (α := TopCat.Presheaf.stalk (X := TopCat.of M) (TopCat.Sheaf.presheaf (smoothSheaf IM I M N)) x)
    (eval IM I N x)
have w : ∀ (t : N),
  ∃ (U : OpenNhds (X := TopCat.of M) x) (f : (y : ↥(↑U : Opens (↑(TopCat.of M) : Type u))) → N) (_ :
    TopCat.PrelocalPredicate.pred (T := fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ N)
      (TopCat.LocalPredicate.toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ N)
        (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate (P := ContDiffWithinAtProp IM I ∞) M N sorry))
      f),
    f (Subtype.mk (p := fun (x_2 : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ x_2 ∈ (↑U : Opens (↑(TopCat.of M) : Type u))) x sorry) = t
Tactic: apply TopCat.stalkToFiber_surjective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst_7 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst_8 : TopologicalSpace M
inst_9 : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst_10 : TopologicalSpace N
inst_11 : ChartedSpace H N
inst_12 : TopologicalSpace G
inst_13 : ChartedSpace H G
inst_14 : TopologicalSpace A
inst_15 : ChartedSpace H A
inst_16 : TopologicalSpace A'
inst_17 : ChartedSpace H' A'
inst_18 : TopologicalSpace R
inst_19 : ChartedSpace H R
EP : Type u_7
inst_20 : NormedAddCommGroup EP
inst_21 : NormedSpace 𝕜 EP
HP : Type u_8
inst_22 : TopologicalSpace HP
IP : ModelWithCorners 𝕜 EP HP
P : Type u
inst_23 : TopologicalSpace P
inst_24 : ChartedSpace HP P
f : M → P
hf : ContMDiff IM IP ∞ f
U : (Opens (↑(TopCat.of P) : Type u))ᵒᵖ
g :
  Functor.obj
    (ObjectProperty.FullSubcategory.obj (P := Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(TopCat.of P) : Type u)))
      (smoothSheaf IP I P N))
    U
⊢ TopCat.PrelocalPredicate.pred (T := fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ N)
    (TopCat.LocalPredicate.toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑(TopCat.of M) : Type u)) ↦ N)
      (StructureGroupoid.LocalInvariantProp.localPredicate (P := ContDiffWithinAtProp IM I ∞) M N ⋯))
    ((↑g : (x : ↥(unop U)) → (fun (x : (↑(TopCat.of P) : Type u)) ↦ N) (↑x : (↑(TopCat.of P) : Type u))) ∘
      Set.restrictPreimage (unop U).1 f)
have apply : ContMDiff IM (M := ↥(unop ((Opens.map (TopCat.ofHom { toFun := f, continuous_toFun := sorry : C(M, P) })).op.obj U))) IP ∞
  (Set.restrictPreimage (unop U).1 f)
Tactic: apply ContMDiff.comp (I' := IP) g.2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Sheaf.Smooth (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
EM : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup EM
inst_2 : NormedSpace 𝕜 EM
HM : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace HM
IM : ModelWithCorners 𝕜 EM HM
E : Type u_4
inst_4 : NormedAddCommGroup E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
H' : Type u_6
inst_7 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E H'
M : Type u
inst_8 : TopologicalSpace M
inst_9 : ChartedSpace HM M
N G A A' R : Type u
inst_10 : TopologicalSpace N
inst_11 : ChartedSpace H N
inst_12 : TopologicalSpace G
inst_13 : ChartedSpace H G
inst_14 : TopologicalSpace A
inst_15 : ChartedSpace H A
inst_16 : TopologicalSpace A'
inst_17 : ChartedSpace H' A'
inst_18 : TopologicalSpace R
inst_19 : ChartedSpace H R
EP : Type u_7
inst_20 : NormedAddCommGroup EP
inst_21 : NormedSpace 𝕜 EP
HP : Type u_8
inst_22 : TopologicalSpace HP
IP : ModelWithCorners 𝕜 EP HP
P : Type u
inst_23 : TopologicalSpace P
inst_24 : ChartedSpace HP P
f : M → P
hf : ContMDiff IM IP ∞ f
U : (Opens (↑(TopCat.of P) : Type u))ᵒᵖ
g :
  Functor.obj
    (ObjectProperty.FullSubcategory.obj (P := Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology (↑(TopCat.of P) : Type u)))
      (smoothSheaf IP I P N))
    U
⊢ ContMDiff IM (M := ↥(unop ((Opens.map (TopCat.ofHom { toFun := f, continuous_toFun := ⋯ : C(M, P) })).op.obj U))) IP ∞
    (Set.restrictPreimage (unop U).1 f)
have rw : ContMDiff IM (M := ↥(unop ((Opens.map (TopCat.ofHom { toFun := f, continuous_toFun := sorry : C(M, P) })).op.obj U))) IP ∞
  (Subtype.val (p := fun (x : P) ↦ x ∈ unop U) ∘ Set.restrictPreimage (unop U).1 f)
Tactic: rw [← ContMDiff.subtypeVal_comp_iff]