awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i j : J
f g : i ⟶ j
k : J
φ : k ⟶ i
hφ : φ ≫ f = φ ≫ g
⊢ F.map f = F.map g
have h : ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) = ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g)
Tactic: apply ConcreteCategory.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i j : J
f g : i ⟶ j
k : J
φ : k ⟶ i
hφ : φ ≫ f = φ ≫ g
⊢ ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) = ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g)
have this : F.map (φ ≫ f) = F.map (φ ≫ g)
Tactic: have := congrArg F.map hφ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i j : J
f g : i ⟶ j
k : J
φ : k ⟶ i
hφ : φ ≫ f = φ ≫ g
this : F.map (φ ≫ f) = F.map (φ ≫ g)
⊢ ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) = ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g)
have this₁ : Eq.{v + 1} (α := (x : F.obj k) → F.obj j)
  (fun (x : F.obj k) ↦
    (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f) : (a : F.obj i) → F.obj j)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map φ) : (a : F.obj k) → F.obj i) x : F.obj i))
  fun (x : F.obj k) ↦
  (ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map g) : (a : F.obj i) → F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map φ) : (a : F.obj k) → F.obj i) x : F.obj i)
Tactic: simp only [map_comp, ConcreteCategory.ext_iff, DFunLike.ext_iff, comp_apply, ← funext_iff] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
hs : s.Nonempty
j : J
⊢ Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
have simp : ∃ (x : F.obj j),
  ∀ (i_1 : j ⟶ i),
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
Tactic: simp only [toPreimages_obj, nonempty_coe_sort, nonempty_iInter, mem_preimage]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
hs : s.Nonempty
j : J
⊢ ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
have inl : ∀ (h : IsEmpty.{v_1 + 1} (j ⟶ i)),
  ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
Tactic: obtain h | ⟨⟨ji⟩⟩ := isEmpty_or_nonempty (j ⟶ i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
hs : s.Nonempty
j : J
inl :
  ∀ (h : IsEmpty.{v_1 + 1} (j ⟶ i)),
    ∃ (x : F.obj j),
      ∀ (i_1 : j ⟶ i),
        Membership.mem (α := F.obj i) s
          ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
⊢ ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
have inr : ∀ (ji : j ⟶ i),
  ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
Tactic: obtain h | ⟨⟨ji⟩⟩ := isEmpty_or_nonempty (j ⟶ i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
hs : s.Nonempty
j : J
ji : j ⟶ i
⊢ ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
have inr : ∀ (y : F.obj i) (ys : y ∈ s),
  ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
Tactic: obtain ⟨y, ys⟩ := hs
Cleared hypotheses: hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
i : J
s : Set (F.obj i)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
hFn : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
j : J
ji : j ⟶ i
y : F.obj i
ys : y ∈ s
⊢ ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
have inr : ∀ (x : F.obj j)
  (ys :
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map ji) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
          x :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))),
  ∃ (x : F.obj j),
    ∀ (i_1 : j ⟶ i),
      Membership.mem (α := F.obj i) s
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj j) → F.obj i) x : F.obj i)
Tactic: obtain ⟨x, rfl⟩ := Fsur ji y
Cleared hypotheses: y, ys
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
⊢ Function.Injective (β := F.obj j) fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j
have refine : ∀ (s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v)))
  (h :
    Eq.{v + 1} (α := F.obj j) ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₀)
      ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₁))
  (k : J), (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
Tactic: refine fun s₀ s₁ h => Subtype.ext <| funext fun k => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
h :
  Eq.{v + 1} (α := F.obj j) ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₀)
    ((fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) j) s₁)
k : J
⊢ (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
have obtain : ∀ (m : J) (mi : m ⟶ i) (mk : m ⟶ k), True → (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
Tactic: obtain ⟨m, mi, mk, _⟩ := IsCofilteredOrEmpty.cone_objs i k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
h : (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) j = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) j
k m : J
mi : m ⟶ i
mk : m ⟶ k
h_1 : True
⊢ (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
have rw : ∀
  (h :
    Eq (α := F.obj j)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
          ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
          ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j)))
  (mk : m ⟶ k), True → (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
Tactic: rw [← s₀.prop (mi ≫ f), ← s₁.prop (mi ≫ f)] at h
Cleared hypotheses: h, mk, h_1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
j : J
Finj :
  ∀ (i : J) (f : i ⟶ j),
    Function.Injective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
f : i ⟶ j
s₀ s₁ : (↑F.sections : Type (max u v))
k m : J
mi : m ⟶ i
h :
  Eq (α := F.obj j)
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (mi ≫ f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
        ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
      (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
mk : m ⟶ k
h_1 : True
⊢ (↑s₀ : (j : J) → F.obj j) k = (↑s₁ : (j : J) → F.obj j) k
have rw : Eq (α := F.obj k)
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
      ((↑s₀ : (j : J) → F.obj j) m) :
    (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map mk) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj m)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
      ((↑s₁ : (j : J) → F.obj j) m) :
    (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj k))
Tactic: rw [← s₀.prop mk, ← s₁.prop mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
⊢ ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))), (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x
have this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
Tactic: haveI := F.toPreimages_nonempty_of_surjective s Fsur (singleton_nonempty x)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
⊢ ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))), (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x
have obtain : ∀ (sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j) (h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections),
  ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))), (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x
Tactic: obtain ⟨sec, h⟩ := nonempty_sections_of_finite_cofiltered_system (F.toPreimages s)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
⊢ ∃ (a : (↑F.sections : Type (max u v))), (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i) a = x
have refine : (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
    (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
      (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) sorry) =
  x
Tactic: refine ⟨⟨fun j => (sec j).val, fun jk => by simpa [Subtype.ext_iff] using h jk⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
⊢ (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
    x
have this₁ : Membership.mem (γ := Set ((fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)))
  (⋂ (f : i ⟶ i),
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) ⁻¹'
      s)
  (↑(sec i) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
Tactic: have := (sec i).prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this_1 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
this :
  Membership.mem (γ := Set ((fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)))
    (⋂ (f : i ⟶ i),
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
          (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) ⁻¹'
        s)
    (↑(sec i) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i))
⊢ (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
    x
have this₁ : ∀ (i_1 : i ⟶ i),
  Membership.mem (α := F.obj i) s
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
Tactic: simp only [mem_iInter, mem_preimage] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (hypothesis)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this_1 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
this :
  ∀ (i_1 : i ⟶ i),
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
⊢ (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
    x
have this₁ : Membership.mem (α := F.obj i) s
  ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 i)) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
Tactic: have := this (𝟙 i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.CofilteredSystem (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v_1, u} J
F : Functor.{v_1, v, u, v + 1} J (Type v)
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v_1, u} J
inst_2 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (F.obj j)
inst_3 : ∀ (j : J), Finite.{v + 1} (F.obj j)
Fsur :
  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
    Function.Surjective (α := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) (β := (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map f)) :
        (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj i)) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))
i : J
x : F.obj i
s : Set (F.obj i) := {x}
this_1 : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} ((F.toPreimages s).obj j)
sec : (j : J) → (F.toPreimages s).obj j
h : sec ∈ (F.toPreimages s).sections
this_2 :
  ∀ (i_1 : i ⟶ i),
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map i_1) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
this :
  Membership.mem (α := F.obj i) s
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.map (𝟙 i)) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) : F.obj i)
⊢ (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) ⋯) =
    x
have rwa : ∀
  (this :
    Membership.mem (α := F.obj i) s
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (𝟙 (F.obj i)) : (a : F.obj i) → F.obj i) (↑(sec i) : F.obj i) :
        F.obj i)),
  (fun (s : (↑F.sections : Type (max u v))) ↦ (↑s : (j : J) → F.obj j) i)
      (Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → F.obj j) ↦ x ∈ F.sections)
        (fun (j : J) ↦ (↑(sec j) : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj j))) sorry) =
    x
Tactic: rwa [map_id, id_apply] at this
Cleared hypotheses: this