awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.BilinearMap (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring S
inst_2 : SMul S R
inst_3 : AddCommMonoid M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommMonoid N
inst_6 : Module R N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : Module R P
inst_9 : Module S M
inst_10 : Module S N
inst_11 : Module S P
inst_12 : IsScalarTower S R M
inst_13 : IsScalarTower S R N
inst_14 : IsScalarTower S R P
inst_15 : AddCommMonoid M'
inst_16 : Module S M'
inst_17 : AddCommMonoid N'
inst_18 : Module S N'
inst_19 : AddCommMonoid P'
inst_20 : Module S P'
inst_21 : SMulCommClass R S P
i : M' →ₗ[S] M
j : N' →ₗ[S] N
k : P' →ₗ[S] P
hk : Injective.{u_8 + 1, u_5 + 1} (α := P') (β := P) (⇑k : (a : P') → P)
B : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
hB :
  ∀ (m : M') (n : N'),
    Membership.mem (α := P) k.range
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
m : M'
n : N'
⊢ Eq.{u_8 + 1} (α := P')
      ((((i.restrictScalarsRange₂ j k hk B hB : (a : M') → N' →ₗ[S] P') m : N' →ₗ[S] P') : (a : N') → P') n : P')
      (0 : P') ↔
    Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      (0 : P)
have rw : Eq.{u_5 + 1} (α := P)
    ((k : (a : P') → P)
        ((((i.restrictScalarsRange₂ j k hk B hB : (a : M') → N' →ₗ[S] P') m : N' →ₗ[S] P') : (a : N') → P') n : P') :
      P)
    ((k : (a : P') → P) 0 : P) ↔
  Eq.{u_5 + 1} (α := P)
    ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
    (0 : P)
Tactic: rw [← hk.eq_iff, restrictScalarsRange₂_apply, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.BilinearMap (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring S
inst_2 : SMul S R
inst_3 : AddCommMonoid M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommMonoid N
inst_6 : Module R N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : Module R P
inst_9 : Module S M
inst_10 : Module S N
inst_11 : Module S P
inst_12 : IsScalarTower S R M
inst_13 : IsScalarTower S R N
inst_14 : IsScalarTower S R P
inst_15 : AddCommMonoid M'
inst_16 : Module S M'
inst_17 : AddCommMonoid N'
inst_18 : Module S N'
inst_19 : AddCommMonoid P'
inst_20 : Module S P'
inst_21 : SMulCommClass R S P
i : M' →ₗ[S] M
j : N' →ₗ[S] N
k : P' →ₗ[S] P
hk : Injective.{u_8 + 1, u_5 + 1} (α := P') (β := P) (⇑k : (a : P') → P)
B : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
hB :
  ∀ (m : M') (n : N'),
    Membership.mem (α := P) k.range
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
m : M'
n : N'
rw :
  Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((k : (a : P') → P)
          ((((i.restrictScalarsRange₂ j k hk B hB : (a : M') → N' →ₗ[S] P') m : N' →ₗ[S] P') : (a : N') → P') n : P') :
        P)
      ((k : (a : P') → P) 0 : P) ↔
    Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      (0 : P)
⊢ Eq.{u_8 + 1} (α := P')
      ((((i.restrictScalarsRange₂ j k hk B hB : (a : M') → N' →ₗ[S] P') m : N' →ₗ[S] P') : (a : N') → P') n : P')
      (0 : P') ↔
    Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      (0 : P)
have rw₁ : Eq.{u_5 + 1} (α := P)
    ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
    ((k : (a : P') → P) 0 : P) ↔
  Eq.{u_5 + 1} (α := P)
    ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
    (0 : P)
Tactic: rw [← hk.eq_iff, restrictScalarsRange₂_apply, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.BilinearMap (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M' : Type u_6
N' : Type u_7
P' : Type u_8
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring S
inst_2 : SMul S R
inst_3 : AddCommMonoid M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommMonoid N
inst_6 : Module R N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : Module R P
inst_9 : Module S M
inst_10 : Module S N
inst_11 : Module S P
inst_12 : IsScalarTower S R M
inst_13 : IsScalarTower S R N
inst_14 : IsScalarTower S R P
inst_15 : AddCommMonoid M'
inst_16 : Module S M'
inst_17 : AddCommMonoid N'
inst_18 : Module S N'
inst_19 : AddCommMonoid P'
inst_20 : Module S P'
inst_21 : SMulCommClass R S P
i : M' →ₗ[S] M
j : N' →ₗ[S] N
k : P' →ₗ[S] P
hk : Injective.{u_8 + 1, u_5 + 1} (α := P') (β := P) (⇑k : (a : P') → P)
B : M →ₗ[R] N →ₗ[R] P
hB :
  ∀ (m : M') (n : N'),
    Membership.mem (α := P) k.range
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
m : M'
n : N'
rw :
  Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((k : (a : P') → P)
          ((((i.restrictScalarsRange₂ j k hk B hB : (a : M') → N' →ₗ[S] P') m : N' →ₗ[S] P') : (a : N') → P') n : P') :
        P)
      ((k : (a : P') → P) 0 : P) ↔
    Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      (0 : P)
rw₁ :
  Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      ((k : (a : P') → P) 0 : P) ↔
    Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      (0 : P)
⊢ Eq.{u_8 + 1} (α := P')
      ((((i.restrictScalarsRange₂ j k hk B hB : (a : M') → N' →ₗ[S] P') m : N' →ₗ[S] P') : (a : N') → P') n : P')
      (0 : P') ↔
    Eq.{u_5 + 1} (α := P)
      ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
      (0 : P)
have rw₂ : Eq.{u_5 + 1} (α := P)
    ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
    (0 : P) ↔
  Eq.{u_5 + 1} (α := P)
    ((((B : (a : M) → N →ₗ[R] P) ((i : (a : M') → M) m) : N →ₗ[R] P) : (a : N) → P) ((j : (a : N') → N) n : N) : P)
    (0 : P)
Tactic: rw [← hk.eq_iff, restrictScalarsRange₂_apply, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)))
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have simp : ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
  f =
    HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x sorry) 1
Tactic: simp only [SetLike.exists, Subring.mem_center_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)))
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have inl : ∀ (hV : Subsingleton V),
  ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x sorry) 1
Tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial V with hV | hV
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)))
inl :
  ∀ (hV : Subsingleton V),
    ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
      f =
        HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
          (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have inr : ∀ (hV : Nontrivial V),
  ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x sorry) 1
Tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial V with hV | hV
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)))
hV : Subsingleton V
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have inl : f =
  HSMul.hSMul (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
    (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) 1 sorry) 1
Tactic: refine ⟨1, by simp, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)))
hV : Subsingleton V
⊢ f =
    HSMul.hSMul (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) 1 ⋯) 1
have inl : ∀ (x : V),
  Eq (α := V) ((f : (a : V) → V) x : V)
    ((HSMul.hSMul (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
            (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) 1 sorry) 1 :
          (a : V) → V)
        x :
      V)
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R), i ≠ j → Commute f ((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)))
hV : Nontrivial V
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have hcomm₁ : ∀ (i j : ι) (r : R),
  i ≠ j →
    f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) =
      (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f
Tactic: simp only [commute_iff_eq] at hcomm
Cleared hypotheses: hcomm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R),
    i ≠ j →
      f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) =
        (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
⊢ HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
have this : f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) =
  (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f
Tactic: have := hcomm i j r hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R),
    i ≠ j →
      f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) =
        (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f
i j : ι
hij : i ≠ j
r : R
this :
  f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) =
    (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f
⊢ HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
have this₁ : ∀ (x : V),
  Eq (α := V) ((f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) : (a : V) → V) x : V)
    (((b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f : (a : V) → V) x : V)
Tactic: rw [LinearMap.ext_iff] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (r : R),
    i ≠ j →
      f * (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) =
        (b.coord i).transvection (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V)) * f
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have hcomm₁ : ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
  HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
Tactic: replace hcomm (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R) :
      r • f (b j) = b.coord i (f (b i)) • r • b j := by
    have := hcomm i j r hij
    rw [LinearMap.ext_iff] at this
    simpa [LinearMap.transvection.apply] using this (b i)
Cleared hypotheses: hcomm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
i j : ι
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
have pos : ∀ (hij : j = i),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
Tactic: by_cases hij : j = i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
i j : ι
pos :
  ∀ (hij : j = i),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
have neg : ∀ (hij : ¬j = i),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
Tactic: by_cases hij : j = i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have h_allEq : ∀ (i j : ι),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
Tactic: have h_allEq (i j : ι) : b.coord i (f (b i)) = b.coord j (f (b j)) := by
    by_cases hij : j = i
    · simp [hij]
    simpa using congr_arg (b.coord i) (hcomm j i hij 1)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
h_allEq :
  ∀ (i j : ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
i : ι
r : R
⊢ HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) i : V))
have obtain : ∀ (j : ι) (hji : j ≠ i),
  HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) i : V))
Tactic: obtain ⟨j, hji⟩ := exists_ne i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
hcomm :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) j : V))
h_allEq :
  ∀ (i j : ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have hcomm₁ : ∀ (i : ι) (r : R),
  HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) i : V))
Tactic: replace hcomm (i : ι) (r : R) : r • f (b i) = b.coord i (f (b i)) • r • b i := by
    obtain ⟨j, hji⟩ := exists_ne i
    simpa [h_allEq j i] using hcomm j i hji r
Cleared hypotheses: hcomm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
h_allEq :
  ∀ (i j : ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
hcomm :
  ∀ (i : ι) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) i : V))
i : ι := Classical.ofNonempty
⊢ ∃ (x : R) (h : ∀ (g : R), g * x = x * g),
    f =
      HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V)
        (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x) x ⋯) 1
have inr : f =
  HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
    (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) sorry :
      ↥(Subring.center R))
    1
Tactic: refine ⟨b.coord i (f (b i)), fun r ↦ by simpa using congr(b.coord i $(hcomm i r)), ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup V
inst_2 : Module R V
ι : Type u_3
inst_3 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
f : V →ₗ[R] V
hV : Nontrivial V
h_allEq :
  ∀ (i j : ι),
    Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
hcomm :
  ∀ (i : ι) (r : R),
    HSMul.hSMul (β := V) r ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
        (HSMul.hSMul (β := V) r ((b : (a : ι) → V) i : V))
i : ι := Classical.ofNonempty
⊢ f =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x)
          ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) ⋯ :
        ↥(Subring.center R))
      1
have inr : ∀ (x : V),
  Eq (α := V) ((f : (a : V) → V) x : V)
    ((HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
            (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x)
                ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) sorry :
              ↥(Subring.center R))
            1 :
          (a : V) → V)
        x :
      V)
Tactic: ext x