awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
κ : Type u_1
inst_5 : DecidableEq κ
inst_6 : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  (HMul.hMul (α := Matrix ι κ R) ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)
        (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
          ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))).trace =
    (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
        (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
          ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
        ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace
⊢ (HMul.hMul (β := Matrix κ ι R)
        (HMul.hMul (α := Matrix ι κ R) (β := Matrix κ κ R)
          ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R))
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R)).trace =
    (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
        (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
          ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
        ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace
have rw₁ : (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
      (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
        ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
      ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace =
  (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
      (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
        ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
      ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace
Tactic: rw [Matrix.mul_assoc, Matrix.trace_mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
κ : Type u_1
inst_5 : DecidableEq κ
inst_6 : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
        (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
          ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
        ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace =
    Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id))
have rw : (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
      (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
        ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
      ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace =
  (HMul.hMul (α := Matrix κ ι R) (β := Matrix ι κ R)
      ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) (f ∘ₗ id) : Matrix κ ι R)
      ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace
Tactic: rw [LinearMap.toMatrix_comp _ b, LinearMap.toMatrix_comp _ c]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
κ : Type u_1
inst_5 : DecidableEq κ
inst_6 : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
        (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
          ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
        ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace =
    (HMul.hMul (α := Matrix κ ι R) (β := Matrix ι κ R)
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) (f ∘ₗ id) : Matrix κ ι R)
        ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace
⊢ (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
        (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
          ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
          ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
        ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace =
    Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id))
have rw₁ : (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
      (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
        ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
      ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace =
  (HMul.hMul (β := Matrix ι κ R)
      (HMul.hMul (α := Matrix κ κ R) (β := Matrix κ ι R)
        ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f : Matrix κ κ R)
        ((toMatrix b c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ ι R) id : Matrix κ ι R))
      ((toMatrix c b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι κ R) id : Matrix ι κ R)).trace
Tactic: rw [LinearMap.toMatrix_comp _ b, LinearMap.toMatrix_comp _ c]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
κ : Type u_1
inst_5 : DecidableEq κ
inst_6 : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id)))
    (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f))
have rw : Eq.{u + 1} (α := R) (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) (f ∘ₗ id)))
  (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f))
Tactic: rw [LinearMap.comp_id, LinearMap.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
κ : Type u_1
inst_5 : DecidableEq κ
inst_6 : Fintype κ
b : Basis ι R M
c : Basis κ R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R) (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) (f ∘ₗ id)))
    (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f))
⊢ Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) ((f ∘ₗ id) ∘ₗ id)))
    (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f))
have rw₁ : Eq.{u + 1} (α := R) (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f))
  (Matrix.trace.{u_1, u} (n := κ) ((toMatrix c c : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix κ κ R) f))
Tactic: rw [LinearMap.comp_id, LinearMap.comp_id]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (hypothesis)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
s : Finset M
b : Basis (↥s) R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥s) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix (↥s) (↥s) R) f) : R)
have this : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
Tactic: have : ∃ s : Finset M, Nonempty (Basis s R M) := ⟨s, ⟨b⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
s : Finset M
b : Basis (↥s) R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥s) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix (↥s) (↥s) R) f) : R)
have rw : Eq.{u + 1} (α := R) ((traceAux R sorry.some : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R) ((traceAux R b : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
Tactic: rw [trace, dif_pos this, ← traceAux_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
s : Finset M
b : Basis (↥s) R M
f : M →ₗ[R] M
this : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((traceAux R ⋯.some : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R) ((traceAux R b : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
have e_a : traceAux R sorry.some = traceAux R b
Tactic: congr 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw : Eq.{u + 1} (α := R)
  (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
    ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) →
          Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
      f))
  (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
Tactic: rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
      ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) →
            Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
        f))
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw₁ : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
  (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
Tactic: rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
      ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) →
            Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
        f))
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
rw₁ :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) → R)
        f :
      R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw₂ : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
  ((traceAux R b : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
Tactic: rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
      ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) →
            Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
        f))
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
rw₁ :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) → R)
        f :
      R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
rw₂ :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) → R)
        f :
      R)
    ((traceAux R b : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw₃ : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
Tactic: rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw : Eq.{u + 1} (α := R)
  (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
    ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) →
          Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
      f))
  (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
Tactic: classical
  rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
      ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) →
            Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
        f))
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw₁ : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
  (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
Tactic: classical
  rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
      ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) →
            Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
        f))
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
rw₁ :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) → R)
        f :
      R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw₂ : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
  ((traceAux R b : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
Tactic: classical
  rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
ι : Type w
inst_3 : DecidableEq ι
inst_4 : Fintype ι
b : Basis ι R M
f : M →ₗ[R] M
rw :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    (Matrix.trace.{v, u} (n := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ))
      ((toMatrix b.reindexFinsetRange b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) →
            Matrix (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) (↥(Finset.image (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) R)
        f))
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f))
rw₁ :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) → R)
        f :
      R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
rw₂ :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
          (a : M →ₗ[R] M) → R)
        f :
      R)
    ((traceAux R b : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) f : R)
    (Matrix.trace.{w, u} (n := ι) ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix ι ι R) f) : R)
have rw₃ : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
  ((traceAux R (ι := ↥(Finset.image.{w, v} (α := ι) (⇑b : (a : ι) → M) Finset.univ)) b.reindexFinsetRange :
        (a : M →ₗ[R] M) → R)
      f :
    R)
Tactic: classical
  rw [trace_eq_matrix_trace_of_finset R b.reindexFinsetRange, ← traceAux_def, ← traceAux_def,
    traceAux_eq R b b.reindexFinsetRange]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
have pos : ∀ (H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)),
  Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
Tactic: by_cases H : ∃ s : Finset M, Nonempty (Basis s R M)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
pos :
  ∀ (H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)),
    Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
have neg : ∀ (H : ¬∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)),
  Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
Tactic: by_cases H : ∃ s : Finset M, Nonempty (Basis s R M)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
have pos : ∀ (s : Finset M) (b : Basis (↥s) R M),
  Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
Tactic: let ⟨s, ⟨b⟩⟩ := H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
s : Finset M
b : Basis (↥s) R M
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
have pos : (HMul.hMul (α := Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R) (β := Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R)
      ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix (↥s) (↥s) R) f : Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R)
      ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix (↥s) (↥s) R) g : Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R)).trace =
  (HMul.hMul (α := Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R) (β := Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R)
      ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix (↥s) (↥s) R) g : Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R)
      ((toMatrix b b : (a : M →ₗ[R] M) → Matrix (↥s) (↥s) R) f : Matrix.{v, v, u} (↥s) (↥s) R)).trace
Tactic: simp_rw [trace_eq_matrix_trace R b, LinearMap.toMatrix_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ¬∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
have neg : Eq.{u + 1} (α := R)
  ((if H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M) then traceAux R sorry.some else 0 : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R)
  ((if H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M) then traceAux R sorry.some else 0 : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
Tactic: rw [trace, dif_neg H, LinearMap.zero_apply, LinearMap.zero_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Trace (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommSemiring R
M : Type v
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
f g : M →ₗ[R] M
H : ¬∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M)
neg :
  Eq.{u + 1} (α := R)
    ((if H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M) then traceAux R ⋯.some else 0 : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) :
      R)
    ((if H : ∃ (s : Finset M), Nonempty (Basis (↥s) R M) then traceAux R ⋯.some else 0 : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) :
      R)
⊢ Eq.{u + 1} (α := R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((trace R M : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
have neg₁ : Eq.{u + 1} (α := R) ((0 : (a : M →ₗ[R] M) → R) (f * g) : R) ((0 : (a : M →ₗ[R] M) → R) (g * f) : R)
Tactic: rw [trace, dif_neg H, LinearMap.zero_apply, LinearMap.zero_apply]