-- Lean 4 proof step from Mathlib.RepresentationTheory.Induced (goal)
Goal:
k : Type u
G : Type v
H : Type v'
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
inst_2 : Group H
φ : G →* H
A_1 : Rep.{w, u, v} k G
B_1 : Rep k H
A : Rep k G
B : Rep k H
f : A ⟶ res φ B
g : G
a : H
x : (↑A : Type (max (max u v') w))
⊢ Eq (α := (↑B : Type (max (max u v') w)))
    ((((B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) a⁻¹ :
            (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) :
          (a : (↑B : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
        ((((B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
                ((φ : (a : G) → H) g)⁻¹ :
              (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) :
            (a : (↑B : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
          ((Hom.hom f : (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
            ((((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w))) g :
                  (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w))) :
                (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑A : Type (max (max u v') w)))
              x))) :
      (↑B : Type (max (max u v') w)))
    ((((B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) a⁻¹ :
            (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) :
          (a : (↑B : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
        ((Hom.hom f : (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w))) x) :
      (↑B : Type (max (max u v') w)))
have e_f' : Eq (α := (↑B : Type (max (max u v') w)))
  ((((B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) a⁻¹ :
          (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) :
        (a : (↑B : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
      ((((B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) ((φ : (a : G) → H) g)⁻¹ :
            (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) :
          (a : (↑B : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
        (((((res φ B).ρ : (a : G) → (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w)))
                g :
              (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w))) :
            (a : (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w))) → (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w)))
          ((Hom.hom f : (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑(res φ B) : Type (max (max u v') w))) x))) :
    (↑B : Type (max (max u v') w)))
  ((((B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) a⁻¹ :
          (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) :
        (a : (↑B : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
      ((Hom.hom f : (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w))) x) :
    (↑B : Type (max (max u v') w)))
Tactic: rw [hom_comm_apply f g _]