awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
x : Lifts F E K
s : E
h1 : IsIntegral F s
h2 : Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
⊢ (Polynomial.map (x.emb.comp (algebraMap F ↥x.carrier)) (minpoly F s)).Splits
have rwa : ∀
  (h2 :
    Splits
      (Polynomial.map
        (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (↑x.emb : ↥x.carrier →+* K) (algebraMap F ↥x.carrier))
        (minpoly F s))),
  (Polynomial.map (x.emb.comp (algebraMap F ↥x.carrier)) (minpoly F s)).Splits
Tactic: rwa [← x.emb.comp_algebraMap] at h2
Cleared hypotheses: h2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin (↥L) S)) K), AlgHom.restrictDomain (↥L) φ = f
have obtain : ∀ (φ : Lifts F E K) (hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ) (hφ : IsMax φ),
  ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin (↥L) S)) K), AlgHom.restrictDomain (↥L) φ = f
Tactic: obtain ⟨φ, hfφ, hφ⟩ := zorn_le_nonempty_Ici₀ _
    (fun c _ hc _ _ ↦ Lifts.exists_upper_bound c hc) ⟨L, f⟩ le_rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin (↥L) S)) K), AlgHom.restrictDomain (↥L) φ = f
have refine : ∀ (s : E) (h : s ∈ S), s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) sorry) : Set E)
Tactic: refine ⟨φ.emb.comp (inclusion <| (le_extendScalars_iff hfφ.1 <| adjoin L S).mp <|
    adjoin_le_iff.mpr fun s h ↦ ?_), AlgHom.ext hfφ.2⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
h : s ∈ S
this_1 : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier ↥φ.carrier :=
  RingHom.toAlgebra (AlgHom.toRingHom (inclusion ⋯))
this : SMul ↥L ↥φ.carrier :=
  @Algebra.toSMul _ _ (SubsemiringClass.toCommSemiring { carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier)
    CommSemiring.toSemiring _
⊢ s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) ⋯) : Set E)
have this₁ : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
Tactic: have : IsScalarTower L φ.carrier E := ⟨fun x y ↦ smul_assoc x (y : E)⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
h : s ∈ S
this_1 : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier ↥φ.carrier :=
  RingHom.toAlgebra (AlgHom.toRingHom (inclusion ⋯))
this_2 : SMul ↥L ↥φ.carrier :=
  @Algebra.toSMul _ _ (SubsemiringClass.toCommSemiring { carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier)
    CommSemiring.toSemiring _
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
⊢ s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) ⋯) : Set E)
have refine_2 : ∀ (this : ∃ (y : Lifts F E K), φ ≤ y ∧ s ∈ y.carrier), s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) sorry) : Set E)
Tactic: have := φ.exists_lift_of_splits' (hK s h).1.tower_top ((hK s h).1.minpoly_splits_tower_top' ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
h : s ∈ S
this_1 : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier ↥φ.carrier :=
  RingHom.toAlgebra (AlgHom.toRingHom (inclusion ⋯))
this_2 : SMul ↥L ↥φ.carrier :=
  @Algebra.toSMul _ _ (SubsemiringClass.toCommSemiring { carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier)
    CommSemiring.toSemiring _
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
refine_2 : ∀ (this : ∃ (y : Lifts F E K), φ ≤ y ∧ s ∈ y.carrier), s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) ⋯) : Set E)
⊢ s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) ⋯) : Set E)
have refine_1 : (Polynomial.map (R := ↥L) (φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier)) (minpoly (↥L) s)).Splits
Tactic: have := φ.exists_lift_of_splits' (hK s h).1.tower_top ((hK s h).1.minpoly_splits_tower_top' ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
h : s ∈ S
this_1 : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier ↥φ.carrier :=
  RingHom.toAlgebra (AlgHom.toRingHom (inclusion ⋯))
this_2 : SMul ↥L ↥φ.carrier :=
  @Algebra.toSMul _ _ (SubsemiringClass.toCommSemiring { carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier)
    CommSemiring.toSemiring _
this_3 : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
this : ∃ (y : Lifts F E K), φ ≤ y ∧ s ∈ y.carrier
⊢ s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) ⋯) : Set E)
have refine_2 : ∀ (y : Lifts F E K) (h1 : φ ≤ y) (h2 : s ∈ y.carrier), s ∈ (↑(extendScalars (E := φ.carrier) sorry) : Set E)
Tactic: obtain ⟨y, h1, h2⟩ := this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
h : s ∈ S
this_1 : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier ↥φ.carrier :=
  RingHom.toAlgebra (AlgHom.toRingHom (inclusion ⋯))
this_2 : SMul ↥L ↥φ.carrier :=
  @Algebra.toSMul _ _ (SubsemiringClass.toCommSemiring { carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier)
    CommSemiring.toSemiring _
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
⊢ (Polynomial.map (R := ↥L) (φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier)) (minpoly (↥L) s)).Splits
have h₁ : Eq.{u_2 + 1} (α := Semiring ↥L) CommSemiring.toSemiring DivisionSemiring.toSemiring →
  φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier) = f.toRingHom
Tactic: convert! (hK s h).2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral (↥L) s ∧ (Polynomial.map f.toRingHom (minpoly (↥L) s)).Splits
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
h : s ∈ S
this_1 : Algebra ↥{ carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier ↥φ.carrier :=
  RingHom.toAlgebra (AlgHom.toRingHom (inclusion ⋯))
this_2 : SMul ↥L ↥φ.carrier :=
  @Algebra.toSMul _ _ (SubsemiringClass.toCommSemiring { carrier := L, emb := f : Lifts F E K }.carrier)
    CommSemiring.toSemiring _
this : IsScalarTower (↥L) (↥φ.carrier) E
e_3 : Eq.{u_2 + 1} (α := Semiring ↥L) CommSemiring.toSemiring DivisionSemiring.toSemiring
⊢ φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier) = f.toRingHom
have h₁ : ∀ (x : ↥L),
  Eq.{u_3 + 1} (α := K) ((φ.emb.comp (algebraMap ↥L ↥φ.carrier) : (a : ↥L) → K) x : K)
    ((f.toRingHom : (a : ↥L) → K) x : K)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hL : L ≤ adjoin F S
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K), φ.comp (inclusion hL) = f
have obtain : ∀ (φ : Lifts F E K) (hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ) (hφ : IsMax φ),
  ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K), φ.comp (inclusion hL) = f
Tactic: obtain ⟨φ, hfφ, hφ⟩ := zorn_le_nonempty_Ici₀ _
    (fun c _ hc _ _ ↦ Lifts.exists_upper_bound c hc) ⟨L, f⟩ le_rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K), φ.comp (inclusion hL) = f
have refine_1 : ∀ (s : E) (hs : s ∈ S), s ∈ (↑φ.carrier : Set E)
Tactic: refine ⟨φ.emb.comp (inclusion <| adjoin_le_iff.mpr fun s hs ↦ ?_), ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
refine_1 : ∀ (s : E) (hs : s ∈ S), s ∈ (↑φ.carrier : Set E)
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K), φ.comp (inclusion hL) = f
have refine_2 : AlgHom.comp (φ.emb.comp (inclusion sorry)) (inclusion hL) = f
Tactic: refine ⟨φ.emb.comp (inclusion <| adjoin_le_iff.mpr fun s hs ↦ ?_), ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
s : E
hs : s ∈ S
⊢ s ∈ (↑φ.carrier : Set E)
have refine_1 : ∀ (y : Lifts F E K) (h1 : φ ≤ y) (h2 : s ∈ y.carrier), s ∈ (↑φ.carrier : Set E)
Tactic: rcases φ.exists_lift_of_splits (hK s hs).1 (hK s hs).2 with ⟨y, h1, h2⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
L : IntermediateField F E
f : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥L) K
hL : L ≤ adjoin F S
φ : Lifts F E K
hfφ : { carrier := L, emb := f : Lifts F E K } ≤ φ
hφ : IsMax φ
⊢ AlgHom.comp (φ.emb.comp (inclusion ⋯)) (inclusion hL) = f
have refine_2 : ∀ (x : ↥L),
  Eq.{u_3 + 1} (α := K) ((AlgHom.comp (φ.emb.comp (inclusion sorry)) (inclusion hL) : (a : ↥L) → K) x : K)
    ((f : (a : ↥L) → K) x : K)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
x : E
y : K
hx : Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x
hy : Eq.{u_3 + 1} (α := K) ((aeval y : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) (0 : K)
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K),
    (φ : (a : ↥(adjoin F S)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) =
      y
have this : Algebra.IsAlgebraic.{u_1, u_2} F ↥(adjoin F S)
Tactic: have := isAlgebraic_adjoin (fun s hs ↦ (hK s hs).1)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
x : E
y : K
hx : Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x
hy : Eq.{u_3 + 1} (α := K) ((aeval y : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) (0 : K)
this : Algebra.IsAlgebraic.{u_1, u_2} F ↥(adjoin F S)
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K),
    (φ : (a : ↥(adjoin F S)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) =
      y
have ix : IsAlgebraic F (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx)
Tactic: have ix : IsAlgebraic F _ := Algebra.IsAlgebraic.isAlgebraic (⟨x, hx⟩ : adjoin F S)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (hypothesis)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
x : E
y : K
hx : Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x
hy : Eq.{u_3 + 1} (α := K) ((aeval y : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) (0 : K)
this : Algebra.IsAlgebraic.{u_1, u_2} F ↥(adjoin F S)
ix : IsAlgebraic F (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx)
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K),
    (φ : (a : ↥(adjoin F S)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) =
      y
have ix₁ : IsIntegral F (↑(Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) : E)
Tactic: rw [isAlgebraic_iff_isIntegral, isIntegral_iff] at ix
Cleared hypotheses: ix
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Field K
inst_3 : Algebra F E
inst_4 : Algebra F K
S : Set E
hK : ∀ s ∈ S, IsIntegral F s ∧ Splits (Polynomial.map (algebraMap F K) (minpoly F s))
x : E
y : K
hx : Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x
hy : Eq.{u_3 + 1} (α := K) ((aeval y : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) (0 : K)
this : Algebra.IsAlgebraic.{u_1, u_2} F ↥(adjoin F S)
ix :
  IsIntegral F (↑(Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) : E)
⊢ ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K),
    (φ : (a : ↥(adjoin F S)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) =
      y
have obtain : ∀ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K)
  (hφ :
    φ.comp (inclusion sorry) =
      (Equiv.symm (algHomAdjoinIntegralEquiv F ix) :
          (a : { x_1 : K // x_1 ∈ (minpoly F (↑⟨x, hx⟩ : E)).aroots K }) → ↥F⟮(↑⟨x, hx⟩ : E)⟯ →ₐ[F] K)
        (Subtype.mk (p := fun (x_1 : K) ↦
          x_1 ∈
            aroots
              (minpoly F
                (↑(Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) :
                  E))
              K)
          y sorry)),
  ∃ (φ : AlgHom.{u_1, u_2, u_3} F (↥(adjoin F S)) K),
    (φ : (a : ↥(adjoin F S)) → K)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦ Membership.mem (γ := IntermediateField F E) (adjoin F S) x) x hx) =
      y
Tactic: obtain ⟨φ, hφ⟩ := exists_algHom_adjoin_of_splits hK ((algHomAdjoinIntegralEquiv F ix).symm
    ⟨y, mem_aroots.mpr ⟨minpoly.ne_zero ix, hy⟩⟩) (adjoin_simple_le_iff.mpr hx)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
⊢ (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) = rootSet (minpoly F x) L
have h : ∀ (a : L),
  Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a ↔ a ∈ rootSet (minpoly F x) L
Tactic: ext a
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
⊢ Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a ↔ a ∈ rootSet (minpoly F x) L
have h : Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a ↔
  Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
Tactic: rw [mem_rootSet_of_ne (minpoly.ne_zero (Algebra.IsIntegral.isIntegral x))]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
⊢ Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a ↔
    Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
have h : Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a →
  ∀ (ψ : K →ₐ[F] L) (hψ : (fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ = a),
    Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
Tactic: refine ⟨fun ⟨ψ, hψ⟩ ↦ ?_, fun ha ↦ IntermediateField.exists_algHom_of_splits_of_aeval
    (fun x ↦ ⟨Algebra.IsIntegral.isIntegral x, hA x⟩) ha⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
h : Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ = a
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
have h : Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval ((fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ) : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L)
  (0 : L)
Tactic: rw [← hψ, Polynomial.aeval_algHom_apply ψ x, minpoly.aeval, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
h_1 : Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ = a
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := L)
    ((aeval ((fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ) : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
have h₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((ψ : (a : K) → L) ((aeval x : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) : L) (0 : L)
Tactic: rw [← hψ, Polynomial.aeval_algHom_apply ψ x, minpoly.aeval, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
h_1 : Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ = a
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := L)
    ((aeval ((fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ) : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
h₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((ψ : (a : K) → L) ((aeval x : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) : L) (0 : L)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
have h₂ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((ψ : (a : K) → L) 0 : L) (0 : L)
Tactic: rw [← hψ, Polynomial.aeval_algHom_apply ψ x, minpoly.aeval, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Extension (goal)
Goal:
F : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst : Field F
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra F L
inst_4 : Algebra F K
hA : ∀ (x : K), Splits (map (algebraMap F L) (minpoly F x))
inst_5 : Algebra.IsAlgebraic F K
x : K
a : L
h_1 : Membership.mem (γ := Set L) (Set.range fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ (ψ : (a : K) → L) x) a
ψ : K →ₐ[F] L
hψ : (fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ = a
h :
  Eq.{u_3 + 1} (α := L)
    ((aeval ((fun (ψ : K →ₐ[F] L) ↦ ((ψ : (a : K) → L) x : L)) ψ) : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
h₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((ψ : (a : K) → L) ((aeval x : (a : F[X]) → K) (minpoly F x) : K) : L) (0 : L)
h₂ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((ψ : (a : K) → L) 0 : L) (0 : L)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := L) ((aeval a : (a : F[X]) → L) (minpoly F x) : L) (0 : L)
have h₃ : Eq.{u_3 + 1} (α := L) 0 0
Tactic: rw [← hψ, Polynomial.aeval_algHom_apply ψ x, minpoly.aeval, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint.{u_2} (α := Finset R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ) (image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ)
⊢ 0 < f.degree
have rw : LT.lt (α := WithBot ℕ) 0 2
Tactic: rw [hf2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint.{u_2} (α := Finset R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ) (image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ)
⊢ 0 < (-g).degree
have rw : LT.lt (α := WithBot ℕ) 0 2
Tactic: rw [degree_neg, hg2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Finite.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : Fintype R
f g : R[X]
hf2 : f.degree = 2
hg2 : g.degree = 2
hR : Fintype.card R % 2 = 1
this : DecidableEq R := Classical.decEq R
hd : Disjoint.{u_2} (α := Finset R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ) (image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ)
⊢ f.natDegree * card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ) +
      (-g).natDegree * card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ) =
    2 * card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ ∪ image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ)
have rw : f.natDegree * card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ) +
    (-g).natDegree * card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ) =
  2 *
    (card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x f) univ) +
      card.{u_2} (α := R) (image (fun (x : R) ↦ eval x (-g)) univ))
Tactic: rw [card_union_of_disjoint hd]