awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j : ι'
g : Y ⟶ X' j
hg : g ≫ f' j = q
⊢ pullFunctorObjHom w D (g ≫ f' j) g g ⋯ ⋯ =
    𝟙
      (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X' j) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
        (Cat.Hom.toFunctor (F.map g.op.toLoc))
        (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α j)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
          (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j).op.toLoc)) (D.obj (α j))))
have rw : Eq (α :=
  Quiver.Hom (V := (↑(F.obj { as := op Y : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
    (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X' j) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
      (Cat.Hom.toFunctor (F.map g.op.toLoc))
      (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α j)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
        (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j).op.toLoc)) (D.obj (α j))))
    (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X' j) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
      (Cat.Hom.toFunctor (F.map g.op.toLoc))
      (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α j)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
        (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j).op.toLoc)) (D.obj (α j)))))
  ((F.mapComp' (p' j).op.toLoc g.op.toLoc (g ≫ p' j).op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j)) ≫
    𝟙
        (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α j)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
          (Cat.Hom.toFunctor (F.map (g ≫ p' j).op.toLoc)) (D.obj (α j))) ≫
      (F.mapComp' (p' j).op.toLoc g.op.toLoc (g ≫ p' j).op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app (D.obj (α j)))
  (𝟙
    (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X' j) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
      (Cat.Hom.toFunctor (F.map g.op.toLoc))
      (Functor.obj (C := (↑(F.obj { as := op (X (α j)) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u'))
        (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j).op.toLoc)) (D.obj (α j)))))
Tactic: rw [pullFunctorObjHom_eq _ _ _ _ _ _ _ _ rfl rfl rfl rfl rfl,
      D.hom_self _ _ (by cat_disch)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ j₃ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
f₃ : Y ⟶ X' j₃
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
hf₃ : f₃ ≫ f' j₃ = q
⊢ pullFunctorObjHom w D (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫ pullFunctorObjHom w D (f₂ ≫ f' j₂) f₂ f₃ ⋯ ⋯ =
    pullFunctorObjHom w D (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₃ ⋯ ⋯
have rw : ((F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₁)) ≫
      D.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry ≫
        (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app (D.obj (α j₂))) ≫
    (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₂)) ≫
      D.hom (q ≫ p) (f₂ ≫ p' j₂) (f₃ ≫ p' j₃) sorry sorry ≫
        (F.mapComp' (p' j₃).op.toLoc f₃.op.toLoc (f₃ ≫ p' j₃).op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app (D.obj (α j₃)) =
  (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app (D.obj (α j₁)) ≫
    D.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₃ ≫ p' j₃) sorry sorry ≫
      (F.mapComp' (p' j₃).op.toLoc f₃.op.toLoc (f₃ ≫ p' j₃).op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app (D.obj (α j₃))
Tactic: rw [pullFunctorObjHom_eq _ _ _ _ _ (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂),
      pullFunctorObjHom_eq _ _ _ _ _ (q ≫ p) (f₂ ≫ p' j₂) (f₃ ≫ p' j₃),
      pullFunctorObjHom_eq _ _ _ _ _ (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₃ ≫ p' j₃)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ (f₁ ≫ p' j₁) ≫ f (α j₁) = q ≫ p
have rw : f₁ ≫ p' j₁ ≫ f (α j₁) = q ≫ p
Tactic: rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
rw : f₁ ≫ p' j₁ ≫ f (α j₁) = q ≫ p
⊢ (f₁ ≫ p' j₁) ≫ f (α j₁) = q ≫ p
have rw₁ : f₁ ≫ f' j₁ ≫ p = q ≫ p
Tactic: rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
rw : f₁ ≫ p' j₁ ≫ f (α j₁) = q ≫ p
rw₁ : f₁ ≫ f' j₁ ≫ p = q ≫ p
⊢ (f₁ ≫ p' j₁) ≫ f (α j₁) = q ≫ p
have rw₂ : q ≫ p = q ≫ p
Tactic: rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ (f₂ ≫ p' j₂) ≫ f (α j₂) = q ≫ p
have rw : f₂ ≫ p' j₂ ≫ f (α j₂) = q ≫ p
Tactic: rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
rw : f₂ ≫ p' j₂ ≫ f (α j₂) = q ≫ p
⊢ (f₂ ≫ p' j₂) ≫ f (α j₂) = q ≫ p
have rw₁ : f₂ ≫ f' j₂ ≫ p = q ≫ p
Tactic: rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
rw : f₂ ≫ p' j₂ ≫ f (α j₂) = q ≫ p
rw₁ : f₂ ≫ f' j₂ ≫ p = q ≫ p
⊢ (f₂ ≫ p' j₂) ≫ f (α j₂) = q ≫ p
have rw₂ : q ≫ p = q ≫ p
Tactic: rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
      (pullFunctorObj w D₂).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    (pullFunctorObj w D₁).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
have this : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁)) ≫
    D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry =
  D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry ≫
    Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂))
Tactic: have := φ.comm (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂)
          (by rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₁])
          (by rw [Category.assoc, w, reassoc_of% hf₂])
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
this :
  Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁)) ≫
      D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ =
    D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂))
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
      (pullFunctorObj w D₂).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    (pullFunctorObj w D₁).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
have dsimp : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
      (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
    pullFunctorObjHom w D₂ (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ sorry sorry =
  pullFunctorObjHom w D₁ (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ sorry sorry ≫
    Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
      (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
Tactic: dsimp at this ⊢
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
this :
  Functor.map
        (Cat.Hom.toFunctor
          (F.map (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₁) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc)))
        (φ.hom (α j₁)) ≫
      D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ =
    D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map
        (Cat.Hom.toFunctor (F.map (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₂) }) (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc)))
        (φ.hom (α j₂))
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
      pullFunctorObjHom w D₂ (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    pullFunctorObjHom w D₁ (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
have rw : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
      (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
    (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app (D₂.obj (α j₁)) ≫
      D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry ≫
        (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app (D₂.obj (α j₂)) =
  (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app (D₁.obj (α j₁)) ≫
    D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry ≫
      (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app (D₁.obj (α j₂)) ≫
        Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
          (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
Tactic: rw [pullFunctorObjHom_eq_assoc _ _ _ _ _ (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂),
          pullFunctorObjHom_eq _ _ _ _ _ (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
D₁ D₂ : F.DescentData f
φ : D₁ ⟶ D₂
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
this :
  Functor.map
        (Cat.Hom.toFunctor
          (F.map (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₁) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc)))
        (φ.hom (α j₁)) ≫
      D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ =
    D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map
        (Cat.Hom.toFunctor (F.map (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₂) }) (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc)))
        (φ.hom (α j₂))
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
        (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
      (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D₂.obj (α j₁)) ≫
        D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
          (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D₂.obj (α j₂)) =
    (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (f₁ ≫ p' j₁).op.toLoc ⋯).inv.toNatTrans.app (D₁.obj (α j₁)) ≫
      D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) ⋯ ⋯ ≫
        (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (f₂ ≫ p' j₂).op.toLoc ⋯).hom.toNatTrans.app (D₁.obj (α j₂)) ≫
          Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
            (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
have dsimp : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
      (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₁).op.toLoc)) (φ.hom (α j₁))) ≫
    (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc
                (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₁) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc)
                sorry).inv.toNatTrans.app
        (D₂.obj (α j₁)) ≫
      D₂.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry ≫
        (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc
                  (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₂) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc)
                  sorry).hom.toNatTrans.app
          (D₂.obj (α j₂)) =
  (F.mapComp' (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc
              (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₁) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) (p' j₁).op.toLoc f₁.op.toLoc)
              sorry).inv.toNatTrans.app
      (D₁.obj (α j₁)) ≫
    D₁.hom (q ≫ p) (f₁ ≫ p' j₁) (f₂ ≫ p' j₂) sorry sorry ≫
      (F.mapComp' (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc
                  (CategoryStruct.comp (Y := { as := op (X' j₂) : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) (p' j₂).op.toLoc f₂.op.toLoc)
                  sorry).hom.toNatTrans.app
          (D₁.obj (α j₂)) ≫
        Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
          (Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map (p' j₂).op.toLoc)) (φ.hom (α j₂)))
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
M : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')
Y : C
q : Y ⟶ S'
i₁ i₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' i₁
f₂ : Y ⟶ X' i₂
hf₁ : f₁ ≫ f' i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' i₂ = q
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
        (Iso.hom ((fun (i : ι') ↦ (Cat.Hom.toNatIso (F.isoMapOfCommSq ⋯)).symm.app M) i₁)) ≫
      (Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') M).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    ((F.toDescentData f ⋙ pullFunctor F w).obj M).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
        (Iso.hom ((fun (i : ι') ↦ (Cat.Hom.toNatIso (F.isoMapOfCommSq ⋯)).symm.app M) i₂))
have dsimp : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc)) ((F.isoMapOfCommSq sorry).inv.toNatTrans.app M) ≫
    (F.mapComp' (f' i₁).op.toLoc f₁.op.toLoc q.op.toLoc sorry).inv.toNatTrans.app
        (Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc)) M) ≫
      (F.mapComp' (f' i₂).op.toLoc f₂.op.toLoc q.op.toLoc sorry).hom.toNatTrans.app
        (Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc)) M) =
  pullFunctorObjHom w (ofObj M) (f₁ ≫ f' i₁) f₁ f₂ sorry sorry ≫
    Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc)) ((F.isoMapOfCommSq sorry).inv.toNatTrans.app M)
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
M : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')
Y : C
q : Y ⟶ S'
i₁ i₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' i₁
f₂ : Y ⟶ X' i₂
hf₁ : f₁ ≫ f' i₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' i₂ = q
⊢ failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
have simp : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
Tactic: simp only [Category.assoc,
          ← F.mapComp'₀₂₃_inv_comp_mapComp'₀₁₃_hom_app p.op.toLoc
            (f' i₂).op.toLoc f₂.op.toLoc _ q.op.toLoc (p.op.toLoc ≫ q.op.toLoc) rfl
            (by grind) (by grind) M,
          ← F.mapComp'_inv_whiskerRight_mapComp'₀₂₃_inv_app_assoc (f (α i₁)).op.toLoc
            (p' i₁).op.toLoc f₁.op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₁).op.toLoc) _
            (p.op.toLoc ≫ q.op.toLoc) (by grind) rfl (by grind) M,
          F.mapComp'_inv_whiskerRight_mapComp'₀₂₃_inv_app_assoc (f (α i₂)).op.toLoc
            (p' i₂).op.toLoc f₂.op.toLoc (p.op.toLoc ≫ (f' i₂).op.toLoc) _
            (p.op.toLoc ≫ q.op.toLoc) (by grind) rfl (by grind) M]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f_1 : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f_1 (α j) = f' j ≫ p
X_1 Y : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')
f : X_1 ⟶ Y
⊢ Eq (α :=
    (F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).obj X_1 ⟶
      Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') Y)
    ((F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).map f ≫
      Iso.hom
        ((fun (M : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')) ↦
            (isoMk (fun (i : ι') ↦ (Cat.Hom.toNatIso (F.isoMapOfCommSq ⋯)).symm.app M) ⋯ :
              (F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).obj M ≅
                Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') M))
          Y))
    (Iso.hom
        ((fun (M : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')) ↦
            (isoMk (fun (i : ι') ↦ (Cat.Hom.toNatIso (F.isoMapOfCommSq ⋯)).symm.app M) ⋯ :
              (F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).obj M ≅
                Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') M))
          X_1) ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') f)
have h : ∀ (i : ι'),
  Eq (α :=
    ((F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).obj X_1).obj i ⟶
      (Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') Y).obj i)
    (Hom.hom
      ((F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).map f ≫
        Iso.hom
          ((fun (M : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')) ↦
              (isoMk (fun (i : ι') ↦ (Cat.Hom.toNatIso (F.isoMapOfCommSq sorry)).symm.app M) sorry :
                (F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).obj M ≅
                  Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') M))
            Y))
      i)
    (Hom.hom
      (Iso.hom
          ((fun (M : (↑(F.obj { as := op S : LocallyDiscrete Cᵒᵖ }) : Type u')) ↦
              (isoMk (fun (i : ι') ↦ (Cat.Hom.toNatIso (F.isoMapOfCommSq sorry)).symm.app M) sorry :
                (F.toDescentData f_1 ⋙ pullFunctor F w).obj M ≅
                  Functor.obj (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') M))
            X_1) ≫
        Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map p.op.toLoc) ⋙ F.toDescentData f') f)
      i)
Tactic: ext i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Descent.DescentData (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
F : Pseudofunctor (LocallyDiscrete Cᵒᵖ) Cat
ι : Type t
S : C
X : ι → C
f : (i : ι) → X i ⟶ S
S' : C
p : S' ⟶ S
ι' : Type t'
X' : ι' → C
f' : (j : ι') → X' j ⟶ S'
α : ι' → ι
p' : (j : ι') → X' j ⟶ X (α j)
w : ∀ (j : ι'), p' j ≫ f (α j) = f' j ≫ p
β : ι' → ι
p'' : (j : ι') → X' j ⟶ X (β j)
w' : ∀ (j : ι'), p'' j ≫ f (β j) = f' j ≫ p
D : F.DescentData f
Y : C
q : Y ⟶ S'
j₁ j₂ : ι'
f₁ : Y ⟶ X' j₁
f₂ : Y ⟶ X' j₂
hf₁ : f₁ ≫ f' j₁ = q
hf₂ : f₂ ≫ f' j₂ = q
⊢ Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc))
        (Iso.hom ((fun (j : ι') ↦ D.iso (p' j ≫ f (α j)) (p' j) (p'' j) ⋯ ⋯) j₁)) ≫
      ((pullFunctor F w').obj D).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ =
    ((pullFunctor F w).obj D).hom q f₁ f₂ ⋯ ⋯ ≫
      Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc))
        (Iso.hom ((fun (j : ι') ↦ D.iso (p' j ≫ f (α j)) (p' j) (p'' j) ⋯ ⋯) j₂))
have dsimp : Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₁.op.toLoc)) (D.hom (p' j₁ ≫ f (α j₁)) (p' j₁) (p'' j₁) sorry sorry) ≫
    pullFunctorObjHom w' D (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ sorry sorry =
  pullFunctorObjHom w D (f₁ ≫ f' j₁) f₁ f₂ sorry sorry ≫
    Functor.map (Cat.Hom.toFunctor (F.map f₂.op.toLoc)) (D.hom (p' j₂ ≫ f (α j₂)) (p' j₂) (p'' j₂) sorry sorry)
Tactic: dsimp