-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Etale.QuasiFinite (goal)
Goal:
R : Type u
S : Type v
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : FiniteType R S
p : Ideal R
inst_4 : p.IsPrime
q : Ideal S
inst_5 : q.IsPrime
inst_6 : q.LiesOver p
inst_7 : QuasiFiniteAt R q
s : S
hsq : s ∉ q
hRs : IsIntegral R s
hs : ∀ (q' : Ideal S), q'.IsPrime → q' ≠ q → q'.LiesOver p → s ∈ q'
hs₀ :
  ∀ (q' : Ideal ↥(integralClosure R S)),
    q'.IsPrime →
      q' ≠ Ideal.under (↥(integralClosure R S)) q →
        q'.LiesOver p →
          Subtype.mk (p := fun (x : S) ↦ Membership.mem (γ := Subalgebra R S) (integralClosure R S) x) s hRs ∈ q'
m : ℕ
f : R[X]
b : p.ResidueField[X]
hfm : f.Monic
hbm : b.Monic
hab : IsCoprime (HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1)) b
hfab : Polynomial.map (algebraMap R p.ResidueField) f = HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1) * b
hf : Eq.{v + 1} (α := S) ((aeval s : (a : R[X]) → S) f : S) (0 : S)
⊢ ∃ (R' : Type u) (x : CommRing R') (x_1 : Algebra R R') (_ : Etale R R') (P : Ideal R') (x_3 : P.IsPrime) (x_4 :
    P.LiesOver p) (e : R' ⊗[R] S) (_ : IsIdempotentElem e) (e₀ : TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S)) (_
    : IsIdempotentElem e₀) (_ :
    ((TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
            TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S) :
          (a : R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) → R' ⊗[R] S)
        e₀ =
      e)
    (P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) (_ : P'.IsPrime) (_ : P'.LiesOver P),
    Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P' = q ∧
      e ∉ P' ∧
        Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
            (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') ⋯) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField) ∧
          (∀ (P'' : Ideal (TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))),
              P''.IsPrime →
                P''.LiesOver P →
                  e₀ ∉ P'' →
                    P'' =
                      Ideal.comap (F := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →+* R' ⊗[R] S)
                        (AlgHom.toRingHom
                          (TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                            TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S))
                        P') ∧
            ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
have obtain : ∀ (R' : Type u) (w : CommRing R') (w_1 : Algebra R R'),
  Etale R R' →
    ∀ (P : Ideal R') (w_3 : P.IsPrime) (w_4 : P.LiesOver p) (a' b' : R'[X])
      (hP :
        Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
          (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') sorry) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField))
      (ha'm : a'.Monic) (hb'm : b'.Monic) (hfab' : Polynomial.map (algebraMap R R') f = a' * b') (c d : R'[X])
      (hcd : c * a' + d * b' = 1)
      (ha' :
        Eq (α := P.ResidueField[X])
          (Polynomial.map (AlgHom.toRingHom (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') sorry))
            (HPow.hPow (α := p.ResidueField[X]) X (m + 1)))
          (Polynomial.map (algebraMap R' P.ResidueField) a'))
      (hb' :
        Eq (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (AlgHom.toRingHom (Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') sorry)) b)
          (Polynomial.map (algebraMap R' P.ResidueField) b')),
      ∃ (R' : Type u) (x : CommRing R') (x_1 : Algebra R R') (_ : Etale R R') (P : Ideal R') (x_3 : P.IsPrime) (x_4 :
        P.LiesOver p) (e : R' ⊗[R] S) (_ : IsIdempotentElem e) (e₀ :
        TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S)) (_ : IsIdempotentElem e₀) (_ :
        ((TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S) :
              (a : R' ⊗[R] ↥(integralClosure R S)) → R' ⊗[R] S)
            e₀ =
          e)
        (P' : Ideal (R' ⊗[R] S)) (_ : P'.IsPrime) (_ : P'.LiesOver P),
        Ideal.comap (F := S →+* R' ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom TensorProduct.includeRight) P' = q ∧
          e ∉ P' ∧
            Function.Bijective (α := p.ResidueField) (β := P.ResidueField)
                (⇑(Ideal.ResidueField.mapₐ p P (ofId R R') sorry) : (a : p.ResidueField) → P.ResidueField) ∧
              (∀ (P'' : Ideal (TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S))),
                  P''.IsPrime →
                    P''.LiesOver P →
                      e₀ ∉ P'' →
                        P'' =
                          Ideal.comap (F := TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →+* R' ⊗[R] S)
                            (AlgHom.toRingHom
                              (TensorProduct.map (AlgHom.id R' R') (Subalgebra.val (integralClosure R S)) :
                                TensorProduct.{u, u, v} R R' ↥(integralClosure R S) →ₐ[R'] R' ⊗[R] S))
                            P') ∧
                ∀ (P'' : Ideal (R' ⊗[R] S)), P''.IsPrime → P''.LiesOver P → e ∉ P'' → P'' = P'
Tactic: obtain ⟨R', _, _, _, P, _, _, a', b', hP, ha'm, hb'm, hfab', ⟨c, d, hcd⟩, ha', hb'⟩ :=
    Algebra.exists_etale_bijective_residueFieldMap_and_map_eq_mul_and_isCoprime p f
      (X ^ (m + 1)) b hfm (monic_X.pow _) hbm hfab hab