-- Lean 4 proof step from Mathlib.RepresentationTheory.Homological.GroupHomology.Functoriality (goal)
Goal:
k G H : Type u
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
inst_2 : Group H
A : Rep k G
B : Rep k H
f : G →* H
φ : A ⟶ res f B
n : ℕ
S : Subgroup G
inst_3 : S.Normal
x : ↥(cycles₁ (A.quotientToCoinvariants S))
y : (↑(ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.toCoinvariants S))) : Type u)
hy :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) (Y := ModuleCat.of k ↥(cycles₁ ((A.toCoinvariants S).ofQuotient S)))
          (mapCycles₁ (QuotientGroup.mk' S) (Iso.inv ((A.toCoinvariants S).resOfQuotientIso S))) :
        (a : (↑(ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.toCoinvariants S))) : Type u)) →
          (↑(ModuleCat.of k ↥(cycles₁ ((A.toCoinvariants S).ofQuotient S))) : Type u))
      y =
    x
Y : G →₀ (↑A : Type u)
hY :
  mapRange
      (⇑(Coinvariants.mk (MonoidHom.comp A.ρ S.subtype)) :
        (a : (↑A : Type u)) → Coinvariants (MonoidHom.comp A.ρ S.subtype))
      ⋯ Y =
    (↑y : G →₀ (↑(A.toCoinvariants S) : Type u))
this :
  Membership.mem (α := (↑(ModuleCat.of k (↑A : Type u)) : Type u)) (Coinvariants.ker (MonoidHom.comp A.ρ S.subtype))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) (d₁₀ A) :
          (a : (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) → (↑(ModuleCat.of k (↑A : Type u)) : Type u))
        Y :
      (↑(ModuleCat.of k (↑A : Type u)) : Type u))
⊢ ∃ (a : (↑(H1CoresCoinf A S).X₂ : Type u)),
    Eq (α := (↑(H1CoresCoinf A S).X₃ : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (H1CoresCoinf A S).g :
            (a : (↑(H1CoresCoinf A S).X₂ : Type u)) → (↑(H1CoresCoinf A S).X₃ : Type u))
          a :
        (↑(H1CoresCoinf A S).X₃ : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.quotientToCoinvariants S)))
              (H1π (A.quotientToCoinvariants S)) :
            (a : (↑(ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.quotientToCoinvariants S))) : Type u)) →
              (↑(H1 (A.quotientToCoinvariants S)) : Type u))
          x :
        (↑(H1 (A.quotientToCoinvariants S)) : Type u))
have h : ∀ (Z : ↥S →₀ (↑A : Type u))
  (hZ :
    Eq (α := (↑(ModuleCat.of k ↥(Coinvariants.ker (res S.subtype A).ρ)) : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (chains₁ToCoinvariantsKer (res S.subtype A)) :
            (a : (↑(ModuleCat.of k (↥S →₀ (↑(res S.subtype A) : Type u))) : Type u)) →
              (↑(ModuleCat.of k ↥(Coinvariants.ker (res S.subtype A).ρ)) : Type u))
          Z :
        (↑(ModuleCat.of k ↥(Coinvariants.ker (res S.subtype A).ρ)) : Type u))
      (Subtype.mk (p := fun (x : (↑(res S.subtype A) : Type u)) ↦ x ∈ Coinvariants.ker (res S.subtype A).ρ)
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
                ModuleCat.carrier) (d₁₀ A) :
              (a : (↑(ModuleCat.of k (G →₀ (↑A : Type u))) : Type u)) → (↑(ModuleCat.of k (↑A : Type u)) : Type u))
            Y)
          this :
        ↥(Coinvariants.ker (res S.subtype A).ρ))),
  ∃ (a : (↑(H1CoresCoinf A S).X₂ : Type u)),
    Eq (α := (↑(H1CoresCoinf A S).X₃ : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (H1CoresCoinf A S).g :
            (a : (↑(H1CoresCoinf A S).X₂ : Type u)) → (↑(H1CoresCoinf A S).X₃ : Type u))
          a :
        (↑(H1CoresCoinf A S).X₃ : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat k) ↦ (↑x1 : Type u) →ₗ[k] (↑x2 : Type u)) (CC :=
              ModuleCat.carrier) (X := ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.quotientToCoinvariants S)))
              (H1π (A.quotientToCoinvariants S)) :
            (a : (↑(ModuleCat.of k ↥(cycles₁ (A.quotientToCoinvariants S))) : Type u)) →
              (↑(H1 (A.quotientToCoinvariants S)) : Type u))
          x :
        (↑(H1 (A.quotientToCoinvariants S)) : Type u))
Tactic: rcases chains₁ToCoinvariantsKer_surjective
    (res S.subtype A) ⟨d₁₀ A Y, this⟩ with ⟨(Z : S →₀ A), hZ⟩