-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Monoidal.Bimod (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
inst_1 : MonoidalCategory.{v₁, u₁} C
inst_2 : HasCoequalizers.{v₁, u₁} C
inst_3 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst_4 : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon.{v₁, u₁} C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ Eq (α :=
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
      coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
        (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
          coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
    (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
          WalkingParallelPair.one :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
        colimit
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
    (CategoryStruct.comp (Y :=
        coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft))
        (coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
            (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) :
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft))
              P.X ⟶
            coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft))
        (coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫
            CategoryStruct.comp (Y :=
              coequalizer (X :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (Y :=
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                    M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
                  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                      (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
              (colimMap
                  (parallelPairHom
                    (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))
                    (Iso.hom
                        (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                      M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
                    (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
                    (Iso.hom
                        (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                      M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')
                    (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X ◁
                      colimMap
                        (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)
                          (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)
                          (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
                    (M.X ◁
                      colimMap
                        (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)
                          (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)
                          (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
                    ⋯ ⋯) :
                colimit
                    (parallelPair (X :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                      (Y :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                      (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))
                      (Iso.hom
                            (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                          M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft)))) ⟶
                  colimit
                    (parallelPair (X :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                      (Y :=
                      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                        (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                      (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
                      (Iso.hom
                            (α_ M.X X.X
                              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                          M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
                        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                            (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))))
              (AssociatorBimod.inv M N P' :
                (M.tensorBimod (N.tensorBimod P')).X ⟶ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P').X) :
          coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) ⟶
            coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
              (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
                coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)) :
      tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
        coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
have h : Eq (α :=
  tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
    coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
      (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
        coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
  (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
        WalkingParallelPair.one :
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
      colimit
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft)))
  (CategoryStruct.comp (Y :=
      coequalizer (X :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
          (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
        (Y :=
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
          (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
        (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
        (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
            M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
          tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
      (AssociatorBimod.homAux M N P ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))
              (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft))) ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
              (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
              (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')
              (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X)
                    (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom)
                    (N.X ◁ f.hom) sorry sorry))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P.X) ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X)
                    (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) N.X Y.X ◁ f.hom)
                    (N.X ◁ f.hom) sorry sorry))
              sorry sorry) :
        tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft))
            P.X ⟶
          coequalizer (X :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (Y :=
            tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
              (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft) :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)))
            (Iso.hom (α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))) ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P' :
              tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X X.X)
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft)) ⟶
                tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) M.X
                  (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) (Iso.hom (α_ N.X Y.X P'.X) ≫ N.X ◁ P'.actLeft))))
      (AssociatorBimod.inv M N P' : (M.tensorBimod (N.tensorBimod P')).X ⟶ ((M.tensorBimod N).tensorBimod P').X) :
    tensorObj.{v₁, u₁} (𝒞 := inst) (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X ⟶
      coequalizer (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
        (Iso.hom (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X) ≫
          coequalizer (M.actRight ▷ N.X) (Iso.hom (α_ M.X X.X N.X) ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
Tactic: slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]