awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
⊢ ∃ (inv :
    X.presheaf.stalk x ⟶
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)),
    Hom.stalkMap α x ≫ inv =
        𝟙
          (Y.presheaf.stalk
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x)) ∧
      inv ≫ Hom.stalkMap α x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have h_eq : (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
        (α ≫ β).base :
      (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
    x =
  x
Tactic: have h_eq : (α ≫ β).base x = x := by rw [IsIso.hom_inv_id α, id_base, TopCat.id_app]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ X.presheaf.stalk x =
    X.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (α ≫ β).base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
        x)
have rw : X.presheaf.stalk x = X.presheaf.stalk x
Tactic: rw [h_eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ ∃ (inv :
    X.presheaf.stalk x ⟶
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)),
    Hom.stalkMap α x ≫ inv =
        𝟙
          (Y.presheaf.stalk
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x)) ∧
      inv ≫ Hom.stalkMap α x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_1 : Hom.stalkMap α x ≫
    eqToHom sorry ≫
      Hom.stalkMap β
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) =
  𝟙
    (Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
Tactic: refine
      ⟨eqToHom (show X.presheaf.stalk x = X.presheaf.stalk ((α ≫ β).base x) by rw [h_eq]) ≫
          (β.stalkMap (α.base x) :),
        ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
refine_1 :
  Hom.stalkMap α x ≫
      eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) =
    𝟙
      (Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
⊢ ∃ (inv :
    X.presheaf.stalk x ⟶
      Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)),
    Hom.stalkMap α x ≫ inv =
        𝟙
          (Y.presheaf.stalk
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC :=
                  TopCat.carrier) α.base :
                (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
              x)) ∧
      inv ≫ Hom.stalkMap α x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2 : (eqToHom sorry ≫
      Hom.stalkMap β
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)) ≫
    Hom.stalkMap α x =
  𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: refine
      ⟨eqToHom (show X.presheaf.stalk x = X.presheaf.stalk ((α ≫ β).base x) by rw [h_eq]) ≫
          (β.stalkMap (α.base x) :),
        ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ Hom.stalkMap α x ≫
      eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) =
    𝟙
      (Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
have refine_1 : eqToHom sorry ≫
    Hom.stalkMap α
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x) ≫
      Hom.stalkMap β
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) =
  𝟙
    (Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
Tactic: rw [← Category.assoc, congr_point α x ((α ≫ β).base x) h_eq.symm, Category.assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap α
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (α ≫ β).base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
            x) ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) =
    𝟙
      (Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
have refine_1 : eqToHom sorry ≫
    Hom.stalkMap (β ≫ α)
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x) =
  𝟙
    (Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
Tactic: erw [← stalkMap.comp β α (α.base x)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap (β ≫ α)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) =
    𝟙
      (Y.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x))
have refine_1 : CategoryStruct.comp (Y :=
    Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                (α ≫ β).base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
            x :
          (↑(↑X : TopCat) : Type v))))
    (eqToHom sorry)
    (eqToHom sorry ≫
      Hom.stalkMap (𝟙 Y)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x)) =
  𝟙
    (Y.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            α.base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
        x))
Tactic: rw [congr_hom _ _ (IsIso.inv_hom_id α), stalkMap.id, eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl,
        Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
⊢ (eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)) ≫
      Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2 : eqToHom sorry ≫
    Hom.stalkMap β
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              α.base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
          x) ≫
      Hom.stalkMap α x =
  𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: rw [Category.assoc, ← stalkMap.comp, congr_hom _ _ (IsIso.hom_inv_id α), stalkMap.id,
        eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl, Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
refine_2 :
  eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) ≫
        Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
⊢ (eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)) ≫
      Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2₁ : eqToHom sorry ≫ Hom.stalkMap (α ≫ β) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: rw [Category.assoc, ← stalkMap.comp, congr_hom _ _ (IsIso.hom_inv_id α), stalkMap.id,
        eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl, Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
refine_2 :
  eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) ≫
        Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₁ : eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (α ≫ β) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
⊢ (eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)) ≫
      Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2₂ : CategoryStruct.comp (Y :=
    X.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (α ≫ β).base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
        x))
    (eqToHom sorry) (eqToHom sorry ≫ Hom.stalkMap (𝟙 X) x) =
  𝟙 (X.presheaf.stalk x)
Tactic: rw [Category.assoc, ← stalkMap.comp, congr_hom _ _ (IsIso.hom_inv_id α), stalkMap.id,
        eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl, Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
refine_2 :
  eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) ≫
        Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₁ : eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (α ≫ β) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₂ :
  CategoryStruct.comp (Y :=
      X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x))
      (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 X) x) =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
⊢ (eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)) ≫
      Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2₃ : Eq.{v + 1} (α := X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x)
  (CategoryStruct.comp (Y :=
    X.presheaf.stalk
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
            (α ≫ β).base :
          (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
        x))
    (eqToHom sorry) (eqToHom sorry ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)))
  (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
Tactic: rw [Category.assoc, ← stalkMap.comp, congr_hom _ _ (IsIso.hom_inv_id α), stalkMap.id,
        eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl, Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
refine_2 :
  eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) ≫
        Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₁ : eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (α ≫ β) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₂ :
  CategoryStruct.comp (Y :=
      X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x))
      (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 X) x) =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₃ :
  Eq.{v + 1} (α := X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x))
      (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)))
    (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
⊢ (eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)) ≫
      Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2₄ : Eq.{v + 1} (α := X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) (eqToHom sorry ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)) (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
Tactic: rw [Category.assoc, ← stalkMap.comp, congr_hom _ _ (IsIso.hom_inv_id α), stalkMap.id,
        eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl, Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.RingedSpace.Stalks (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : HasColimits.{v, u} C
X Y : PresheafedSpace.{v, u, v} C
α : X ⟶ Y
inst_2 : IsIso α
x : (↑(↑X : TopCat) : Type v)
β : Y ⟶ X := CategoryTheory.inv α
h_eq :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
          (α ≫ β).base :
        (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
      x =
    x
refine_2 :
  eqToHom ⋯ ≫
      Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x) ≫
        Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₁ : eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (α ≫ β) x = 𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₂ :
  CategoryStruct.comp (Y :=
      X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x))
      (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ Hom.stalkMap (𝟙 X) x) =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
refine_2₃ :
  Eq.{v + 1} (α := X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x)
    (CategoryStruct.comp (Y :=
      X.presheaf.stalk
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
              (α ≫ β).base :
            (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑X : TopCat) : Type v))
          x))
      (eqToHom ⋯) (eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x)))
    (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
refine_2₄ :
  Eq.{v + 1} (α := X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) (eqToHom ⋯ ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x))
    (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
⊢ (eqToHom ⋯ ≫
        Hom.stalkMap β
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := TopCat.carrier)
                α.base :
              (a : (↑(↑X : TopCat) : Type v)) → (↑(↑Y : TopCat) : Type v))
            x)) ≫
      Hom.stalkMap α x =
    𝟙 (X.presheaf.stalk x)
have refine_2₅ : Eq.{v + 1} (α := X.presheaf.stalk x ⟶ X.presheaf.stalk x) (𝟙 (X.presheaf.stalk x) ≫ 𝟙 (X.presheaf.stalk x))
  (𝟙 (X.presheaf.stalk x))
Tactic: rw [Category.assoc, ← stalkMap.comp, congr_hom _ _ (IsIso.hom_inv_id α), stalkMap.id,
        eqToHom_trans_assoc, eqToHom_refl, Category.id_comp]