awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
⊢ a ∈ (ModuleCat.Hom.hom y.hom).range
have refine_1 : ∀ (a'' : (↑P : Type u_2))
  (ha'' :
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) p :
          (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
        a'' =
      a'),
  a ∈ (ModuleCat.Hom.hom y.hom).range
Tactic: obtain ⟨a'', ha''⟩ := (ModuleCat.epi_iff_surjective p).1 hp a'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
⊢ a ∈ (ModuleCat.Hom.hom y.hom).range
have refine_1 : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) q :
          (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
        a'' :
      (↑y.left : Type u_2)) =
  a
Tactic: refine ⟨q a'', ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
⊢ (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) q :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑y.left : Type u_2)) =
    a
have refine_1 : (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ
        ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
          (CC := ModuleCat.carrier) q :
      (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
    a'' =
  a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← H,
      ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_1 :
  (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) q :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑y.left : Type u_2)) =
    a
have refine_1₁ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← H,
      ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_1 :
  (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_1₁ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) q :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑y.left : Type u_2)) =
    a
have refine_1₂ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← H,
      ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_1 :
  (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_1₁ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_1₂ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) q :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑y.left : Type u_2)) =
    a
have refine_1₃ : (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom p : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← H,
      ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_1 :
  (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_1₁ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_1₂ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_1₃ : (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom p : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) q :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑y.left : Type u_2)) =
    a
have refine_1₄ : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
    ((ModuleCat.Hom.hom p : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2)) a'' : (↑x.left : Type u_2)) =
  a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← H,
      ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑x.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_1 :
  (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_1₁ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_1₂ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_1₃ : (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom p : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_1₄ :
  (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ModuleCat.Hom.hom p : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2)) a'' : (↑x.left : Type u_2)) =
    a
refine_1₅ : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) q :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑y.left : Type u_2)) =
    a
have refine_1₆ : a = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, ← H,
      ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply, ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
ha : a ∈ (ModuleCat.Hom.hom y.hom).range
⊢ a ∈ (ModuleCat.Hom.hom x.hom).range
have refine_2 : ∀ (a' : (↑y.left : Type u_2)) (ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a),
  a ∈ (ModuleCat.Hom.hom x.hom).range
Tactic: obtain ⟨a', ha'⟩ := ha
Cleared hypotheses: ha
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
⊢ a ∈ (ModuleCat.Hom.hom x.hom).range
have refine_2 : ∀ (a'' : (↑P : Type u_2))
  (ha'' :
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) q :
          (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
        a'' =
      a'),
  a ∈ (ModuleCat.Hom.hom x.hom).range
Tactic: obtain ⟨a'', ha''⟩ := (ModuleCat.epi_iff_surjective q).1 hq a'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
⊢ a ∈ (ModuleCat.Hom.hom x.hom).range
have refine_2 : (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
            ModuleCat.carrier) p :
          (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
        a'' :
      (↑x.left : Type u_2)) =
  a
Tactic: refine ⟨p a'', ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
⊢ (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) p :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑x.left : Type u_2)) =
    a
have refine_2 : (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ
        ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
          (CC := ModuleCat.carrier) p :
      (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
    a'' =
  a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, H, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply,
      ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_2 :
  (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) p :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑x.left : Type u_2)) =
    a
have refine_2₁ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, H, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply,
      ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_2 :
  (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_2₁ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) p :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑x.left : Type u_2)) =
    a
have refine_2₂ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, H, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply,
      ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_2 :
  (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_2₁ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_2₂ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) p :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑x.left : Type u_2)) =
    a
have refine_2₃ : (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom q : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, H, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply,
      ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_2 :
  (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_2₁ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_2₂ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_2₃ : (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom q : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) p :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑x.left : Type u_2)) =
    a
have refine_2₄ : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
    ((ModuleCat.Hom.hom q : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2)) a'' : (↑y.left : Type u_2)) =
  a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, H, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply,
      ha'', ha']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Abelian.Pseudoelements (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Ring R
G : ModuleCat.{u_2, u_1} R
x y : Over G
P : ModuleCat.{u_2, u_1} R
p : P ⟶ x.left
q : P ⟶ y.left
hp : Epi p
hq : Epi q
H : p ≫ x.hom = q ≫ y.hom
a : (↑G : Type u_2)
a' : (↑y.left : Type u_2)
ha' : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
a'' : (↑P : Type u_2)
ha'' :
  (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2)) (CC :=
          ModuleCat.carrier) q :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2))
      a'' =
    a'
refine_2 :
  (ModuleCat.Hom.hom x.hom ∘ₗ
          ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
            (CC := ModuleCat.carrier) p :
        (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      a'' =
    a
refine_2₁ : (ModuleCat.Hom.hom (p ≫ x.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_2₂ : (ModuleCat.Hom.hom (q ≫ y.hom) : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_2₃ : (ModuleCat.Hom.hom y.hom ∘ₗ ModuleCat.Hom.hom q : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a'' = a
refine_2₄ :
  (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ModuleCat.Hom.hom q : (a : (↑P : Type u_2)) → (↑y.left : Type u_2)) a'' : (↑y.left : Type u_2)) =
    a
refine_2₅ : (ModuleCat.Hom.hom y.hom : (a : (↑y.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2)) a' = a
⊢ (ModuleCat.Hom.hom x.hom : (a : (↑x.left : Type u_2)) → (↑G : Type u_2))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : ModuleCat.{u_2, u_1} R) ↦ (↑x1 : Type u_2) →ₗ[R] (↑x2 : Type u_2))
              (CC := ModuleCat.carrier) p :
            (a : (↑P : Type u_2)) → (↑x.left : Type u_2))
          a'' :
        (↑x.left : Type u_2)) =
    a
have refine_2₆ : a = a
Tactic: rw [← LinearMap.comp_apply, ← ModuleCat.hom_comp, H, ModuleCat.hom_comp, LinearMap.comp_apply,
      ha'', ha']