awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (hypothesis)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
⊢ Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
Tactic: have h2 : ∀ l : { l : L // p ∈ l }, Fintype.card { q // q ∈ l.1 ∧ q ≠ p } = order P L := by
      intro l
      rw [← Fintype.card_congr (Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter (· ∈ l.val) (· ≠ p)),
        Fintype.card_subtype_compl fun x : Subtype (· ∈ l.val) => x.val = p, ←
        Nat.card_eq_fintype_card]
      refine tsub_eq_of_eq_add ((pointCount_eq P l.1).trans ?_)
      rw [← Fintype.card_subtype_eq (⟨p, l.2⟩ : { q : P // q ∈ l.1 })]
      simp_rw [Subtype.ext_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
⊢ Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro : Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: simp_rw [← h1, Fintype.card_congr ϕ, Fintype.card_sigma, h2, Finset.sum_const, Finset.card_univ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
⊢ Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro : Nat.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
intro : Nat.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₁ : lineCount L p • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
intro : Nat.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₁ : lineCount L p • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₂ : (order P L + 1) • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
intro : Nat.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₁ : lineCount L p • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₂ : (order P L + 1) • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₃ : (order P L + 1) * order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
intro : Nat.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₁ : lineCount L p • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₂ : (order P L + 1) • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₃ : (order P L + 1) * order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₄ : order P L * order P L + order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L
intro : Nat.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₁ : lineCount L p • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₂ : (order P L + 1) • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₃ : (order P L + 1) * order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₄ : order P L * order P L + order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₅ : order P L * order P L + order P L + 1 = order P L * order P L + order P L + 1
Tactic: rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have have : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
Tactic: classical
    have h1 : Fintype.card { q // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P := by
      apply (eq_tsub_iff_add_eq_of_le (Nat.succ_le_of_lt (Fintype.card_pos_iff.mpr ⟨p⟩))).mp
      convert! (Fintype.card_subtype_compl _).trans (congr_arg _ (Fintype.card_subtype_eq p))
    have h2 : ∀ l : { l : L // p ∈ l }, Fintype.card { q // q ∈ l.1 ∧ q ≠ p } = order P L := by
      intro l
      rw [← Fintype.card_congr (Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter (· ∈ l.val) (· ≠ p)),
        Fintype.card_subtype_compl fun x : Subtype (· ∈ l.val) => x.val = p, ←
        Nat.card_eq_fintype_card]
      refine tsub_eq_of_eq_add ((pointCount_eq P l.1).trans ?_)
      rw [← Fintype.card_subtype_eq (⟨p, l.2⟩ : { q : P // q ∈ l.1 })]
      simp_rw [Subtype.ext_iff]
    simp_rw [← h1, Fintype.card_congr ϕ, Fintype.card_sigma, h2, Finset.sum_const, Finset.card_univ]
    rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
have : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
⊢ Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro : ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P),
  Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: classical
    have h1 : Fintype.card { q // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P := by
      apply (eq_tsub_iff_add_eq_of_le (Nat.succ_le_of_lt (Fintype.card_pos_iff.mpr ⟨p⟩))).mp
      convert! (Fintype.card_subtype_compl _).trans (congr_arg _ (Fintype.card_subtype_eq p))
    have h2 : ∀ l : { l : L // p ∈ l }, Fintype.card { q // q ∈ l.1 ∧ q ≠ p } = order P L := by
      intro l
      rw [← Fintype.card_congr (Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter (· ∈ l.val) (· ≠ p)),
        Fintype.card_subtype_compl fun x : Subtype (· ∈ l.val) => x.val = p, ←
        Nat.card_eq_fintype_card]
      refine tsub_eq_of_eq_add ((pointCount_eq P l.1).trans ?_)
      rw [← Fintype.card_subtype_eq (⟨p, l.2⟩ : { q : P // q ∈ l.1 })]
      simp_rw [Subtype.ext_iff]
    simp_rw [← h1, Fintype.card_congr ϕ, Fintype.card_sigma, h2, Finset.sum_const, Finset.card_univ]
    rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
have : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
intro :
  ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P),
    Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have₁ : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
intro₁ intro₂ :
  ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P),
    Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₃ : ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P)
  (h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L),
  Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: classical
    have h1 : Fintype.card { q // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P := by
      apply (eq_tsub_iff_add_eq_of_le (Nat.succ_le_of_lt (Fintype.card_pos_iff.mpr ⟨p⟩))).mp
      convert! (Fintype.card_subtype_compl _).trans (congr_arg _ (Fintype.card_subtype_eq p))
    have h2 : ∀ l : { l : L // p ∈ l }, Fintype.card { q // q ∈ l.1 ∧ q ≠ p } = order P L := by
      intro l
      rw [← Fintype.card_congr (Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter (· ∈ l.val) (· ≠ p)),
        Fintype.card_subtype_compl fun x : Subtype (· ∈ l.val) => x.val = p, ←
        Nat.card_eq_fintype_card]
      refine tsub_eq_of_eq_add ((pointCount_eq P l.1).trans ?_)
      rw [← Fintype.card_subtype_eq (⟨p, l.2⟩ : { q : P // q ∈ l.1 })]
      simp_rw [Subtype.ext_iff]
    simp_rw [← h1, Fintype.card_congr ϕ, Fintype.card_sigma, h2, Finset.sum_const, Finset.card_univ]
    rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst : Membership P L
inst_1 : ProjectivePlane P L
inst_2 : Fintype P
inst_3 : Finite L
val : Fintype L
p : P
ϕ : { q : P // q ≠ p } ≃ (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } :=
  {
    toFun := fun (q : { q : P // q ≠ p }) ↦
      Sigma.mk (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })
        (Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯)
        (Subtype.mk (p := fun (q_1 : P) ↦
          q_1 ∈ (↑(Subtype.mk (p := fun (l : L) ↦ p ∈ l) (@mkLine _ _ inst _ _ _ ⋯) ⋯) : L) ∧ q_1 ≠ p) (↑q : P) ⋯),
    invFun := fun (lq : (l : { l : L // p ∈ l }) × { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p }) ↦
      Subtype.mk (p := fun (q : P) ↦ q ≠ p)
        (↑(lq.snd (β := fun (l : { l : L // p ∈ l }) ↦ { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p })) : P) ⋯,
    left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
have : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
intro :
  ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P),
    Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have₁ : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P
intro₁ intro₂ :
  ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P),
    Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
intro₃ :
  ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P)
    (h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L),
    Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
⊢ Fintype.card P = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
have intro₄ : ∀ (h1 : Fintype.card.{u_1} { q : P // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P)
  (h2 : ∀ (l : { l : L // p ∈ l }), Fintype.card.{u_1} { q : P // q ∈ (↑l : L) ∧ q ≠ p } = order P L),
  Fintype.card.{u_2} { l : L // p ∈ l } • order P L + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) (order P L) 2 + order P L + 1
Tactic: classical
    have h1 : Fintype.card { q // q ≠ p } + 1 = Fintype.card P := by
      apply (eq_tsub_iff_add_eq_of_le (Nat.succ_le_of_lt (Fintype.card_pos_iff.mpr ⟨p⟩))).mp
      convert! (Fintype.card_subtype_compl _).trans (congr_arg _ (Fintype.card_subtype_eq p))
    have h2 : ∀ l : { l : L // p ∈ l }, Fintype.card { q // q ∈ l.1 ∧ q ≠ p } = order P L := by
      intro l
      rw [← Fintype.card_congr (Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter (· ∈ l.val) (· ≠ p)),
        Fintype.card_subtype_compl fun x : Subtype (· ∈ l.val) => x.val = p, ←
        Nat.card_eq_fintype_card]
      refine tsub_eq_of_eq_add ((pointCount_eq P l.1).trans ?_)
      rw [← Fintype.card_subtype_eq (⟨p, l.2⟩ : { q : P // q ∈ l.1 })]
      simp_rw [Subtype.ext_iff]
    simp_rw [← h1, Fintype.card_congr ϕ, Fintype.card_sigma, h2, Finset.sum_const, Finset.card_univ]
    rw [← Nat.card_eq_fintype_card, ← lineCount, lineCount_eq, smul_eq_mul, Nat.succ_mul, sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.Configuration (goal)
Goal:
K : Type u_3
inst : Field K
a b c d : Fin 3 → K
hac : a ⬝ᵥ c = 0
hbc : b ⬝ᵥ c = 0
had : a ⬝ᵥ d = 0
hbd : b ⬝ᵥ d = 0
⊢ Eq (α := Fin 3 → K)
      ((((crossProduct : (a : Fin 3 → K) → (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) a : (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) :
            (a : Fin 3 → K) → Fin 3 → K)
          b :
        Fin 3 → K)
      (0 : Fin 3 → K) ∨
    Eq (α := Fin 3 → K)
      ((((crossProduct : (a : Fin 3 → K) → (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) c : (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) :
            (a : Fin 3 → K) → Fin 3 → K)
          d :
        Fin 3 → K)
      (0 : Fin 3 → K)
have by_contra : ∀
  (h :
    ¬(Eq (α := Fin 3 → K)
          ((((crossProduct : (a : Fin 3 → K) → (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) a : (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) :
                (a : Fin 3 → K) → Fin 3 → K)
              b :
            Fin 3 → K)
          (0 : Fin 3 → K) ∨
        Eq (α := Fin 3 → K)
          ((((crossProduct : (a : Fin 3 → K) → (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) c : (Fin 3 → K) →ₗ[K] Fin 3 → K) :
                (a : Fin 3 → K) → Fin 3 → K)
              d :
            Fin 3 → K)
          (0 : Fin 3 → K))),
  False
Tactic: by_contra h