-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Sheaves.Sheafify (goal)
Goal:
X : TopCat
F : Presheaf (Type v) X
x : (↑X : Type v)
U V : OpenNhds x
fU : (y : ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hU :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fU
fV : (y : ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) → F.stalk (↑y : (↑X : Type v))
hV :
  (Sheafify.isLocallyGerm F).toPrelocalPredicate (T := fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x).pred (T :=
    fun (x : (↑X : Type v)) ↦ F.stalk x) fV
e :
  Eq (α :=
    F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)))
    (fU (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯))
    (fV (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x ⋯))
U' : Opens (↑X : Type v)
mU : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ U'
iU : U' ⟶ (↑U : Opens (↑X : Type v))
gU : F.obj (op U')
wU :
  ∀ (x_1 : ↥U'),
    Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
      ((fun (x_2 : ↥U') ↦
            (fU ((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
              ?T (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
          x_1 :
        F.stalk (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' (↑x_1 : (↑X : Type v)) ⋯) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
          gU :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
V' : Opens (↑X : Type v)
mV : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑X : Type v)) ∈ V'
iV : V' ⟶ (↑V : Opens (↑X : Type v))
gV : F.obj (op V')
wV :
  ∀ (x_1 : ↥V'),
    Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
      ((fun (x_2 : ↥V') ↦
            (fV ((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
              ?T (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
          x_1 :
        F.stalk (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ V' (↑x_1 : (↑X : Type v)) ⋯) :
            (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
          gV :
        (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
wUx :
  Eq (α := F.stalk x)
    (fU (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) :
      ?T (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x ⋯) : (↑?X : Type ?u.5027)))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' x ⋯) : (a : F.obj (op U')) → F.stalk x) gU)
⊢ ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
    ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))),
      Eq (α := F.stalk (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w) : (↑X : Type v)))
        (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w))
        (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) w))
have w : ∀
  (e :
    Eq (α :=
      F.stalk (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x sorry) : (↑X : Type v)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' x sorry) : (a : F.obj (op U')) → F.stalk x) gU : F.stalk x)
      (fV (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x sorry) :
        ?T
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x sorry) :
            (↑?X : Type ?u.5027))))
  (wU :
    ∀ (x_1 : ↥U'),
      Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
        ((fun (x_2 : ↥U') ↦
              (fU ((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
                ?T (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
            x_1 :
          F.stalk (↑((iU : (a : ↥U') → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' (↑x_1 : (↑X : Type v)) sorry) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op U'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
            gU :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))))
  (V' : Opens (↑X : Type v))
  (mV : (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑V : Opens (↑X : Type v))) x sorry) : (↑X : Type v)) ∈ V')
  (iV : V' ⟶ (↑V : Opens (↑X : Type v))) (gV : F.obj (op V'))
  (wV :
    ∀ (x_1 : ↥V'),
      Eq (α := F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))
        ((fun (x_2 : ↥V') ↦
              (fV ((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) :
                ?T (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_2) : (↑?X : Type ?u.5027))))
            x_1 :
          F.stalk (↑((iV : (a : ↥V') → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) x_1) : (↑X : Type ?u.5027)))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ V' (↑x_1 : (↑X : Type v)) sorry) :
              (a : (fun (X : Type v) ↦ X) (F.obj (op V'))) → (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v))))
            gV :
          (fun (X : Type v) ↦ X) (F.stalk (↑x_1 : (↑X : Type v)))))
  (wUx :
    Eq (α := F.stalk x)
      (fU (Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x sorry) :
        ?T
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x_1 : (↑X : Type v)) ↦ x_1 ∈ (↑U : Opens (↑X : Type v))) x sorry) :
            (↑?X : Type ?u.5027)))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun) (F.germ U' x sorry) : (a : F.obj (op U')) → F.stalk x) gU)),
  ∃ (W : OpenNhds x) (iU : W ⟶ U) (iV : W ⟶ V),
    ∀ (w : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))),
      Eq (α := F.stalk (↑((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w) : (↑X : Type v)))
        (fU ((iU : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑U : Opens (↑X : Type v))) w))
        (fV ((iV : (a : ↥(↑W : Opens (↑X : Type v))) → ↥(↑V : Opens (↑X : Type v))) w))
Tactic: rw [wUx] at e
Cleared hypotheses: e, wU, V', mV, iV, gV, wV, wUx