-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorField.LieBracket (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst_1 : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst_2 : NormedAddCommGroup E
inst_3 : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst_6 : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst_7 : NormedAddCommGroup E'
inst_8 : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 2 M
inst_12 : IsManifold I' 2 M'
inst_13 : CompleteSpace E
inst_14 : CompleteSpace E'
f : M → M'
V W : (x : M') → TangentSpace I' x
x₀ : M
s : Set M
t : Set M'
hV : MDiffAt[t] (T% V) (f x₀)
hW : MDiffAt[t] (T% W) (f x₀)
hu : UniqueMDiffOn I s
hf : ContMDiffOn I I' 2 f s
hx₀ : x₀ ∈ s
ht : t ⊆ (extChartAt I' (f x₀)).source
hst : MapsTo f s t
hsymm :
  IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
A : (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀) = x₀
A' : x₀ = (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
h'f : MDiffAt[s] f x₀
this_1 :
  Eq (α :=
    TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)) →L[𝕜]
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀))
    (ContinuousLinearMap.inverse
      (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E))
        ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)))
    (mfderiv% (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
V' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') V (range (↑I' : H' → E'))
hV' : V' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') V (range (↑I' : H' → E'))
W' : (x : E') → TangentSpace 𝓘(𝕜, E') x :=
  mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') W (range (↑I' : H' → E'))
hW' : W' = mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') W (range (↑I' : H' → E'))
F : E → E' := ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M)
hF : F = ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M)
hFx₀ : (↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f x₀) = F ((↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀)
Y : (x : M') → TangentSpace I' x
this :
  (extChartAt I x₀).target ∈
    𝓝[(↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)] (↑(extChartAt I x₀) : M → E) x₀
y : E
hy : y ∈ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)
h'''y : y ∈ (extChartAt I x₀).target
h'y : f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y) ∈ (extChartAt I' (f x₀)).source
h''y : f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y) ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (f x₀))).source
huy : UniqueMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) y
⊢ Eq (α := E)
    ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E)) y) :
          (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
        (((ContinuousLinearMap.inverse (mfderivWithin I I' f s ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)) :
              ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜)
                (TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))
                (TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))) :
            (a : TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))) →
              TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))
          (Y (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
    (((ContinuousLinearMap.inverse
              (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) 𝓘(𝕜, E')
                (((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M))
                ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) y) :
            ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜)
              (TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
              (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)) :
          (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
        ((ContinuousLinearMap.inverse
              (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') (range (↑I' : H' → E'))
                ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))) :
            (a :
                TangentSpace I'
                  ((↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M')
                    ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))) →
              TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
          (Y
            ((↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M')
              ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))))) :
      TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
have h : Eq (α := E)
  ((ContinuousLinearMap.inverse (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) (range (↑I : H → E)) y) :
        (a : TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)) → TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
      (((ContinuousLinearMap.inverse (mfderivWithin I I' f s ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)) :
            ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜)
              (TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))
              (TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))) :
          (a : TangentSpace I' (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))) →
            TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))
        (Y (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))) :
    TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
  (((ContinuousLinearMap.inverse
            (ContinuousLinearMap.comp (M₂ := TangentSpace I ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))
              (mfderivWithin I 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') ∘ f) s
                ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))
              (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x₀).symm : E → M)
                ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) y)) :
          ContinuousLinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_3} (RingHom.id 𝕜)
            (TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
            (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)) :
        (a : TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))) →
          TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
      ((ContinuousLinearMap.inverse
            (mfderivWithin 𝓘(𝕜, E') I' (↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M') (range (↑I' : H' → E'))
              ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))) :
          (a :
              TangentSpace I'
                ((↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M')
                  ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))) →
            TangentSpace 𝓘(𝕜, E') ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y))))
        (Y
          ((↑(extChartAt I' (f x₀)).symm : E' → M')
            ((↑(extChartAt I' (f x₀)) : M' → E') (f ((↑(extChartAt I x₀).symm : E → M) y)))))) :
    TangentSpace 𝓘(𝕜, E) y)
Tactic: rw [mfderivWithin_comp (I' := I) (u := s)]