awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
refine_1 : ∀ (x : p.Rep), ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
⊢ ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
have refine_2 : ∀ (x : q.Rep), ∃ (y : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ y) ≤ ε
Tactic: refine ghDist_le_of_approx_subsets Φ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
refine_1 : ∀ (x : p.Rep), ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
refine_2 : ∀ (x : q.Rep), ∃ (y : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ y) ≤ ε
⊢ ghDist p.Rep q.Rep ≤ ε + ε / 2 + ε
have refine_3 : ∀ (x y : (↑(s p) : Type)), |dist x y - dist (Φ x) (Φ y)| ≤ ε
Tactic: refine ghDist_le_of_approx_subsets Φ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : p.Rep
⊢ ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
have this : Membership.mem (γ := Set p.Rep) (⋃ y ∈ s p, ball y ε) x
Tactic: have : x ∈ ⋃ y ∈ s p, ball y ε := (hs p).2 (mem_univ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : p.Rep
this : Membership.mem (γ := Set p.Rep) (⋃ y ∈ s p, ball y ε) x
⊢ ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
have refine_1 : ∀ (y : p.Rep) (ys : y ∈ s p) (hy : x ∈ ball y ε), ∃ y ∈ s p, dist x y ≤ ε
Tactic: obtain ⟨y, ys, hy⟩ := mem_iUnion₂.1 this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
⊢ ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
have this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
Tactic: have : x ∈ ⋃ y ∈ s q, ball y ε := (hs q).2 (mem_univ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
⊢ ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
have refine_2 : ∀ (y : q.Rep) (ys : y ∈ s q) (hy : x ∈ ball y ε), ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
Tactic: obtain ⟨y, ys, hy⟩ := mem_iUnion₂.1 this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
⊢ (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
    (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
have rw : (↑(⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) : ℕ) =
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
Tactic: rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
⊢ ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
have ihi_eq : (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
  (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
Tactic: have ihi_eq : (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) = (E q) ⟨y, ys⟩ := by rw [Fin.ext_iff, Fin.val_mk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
    (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
hiq : i < N q
⊢ i < N p
have rwa : ∀ (hiq : i < N p), i < N p
Tactic: rwa [Npq.symm] at hiq
Cleared hypotheses: hiq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
    (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
hiq : i < N q
⊢ ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
have hip : i < N p
Tactic: have hip : i < N p := by rwa [Npq.symm] at hiq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (goal)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
    (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : (↑(s p) : Type) := ((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) ⟨i, hip⟩
⊢ ∃ (z : (↑(s p) : Type)), dist x (Φ z) ≤ ε
have h : dist x (Φ z) ≤ ε
Tactic: use z
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
    (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : (↑(s p) : Type) := ((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) ⟨i, hip⟩
⊢ dist x (Φ z) ≤ ε
have C1 : (E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) z = (⟨i, hip⟩ : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)))
Tactic: have C1 : (E p) z = ⟨i, hip⟩ := (E p).apply_symm_apply ⟨i, hip⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.MetricSpace.GromovHausdorff (hypothesis)
Goal:
δ : ℝ
δpos : δ > 0
ε : ℝ := 2 / 5 * δ
εpos : 0 < ε
s : (p : GHSpace) → Set p.Rep
hs : ∀ (p : GHSpace), (s p).Finite ∧ Subset (α := Set p.Rep) univ (⋃ x ∈ s p, ball x ε)
N : (p : GHSpace) → ℕ := fun (p : GHSpace) ↦ Nat.card (↑(s p) : Type)
E : (p : GHSpace) → (↑(s p) : Type) ≃ Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)) :=
  fun (p : GHSpace) ↦ Finite.equivFin (↑(s p) : Type)
F : GHSpace → (n : ℕ) × (Fin n → Fin n → ℤ) :=
  fun (p : GHSpace) ↦
    Sigma.mk (β := fun (n : ℕ) ↦ Fin n → Fin n → ℤ) (N p) fun (a b : Fin (N p)) ↦
      ⌊ε⁻¹ *
          dist (α := (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) a : (↑(s p) : Type))
            (((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) b : (↑(s p) : Type))⌋
p q : GHSpace
hpq : F p = F q
Npq : N p = N q
Ψ : (↑(s p) : Type) → (↑(s q) : Type) :=
  fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦
    ((E q).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) → (↑(s q) : Type))
      (Fin.cast Npq ((E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) x))
Φ : (↑(s p) : Type) → q.Rep := fun (x : (↑(s p) : Type)) ↦ (↑(Ψ x) : q.Rep)
x : q.Rep
this : Membership.mem (γ := Set q.Rep) (⋃ y ∈ s q, ball y ε) x
y : q.Rep
ys : y ∈ s q
hy : x ∈ ball y ε
i : ℕ :=
  (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ)
hi : (↑((E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type)))
        (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)) :
    ℕ) <
  Nat.card (↑(s q) : Type) :=
  ⋯
ihi_eq :
  (⟨i, hi⟩ : Fin (N q)) =
    (E q : (a : (↑(s q) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s q) : Type))) (Subtype.mk (p := fun (x : q.Rep) ↦ x ∈ s q) y ys)
hiq : i < N q
hip : i < N p
z : (↑(s p) : Type) := ((E p).symm : (a : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) → (↑(s p) : Type)) ⟨i, hip⟩
C1 : (E p : (a : (↑(s p) : Type)) → Fin (Nat.card (↑(s p) : Type))) z = (⟨i, hip⟩ : Fin (Nat.card (↑(s p) : Type)))
⊢ dist x (Φ z) ≤ ε
have C2 : Fin.cast Npq (⟨i, hip⟩ : Fin (N p)) = ⟨i, hi⟩
Tactic: have C2 : Fin.cast Npq ⟨i, hip⟩ = ⟨i, hi⟩ := rfl