awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
hcovers :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • (↑(H i) : Set G))
    Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
    ((⋃ (x : κ),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ)
            {k : κ |
              (H
                  (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                    ι)).FiniteIndex}
            x),
          f x • (↑(K x) : Set G)) ∪
      ⋃ (x : κ),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ)
            {a : κ |
              ¬(H
                    (↑(a.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                      ι)).FiniteIndex}
            x),
          f x • (↑(K x) : Set G))
    ((⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G)) ∪
      ⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
have hx : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
  (⋃ (x : κ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Finset κ)
        {k : κ |
          (H
              (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
                ι)).FiniteIndex}
        x),
      f x • (↑(K x) : Set G))
  (⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
Tactic: apply congrArg₂ (· ∪ ·)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
hcovers :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • (↑(H i) : Set G))
    Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
hx :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
    (⋃ (x : κ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Finset κ)
          {k : κ |
            (H
                (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                  ι)).FiniteIndex}
          x),
        f x • (↑(K x) : Set G))
    (⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
    ((⋃ (x : κ),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ)
            {k : κ |
              (H
                  (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                    ι)).FiniteIndex}
            x),
          f x • (↑(K x) : Set G)) ∪
      ⋃ (x : κ),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ)
            {a : κ |
              ¬(H
                    (↑(a.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                      ι)).FiniteIndex}
            x),
          f x • (↑(K x) : Set G))
    ((⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G)) ∪
      ⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
have hy : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
  (⋃ (x : κ),
    ⋃ (_ :
      Membership.mem (γ := Finset κ)
        {a : κ |
          ¬(H
                (↑(a.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
                  ι)).FiniteIndex}
        x),
      f x • (↑(K x) : Set G))
  (⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
Tactic: apply congrArg₂ (· ∪ ·)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
hcovers :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • (↑(H i) : Set G))
    Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
    (⋃ (x : κ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Finset κ)
          {k : κ |
            (H
                (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                  ι)).FiniteIndex}
          x),
        f x • (↑(K x) : Set G))
    (⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
have hx : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
  (⋃ (x : ι),
    ⋃ (hx : x ∈ s),
      ⋃ (a :
        ↥(if h : (H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) : ι)).FiniteIndex then
            t (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) : ι) sorry h
          else {1})),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ)
            {k : κ |
              (H
                  (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
                    ι)).FiniteIndex}
            (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
              (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a)),
          f
              (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
                (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a) •
            (↑(K
                  (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
                    (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a)) :
              Set G))
  (⋃ x ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
Tactic: rw [Set.iUnion_sigma, Set.iUnion_subtype]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
hcovers :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex} ∪ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g i • (↑(H i) : Set G))
    Set.univ
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
    (⋃ (x : κ),
      ⋃ (_ :
        Membership.mem (γ := Finset κ)
          {a : κ |
            ¬(H
                  (↑(a.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
                    ι)).FiniteIndex}
          x),
        f x • (↑(K x) : Set G))
    (⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
have hy : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
  (⋃ (x : ι),
    ⋃ (hx : x ∈ s),
      ⋃ (a :
        ↥(if h : (H (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) : ι)).FiniteIndex then
            t (↑(Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) : ι) sorry h
          else {1})),
        ⋃ (_ :
          Membership.mem (γ := Finset κ)
            {a : κ |
              ¬(H
                    (↑(a.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
                      ι)).FiniteIndex}
            (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
              (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a)),
          f
              (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
                (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a) •
            (↑(K
                  (Sigma.mk (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))
                    (Subtype.mk (p := fun (x : ι) ↦ x ∈ s) x hx) a)) :
              Set G))
  (⋃ x ∈ {a ∈ s | ¬(H a).FiniteIndex}, g x • (↑(H x) : Set G))
Tactic: rw [Set.iUnion_sigma, Set.iUnion_subtype]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (hypothesis)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
have hcovers' : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
  Set.univ
Tactic: have hcovers' : ⋃ k ∈ Finset.univ, f k • (K k : Set G) = Set.univ := by
    rw [← s.filter_union_filter_not_eq (fun i => (H i).FiniteIndex)] at hcovers
    rw [← hcovers, ← Finset.univ.filter_union_filter_not_eq (fun k => (H k.1).FiniteIndex),
      Finset.set_biUnion_union, Finset.set_biUnion_union]
    apply congrArg₂ (· ∪ ·) <;> rw [Set.iUnion_sigma, Set.iUnion_subtype] <;>
        refine Set.iUnion_congr fun i => ?_
    · by_cases hfi : (H i).FiniteIndex <;>
        simp [← Set.smul_set_iUnion₂, Set.iUnion_subtype, ← leftCoset_assoc, f, K, ht, hfi]
    · by_cases hfi : (H i).FiniteIndex <;>
        simp [Set.iUnion_subtype, f, K, hfi]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
    Set.univ
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
have have : ∀ (k : κ)
  (hkfi :
    (H
        (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) sorry h else {1}))) :
          ι)).FiniteIndex)
  (hk : K k = D),
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, g k • (↑(H k) : Set G)) Set.univ ∧
    LE.le (α := ℚ) 1 (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (Eq (α := ℚ) (∑ i ∈ s, (↑(H i).index : ℚ)⁻¹) 1 →
        Set.PairwiseDisjoint.{u_1, u_2} (α := Set G) (↑({i ∈ s | (H i).FiniteIndex}) : Set ι) fun (i : ι) ↦
          g i • (↑(H i) : Set G))
Tactic: have ⟨k, hkfi, hk⟩ : ∃ k, (H k.1.1).FiniteIndex ∧ K k = D :=
    have ⟨j, hj, hjfi⟩ := exists_finiteIndex_of_leftCoset_cover hcovers
    have ⟨x, hx⟩ : (t j hj hjfi).Nonempty := Finset.nonempty_coe_sort.mp
      (ht j hj hjfi).1.leftQuotientEquiv.symm.nonempty
    ⟨⟨⟨j, hj⟩, ⟨x, dif_pos hjfi ▸ hx⟩⟩, hjfi, if_pos hjfi⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
    Set.univ
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
i : κ
hi : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = K k} i
⊢ f i • (↑(K k) : Set G) = f i • (↑(K i) : Set G)
have rw : f i • (↑(K i) : Set G) = f i • (↑(K i) : Set G)
Tactic: rw [← (Finset.mem_filter.mp hi).2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
    Set.univ
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = D} i), f i • (↑D : Set G))
    Set.univ
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
  (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = K k} i), f i • (↑(K i) : Set G)) Set.univ
Tactic: rw [← hk, Set.iUnion₂_congr fun i hi => by rw [← (Finset.mem_filter.mp hi).2]]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.GroupTheory.CosetCover (goal)
Goal:
G : Type u_1
inst : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ i ∈ s, g i • (↑(H i) : Set G)) Set.univ
inst_1 : DecidablePred (α := Subgroup G) FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ {i ∈ s | (H i).FiniteIndex}, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι} (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex), D ≤ H i
t : (i : ι) → (hi : i ∈ s) → (hfi : (H i).FiniteIndex) → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement (↑(t i hi hfi) : Set ↥(H i)) (↑(D.subgroupOf (H i)) : Set ↥(H i)) ∧
      ⋃ g ∈ t i hi hfi, (↑g : G) • (↑D : Set G) = (↑(H i) : Set G)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : ↥s) × ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1})
f : (k : κ) → G :=
  fun (k : κ) ↦
    g (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι) *
      (↑(↑(k.snd (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
            ↥(H (↑k.fst : ι))) :
        G)
K : (k : κ) → Subgroup G :=
  fun (k : κ) ↦
    if
        (H
            (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) :
              ι)).FiniteIndex then
      D
    else H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)
hcovers' :
  Eq.{u_1 + 1} (α := Set G) (⋃ (k : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) Finset.univ k), f k • (↑(K k) : Set G))
    Set.univ
k : κ
hkfi :
  (H (↑(k.fst (β := fun (i : ↥s) ↦ ↥(if h : (H (↑i : ι)).FiniteIndex then t (↑i : ι) ⋯ h else {1}))) : ι)).FiniteIndex
hk : K k = D
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := Set G)
    (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = K k} i), f i • (↑(K i) : Set G)) Set.univ
have by_contra! : ∀
  (h :
    Ne.{u_1 + 1} (α := Set G)
      (⋃ (i : κ), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset κ) {x : κ | K x = K k} i), f i • (↑(K i) : Set G)) Set.univ),
  False
Tactic: by_contra! h