awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
i j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j : R)
a₁ :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j : R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv i j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] i j : R)
have a₂ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) j :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) j : R)
Tactic: fin_cases i
Cleared hypotheses: i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j : R)
have a : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) :
    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j : R)
have a₁ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) :
    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
a₁ :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) :
      R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) j : R)
have a₂ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩)
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    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j : R)
have a : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) :
    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
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      R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
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      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j : R)
have a₁ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) :
    R)
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    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
a₁ :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) :
      R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) j : R)
have a₂ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
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          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩)
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    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j : R)
have a : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, sorry⟩) :
    R)
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    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
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      R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j : R)
have a₁ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩)
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    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
j : Fin 3
a :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨0, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)
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      R)
a₁ :
  Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩)
        ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨1, ⋯⟩) :
      R)
⊢ Eq (α := R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j :
      R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, ⋯⟩) j : R)
have a₂ : Eq (α := R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) :
    R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩)
      ((fun (i : Fin 3) ↦ i) ⟨2, sorry⟩) :
    R)
Tactic: fin_cases j
Cleared hypotheses: j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
⊢ Matrix.det (n := Fin 3)
        ((Matrix.reindex e e :
            (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
              Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
          f.sylvesterDeriv) *
      HPow.hPow (α := R) (-1) (f.natDegree * (f.natDegree - 1) / 2) =
    HPow.hPow (β := ℕ) (f.coeff 1) 2 - 4 * f.coeff 0 * f.coeff 2
have this : Eq (α := Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
  ((Matrix.reindex e e :
        (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
          Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
      f.sylvesterDeriv :
    Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
  (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
Tactic: have : f.sylvesterDeriv.reindex e e =
    !![f.coeff 0,     f.coeff 1,         0;
        f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1;
        1,                     0,         2] := by
    ext i j
    fin_cases i <;> fin_cases j <;>
      simp [e, sylvesterDeriv, sylvester, coeff_derivative, mul_comm, Fin.addCases,
        one_add_one_eq_two, hf, Fin.cast]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 2
e : Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree) ≃ Fin 3 := finCongr ⋯
this :
  Eq (α := Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
    ((Matrix.reindex e e :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
        f.sylvesterDeriv :
      Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
    (!![f.coeff 0, f.coeff 1, 0; f.coeff 1, 2 * f.coeff 2, f.coeff 1; 1, 0, 2] : Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
⊢ Matrix.det (n := Fin 3)
        ((Matrix.reindex e e :
            (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
              Matrix (Fin 3) (Fin 3) R)
          f.sylvesterDeriv) *
      HPow.hPow (α := R) (-1) (f.natDegree * (f.natDegree - 1) / 2) =
    HPow.hPow (β := ℕ) (f.coeff 1) 2 - 4 * f.coeff 0 * f.coeff 2
have simp : (f.coeff 0 * (2 * f.coeff 2) * 2 - f.coeff 0 * f.coeff 1 * 0 - f.coeff 1 * f.coeff 1 * 2 + f.coeff 1 * f.coeff 1 * 1 +
        0 * f.coeff 1 * 0 -
      0 * (2 * f.coeff 2) * 1) *
    HPow.hPow (α := R) (-1) (2 * HSub.hSub (α := ℕ) 2 1 / 2) =
  HPow.hPow (β := ℕ) (f.coeff 1) 2 - 4 * f.coeff 0 * f.coeff 2
Tactic: simp only [this, Matrix.det_fin_three, Matrix.of_apply, Matrix.cons_val', Matrix.cons_val_zero,
    Matrix.cons_val_fin_one, Matrix.cons_val_one, Matrix.cons_val, hf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : 0 < f.degree
⊢ f.resultant ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f.natDegree (f.natDegree - 1) =
    HPow.hPow (α := R) (-1) (f.natDegree * (f.natDegree - 1) / 2) * f.leadingCoeff * f.discr
have hf₁ : 0 < f.natDegree
Tactic: rw [← natDegree_pos_iff_degree_pos] at hf
Cleared hypotheses: hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ f.resultant ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) f) f.natDegree (f.natDegree - 1) =
    HPow.hPow (α := R) (-1) (f.natDegree * (f.natDegree - 1) / 2) * f.leadingCoeff * f.discr
have rw : HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree) * (f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det) =
  HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree / 2) * f.leadingCoeff *
    (f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree / 2))
Tactic: rw [resultant_comm, resultant, ← sylvesterDeriv_updateRow f hf, Matrix.det_updateRow_smul,
    Matrix.updateRow_eq_self, discr, mul_comm f.natDegree]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree) * (f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det) =
    HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree / 2) * f.leadingCoeff *
      (f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree / 2))
have ring_nf : f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree) =
  f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree / 2 * 2)
Tactic: ring_nf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ 2 ∣ (f.natDegree - 1) * f.natDegree
have h : f.natDegree = f.natDegree - 1 + 1
Tactic: convert! Nat.two_dvd_mul_add_one (f.natDegree - 1) using 2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : 0 < f.natDegree
⊢ f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree) =
    f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree / 2 * 2)
have rw : f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree) =
  f.leadingCoeff * f.sylvesterDeriv.det * HPow.hPow (α := R) (-1) ((f.natDegree - 1) * f.natDegree)
Tactic: rw [Nat.div_mul_cancel (by convert! Nat.two_dvd_mul_add_one (f.natDegree - 1) using 2; lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 3
⊢ f.natDegree - 1 + f.natDegree = 5
have rw : HSub.hSub (α := ℕ) 3 1 + 3 = 5
Tactic: rw [hf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f : R[X]
hf : f.natDegree = 3
⊢ Eq (α := Matrix (Fin 5) (Fin 5) R)
    (((Matrix.reindex (finCongr ⋯) (finCongr ⋯) :
            Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R ≃
              Matrix (Fin 5) (Fin 5) R) :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 5) (Fin 5) R)
        f.sylvesterDeriv :
      Matrix (Fin 5) (Fin 5) R)
    (!![f.coeff 0, 0, 1 * f.coeff 1, 0, 0;
        f.coeff 1, f.coeff 0, 2 * f.coeff 2, 1 * f.coeff 1, 0;
        f.coeff 2, f.coeff 1, 3 * f.coeff 3, 2 * f.coeff 2, 1 * f.coeff 1;
        f.coeff 3, f.coeff 2, 0, 3 * f.coeff 3, 2 * f.coeff 2;
        0, 1, 0, 0, 3] :
      Matrix (Fin 5) (Fin 5) R)
have a : ∀ (i : ℕ) (hi : i < 5) (j : ℕ) (hj : j < 5),
  Eq (α := R)
    (((Matrix.reindex (finCongr sorry) (finCongr sorry) :
            Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R ≃
              Matrix (Fin 5) (Fin 5) R) :
          (a : Matrix (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) (Fin (f.natDegree - 1 + f.natDegree)) R) →
            Matrix (Fin 5) (Fin 5) R)
        f.sylvesterDeriv ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ :
      R)
    (!![f.coeff 0, 0, 1 * f.coeff 1, 0, 0;
          f.coeff 1, f.coeff 0, 2 * f.coeff 2, 1 * f.coeff 1, 0;
          f.coeff 2, f.coeff 1, 3 * f.coeff 3, 2 * f.coeff 2, 1 * f.coeff 1;
          f.coeff 3, f.coeff 2, 0, 3 * f.coeff 3, 2 * f.coeff 2;
          0, 1, 0, 0, 3]
        ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩ :
      R)
Tactic: ext ⟨i, hi⟩ ⟨j, hj⟩