-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.Stalk (goal)
Goal:
X Y : Scheme
f_1 : X ⟶ Y
U V : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
hV : IsAffineOpen V
R : CommRingCat
inst : IsLocalRing.{u} (↑R : Type u)
x : ↥X
f : X.presheaf.stalk x ⟶ R
hf : IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)
refine_1 :
  Sigma.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
      (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
        x
        (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f hf)) =
    Sigma.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
      ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦
          (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
              (f (closedPoint (↑R : Type u)))
              (Subtype.mk (p := fun (f_2 : X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u))) ⟶ R) ↦
                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u)))) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                  (CommRingCat.Hom.hom f_2))
                (Scheme.stalkClosedPointTo f) ⋯) :
            (x : ↥X) ×
              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) }))
        ((fun
              (xf :
                (x : ↥X) ×
                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
            Spec.map
                (↑(xf.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
                      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                          (CommRingCat.Hom.hom f) })) :
                  X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫
              X.fromSpecStalk
                (xf.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })))
          (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
            { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
            x
            (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f hf))))
⊢ Eq (α :=
    (x : ↥X) ×
      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
    (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
      x
      (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f hf))
    ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦
        (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
            { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
            (f (closedPoint (↑R : Type u)))
            (Subtype.mk (p := fun (f_2 : X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u))) ⟶ R) ↦
              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u)))) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                (CommRingCat.Hom.hom f_2))
              (Scheme.stalkClosedPointTo f) ⋯) :
          (x : ↥X) ×
            { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) }))
      ((fun
            (xf :
              (x : ↥X) ×
                { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                  IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
          Spec.map
              (↑(xf.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
                    { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                      IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                        (CommRingCat.Hom.hom f) })) :
                X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫
            X.fromSpecStalk
              (xf.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                  IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })))
        (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
          { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
          x
          (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f hf))))
have refine_2 : Eq (α :=
  X.presheaf.stalk
      (Sigma.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
        (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
          { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
          x
          (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f hf))) ⟶
    R)
  (↑(Sigma.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
        (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
          { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
          x
          (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f hf))) :
    X.presheaf.stalk ⟨x, ⟨f, hf⟩⟩.fst ⟶ R)
  (CategoryStruct.comp (Y :=
    X.presheaf.stalk
      (Sigma.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
        ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦
            (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                  IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
                (f (closedPoint (↑R : Type u)))
                (Subtype.mk (p := fun (f_2 : X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u))) ⟶ R) ↦
                  IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u)))) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                    (CommRingCat.Hom.hom f_2))
                  (Scheme.stalkClosedPointTo f) sorry) :
              (x : ↥X) ×
                { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                  IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) }))
          ((fun
                (xf :
                  (x : ↥X) ×
                    { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                      IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                        (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
              Spec.map
                  (↑(xf.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
                        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                            (CommRingCat.Hom.hom f) })) :
                    X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫
                X.fromSpecStalk
                  (xf.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                    { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                      IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                        (CommRingCat.Hom.hom f) })))
            (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
              x
              (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f
                hf))))))
    (Iso.hom (X.presheaf.stalkCongr sorry))
    (↑(Sigma.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
            { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
            ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦
                (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                    { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                      IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
                    (f (closedPoint (↑R : Type u)))
                    (Subtype.mk (p := fun (f_2 : X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u))) ⟶ R) ↦
                      IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u)))) : Type u)) (S :=
                        (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f_2))
                      (Scheme.stalkClosedPointTo f) sorry) :
                  (x : ↥X) ×
                    { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                      IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                        (CommRingCat.Hom.hom f) }))
              ((fun
                    (xf :
                      (x : ↥X) ×
                        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                            (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
                  Spec.map
                      (↑(xf.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
                            { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                (CommRingCat.Hom.hom f) })) :
                        X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫
                    X.fromSpecStalk
                      (xf.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                            (CommRingCat.Hom.hom f) })))
                (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
                  x
                  (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f)) f
                    hf)))) :
          { f_2 :
            X.presheaf.stalk
                (Sigma.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f) })
                  ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦
                      (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                          { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                              (CommRingCat.Hom.hom f) })
                          (f (closedPoint (↑R : Type u)))
                          (Subtype.mk (p := fun (f_2 : X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u))) ⟶ R) ↦
                            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u)))) : Type u)) (S :=
                              (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f_2))
                            (Scheme.stalkClosedPointTo f) sorry) :
                        (x : ↥X) ×
                          { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                            IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                              (CommRingCat.Hom.hom f) }))
                    ((fun
                          (xf :
                            (x : ↥X) ×
                              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                  (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
                        Spec.map
                            (↑(xf.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
                                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                      (CommRingCat.Hom.hom f) })) :
                              X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫
                          X.fromSpecStalk
                            (xf.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                  (CommRingCat.Hom.hom f) })))
                      (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                        { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                            (CommRingCat.Hom.hom f) })
                        x
                        (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
                          IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                            (CommRingCat.Hom.hom f))
                          f hf))))) ⟶
              R //
            IsLocalHom (R :=
              (↑(X.presheaf.stalk
                    (Sigma.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                          (CommRingCat.Hom.hom f) })
                      ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦
                          (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                  (CommRingCat.Hom.hom f) })
                              (f (closedPoint (↑R : Type u)))
                              (Subtype.mk (p := fun (f_3 : X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u))) ⟶ R) ↦
                                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk (f (closedPoint (↑R : Type u)))) : Type u)) (S :=
                                  (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f_3))
                                (Scheme.stalkClosedPointTo f) sorry) :
                            (x : ↥X) ×
                              { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                  (CommRingCat.Hom.hom f) }))
                        ((fun
                              (xf :
                                (x : ↥X) ×
                                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                      (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
                            Spec.map
                                (↑(xf.snd (β := fun (x : ↥X) ↦
                                      { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                        IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                          (CommRingCat.Hom.hom f) })) :
                                  X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫
                              X.fromSpecStalk
                                (xf.fst (β := fun (x : ↥X) ↦
                                  { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                                    IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                      (CommRingCat.Hom.hom f) })))
                          (Sigma.mk (β := fun (x : ↥X) ↦
                            { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R //
                              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                (CommRingCat.Hom.hom f) })
                            x
                            (Subtype.mk (p := fun (f : X.presheaf.stalk x ⟶ R) ↦
                              IsLocalHom (R := (↑(X.presheaf.stalk x) : Type u)) (S := (↑R : Type u))
                                (CommRingCat.Hom.hom f))
                              f hf)))))) :
                Type u))
              (S := (↑R : Type u)) (CommRingCat.Hom.hom f_2) }) :
      X.presheaf.stalk
          ((fun (f : Spec R ⟶ X) ↦ ⟨f (closedPoint (↑R : Type u)), ⟨Scheme.stalkClosedPointTo f, sorry⟩⟩)
              ((fun (xf : (x : ↥X) × { f : X.presheaf.stalk x ⟶ R // IsLocalHom (CommRingCat.Hom.hom f) }) ↦
                  Spec.map (↑xf.snd : X.presheaf.stalk xf.fst ⟶ R) ≫ X.fromSpecStalk xf.fst)
                ⟨x, ⟨f, hf⟩⟩)).fst ⟶
        R))
Tactic: refine SpecToEquivOfLocalRing_eq_iff.mpr ⟨?_, ?_⟩