awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst_9 : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp :
  ∀ (i : ι),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((coroot : (a : ι) → N) i : N) :
        R)
      (2 : R)
hr :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
      (⇑(preReflection ((root : (a : ι) → M) i) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : End R M) :
        (a : M) → M)
      (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
hc :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_4, u_4} (α := N) (β := N)
      (⇑(preReflection ((coroot : (a : ι) → N) i) ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i)) : End R N) :
        (a : N) → N)
      (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑coroot : (a : ι) → N)) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑coroot : (a : ι) → N))
i j k : ι
α : M := (root : (a : ι) → M) i
β : M := (root : (a : ι) → M) j
α' : N := (coroot : (a : ι) → N) i
β' : N := (coroot : (a : ι) → N) j
sα : End R M := preReflection α ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) α')
hk : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((root : (a : ι) → M) k : M) ((sα : (a : M) → M) β : M)
sβ : End R M := preReflection β ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) β')
sα' : End R N := preReflection α' ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) α)
hij : preReflection ((sα : (a : M) → M) β) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((sα' : (a : N) → N) β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
l : ι
hl :
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((coroot : (a : ι) → N) l : N)
    (((preReflection ((coroot : (a : ι) → N) i) ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i)) : End R N) :
          (a : N) → N)
        ((coroot : (a : ι) → N) j : N) :
      N)
hkl :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) l) : M →ₗ[R] R) : (a : M) → R)
        ((root : (a : ι) → M) k : M) :
      R)
    (2 : R)
this_1 : IsAddTorsionFree M
this :
  InjOn (α := Dual R M) (β := Dual.{u_2, u_3} R ↥(span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))))
    (⇑(LinearMap.dualMap (Submodule.subtype (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))))) :
      (a : Dual R M) → Dual R ↥(span R (range (⇑root : (a : ι) → M))))
    (range (ι := ι) (comp (β := N) (⇑p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) (⇑coroot : (a : ι) → N)))
⊢ MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((root : (a : ι) → M) k)
            (comp (β := N) (⇑p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) (⇑coroot : (a : ι) → N) l) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
have rw : MapsTo (α := M) (β := M) (⇑(sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα) : (a : M) → M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
  (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
Tactic: rw [comp_apply, hl, hk, hij]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst_9 : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp :
  ∀ (i : ι),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((coroot : (a : ι) → N) i : N) :
        R)
      (2 : R)
hr :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
      (⇑(preReflection ((root : (a : ι) → M) i) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : End R M) :
        (a : M) → M)
      (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
hc :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_4, u_4} (α := N) (β := N)
      (⇑(preReflection ((coroot : (a : ι) → N) i) ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i)) : End R N) :
        (a : N) → N)
      (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑coroot : (a : ι) → N)) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑coroot : (a : ι) → N))
i j : ι
⊢ HSub.hSub (α := M) ((root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
        ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) j) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
            ((coroot : (a : ι) → N) i : N) :
          R)
        ((root : (a : ι) → M) i : M)) =
    (root : (a : ι) → M) ((sorry : (a : ι) → ι) j : ι)
have simp : HSub.hSub (α := M) ((root : (a : ι) → M) j : M)
    (HSMul.hSMul.{u_2, u_3, u_3} (α := R) (β := M)
      ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) j) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((coroot : (a : ι) → N) i : N) :
        R)
      ((root : (a : ι) → M) i : M)) =
  (root : (a : ι) → M) ((sorry () : (a : ι) → ι) j : ι)
Tactic: simp [(exist_eq_reflection_of_mapsTo p root coroot i j hr).choose_spec, preReflection_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst_9 : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp :
  ∀ (i : ι),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((coroot : (a : ι) → N) i : N) :
        R)
      (2 : R)
hr :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
      (⇑(preReflection ((root : (a : ι) → M) i) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : End R M) :
        (a : M) → M)
      (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
hc :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_4, u_4} (α := N) (β := N)
      (⇑(preReflection ((coroot : (a : ι) → N) i) ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i)) : End R N) :
        (a : N) → N)
      (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑coroot : (a : ι) → N)) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑coroot : (a : ι) → N))
i j : ι
⊢ HSub.hSub (α := N) ((coroot : (a : ι) → N) j : N)
      (HSMul.hSMul.{u_2, u_4, u_4} (α := R) (β := N)
        ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R)
            ((coroot : (a : ι) → N) j : N) :
          R)
        ((coroot : (a : ι) → N) i : N)) =
    (coroot : (a : ι) → N) ((sorry : (a : ι) → ι) j : ι)
have refine : Eq (α := M) ((root : (a : ι) → M) ((sorry : (a : ι) → ι) j : ι) : M)
  (((preReflection ((root : (a : ι) → M) i) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : End R M) :
        (a : M) → M)
      ((root : (a : ι) → M) j : M) :
    M)
Tactic: refine (coroot_eq_coreflection_of_root_eq' p root coroot hp hr hc ?_).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
inst_9 : P₁.IsRootSystem
inst_10 : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
this :
  ∀ (P₁ P₂ : RootPairing ι R M N) [P₁.IsRootSystem] [P₂.IsRootSystem],
    P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap →
      P₁.root = P₂.root →
        Subset.{u_4} (α := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.coroot : (a : ι) → N))
          (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
⊢ P₁ = P₂
have h₁ : Subset.{u_4} (α := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.coroot : (a : ι) → N))
  (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
Tactic: have h₁ := this P₁ P₂ he hr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
inst_9 : P₁.IsRootSystem
inst_10 : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
this :
  ∀ (P₁ P₂ : RootPairing ι R M N) [P₁.IsRootSystem] [P₂.IsRootSystem],
    P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap →
      P₁.root = P₂.root →
        Subset.{u_4} (α := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.coroot : (a : ι) → N))
          (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
h₁ :
  Subset.{u_4} (α := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.coroot : (a : ι) → N))
    (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
⊢ P₁ = P₂
have h₂ : Subset.{u_4} (α := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
  (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.coroot : (a : ι) → N))
Tactic: have h₂ := this P₂ P₁ he.symm hr.symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
inst_9 : P₁.IsRootSystem
inst_10 : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
⊢ P₁ = P₂
have suffices : ∀ (P₁ P₂ : RootPairing ι R M N) [P₁.IsRootSystem] [P₂.IsRootSystem],
  P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap →
    P₁.root = P₂.root →
      Subset.{u_4} (α := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.coroot : (a : ι) → N))
        (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
Tactic: suffices ∀ (P₁ P₂ : RootPairing ι R M N) [P₁.IsRootSystem] [P₂.IsRootSystem],
      P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap → P₁.root = P₂.root → range P₁.coroot ⊆ range P₂.coroot by
    have h₁ := this P₁ P₂ he hr
    have h₂ := this P₂ P₁ he.symm hr.symm
    exact RootPairing.ext he hr (le_antisymm h₁ h₂)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ Membership.mem.{u_4, u_4} (α := N) (γ := Set N) (range.{u_4, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.coroot : (a : ι) → N))
    ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i : N)
have h : Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i : N) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i : N)
Tactic: use i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i : N) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i : N)
have h : Eq (α := Dual R M) ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
  ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
Tactic: apply P₁.flip.toPerfPair.injective
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ Eq (α := Dual R M) ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
    ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
have h : Eq.{u_2 + 1} (α := R)
  ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
      ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
    R)
  (2 : R)
Tactic: apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo (finite_range P₁.root) IsRootSystem.span_root_eq_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
        ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)
    (2 : R)
⊢ Eq (α := Dual R M) ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
    ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
have h₁ : MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
  (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
          ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
        End R M) :
    (a : M) → M)
  (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
Tactic: apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo (finite_range P₁.root) IsRootSystem.span_root_eq_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
        ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)
    (2 : R)
h₁ :
  MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
            ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
⊢ Eq (α := Dual R M) ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
    ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
have h₂ : Eq.{u_2 + 1} (α := R)
  ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
      ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
    R)
  (2 : R)
Tactic: apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo (finite_range P₁.root) IsRootSystem.span_root_eq_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
        ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)
    (2 : R)
h₁ :
  MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
            ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
        ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)
    (2 : R)
⊢ Eq (α := Dual R M) ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
    ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
have h₃ : MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
  (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
          ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i)) :
        End R M) :
    (a : M) → M)
  (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
Tactic: apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo (finite_range P₁.root) IsRootSystem.span_root_eq_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
h :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
        ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)
    (2 : R)
h₁ :
  MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
            ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
h₂ :
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    ((((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M) : (a : M) → R)
        ((P₁.root : (a : ι) → M) i : M) :
      R)
    (2 : R)
h₃ :
  MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
            ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i)) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
⊢ Eq (α := Dual R M) ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
    ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₁.coroot : (a : ι) → N) i) : Dual R M)
have apply : M
Tactic: apply Dual.eq_of_preReflection_mapsTo (finite_range P₁.root) IsRootSystem.span_root_eq_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
            ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
have h : MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
  (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
          ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
        End R M) :
    (a : M) → M)
  (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
Tactic: change MapsTo (preReflection _ (P₁.toLinearMap.flip.toPerfPair _)) _ _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
P₁ P₂ : RootPairing ι R M N
hP₁ : P₁.IsRootSystem
hP₂ : P₂.IsRootSystem
he : P₁.toLinearMap = P₂.toLinearMap
hr : P₁.root = P₂.root
i : ι
⊢ MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
    (⇑(preReflection ((P₁.root : (a : ι) → M) i)
            ((P₁.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
          End R M) :
      (a : M) → M)
    (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₁.root : (a : ι) → M))
have h : MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
  (⇑(preReflection ((P₂.root : (a : ι) → M) i)
          ((P₂.flip.toPerfPair : (a : N) → Dual R M) ((P₂.coroot : (a : ι) → N) i)) :
        End R M) :
    (a : M) → M)
  (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P₂.root : (a : ι) → M))
Tactic: simp_rw [hr, he]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Basic (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
inst_5 : Finite ι
inst_6 : CharZero R
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsTorsionFree R M
p : M →ₗ[R] N →ₗ[R] R
inst_9 : p.IsPerfPair
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp :
  ∀ (i : ι),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      ((((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i) : N →ₗ[R] R) : (a : N) → R) ((coroot : (a : ι) → N) i : N) :
        R)
      (2 : R)
hs :
  ∀ (i : ι),
    MapsTo.{u_3, u_3} (α := M) (β := M)
      (⇑(preReflection ((root : (a : ι) → M) i) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : End R M) :
        (a : M) → M)
      (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M)) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))
hsp : Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule R M) (span R (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑root : (a : ι) → M))) ⊤
i j k : ι
hk :
  Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((root : (a : ι) → M) k : M)
    (((preReflection ((root : (a : ι) → M) i) ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : End R M) :
          (a : M) → M)
        ((root : (a : ι) → M) j : M) :
      M)
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((coroot : (a : ι) → N) k : N)
    (((preReflection ((coroot : (a : ι) → N) i) ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) ((root : (a : ι) → M) i)) : End R N) :
          (a : N) → N)
        ((coroot : (a : ι) → N) j : N) :
      N)
have set : let α : M := (root : (a : ι) → M) i;
∀
  (hk :
    Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((root : (a : ι) → M) k : M)
      ((preReflection α ((p.flip : (a : N) → M →ₗ[R] R) ((coroot : (a : ι) → N) i)) : (a : M) → M)
          ((root : (a : ι) → M) j : M) :
        M)),
  Eq.{u_4 + 1} (α := N) ((coroot : (a : ι) → N) k : N)
    (((preReflection ((coroot : (a : ι) → N) i) ((p : (a : M) → N →ₗ[R] R) α) : End R N) : (a : N) → N)
        ((coroot : (a : ι) → N) j : N) :
      N)
Tactic: set α := root i
Cleared hypotheses: hk