awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M))) ↔
    n ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have S_def : let S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))};
S =
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
Tactic: set S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range P.root} with S_def
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M))) ↔
    n ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have suffices : (↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
Tactic: suffices (n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ P.chainTopCoeff i j by
    simpa only [S_def, mem_setOf_eq, natCast_zsmul] using this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
⊢ (↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have aux : chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j =
  sorry.choose (p := fun (p : ℤ) ↦
      p ≥ 0 ∧
        {z : ℤ |
            Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
              (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
          Icc
            (sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
              q ≤ 0 ∧
                ∃ p ≥ 0,
                  {z : ℤ |
                      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                          (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                    Icc q p))
            p).toNat
Tactic: have aux : P.chainTopCoeff i j =
      (P.setOf_root_add_zsmul_eq_Icc_of_linearIndependent h).choose_spec.2.choose.toNat := by
    simp [chainTopCoeff, h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
aux :
  chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j =
    ⋯.choose (p := fun (p : ℤ) ↦
        p ≥ 0 ∧
          {z : ℤ |
              Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                  (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
            Icc
              (⋯.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
                q ≤ 0 ∧
                  ∃ p ≥ 0,
                    {z : ℤ |
                        Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                          (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                            (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                      Icc q p))
              p).toNat
⊢ (↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have hp : sorry.choose (p := fun (p : ℤ) ↦
    p ≥ 0 ∧
      {z : ℤ |
          Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
            (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
              (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
        Icc
          (sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
            q ≤ 0 ∧
              ∃ p ≥ 0,
                {z : ℤ |
                    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                        (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                  Icc q p))
          p) ≥
  0
Tactic: obtain ⟨hp, h₂ : S = _⟩ :=
    (P.setOf_root_add_zsmul_eq_Icc_of_linearIndependent h).choose_spec.2.choose_spec
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HSub.hSub (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M))) ↔
    n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have S_def : let S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))};
S =
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
Tactic: set S : Set ℤ := {z | P.root j + z • P.root i ∈ range P.root} with S_def
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HSub.hSub (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) i : M))) ↔
    n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have suffices : -(↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
Tactic: suffices -(n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ P.chainBotCoeff i j by
    simpa only [S_def, mem_setOf_eq, neg_smul, natCast_zsmul, ← sub_eq_add_neg] using this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
⊢ -(↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have aux : chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j =
  (-sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
        q ≤ 0 ∧
          ∃ p ≥ 0,
            {z : ℤ |
                Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                  (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                    (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
              Icc q p)).toNat
Tactic: have aux : P.chainBotCoeff i j =
      (-(P.setOf_root_add_zsmul_eq_Icc_of_linearIndependent h).choose).toNat := by
    simp [chainBotCoeff, h]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
aux :
  chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j =
    (-⋯.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
          q ≤ 0 ∧
            ∃ p ≥ 0,
              {z : ℤ |
                  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                      (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                Icc q p)).toNat
⊢ -(↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have obtain : ∀
  (hq :
    sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
        q ≤ 0 ∧
          ∃ p ≥ 0,
            {z : ℤ |
                Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                  (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                    (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
              Icc q p) ≤
      0)
  (p : ℤ) (hp : p ≥ 0)
  (h₂ :
    S =
      Icc
        (sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
          q ≤ 0 ∧
            ∃ p ≥ 0,
              {z : ℤ |
                  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                      (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                Icc q p))
        p),
  -(↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
Tactic: obtain ⟨hq, p, hp, h₂ : S = _⟩ :=
    (P.setOf_root_add_zsmul_eq_Icc_of_linearIndependent h).choose_spec
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
n : ℕ
S : Set ℤ :=
  {z : ℤ |
    Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
      (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
S_def :
  S =
    {z : ℤ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
aux :
  chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j =
    (-⋯.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
          q ≤ 0 ∧
            ∃ p ≥ 0,
              {z : ℤ |
                  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                      (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                Icc q p)).toNat
hq :
  ⋯.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
      q ≤ 0 ∧
        ∃ p ≥ 0,
          {z : ℤ |
              Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                  (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
            Icc q p) ≤
    0
p : ℤ
hp : p ≥ 0
h₂ :
  S =
    Icc
      (⋯.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
        q ≤ 0 ∧
          ∃ p ≥ 0,
            {z : ℤ |
                Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                  (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                    (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
              Icc q p))
      p
⊢ -(↑n : ℤ) ∈ S ↔ n ≤ chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have rw : sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
        q ≤ 0 ∧
          ∃ p ≥ 0,
            {z : ℤ |
                Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                  (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                    (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
              Icc q p) ≤
      -(↑n : ℤ) ∧
    -(↑n : ℤ) ≤ p ↔
  n ≤
    (-sorry.choose (p := fun (q : ℤ) ↦
          q ≤ 0 ∧
            ∃ p ≥ 0,
              {z : ℤ |
                  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
                    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
                      (HSMul.hSMul (β := M) z ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))} =
                Icc q p)).toNat
Tactic: rw [aux, h₂, mem_Icc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ Iic (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) =
    {k : ℕ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) k ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
have h₁ : ∀ (x : ℕ),
  x ∈ Iic (chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) ↔
    Membership.mem (γ := Set ℕ)
      {k : ℕ |
        Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
          (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) k ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
      x
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
h :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ Iic (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) =
    {k : ℕ |
      Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
        (HSub.hSub (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) k ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
have h₁ : ∀ (x : ℕ),
  x ∈ Iic (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j) ↔
    Membership.mem (γ := Set ℕ)
      {k : ℕ |
        Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
          (HSub.hSub (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) k ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))}
      x
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst_9 : P.IsReduced
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
⊢ 1 ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have h' : LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
  (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
Tactic: have h' := P.linearIndependent_of_add_mem_range_root' h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst_9 : P.IsReduced
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
⊢ 1 ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have rwa : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 1 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))
Tactic: rwa [← root_add_nsmul_mem_range_iff_le_chainTopCoeff h', one_smul, add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Chain (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : IsDomain R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst_9 : P.IsReduced
h :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
h' :
  LinearIndependent.{0, u_2, u_3} (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R (M := M)
    (![(P.root : (a : ι) → M) i, (P.root : (a : ι) → M) j] : Fin (Nat.succ 0).succ → M)
rwa :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 1 ((P.root : (a : ι) → M) i : M)))
⊢ 1 ≤ chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i j
have rwa₁ : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: rwa [← root_add_nsmul_mem_range_iff_le_chainTopCoeff h', one_smul, add_comm]