-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Algebraic.Cardinality (hypothesis)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
L : Type v
inst_2 : CommRing L
inst_3 : IsDomain L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : IsTorsionFree R L
inst_6 : Algebra.IsAlgebraic R L
x y : L
h :
  Eq (α := (p : R[X]) × (↑{x : L | x ∈ p.aroots L} : Type v))
    ((fun (x : L) ↦
        let p :
          { x_1 : R[X] // x_1 ≠ 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_1 : L) (0 : L) } :=
          Classical.indefiniteDescription
            (fun (x_1 : R[X]) ↦ x_1 ≠ 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_1 : L) (0 : L))
            ⋯;
        (Sigma.mk (β := fun (p : R[X]) ↦ (↑{x : L | x ∈ p.aroots L} : Type v)) (↑p : R[X])
            (Subtype.mk (p := fun (x_1 : L) ↦ Membership.mem (γ := Set L) {x_2 : L | x_2 ∈ (↑p : R[X]).aroots L} x_1) x
              ⋯) :
          (p : R[X]) × (↑{x : L | x ∈ p.aroots L} : Type v)))
      x)
    ((fun (x : L) ↦
        let p :
          { x_1 : R[X] // x_1 ≠ 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_1 : L) (0 : L) } :=
          Classical.indefiniteDescription
            (fun (x_1 : R[X]) ↦ x_1 ≠ 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_1 : L) (0 : L))
            ⋯;
        (Sigma.mk (β := fun (p : R[X]) ↦ (↑{x : L | x ∈ p.aroots L} : Type v)) (↑p : R[X])
            (Subtype.mk (p := fun (x_1 : L) ↦ Membership.mem (γ := Set L) {x_2 : L | x_2 ∈ (↑p : R[X]).aroots L} x_1) x
              ⋯) :
          (p : R[X]) × (↑{x : L | x ∈ p.aroots L} : Type v)))
      y)
⊢ x = y
have h₁ : Eq.{u + 1} (α := R[X])
    (↑(Classical.indefiniteDescription
          (fun (x_1 : R[X]) ↦ ¬x_1 = 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_1 : L) (0 : L))
          sorry) :
      R[X])
    (↑(Classical.indefiniteDescription
          (fun (x : R[X]) ↦ ¬x = 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval y : (a : R[X]) → L) x : L) (0 : L)) sorry) :
      R[X]) ∧
  HEq (α :=
    { x_1 : L //
      x_1 ∈
        Polynomial.aroots.{u, v} (T := R)
          (↑(Classical.indefiniteDescription
                (fun (x_2 : R[X]) ↦
                  ¬x_2 = 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_2 : L) (0 : L))
                sorry) :
            R[X])
          L })
    (Subtype.mk (p := fun (x_1 : L) ↦
      x_1 ∈
        Polynomial.aroots.{u, v} (T := R)
          (↑(Classical.indefiniteDescription
                (fun (x_2 : R[X]) ↦
                  ¬x_2 = 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval x : (a : R[X]) → L) x_2 : L) (0 : L))
                sorry) :
            R[X])
          L)
      x sorry)
    (β :=
    { x : L //
      x ∈
        Polynomial.aroots.{u, v} (T := R)
          (↑(Classical.indefiniteDescription
                (fun (x : R[X]) ↦ ¬x = 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval y : (a : R[X]) → L) x : L) (0 : L))
                sorry) :
            R[X])
          L })
    (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦
      x ∈
        Polynomial.aroots.{u, v} (T := R)
          (↑(Classical.indefiniteDescription
                (fun (x : R[X]) ↦ ¬x = 0 ∧ Eq.{v + 1} (α := L) ((Polynomial.aeval y : (a : R[X]) → L) x : L) (0 : L))
                sorry) :
            R[X])
          L)
      y sorry)
Tactic: simp only [Set.coe_setOf, ne_eq, Set.mem_setOf_eq, Sigma.mk.inj_iff] at h
Cleared hypotheses: h