awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
hk' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) k : M)
h : P.pairingIn ℤ i k = -2
⊢ ¬P.pairingIn ℤ k i = -2
have this : Module.IsReflexive R M
Tactic: have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
hk' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) k : M)
h : P.pairingIn ℤ i k = -2
this : Module.IsReflexive R M
⊢ ¬P.pairingIn ℤ k i = -2
have contrapose : ∀ (hk' : P.pairingIn ℤ k i = -2), Eq.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) k : M)
Tactic: contrapose hk'
Cleared hypotheses: hk'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
hk' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) k : M)
⊢ P.pairingIn ℤ k i = -1
have aux : ∀ (h : P.pairingIn ℤ i k = -2), ¬P.pairingIn ℤ k i = -2
Tactic: have aux (h : P.pairingIn ℤ i k = -2) : ¬P.pairingIn ℤ k i = -2 := by
      have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
      contrapose hk'; exact (P.pairingIn_neg_two_neg_two_iff ℤ i k).mp ⟨h, hk'⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
hk' : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) (-(P.root : (a : ι) → M) k : M)
aux : ∀ (h : P.pairingIn ℤ i k = -2), ¬P.pairingIn ℤ k i = -2
⊢ P.pairingIn ℤ k i = -1
have this : Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
  {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1), (4, 1), (1, 4),
    (-4, -1), (-1, -4), (2, 2), (-2, -2)}
  (P.pairingIn ℤ i k, P.pairingIn ℤ k i)
Tactic: have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ i k ≤ -2
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i
have hki₁ : P.pairingIn ℤ k i = -1
Tactic: replace hki : P.pairingIn ℤ k i = -1 := by
    replace hk' : α i ≠ - α k := by
      rw [← sub_ne_zero, sub_neg_eq_add, add_comm]
      intro contra
      rw [contra] at hk'
      exact P.ne_zero _ hk'.choose_spec
    have aux (h : P.pairingIn ℤ i k = -2) : ¬P.pairingIn ℤ k i = -2 := by
      have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
      contrapose hk'; exact (P.pairingIn_neg_two_neg_two_iff ℤ i k).mp ⟨h, hk'⟩
    have := P.pairingIn_pairingIn_mem_set_of_isCrystallographic i k
    aesop
Cleared hypotheses: hki
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ k i = -1
⊢ P.pairing k i = -1
have rw : Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (-1) : R) (-1 : R)
Tactic: rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ, hki]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairingIn ℤ k i = -1
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i
have hki₁ : P.pairing k i = -1
Tactic: replace hki : P.pairing k i = -1 := by rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ, hki]; simp
Cleared hypotheses: hki
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
⊢ P.pairingIn ℤ l i = 1 - P.pairingIn ℤ j i
have a : Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (P.pairingIn ℤ l i) : R)
  ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (1 - P.pairingIn ℤ j i) : R)
Tactic: apply algebraMap_injective ℤ R
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
⊢ Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (P.pairingIn ℤ l i) : R)
    ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (1 - P.pairingIn ℤ j i) : R)
have a : P.pairing l i = 1 - P.pairing j i
Tactic: simp only [algebraMap_pairingIn, map_sub, map_one, algebraMap_pairingIn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
⊢ P.pairing l i = 1 - P.pairing j i
have h : 1 - P.pairing j i =
  (P.coroot' i : (a : M) → R)
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
Tactic: convert! (P.coroot' i : M →ₗ[R] R).congr_arg hl using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
⊢ 1 - P.pairing j i =
    (P.coroot' i : (a : M) → R)
      (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
have h : 1 = HAdd.hAdd («α» := R) (-1) 2
Tactic: simp only [map_sub, map_add, LinearMap.flip_apply, root_coroot_eq_pairing, hki, pairing_same,
      sub_left_inj]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i
have this : P.pairingIn ℤ l i = 1 - P.pairingIn ℤ j i
Tactic: have : P.pairingIn ℤ l i = 1 - P.pairingIn ℤ j i := by
    apply algebraMap_injective ℤ R
    simp only [algebraMap_pairingIn, map_sub, map_one, algebraMap_pairingIn]
    convert! (P.coroot' i : M →ₗ[R] R).congr_arg hl using 1
    simp only [map_sub, map_add, LinearMap.flip_apply, root_coroot_eq_pairing, hki, pairing_same,
      sub_left_inj]
    ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : k ≠ j
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
hm : P.pairingIn ℤ j k ≤ 0
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hli : l ≠ i
hkl : P.pairingIn ℤ l k ≤ 0
hki : P.pairing k i = -1
this : P.pairingIn ℤ l i = 1 - P.pairingIn ℤ j i
⊢ 0 < P.pairingIn ℤ l i
have hij₁ : P.pairingIn ℤ j i ≤ 0
Tactic: replace hij := pairingIn_le_zero_of_ne b hij.symm hj hi
Cleared hypotheses: hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hkj : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
have rw : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (-HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: rw [← neg_mem_range_root_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hkj : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (-HSub.hSub (β := M)
        (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
have h : -HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: convert! hk using 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hkj : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ -HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
        ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
have h : -HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) (-(P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M) =
  HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
    ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hk :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hkj : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
have hk₁ : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: replace hk : α (-k) + α j - α i ∈ Φ := by
    rw [← neg_mem_range_root_iff]
    convert! hk using 1
    simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self]
    module
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k : ι
hij : i ≠ j
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hkj : Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) i : M)
hk' :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
_i : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
hk :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
⊢ Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
have rw : Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
  (-HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
Tactic: rw [← neg_mem_range_root_iff]