awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
      norm.{u_4} (E := G)
          ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
              ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
            n x) ≤
        (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) x
have neg : ∀ (n : ℕ) (x : Ω),
  norm.{u_4} (E := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n x) ≤
    (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) x
Tactic: refine fun n ↦ Eventually.of_forall fun _ ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
x : Ω
⊢ norm.{u_4} (E := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n x) ≤
    (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) x
have neg : ‖B‖ * norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) x : F) * ‖μ[g | m] x‖ ≤ (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) x
Tactic: grw [B.le_opNorm₂, hfs_bound]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
x : Ω
neg : ‖B‖ * norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) x : F) * ‖μ[g | m] x‖ ≤ (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) x
⊢ norm.{u_4} (E := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n x) ≤
    (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) x
have neg₁ : ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖ ≤ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖
Tactic: grw [B.le_opNorm₂, hfs_bound]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[(fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n |
      m]
    μ[(fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n |
      m]
have neg : EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
  (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω))
  μ[(fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
        ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
      n |
    m]
Tactic: refine (condExp_stronglyMeasurable_simpleFunc_bilin B hm _ hg).trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω))
    μ[(fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n |
      m]
have neg : StronglyMeasurable.{u_1, u_4} (α := Ω) (β := G)
  ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
    n)
Tactic: nth_rw 2 [condExp_of_stronglyMeasurable hm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
neg :
  StronglyMeasurable.{u_1, u_4} (α := Ω) (β := G)
    ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
        ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
      n)
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω))
    μ[(fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n |
      m]
have neg₁ : Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
  ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
    n)
  μ
Tactic: nth_rw 2 [condExp_of_stronglyMeasurable hm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
have h : EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
  (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)) fun (ω : Ω) ↦
  (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)
Tactic: apply condExp_congr_ae
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
a : Ω
ha : f a = AEStronglyMeasurable.mk f hf a
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := G) ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g a) : G)
    ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g a) : G)
have rw : Eq.{u_4 + 1} (α := G)
  ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g a) : G)
  ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g a) : G)
Tactic: rw [ha]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)) fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)
have h : ∀ (a : Ω),
  Membership.mem (γ := Set Ω)
    {x : Ω |
      Membership.mem (γ := Set Ω) {x : Ω | (fun (x : Ω) ↦ f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x) x} x →
        Membership.mem (γ := Set Ω)
          {x : Ω |
            (fun (x : Ω) ↦
                Eq.{u_4 + 1} (α := G)
                  ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x)
                  ((fun (ω : Ω) ↦
                      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) :
                        G))
                    x))
              x}
          x}
    a
Tactic: filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with a ha using by rw [ha]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
h :
  ∀ (a : Ω),
    Membership.mem (γ := Set Ω)
      {x : Ω |
        Membership.mem (γ := Set Ω) {x : Ω | (fun (x : Ω) ↦ f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x) x} x →
          Membership.mem (γ := Set Ω)
            {x : Ω |
              (fun (x : Ω) ↦
                  Eq.{u_4 + 1} (α := G)
                    ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x)
                    ((fun (ω : Ω) ↦
                        ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G)
                            (g ω) :
                          G))
                      x))
                x}
            x}
      a
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)) fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)
have h₁ : ∀ (a : Ω),
  f a = AEStronglyMeasurable.mk f hf a →
    Eq.{u_4 + 1} (α := G) ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g a) : G)
      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g a) : G)
Tactic: filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with a ha using by rw [ha]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
have refine : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖AEStronglyMeasurable.mk f hf ω‖ ≤ c
Tactic: refine condExp_stronglyMeasurable_bilin_of_bound B hm hf.stronglyMeasurable_mk
      hg c ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖AEStronglyMeasurable.mk f hf ω‖ ≤ c
have h : ∀ (ω : Ω) (hω1 : ‖f ω‖ ≤ c) (hω2 : f ω = AEStronglyMeasurable.mk f hf ω), ‖AEStronglyMeasurable.mk f hf ω‖ ≤ c
Tactic: filter_upwards [hf_bound, hf.ae_eq_mk] with ω hω1 hω2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
ω : Ω
hω : f ω = AEStronglyMeasurable.mk f hf ω
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := G)
    ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)
    ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)
have rw : Eq.{u_4 + 1} (α := G)
  ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)
  ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)
Tactic: rw [hω]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    (fun (ω : Ω) ↦
      (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω))
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
have h : ∀ (a : Ω),
  Membership.mem (γ := Set Ω)
    {x : Ω |
      Membership.mem (γ := Set Ω) {x : Ω | (fun (x : Ω) ↦ f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x) x} x →
        Membership.mem (γ := Set Ω)
          {x : Ω |
            (fun (x : Ω) ↦
                Eq.{u_4 + 1} (α := G)
                  ((fun (ω : Ω) ↦
                      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G)
                          (μ[g | m] ω) :
                        G))
                    x)
                  ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)) x))
              x}
          x}
    a
Tactic: filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with ω hω using by rw [hω]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
h :
  ∀ (a : Ω),
    Membership.mem (γ := Set Ω)
      {x : Ω |
        Membership.mem (γ := Set Ω) {x : Ω | (fun (x : Ω) ↦ f x = AEStronglyMeasurable.mk f hf x) x} x →
          Membership.mem (γ := Set Ω)
            {x : Ω |
              (fun (x : Ω) ↦
                  Eq.{u_4 + 1} (α := G)
                    ((fun (ω : Ω) ↦
                        ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G)
                            (μ[g | m] ω) :
                          G))
                      x)
                    ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
                      x))
                x}
            x}
      a
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    (fun (ω : Ω) ↦
      (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω))
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
have h₁ : ∀ (a : Ω),
  f a = AEStronglyMeasurable.mk f hf a →
    Eq.{u_4 + 1} (α := G)
      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (AEStronglyMeasurable.mk f hf a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] a) : G)
      ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f a) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] a) : G)
Tactic: filter_upwards [hf.ae_eq_mk] with ω hω using by rw [hω]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)) μ
hg : Integrable g μ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m] fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
have pos : ∀ (hm : m ≤ mΩ),
  EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m] fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
Tactic: by_cases hm : m ≤ mΩ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hfg :
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)) μ
hg : Integrable g μ
pos :
  ∀ (hm : m ≤ mΩ),
    EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
      μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m] fun (ω : Ω) ↦
      (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m] fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
have neg : ∀ (hm : ¬m ≤ mΩ),
  EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m] fun (ω : Ω) ↦
    (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
Tactic: by_cases hm : m ≤ mΩ