awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst_2 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f' i j h) : (a : G i) → G j)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
i : ι
x : G i
hix :
  Eq (α := DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
    ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
          (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
        x :
      DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
    (0 : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
this : Nonempty ι
⊢ ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
have hix₁ : Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
  ((ringEquiv G f' :
        (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
          _root_.DirectLimit G f')
      ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
          (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
        x) :
    _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
  ((ringEquiv G f' :
        (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
          _root_.DirectLimit G f')
      0 :
    _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
Tactic: apply_fun ringEquiv _ _ at hix
Cleared hypotheses: hix
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst_2 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f' i j h) : (a : G i) → G j)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
i : ι
x : G i
this : Nonempty ι
hix :
  Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
    ((ringEquiv G f' :
          (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
            _root_.DirectLimit G f')
        ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
            (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
          x) :
      _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
    ((ringEquiv G f' :
          (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
            _root_.DirectLimit G f')
        0 :
      _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
⊢ ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
have rwa : ∀
  (hix :
    Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
      ((ringEquiv G f' :
            (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
              _root_.DirectLimit G f')
          ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
              (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
            x) :
        _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
      (0 : _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')),
  ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
Tactic: rwa [map_zero, ringEquiv_of, DirectLimit.exists_eq_zero] at hix
Cleared hypotheses: hix
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst_2 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f' i j h) : (a : G i) → G j)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
i : ι
x : G i
this : Nonempty ι
hix :
  Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
    ((ringEquiv G f' :
          (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
            _root_.DirectLimit G f')
        ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
            (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
          x) :
      _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
    ((ringEquiv G f' :
          (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
            _root_.DirectLimit G f')
        0 :
      _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
rwa :
  ∀
    (hix :
      Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
        ((ringEquiv G f' :
              (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
                _root_.DirectLimit G f')
            ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
                (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
              x) :
          _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
        (0 : _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')),
    ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
⊢ ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
have rwa₁ : ∀
  (hix :
    Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 0),
  ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
Tactic: rwa [map_zero, ringEquiv_of, DirectLimit.exists_eq_zero] at hix
Cleared hypotheses: hix
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
inst_2 : DirectedSystem G fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ (⇑(f' i j h) : (a : G i) → G j)
inst_3 : IsDirectedOrder ι
i : ι
x : G i
this : Nonempty ι
hix :
  Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
    ((ringEquiv G f' :
          (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
            _root_.DirectLimit G f')
        ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
            (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
          x) :
      _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
    ((ringEquiv G f' :
          (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
            _root_.DirectLimit G f')
        0 :
      _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
rwa :
  ∀
    (hix :
      Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
        ((ringEquiv G f' :
              (a : DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) →
                _root_.DirectLimit G f')
            ((of G (fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)) i :
                (a : G i) → DirectLimit G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f' x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2))
              x) :
          _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
        (0 : _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')),
    ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
rwa₁ :
  ∀
    (hix :
      Eq (α := _root_.DirectLimit G (T := fun (i j : ι) (h : i ≤ j) ↦ G i →+* G j) f')
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 0),
    ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
⊢ ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
have rwa₂ : ∀
  (hix :
    ∃ (i_1 : ι) (h : (Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i) ≤ i_1),
      Eq (α := G i_1)
        ((f' ((Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x).fst (β := fun (i : ι) ↦ G i)) i_1 h : (a : G ⟨i, x⟩.fst) → G i_1)
            ((Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x).snd (β := fun (i : ι) ↦ G i)) :
          G i_1)
        (0 : G i_1)),
  ∃ (j : ι) (hij : i ≤ j), Eq (α := G j) ((f' i j hij : (a : G i) → G j) x : G j) (0 : G j)
Tactic: rwa [map_zero, ringEquiv_of, DirectLimit.exists_eq_zero] at hix
Cleared hypotheses: hix
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g_1 : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g_1 j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g_1 i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g_2 : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
hg : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g_2 j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g_2 i)
i j : ι
h : i ≤ j
g : G i
⊢ Eq (α := DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
    (((fun (i : ι) ↦
              (RingHom.comp (of G' (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)) i) (g_2 i) :
                G i →+* DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)))
            j :
          (a : G j) → DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
        ((f i j h : (a : G i) → G j) g) :
      DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
    (((fun (i : ι) ↦
              (RingHom.comp (of G' (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)) i) (g_2 i) :
                G i →+* DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)))
            i :
          (a : G i) → DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
        g :
      DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
have eq1 : Eq.{u_4 + 1} (α := G' j) (((g_2 j).comp (f i j h) : (a : G i) → G' j) g : G' j)
  (((f' i j h).comp (g_2 i) : (a : G i) → G' j) g : G' j)
Tactic: have eq1 := DFunLike.congr_fun (hg i j h) g
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g_1 : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g_1 j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g_1 i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g_2 : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
hg : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g_2 j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g_2 i)
i j : ι
h : i ≤ j
g : G i
eq1 :
  Eq.{u_4 + 1} (α := G' j) ((g_2 j : (a : G j) → G' j) ((f i j h : (a : G i) → G j) g) : G' j)
    ((f' i j h : (a : G' i) → G' j) ((g_2 i : (a : G i) → G' i) g : G' i) : G' j)
⊢ Eq (α := DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
    ((of G' (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)) j :
          (a : G' j) → DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
        ((g_2 j : (a : G j) → G' j) ((f i j h : (a : G i) → G j) g)) :
      DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
    ((of G' (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)) i :
          (a : G' i) → DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
        ((g_2 i : (a : G i) → G' i) g) :
      DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
have rw : Eq (α := DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
  ((of G' (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)) j :
        (a : G' j) → DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
      ((f' i j h : (a : G' i) → G' j) ((g_2 i : (a : G i) → G' i) g : G' i)) :
    DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
  ((of G' (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1)) i :
        (a : G' i) → DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
      ((g_2 i : (a : G i) → G' i) g) :
    DirectLimit G' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f' x x_1 h) : (a : G' x) → G' x_1))
Tactic: rw [eq1, of_f]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
⊢ Eq (α :=
    (DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)) →+*
      DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
    (map (G := G) (G' := G) (fun (x : ι) ↦ RingHom.id (G x)) ⋯)
    (RingHom.id (DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)))
have h : ∀ (i : ι) (x : G i),
  Eq (α := DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
    ((RingHom.comp (β := DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
            (map (G := G) (G' := G) (fun (x : ι) ↦ RingHom.id (G x)) sorry)
            (of G (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)) i) :
          (a : G i) → DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
        x :
      DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
    ((RingHom.comp (RingHom.id (DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)))
            (of G (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)) i) :
          (a : G i) → DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
        x :
      DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g₁ : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → RingHom.{u_4, u_5} (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
⊢ RingHom.comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) j) (f i j h) =
    (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
have rw : (g₂ j).comp ((g₁ j).comp (f i j h)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
Tactic: rw [RingHom.comp_assoc, hg₁ i, ← RingHom.comp_assoc, hg₂ i, RingHom.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g₁ : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → RingHom.{u_4, u_5} (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : (g₂ j).comp ((g₁ j).comp (f i j h)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
⊢ RingHom.comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) j) (f i j h) =
    (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
have rw₁ : (g₂ j).comp ((f' i j h).comp (g₁ i)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
Tactic: rw [RingHom.comp_assoc, hg₁ i, ← RingHom.comp_assoc, hg₂ i, RingHom.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g₁ : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → RingHom.{u_4, u_5} (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : (g₂ j).comp ((g₁ j).comp (f i j h)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
rw₁ : (g₂ j).comp ((f' i j h).comp (g₁ i)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
⊢ RingHom.comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) j) (f i j h) =
    (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
have rw₂ : ((g₂ j).comp (f' i j h)).comp (g₁ i) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
Tactic: rw [RingHom.comp_assoc, hg₁ i, ← RingHom.comp_assoc, hg₂ i, RingHom.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g₁ : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → RingHom.{u_4, u_5} (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : (g₂ j).comp ((g₁ j).comp (f i j h)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
rw₁ : (g₂ j).comp ((f' i j h).comp (g₁ i)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
rw₂ : ((g₂ j).comp (f' i j h)).comp (g₁ i) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
⊢ RingHom.comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) j) (f i j h) =
    (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
have rw₃ : ((f'' i j h).comp (g₂ i)).comp (g₁ i) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
Tactic: rw [RingHom.comp_assoc, hg₁ i, ← RingHom.comp_assoc, hg₂ i, RingHom.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f_1 : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
P : Type u_3
inst_2 : CommRing P
g : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_3} (G i) P
Hg :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := P) ((g j : (a : G j) → P) (f_1 i j hij x) : P) ((g i : (a : G i) → P) x : P)
f'_1 f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_4 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g₁ : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → RingHom.{u_4, u_5} (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
i j : ι
h : i ≤ j
rw : (g₂ j).comp ((g₁ j).comp (f i j h)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
rw₁ : (g₂ j).comp ((f' i j h).comp (g₁ i)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
rw₂ : ((g₂ j).comp (f' i j h)).comp (g₁ i) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
rw₃ : ((f'' i j h).comp (g₂ i)).comp (g₁ i) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
⊢ RingHom.comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) j) (f i j h) =
    (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
have rw₄ : (f'' i j h).comp ((g₂ i).comp (g₁ i)) = (f'' i j h).comp ((fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) i)
Tactic: rw [RingHom.comp_assoc, hg₁ i, ← RingHom.comp_assoc, hg₂ i, RingHom.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.Ring (goal)
Goal:
ι : Type u_1
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_2
inst_1 : (i : ι) → CommRing (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
G' : ι → Type u_4
inst_2 : (i : ι) → CommRing (G' i)
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G' i →+* G' j
G'' : ι → Type u_5
inst_3 : (i : ι) → CommRing (G'' i)
f'' : (i j : ι) → i ≤ j → G'' i →+* G'' j
g₁ : (i : ι) → RingHom.{u_2, u_4} (G i) (G' i)
g₂ : (i : ι) → RingHom.{u_4, u_5} (G' i) (G'' i)
hg₁ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₁ j).comp (f i j h) = (f' i j h).comp (g₁ i)
hg₂ : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), (g₂ j).comp (f' i j h) = (f'' i j h).comp (g₂ i)
⊢ (map (G := G') (G' := G'') g₂ hg₂).comp (map (G := G) (G' := G') g₁ hg₁) =
    map (G := G) (G' := G'') (fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) ⋯
have h : ∀ (i : ι) (x : G i),
  Eq (α := DirectLimit G'' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f'' x x_1 h) : (a : G'' x) → G'' x_1))
    ((((map (G := G') (G' := G'') g₂ hg₂).comp (map (G := G) (G' := G') g₁ hg₁)).comp
            (of G (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)) i) :
          (a : G i) → DirectLimit G'' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f'' x x_1 h) : (a : G'' x) → G'' x_1))
        x :
      DirectLimit G'' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f'' x x_1 h) : (a : G'' x) → G'' x_1))
    ((RingHom.comp (β := DirectLimit G fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1))
            (map (G := G) (G' := G'') (fun (i : ι) ↦ (g₂ i).comp (g₁ i)) sorry)
            (of G (fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f x x_1 h) : (a : G x) → G x_1)) i) :
          (a : G i) → DirectLimit G'' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f'' x x_1 h) : (a : G'' x) → G'' x_1))
        x :
      DirectLimit G'' fun (x x_1 : ι) (h : x ≤ x_1) ↦ (⇑(f'' x x_1 h) : (a : G'' x) → G'' x_1))
Tactic: ext