awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
rw : 1 + Q.natDegree = j + 1 + (Q.natDegree - j)
rw₁ : 1 + Q.natDegree = 1 + j + (Q.natDegree - j)
rw₂ : 1 + Q.natDegree = 1 + (j + (Q.natDegree - j))
⊢ Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
have rw₃ : Q.natDegree = j + (Q.natDegree - j)
Tactic: rw [← add_comm 1, ← add_comm 1, add_assoc, add_right_inj,
        ← Nat.add_sub_assoc (Nat.lt_of_succ_lt_succ (mem_range.1 hj)).le, add_comm,
        Nat.add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
rw : 1 + Q.natDegree = j + 1 + (Q.natDegree - j)
rw₁ : 1 + Q.natDegree = 1 + j + (Q.natDegree - j)
rw₂ : 1 + Q.natDegree = 1 + (j + (Q.natDegree - j))
rw₃ : Q.natDegree = j + (Q.natDegree - j)
⊢ Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
have rw₄ : Q.natDegree = j + Q.natDegree - j
Tactic: rw [← add_comm 1, ← add_comm 1, add_assoc, add_right_inj,
        ← Nat.add_sub_assoc (Nat.lt_of_succ_lt_succ (mem_range.1 hj)).le, add_comm,
        Nat.add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
rw : 1 + Q.natDegree = j + 1 + (Q.natDegree - j)
rw₁ : 1 + Q.natDegree = 1 + j + (Q.natDegree - j)
rw₂ : 1 + Q.natDegree = 1 + (j + (Q.natDegree - j))
rw₃ : Q.natDegree = j + (Q.natDegree - j)
rw₄ : Q.natDegree = j + Q.natDegree - j
⊢ Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
have rw₅ : Q.natDegree = Q.natDegree + j - j
Tactic: rw [← add_comm 1, ← add_comm 1, add_assoc, add_right_inj,
        ← Nat.add_sub_assoc (Nat.lt_of_succ_lt_succ (mem_range.1 hj)).le, add_comm,
        Nat.add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
rw : 1 + Q.natDegree = j + 1 + (Q.natDegree - j)
rw₁ : 1 + Q.natDegree = 1 + j + (Q.natDegree - j)
rw₂ : 1 + Q.natDegree = 1 + (j + (Q.natDegree - j))
rw₃ : Q.natDegree = j + (Q.natDegree - j)
rw₄ : Q.natDegree = j + Q.natDegree - j
rw₅ : Q.natDegree = Q.natDegree + j - j
⊢ Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
have rw₆ : Q.natDegree = Q.natDegree
Tactic: rw [← add_comm 1, ← add_comm 1, add_assoc, add_right_inj,
        ← Nat.add_sub_assoc (Nat.lt_of_succ_lt_succ (mem_range.1 hj)).le, add_comm,
        Nat.add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (hypothesis)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff (j + 1) ^ n.succ * P.coeff 0 ^ n
have Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
Tactic: have Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j) := by
      rw [← add_comm 1, ← add_comm 1, add_assoc, add_right_inj,
        ← Nat.add_sub_assoc (Nat.lt_of_succ_lt_succ (mem_range.1 hj)).le, add_comm,
        Nat.add_sub_cancel]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hind : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → p ∣ Q.coeff m
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff (j + 1) ^ n.succ * P.coeff 0 ^ n
have neg : ∀ (g : (m : ℕ) → R) (hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m),
  p ^ n.succ ∣ Q.coeff (j + 1) ^ n.succ * P.coeff 0 ^ n
Tactic: choose! g hg using hind
Cleared hypotheses: hind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
k : ℕ
hk : k ∈ range (j + 1)
⊢ Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
have rw : (p * g k) • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
Tactic: rw [hg k (mem_range_succ_iff.1 hk)
        (mem_range_succ_iff.2
          (le_trans (mem_range_succ_iff.1 hk) (succ_le_iff.1 (mem_range_succ_iff.1 hj)).le)),
        Algebra.smul_def, Algebra.smul_def, map_mul, mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
k : ℕ
hk : k ∈ range (j + 1)
rw : (p * g k) • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
⊢ Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
have rw₁ : HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
Tactic: rw [hg k (mem_range_succ_iff.1 hk)
        (mem_range_succ_iff.2
          (le_trans (mem_range_succ_iff.1 hk) (succ_le_iff.1 (mem_range_succ_iff.1 hj)).le)),
        Algebra.smul_def, Algebra.smul_def, map_mul, mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
k : ℕ
hk : k ∈ range (j + 1)
rw : (p * g k) • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
rw₁ :
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
⊢ Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
have rw₂ : HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
    (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k))
Tactic: rw [hg k (mem_range_succ_iff.1 hk)
        (mem_range_succ_iff.2
          (le_trans (mem_range_succ_iff.1 hk) (succ_le_iff.1 (mem_range_succ_iff.1 hj)).le)),
        Algebra.smul_def, Algebra.smul_def, map_mul, mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
k : ℕ
hk : k ∈ range (j + 1)
rw : (p * g k) • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
rw₁ :
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
rw₂ :
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
      (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k))
⊢ Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
have rw₃ : HMul.hMul (α := L) (β := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) *
    B.gen ^ k =
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
    (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k))
Tactic: rw [hg k (mem_range_succ_iff.1 hk)
        (mem_range_succ_iff.2
          (le_trans (mem_range_succ_iff.1 hk) (succ_le_iff.1 (mem_range_succ_iff.1 hj)).le)),
        Algebra.smul_def, Algebra.smul_def, map_mul, mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
k : ℕ
hk : k ∈ range (j + 1)
rw : (p * g k) • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
rw₁ :
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
rw₂ :
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (p * g k) : L) (B.gen ^ k) =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
      (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k))
rw₃ :
  HMul.hMul (α := L) (β := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) *
      B.gen ^ k =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
      (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k))
⊢ Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
have rw₄ : HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
    (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k)) =
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
    (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (g k) : L) (B.gen ^ k))
Tactic: rw [hg k (mem_range_succ_iff.1 hk)
        (mem_range_succ_iff.2
          (le_trans (mem_range_succ_iff.1 hk) (succ_le_iff.1 (mem_range_succ_iff.1 hj)).le)),
        Algebra.smul_def, Algebra.smul_def, map_mul, mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (hypothesis)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg : ∀ m ≤ j, m ∈ range (Q.natDegree + 1) → Q.coeff m = p * g m
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff (j + 1) ^ n.succ * P.coeff 0 ^ n
have hg₁ : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
Tactic: replace hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k =
        algebraMap R L p * g k • B.gen ^ k := by
      intro k hk
      rw [hg k (mem_range_succ_iff.1 hk)
        (mem_range_succ_iff.2
          (le_trans (mem_range_succ_iff.1 hk) (succ_le_iff.1 (mem_range_succ_iff.1 hj)).le)),
        Algebra.smul_def, Algebra.smul_def, map_mul, mul_assoc]
Cleared hypotheses: hg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff (j + 1) ^ n.succ * P.coeff 0 ^ n
have neg : ∀ (f : (i : ℕ) → L)
  (hf :
    ∀ (i : ℕ),
      natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
        Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i),
  p ^ n.succ ∣ Q.coeff (j + 1) ^ n.succ * P.coeff 0 ^ n
Tactic: choose! f hf using
      IsWeaklyEisensteinAt.exists_mem_adjoin_mul_eq_pow_natDegree_le (minpoly.aeval R B.gen)
        (minpoly.monic hBint) hei.isWeaklyEisensteinAt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen : (a : R[X]) → L) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
have rw : natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ k + P.natDegree - 1
Tactic: rw [smul_mul_assoc, ← pow_add, ← Nat.add_sub_assoc H, add_comm (j + 1) 1,
        add_assoc (j + 1), add_comm _ (k + P.natDegree), Nat.add_sub_add_right,
        ← (hf (k + P.natDegree - 1) _).2, mul_smul_comm]