awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
x : σ → K
hx_1 : x ∉ S
i : ι
hi : i ∈ s
hx : Ne.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
neg : HSub.hSub (α := K) 1 1 = 0
⊢ 1 - HPow.hPow (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (q - 1) = 0
have neg₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) 0 0
Tactic: rw [pow_card_sub_one_eq_one (eval x (f i)) hx, sub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
⊢ p ∣
    Fintype.card
      { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }
have hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
Tactic: have hF : ∀ x, eval x F = if x ∈ S then 1 else 0 := by
    intro x
    calc
      eval x F = ∏ i ∈ s, eval x (1 - f i ^ (q - 1)) := eval_prod s _ x
      _ = if x ∈ S then 1 else 0 := ?_
    simp only [(eval x).map_sub, (eval x).map_pow, (eval x).map_one]
    split_ifs with hx
    · apply Finset.prod_eq_one
      intro i hi
      rw [hS] at hx
      rw [hx i hi, zero_pow hq.ne', sub_zero]
    · obtain ⟨i, hi, hx⟩ : ∃ i ∈ s, eval x (f i) ≠ 0 := by
        simpa [hS, not_forall, Classical.not_imp] using hx
      apply Finset.prod_eq_zero hi
      rw [pow_card_sub_one_eq_one (eval x (f i)) hx, sub_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(#S) : K)
Tactic: rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(#S) : K)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
have rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(∑ x ∈ S, 1) : K)
Tactic: rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(#S) : K)
rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(∑ x ∈ S, 1) : K)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
have rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, (↑1 : K))
Tactic: rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(#S) : K)
rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(∑ x ∈ S, 1) : K)
rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, (↑1 : K))
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
have rw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, 1)
Tactic: rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(#S) : K)
rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(∑ x ∈ S, 1) : K)
rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, (↑1 : K))
rw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, 1)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
have rw₄ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ i : σ → K, if i ∈ S then 1 else 0)
Tactic: rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(#S) : K)
rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (↑(∑ x ∈ S, 1) : K)
rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, (↑1 : K))
rw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ x ∈ S, 1)
rw₄ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) (∑ i : σ → K, if i ∈ S then 1 else 0)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
have rw₅ : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, if x ∈ S then 1 else 0) (∑ i : σ → K, if i ∈ S then 1 else 0)
Tactic: rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
⊢ p ∣
    Fintype.card
      { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }
have key : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
  (↑(Fintype.card
        { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
    K)
Tactic: have key : ∑ x, eval x F = Fintype.card { x : σ → K // ∀ i ∈ s, eval x (f i) = 0 } := by
    rw [Fintype.card_of_subtype S hS, card_eq_sum_ones, Nat.cast_sum, Nat.cast_one, ←
      Fintype.sum_extend_by_zero S, sum_congr rfl fun x _ => hF x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
key :
  Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
⊢ p ∣
    Fintype.card
      { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) 0
Tactic: rw [← CharP.cast_eq_zero_iff K, ← key]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
key :
  Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F) 0
have apply : F.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
Tactic: apply F.sum_eval_eq_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
key :
  Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
⊢ F.totalDegree < (q - 1) * Fintype.card σ
have i : ∀ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤ (q - 1) * (f i).totalDegree
Tactic: calc
    F.totalDegree ≤ ∑ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree := totalDegree_finsetProd s _
    _ ≤ ∑ i ∈ s, (q - 1) * (f i).totalDegree := sum_le_sum fun i _ => ?_
    -- see ↓
    _ = (q - 1) * ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree := (mul_sum ..).symm
    _ < (q - 1) * Fintype.card σ := by gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
ι : Type u_3
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ K
h : ∑ i ∈ s, (f i).totalDegree < Fintype.card σ
hq : 0 < q - 1
S : Finset (σ → K) :=
  {x : σ → K | ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)}
hS : ∀ (x : σ → K), x ∈ S ↔ ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K)
F : MvPolynomial σ K := ∏ i ∈ s, (1 - f i ^ (q - 1))
hF : ∀ (x : σ → K), Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F : K) (if x ∈ S then 1 else 0 : K)
key :
  Eq.{u_1 + 1} (α := K) (∑ x : σ → K, (eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) F)
    (↑(Fintype.card
          { x : σ → K // ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (f i) : K) (0 : K) }) :
      K)
i : ι
h_1 : i ∈ s
⊢ (1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤ (q - 1) * (f i).totalDegree
have f₁ : max (totalDegree.{u_1, u_2} (R := K) (σ := σ) 1) (f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤ (f i ^ (q - 1)).totalDegree
Tactic: calc
    (1 - f i ^ (q - 1)).totalDegree ≤
        max (1 : MvPolynomial σ K).totalDegree (f i ^ (q - 1)).totalDegree := totalDegree_sub _ _
    _ ≤ (f i ^ (q - 1)).totalDegree := by simp
    _ ≤ (q - 1) * (f i).totalDegree := totalDegree_pow _ _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun (x : Unit) ↦ f
⊢ p ∣ Fintype.card { x : σ → K // Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) f : K) (0 : K) }
have this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
Tactic: have : (∑ i : Unit, (F i).totalDegree) < Fintype.card σ := h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (goal)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
f : MvPolynomial σ K
h : f.totalDegree < Fintype.card σ
F : Unit → MvPolynomial σ K := fun (x : Unit) ↦ f
this : ∑ i : Unit, (F i).totalDegree < Fintype.card σ
⊢ p ∣ Fintype.card { x : σ → K // Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) f : K) (0 : K) }
have h₁ : ∀ (x : σ → K),
  Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) f : K) (0 : K) ↔
    ∀ (i : Unit),
      Membership.mem (γ := Finset Unit) univ i →
        Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) (F i) : K) (0 : K)
Tactic: convert! char_dvd_card_solutions_of_sum_lt p this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.ChevalleyWarning (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
σ : Type u_2
inst : Fintype K
inst_1 : Field K
inst_2 : Fintype σ
inst_3 : DecidableEq σ
inst_4 : DecidableEq K
p : ℕ
inst_5 : CharP K p
f₁ f₂ : MvPolynomial σ K
h : f₁.totalDegree + f₂.totalDegree < Fintype.card σ
F : Bool → MvPolynomial σ K := fun (b : Bool) ↦ bif b then f₂ else f₁
⊢ p ∣
    Fintype.card
      { x : σ → K //
        Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) f₁ : K) (0 : K) ∧
          Eq.{u_1 + 1} (α := K) ((eval x : (a : MvPolynomial σ K) → K) f₂ : K) (0 : K) }
have this : ∑ b : Bool, (F b).totalDegree < Fintype.card σ
Tactic: have : (∑ b : Bool, (F b).totalDegree) < Fintype.card σ := (add_comm _ _).trans_lt h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ logDeriv (a * b) = logDeriv a + logDeriv b
have unfold : HDiv.hDiv (α := R) ((a * b)′ : R) (a * b) = HDiv.hDiv (α := R) (a′ : R) a + HDiv.hDiv (α := R) (b′ : R) b
Tactic: unfold logDeriv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ HDiv.hDiv (α := R) ((a * b)′ : R) (a * b) = HDiv.hDiv (α := R) (a′ : R) a + HDiv.hDiv (α := R) (b′ : R) b
have simp : HMul.hMul (β := R) a (b′ : R) + HMul.hMul (β := R) b (a′ : R) =
  HMul.hMul (β := R) b (a′ : R) + HMul.hMul (β := R) a (b′ : R)
Tactic: simp [field]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a b : R
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
⊢ logDeriv (a / b) = logDeriv a - logDeriv b
have unfold : HDiv.hDiv (α := R) ((a / b)′ : R) (a / b) = HDiv.hDiv (α := R) (a′ : R) a - HDiv.hDiv (α := R) (b′ : R) b
Tactic: unfold logDeriv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
n : ℕ
h2 : logDeriv (a ^ n) = (↑n : R) * logDeriv a
⊢ logDeriv (a ^ (n + 1)) = (↑(n + 1) : R) * logDeriv a
have succ : ∀ (h2 : logDeriv (HPow.hPow (α := R) 0 n) = HMul.hMul (α := R) (↑n : R) (logDeriv 0)),
  logDeriv (HPow.hPow (α := R) 0 (n + 1)) = HMul.hMul (α := R) (↑(n + 1) : R) (logDeriv 0)
Tactic: obtain rfl | hb := eq_or_ne a 0
Cleared hypotheses: a, h2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
n : ℕ
h2 : logDeriv (a ^ n) = (↑n : R) * logDeriv a
succ :
  ∀ (h2 : logDeriv (HPow.hPow (α := R) 0 n) = HMul.hMul (α := R) (↑n : R) (logDeriv 0)),
    logDeriv (HPow.hPow (α := R) 0 (n + 1)) = HMul.hMul (α := R) (↑(n + 1) : R) (logDeriv 0)
⊢ logDeriv (a ^ (n + 1)) = (↑(n + 1) : R) * logDeriv a
have succ₁ : ∀ (hb : a ≠ 0), logDeriv (a ^ (n + 1)) = (↑(n + 1) : R) * logDeriv a
Tactic: obtain rfl | hb := eq_or_ne a 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
n : ℕ
h2 : logDeriv (a ^ n) = (↑n : R) * logDeriv a
hb : a ≠ 0
⊢ logDeriv (a ^ (n + 1)) = (↑(n + 1) : R) * logDeriv a
have succ : a ^ n ≠ 0
Tactic: rw [Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_mul, one_mul, ← h2, pow_succ, logDeriv_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
n : ℕ
a : R
⊢ logDeriv (a ^ n) = (↑n : R) * logDeriv a
have zero : logDeriv (HPow.hPow (β := ℕ) a 0) = (↑0 : R) * logDeriv a
Tactic: induction n with
  | zero => simp
  | succ n h2 =>
    obtain rfl | hb := eq_or_ne a 0
    · simp
    · rw [Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_mul, one_mul, ← h2, pow_succ, logDeriv_mul] <;>
      simp [hb]
Cleared hypotheses: n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
n : ℕ
a : R
zero : logDeriv (HPow.hPow (β := ℕ) a 0) = (↑0 : R) * logDeriv a
⊢ logDeriv (a ^ n) = (↑n : R) * logDeriv a
have succ : ∀ (n : ℕ) (h2 : logDeriv (a ^ n) = (↑n : R) * logDeriv a), logDeriv (a ^ (n + 1)) = (↑(n + 1) : R) * logDeriv a
Tactic: induction n with
  | zero => simp
  | succ n h2 =>
    obtain rfl | hb := eq_or_ne a 0
    · simp
    · rw [Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_mul, one_mul, ← h2, pow_succ, logDeriv_mul] <;>
      simp [hb]
Cleared hypotheses: n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.Differential.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : Field R
inst_1 : Differential R
a : R
h : logDeriv a = 0
⊢ Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R)
have h₁ : Eq (α := R) (a′ : R) (0 : R) ∨ a = 0
Tactic: simp only [logDeriv, _root_.div_eq_zero_iff] at h
Cleared hypotheses: h