-- Lean 4 proof step from Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial (goal)
Goal:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst : DecidableEq α
inst_1 : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s) : Set α).Pairwise (Commute on x)
n : ℕ
ih :
  ∀ (n : ℕ),
    s.sum x ^ n =
      ∑ k : ↥(s.sym n),
        (↑(↑(↑k : Sym α n) : Multiset α).countPerms : R) * (Multiset.map x (↑(↑k : Sym α n) : Multiset α)).noncommProd ⋯
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    (∑ x_1 : (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))),
      x a ^ (↑(x_1.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))) : ℕ) *
          ((↑(↑(↑(x_1.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))) : Sym α (n - (↑x_1.fst : ℕ))) :
                    Multiset α).countPerms :
              R) *
            (Multiset.map x
                  (↑(↑(x_1.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))) : Sym α (n - (↑x_1.fst : ℕ))) :
                    Multiset α)).noncommProd
              ⋯) *
        (↑(n.choose (↑(x_1.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))) : ℕ)) : R))
    (∑ k : ↥((insert a s).sym n),
      (↑(↑(↑k : Sym α n) : Multiset α).countPerms : R) * (Multiset.map x (↑(↑k : Sym α n) : Multiset α)).noncommProd ⋯)
have insert : ∀ (m : ↥((insert a s).sym n)),
  (↑(↑(↑m : Sym α n) : Multiset α).countPerms : R) * (Multiset.map x (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)).noncommProd sorry =
    x a ^
          (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ)))) m)) :
            ℕ) *
        ((↑(Multiset.countPerms (α := α)
                ((↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            ((symInsertEquiv ha :
                                (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                              m)) :
                        Sym α
                          (n -
                            (↑((symInsertEquiv ha :
                                      (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                    m).fst :
                              ℕ))) :
                    Multiset α) :
                  Multiset α)) :
            R) *
          (Multiset.map x
                (↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          ((symInsertEquiv ha :
                              (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            m)) :
                      Sym α
                        (n -
                          (↑((symInsertEquiv ha :
                                    (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                  m).fst :
                            ℕ))) :
                  Multiset α)).noncommProd
            sorry) *
      (↑(n.choose
            (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                  ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ)))) m)) :
              ℕ)) :
        R)
Tactic: refine (Fintype.sum_equiv (symInsertEquiv ha) _ _ fun m => ?_).symm