awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
inl : ∀ (H : jx < jy), jx < jy
⊢ jx < jy
have inr : ∀ (jy_lt : jx < p.lastStep) (jyi : p.color jx = (↑i : ℕ)) (hy : p.index jx ∈ s i) (x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jx)
  (jxy : jx ≤ jx), jx < jx
Tactic: rcases lt_or_eq_of_le jxy with (H | rfl)
Cleared hypotheses: jy, jy_lt, jyi, hy, x_ne_y, jxy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have jxy₁ : jx < jy
Tactic: replace jxy : jx < jy := by
      rcases lt_or_eq_of_le jxy with (H | rfl); · { exact H }; · { exact (x_ne_y rfl).elim }
Cleared hypotheses: jxy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
⊢ p.color jy = sInf (univ \ A)
have rw : sInf
    (univ \
      ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
        ⋃ (_ :
          (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
              closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
          {p.color (↑j : Ordinal.{u})}) =
  sInf (univ \ A)
Tactic: rw [TauPackage.color]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
Tactic: have color_j : p.color jy = sInf (univ \ A) := by rw [TauPackage.color]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ p.color jy ∈ univ \ A
have rw : sInf (univ \ A) ∈ univ \ A
Tactic: rw [color_j]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ sInf (univ \ A) ∈ univ \ A
have hs : (univ \ A).Nonempty
Tactic: apply csInf_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ (univ \ A).Nonempty
have hs : N ∈ univ \ A
Tactic: refine ⟨N, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ N ∈ univ \ A
have hs : ∀ x < jy,
  (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
    ¬N = p.color x
Tactic: simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
        mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have h : p.color jy ∈ univ \ A
Tactic: have h : p.color jy ∈ univ \ A := by
      rw [color_j]
      apply csInf_mem
      refine ⟨N, ?_⟩
      simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
        mem_univ, mem_diff, Subtype.exists]
      intro k hk _
      exact (p.color_lt (hk.trans jy_lt) hN).ne'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
h : p.color jy ∈ univ \ A
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have h₁ : ∀ x < jy,
  (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
    ¬p.color jy = p.color x
Tactic: simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
      mem_univ, mem_diff, Subtype.exists] at h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
h :
  ∀ x < jy,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
      ¬p.color jy = p.color x
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have h₁ : (closedBall (p.c (p.index jx)) (p.r (p.index jx)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
  ¬p.color jy = p.color jx
Tactic: specialize h jx jxy
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h_1 : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = (↑i : ℕ)
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = (↑i : ℕ)
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ (j : { j : Ordinal.{u} // j < jy }),
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) (p.r (p.index (↑j : Ordinal.{u}))) ∩
          closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color (↑j : Ordinal.{u})}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
h :
  (closedBall (p.c (p.index jx)) (p.r (p.index jx)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
    ¬p.color jy = p.color jx
⊢ Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
    (p.index jy)
have contrapose! : ∀
  (h :
    ¬Function.onFun.{u + 1, u_1 + 1, 1} (β := Set α) Disjoint (fun (j : β) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx)
        (p.index jy)),
  (closedBall (p.c (p.index jx)) (p.r (p.index jx)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty ∧
    p.color jy = p.color jx
Tactic: contrapose! h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
⊢ range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)
have inr : ∀ (b : β), Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)) (q.c b)
Tactic: refine range_subset_iff.2 fun b => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
b : β
⊢ Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)) (q.c b)
have inr : ∀ (a : Ordinal.{u}) (ha : a < p.lastStep ∧ dist (p.c b) (p.c (p.index a)) < p.r (p.index a)),
  Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)) (q.c b)
Tactic: obtain ⟨a, ha⟩ :
      ∃ a : Ordinal, a < p.lastStep ∧ dist (p.c b) (p.c (p.index a)) < p.r (p.index a) := by
      simpa only [iUnionUpTo, exists_prop, mem_iUnion, mem_ball, Subtype.exists,
        Subtype.coe_mk] using p.mem_iUnionUpTo_lastStep b
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : (i : Fin N) → Set β :=
  fun (i : Fin N) ↦ ⋃ (k : Ordinal.{u}), ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = (↑i : ℕ)), {p.index k}
b : β
a : Ordinal.{u}
ha : a < p.lastStep ∧ dist (p.c b) (p.c (p.index a)) < p.r (p.index a)
⊢ Membership.mem (γ := Set α) (⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)) (q.c b)
have inr : ∃ (i : Fin N) (i_1 : Ordinal.{u}),
  p.color i_1 = (↑i : ℕ) ∧ i_1 < p.lastStep ∧ dist (q.c b) (q.c (p.index i_1)) < q.r (p.index i_1)
Tactic: simp only [s, exists_prop, mem_iUnion, mem_ball, mem_singleton_iff, biUnion_and',
      exists_eq_left, iUnion_exists, exists_and_left]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
⊢ ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have inl : ∀ (hμs : LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)),
  ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
Tactic: rcases le_or_gt (μ s) 0 with (hμs | hμs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
inl :
  ∀ (hμs : LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)),
    ∃ (t : Finset α),
      (↑t : Set α) ⊆ s ∧
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
            HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
              ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
          (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
⊢ ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have inr : ∀ (hμs : LT.lt (α := ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)),
  ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
Tactic: rcases le_or_gt (μ s) 0 with (hμs | hμs)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have this : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
Tactic: have : μ s = 0 := le_bot_iff.1 hμs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
this : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have inl : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ (x : α), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset α) ∅ x), closedBall x (r x)) ≤
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
Tactic: refine ⟨∅, by simp only [Finset.coe_empty, empty_subset], ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
μ : Measure α
inst_4 : IsFiniteMeasure μ
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
s : Set α
r : α → ℝ
rpos : ∀ x ∈ s, 0 < r x
rle : ∀ x ∈ s, r x ≤ 1
hμs : LE.le (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
this : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
inl :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ (x : α), ⋃ (_ : Membership.mem (γ := Finset α) ∅ x), closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞)
⊢ ∃ (t : Finset α),
    (↑t : Set α) ⊆ s ∧
      (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x)) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1)
            ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ∧
        (↑t : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
have inl₁ : (↑∅ : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
Tactic: refine ⟨∅, by simp only [Finset.coe_empty, empty_subset], ?_, ?_⟩