-- Lean 4 proof step from Mathlib.FieldTheory.CardinalEmb (goal)
Goal:
F : Type u
E : Type v
inst : Field F
inst_1 : Field E
inst_2 : Algebra F E
rank_inf : Fact (ℵ₀ ≤ Module.rank F E)
inst_3 : Algebra.IsAlgebraic F E
i : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType
hi : IsSuccPrelimit i
f :
  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i : IntermediateField F E) →ₐ[F] Ē
h : Nonempty.{v + 1} (↑(Iio i) : Type v)
⊢ (fun
          (f :
            (↑(limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                        IntermediateField F E) →ₐ[F]
                    Ē)
                  (embFunctor F E) i) :
              Type v)) ↦
        Subalgebra.iSupLift
          (fun (x : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
            toSubalgebra
              ((fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
                  ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                      (↑j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                    IntermediateField F E))
                x))
          ⋯
          (↑f :
            (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
              ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                    (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType)) →ₐ[F]
                Ē)
          ⋯ (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) ⋯)
      ((fun
            (f :
              ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i :
                    IntermediateField F E) →ₐ[F]
                Ē) ↦
          (Subtype.mk (p :=
              fun
                (x :
                  (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē) ↦
              Membership.mem (γ :=
                Set
                  ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē))
                (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                        IntermediateField F E) →ₐ[F]
                    Ē)
                  (embFunctor F E) i)
                x)
              (fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦ embFunctor F E ⋯ f) ⋯ :
            { x :
              (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                        (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                      IntermediateField F E) →ₐ[F]
                  Ē //
              Membership.mem (γ :=
                Set
                  ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē))
                (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                  ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                        IntermediateField F E) →ₐ[F]
                    Ē)
                  (embFunctor F E) i)
                x }))
        f) =
    f
have pos : ∀ (x : E)
  (hx :
    Membership.mem (γ := Subalgebra F E)
      (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) x),
  Eq (α := Ē)
    (((fun
                (f :
                  (↑(limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                        ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                              IntermediateField F E) →ₐ[F]
                          Ē)
                        (embFunctor F E) i) :
                    Type v)) ↦
              Subalgebra.iSupLift
                (fun (x : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
                  toSubalgebra
                    ((fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦
                        ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                            (↑j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                          IntermediateField F E))
                      x))
                sorry
                (↑f :
                  (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                          (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType)) →ₐ[F]
                      Ē)
                sorry (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i))
                sorry)
            ((fun
                  (f :
                    ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i :
                          IntermediateField F E) →ₐ[F]
                      Ē) ↦
                (Subtype.mk (p :=
                    fun
                      (x :
                        (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                          ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                  (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                                IntermediateField F E) →ₐ[F]
                            Ē) ↦
                    Membership.mem (γ :=
                      Set
                        ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                          ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                  (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                                IntermediateField F E) →ₐ[F]
                            Ē))
                      (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                        ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                              IntermediateField F E) →ₐ[F]
                          Ē)
                        (embFunctor F E) i)
                      x)
                    (fun (j : (↑(Iio i) : Type v)) ↦ embFunctor F E sorry f) sorry :
                  { x :
                    (l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                      ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                              (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                            IntermediateField F E) →ₐ[F]
                        Ē //
                    Membership.mem (γ :=
                      Set
                        ((l : (↑(Iio i) : Type v)) →
                          ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E)
                                  (↑l : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) :
                                IntermediateField F E) →ₐ[F]
                            Ē))
                      (limit (F := fun (j : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) ↦
                        ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) j :
                              IntermediateField F E) →ₐ[F]
                          Ē)
                        (embFunctor F E) i)
                      x }))
              f) :
          (a : ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i).toSubalgebra) → Ē)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦
          Membership.mem (γ := Subalgebra F E)
            (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) x)
          x hx) :
      Ē)
    ((f : (a : ↥((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i).toSubalgebra) → Ē)
        (Subtype.mk (p := fun (x : E) ↦
          Membership.mem (γ := Subalgebra F E)
            (toSubalgebra ((filtration : (a : WithTop (Module.rank F E).ord.ToType) → IntermediateField F E) i)) x)
          x hx) :
      Ē)
Tactic: ext ⟨x, hx⟩