-- Lean 4 proof step from Mathlib.RepresentationTheory.Induced (goal)
Goal:
k : Type u
G : Type v
H : Type v'
inst : CommRing k
inst_1 : Group G
inst_2 : Group H
φ : G →* H
A_1 : Rep.{w, u, v} k G
B_1 : Rep k H
A : Rep k G
B : Rep k H
f : A ⟶ res φ B
g : G
⊢ Eq (α := (H →₀ k) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
    (LinearMap.compl₂ (R₂ := k) (N := (↑A : Type (max (max u v') w))) (σ₂₃ := RingHom.id k) (σ₄₂ := RingHom.id k)
      (((lift ((↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) k H :
            (a : H → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) →
              (H →₀ k) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
          fun (h : H) ↦
          (B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) h⁻¹ ∘ₗ
            (Hom.hom f).toLinearMap) ∘ₗ
        (Representation.leftRegular k H : (a : H) → (H →₀ k) →ₗ[k] H →₀ k) ((φ : (a : G) → H) g))
      ((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w))) g))
    ((lift ((↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) k H :
        (a : H → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) →
          (H →₀ k) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
      fun (h : H) ↦
      (B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) h⁻¹ ∘ₗ
        (Hom.hom f).toLinearMap)
have e_f' : ∀ (a : H) (x : (↑A : Type (max (max u v') w))),
  Eq (α := (↑B : Type (max (max u v') w)))
    (((LinearMap.compl₂ (R₂ := k) (N := (↑A : Type (max (max u v') w))) (σ₂₃ := RingHom.id k) (σ₄₂ := RingHom.id k)
                  (((lift ((↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) k H :
                        (a : H → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) →
                          (H →₀ k) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
                      fun (h : H) ↦
                      (B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) h⁻¹ ∘ₗ
                        (Hom.hom f).toLinearMap) ∘ₗ
                    (Representation.leftRegular k H : (a : H) → (H →₀ k) →ₗ[k] H →₀ k) ((φ : (a : G) → H) g))
                  ((A.ρ : (a : G) → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w))) g) ∘ₗ
                lsingle a :
              (a : k) → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
            1 :
          (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
        x :
      (↑B : Type (max (max u v') w)))
    (((((lift ((↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) k H :
                    (a : H → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) →
                      (H →₀ k) →ₗ[k] (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
                  fun (h : H) ↦
                  (B.ρ : (a : H) → (↑B : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w))) h⁻¹ ∘ₗ
                    (Hom.hom f).toLinearMap) ∘ₗ
                lsingle a :
              (a : k) → (↑A : Type (max (max u v') w)) →ₗ[k] (↑B : Type (max (max u v') w)))
            1 :
          (a : (↑A : Type (max (max u v') w))) → (↑B : Type (max (max u v') w)))
        x :
      (↑B : Type (max (max u v') w)))
Tactic: ext