awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
⊢ γ t₁ ∈ v
have hC₁ : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
Tactic: have hC : CMDiff[Icc 0 t₁] 1 γ' :=
    contMDiffOn_extChartAt.comp (I' := I) (t := (chartAt H x).source)
      γ_smooth.contMDiffOn (fun t' ht' ↦ uc' <| t₁_mem ht')
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
⊢ ‖γ' t₁ - γ' 0‖ₑ < (↑r : ℝ≥0∞)
have inl : ∀ (ht₁0 : LE.le (α := ℝ) 0 0) (ht₁1 : LT.lt (α := ℝ) 0 1) (t₁_mem : Icc 0 0 ⊆ A)
  (hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 0)), ‖γ' 0 - γ' 0‖ₑ < (↑r : ℝ≥0∞)
Tactic: rcases ht₁0.eq_or_lt with rfl | h't'
Cleared hypotheses: t₁, ht₁0, ht₁1, t₁_mem, hC
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
inl :
  ∀ (ht₁0 : LE.le (α := ℝ) 0 0) (ht₁1 : LT.lt (α := ℝ) 0 1) (t₁_mem : Icc 0 0 ⊆ A)
    (hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 0)), ‖γ' 0 - γ' 0‖ₑ < (↑r : ℝ≥0∞)
⊢ ‖γ' t₁ - γ' 0‖ₑ < (↑r : ℝ≥0∞)
have inr : ∀ (h't' : 0 < t₁), ‖γ' t₁ - γ' 0‖ₑ < (↑r : ℝ≥0∞)
Tactic: rcases ht₁0.eq_or_lt with rfl | h't'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
⊢ ‖γ' t₁ - γ' 0‖ₑ ≤ ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁, ‖derivWithin γ' (Icc 0 t₁) t'‖ₑ
have apply : ContDiffOn ℝ 1 γ' (Icc 0 t₁)
Tactic: apply enorm_sub_le_lintegral_derivWithin_Icc_of_contDiffOn_Icc _ ht₁0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
⊢ ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁, ‖derivWithin γ' (Icc 0 t₁) t'‖ₑ =
    ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁,
      enorm (E := TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
        ((mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) γ' (Icc 0 t₁) t' : (a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t') → TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
            1 :
          TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
have simp_rw : ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁, enorm (E := E) ((fderivWithin ℝ γ' (Icc 0 t₁) t' : (a : ℝ) → E) 1 : E) =
  ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁,
    enorm (E := TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
      ((fderivWithin ℝ γ' (Icc 0 t₁) t' : (a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t') → TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t')) 1 :
        TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
Tactic: simp_rw [← fderivWithin_derivWithin, mfderivWithin_eq_fderivWithin]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
⊢ ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁,
      enorm (E := TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
        ((mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) γ' (Icc 0 t₁) t' : (a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t') → TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
            1 :
          TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t')) ≤
    ∫⁻ (t' : ℝ) in Icc 0 t₁,
      (↑C : ℝ≥0∞) *
        enorm (E := TangentSpace I (γ t'))
          ((mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) I γ (Icc 0 t₁) t' : (a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t') → TangentSpace I (γ t')) 1 :
            TangentSpace I (γ t'))
have apply : ∀ (t' : ℝ) (ht' : t' ∈ Icc 0 t₁),
  enorm (E := TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
      ((mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) γ' (Icc 0 t₁) t' : (a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t') → TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t'))
          1 :
        TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t')) ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) *
      enorm (E := TangentSpace I (γ t'))
        ((mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) I γ (Icc 0 t₁) t' : (a : TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t') → TangentSpace I (γ t')) 1 :
          TangentSpace I (γ t'))
Tactic: apply setLIntegral_mono' measurableSet_Icc (fun t' ht' ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Icc 0 t₁
⊢ Eq (α := TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t' →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t')) (mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) γ' (Icc 0 t₁) t')
    (ContinuousLinearMap.comp (M₂ := TangentSpace I (γ t')) (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t'))
      (mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) I γ (Icc 0 t₁) t'))
have hg : MDiffAt (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t')
Tactic: apply mfderiv_comp_mfderivWithin
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Icc 0 t₁
hg : MDiffAt (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t')
⊢ Eq (α := TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t' →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t')) (mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) γ' (Icc 0 t₁) t')
    (ContinuousLinearMap.comp (M₂ := TangentSpace I (γ t')) (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t'))
      (mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) I γ (Icc 0 t₁) t'))
have hf : MDiffAt[Icc 0 t₁] γ t'
Tactic: apply mfderiv_comp_mfderivWithin
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Icc 0 t₁
hg : MDiffAt (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t')
hf : MDiffAt[Icc 0 t₁] γ t'
⊢ Eq (α := TangentSpace 𝓘(ℝ, ℝ) t' →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) (γ' t')) (mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) γ' (Icc 0 t₁) t')
    (ContinuousLinearMap.comp (M₂ := TangentSpace I (γ t')) (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t'))
      (mfderivWithin 𝓘(ℝ, ℝ) I γ (Icc 0 t₁) t'))
have hxs : UniqueMDiffWithinAt 𝓘(ℝ, ℝ) (Icc 0 t₁) t'
Tactic: apply mfderiv_comp_mfderivWithin
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Icc 0 t₁
⊢ MDiffAt (↑(extChartAt I x) : M → E) (γ t')
have hg : γ t' ∈ u
Tactic: refine mdifferentiableAt_extChartAt (uc' ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.Riemannian.Basic (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst_2 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace M
inst_4 : ChartedSpace H M
inst_5 : RiemannianBundle.{u_3, u_1} fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_6 : IsManifold I 1 M
inst_7 : IsContinuousRiemannianBundle E fun (x : M) ↦ TangentSpace I x
inst_8 : RegularSpace M
x : M
s : Set M
hs : s ∈ 𝓝 x
C : ℝ≥0
C_pos : C > 0
hC_1 :
  ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 x,
    enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
        (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
      (↑C : ℝ≥0∞)
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
u_closed : IsClosed[inst_3] u
us : u ⊆ s
hu :
  u ⊆
    {y : M |
      enorm (E := TangentSpace I y →L[ℝ] TangentSpace 𝓘(ℝ, E) ((↑(extChartAt I x) : M → E) y))
          (mfderiv% (↑(extChartAt I x) : M → E) y) <
        (↑C : ℝ≥0∞)}
uc : u ⊆ (extChartAt I x).source
uc' : u ⊆ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
v : Set M
hv : v ⊆ u
v_mem : v ∈ 𝓝 x
v_open : IsOpen[inst_3] v
r : ℝ≥0
hr : ball ((↑(extChartAt I x) : M → E) x) (↑r : ℝ) ⊆ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' v
r_pos : 0 < r
y : M
hy : Membership.mem (γ := Set M) {y : M | riemannianEDist I x y < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)} y
γ : ℝ → M
hγx : γ 0 = x
hγy : γ 1 = y
γ_smooth : ContMDiff 𝓘(ℝ, ℝ) I 1 γ
hγ : pathELength I γ 0 1 < (↑(r / C) : ℝ≥0∞)
A : Set ℝ := γ ⁻¹' u
zero_mem : 0 ∈ A
A_closed : IsClosed (A ∩ Icc 0 1)
t₁ : ℝ
ht₁0 : 0 ≤ t₁
ht₁1 : t₁ < 1
t₁_mem : Icc 0 t₁ ⊆ A
γ' : ℝ → E := (↑(extChartAt I x) : M → E) ∘ γ
hC : ContMDiffOn 𝓘(ℝ, ℝ) 𝓘(ℝ, E) 1 γ' (Icc 0 t₁)
h't' : 0 < t₁
t' : ℝ
ht' : t' ∈ Icc 0 t₁
⊢ UniqueMDiffWithinAt 𝓘(ℝ, ℝ) (Icc 0 t₁) t'
have hxs : UniqueDiffWithinAt ℝ (Icc 0 t₁) t'
Tactic: rw [uniqueMDiffWithinAt_iff_uniqueDiffWithinAt]