awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
⊢ Nonempty (Cone F)
have refine : ∀ ⦃X Y : J⦄ (f_1 : X ⟶ Y),
  Eq (α := Functor.obj.{w, v, w, u} (Functor.obj (Functor.const J) Z) X ⟶ F.obj Y)
    (Functor.map (Functor.obj (Functor.const J) Z) f_1 ≫ (fun (X : J) ↦ (f sorry : Z ⟶ F.obj X)) Y)
    ((fun (X : J) ↦ (f sorry : Z ⟶ F.obj X)) X ≫ F.map f_1)
Tactic: refine ⟨⟨Z, ⟨fun X => f (by simp [O]), ?_⟩⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
j j' : J
g : j ⟶ j'
⊢ Eq (α := Functor.obj.{w, v, w, u} (Functor.obj (Functor.const J) Z) j ⟶ F.obj j')
    (Functor.map (Functor.obj (Functor.const J) Z) g ≫ (fun (X : J) ↦ (f ⋯ : Z ⟶ F.obj X)) j')
    ((fun (X : J) ↦ (f ⋯ : Z ⟶ F.obj X)) j ≫ F.map g)
have dsimp : 𝟙 Z ≫ f sorry = f sorry ≫ F.map g
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
j j' : J
g : j ⟶ j'
⊢ 𝟙 Z ≫ f ⋯ = f ⋯ ≫ F.map g
have simp : f sorry = f sorry ≫ F.map g
Tactic: simp only [Category.id_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
j j' : J
g : j ⟶ j'
⊢ f ⋯ = f ⋯ ≫ F.map g
have symm : f sorry ≫ F.map g = f sorry
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
j j' : J
g : j ⟶ j'
⊢ f ⋯ ≫ F.map g = f ⋯
have a : PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj j)
    (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj j ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj j ⟶ Y)) (F.obj j')
      (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j ∈ O) ↦ (_ : F.obj j' ∈ O) ×' (F.obj j ⟶ F.obj j')) sorry
        (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j' ∈ O) ↦ F.obj j ⟶ F.obj j') sorry (F.map g)))) ∈
  H
Tactic: apply w
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
O : Finset C := Finset.image F.obj Finset.univ
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) ⋯
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) ⋯ (F.map f)))))
        Finset.univ
Z : C
f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X)
w :
  ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
    PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
          (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
        H →
      f mX ≫ f_1 = f mY
j j' : J
g : j ⟶ j'
⊢ PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj j)
      (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj j ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj j ⟶ Y)) (F.obj j')
        (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j ∈ O) ↦ (_ : F.obj j' ∈ O) ×' (F.obj j ⟶ F.obj j')) ⋯
          (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j' ∈ O) ↦ F.obj j ⟶ F.obj j') ⋯ (F.map g)))) ∈
    H
have a : ∃ (a : J),
  F.obj a = F.obj j ∧
    ∃ (x : J) (x_1 : a ⟶ x),
      HEq (α :=
        (Y : C) ×'
          (_ : F.obj a ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj a ⟶ Y))
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
          (_ : F.obj a ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj a ⟶ Y))
          (F.obj x)
          (PSigma.mk (β := fun (x_2 : F.obj a ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦
            (_ : F.obj x ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj a ⟶ F.obj x)) sorry
            (PSigma.mk (β := fun (x_2 : F.obj x ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦ F.obj a ⟶ F.obj x) sorry (F.map x_1))))
        (β :=
        (Y : C) ×'
          (_ : F.obj j ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj j ⟶ Y))
        (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
          (_ : F.obj j ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (_ : Y ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj j ⟶ Y))
          (F.obj j')
          (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦
            (_ : F.obj j' ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ×' (F.obj j ⟶ F.obj j')) sorry
            (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj j' ∈ Finset.image F.obj Finset.univ) ↦ F.obj j ⟶ F.obj j') sorry (F.map g))))
Tactic: simp only [O, H, Finset.mem_biUnion, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
    PSigma.mk.injEq, true_and, exists_and_left]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofiltered.{v, u} C
J : Type w
inst_2 : SmallCategory J
inst_3 : FinCategory J
F : Functor.{w, v, w, u} J C
let let₁ let₂ let₃ : Nonempty (Cone F)
⊢ Nonempty (Cone F)
have let₄ : let O := Finset.image F.obj Finset.univ;
let H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.biUnion Finset.univ fun (X : J) ↦
    Finset.biUnion Finset.univ fun (Y : J) ↦
      Finset.image
        (fun (f : X ⟶ Y) ↦
          PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) (F.obj X)
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : F.obj X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ Y)) (F.obj Y)
              (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj X ∈ O) ↦ (_ : F.obj Y ∈ O) ×' (F.obj X ⟶ F.obj Y)) sorry
                (PSigma.mk (β := fun (x : F.obj Y ∈ O) ↦ F.obj X ⟶ F.obj Y) sorry (F.map f)))))
        Finset.univ;
∀ (Z : C) (f : {X : C} → X ∈ O → (Z ⟶ X))
  (w :
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f_1 : X ⟶ Y},
      PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦ (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦ (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ O) ↦ (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ O) ↦ X ⟶ Y) mY f_1))) ∈
          H →
        f mX ≫ f_1 = f mY),
  Nonempty (Cone F)
Tactic: classical
  let O := Finset.univ.image F.obj
  let H : Finset (Σ' (X Y : C) (_ : X ∈ O) (_ : Y ∈ O), X ⟶ Y) :=
    Finset.univ.biUnion fun X : J =>
      Finset.univ.biUnion fun Y : J =>
        Finset.univ.image fun f : X ⟶ Y => ⟨F.obj X, F.obj Y, by simp [O], by simp [O], F.map f⟩
  obtain ⟨Z, f, w⟩ := inf_exists O H
  refine ⟨⟨Z, ⟨fun X => f (by simp [O]), ?_⟩⟩⟩
  intro j j' g
  dsimp
  simp only [Category.id_comp]
  symm
  apply w
  simp only [O, H, Finset.mem_biUnion, Finset.mem_univ, Finset.mem_image,
    PSigma.mk.injEq, true_and, exists_and_left]
  exact ⟨j, rfl, j', g, by simp⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
I : Type u_1
inst_2 : Finite I
i : C
j : I → C
f : (x : I) → j x ⟶ i
⊢ ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
have this : IsCofiltered.{v, u} C
Tactic: have : IsCofiltered C := { nonempty := ⟨i⟩ }
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
I : Type u_1
inst_2 : Finite I
i : C
j : I → C
f : (x : I) → j x ⟶ i
this : IsCofiltered.{v, u} C
⊢ ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
have intro : ∀ (val : Fintype I), ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
Tactic: cases nonempty_fintype I
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
I : Type u_1
inst_2 : Finite I
i : C
j : I → C
f : (x : I) → j x ⟶ i
this : IsCofiltered.{v, u} C
val : Fintype I
⊢ ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
have intro : ∀ (k : C) (fk : {X : C} → X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ) → (k ⟶ X))
  (hk :
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) (mY : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ))
      {f_1 : X ⟶ Y},
      Membership.mem (γ :=
          Finset
            ((X : C) ×'
              (Y : C) ×'
                (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                  (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y)))
          (Finset.image
            (fun (x : I) ↦
              PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦
                (Y : C) ×'
                  (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                    (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y))
                (j x)
                (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
                  (_ : j x ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                    (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (j x ⟶ Y))
                  i
                  (PSigma.mk (β := fun (x_1 : j x ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦
                    (_ : i ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (j x ⟶ i)) sorry
                    (PSigma.mk (β := fun (x_1 : i ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦ j x ⟶ i) sorry (f x)))))
            Finset.univ)
          (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦
            (Y : C) ×'
              (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y))
            X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
              (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y))
              Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦
                (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦ X ⟶ Y) mY f_1)))) →
        fk mX ≫ f_1 = fk mY),
  ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
Tactic: obtain ⟨k, fk, hk⟩ := IsCofiltered.inf_exists (insert i (Finset.univ.image j))
    (Finset.univ.image fun x ↦ ⟨j x, i, by simp, by simp, f x⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
I : Type u_1
inst_2 : Finite I
i : C
j : I → C
f : (x : I) → j x ⟶ i
this : IsCofiltered.{v, u} C
⊢ ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
have intro : ∀ (val : Fintype I), ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
Tactic: classical
  cases nonempty_fintype I
  obtain ⟨k, fk, hk⟩ := IsCofiltered.inf_exists (insert i (Finset.univ.image j))
    (Finset.univ.image fun x ↦ ⟨j x, i, by simp, by simp, f x⟩)
  exact ⟨k, _, _, fun x ↦ hk _ _ (Finset.mem_image_of_mem _ (Finset.mem_univ _))⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
I : Type u_1
inst_2 : Finite I
i : C
j : I → C
f : (x : I) → j x ⟶ i
this : IsCofiltered.{v, u} C
intro : ∀ (val : Fintype I), ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
⊢ ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
have intro₁ : ∀ (val : Fintype I) (k : C) (fk : {X : C} → X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ) → (k ⟶ X))
  (hk :
    ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) (mY : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ))
      {f_1 : X ⟶ Y},
      Membership.mem (γ :=
          Finset
            ((X : C) ×'
              (Y : C) ×'
                (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                  (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y)))
          (Finset.image
            (fun (x : I) ↦
              PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦
                (Y : C) ×'
                  (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                    (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y))
                (j x)
                (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
                  (_ : j x ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                    (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (j x ⟶ Y))
                  i
                  (PSigma.mk (β := fun (x_1 : j x ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦
                    (_ : i ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (j x ⟶ i)) sorry
                    (PSigma.mk (β := fun (x_1 : i ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦ j x ⟶ i) sorry (f x)))))
            Finset.univ)
          (PSigma.mk (β := fun (X : C) ↦
            (Y : C) ×'
              (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y))
            X
            (PSigma.mk (β := fun (Y : C) ↦
              (_ : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×'
                (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y))
              Y
              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦
                (_ : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ×' (X ⟶ Y)) mX
                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ insert i (Finset.image j Finset.univ)) ↦ X ⟶ Y) mY f_1)))) →
        fk mX ≫ f_1 = fk mY),
  ∃ (k : C) (fki : k ⟶ i) (g : (x : I) → k ⟶ j x), ∀ (x : I), g x ≫ f x = fki
Tactic: classical
  cases nonempty_fintype I
  obtain ⟨k, fk, hk⟩ := IsCofiltered.inf_exists (insert i (Finset.univ.image j))
    (Finset.univ.image fun x ↦ ⟨j x, i, by simp, by simp, f x⟩)
  exact ⟨k, _, _, fun x ↦ hk _ _ (Finset.mem_image_of_mem _ (Finset.mem_univ _))⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
⊢ Nonempty C
have obtain : ∀ (c : Cone.{w, v, w, u} (Functor.empty C)), Nonempty C
Tactic: obtain ⟨c⟩ := h (Functor.empty _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (hypothesis)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
⊢ IsCofiltered.{v, u} C
have this : Nonempty C
Tactic: have : Nonempty C := by
    obtain ⟨c⟩ := h (Functor.empty _)
    exact ⟨c.pt⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
⊢ IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
have refine_1 : ∀ (X Y : C), ∃ (W : C) (x : W ⟶ X) (x : W ⟶ Y), True
Tactic: refine ⟨?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
refine_1 : ∀ (X Y : C), ∃ (W : C) (x : W ⟶ X) (x : W ⟶ Y), True
⊢ IsCofilteredOrEmpty.{v, u} C
have refine_2 : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f g : X ⟶ Y), ∃ (W : C) (h : W ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
Tactic: refine ⟨?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
X Y : C
⊢ ∃ (W : C) (x : W ⟶ X) (x : W ⟶ Y), True
have refine_1 : ∀ (c : Cone.{w, v, w, u} (ULiftHom.down ⋙ ULift.downFunctor ⋙ pair X Y)), ∃ (W : C) (x : W ⟶ X) (x : W ⟶ Y), True
Tactic: obtain ⟨c⟩ := h (ULiftHom.down ⋙ ULift.downFunctor ⋙ pair X Y)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
⊢ ∃ (W : C) (h : W ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
have refine_2 : ∀ (c : Cone (ULiftHom.down ⋙ ULift.downFunctor ⋙ parallelPair f g)), ∃ (W : C) (h : W ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
Tactic: obtain ⟨c⟩ := h (ULiftHom.down ⋙ ULift.downFunctor ⋙ parallelPair f g)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Filtered.Basic (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
h : ∀ {J : Type w} [inst_1 : SmallCategory J] [FinCategory J] (F : Functor.{w, v, w, u} J C), Nonempty (Cone F)
this : Nonempty C
X Y : C
f g : X ⟶ Y
c : Cone (ULiftHom.down ⋙ ULift.downFunctor ⋙ parallelPair f g)
⊢ ∃ (W : C) (h : W ⟶ X), h ≫ f = h ≫ g
have refine_2 : Eq (α := c.pt ⟶ Y) (c.π.app { down := WalkingParallelPair.zero } ≫ f : c.pt ⟶ Y)
  (c.π.app { down := WalkingParallelPair.zero } ≫ g : c.pt ⟶ Y)
Tactic: refine ⟨c.pt, c.π.app ⟨WalkingParallelPair.zero⟩, ?_⟩