-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Relations (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : Finite ι
inst_1 : CommRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : CharZero R
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : AddCommGroup N
inst_7 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
i j : ↥b.support
hij : i ≠ j
inst_10 : P.IsReduced
inst_11 : P.IsIrreducible
hij' : (↑i : ι) ≠ (↑j : ι)
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
k l : ι
h₃ : l ≠ (↑j : ι)
h₄ : l ≠ -(↑i : ι)
h₅ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M)
      (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M))
m : ι
hm :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)
l' : ι
hl' :
  (P.root : (a : ι) → M) l' =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
pos :
  ∀
    (hk :
      (P.root : (a : ι) → M) k =
        HSub.hSub (β := M)
          (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R)
      (∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) x =
                HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
              (P.root : (a : ι) → M) k =
                HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R)
              1 *
            HAdd.hAdd (α := R)
              (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) l) : R) 1
        else 0)
      (∑ x : ι,
        if
            (P.root : (a : ι) → M) x =
                HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
              (P.root : (a : ι) → M) k =
                HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) then
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) x) : R)
              1 *
            HAdd.hAdd (α := R)
              (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R) 1
        else 0)
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    (∑ x : ι,
      if
          (P.root : (a : ι) → M) x =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R)
            1 *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) l) : R)
            1
      else 0)
    (∑ x : ι,
      if
          (P.root : (a : ι) → M) x =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) then
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) x) : R)
            1 *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R)
            1
      else 0)
have neg : ∀
  (hk :
    ¬(P.root : (a : ι) → M) k =
        HSub.hSub (β := M)
          (HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
          ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M)),
  Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    (∑ x : ι,
      if
          (P.root : (a : ι) → M) x =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) ∧
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) then
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) x) : R)
            1 *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) l) : R)
            1
      else 0)
    (∑ x : ι,
      if
          (P.root : (a : ι) → M) x =
              HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M) ∧
            (P.root : (a : ι) → M) k =
              HSub.hSub (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) x : M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑j : ι) : M) then
        HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainTopCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑j : ι) x) : R)
            1 *
          HAdd.hAdd (α := R) (↑(chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) l) : R)
            1
      else 0)
Tactic: by_cases hk : P.root k = P.root l + P.root i - P.root j