awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R
hϕ : ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst_4 : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯) = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R :=
  generator
    (span R (insert a (singleton (α := R) ((ψ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯) : R))))
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ (ψ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯)
r₁ r₂ : R
d_eq : d = r₁ * a + HMul.hMul (β := R) r₂ ((ψ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯) : R)
ψ' : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R := r₁ • ϕ + r₂ • ψ
this : R ∙ d ≤ ψ'.submoduleImage N
⊢ ψ'.submoduleImage N = ϕ.submoduleImage N
have apply : ϕ.submoduleImage N ≤ R ∙ d
Tactic: apply (le_trans _ this).eq_of_not_lt' (hϕ ψ')
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
R : Type u_2
inst : CommRing R
M : Type u_3
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R
hϕ : ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst_4 : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯) = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R :=
  generator
    (span R (insert a (singleton (α := R) ((ψ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯) : R))))
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ (ψ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯)
r₁ r₂ : R
d_eq : d = r₁ * a + HMul.hMul (β := R) r₂ ((ψ : (a : ↥O) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ O) y ⋯) : R)
ψ' : LinearMap.{u_2, u_2, u_3, u_2} (RingHom.id R) (↥O) R := r₁ • ϕ + r₂ • ψ
this : R ∙ d ≤ ψ'.submoduleImage N
⊢ ϕ.submoduleImage N ≤ R ∙ d
have rw : LE.le (α := Submodule R R) (R ∙ generator (ϕ.submoduleImage N)) (R ∙ d)
Tactic: rw [← span_singleton_generator (ϕ.submoduleImage N)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
⊢ ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
have obtain : ∀ (P : Submodule R R)
  (P_eq :
    Membership.mem (γ := Set (Submodule R R))
      (range fun (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦ ψ.submoduleImage N) P)
  (P_max :
    ∀ (I : Submodule R R),
      Membership.mem (γ := Set (Submodule R R))
          (range fun (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦ ψ.submoduleImage N) I →
        ¬P < I),
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
Tactic: obtain ⟨P, P_eq, P_max⟩ :=
      set_has_maximal_iff_noetherian.mpr (inferInstance : IsNoetherian R R) _
        (show (Set.range fun ψ : M →ₗ[R] R ↦ ψ.submoduleImage N).Nonempty from
          ⟨_, Set.mem_range.mpr ⟨0, rfl⟩⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
P : Submodule R R
P_eq :
  Membership.mem (γ := Set (Submodule R R))
    (range fun (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦ ψ.submoduleImage N) P
P_max :
  ∀ (I : Submodule R R),
    Membership.mem (γ := Set (Submodule R R))
        (range fun (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦ ψ.submoduleImage N) I →
      ¬P < I
⊢ ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
have obtain : ∀ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R)
  (P_eq :
    Membership.mem (γ := Set (Submodule R R))
      (range fun (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦ ψ.submoduleImage N) (ϕ.submoduleImage N))
  (P_max :
    ∀ (I : Submodule R R),
      Membership.mem (γ := Set (Submodule R R))
          (range fun (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦ ψ.submoduleImage N) I →
        ¬ϕ.submoduleImage N < I),
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
Tactic: obtain ⟨ϕ, rfl⟩ := Set.mem_range.mp P_eq
Cleared hypotheses: P, P_eq, P_max
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ (a : R),
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (m' + 1)) R ↥M),
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'),
                                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
                                  HSMul.hSMul (β := O) (as i)
                                    (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)) →
                              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
                                    HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
                                      (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE hnm i)) : O)
have this : ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
Tactic: have : ∃ ϕ : M →ₗ[R] R, ∀ ψ : M →ₗ[R] R, ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N := by
    obtain ⟨P, P_eq, P_max⟩ :=
      set_has_maximal_iff_noetherian.mpr (inferInstance : IsNoetherian R R) _
        (show (Set.range fun ψ : M →ₗ[R] R ↦ ψ.submoduleImage N).Nonempty from
          ⟨_, Set.mem_range.mpr ⟨0, rfl⟩⟩)
    obtain ⟨ϕ, rfl⟩ := Set.mem_range.mp P_eq
    exact ⟨ϕ, fun ψ hψ ↦ P_max _ ⟨_, rfl⟩ hψ⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ (a : R),
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (m' + 1)) R ↥M),
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'),
                                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
                                  HSMul.hSMul (β := O) (as i)
                                    (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)) →
                              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
                                    HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
                                      (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE hnm i)) : O)
have ϕ_max : ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
  ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
            ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
              ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
        N <
      ψ.submoduleImage N
Tactic: have ϕ_max := this.choose_spec
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ (a : R),
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (m' + 1)) R ↥M),
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'),
                                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
                                  HSMul.hSMul (β := O) (as i)
                                    (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)) →
                              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
                                    HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
                                      (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE hnm i)) : O)
have a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
Tactic: have a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N := generator_mem _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : a = 0
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ (a : R),
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (m' + 1)) R ↥M),
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'),
                                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
                                  HSMul.hSMul (β := O) (as i)
                                    (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)) →
                              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
                                    HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
                                      (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE hnm i)) : O)
have this₁ : N = ⊥
Tactic: have := eq_bot_of_generator_maximal_submoduleImage_eq_zero b'M N_le_M ϕ_max a_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ (a : R),
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (m' + 1)) R ↥M),
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'),
                                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
                                  HSMul.hSMul (β := O) (as i)
                                    (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)) →
                              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
                                    HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
                                      (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE hnm i)) : O)
have hdvd : ∀ (i : ι), a ∣ (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y sorry)
Tactic: have hdvd : ∀ i, a ∣ b'M.coord i ⟨y, N_le_M yN⟩ := fun i ↦
    generator_maximal_submoduleImage_dvd N_le_M ϕ_max y yN ϕy_eq (b'M.coord i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ (a : R),
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ (bN : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (n' + 1)) R ↥N),
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis.{0, u_2, u_4} (Fin (m' + 1)) R ↥M),
                          ∀ (as : Fin n' → R),
                            (∀ (i : Fin n'),
                                (↑((bN' : (a : Fin n') → ↥N') i) : O) =
                                  HSMul.hSMul (β := O) (as i)
                                    (↑((bM' : (a : Fin m') → ↥M') (Fin.castLE hn'm' i)) : O)) →
                              ∃ (as' : Fin (n' + 1) → R),
                                ∀ (i : Fin (n' + 1)),
                                  (↑((bN : (a : Fin (n' + 1)) → ↥N) i) : O) =
                                    HSMul.hSMul (β := O) (as' i)
                                      (↑((bM : (a : Fin (m' + 1)) → ↥M) (Fin.castLE hnm i)) : O)
have y'M : y' ∈ M
Tactic: have y'M : y' ∈ M := M.sum_mem fun i _ ↦ M.smul_mem (c i) (b'M i).2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.PID (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : Finite ι
O : Type u_4
inst_4 : AddCommGroup O
inst_5 : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis.{u_1, u_2, u_4} ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this :
  ∃ (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R :=
  this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
    ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
ϕ_max :
  ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
    ¬this.choose (p := fun (ϕ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R) ↦
              ∀ (ψ : LinearMap.{u_2, u_2, u_4, u_2} (RingHom.id R) (↥M) R),
                ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N).submoduleImage
          N <
        ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : (ϕ : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a
c : (i : ι) → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i : (a : ↥M) → R) (Subtype.mk (p := fun (x : O) ↦ x ∈ M) y ⋯) = a * c i
val : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c i) (↑((b'M : (a : ι) → ↥M) i) : O)
y'M : y' ∈ M
⊢ y' = (M.subtype : (a : ↥M) → O) (∑ i : ι, HSMul.hSMul (β := ↥M) (c i) ((b'M : (a : ι) → ↥M) i : ↥M))
have simp : y' = ∑ x : ι, HSMul.hSMul (β := O) (c x) ((M.subtype : (a : ↥M) → O) ((b'M : (a : ι) → ↥M) x : ↥M) : O)
Tactic: simp only [map_sum, map_smul]