-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.TopCat.Limits.Konig (goal)
Goal:
J : Type u
inst : SmallCategory J
F : J ⥤ TopCat
inst_1 : IsCofilteredOrEmpty J
h : ∀ (j : J), Nonempty.{v + 1} (↑(F.obj j) : Type v)
G : Finset J
H : Finset (FiniteDiagramArrow G)
h_1 : Nonempty J
this : IsCofiltered J
X Y : J
hX : X ∈ G
hY : Y ∈ G
f : X ⟶ Y
hf :
  PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))) ∈
    H
⊢ Eq (α :=
    (↑(F.obj
          (PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
            (_ :
              PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                  (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                    (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                      (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                        (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                G) ×'
              (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                    (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                  Y_1))
            (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
              (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                  (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                    (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))))) :
      Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
            F.obj
              (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))))
            (Y :=
            F.obj
              (PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
                (_ :
                  PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                      (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                        (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                    G) ×'
                  (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                    (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                        (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                          (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                      Y_1))
                (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                  (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                    (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                      (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                        (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))))))
            (F.map
              (PSigma.snd (β :=
                fun
                  (x :
                    PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
                        (_ :
                          PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                              (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                                (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                  (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                    (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                            G) ×'
                          (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                            (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                              Y_1))
                        (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                          (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                            (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))) ∈
                      G) ↦
                PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                    (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                  PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
                    (_ :
                      PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                          (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                            (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                        G) ×'
                      (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                        (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                            (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                              (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                          Y_1))
                    (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                      (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                        (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))))
                (PSigma.snd (β :=
                  fun
                    (x :
                      PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                          (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                            (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                        G) ↦
                  (_ :
                    PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
                        (_ :
                          PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                              (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                                (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                  (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                    (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                            G) ×'
                          (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                            (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                              Y_1))
                        (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                          (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                            (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))) ∈
                      G) ×'
                    (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                        (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                          (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                            (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                              (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                      PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
                        (_ :
                          PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                              (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                                (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                  (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                    (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                            G) ×'
                          (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                            (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                              Y_1))
                        (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                          (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                            (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))))))
                  (PSigma.snd (β := fun (Y_1 : J) ↦
                    (_ :
                      PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                          (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                            (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                              (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                        G) ×'
                      (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                        (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                            (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                              (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                          Y_1))
                    (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                      (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                        (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))))))) :
          (a : (↑(F.obj ⟨X, ⟨Y, ⟨hX, ⟨hY, f⟩⟩⟩⟩.fst) : Type v)) → (↑(F.obj ⟨X, ⟨Y, ⟨hX, ⟨hY, f⟩⟩⟩⟩.snd.fst) : Type v))
        ((fun (j : J) ↦
            (if hj : j ∈ G then
                (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                      (X := F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
                    (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj j) : Type v))
                  (Nonempty.some ⋯)
              else ⋯.some :
              (↑(F.obj j) : Type v)))
          (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
            (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))))) :
      (↑(F.obj
            (PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
              (_ :
                PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                    (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                  G) ×'
                (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                  (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                      (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                        (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                    Y_1))
              (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))))) :
        Type v))
    ((fun (j : J) ↦
          (if hj : j ∈ G then
              (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier)
                    (X := F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
                  (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj j) : Type v))
                (Nonempty.some ⋯)
            else ⋯.some :
            (↑(F.obj j) : Type v)))
        (PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
          (_ :
            PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
              G) ×'
            (_ : Y_1 ∈ G) ×'
              (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                  (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                    (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                      (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                        (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                Y_1))
          (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
            (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
              (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                  (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))))) :
      (↑(F.obj
            (PSigma.fst (β := fun (Y_1 : J) ↦
              (_ :
                PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                    (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                      (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                        (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                          (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ∈
                  G) ×'
                (_ : Y_1 ∈ G) ×'
                  (PSigma.fst (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                      (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                        (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                          (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                            (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f)))) ⟶
                    Y_1))
              (PSigma.snd (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y))
                (PSigma.mk (β := fun (X : J) ↦ (Y : J) ×' (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) X
                  (PSigma.mk (β := fun (Y : J) ↦ (_ : X ∈ G) ×' (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) Y
                    (PSigma.mk (β := fun (x : X ∈ G) ↦ (_ : Y ∈ G) ×' (X ⟶ Y)) hX
                      (PSigma.mk (β := fun (x : Y ∈ G) ↦ X ⟶ Y) hY f))))))) :
        Type v))
have h₁ : Eq (α := (↑(F.obj Y) : Type v))
  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (F.map f) :
        (a : (↑(F.obj X) : Type v)) → (↑(F.obj Y) : Type v))
      (if hj : X ∈ G then
        (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
              F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
            (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj X) : Type v))
          (Nonempty.some sorry)
      else sorry.some) :
    (↑(F.obj Y) : Type v))
  (if hj : Y ∈ G then
      (ConcreteCategory.hom (FC := fun (X Y : TopCat.{v}) ↦ C((↑X : Type v), (↑Y : Type v))) (CC := carrier) (X :=
            F.obj (IsCofiltered.inf G H)) (F.map (IsCofiltered.infTo G H hj)) :
          (a : (↑(F.obj (IsCofiltered.inf G H)) : Type v)) → (↑(F.obj Y) : Type v))
        (Nonempty.some sorry)
    else sorry.some :
    (↑(F.obj Y) : Type v))
Tactic: dsimp only