awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((w : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
let let₁ let₂ :
  ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
let₃ :
  let c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b;
  ∀ (hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop),
    ∃ (k : R),
      LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
        (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
          LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have let₄ : let c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ a ^ n * b;
∀ (hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v i : (a : R) → S) (c n)) atTop atTop)
  (hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)),
  ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
Tactic: classical
  let c : ℕ → R := fun n ↦ a ^ n * b
  have hcᵢ : Tendsto (fun n ↦ (v i) (c n)) atTop atTop := by
    simpa [c] using Tendsto.atTop_mul_const (by linarith) (tendsto_pow_atTop_atTop_of_one_lt ha)
  have hcⱼ (j : ι) (hj : j ≠ i) : Tendsto (fun n ↦ (v j) (c n)) atTop (𝓝 0) := by
    simpa [c] using (tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one ((v j).nonneg _) (haj j hj)).mul_const _
  simp_rw +instances [OrderTopology.topology_eq_generate_intervals,
    TopologicalSpace.tendsto_nhds_generateFrom_iff, mem_atTop_sets, Set.mem_preimage] at hcⱼ
  choose r₁ hr₁ using tendsto_atTop_atTop.1 hcᵢ 2
  choose rₙ hrₙ using fun j hj ↦ hcⱼ j hj (.Iio 1) (by simpa using ⟨1, .inr rfl⟩) (by simp)
  have := Fintype.ofFinite ι
  let r := Finset.univ.sup fun j ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h
  refine ⟨c r, lt_of_lt_of_le (by linarith) (hr₁ r ?_), fun j hj ↦ ?_, by simpa [c, haw]⟩
  · exact Finset.le_sup_dite_pos (p := fun j ↦ j = i) (f := fun _ _ ↦ r₁) (Finset.mem_univ _) rfl
  · simpa using hrₙ j hj _ <| Finset.le_sup_dite_neg (fun j ↦ j = i) (Finset.mem_univ j) _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
have this : LT.lt.{u_2} (α := S) ((v i : (a : R) → S) a⁻¹ : S) (1 : S)
Tactic: have : v i a⁻¹ < 1 := map_inv₀ (v i) a ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ ha
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have hcᵢ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
Tactic: have hcᵢ : Tendsto (fun n ↦ v i (c n)) atTop (𝓝 (v i b)) := by
    have : v i a⁻¹ < 1 := map_inv₀ (v i) a ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ ha
    simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_one this).mul_const (v i b)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
j : ι
hj : j ≠ i
h : a = 0
⊢ False
have linarith : -1 + HSub.hSub (α := S) 1 0 = 0
Tactic: linarith [map_zero (v _) ▸ h ▸ ha]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
have this : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v j : (a : R) → S) a⁻¹ : S)
Tactic: have : 1 < v j a⁻¹ := map_inv₀ (v j) _ ▸
      (one_lt_inv₀ <| (v j).pos fun h ↦ by linarith [map_zero (v _) ▸ h ▸ ha]).2 (haj j hj)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
Tactic: have hcⱼ (j : ι) (hj : j ≠ i) : atTop.Tendsto (fun n ↦ v j (c n)) (𝓝 0) := by
    have : 1 < v j a⁻¹ := map_inv₀ (v j) _ ▸
      (one_lt_inv₀ <| (v j).pos fun h ↦ by linarith [map_zero (v _) ▸ h ▸ ha]).2 (haj j hj)
    simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_zero this).mul_const _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
have this : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) a⁻¹ : S) (1 : S)
Tactic: have : w a⁻¹ < 1 := map_inv₀ w _ ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ haw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
Tactic: have hcₙ : atTop.Tendsto (fun n ↦ w (c n)) (𝓝 (w b)) := by
    have : w a⁻¹ < 1 := map_inv₀ w _ ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ haw
    simpa [c] using (tendsto_div_one_add_pow_nhds_one this).mul_const (w b)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i), Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ (v j : (a : R) → S) (c n)) atTop (𝓝 0)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have hcⱼ₁ : ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
  Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
    0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
Tactic: simp_rw +instances [OrderTopology.topology_eq_generate_intervals,
    TopologicalSpace.tendsto_nhds_generateFrom_iff, mem_atTop_sets, Set.mem_preimage] at hcⱼ
Cleared hypotheses: hcⱼ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have choose : ∀ (r₁ : ℕ) (hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)),
  ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
Tactic: choose r₁ hr₁ using Filter.eventually_atTop.1 <| Filter.Tendsto.eventually_const_lt hb hcᵢ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have choose : ∀ (rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ)
  (hrₙ :
    ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
      ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)),
  ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
Tactic: choose rₙ hrₙ using fun j hj ↦ hcⱼ j hj (.Iio 1) (by simpa using ⟨1, .inr rfl⟩) (by simp)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have choose : ∀ (rN : ℕ) (hrN : ∀ b ≥ rN, LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) (c b) : S) (1 : S)),
  ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
Tactic: choose rN hrN using Filter.eventually_atTop.1 <| Filter.Tendsto.eventually_lt_const hbw hcₙ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
rN : ℕ
hrN : ∀ b ≥ rN, LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) (c b) : S) (1 : S)
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have have : ∀ (this : Fintype ι),
  ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
Tactic: have := Fintype.ofFinite ι
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.AbsoluteValue.Equivalence (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : Field R
inst_1 : Field S
inst_2 : LinearOrder S
inst_3 : TopologicalSpace S
inst_4 : IsStrictOrderedRing S
inst_5 : Archimedean S
inst_6 : OrderTopology S
ι : Type u_3
inst_7 : Finite ι
v : ι → AbsoluteValue R S
w : AbsoluteValue R S
a b : R
i : ι
ha : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) a : S)
haj : ∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) a : S) (1 : S)
haw : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((w : (a : R) → S) a : S)
hb : LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) b : S)
hbw : LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) b : S) (1 : S)
c : ℕ → R := fun (n : ℕ) ↦ 1 / (1 + a⁻¹ ^ n) * b
hcᵢ :
  Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((v i : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((v i : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcₙ : Tendsto.{0, u_2} (β := S) (fun (n : ℕ) ↦ ((w : (a : R) → S) (c n) : S)) atTop (𝓝 ((w : (a : R) → S) b) : Filter S)
hcⱼ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i) (s : Set S),
    Membership.mem (γ := Set (Set S)) {s : Set S | ∃ (a : S), s = Set.Ioi a ∨ s = Set.Iio a} s →
      0 ∈ s → ∃ (a : ℕ), ∀ b ≥ a, Membership.mem (α := S) s ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
r₁ : ℕ
hr₁ : ∀ b ≥ r₁, LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) (c b) : S)
rₙ : (j : ι) → (hj : j ≠ i) → ℕ
hrₙ :
  ∀ (j : ι) (hj : j ≠ i),
    ∀ b ≥ rₙ j hj, Membership.mem.{u_2, u_2} (α := S) (γ := Set S) (Set.Iio 1) ((v j : (a : R) → S) (c b) : S)
rN : ℕ
hrN : ∀ b ≥ rN, LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) (c b) : S) (1 : S)
this : Fintype ι
r : ℕ := max (Finset.sup Finset.univ fun (j : ι) ↦ if h : j = i then r₁ else rₙ j h) rN
⊢ ∃ (k : R),
    LT.lt.{u_2} (α := S) (1 : S) ((v i : (a : R) → S) k : S) ∧
      (∀ (j : ι), j ≠ i → LT.lt.{u_2} (α := S) ((v j : (a : R) → S) k : S) (1 : S)) ∧
        LT.lt.{u_2} (α := S) ((w : (a : R) → S) k : S) (1 : S)
have refine_1 : r ≥ r₁
Tactic: refine ⟨c r, hr₁ r ?_, fun j hj ↦ ?_, ?_⟩