awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
have h : Eq (α := L)
  ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k : (a : L) → L)
      x :
    L)
  (0 : L)
Tactic: use k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k : (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
have hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
Tactic: have hfg : g.comp (H : Submodule R L).subtype = (H : Submodule R L).subtype.comp f := rfl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k : (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
have h : Eq (α := L)
  (((g ^ k) ∘ₗ H.subtype : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
  (0 : L)
Tactic: change (g ^ k).comp (H : Submodule R L).subtype ⟨x, hx⟩ = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ Eq (α := L)
    (((g ^ k) ∘ₗ H.subtype : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)
have h : Eq (α := L)
  ((H.subtype ∘ₗ f ^ k : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L) (0 : L)
Tactic: rw [Module.End.commute_pow_left_of_commute hfg k]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
⊢ Eq (α := L)
    ((H.subtype ∘ₗ f ^ k : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)
have h : Membership.mem (γ := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k)
  ((⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
    (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx))
Tactic: have h := iterate_toEnd_mem_lowerCentralSeries R H H y ⟨x, hx⟩ k
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ H
y : ↥H
k : ℕ
hk : Eq.{u_2 + 1} (α := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k) ⊥
f : Module.End R ↥H := (toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y
g : Module.End R L := (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y
hfg : g ∘ₗ H.subtype = H.subtype ∘ₗ f
h :
  Membership.mem (γ := LieSubmodule R ↥H ↥H) (lowerCentralSeries R (↥H) (↥H) k)
    ((⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
      (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx))
⊢ Eq (α := L)
    ((H.subtype ∘ₗ f ^ k : (a : ↥H.toSubmodule) → L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H.toSubmodule) x hx) : L)
    (0 : L)
have h₁ : (⇑((toEnd R ↥H ↥H : (a : ↥H) → Module.End R ↥H) y : Module.End R ↥H) : (a : ↥H) → ↥H)^[k]
    (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx) =
  0
Tactic: rw [hk, LieSubmodule.mem_bot] at h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
M : Type u_3
inst_4 : AddCommGroup M
inst_5 : Module R M
inst_6 : LieRingModule L M
inst_7 : LieModule R L M
inst_8 : Nontrivial.{u_2} ↥H
⊢ Nontrivial.{u_2} ↥(genWeightSpace L 0)
have obtain : ∀ (x : L) (hx : x ∈ H) (y : L) (hy : y ∈ H)
  (e : Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) x hx ≠ Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy),
  Nontrivial.{u_2} ↥(genWeightSpace L 0)
Tactic: obtain ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩, e⟩ := exists_pair_ne H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
⊢ H ≤ zeroRootSubalgebra R L H
have rw : H.toLieSubmodule ≤ rootSpace H 0
Tactic: rw [← LieSubalgebra.toSubmodule_le_toSubmodule, ← H.coe_toLieSubmodule,
    coe_zeroRootSubalgebra, LieSubmodule.toSubmodule_le_toSubmodule]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
⊢ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer = zeroRootSubalgebra R L H
have refine : (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer ≤ zeroRootSubalgebra R L H
Tactic: refine le_antisymm ?_ (LieSubalgebra.le_normalizer _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : x ∈ (zeroRootSubalgebra R L H).normalizer
⊢ x ∈ zeroRootSubalgebra R L H
have hx₁ : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
Tactic: rw [LieSubalgebra.mem_normalizer_iff] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ x ∈ zeroRootSubalgebra R L H
have rw : ∀ (y : ↥H),
  ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y : Module.End R L) k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
Tactic: rw [mem_zeroRootSubalgebra]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x : L
hx : ∀ y ∈ zeroRootSubalgebra R L H, ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
y : L
hy : y ∈ H
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
have hx₁ : ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
Tactic: specialize hx y (le_zeroRootSubalgebra R L H hy)
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx : ⁅x, y⁆ ∈ zeroRootSubalgebra R L H
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
have hx₁ : ∀ (y_1 : ↥H),
  ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
            (a : L) → L)
          ⁅x, y⁆ :
        L)
      (0 : L)
Tactic: rw [mem_zeroRootSubalgebra] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
have obtain : ∀ (k : ℕ)
  (hk :
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          ⁅x, y⁆ :
        L)
      (0 : L)),
  ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
Tactic: obtain ⟨k, hk⟩ := hx ⟨y, hy⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅x, y⁆ :
      L)
    (0 : L)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
have hk₁ : Eq (α := L)
  ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
          ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
          k :
        (a : L) → L)
      ⁅y, x⁆ :
    L)
  (0 : L)
Tactic: rw [← lie_skew, map_neg, neg_eq_zero] at hk
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
⊢ ∃ (k : ℕ),
    Eq (α := L)
      ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k :
            (a : L) → L)
          x :
        L)
      (0 : L)
have h : Eq (α := L)
  ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
          ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
          (k + 1) :
        (a : L) → L)
      x :
    L)
  (0 : L)
Tactic: use k + 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            (k + 1) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
have h : Eq (α := L)
  ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k ∘ₗ
          (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
        (a : L) → L)
      x :
    L)
  (0 : L)
Tactic: rw [Module.End.iterate_succ, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, toEnd_apply_apply,
    LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, Submodule.coe_mk, hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k ∘ₗ
            (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            (k + 1) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
have h₁ : Eq (α := L)
  (Function.comp (β := L)
    (⇑(HPow.hPow (α := Module.End R L)
          ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
          k) :
      (a : L) → L)
    (⇑((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
      (a : L) → L)
    x)
  0
Tactic: rw [Module.End.iterate_succ, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, toEnd_apply_apply,
    LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, Submodule.coe_mk, hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k ∘ₗ
            (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
h₁ :
  Eq (α := L)
    (Function.comp (β := L)
      (⇑(HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k) :
        (a : L) → L)
      (⇑((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
        (a : L) → L)
      x)
    0
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            (k + 1) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
have h₂ : Eq (α := L)
  ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
          ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
          k :
        (a : L) → L)
      ((((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
            (a : L) → L)
          x :
        L) :
    L)
  (0 : L)
Tactic: rw [Module.End.iterate_succ, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, toEnd_apply_apply,
    LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, Submodule.coe_mk, hk]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Lie.Weights.Cartan (goal)
Goal:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : LieRing L
inst_2 : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst_3 : LieRing.IsNilpotent.{u_2} ↥H
x y : L
hy : y ∈ H
hx :
  ∀ (y_1 : ↥H),
    ∃ (k : ℕ),
      Eq (α := L)
        ((HPow.hPow (α := Module.End R L) ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) y_1 : Module.End R L) k :
              (a : L) → L)
            ⁅x, y⁆ :
          L)
        (0 : L)
k : ℕ
hk :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ⁅y, x⁆ :
      L)
    (0 : L)
h :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
              ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
                Module.End R L)
              k ∘ₗ
            (toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
h₁ :
  Eq (α := L)
    (Function.comp (β := L)
      (⇑(HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k) :
        (a : L) → L)
      (⇑((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
        (a : L) → L)
      x)
    0
h₂ :
  Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            k :
          (a : L) → L)
        ((((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L) :
              (a : L) → L)
            x :
          L) :
      L)
    (0 : L)
⊢ Eq (α := L)
    ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
            ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
            (k + 1) :
          (a : L) → L)
        x :
      L)
    (0 : L)
have h₃ : Eq (α := L)
  ((HPow.hPow (α := Module.End R L)
          ((toEnd R (↥H) L : (a : ↥H) → Module.End R L) (Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy) : Module.End R L)
          k :
        (a : L) → L)
      ⁅Subtype.mk (p := fun (x : L) ↦ x ∈ H) y hy, x⁆ :
    L)
  (0 : L)
Tactic: rw [Module.End.iterate_succ, LinearMap.coe_comp, Function.comp_apply, toEnd_apply_apply,
    LieSubalgebra.coe_bracket_of_module, Submodule.coe_mk, hk]