awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : ContinuousENorm E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : OpensMeasurableSpace E
inst_4 : NormedAddGroup F
inst_5 : MeasurableSpace F
inst_6 : OpensMeasurableSpace F
inst_7 : TopologicalSpace G
inst_8 : ContinuousENorm G
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
B : E → F → G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB : ∀ (x : E) (y : F), (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖B x y‖ₑ
h'XY : Integrable.{u_7, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ B (X ω) (Y ω)) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ‖Y ω‖ₑ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ‖X a‖ₑ ∂μ = ∞
J : (fun (x : Ω) ↦ ‖X x‖ₑ) ⟂ᵢ[μ] fun (x : Ω) ↦ ‖Y x‖ₑ
⊢ ∫⁻ (a : Ω), (↑c : ℝ≥0∞) * (‖X a‖ₑ * ‖Y a‖ₑ) ∂μ ≤ ∫⁻ (ω : Ω), ‖B (X ω) (Y ω)‖ₑ ∂μ
have hfg : ∀ (ω : Ω), (↑c : ℝ≥0∞) * (‖X ω‖ₑ * ‖Y ω‖ₑ) ≤ ‖B (X ω) (Y ω)‖ₑ
Tactic: gcongr with ω
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst : TopologicalSpace E
inst_1 : ContinuousENorm E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : OpensMeasurableSpace E
inst_4 : NormedAddGroup F
inst_5 : MeasurableSpace F
inst_6 : OpensMeasurableSpace F
inst_7 : TopologicalSpace G
inst_8 : ContinuousENorm G
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
B : E → F → G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB : ∀ (x : E) (y : F), (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖B x y‖ₑ
h'XY : Integrable.{u_7, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ B (X ω) (Y ω)) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'Y : ¬Y =ᶠ[ae μ] 0
I : ∫⁻ (ω : Ω), ‖Y ω‖ₑ ∂μ ≠ 0
H : ∫⁻ (a : Ω), ‖X a‖ₑ ∂μ = ∞
J : (fun (x : Ω) ↦ ‖X x‖ₑ) ⟂ᵢ[μ] fun (x : Ω) ↦ ‖Y x‖ₑ
⊢ False
have this : LT.lt (α := ℝ≥0∞) ∞ ∞
Tactic: have : ∞ < ∞ := calc
    ∞ = c * ((∫⁻ ω, ‖X ω‖ₑ ∂μ) * (∫⁻ ω, ‖Y ω‖ₑ ∂μ)) := by
      rw [H, top_mul I, mul_top (by simpa)]
    _ ≤ ∫⁻ ω, ‖B (X ω) (Y ω)‖ₑ ∂μ := by
      rw [← lintegral_mul_eq_lintegral_mul_lintegral_of_indepFun'' hX.enorm hY.enorm J,
        ← lintegral_const_mul'' _ (by fun_prop)]
      gcongr with ω
      simp [hB, ← mul_assoc]
    _ < ∞ := h'XY.2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst : NormedAddGroup E
inst_1 : MeasurableSpace E
inst_2 : OpensMeasurableSpace E
inst_3 : TopologicalSpace F
inst_4 : ContinuousENorm F
inst_5 : MeasurableSpace F
inst_6 : OpensMeasurableSpace F
inst_7 : TopologicalSpace G
inst_8 : ContinuousENorm G
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
B : E → F → G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB : ∀ (x : E) (y : F), (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖B x y‖ₑ
h'XY : Integrable.{u_7, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ B (X ω) (Y ω)) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
⊢ Integrable Y μ
have refine : ∀ (y : F) (x : E), (↑c : ℝ≥0∞) * ‖y‖ₑ * ‖x‖ₑ ≤ ‖Function.swap (φ := fun (a : E) (a_1 : F) ↦ G) B y x‖ₑ
Tactic: refine hXY.symm.integrable_left_of_integrable_op (Function.swap B) c hc (fun y x ↦ ?_)
    h'XY hY hX h'X
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst : NormedAddGroup E
inst_1 : MeasurableSpace E
inst_2 : OpensMeasurableSpace E
inst_3 : TopologicalSpace F
inst_4 : ContinuousENorm F
inst_5 : MeasurableSpace F
inst_6 : OpensMeasurableSpace F
inst_7 : TopologicalSpace G
inst_8 : ContinuousENorm G
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
B : E → F → G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB : ∀ (x : E) (y : F), (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖B x y‖ₑ
h'XY : Integrable.{u_7, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ B (X ω) (Y ω)) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
y : F
x : E
⊢ (↑c : ℝ≥0∞) * ‖y‖ₑ * ‖x‖ₑ ≤ ‖Function.swap (φ := fun (a : E) (a_1 : F) ↦ G) B y x‖ₑ
have grw : (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖Function.swap (φ := fun (a : E) (a_1 : F) ↦ G) B y x‖ₑ
Tactic: grw [mul_right_comm, hB]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst : NormedAddGroup E
inst_1 : MeasurableSpace E
inst_2 : OpensMeasurableSpace E
inst_3 : TopologicalSpace F
inst_4 : ContinuousENorm F
inst_5 : MeasurableSpace F
inst_6 : OpensMeasurableSpace F
inst_7 : TopologicalSpace G
inst_8 : ContinuousENorm G
X : Ω → E
Y : Ω → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
B : E → F → G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB : ∀ (x : E) (y : F), (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖B x y‖ₑ
h'XY : Integrable.{u_7, u_1} (ε := G) (fun (ω : Ω) ↦ B (X ω) (Y ω)) μ
hX : AEStronglyMeasurable X μ
hY : AEStronglyMeasurable Y μ
h'X : ¬X =ᶠ[ae μ] 0
y : F
x : E
grw : (↑c : ℝ≥0∞) * ‖x‖ₑ * ‖y‖ₑ ≤ ‖Function.swap (φ := fun (a : E) (a_1 : F) ↦ G) B y x‖ₑ
⊢ (↑c : ℝ≥0∞) * ‖y‖ₑ * ‖x‖ₑ ≤ ‖Function.swap (φ := fun (a : E) (a_1 : F) ↦ G) B y x‖ₑ
have grw₁ : ‖B x y‖ₑ ≤ ‖B x y‖ₑ
Tactic: grw [mul_right_comm, hB]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have pos : ∀ (h : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0),
  Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
Tactic: by_cases h : ∀ᵐ ω ∂μ, f (X ω) = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
pos :
  ∀ (h : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0),
    Eq.{u_7 + 1} (α := G)
      (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
      (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have neg : ∀ (h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0),
  Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
Tactic: by_cases h : ∀ᵐ ω ∂μ, f (X ω) = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
⊢ ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
    Eq.{u_7 + 1} (α := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) : G) (0 : G)
have h₁ : ∀ (ω : Ω) (hω : f (X ω) = 0),
  Eq.{u_7 + 1} (α := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) : G) (0 : G)
Tactic: filter_upwards [h] with ω hω
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have h1 : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ,
  Eq.{u_7 + 1} (α := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) : G) (0 : G)
Tactic: have h1 : ∀ᵐ ω ∂μ, B (f (X ω)) (g (Y ω)) = 0 := by
      filter_upwards [h] with ω hω
      simp [hω]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have this : let this := borel E;
BorelSpace E
Tactic: borelize E F
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
this :
  let this := borel E;
  BorelSpace E
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have this₁ : let this := borel F;
BorelSpace F
Tactic: borelize E F
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
this_2 : MeasurableSpace F := borel F
this_3 : BorelSpace F
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have this : IsProbabilityMeasure μ
Tactic: have : IsProbabilityMeasure μ :=
    (hf.comp_aemeasurable hX).isProbabilityMeasure_of_indepFun (f ∘ X) (g ∘ Y) h
      (hXY.comp₀ hX hY hf.1.aemeasurable hg.1.aemeasurable)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
this_3 : MeasurableSpace F := borel F
this_4 : BorelSpace F
this : IsProbabilityMeasure μ
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have neg : AEStronglyMeasurable (β := G) (m₀ := Prod.instMeasurableSpace)
  (fun (z : 𝓧 × 𝓨) ↦ (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f z.1) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g z.2))
  (Measure.map (fun (ω : Ω) ↦ (X ω, Y ω)) μ)
Tactic: rw [← integral_map (f := fun z ↦ B (f z.1) (g z.2)) (φ := fun ω ↦ (X ω, Y ω)) (by fun_prop),
    hXY.map_prod_eq_prod_map_map hX hY, integral_prod_bilin _ hf hg, integral_map hX hf.1,
    integral_map hY hg.1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : @Integrable _ _ _ _ inst_1 f (Measure.map X μ)
hg : @Integrable _ _ _ _ inst_2 g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
h : ¬∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, f (X ω) = 0
this_1 : MeasurableSpace E := borel E
this_2 : BorelSpace E
this_3 : MeasurableSpace F := borel F
this_4 : BorelSpace F
this : IsProbabilityMeasure μ
⊢ AEStronglyMeasurable (β := G) (m₀ := Prod.instMeasurableSpace)
    (fun (z : 𝓧 × 𝓨) ↦ (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f z.1) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g z.2))
    (Measure.map (fun (ω : Ω) ↦ (X ω, Y ω)) μ)
have neg : AEStronglyMeasurable (β := G) (m₀ := Prod.instMeasurableSpace)
  (fun (z : 𝓧 × 𝓨) ↦ (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f z.1) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g z.2))
  (Measure.prod (Measure.map X μ) (Measure.map Y μ))
Tactic: rw [hXY.map_prod_eq_prod_map_map hX hY]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_1) f (Measure.map X μ)
hg : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_2) g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB :
  ∀ (x : E) (y : F),
    (↑c : ℝ) * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ norm.{u_7} (E := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) x : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) y : G)
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have this : let this := borel E;
BorelSpace E
Tactic: borelize E F
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_1) f (Measure.map X μ)
hg : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_2) g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB :
  ∀ (x : E) (y : F),
    (↑c : ℝ) * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ norm.{u_7} (E := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) x : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) y : G)
this :
  let this := borel E;
  BorelSpace E
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have this₁ : let this := borel F;
BorelSpace F
Tactic: borelize E F
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_1) f (Measure.map X μ)
hg : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_2) g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB :
  ∀ (x : E) (y : F),
    (↑c : ℝ) * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ norm.{u_7} (E := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) x : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) y : G)
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
this_2 : MeasurableSpace F := borel F
this_3 : BorelSpace F
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have hfXgY : (f ∘ X) ⟂ᵢ[μ] g ∘ Y
Tactic: have hfXgY := (hXY.comp₀ hX hY hf.aemeasurable hg.aemeasurable)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Probability.Independence.Integration (hypothesis)
Goal:
Ω : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
𝓧 : Type u_3
𝓨 : Type u_4
E : Type u_5
F : Type u_6
G : Type u_7
inst_1 : MeasurableSpace 𝓧
inst_2 : MeasurableSpace 𝓨
inst_3 : NormedAddCommGroup E
inst_4 : NormedSpace ℝ E
inst_5 : NormedSpace 𝕜 E
inst_6 : CompleteSpace E
inst_7 : NormedAddCommGroup F
inst_8 : NormedSpace ℝ F
inst_9 : NormedSpace 𝕜 F
inst_10 : CompleteSpace F
inst_11 : NormedAddCommGroup G
inst_12 : NormedSpace ℝ G
inst_13 : NormedSpace 𝕜 G
inst_14 : CompleteSpace G
X : Ω → 𝓧
Y : Ω → 𝓨
f : 𝓧 → E
g : 𝓨 → F
hXY : X ⟂ᵢ[μ] Y
hX : AEMeasurable X μ
hY : AEMeasurable Y μ
hf : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_1) f (Measure.map X μ)
hg : AEStronglyMeasurable (m₀ := inst_2) g (Measure.map Y μ)
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
c : ℝ≥0
hc : c ≠ 0
hB :
  ∀ (x : E) (y : F),
    (↑c : ℝ) * ‖x‖ * ‖y‖ ≤ norm.{u_7} (E := G) ((((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) x : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) y : G)
this : MeasurableSpace E := borel E
this_1 : BorelSpace E
this_2 : MeasurableSpace F := borel F
this_3 : BorelSpace F
hfXgY : (f ∘ X) ⟂ᵢ[μ] g ∘ Y
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := G) (∫ (ω : Ω), (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (f (X ω)) : F →L[𝕜] G) : (a : F) → G) (g (Y ω)) ∂μ : G)
    (((B : (a : E) → F →L[𝕜] G) (∫ (ω : Ω), f (X ω) ∂μ) : (a : F) → G) (∫ (ω : Ω), g (Y ω) ∂μ) : G)
have hfX : AEStronglyMeasurable (f ∘ X) μ
Tactic: have hfX := (hf.comp_aemeasurable hX)