-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Category.CompHaus.Basic (goal)
Goal:
X : TopCat
Y : CompHaus
f :
  (↑((stoneCechObj X).toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u) →
    (↑(Y.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)
hf : Continuous f
x : (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))) : Type u)
⊢ Eq (α := (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ (category fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
            (fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
              C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
            (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
              (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
            _ _ (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
            (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))
            ((fun (f : X ⟶ compHausToTop.obj Y) ↦
                (ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) { toFun := stoneCechExtend ⋯, continuous_toFun := ⋯ } :
                  Quiver.Hom (V := CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
                    (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
                    (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))))
              ((fun (f : stoneCechObj X ⟶ Y) ↦
                  TopCat.ofHom
                    {
                      toFun :=
                        Function.comp (β :=
                          (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                              (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
                            (stoneCechObj X))
                          (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                                C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                                  (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                                (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                                (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
                            (a :
                                (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u))
                                  (stoneCechObj X)) →
                              (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
                          stoneCechUnit,
                      continuous_toFun := ⋯ : C((↑X : Type u), (↑Y.1 : Type u)) })
                { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } })) :
          (a : (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u))).toTop : Type u)) →
            (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (↑Y.1 : Type u)).toTop : Type u))
        x :
      (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
    ((@ConcreteCategory.hom _ (category fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
            (fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
              C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
            (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
              (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
            _ _ (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
            (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))
            { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } } :
          (a : (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u))).toTop : Type u)) →
            (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (↑Y.1 : Type u)).toTop : Type u))
        x :
      (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
have h : Eq (α :=
  (x :
      (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))) :
        Type u)) →
    (↑(toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))) : Type u))
  (⇑(@ConcreteCategory.hom _ (category fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
        (fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
        (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
        _ _ (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
        (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))
        ((fun (f : X ⟶ compHausToTop.obj Y) ↦
            (ofHom (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) { toFun := stoneCechExtend sorry, continuous_toFun := sorry } :
              Quiver.Hom (V := CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
                (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
                (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))))
          ((fun (f : stoneCechObj X ⟶ Y) ↦
              TopCat.ofHom
                {
                  toFun :=
                    Function.comp (β :=
                      (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                          (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
                        (stoneCechObj X))
                      (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                            C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
                              (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
                            (CC := fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
                            (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)) f) :
                        (a : (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) (stoneCechObj X)) →
                          (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat) ↦ True) ↦ (↑X.toTop : Type u)) Y)
                      stoneCechUnit,
                  continuous_toFun := sorry : C((↑X : Type u), (↑Y.1 : Type u)) })
            { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } }))) :
    (a : (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u))).toTop : Type u)) →
      (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (↑Y.1 : Type u)).toTop : Type u))
  (⇑(@ConcreteCategory.hom _ (category fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)
        (fun (x1 x2 : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦
          C((↑(x1.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u),
            (↑(x2.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u)))
        (fun (X : CompHausLike fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) ↦ (↑(X.toTop (P := fun (x : TopCat.{u}) ↦ True)) : Type u))
        _ _ (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u)))
        (of (fun (x : TopCat.{u}) ↦ True) (↑Y.1 : Type u))
        { hom := { hom' := { toFun := f, continuous_toFun := hf } } }) :
    (a : (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (StoneCech (↑X : Type u))).toTop : Type u)) →
      (↑(of (fun (x : TopCat) ↦ True) (↑Y.1 : Type u)).toTop : Type u))
Tactic: refine congr_fun ?_ x