awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst : Semiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
P : Submodule R M
b : Basis.{u_1, u_3, u_5} ι R ↥P
x : M
⊢ x ∈ P ↔ ∃ (c : ι →₀ R), x = c.sum fun (i : ι) (x : R) ↦ HSMul.hSMul (β := M) x (↑((b : (a : ι) → ↥P) i) : M)
have conv_lhs : Membership.mem (γ := Submodule R M)
    (LinearMap.range (M := ι →₀ R)
      (linearCombination R (comp (β := ↥P) (⇑P.subtype : (a : ↥P) → M) (⇑b : (a : ι) → ↥P))))
    x ↔
  ∃ (c : ι →₀ R), x = c.sum fun (i : ι) (x : R) ↦ HSMul.hSMul (β := M) x (↑((b : (a : ι) → ↥P) i) : M)
Tactic: conv_lhs =>
    rw [← P.range_subtype, ← Submodule.map_top, ← b.span_eq, Submodule.map_span, ← Set.range_comp,
        ← Finsupp.range_linearCombination]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsDomain R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m = 0
⊢ N = ⊥
have rw : ∀ x ∈ N, x = 0
Tactic: rw [Submodule.eq_bot_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsDomain R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m = 0
x : M
hx : x ∈ N
⊢ x = 0
have contrapose! : ∀ (x_ne : x ≠ 0), ∃ (m : ℕ) (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) ∧ m ≠ 0
Tactic: contrapose! rank_eq with x_ne
Cleared hypotheses: rank_eq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsDomain R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∃ (m : ℕ) (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) ∧ m ≠ 0
have refine : LinearIndependent.{0, u_3, u_5} (ι := Fin 1) R (M := M)
  (Function.comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N)) fun (x_1 : Fin 1) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x hx)
Tactic: refine ⟨1, fun _ => ⟨x, hx⟩, ?_, one_ne_zero⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsDomain R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ LinearIndependent.{0, u_3, u_5} (ι := Fin 1) R (M := M)
    (Function.comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N)) fun (x_1 : Fin 1) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x hx)
have rw : ∀ (g : Fin 1 → R),
  Eq.{u_5 + 1} (α := M)
      (∑ i : Fin 1,
        HSMul.hSMul (β := M) (g i)
          (Function.comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
            (fun (x_1 : Fin 1) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x hx) i))
      0 →
    ∀ (i : Fin 1), g i = 0
Tactic: rw [Fintype.linearIndependent_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst : Ring R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : IsDomain R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
sum_eq :
  Eq.{u_5 + 1} (α := M)
    (∑ i : Fin 1,
      HSMul.hSMul (β := M) (g i)
        (Function.comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
          (fun (x_1 : Fin 1) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x hx) i))
    0
i : Fin 1
⊢ g i = 0
have sum_eq₁ : HSMul.hSMul (β := M) (g 0)
    (Function.comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
      (fun (x_1 : Fin 1) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x hx) 0) =
  0
Tactic: simp only [Fin.default_eq_zero, Finset.univ_unique,
    Finset.sum_singleton] at sum_eq
Cleared hypotheses: sum_eq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n
⊢ P N
have haveI : (this : DecidableEq M) → P N
Tactic: haveI : DecidableEq M := Classical.decEq M
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
⊢ P ⊥
have a : (N' : Submodule R M) →
  N' ≤ ⊥ → (x : M) → Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N'
Tactic: apply ih
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N_1 : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N_1), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N_1) ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
N : Submodule R M
h : N ≤ ⊥
x : M
x_mem : Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ P N
have a : False
Tactic: exfalso
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N_1 : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N_1), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N_1) ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
N : Submodule R M
h : N ≤ ⊥
x : M
x_mem : Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊥ x
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N, c • x + y = 0 → c = 0
⊢ False
have x_mem₁ : x = 0
Tactic: rw [mem_bot] at x_mem
Cleared hypotheses: x_mem, x_ortho
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
⊢ P N
have have : (Pbot : P ⊥) → P N
Tactic: have Pbot : P ⊥ := by
    apply ih
    intro N _ x x_mem x_ortho
    exfalso
    rw [mem_bot] at x_mem
    simpa [x_mem] using x_ortho 1 0 N.zero_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ 0
⊢ P N
have zero : N = ⊥
Tactic: suffices N = ⊥ by rwa [this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
⊢ P N
have succ : (N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N'
Tactic: apply ih
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
⊢ P N'
have succ : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N'), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) → m ≤ n
Tactic: apply rank_ih
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
⊢ m ≤ n
have succ : LinearIndependent.{0, u_3, u_5} (ι := Fin m.succ) R (M := M)
  (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) sorry))
Tactic: refine Nat.succ_le_succ_iff.mp (rank_le (Fin.cons ⟨x, x_mem⟩ fun i => ⟨v i, N'_le (v i).2⟩) ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
⊢ LinearIndependent.{0, u_3, u_5} (ι := Fin m.succ) R (M := M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
        Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯))
have h : Eq.{u_5 + 1} (α := Fin m.succ → M)
  (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) sorry))
  (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v))
Tactic: convert! hli.finCons' x _ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
h :
  Eq.{u_5 + 1} (α := Fin m.succ → M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
        Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯))
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v))
⊢ LinearIndependent.{0, u_3, u_5} (ι := Fin m.succ) R (M := M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
        Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯))
have succ : ∀ (c : R) (y : M),
  Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v))) y →
    c • x + y = 0 → c = 0
Tactic: convert! hli.finCons' x _ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := Fin m.succ → M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
        Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯))
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v))
have h : ∀ (i : Fin m.succ),
  Eq.{u_5 + 1} (α := M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) sorry)
        i :
      M)
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) i : M)
Tactic: ext i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
i : Fin m.succ
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯)
        i :
      M)
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) i : M)
have h : Eq.{u_5 + 1} (α := M)
  (comp (α := Fin m.succ) (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
      (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
        Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) sorry)
      0 :
    M)
  (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) 0 : M)
Tactic: refine Fin.cases ?_ ?_ i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
i : Fin m.succ
h :
  Eq.{u_5 + 1} (α := M)
    (comp (α := Fin m.succ) (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯)
        0 :
      M)
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) 0 : M)
⊢ Eq.{u_5 + 1} (α := M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) ⋯)
        i :
      M)
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) i : M)
have h₁ : ∀ (i : Fin m),
  Eq.{u_5 + 1} (α := M)
    (comp (β := ↥N) (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N))
        (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ ↥N) (Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) x x_mem) fun (i : Fin m) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) (↑(v i) : M) sorry)
        i.succ :
      M)
    (Fin.cons (α := fun (a : Fin m.succ) ↦ M) x (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) i.succ : M)
Tactic: refine Fin.cases ?_ ?_ i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
n : ℕ
rank_ih :
  (N : Submodule R M) →
    (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n) →
      P N
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n + 1
N' : Submodule R M
N'_le : N' ≤ N
x : M
x_mem : x ∈ N
x_ortho : ∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0
m : ℕ
v : Fin m → ↥N'
hli : LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v)
c : R
y : M
hy : Membership.mem (γ := Submodule R M) (span R (range (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v))) y
hc : c • x + y = 0
⊢ c = 0
have succ : range (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N') ∘ v) ⊆ (↑N' : Set M)
Tactic: refine x_ortho c y (Submodule.span_le.mpr ?_ hy) hc
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Basis.Submodule (goal)
Goal:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
b_1 : ι → M
b : Basis ι R M
P : Submodule R M → Sort u_7
ih :
  (N : Submodule R M) →
    ((N' : Submodule R M) → N' ≤ N → (x : M) → x ∈ N → (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) → P N') → P N
n : ℕ
N : Submodule R M
rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ n
this : DecidableEq M
Pbot : P ⊥
⊢ P N
have zero : (N : Submodule R M) →
  (rank_le : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val (p := fun (x : M) ↦ x ∈ N) ∘ v) → m ≤ 0) → P N
Tactic: induction n generalizing N with
  | zero =>
    suffices N = ⊥ by rwa [this]
    apply Basis.eq_bot_of_rank_eq_zero b _ fun m hv => Nat.le_zero.mp (rank_le _ hv)
  | succ n rank_ih =>
    apply ih
    intro N' N'_le x x_mem x_ortho
    apply rank_ih
    intro m v hli
    refine Nat.succ_le_succ_iff.mp (rank_le (Fin.cons ⟨x, x_mem⟩ fun i => ⟨v i, N'_le (v i).2⟩) ?_)
    convert! hli.finCons' x _ ?_
    · ext i
      refine Fin.cases ?_ ?_ i <;> simp
    · intro c y hy hc
      refine x_ortho c y (Submodule.span_le.mpr ?_ hy) hc
      rintro _ ⟨z, rfl⟩
      exact (v z).2
Cleared hypotheses: n, N, rank_le