-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Affine.Point (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Affine F
x y : F
h : W.Nonsingular x y
Y_rw :
  HSub.hSub (α := F[X][Y]) (β := F[X][Y]) Y ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) ((C : (a : F) → F[X]) y) : F[X][Y]) *
        HSub.hSub (α := F[X][Y]) (β := F[X][Y]) Y
          ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) ((C : (a : F) → F[X]) (W.negY x y)) : F[X][Y]) -
      HMul.hMul (α := F[X][Y])
        ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) (HSub.hSub (α := F[X]) (β := F[X]) X ((C : (a : F) → F[X]) x : F[X])) : F[X][Y])
        (HSub.hSub (α := F[X][Y])
          ((C : (a : F[X]) → F[X][Y])
              (HAdd.hAdd (β := F[X])
                (HPow.hPow (α := F[X]) (β := ℕ) X 2 +
                  HMul.hMul (α := F[X]) (β := F[X]) ((C : (a : F) → F[X]) (x + W.a₂) : F[X]) X)
                ((C : (a : F) → F[X]) (HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + W.a₂ * x + W.a₄) : F[X])) :
            F[X][Y])
          (HMul.hMul (α := F[X][Y]) (β := F[X][Y]) ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) ((C : (a : F) → F[X]) W.a₁) : F[X][Y])
            Y)) =
    HMul.hMul (α := F[X][Y]) W.polynomial 1
⊢ HMul.hMul (α := Ideal W.CoordinateRing) (XYIdeal W x ((C : (a : F) → F[X]) (W.negY x y)))
      (XYIdeal W x ((C : (a : F) → F[X]) y)) =
    XIdeal W x
have simp_rw : HMul.hMul (α := Ideal W.CoordinateRing)
    (span
      (singleton (α := W.CoordinateRing)
        ((mk W : (a : F[X][Y]) → W.CoordinateRing)
            ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) (HSub.hSub (α := F[X]) (β := F[X]) X ((C : (a : F) → F[X]) x : F[X]))) :
          W.CoordinateRing)))
    (span
      (insert (α := W.CoordinateRing)
        ((mk W : (a : F[X][Y]) → W.CoordinateRing)
            ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) (HSub.hSub (α := F[X]) (β := F[X]) X ((C : (a : F) → F[X]) x : F[X]))) :
          W.CoordinateRing)
        (insert (α := W.CoordinateRing)
          ((mk W : (a : F[X][Y]) → W.CoordinateRing)
              (HSub.hSub (α := F[X][Y]) (β := F[X][Y]) Y
                ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) ((C : (a : F) → F[X]) y) : F[X][Y])) :
            W.CoordinateRing)
          (insert (α := W.CoordinateRing)
            ((mk W : (a : F[X][Y]) → W.CoordinateRing)
                (HSub.hSub (α := F[X][Y]) (β := F[X][Y]) Y
                  ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) ((C : (a : F) → F[X]) (W.negY x y)) : F[X][Y])) :
              W.CoordinateRing)
            (singleton (α := W.CoordinateRing)
              ((AdjoinRoot.mk W.polynomial : (a : F[X][Y]) → AdjoinRoot W.polynomial)
                  (HSub.hSub (α := F[X][Y])
                    ((C : (a : F[X]) → F[X][Y])
                        (HAdd.hAdd (β := F[X])
                          (HPow.hPow (α := F[X]) (β := ℕ) X 2 +
                            HMul.hMul (α := F[X]) (β := F[X]) ((C : (a : F) → F[X]) (x + W.a₂) : F[X]) X)
                          ((C : (a : F) → F[X]) (HPow.hPow (β := ℕ) x 2 + W.a₂ * x + W.a₄) : F[X])) :
                      F[X][Y])
                    (HMul.hMul (α := F[X][Y]) (β := F[X][Y])
                      ((C : (a : F[X]) → F[X][Y]) ((C : (a : F) → F[X]) W.a₁) : F[X][Y]) Y)) :
                AdjoinRoot (R := F[X]) W.polynomial)))))) =
  XIdeal W x
Tactic: simp_rw [XYIdeal, XClass, YClass, span_pair_mul_span_pair, mul_comm, ← map_mul,
    AdjoinRoot.mk_eq_mk.mpr ⟨1, Y_rw⟩, map_mul, span_insert, ← span_singleton_mul_span_singleton,
    ← Ideal.mul_sup, ← span_insert]