awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
⊢ False
have card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
Tactic: have card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL := by
    contrapose! hLK
    haveI := @Fintype.ofFinite _ (lt_aleph0_iff_finite.mp hLK)
    rw [bL.repr.toEquiv.cardinal_eq, mk_finsupp_of_fintype,
        ← MulOpposite.opEquiv.cardinal_eq] at card_K ⊢
    apply power_nat_le
    contrapose! card_K
    exact (power_lt_aleph0 card_K natCast_lt_aleph0).le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
⊢ False
have inr : ∀ (e : ℕ ↪ ιL), False
Tactic: obtain ⟨e⟩ := lift_mk_le'.mp (card_ιL.trans_eq (lift_uzero #ιL).symm)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
⊢ False
have rep_e : Eq (α := ℕ → K)
  ((Finsupp.linearCombination K (⇑bK : (a : ιK) → ℕ → K) : (a : ιK →₀ K) → ℕ → K)
      ((bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL)) : ιK →₀ K) :
    ℕ → K)
  (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL) : ℕ → K)
Tactic: have rep_e := bK.linearCombination_repr (bL ∘ e)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    ((Finsupp.linearCombination K (⇑bK : (a : ιK) → ℕ → K) : (a : ιK →₀ K) → ℕ → K)
        ((bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL)) :
          ιK →₀ K) :
      ℕ → K)
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL) : ℕ → K)
⊢ False
have rep_e₁ : Eq (α := ℕ → K)
  (∑
    a ∈
      Finsupp.support (M := K)
        ((bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))),
    HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K)
      ((((bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL)) :
              ιK →₀ K) :
            (a : ιK) → K)
          a :
        K)
      ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
  (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
Tactic: rw [Finsupp.linearCombination_apply, Finsupp.sum] at rep_e
Cleared hypotheses: rep_e
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := (bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
s : Finset ιK := c.support
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
h : LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
⊢ False
have this₁ : lift.{u, 0} #ℕ ≤ lift.{0, u} (Module.rank (↥L)ᵐᵒᵖ ((j : ↥s) → ↥L))
Tactic: have := h.cardinal_lift_le_rank
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := (bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
s : Finset ιK := c.support
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
h : LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
this : lift.{u, 0} #ℕ ≤ lift.{0, u} (Module.rank (↥L)ᵐᵒᵖ ((j : ↥s) → ↥L))
⊢ False
have this₁ : lift.{u, 0} #ℕ ≤ (↑(Fintype.card.{u} ↥s) : Cardinal.{u})
Tactic: rw [lift_uzero, (LinearEquiv.piCongrRight fun _ ↦ MulOpposite.opLinearEquiv Lᵐᵒᵖ).rank_eq,
        rank_fun'] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := (bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
s : Finset ιK := c.support
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
⊢ False
have this₁ : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
Tactic: have : ¬LinearIndependent Lᵐᵒᵖ f := fun h ↦ by
    have := h.cardinal_lift_le_rank
    rw [lift_uzero, (LinearEquiv.piCongrRight fun _ ↦ MulOpposite.opLinearEquiv Lᵐᵒᵖ).rank_eq,
        rank_fun'] at this
    exact natCast_lt_aleph0.not_ge this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := (bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
s : Finset ιK := c.support
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
⊢ False
have inr : ∀ (t : Finset ℕ) (g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ) (eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0) (i : ℕ) (hi : i ∈ t)
  (hgi : g i ≠ 0), False
Tactic: obtain ⟨t, g, eq0, i, hi, hgi⟩ := not_linearIndependent_iff.mp this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := (bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
s : Finset ιK := c.support
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
⊢ False
have inr : Eq.{u + 1} (α := K)
  (∑ i ∈ t, HSMul.hSMul (β := K) (g i) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL) i)) 0
Tactic: refine hgi (linearIndependent_iff'.mp (bL.linearIndependent.comp e e.injective) t g ?_ i hi)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K := (bK.repr : (a : ℕ → K) → ιK →₀ K) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
s : Finset ιK := c.support
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ i ∈ t, HSMul.hSMul (β := K) (g i) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL) i)) 0
have inr : ∀ (c : ιK →₀ K) (s : Finset ιK)
  (rep_e :
    Eq (α := ℕ → K)
      (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
      (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))),
  let f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L := fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦
    Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) sorry;
  ∀ (this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f) (t : Finset ℕ) (g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ)
    (eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0) (i : ℕ) (hi : i ∈ t) (hgi : g i ≠ 0),
    Eq.{u + 1} (α := K)
      (∑ i ∈ t, HSMul.hSMul (β := K) (g i) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL) i)) 0
Tactic: clear_value c s
Cleared hypotheses: c, s, rep_e, f, this, t, g, eq0, i, hi, hgi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ i ∈ t, HSMul.hSMul (β := K) (g i) (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL) i)) 0
have inr : Eq.{u + 1} (α := K)
  (∑ x ∈ t,
    ∑ x_1 ∈ s, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) x_1 : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) x_1 x : K))
  0
Tactic: simp_rw [← rep_e, Finset.sum_apply, Pi.smul_apply, Finset.smul_sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ x ∈ t,
      ∑ x_1 ∈ s, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) x_1 : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) x_1 x : K))
    0
have inr : Eq (α := K)
  (∑ y ∈ s, ∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) y : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) y x : K)) 0
Tactic: rw [Finset.sum_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0
i : ℕ
hi : i ∈ t
hgi : g i ≠ 0
⊢ Eq (α := K)
    (∑ y ∈ s, ∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) y : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) y x : K))
    0
have inr : ∀ (i : ιK) (hi : i ∈ s),
  Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) i : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) i x : K)) 0
Tactic: refine Finset.sum_eq_zero fun i hi ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
eq0 : Eq.{u + 1} (α := (j : ↥s) → ↥L) (∑ i ∈ t, g i • f i) 0
i_1 : ℕ
hi_1 : i_1 ∈ t
hgi : g i_1 ≠ 0
i : ιK
hi : i ∈ s
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) i : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) i x : K)) 0
have eq0₁ : Eq (α := K) ((L.subtype : (a : ↥L) → K) ((∑ i ∈ t, g i • f i) (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
  ((L.subtype : (a : ↥L) → K) (0 (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
Tactic: replace eq0 := congr_arg L.subtype (congr_fun eq0 ⟨i, hi⟩)
Cleared hypotheses: eq0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i_1 : ℕ
hi_1 : i_1 ∈ t
hgi : g i_1 ≠ 0
i : ιK
hi : i ∈ s
eq0 :
  Eq (α := K) ((L.subtype : (a : ↥L) → K) ((∑ i ∈ t, g i • f i) (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
    ((L.subtype : (a : ↥L) → K) (0 (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) i : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) i x : K)) 0
have eq0₁ : Eq (α := K) (∑ x ∈ t, (L.subtype : (a : ↥L) → K) ((g x • f x) (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
  ((L.subtype : (a : ↥L) → K) (0 (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
Tactic: rw [Finset.sum_apply, map_sum] at eq0
Cleared hypotheses: eq0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (hypothesis)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i_1 : ℕ
hi_1 : i_1 ∈ t
hgi : g i_1 ≠ 0
i : ιK
hi : i ∈ s
eq0 :
  Eq (α := K) (∑ x ∈ t, (L.subtype : (a : ↥L) → K) ((g x • f x) (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
    ((L.subtype : (a : ↥L) → K) (0 (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) i : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) i x : K)) 0
have this₁ : SMulCommClass (↥L)ᵐᵒᵖ K K
Tactic: have : SMulCommClass Lᵐᵒᵖ K K := ⟨fun _ _ _ ↦ mul_assoc _ _ _⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Dimension.ErdosKaplansky (goal)
Goal:
K : Type u
inst : DivisionRing K
aleph0_le : ℵ₀ ≤ Module.rank K (ℕ → K)
card_K : ℵ₀ < #K
this_1 : Module.rank K (ℕ → K) < #K
ιK : Type u
bK : Module.Basis ιK K (ℕ → K)
L : Subfield K := Subfield.closure (Set.range fun (i : ιK × ℕ) ↦ (bK : (a : ιK) → ℕ → K) i.1 i.2)
hLK : #↥L < #K
this_2 : Module (↥L)ᵐᵒᵖ K := Module.compHom (R := Kᵐᵒᵖ) K ((RingHom.op : (a : ↥L →+* K) → (↥L)ᵐᵒᵖ →+* Kᵐᵒᵖ) L.subtype)
ιL : Type u
bL : Module.Basis ιL (↥L)ᵐᵒᵖ K
card_ιL : ℵ₀ ≤ #ιL
e : ℕ ↪ ιL
c : ιK →₀ K
s : Finset ιK
rep_e :
  Eq (α := ℕ → K)
    (∑ a ∈ s, HSMul.hSMul (α := K) (β := ℕ → K) ((c : (a : ιK) → K) a : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) a : ℕ → K))
    (Function.comp (β := ιL) (⇑bL : (a : ιL) → K) (⇑e : (a : ℕ) → ιL))
f : (i : ℕ) → (j : ↥s) → ↥L :=
  fun (i : ℕ) (j : ↥s) ↦ Subtype.mk (p := fun (x : K) ↦ x ∈ L) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) (↑j : ιK) i) ⋯
this_3 : ¬LinearIndependent (↥L)ᵐᵒᵖ f
t : Finset ℕ
g : ℕ → (↥L)ᵐᵒᵖ
i_1 : ℕ
hi_1 : i_1 ∈ t
hgi : g i_1 ≠ 0
i : ιK
hi : i ∈ s
eq0 :
  Eq (α := K) (∑ x ∈ t, (L.subtype : (a : ↥L) → K) ((g x • f x) (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
    ((L.subtype : (a : ↥L) → K) (0 (Subtype.mk (p := fun (x : ιK) ↦ x ∈ s) i hi)) : K)
this : SMulCommClass (↥L)ᵐᵒᵖ K K
⊢ Eq.{u + 1} (α := K)
    (∑ x ∈ t, g x • HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) i : K) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) i x : K)) 0
have inr : HSMul.hSMul (α := K) (β := K) ((c : (a : ιK) → K) i : K)
    (∑ x ∈ t, HSMul.hSMul (β := K) (g x) ((bK : (a : ιK) → ℕ → K) i x : K)) =
  0
Tactic: simp_rw [smul_comm _ (c i), ← Finset.smul_sum]