-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Subspace (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : SeminormedAddCommGroup E
inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E
ι : Type u_4
G : ι → Type u_5
inst_3 : (i : ι) → NormedAddCommGroup (G i)
inst_4 : (i : ι) → InnerProductSpace.{u_1, u_5} 𝕜 (G i)
V : (i : ι) → LinearIsometry.{u_1, u_1, u_5, u_2} (RingHom.id 𝕜) (G i) E
hV : OrthogonalFamily 𝕜 G V
inst_5 : CompleteSpace E
f : (i : ι) → G i
hf :
  ∀ ε > 0,
    ∃ (N : Finset ι),
      ∀ (m : Finset ι),
        N ≤ m →
          ∀ (n : Finset ι),
            N ≤ n → |HSub.hSub (α := ℝ) (∑ i ∈ m, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ n, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2)| < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
hε' : 0 < HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 / 2
a : Finset ι
H :
  ∀ (m : Finset ι),
    a ≤ m →
      ∀ (n : Finset ι),
        a ≤ n →
          |HSub.hSub (α := ℝ) (∑ i ∈ m, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ n, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2)| <
            HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 / 2
s₁ : Finset ι
hs₁ : a ≤ s₁
s₂ : Finset ι
hs₂ : a ≤ s₂
has : a ≤ s₁ ⊓ s₂
Hs₁ : ∑ x ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f x‖ 2 < HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 / 2
Hs₂ : ∑ x ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f x‖ 2 < HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 / 2
linarith :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    2 / 2 = 1
linarith₂ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₃ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₄ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₅ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    2 / 2 = 1
linarith₆ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₇ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₈ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    1 * HPow.hPow (α := ℝ) (β := ℕ) 1 2 = 1
linarith₉ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    2 / 2 = 1
linarith₁₀ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₁₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
      HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
    GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) <
    HPow.hPow (β := ℕ) ε 2
have linarith₁₂ : HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 ≤
    HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) →
  HMul.hMul (α := ℝ) 2 (∑ x ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f x‖ 2) - 1 * HPow.hPow (β := ℕ) (1 * ε) 2 +
        (HMul.hMul (α := ℝ) 2 (∑ x ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f x‖ 2) - 1 * HPow.hPow (β := ℕ) (1 * ε) 2) +
      2 *
        (HPow.hPow (β := ℕ) ε 2 -
          HAdd.hAdd (α := ℝ) (∑ i ∈ s₁ \ s₂, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2) (∑ i ∈ s₂ \ s₁, HPow.hPow (β := ℕ) ‖f i‖ 2)) =
    0
Tactic: linarith