-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Stalk (goal)
Goal:
C : Type u_1
inst : SmallCategory C
inst_1 : IsFiltered C
R : C ⥤ RingCat
M : C ⥤ Ab
inst_2 : (i : C) → Module.{u_2, u_3} (↑(R.obj i) : Type u_2) (↑(M.obj i) : Type u_3)
H :
  ∀ {i j : C} (f : i ⟶ j) (r : (↑(R.obj i) : Type u_2)) (m : (↑(M.obj i) : Type u_3)),
    (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (M.map f) :
          (a : (↑(M.obj i) : Type u_3)) → (↑(M.obj j) : Type u_3))
        (r • m) =
      HSMul.hSMul (α := (↑(R.obj j) : Type u_2)) (β := (↑(M.obj j) : Type u_3))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                RingCat.carrier) (R.map f) :
              (a : (↑(R.obj i) : Type u_2)) → (↑(R.obj j) : Type u_2))
            r :
          (↑(R.obj j) : Type u_2))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                AddCommGrpCat.carrier) (M.map f) :
              (a : (↑(M.obj i) : Type u_3)) → (↑(M.obj j) : Type u_3))
            m :
          (↑(M.obj j) : Type u_3))
r :
  (R ⋙
      forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
        RingCat.carrier)).ColimitType
m :
  (M ⋙
      forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
        AddCommGrpCat.carrier)).ColimitType
⊢ (M ⋙
      forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
        AddCommGrpCat.carrier)).ColimitType
have refine_1 : ∀
  (a :
    (j : C) ×
      (R ⋙
            forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
              RingCat.carrier)).obj
        j)
  (b₁ b₂ :
    (j : C) ×
      (M ⋙
            forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier)).obj
        j),
  (M ⋙
          forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier)).ColimitTypeRel
      b₁ b₂ →
    Eq (α :=
      (M ⋙
          forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier)).ColimitType)
      ((fun
            (Ua :
              (j : C) ×
                (R ⋙
                      forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                        RingCat.carrier)).obj
                  j)
            (Vb :
              (j : C) ×
                (M ⋙
                      forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                        AddCommGrpCat.carrier)).obj
                  j) ↦
          (M ⋙
                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier)).ιColimitType
            (IsFiltered.max
              (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                (R ⋙
                      forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                        RingCat.carrier)).obj
                  j))
              (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                (M ⋙
                      forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                        AddCommGrpCat.carrier)).obj
                  j)))
            (HSMul.hSMul (α :=
              (↑(R.obj
                    (IsFiltered.max
                      (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (R ⋙
                              forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                (CC := RingCat.carrier)).obj
                          j))
                      (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (M ⋙
                              forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                                (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                          j)))) :
                Type u_2))
              (β :=
              (↑(M.obj
                    (IsFiltered.max
                      (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (R ⋙
                              forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                (CC := RingCat.carrier)).obj
                          j))
                      (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (M ⋙
                              forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                                (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                          j)))) :
                Type u_3))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                      RingCat.carrier) (Y :=
                      R.obj
                        (IsFiltered.max
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j))))
                      (R.map
                        (leftToMax
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j)))) :
                    (a : (↑(R.obj Ua.fst) : Type u_2)) → (↑(R.obj (IsFiltered.max Ua.fst Vb.fst)) : Type u_2))
                  (Ua.snd (β := fun (j : C) ↦
                    (R ⋙
                          forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                            RingCat.carrier)).obj
                      j)) :
                (↑(R.obj
                      (IsFiltered.max
                        (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (R ⋙
                                forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                  (CC := RingCat.carrier)).obj
                            j))
                        (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (M ⋙
                                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                  (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                            j)))) :
                  Type u_2))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                      (CC := AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                      M.obj
                        (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (M ⋙
                                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                  (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                            j)))
                      (Y :=
                      M.obj
                        (IsFiltered.max
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j))))
                      (M.map
                        (rightToMax
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j)))) :
                    (a : (↑(M.obj Vb.fst) : Type u_3)) → (↑(M.obj (IsFiltered.max Ua.fst Vb.fst)) : Type u_3))
                  (Vb.snd (β := fun (j : C) ↦
                    (M ⋙
                          forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                            (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                      j)) :
                (↑(M.obj
                      (IsFiltered.max
                        (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (R ⋙
                                forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                  (CC := RingCat.carrier)).obj
                            j))
                        (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (M ⋙
                                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                  (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                            j)))) :
                  Type u_3))))
        a b₁)
      ((fun
            (Ua :
              (j : C) ×
                (R ⋙
                      forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                        RingCat.carrier)).obj
                  j)
            (Vb :
              (j : C) ×
                (M ⋙
                      forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                        AddCommGrpCat.carrier)).obj
                  j) ↦
          (M ⋙
                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier)).ιColimitType
            (IsFiltered.max
              (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                (R ⋙
                      forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                        RingCat.carrier)).obj
                  j))
              (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                (M ⋙
                      forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC :=
                        AddCommGrpCat.carrier)).obj
                  j)))
            (HSMul.hSMul (α :=
              (↑(R.obj
                    (IsFiltered.max
                      (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (R ⋙
                              forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                (CC := RingCat.carrier)).obj
                          j))
                      (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (M ⋙
                              forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                                (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                          j)))) :
                Type u_2))
              (β :=
              (↑(M.obj
                    (IsFiltered.max
                      (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (R ⋙
                              forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                (CC := RingCat.carrier)).obj
                          j))
                      (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                        (M ⋙
                              forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                                (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                          j)))) :
                Type u_3))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                      RingCat.carrier) (Y :=
                      R.obj
                        (IsFiltered.max
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j))))
                      (R.map
                        (leftToMax
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j)))) :
                    (a : (↑(R.obj Ua.fst) : Type u_2)) → (↑(R.obj (IsFiltered.max Ua.fst Vb.fst)) : Type u_2))
                  (Ua.snd (β := fun (j : C) ↦
                    (R ⋙
                          forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2)) (CC :=
                            RingCat.carrier)).obj
                      j)) :
                (↑(R.obj
                      (IsFiltered.max
                        (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (R ⋙
                                forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                  (CC := RingCat.carrier)).obj
                            j))
                        (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (M ⋙
                                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                  (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                            j)))) :
                  Type u_2))
              ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                      (CC := AddCommGrpCat.carrier) (X :=
                      M.obj
                        (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (M ⋙
                                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                  (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                            j)))
                      (Y :=
                      M.obj
                        (IsFiltered.max
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j))))
                      (M.map
                        (rightToMax
                          (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (R ⋙
                                  forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                    (CC := RingCat.carrier)).obj
                              j))
                          (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                            (M ⋙
                                  forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                    (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                              j)))) :
                    (a : (↑(M.obj Vb.fst) : Type u_3)) → (↑(M.obj (IsFiltered.max Ua.fst Vb.fst)) : Type u_3))
                  (Vb.snd (β := fun (j : C) ↦
                    (M ⋙
                          forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦ (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3))
                            (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                      j)) :
                (↑(M.obj
                      (IsFiltered.max
                        (Ua.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (R ⋙
                                forget RingCat (FC := fun (R S : RingCat.{u_2}) ↦ (↑R : Type u_2) →+* (↑S : Type u_2))
                                  (CC := RingCat.carrier)).obj
                            j))
                        (Vb.fst (β := fun (j : C) ↦
                          (M ⋙
                                forget Ab (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{u_3}) ↦
                                  (↑x1 : Type u_3) →+ (↑x2 : Type u_3)) (CC := AddCommGrpCat.carrier)).obj
                            j)))) :
                  Type u_3))))
        a b₂)
Tactic: refine Quot.liftOn₂ r m (fun Ua Vb ↦ Functor.ιColimitType _ (max Ua.1 Vb.1) <|
    letI a : R.obj (max Ua.1 Vb.1) := R.map (leftToMax Ua.1 Vb.1) Ua.2
    letI b : M.obj (max Ua.1 Vb.1) := M.map (rightToMax Ua.1 Vb.1) Vb.2
    a • b) ?_ ?_