awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (goal)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) x hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            x hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have refine_1 : ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) 0),
  Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              0 hx) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) 0
          hx) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
Tactic: refine Finsupp.induction x ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (goal)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) 0
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              0 hx) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) 0
          hx) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have refine_1 : Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
  (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
          ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
        (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) 0
        hx) :
    ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
  ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) 0
            hx) :
        R[M]) :
    ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (hypothesis)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              (Finsupp.single m b + y) hmby) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
          (Finsupp.single m b + y) hmby) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
Tactic: have : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support := by
      simpa only [Finsupp.support_single _ hb, Finset.disjoint_singleton_left]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (hypothesis)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              (Finsupp.single m b + y) hmby) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
          (Finsupp.single m b + y) hmby) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have hmby₁ : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i} ∧
  (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
Tactic: rw [mem_gradeBy_iff, Finsupp.support_add_eq this, Finset.coe_union, Set.union_subset_iff]
      at hmby
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (hypothesis)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby_1 : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
hmby :
  (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i} ∧
    (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              (Finsupp.single m b + y) hmby_1) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
          (Finsupp.single m b + y) hmby_1) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have h1 : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
Tactic: obtain ⟨h1, h2⟩ := hmby
Cleared hypotheses: hmby
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (hypothesis)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby_1 : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
hmby :
  (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i} ∧
    (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
h1 : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              (Finsupp.single m b + y) hmby_1) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
          (Finsupp.single m b + y) hmby_1) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
Tactic: obtain ⟨h1, h2⟩ := hmby
Cleared hypotheses: hmby
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (goal)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
h1 : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
⊢ (f : (a : M) → ι) m = i
have rwa : ∀ (h1 : (↑{m} : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i})
  (h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}), (f : (a : M) → ι) m = i
Tactic: rwa [Finsupp.support_single _ hb, Finset.coe_singleton, Set.singleton_subset_iff]
        at h1
Cleared hypotheses: h1, h2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (goal)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
h1 : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
rwa :
  ∀ (h1 : (↑{m} : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i})
    (h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}), (f : (a : M) → ι) m = i
⊢ (f : (a : M) → ι) m = i
have rwa₁ : ∀ (h1 : Subset (α := Set M) {m} (Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}))
  (h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}), (f : (a : M) → ι) m = i
Tactic: rwa [Finsupp.support_single _ hb, Finset.coe_singleton, Set.singleton_subset_iff]
        at h1
Cleared hypotheses: h1, h2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (goal)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
h1 : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
rwa :
  ∀ (h1 : (↑{m} : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i})
    (h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}), (f : (a : M) → ι) m = i
rwa₁ :
  ∀ (h1 : Subset (α := Set M) {m} (Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}))
    (h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}), (f : (a : M) → ι) m = i
⊢ (f : (a : M) → ι) m = i
have rwa₂ : ∀ (h1 : Membership.mem (γ := Set M) (Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}) m)
  (h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}), (f : (a : M) → ι) m = i
Tactic: rwa [Finsupp.support_single _ hb, Finset.coe_singleton, Set.singleton_subset_iff]
        at h1
Cleared hypotheses: h1, h2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.MonoidAlgebra.Grading (hypothesis)
Goal:
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst : AddMonoid M
inst_1 : DecidableEq ι
inst_2 : AddMonoid ι
inst_3 : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih :
  ∀ (hx : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) y),
    Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦
                Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x) y hx) :
            R[M]) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
      (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
              ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
            (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
          (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
            y hx) :
        ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
hmby : Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) (Finsupp.single m b + y)
this : Disjoint (Finsupp.support (Finsupp.single m b)) y.support
h1 : (↑(Finsupp.support (Finsupp.single m b)) : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
h2 : (↑y.support : Set M) ⊆ Set.preimage (β := ι) (⇑f : (a : M) → ι) {i}
⊢ Eq (α := ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    ((decomposeAux f : (a : R[M]) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
              (Finsupp.single m b + y) hmby) :
          R[M]) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
    (((DirectSum.of (fun (i : ι) ↦ ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) i :
            ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) →+ ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) :
          (a : ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i)) → ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
        (Subtype.mk (p := fun (x : R[M]) ↦ Membership.mem (γ := Submodule R R[M]) (gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i) x)
          (Finsupp.single m b + y) hmby) :
      ⨁ (i : ι), ↥(gradeBy R (⇑f : (a : M) → ι) i))
have this₁ : (f : (a : M) → ι) m = i
Tactic: have : f m = i := by
      rwa [Finsupp.support_single _ hb, Finset.coe_singleton, Set.singleton_subset_iff]
        at h1