awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
inst_4 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f :
  LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k))
    (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
f1 :
  ∃ (a : M),
    Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
      ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)
this :
  Membership.mem (γ := Submodule R M) (R ∙ z)
    (p ^ k •
      f1.choose (p := fun (a : M) ↦
        Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
          ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)))
a : R
ha :
  p ^ k •
      f1.choose (p := fun (a : M) ↦
        Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
          ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)) =
    p ^ k • a • z
rw :
  HSub.hSub (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
      (Submodule.Quotient.mk
        (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))))
      (Submodule.Quotient.mk (a • z)) =
    (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
rw₁ :
  Submodule.Quotient.mk
        (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))) -
      HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) a (Submodule.Quotient.mk z) =
    (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
⊢ Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
    (Submodule.Quotient.mk
      (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)) -
        a • z))
    ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)
have rw₂ : Submodule.Quotient.mk
      (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
        Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
          ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))) -
    HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) a 0 =
  (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
Tactic: rw [mk_sub, mk_smul, (Quotient.mk_eq_zero _).mpr <| Submodule.mem_span_singleton_self _,
    smul_zero, sub_zero, f1.choose_spec]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
inst_4 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f :
  LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k))
    (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
f1 :
  ∃ (a : M),
    Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
      ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)
this :
  Membership.mem (γ := Submodule R M) (R ∙ z)
    (p ^ k •
      f1.choose (p := fun (a : M) ↦
        Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
          ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)))
a : R
ha :
  p ^ k •
      f1.choose (p := fun (a : M) ↦
        Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
          ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)) =
    p ^ k • a • z
rw :
  HSub.hSub (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
      (Submodule.Quotient.mk
        (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))))
      (Submodule.Quotient.mk (a • z)) =
    (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
rw₁ :
  Submodule.Quotient.mk
        (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))) -
      HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) a (Submodule.Quotient.mk z) =
    (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
rw₂ :
  Submodule.Quotient.mk
        (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))) -
      HSMul.hSMul (β := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) a 0 =
    (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
⊢ Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
    (Submodule.Quotient.mk
      (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
          Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
            ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)) -
        a • z))
    ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1)
have rw₃ : HSub.hSub (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z))
    (Submodule.Quotient.mk
      (f1.choose (p := fun (a : M) ↦
        Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ z)) (Submodule.Quotient.mk a)
          ((f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1))))
    0 =
  (f : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k) → M ⧸ R ∙ z) 1
Tactic: rw [mk_sub, mk_smul, (Quotient.mk_eq_zero _).mpr <| Submodule.mem_span_singleton_self _,
    smul_zero, sub_zero, f1.choose_spec]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
inst_4 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
h' : Module.Finite R M
⊢ ∃ (d : ℕ) (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have obtain : ∀ (d : ℕ) (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
  ∃ (d : ℕ) (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: obtain ⟨d, s, hs⟩ := @Module.Finite.exists_fin _ _ _ _ _ h'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst_2 : AddCommGroup M
inst_3 : Module R M
inst_4 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
h' : Module.Finite R M
d : ℕ
s : Fin d → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
⊢ ∃ (d : ℕ) (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h : ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: use d
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
⊢ ∃ (k : Fin 0 → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin 0), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h : Nonempty
  (M ≃ₗ[R]
    ⨁ (i : Fin 0),
      HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
        (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))
Tactic: use finZeroElim
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (hypothesis)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
⊢ Nonempty
    (M ≃ₗ[R]
      ⨁ (i : Fin 0),
        HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
          (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))
have hs₁ : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
Tactic: rw [Set.range_eq_empty, Submodule.span_empty] at hs
Cleared hypotheses: hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
x : M
⊢ x = default
have dsimp : x = 0
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
x : M
⊢ x = 0
have rw : Membership.mem (γ := Submodule R M) ⊤ x
Tactic: rw [← Submodule.mem_bot R, hs]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → M
hs : Eq.{v + 1} (α := Submodule R M) ⊥ ⊤
⊢ Nonempty
    (M ≃ₗ[R]
      ⨁ (i : Fin 0),
        HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
          (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))
have h : ∀ (this : Unique M),
  Nonempty
    (M ≃ₗ[R]
      ⨁ (i : Fin 0),
        HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R)
          (R ∙ HPow.hPow (β := ℕ) p (finZeroElim (α := fun (a : Fin 0) ↦ ℕ) i : ℕ)))
Tactic: haveI : Unique M :=
      ⟨⟨0⟩, fun x => by dsimp; rw [← Submodule.mem_bot R, hs]; exact Submodule.mem_top⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h : ∀ (this : (x : M) → Decidable (x = 0)),
  ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: have : ∀ x : M, Decidable (x = 0) := fun _ => by classical infer_instance
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h : ∀ (j : Fin d.succ) (hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))),
  ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: obtain ⟨j, hj⟩ := exists_isTorsionBy hM d.succ d.succ_ne_zero s hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h : ∀
  (this :
    ∃ (k : Fin d → ℕ),
      Nonempty
        (LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
          (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))),
  ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: have := IH ?_ s' ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
h :
  ∀
    (this :
      ∃ (k : Fin d → ℕ),
        Nonempty
          (LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
            (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))),
    ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
      Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h₁ : IsTorsion'.{v, u} (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) ↥(Submonoid.powers p)
Tactic: have := IH ?_ s' ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
h :
  ∀
    (this :
      ∃ (k : Fin d → ℕ),
        Nonempty
          (LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
            (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))),
    ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
      Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
h₁ : IsTorsion'.{v, u} (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) ↥(Submonoid.powers p)
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h₂ : Eq (α := Submodule R (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))) (Submodule.span R (Set.range s')) ⊤
Tactic: have := IH ?_ s' ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {M : Type v} [inst_5 : AddCommGroup M] [inst_6 : Module R M] (hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p))
    (s : Fin d → M) (hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤),
    ∃ (k : Fin d → ℕ), Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this_1 : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
this :
  ∃ (k : Fin d → ℕ),
    Nonempty
      (LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
        (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)))
⊢ ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have h : ∀ (k : Fin d → ℕ)
  (f :
    LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
      (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))),
  ∃ (k : Fin (d + 1) → ℕ),
    Nonempty (M ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: obtain ⟨k, ⟨f⟩⟩ := this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
⊢ ∃ (x : M),
    p ^ k i • x = 0 ∧
      Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                  ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
              (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
            1 :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have obtain : ∀ (x : M) (h0 : p ^ k i • x = 0)
  (h1 :
    Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
      ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)),
  ∃ (x : M),
    p ^ k i • x = 0 ∧
      Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                  ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
              (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
            1 :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: obtain ⟨x, h0, h1⟩ := exists_smul_eq_zero_and_mk_eq hp hM hj fi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Module.PID (goal)
Goal:
R : Type u
inst : CommRing R
inst_1 : IsPrincipalIdealRing R
inst_2 : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
M : Type v
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
hM : IsTorsion'.{v, u} M ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → M
hs : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R (Set.range s)) ⊤
this : (x : M) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM (s j))
s' : Fin d → HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j) := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f :
  LinearEquiv.{u, u, v, u} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j))
    (⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
i : Fin d
fi : LinearMap.{u, u, u, v} (RingHom.id R) (HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) :=
  (↑f.symm : (⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) →ₗ[R] M ⧸ R ∙ s j) ∘ₗ
    DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i
x : M
h0 : p ^ k i • x = 0
h1 :
  Eq (α := HasQuotient.Quotient M (B := Submodule R M) (R ∙ s j)) (Submodule.Quotient.mk x)
    ((fi : (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → M ⧸ R ∙ s j) 1)
⊢ ∃ (x : M),
    p ^ k i • x = 0 ∧
      Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
        (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
                HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
                  ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
              (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
            1 :
          ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
have refine : Eq.{u + 1} (α := ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  ((f : (a : M ⧸ R ∙ s j) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i) (Submodule.Quotient.mk x) :
    ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
  (((DirectSum.lof R (Fin d) (fun (i : Fin d) ↦ HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) i :
          HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i) →ₗ[R]
            ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i)) :
        (a : R ⧸ R ∙ p ^ k i) → ⨁ (i : Fin d), R ⧸ R ∙ p ^ k i)
      1 :
    ⨁ (i : Fin d), HasQuotient.Quotient R (B := Submodule R R) (R ∙ p ^ k i))
Tactic: refine ⟨x, h0, ?_⟩