-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
S : Type s
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
W' : Projective R
f : R →+* S
P Q : Fin 3 → R
⊢ (W'.map f).negAddY ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) = (f : (a : R) → S) (W'.negAddY P Q)
have simp : -3 * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x) 2 * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x *
                                      ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y +
                                    HMul.hMul (α := S) 3 (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x) *
                                        HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x) 2 *
                                      ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y -
                                  HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y) 2 *
                                      ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y *
                                    ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z +
                                ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y *
                                    HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y) 2 *
                                  ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z +
                              (W'.map f).a₁ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x *
                                  HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y) 2 *
                                ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z -
                            (W'.map f).a₁ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x *
                                HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y) 2 *
                              ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z -
                          (W'.map f).a₂ * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x) 2 *
                              ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y *
                            ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z +
                        (W'.map f).a₂ * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x) 2 *
                            ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y *
                          ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z +
                      2 * (W'.map f).a₂ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x *
                          ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y *
                        ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z -
                    2 * (W'.map f).a₂ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x *
                        ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y *
                      ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z -
                  (W'.map f).a₃ * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y) 2 *
                    HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 +
                (W'.map f).a₃ * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y) 2 *
                  HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 +
              (W'.map f).a₄ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y *
                HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 -
            2 * (W'.map f).a₄ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z *
              ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z +
          2 * (W'.map f).a₄ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z *
            ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z -
        (W'.map f).a₄ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) x * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y *
          HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 +
      3 * (W'.map f).a₆ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) y * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z *
        HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z) 2 -
    3 * (W'.map f).a₆ * ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) y * HPow.hPow (α := S) (β := ℕ) (((⇑f : (a : R) → S) ∘ P) z) 2 *
      ((⇑f : (a : R) → S) ∘ Q) z =
  (f : (a : R) → S)
    (-3 * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * Q y + 3 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y -
                                    HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q y * Q z +
                                  P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z +
                                W'.a₁ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z -
                              W'.a₁ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z -
                            W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q y * Q z +
                          W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y * P z +
                        2 * W'.a₂ * P x * Q x * P y * Q z -
                      2 * W'.a₂ * P x * Q x * Q y * P z -
                    W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                  W'.a₃ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₄ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
              2 * W'.a₄ * P x * Q y * P z * Q z +
            2 * W'.a₄ * Q x * P y * P z * Q z -
          W'.a₄ * Q x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
        3 * W'.a₆ * P y * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
      3 * W'.a₆ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z)
Tactic: simp only [negAddY]