-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.Ring.FinitePresentation (hypothesis)
Goal:
J : Type uJ
inst : Category.{vJ, uJ} J
inst_1 : IsFiltered.{vJ, uJ} J
R : CommRingCat
F : CategoryTheory.Functor.{vJ, u, uJ, u + 1} J CommRingCat
α : Functor.obj (Functor.const J) R ⟶ F
S : CommRingCat
c : Cocone F
hc : IsColimit c
inst_2 :
  PreservesColimit F
    (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
      CommRingCat.carrier))
g : S ⟶ c.pt
hc' :
  IsColimit (F :=
    F ⋙
      forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier))
    (Functor.mapCocone
      (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
        CommRingCat.carrier))
      c)
n : ℕ
P : CommRingCat := CommRingCat.of (MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u))
iP : R ⟶ P := CommRingCat.ofHom MvPolynomial.C
π : P ⟶ S
hg : ∀ (i : J), (iP ≫ π) ≫ g = α.app i ≫ c.ι.app i
this : Algebra (↑R : Type u) (↑S : Type u) := (CommRingCat.Hom.hom (iP ≫ π)).toAlgebra
hn :
  ∃ (f : MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u) →ₐ[(↑R : Type u)] (↑S : Type u)),
    Function.Surjective (α := MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u)) (β := (↑S : Type u))
        (⇑f : (a : MvPolynomial (Fin n) (↑R : Type u)) → (↑S : Type u)) ∧
      Ideal.FG (ker f.toRingHom)
hπ :
  Function.Surjective (α := (↑P : Type u)) (β := (↑S : Type u))
    (⇑(ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
          CommRingCat.carrier) π) :
      (a : (↑P : Type u)) → (↑S : Type u))
s : Finset (↑P : Type u)
hs : Eq (α := Ideal (↑P : Type u)) (Ideal.span (↑s : Set (↑P : Type u))) (ker (CommRingCat.Hom.hom π))
i : J
g' : P ⟶ F.obj i
hg' : π ≫ g = g' ≫ c.ι.app i
hg'' : iP ≫ g' = α.app i
r : ↥s
⊢ ∃ (i' : J) (hi' : i ⟶ i'),
    Eq (α := (↑(F.obj i') : Type u))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (F.map hi') :
            (a : (↑(F.obj i) : Type u)) → (↑(F.obj i') : Type u))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) g' :
                (a : (↑P : Type u)) → (↑(F.obj i) : Type u))
              (↑r : (↑P : Type u)) :
            (↑(F.obj i) : Type u)) :
        (↑(F.obj i') : Type u))
      (0 : (↑(F.obj i') : Type u))
have this₁ : Eq (α :=
    (fun (X : Type u) ↦ X)
      (Functor.obj.{vJ, u, uJ, u + 1}
        (Functor.obj (Functor.const J)
          (Cocone.pt (F :=
            F ⋙
              forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier))
            (Functor.mapCocone
              (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier))
              c)))
        i))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (NatTrans.app
              (Cocone.ι
                (Functor.mapCocone
                  (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier))
                  c))
              i) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj i)) →
            (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj ((forget CommRingCat).mapCocone c).pt).obj i))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) g' :
              (a : (↑P : Type u)) → (↑(F.obj i) : Type u))
            (↑r : (↑P : Type u)) :
          (↑(F.obj i) : Type u)) :
      (fun (X : Type u) ↦ X)
        (Functor.obj.{vJ, u, uJ, u + 1}
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (Cocone.pt (F :=
              F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier))
              (Functor.mapCocone
                (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier))
                c)))
          i))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
            (NatTrans.app
              (Cocone.ι
                (Functor.mapCocone
                  (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                    CommRingCat.carrier))
                  c))
              i) :
          (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj i)) →
            (fun (X : Type u) ↦ X) (((Functor.const J).obj ((forget CommRingCat).mapCocone c).pt).obj i))
        0 :
      (fun (X : Type u) ↦ X)
        (Functor.obj.{vJ, u, uJ, u + 1}
          (Functor.obj (Functor.const J)
            (Cocone.pt (F :=
              F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier))
              (Functor.mapCocone
                (forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier))
                c)))
          i)) ↔
  ∃ (k : J) (f : i ⟶ k) (g : i ⟶ k),
    Eq (α :=
      (fun (X : Type u) ↦ X)
        ((F ⋙
              forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier)).obj
          k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              ((F ⋙
                    forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier)).map
                f) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj i)) →
              (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj k))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) g' :
                (a : (↑P : Type u)) → (↑(F.obj i) : Type u))
              (↑r : (↑P : Type u)) :
            (↑(F.obj i) : Type u)) :
        (fun (X : Type u) ↦ X)
          ((F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier)).obj
            k))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := TypeCat.Fun)
              ((F ⋙
                    forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                      CommRingCat.carrier)).map
                g) :
            (a : (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj i)) →
              (fun (X : Type u) ↦ X) ((F ⋙ forget CommRingCat).obj k))
          0 :
        (fun (X : Type u) ↦ X)
          ((F ⋙
                forget CommRingCat (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier)).obj
            k))
Tactic: have := Types.FilteredColimit.isColimit_eq_iff _ hc' (xi := g' r) (j := i) (xj := (0 : F.obj i))