-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.CurveIntegral.Poincare (hypothesis)
Goal:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedAddCommGroup F
inst_2 : NormedSpace ℝ E
inst_3 : NormedSpace ℝ F
a b c d : E
γ₁ : Path a b
γ₂ : Path c d
s : Set ((↑I : Type) × (↑I : Type))
t : Set E
ω : E → E →L[ℝ] F
dω : E → E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
φ : Homotopy (↑γ₁ : C((↑I : Type), E)) (↑γ₂ : C((↑I : Type), E))
hs : s.Countable
hφt :
  ∀ (a_1 : (↑I : Type)),
    Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) a_1 →
      ∀ (b_1 : (↑I : Type)),
        Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) b_1 →
          Membership.mem (α := E) t ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1) : E)
hω :
  ∀ (a_1 : (↑I : Type)),
    Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) a_1 →
      ∀ (b_1 : (↑I : Type)),
        Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) b_1 →
          (a_1, b_1) ∉ s →
            HasFDerivWithinAt ω (dω ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1))) t
              ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1))
hωc : ContinuousOn ω (closure[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] t)
hdω_symm :
  ∀ (a_1 : (↑I : Type)),
    Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) a_1 →
      ∀ (b_1 : (↑I : Type)),
        Membership.mem (γ := Set (↑I : Type)) (Ioo 0 1) b_1 →
          (a_1, b_1) ∉ s →
            ∀ u ∈ tangentConeAt ℝ t ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1)),
              ∀ v ∈ tangentConeAt ℝ t ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1)),
                Eq.{u_3 + 1} (α := F)
                  ((((dω ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1)) : (a : E) → E →L[ℝ] F) u : E →L[ℝ] F) :
                        (a : E) → F)
                      v :
                    F)
                  ((((dω ((φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1)) : (a : E) → E →L[ℝ] F) v : E →L[ℝ] F) :
                        (a : E) → F)
                      u :
                    F)
U : Set (ℝ × ℝ) := SProd.sprod (α := Set ℝ) (β := Set ℝ) (Ioo 0 1) (Ioo 0 1)
hU : U = SProd.sprod (α := Set ℝ) (β := Set ℝ) (Ioo 0 1) (Ioo 0 1)
hinterior : interior (Icc 0 1) = U
hunique : UniqueDiffOn ℝ (E := ℝ × ℝ) (Icc 0 1)
hUopen : IsOpen U
hU_subset : U ⊆ Icc 0 1
hclosure : closure U = Icc 0 1
ψ : ℝ × ℝ → E :=
  fun (xy : ℝ × ℝ) ↦
    Set.IccExtend (a := 0) (b := 1) ⋯
      (⇑((φ.extend : (a : ℝ) → C((↑I : Type), E)) xy.1 : C((↑I : Type), E)) : (a : (↑I : Type)) → E) xy.2
hcontdiff : ContDiffOn ℝ 2 ψ (Icc 0 1)
hψ :
  ψ = fun (xy : ℝ × ℝ) ↦
    Set.IccExtend (a := 0) (b := 1) ⋯
      (⇑((φ.extend : (a : ℝ) → C((↑I : Type), E)) xy.1 : C((↑I : Type), E)) : (a : (↑I : Type)) → E) xy.2
hψφ : ∀ (a_1 b_1 : (↑I : Type)), ψ ((↑a_1 : ℝ), (↑b_1 : ℝ)) = (φ : (a : (↑I : Type) × (↑I : Type)) → E) (a_1, b_1)
hψ_cont : Continuous[_, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] ψ
⊢ HAdd.hAdd (α := F) (∫ᶜ (x : E) in γ₁, ω x) (∫ᶜ (x : E) in φ.evalAt 1, ω x) =
    HAdd.hAdd (α := F) (∫ᶜ (x : E) in γ₂, ω x) (∫ᶜ (x : E) in φ.evalAt 0, ω x)
have hψUt : MapsTo ψ U t
Tactic: have hψUt : MapsTo ψ U t := by
    rintro ⟨a, b⟩ ⟨ha, hb⟩
    lift a to I using Ioo_subset_Icc_self ha
    lift b to I using Ioo_subset_Icc_self hb
    simpa [hψφ] using hφt a ha b hb