awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.TopologicallyNilpotent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : TopologicalSpace R
inst_1 : Ring R
inst_2 : IsLinearTopology Rᵐᵒᵖ R
a b : R
ha : IsTopologicallyNilpotent a
hab : Commute a b
⊢ IsTopologicallyNilpotent (a * b)
have simp_rw : Tendsto.{0, u_1} (β := R) (fun (x : ℕ) ↦ a ^ x * b ^ x) atTop (𝓝 0)
Tactic: simp_rw [IsTopologicallyNilpotent, hab.mul_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.TopologicallyNilpotent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : TopologicalSpace R
inst_1 : Ring R
inst_2 : IsLinearTopology R R
a b : R
hb : IsTopologicallyNilpotent b
hab : Commute a b
⊢ IsTopologicallyNilpotent (a * b)
have simp_rw : Tendsto.{0, u_1} (β := R) (fun (x : ℕ) ↦ a ^ x * b ^ x) atTop (𝓝 0)
Tactic: simp_rw [IsTopologicallyNilpotent, hab.mul_pow]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.TopologicallyNilpotent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : TopologicalSpace R
inst_1 : Ring R
inst_2 : IsLinearTopology R R
a b : R
ha : IsTopologicallyNilpotent a
hb : IsTopologicallyNilpotent b
h : Commute a b
⊢ IsTopologicallyNilpotent (a + b)
have simp : ∀ (ib : Ideal R),
  Membership.mem (γ := Filter R) (𝓝 0) (↑ib : Set R) → ∃ (ia : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ici ia, (a + b) ^ x ∈ (↑ib : Set R)
Tactic: simp only [IsTopologicallyNilpotent, atTop_basis.tendsto_iff IsLinearTopology.hasBasis_ideal,
    true_and]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.TopologicallyNilpotent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : TopologicalSpace R
inst_1 : Ring R
inst_2 : IsLinearTopology R R
a b : R
ha : IsTopologicallyNilpotent a
hb : IsTopologicallyNilpotent b
h : Commute a b
I : Ideal R
I_mem_nhds : Membership.mem (γ := Filter R) (𝓝 0) (↑I : Set R)
⊢ ∃ (ia : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ici ia, (a + b) ^ x ∈ (↑I : Set R)
have obtain : ∀ (na : ℕ) (ha : a ^ na ∈ (↑I : Set R)), ∃ (ia : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ici ia, (a + b) ^ x ∈ (↑I : Set R)
Tactic: obtain ⟨na, ha⟩ := ha.exists_pow_mem_of_mem_nhds I_mem_nhds
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.TopologicallyNilpotent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : TopologicalSpace R
inst_1 : Ring R
inst_2 : IsLinearTopology R R
a b : R
ha_1 : IsTopologicallyNilpotent a
hb : IsTopologicallyNilpotent b
h : Commute a b
I : Ideal R
I_mem_nhds : Membership.mem (γ := Filter R) (𝓝 0) (↑I : Set R)
na : ℕ
ha : a ^ na ∈ (↑I : Set R)
⊢ ∃ (ia : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ici ia, (a + b) ^ x ∈ (↑I : Set R)
have obtain : ∀ (nb : ℕ) (hb : b ^ nb ∈ (↑I : Set R)), ∃ (ia : ℕ), ∀ x ∈ Set.Ici ia, (a + b) ^ x ∈ (↑I : Set R)
Tactic: obtain ⟨nb, hb⟩ := hb.exists_pow_mem_of_mem_nhds I_mem_nhds
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ContinuousAt hatInv x
have refine : ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ (c : hat K), Tendsto (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 x)) (𝓝 c)
Tactic: refine isDenseInducing_coe.continuousAt_extend ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (x : hat K) in 𝓝 x, ∃ (c : hat K), Tendsto (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 x)) (𝓝 c)
have apply : Subset (α := Set (hat K)) {0}ᶜ
  {x : hat K |
    (fun (x : hat K) ↦ ∃ (c : hat K), Tendsto (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
Tactic: apply mem_of_superset (compl_singleton_mem_nhds h)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : Membership.mem (γ := Set (hat K)) {0}ᶜ y
⊢ Membership.mem (γ := Set (hat K))
    {x : hat K |
      (fun (x : hat K) ↦ ∃ (c : hat K), Tendsto (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
    y
have y_ne₁ : y ≠ 0
Tactic: rw [mem_compl_singleton_iff] at y_ne
Cleared hypotheses: y_ne
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ Membership.mem (γ := Set (hat K))
    {x : hat K |
      (fun (x : hat K) ↦ ∃ (c : hat K), Tendsto (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 x)) (𝓝 c)) x}
    y
have a : Cauchy (α := hat K) (map (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 y)))
Tactic: apply CompleteSpace.complete
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
⊢ Cauchy (α := hat K) (map (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 y)))
have this : Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
Tactic: have : (fun (x : K) => (↑x⁻¹ : hat K)) =
      ((fun (y : K) => (↑y : hat K)) ∘ (fun (x : K) => (x⁻¹ : K))) := by
    simp [Function.comp_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
⊢ Cauchy (α := hat K) (map (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) (Filter.comap coe' (𝓝 y)))
have a : Cauchy (α := hat K) (map (fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) (map (fun (x : K) ↦ x⁻¹) (Filter.comap coe' (𝓝 y))))
Tactic: rw [this, ← Filter.map_map]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
⊢ Cauchy (α := hat K) (map (fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) (map (fun (x : K) ↦ x⁻¹) (Filter.comap coe' (𝓝 y))))
have apply : Cauchy (α := K) (map (fun (x : K) ↦ x⁻¹) (Filter.comap coe' (𝓝 y)))
Tactic: apply Cauchy.map _ (Completion.uniformContinuous_coe K)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
⊢ Cauchy (α := K) (map (fun (x : K) ↦ x⁻¹) (Filter.comap coe' (𝓝 y)))
have a : Cauchy (Filter.comap coe' (𝓝 y))
Tactic: apply CompletableTopField.nice
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
a : Cauchy (Filter.comap coe' (𝓝 y))
⊢ Cauchy (α := K) (map (fun (x : K) ↦ x⁻¹) (Filter.comap coe' (𝓝 y)))
have a₁ : 𝓝 0 ⊓ Filter.comap coe' (𝓝 y) = ⊥
Tactic: apply CompletableTopField.nice
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
⊢ Cauchy (Filter.comap coe' (𝓝 y))
have this₁ : (Filter.comap coe' (𝓝 y)).NeBot
Tactic: haveI := isDenseInducing_coe.comap_nhds_neBot y
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this_1 :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
this : (Filter.comap coe' (𝓝 y)).NeBot
⊢ Cauchy (Filter.comap coe' (𝓝 y))
have a : Filter.comap (β := hat K × hat K) (fun (p : K × K) ↦ ((↑p.1 : hat K), (↑p.2 : hat K))) (uniformity (hat K)) ≤
  uniformity K
Tactic: apply cauchy_nhds.comap
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this_1 :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
this : (Filter.comap coe' (𝓝 y)).NeBot
⊢ Filter.comap (β := hat K × hat K) (fun (p : K × K) ↦ ((↑p.1 : hat K), (↑p.2 : hat K))) (uniformity (hat K)) ≤
    uniformity K
have a : uniformity K ≤ uniformity K
Tactic: rw [Completion.comap_coe_eq_uniformity]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
⊢ 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
have by_contra : ∀ (h : ¬𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥), False
Tactic: by_contra h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
⊢ 𝓝 0 ⊓ Filter.comap coe' (𝓝 y) = ⊥
have eq_bot : 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
Tactic: have eq_bot : 𝓝 (0 : hat K) ⊓ 𝓝 y = ⊥ := by
      by_contra h
      exact y_ne (eq_of_nhds_neBot <| neBot_iff.mpr h).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
eq_bot : 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
⊢ 𝓝 0 ⊓ Filter.comap coe' (𝓝 y) = ⊥
have a : Filter.comap coe' (𝓝 (↑0 : hat K) ⊓ 𝓝 y) = ⊥
Tactic: rw [isDenseInducing_coe.nhds_eq_comap (0 : K), ← Filter.comap_inf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
eq_bot : 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
⊢ Filter.comap coe' (𝓝 (↑0 : hat K) ⊓ 𝓝 y) = ⊥
have a : Filter.comap coe' (𝓝 0 ⊓ 𝓝 y) = ⊥
Tactic: norm_cast
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : CompletableTopField K
x : hat K
h : x ≠ 0
y : hat K
y_ne : y ≠ 0
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := (x : K) → hat K) (fun (x : K) ↦ (↑x⁻¹ : hat K)) ((fun (y : K) ↦ (↑y : hat K)) ∘ fun (x : K) ↦ x⁻¹)
eq_bot : 𝓝 0 ⊓ 𝓝 y = ⊥
⊢ Filter.comap coe' (𝓝 0 ⊓ 𝓝 y) = ⊥
have a : Eq.{u_1 + 1} (α := Filter K) (Filter.comap (β := hat K) coe' ⊥) ⊥
Tactic: rw [eq_bot]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
x : K
⊢ Eq (α := hat K) (↑x : hat K)⁻¹ (↑x⁻¹ : hat K)
have pos : ∀ (h : x = 0), Eq (α := hat K) (↑x : hat K)⁻¹ (↑x⁻¹ : hat K)
Tactic: by_cases h : x = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
x : K
pos : ∀ (h : x = 0), Eq (α := hat K) (↑x : hat K)⁻¹ (↑x⁻¹ : hat K)
⊢ Eq (α := hat K) (↑x : hat K)⁻¹ (↑x⁻¹ : hat K)
have neg : ∀ (h : ¬x = 0), Eq (α := hat K) (↑x : hat K)⁻¹ (↑x⁻¹ : hat K)
Tactic: by_cases h : x = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
x : K
h : x = 0
⊢ Eq (α := hat K) (↑x : hat K)⁻¹ (↑x⁻¹ : hat K)
have pos : Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) (↑0 : hat K)⁻¹ (↑0 : hat K)
Tactic: rw [h, inv_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
x : K
h : x = 0
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) (if Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) (↑0 : hat K) 0 then 0 else hatInv (↑0 : hat K)) (↑0 : hat K)
have pos : Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) (if Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) 0 0 then 0 else hatInv 0) 0
Tactic: norm_cast
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
x : K
h : ¬x = 0
⊢ Eq (α := hat K) (if Eq (α := hat K) (↑x : hat K) 0 then 0 else hatInv (↑x : hat K)) (↑x⁻¹ : hat K)
have neg : Eq (α := hat K) (hatInv (↑x : hat K)) (↑x⁻¹ : hat K)
Tactic: rw [if_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
x : K
h : ¬x = 0
neg : Eq (α := hat K) (hatInv (↑x : hat K)) (↑x⁻¹ : hat K)
⊢ Eq (α := hat K) (if Eq (α := hat K) (↑x : hat K) 0 then 0 else hatInv (↑x : hat K)) (↑x⁻¹ : hat K)
have neg₁ : ¬Eq (α := hat K) (↑x : hat K) 0
Tactic: rw [if_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
⊢ x * x.hatInv = 1
have this : T1Space.{u_1} (hat K)
Tactic: haveI : T1Space (hat K) := T2Space.t1Space
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
⊢ f x = 1
have cont : ContinuousAt f x
Tactic: have cont : ContinuousAt f x := by fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
⊢ x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
have this₁ : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure (range coe')) x
Tactic: have := isDenseInducing_coe.dense x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this_1 : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
this : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure (range coe')) x
⊢ x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
have this₁ : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure (coe' '' {0} ∪ coe' '' {0}ᶜ)) x
Tactic: rw [← image_univ, show (univ : Set K) = {0} ∪ {0}ᶜ from (union_compl_self _).symm,
      image_union] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this_1 : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
this : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure (coe' '' {0} ∪ coe' '' {0}ᶜ)) x
⊢ x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
have apply : (coe' '' {0})ᶜ ∈ 𝓝 x
Tactic: apply mem_closure_of_mem_closure_union this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this_1 : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
this : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure (coe' '' {0} ∪ coe' '' {0}ᶜ)) x
⊢ (coe' '' {0})ᶜ ∈ 𝓝 x
have rw : {(↑0 : hat K)}ᶜ ∈ 𝓝 x
Tactic: rw [image_singleton]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
⊢ f x = 1
have clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
Tactic: have clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ) := by
    have := isDenseInducing_coe.dense x
    rw [← image_univ, show (univ : Set K) = {0} ∪ {0}ᶜ from (union_compl_self _).symm,
      image_union] at this
    apply mem_closure_of_mem_closure_union this
    rw [image_singleton]
    exact compl_singleton_mem_nhds x_ne
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
⊢ f x = 1
have fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
Tactic: have fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ) := mem_closure_image cont clo
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
⊢ f '' c '' {0}ᶜ ⊆ {1}
have rw : Subset (α := Set (hat K)) ((fun (x : K) ↦ f (c x)) '' {0}ᶜ) {1}
Tactic: rw [image_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
z : K
z_ne : Membership.mem (γ := Set K) {0}ᶜ z
⊢ Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) ((fun (x : K) ↦ f (c x)) z) 1
have z_ne₁ : z ≠ 0
Tactic: rw [mem_compl_singleton_iff] at z_ne
Cleared hypotheses: z_ne
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
z : K
z_ne : z ≠ 0
⊢ c z * (c z).hatInv = 1
have rw : Eq (α := hat K) (↑(z * z⁻¹) : hat K) 1
Tactic: rw [hatInv_extends z_ne, ← coe_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
z : K
z_ne : z ≠ 0
⊢ Eq (α := hat K) (↑(z * z⁻¹) : hat K) 1
have rw : Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) (↑1 : hat K) 1
Tactic: rw [mul_inv_cancel₀ z_ne, coe_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
z : K
z_ne : z ≠ 0
rw : Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) (↑1 : hat K) 1
⊢ Eq (α := hat K) (↑(z * z⁻¹) : hat K) 1
have rw₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := hat K) 1 1
Tactic: rw [mul_inv_cancel₀ z_ne, coe_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
⊢ f x = 1
have this₁ : f '' c '' {0}ᶜ ⊆ {1}
Tactic: have : f '' c '' {0}ᶜ ⊆ {1} := by
    rw [image_image]
    rintro _ ⟨z, z_ne, rfl⟩
    rw [mem_singleton_iff]
    rw [mem_compl_singleton_iff] at z_ne
    dsimp [f]
    rw [hatInv_extends z_ne, ← coe_mul]
    rw [mul_inv_cancel₀ z_ne, coe_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this_1 : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
fxclo : f x ∈ closure (f '' c '' {0}ᶜ)
this : f '' c '' {0}ᶜ ⊆ {1}
⊢ f x = 1
have fxclo₁ : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure {1}) (f x)
Tactic: replace fxclo := closure_mono this fxclo
Cleared hypotheses: fxclo
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this_1 : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
this : f '' c '' {0}ᶜ ⊆ {1}
fxclo : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure {1}) (f x)
⊢ f x = 1
have rwa : ∀ (fxclo : Membership.mem (γ := Set (hat K)) {1} (f x)), f x = 1
Tactic: rwa [closure_singleton, mem_singleton_iff] at fxclo
Cleared hypotheses: fxclo
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.Algebra.UniformField (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : UniformSpace K
inst_2 : IsTopologicalDivisionRing K
inst_3 : CompletableTopField K
inst_4 : IsUniformAddGroup K
x : hat K
x_ne : x ≠ 0
this_1 : T1Space.{u_1} (hat K)
f : (x : hat K) → hat K := fun (x : hat K) ↦ x * x.hatInv
c : (x : K) → hat K := fun (x : K) ↦ (↑x : hat K)
cont : ContinuousAt f x
clo : x ∈ closure (c '' {0}ᶜ)
this : f '' c '' {0}ᶜ ⊆ {1}
fxclo : Membership.mem (γ := Set (hat K)) (closure {1}) (f x)
rwa : ∀ (fxclo : Membership.mem (γ := Set (hat K)) {1} (f x)), f x = 1
⊢ f x = 1
have rwa₁ : ∀ (fxclo : f x = 1), f x = 1
Tactic: rwa [closure_singleton, mem_singleton_iff] at fxclo
Cleared hypotheses: fxclo