awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
have neg₁ : ∀ (n : ℕ),
  Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
    ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
        ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
      n)
    μ
Tactic: refine tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ
neg₁ :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
have neg₂ : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
  Tendsto.{0, u_4} (β := G)
    (fun (n : ℕ) ↦
      (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n x)
    atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x))
Tactic: refine tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ
neg₁ :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ
neg₂ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x))
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
have neg₃ : ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
  Tendsto.{0, u_4} (β := G)
    (fun (n : ℕ) ↦
      (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n x)
    atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)) x))
Tactic: refine tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ
neg₁ :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ
neg₂ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x))
neg₃ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)) x))
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
have neg₄ : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) μ
Tactic: refine tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ
neg₁ :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ
neg₂ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x))
neg₃ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)) x))
neg₄ : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) μ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
have neg₅ : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) μ
Tactic: refine tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
neg :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n)
      μ
neg₁ :
  ∀ (n : ℕ),
    Integrable.{u_4, u_1} (ε := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
        n)
      μ
neg₂ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x))
neg₃ :
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)) x))
neg₄ : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) μ
neg₅ : Integrable (ε := ℝ) (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖μ[g | m] x‖) μ
⊢ EventuallyEq.{u_1, u_4} (β := G) (ae μ)
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) | m]
    μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
have neg₆ : ∀ (n : ℕ),
  ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    norm.{u_4} (E := G)
        ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
          n x) ≤
      (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
Tactic: refine tendsto_condExp_unique (fun n ω ↦ B (fs n ω) (g ω))
    (fun n ω ↦ B (fs n ω) (μ[g | m] ω)) (fun ω ↦ B (f ω) (g ω))
    (fun ω ↦ B (f ω) (μ[g | m] ω)) ?_ ?_ ?_ ?_ (‖B‖ * c * ‖g ·‖) ?_ (‖B‖ * c * ‖(μ[g | m]) ·‖)
    ?_ ?_ ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) x))
have h : ∀ (ω : Ω) (hω : Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))),
  Tendsto.{0, u_4} (β := G)
    (fun (n : ℕ) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G)) atTop
    (𝓝 ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω)) : Filter G)
Tactic: filter_upwards [hfs_tendsto] with ω hω
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
    Tendsto.{0, u_4} (β := G)
      (fun (n : ℕ) ↦
        (fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
            ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
          n x)
      atTop (𝓝 ((fun (ω : Ω) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G)) x))
have h : ∀ (ω : Ω) (hω : Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))),
  Tendsto.{0, u_4} (β := G)
    (fun (n : ℕ) ↦ ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) : G))
    atTop (𝓝 ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)) : Filter G)
Tactic: filter_upwards [hfs_tendsto] with ω hω
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
⊢ ∀ (n : ℕ),
    ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ,
      norm.{u_4} (E := G)
          ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
              ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
            n x) ≤
        (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
have neg : ∀ (n : ℕ) (x : Ω),
  norm.{u_4} (E := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n x) ≤
    (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
Tactic: refine fun n ↦ Eventually.of_forall fun _ ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
x : Ω
⊢ norm.{u_4} (E := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n x) ≤
    (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
have neg : ‖B‖ * norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) x : F) * ‖g x‖ ≤ (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
Tactic: grw [B.le_opNorm₂, hfs_bound]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Function.ConditionalExpectation.PullOut (goal)
Goal:
Ω : Type u_1
m mΩ : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : NormedSpace ℝ F
inst_4 : NormedAddCommGroup G
inst_5 : NormedSpace ℝ G
inst_6 : CompleteSpace G
B : F →L[ℝ] E →L[ℝ] G
inst_7 : CompleteSpace E
hm : m ≤ mΩ
inst_8 : IsFiniteMeasure μ
f : Ω → F
g : Ω → E
hf : StronglyMeasurable f
hg : Integrable g μ
c : ℝ
hf_bound : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖f ω‖ ≤ c
fs : ℕ → SimpleFunc Ω F := hf.approxBounded c
hfs_tendsto : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ (fs x : (a : Ω) → F) ω) atTop (𝓝 (f ω))
hμ : ¬μ = 0
this_1 : (ae μ).NeBot
hc : 0 ≤ c
hfs_bound : ∀ (n : ℕ) (ω : Ω), norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) ω : F) ≤ c
this :
  Eq (α := Ω → G) μ[fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω) | m]
    fun (ω : Ω) ↦ (((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) (f ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (μ[g | m] ω)
n : ℕ
x : Ω
neg : ‖B‖ * norm.{u_3} (E := F) ((fs n : (a : Ω) → F) x : F) * ‖g x‖ ≤ (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
⊢ norm.{u_4} (E := G)
      ((fun (n : ℕ) (ω : Ω) ↦
          ((((B : (a : F) → E →L[ℝ] G) ((fs n : (a : Ω) → F) ω) : E →L[ℝ] G) : (a : E) → G) (g ω) : G))
        n x) ≤
    (fun (x : Ω) ↦ ‖B‖ * c * ‖g x‖) x
have neg₁ : ‖B‖ * c * ‖g x‖ ≤ ‖B‖ * c * ‖g x‖
Tactic: grw [B.le_opNorm₂, hfs_bound]