awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
this : ∀ x ∈ s', ∃ r1 ∈ f x ∩ Ioo 0 1, closedBall x r1 ⊆ v
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
have choose! : ∀ (r1 : (x : α) → ℝ) (hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v),
  ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
Tactic: choose! r1 hr1 using this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
have obtain : ∀ (S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1))
  (S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j))
  (hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)),
  ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
Tactic: obtain ⟨S, S_disj, hS⟩ :
    ∃ S : Fin N → Set s',
      (∀ i : Fin N, (S i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
        range q.c ⊆ ⋃ i : Fin N, ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j) :=
    exist_disjoint_covering_families hτ H q
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
i : Fin N
⊢ (S i).Countable
have apply : ∀ j ∈ S i, (interior (closedBall (q.c j) (q.r j))).Nonempty
Tactic: apply (S_disj i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
i : Fin N
j : (↑s' : Type u_1)
h : j ∈ S i
⊢ (interior (closedBall (q.c j) (q.r j))).Nonempty
have this : (ball (↑j : α) (r1 (↑j : α))).Nonempty
Tactic: have : (ball (j : α) (r1 j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (q.rpos _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
have S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
Tactic: have S_count : ∀ i, (S i).Countable := by
    intro i
    apply (S_disj i).countable_of_nonempty_interior fun j _ => ?_
    have : (ball (j : α) (r1 j)).Nonempty := nonempty_ball.2 (q.rpos _)
    exact this.mono ball_subset_interior_closedBall
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
⊢ x ∉ s'
have simp : x ∈ s → ∃ x_1 ∈ t0, dist x x_1 ≤ r0 x_1
Tactic: simp only [s', not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_lt, not_le,
        mem_diff, not_forall]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
h : x ∈ s
⊢ ∃ x_1 ∈ t0, dist x x_1 ≤ r0 x_1
have refine : dist x x ≤ r0 x
Tactic: refine ⟨x, hx, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
h : x ∈ s
⊢ dist x x ≤ r0 x
have rw : 0 ≤ r0 x
Tactic: rw [dist_self]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
x : α
hx : x ∈ t0
⊢ r x = r0 x
have this : x ∉ s'
Tactic: have : x ∉ s' := by
      simp only [s', not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_lt, not_le,
        mem_diff, not_forall]
      intro _
      refine ⟨x, hx, ?_⟩
      rw [dist_self]
      exact (hr0 x hx).2.1.le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
have r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
Tactic: have r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x := by
    intro x hx
    have : x ∉ s' := by
      simp only [s', not_exists, exists_prop, mem_iUnion, mem_closedBall, not_and, not_lt, not_le,
        mem_diff, not_forall]
      intro _
      refine ⟨x, hx, ?_⟩
      rw [dist_self]
      exact (hr0 x hx).2.1.le
    simp only [r, if_neg this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : SFinite μ
inst_6 : μ.OuterRegular
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
u : Set α
su : u ⊇ s
u_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] u
μu : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) u ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) (ε / 2)
R : (x : α) → ℝ
hR : ∀ x ∈ s, R x > 0 ∧ ball x (R x) ⊆ u
t0 : Set α
r0 : α → ℝ
t0_count : t0.Countable
t0s : t0 ⊆ s
hr0 : ∀ x ∈ t0, r0 x ∈ f x ∩ Ioo 0 (R x)
μt0 : Eq (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)) : ℝ≥0∞) (0 : ℝ≥0∞)
t0_disj : t0.PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r0 x)
s' : Set α := s \ ⋃ x ∈ t0, closedBall x (r0 x)
s's : s' ⊆ s
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
H : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
v : Set α
s'v : v ⊇ s'
v_open : IsOpen[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] v
μv : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) v ≤ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞) (ε / 2 / (↑N : ℝ≥0∞))
r1 : (x : α) → ℝ
hr1 : ∀ x ∈ s', r1 x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ closedBall x (r1 x) ⊆ v
q : BallPackage (↑s' : Type u_1) α :=
  { c := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ (↑x : α), r := fun (x : (↑s' : Type u_1)) ↦ r1 (↑x : α), rpos := ⋯, r_bound := 1,
    r_le := ⋯ }
S : Fin N → Set (↑s' : Type u_1)
S_disj : ∀ (i : Fin N), (S i).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (j : (↑s' : Type u_1)) ↦ closedBall (q.c j) (q.r j)
hS : range q.c ⊆ ⋃ (i : Fin N), ⋃ j ∈ S i, ball (q.c j) (q.r j)
S_count : ∀ (i : Fin N), (S i).Countable
r : (x : α) → ℝ := fun (x : α) ↦ if x ∈ s' then r1 x else r0 x
r_t0 : ∀ x ∈ t0, r x = r0 x
⊢ ∃ (t : Set α) (r : α → ℝ),
    t.Countable ∧
      t ⊆ s ∧
        (∀ x ∈ t, r x ∈ f x) ∧
          s ⊆ ⋃ x ∈ t, closedBall x (r x) ∧
            ∑' (x : (↑t : Type u_1)), (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (closedBall (↑x : α) (r (↑x : α))) ≤
              HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s : ℝ≥0∞) ε
have refine_1 : (t0 ∪ ⋃ (i : Fin N), Subtype.val (p := fun (x : α) ↦ x ∈ s') '' S i).Countable
Tactic: refine ⟨t0 ∪ ⋃ i : Fin N, ((↑) : s' → α) '' S i, r, ?_, ?_, ?_, ?_, ?_⟩