awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
r : AdicCompletion I R
x : AdicCompletion I M
n : ℕ
⊢ (↑(AddHom.toFun
            (toAddHom
              (lift I
                (fun (n : ℕ) ↦
                  (↑R :
                        {S : Type u_1} →
                          {M : Type u_2} →
                            {M₂ : Type u_3} →
                              [inst : Semiring R] →
                                [inst_9 : Semiring S] →
                                  [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                                    [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                                      [inst_12 : Module R M] →
                                        [inst_13 : Module R M₂] →
                                          [inst_14 : Module S M] →
                                            [inst_15 : Module S M₂] →
                                              [CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                      (reduceModIdeal (I ^ n) f) ∘ₗ
                    eval I M n)
                ⋯))
            (r • x)) :
        (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      n =
    (↑(HSMul.hSMul (α := AdicCompletion I R) (β := AdicCompletion I N)
            ((RingHom.id (AdicCompletion I R) : (a : AdicCompletion I R) → AdicCompletion I R) r : AdicCompletion I R)
            (AddHom.toFun
              (toAddHom
                (lift I
                  (fun (n : ℕ) ↦
                    (↑R :
                          {S : Type u_1} →
                            {M : Type u_2} →
                              {M₂ : Type u_3} →
                                [inst : Semiring R] →
                                  [inst_9 : Semiring S] →
                                    [inst_10 : AddCommMonoid M] →
                                      [inst_11 : AddCommMonoid M₂] →
                                        [inst_12 : Module R M] →
                                          [inst_13 : Module R M₂] →
                                            [inst_14 : Module S M] →
                                              [inst_15 : Module S M₂] →
                                                [CompatibleSMul M M₂ R S] → (fₗ : M →ₗ[S] M₂) → M →ₗ[R] M₂)
                        (reduceModIdeal (I ^ n) f) ∘ₗ
                      eval I M n)
                  ⋯))
              x)) :
        (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      n
have h : (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
    ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n • (↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) =
  HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
    ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
r : AdicCompletion I R
x : AdicCompletion I M
n : ℕ
⊢ (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n • (↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) =
    HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
      ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
        N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
have h : (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
    (HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
      ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n)) =
  HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
    ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
Tactic: rw [val_smul_eq_evalₐ_smul, val_smul_eq_evalₐ_smul, map_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
r : AdicCompletion I R
x : AdicCompletion I M
n : ℕ
h :
  (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      (HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
        ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n)) =
    HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
      ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
        N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
⊢ (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n • (↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) =
    HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
      ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
        N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
have h₁ : (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
    (HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
      ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n)) =
  HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
    ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
Tactic: rw [val_smul_eq_evalₐ_smul, val_smul_eq_evalₐ_smul, map_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
T : Type u_5
inst_7 : AddCommGroup T
inst_8 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f : M →ₗ[R] N
r : AdicCompletion I R
x : AdicCompletion I M
n : ℕ
h :
  (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      (HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
        ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n)) =
    HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
      ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
        N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
h₁ :
  (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      (HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
        ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n)) =
    HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
      ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
      ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
        N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
⊢ (reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n • (↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) =
    HSMul.hSMul (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) ((↑r : (n : ℕ) → R ⧸ I ^ n * ⊤) n)
      ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
        N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
have h₂ : HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
    ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤) =
  HSMul.hSMul (α := R ⧸ I ^ n) (β := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    ((evalₐ I n : (a : AdicCompletion I R) → R ⧸ I ^ n) r : R ⧸ I ^ n)
    ((reduceModIdeal (I ^ n) f : (a : M ⧸ I ^ n • ⊤) → N ⧸ I ^ n • ⊤) ((↑x : (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤) n) :
      N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
Tactic: rw [val_smul_eq_evalₐ_smul, val_smul_eq_evalₐ_smul, map_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Sort u_6
f g : AdicCompletion I M → N
h :
  ∀ (a : AdicCauchySequence I M),
    f ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a) =
      g ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)
⊢ f = g
have h₁ : ∀ (x : AdicCompletion I M), f x = g x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
T : Type u_5
inst_3 : AddCommGroup T
inst_4 : Module.{u_1, u_5} (AdicCompletion I R) T
f g : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_5} (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (AdicCompletion I M) T
h :
  ∀ (a : AdicCauchySequence I M),
    Eq.{u_5 + 1} (α := T)
      ((f : (a : AdicCompletion I M) → T)
          ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a : AdicCompletion I M) :
        T)
      ((g : (a : AdicCompletion I M) → T)
          ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a : AdicCompletion I M) :
        T)
⊢ f = g
have h₁ : ∀ (x : AdicCompletion I M),
  Eq.{u_5 + 1} (α := T) ((f : (a : AdicCompletion I M) → T) x : T) ((g : (a : AdicCompletion I M) → T) x : T)
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
f g : LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_3} (RingHom.id R) (AdicCompletion I M) N
h : f ∘ₗ mk I M = g ∘ₗ mk I M
⊢ f = g
have h₁ : ∀ (x : AdicCompletion I M),
  Eq.{u_3 + 1} (α := N) ((f : (a : AdicCompletion I M) → N) x : N) ((g : (a : AdicCompletion I M) → N) x : N)
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α :=
    LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_2} (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (AdicCompletion I M)
      (AdicCompletion I M))
    (map I LinearMap.id) LinearMap.id
have h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M) (n : ℕ),
  Eq.{u_2 + 1} (α := M ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R M) (I ^ n) ⊤)
    ((↑((map I LinearMap.id : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I M)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)) :
        (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
    ((↑((LinearMap.id : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I M)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)) :
        (n : ℕ) → M ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
Tactic: ext a n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
⊢ map I g ∘ₗ map I f = map I (g ∘ₗ f)
have h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M) (n : ℕ),
  Eq.{u_4 + 1} (α := P ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R P) (I ^ n) ⊤)
    ((↑((map I g ∘ₗ map I f : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I P)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)) :
        (n : ℕ) → P ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
    ((↑((map I (g ∘ₗ f) : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I P)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)) :
        (n : ℕ) → P ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : Type u_4
inst_5 : AddCommGroup P
inst_6 : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
x : AdicCompletion I M
⊢ Eq.{u_4 + 1} (α := AdicCompletion I P)
    ((map I g ∘ₗ map I f : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I P) x : AdicCompletion I P)
    ((map I (g ∘ₗ f) : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I P) x : AdicCompletion I P)
have rw : Eq.{u_4 + 1} (α := AdicCompletion I P)
  ((map I (g ∘ₗ f) : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I P) x : AdicCompletion I P)
  ((map I (g ∘ₗ f) : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I P) x : AdicCompletion I P)
Tactic: rw [map_comp]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
N : Type u_3
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
⊢ Eq (α :=
    LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_3} (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (AdicCompletion I M)
      (AdicCompletion I N))
    (map I 0) 0
have h : ∀ (a : AdicCauchySequence I M) (n : ℕ),
  Eq.{u_3 + 1} (α := N ⧸ HSMul.hSMul (β := Submodule R N) (I ^ n) ⊤)
    ((↑((map I 0 : (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I N)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)) :
        (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
    ((↑(((0 :
                LinearMap.{u_1, u_1, u_2, u_3} (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R))
                  (AdicCompletion I M) (AdicCompletion I N)) :
              (a : AdicCompletion I M) → AdicCompletion I N)
            ((mk I M : (a : AdicCauchySequence I M) → AdicCompletion I M) a)) :
        (n : ℕ) → N ⧸ I ^ n • ⊤)
      n)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
inst_1 : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst_2 : (i : ι) → Module.{u_1, u_7} R (M i)
inst_3 : DecidableEq ι
j : ι
x : AdicCompletion I (M j)
⊢ Eq (α := AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
    ((sum I M : (a : ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)) → AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
        (((DirectSum.of.{u_6, u_7} (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
              AdicCompletion I (M j) →+ ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i)) :
            (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i))
          x) :
      AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
    ((map I (lof R ι M j) : (a : AdicCompletion I (M j)) → AdicCompletion I (⨁ (i : ι), M i)) x :
      AdicCompletion I (⨁ (i : ι), M i))
have rw : Eq (α := AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
  ((sum I M : (a : ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)) → AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
      (((lof.{u_1, u_6, u_7} R ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
            AdicCompletion I (M j) →ₗ[R] ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i)) :
          (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i))
        x) :
    AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
  ((map I (lof R ι M j) : (a : AdicCompletion I (M j)) → AdicCompletion I (⨁ (i : ι), M i)) x :
    AdicCompletion I (⨁ (i : ι), M i))
Tactic: rw [← lof_eq_of R]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
inst_1 : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst_2 : (i : ι) → Module.{u_1, u_7} R (M i)
inst_3 : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
⊢ Eq.{u_7 + 1} (α := AdicCompletion I (M j))
    ((component (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
          (a : ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i)) → AdicCompletion I (M j))
        ((sumInv I M : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)) x) :
      AdicCompletion I (M j))
    ((map I (component R ι M j) : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (M j)) x :
      AdicCompletion I (M j))
have apply : ∀ (x : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)),
  Eq.{u_7 + 1} (α := AdicCompletion I (M j))
    ((component (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
          (a : ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i)) → AdicCompletion I (M j))
        ((sumInv I M : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
          ((mk I (⨁ (j : ι), M j) : (a : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
            x)) :
      AdicCompletion I (M j))
    ((map I (component R ι M j) : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (M j))
        ((mk I (⨁ (j : ι), M j) : (a : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) x) :
      AdicCompletion I (M j))
Tactic: apply induction_on I _ x (fun x ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
inst_1 : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst_2 : (i : ι) → Module.{u_1, u_7} R (M i)
inst_3 : Fintype ι
x : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)
j : ι
⊢ (((sumInv I M : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)) x :
          ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)) :
        (a : ι) → AdicCompletion I (M a))
      j =
    (map I (component R ι M j) : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (M j)) x
have apply : ∀ (x : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)),
  (((sumInv I M : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
            ((mk I (⨁ (j : ι), M j) : (a : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j))
              x) :
          ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)) :
        (a : ι) → AdicCompletion I (M a))
      j =
    (map I (component R ι M j) : (a : AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (M j))
      ((mk I (⨁ (j : ι), M j) : (a : AdicCauchySequence I (⨁ (j : ι), M j)) → AdicCompletion I (⨁ (j : ι), M j)) x)
Tactic: apply induction_on I _ x (fun x ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
inst_1 : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst_2 : (i : ι) → Module.{u_1, u_7} R (M i)
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : DecidableEq ι
⊢ Eq (α :=
    LinearMap (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
      (⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j)))
    (sumInv I M ∘ₗ sum I M) LinearMap.id
have H : ∀ (j : ι) (x : AdicCauchySequence I (M j)),
  Eq (α := ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
    (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof.{u_1, u_6, u_7} (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
          (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
        ((mk I (M j) : (a : AdicCauchySequence I (M j)) → AdicCompletion I (M j)) x) :
      ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
    (((LinearMap.id ∘ₗ lof.{u_1, u_6, u_7} (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
            LinearMap (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (AdicCompletion I (M j))
              (⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))) :
          (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
        ((mk I (M j) : (a : AdicCauchySequence I (M j)) → AdicCompletion I (M j)) x) :
      ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
Tactic: ext j x : 2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.AdicCompletion.Functoriality (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
I : Ideal R
ι : Type u_6
M : ι → Type u_7
inst_1 : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst_2 : (i : ι) → Module.{u_1, u_7} R (M i)
inst_3 : Fintype ι
inst_4 : DecidableEq ι
j : ι
x : AdicCauchySequence I (M j)
⊢ Eq (α := ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
    (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ lof.{u_1, u_6, u_7} (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
          (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
        ((mk I (M j) : (a : AdicCauchySequence I (M j)) → AdicCompletion I (M j)) x) :
      ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
    (((LinearMap.id ∘ₗ lof.{u_1, u_6, u_7} (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
            LinearMap (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (AdicCompletion I (M j))
              (⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))) :
          (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
        ((mk I (M j) : (a : AdicCauchySequence I (M j)) → AdicCompletion I (M j)) x) :
      ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
have apply : ∀ (i : ι),
  Eq.{u_7 + 1} (α := AdicCompletion I (M i))
    ((component (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) i :
          (a : ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i)) → AdicCompletion I (M i))
        (((sumInv I M ∘ₗ sum I M) ∘ₗ
              lof.{u_1, u_6, u_7} (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
            (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
          ((mk I (M j) : (a : AdicCauchySequence I (M j)) → AdicCompletion I (M j)) x)) :
      AdicCompletion I (M i))
    ((component (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) i :
          (a : ⨁ (i : ι), AdicCompletion I (M i)) → AdicCompletion I (M i))
        (((LinearMap.id ∘ₗ lof.{u_1, u_6, u_7} (AdicCompletion I R) ι (fun (i : ι) ↦ AdicCompletion I (M i)) j :
              LinearMap (R := AdicCompletion I R) (RingHom.id (AdicCompletion I R)) (AdicCompletion I (M j))
                (⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))) :
            (a : AdicCompletion I (M j)) → ⨁ (j : ι), AdicCompletion I (M j))
          ((mk I (M j) : (a : AdicCauchySequence I (M j)) → AdicCompletion I (M j)) x)) :
      AdicCompletion I (M i))
Tactic: apply DirectSum.ext_component (AdicCompletion I R) (fun i ↦ ?_)