awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
⊢ ∃ (c : Fin n → R),
    g =
      ∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (β := ι → R) (c x) (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)
have h₁ : g =
  ∑ x : Fin n,
    HSMul.hSMul (α := R) (β := ι → R)
      ((fun (j : Fin n) ↦
          Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
            g ((f : (a : Fin n) → ι) j) =
              (if h : ∃ (j_1 : Fin n), Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι) then
                  a
                    (h.choose (p := fun (j_1 : Fin n) ↦
                      Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)))
                else 0) *
                c)
            sorry)
        x)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)
Tactic: refine ⟨fun j ↦ (h (f j)).choose, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
⊢ g =
    ∑ x : Fin n,
      HSMul.hSMul (α := R) (β := ι → R)
        ((fun (j : Fin n) ↦
            Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
              g ((f : (a : Fin n) → ι) j) =
                (if h : ∃ (j_1 : Fin n), Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι) then
                    a
                      (h.choose (p := fun (j_1 : Fin n) ↦
                        Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)))
                  else 0) *
                  c)
              ⋯)
          x)
        (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R)
have h₁ : ∀ (i : ι),
  g i =
    (∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (α := R) (β := ι → R)
          ((fun (j : Fin n) ↦
              Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
                g ((f : (a : Fin n) → ι) j) =
                  (if h :
                        ∃ (j_1 : Fin n), Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι) then
                      a
                        (h.choose (p := fun (j_1 : Fin n) ↦
                          Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)))
                    else 0) *
                    c)
                sorry)
            x)
          (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R))
      i
Tactic: ext i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
⊢ g i =
    (∑ x : Fin n,
        HSMul.hSMul (α := R) (β := ι → R)
          ((fun (j : Fin n) ↦
              Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
                g ((f : (a : Fin n) → ι) j) =
                  (if h :
                        ∃ (j_1 : Fin n), Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι) then
                      a
                        (h.choose (p := fun (j_1 : Fin n) ↦
                          Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j_1 : ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)))
                    else 0) *
                    c)
                ⋯)
            x)
          (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) x) (a x) : (j : ι) → R))
      i
have h₁ : g i =
  ∑ x : Fin n,
    if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) sorry • a x
    else 0
Tactic: simp only [EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq, exists_eq, ↓reduceDIte, Classical.choose_eq,
        Finset.sum_apply, Pi.smul_apply, Pi.single_apply, smul_ite, smul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
⊢ g i =
    ∑ x : Fin n,
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
        Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) ⋯ • a x
      else 0
have h₁ : (∑ x : Fin n,
    if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) sorry • a x
    else 0) =
  g i
Tactic: rw [eq_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
⊢ (∑ x : Fin n,
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
        Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) ⋯ • a x
      else 0) =
    g i
have pos : ∀ (hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i),
  (∑ x : Fin n,
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
        Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) sorry • a x
      else 0) =
    g i
Tactic: by_cases! hj : ∃ j, f j = i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
pos :
  ∀ (hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i),
    (∑ x : Fin n,
        if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
          Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) ⋯ • a x
        else 0) =
      g i
⊢ (∑ x : Fin n,
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
        Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) ⋯ • a x
      else 0) =
    g i
have neg : ∀ (hj : ∀ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j ≠ i),
  (∑ x : Fin n,
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
        Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) sorry • a x
      else 0) =
    g i
Tactic: by_cases! hj : ∃ j, f j = i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ (∑ x : Fin n,
      if i = (f : (a : Fin n) → ι) x then
        Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) x) = a x * c) ⋯ • a x
      else 0) =
    if i = (f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) then
      Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
          g ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))) =
            (if h :
                  ∃ (j : Fin n),
                    Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                      ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
                a
                  (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
                    Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                      ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
              else 0) *
              c)
          ⋯ *
        a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0
have h₁ : i = (f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) →
  ∀ (x : R),
    (if h :
          ∃ (j : Fin n),
            Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
              ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
        a
          (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
            Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
              ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
      else 0) =
      a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
Tactic: convert! Finset.sum_eq_single (M := R) hj.choose ?_ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h_1 :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
j : Fin n
h : j ≠ hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)
⊢ (if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) j) = a j * c) ⋯ • a j
    else 0) =
    0
have hinj : Ne (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
  ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)
Tactic: have hinj := f.injective.ne h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h_1 :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
j : Fin n
h : j ≠ hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)
hinj :
  Ne (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
    ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)
⊢ (if i = (f : (a : Fin n) → ι) j then Exists.choose (p := fun (c : R) ↦ g ((f : (a : Fin n) → ι) j) = a j * c) ⋯ • a j
    else 0) =
    0
have hinj₁ : (f : (a : Fin n) → ι) j ≠ i
Tactic: rw [hj.choose_spec] at hinj
Cleared hypotheses: hinj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ (if i = (f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) then
      Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
          g ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))) =
            (if h :
                  ∃ (j : Fin n),
                    Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                      ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
                a
                  (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
                    Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                      ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
              else 0) *
              c)
          ⋯ *
        a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
    else 0) =
    g i
have simp : Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
      g i =
        (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
            a (Exists.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i) sorry)
          else 0) *
          c)
      sorry *
    a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) =
  g i
Tactic: simp only [hj.choose_spec, ↓reduceIte]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
⊢ Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
        g i =
          (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
              a (Exists.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i) ⋯)
            else 0) *
            c)
        ⋯ *
      a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) =
    g i
have rw : a (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) *
    Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
      g i =
        (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
            a (Exists.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i) sorry)
          else 0) *
          c)
      sorry =
  g i
Tactic: rw [mul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.FreeModule.Int (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Fintype ι
inst_3 : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis.{0, u_2, u_3} (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf :
  ∀ (i : Fin n),
    (↑((bN : (a : Fin n) → ↥N) i) : M) =
      HSMul.hSMul (β := M) (a i) ((bM : (a : ι) → M) ((f : (a : Fin n) → ι) i : ι) : M)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
hN' : N' = Submodule.map (↑bM.equivFun : M →ₗ[R] ι → R) N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' :
  ∀ (i : Fin n),
    Eq (α := ι → R) ((↑((bN' : (a : Fin n) → ↥N') i) : ι → R) : ι → R)
      (Pi.single (M := fun (j : ι) ↦ R) ((f : (a : Fin n) → ι) i) (a i) : (j : ι) → R)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = AddSubgroup.index (G := ι → R) N'.toAddSubgroup
g : ι → R
h :
  ∀ (i : ι),
    (if h : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i then
        a (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))
      else 0) ∣
      g i
i : ι
hj : ∃ (j : Fin n), (f : (a : Fin n) → ι) j = i
| g i
have rw : (if h :
      ∃ (j : Fin n),
        Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
          ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
    a
      (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
        Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
          ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
  else 0) *
  Exists.choose (p := fun (c : R) ↦
    g ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i))) =
      (if h :
            ∃ (j : Fin n),
              Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι) then
          a
            (h.choose (p := fun (j : Fin n) ↦
              Eq (α := ι) ((f : (a : Fin n) → ι) j : ι)
                ((f : (a : Fin n) → ι) (hj.choose (p := fun (j : Fin n) ↦ (f : (a : Fin n) → ι) j = i)) : ι)))
        else 0) *
        c)
    sorry
Tactic: rw [← hj.choose_spec, (h (f hj.choose)).choose_spec]