awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
x' : M
hx' : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
simp_rw :
  ContMDiffWithinAt I I' n f univ x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have simp_rw₁ : ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
    ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
    ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
Tactic: simp_rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_source_of_mem_source hx', preimage_univ, univ_inter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
x' : M
hx' : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
simp_rw :
  ContMDiffWithinAt I I' n f univ x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
simp_rw₁ :
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' univ ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
⊢ ContMDiffAt I I' n f x' ↔
    ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have simp_rw₂ : ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (univ ∩ range (↑I : H → E))
    ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
  ContMDiffWithinAt 𝓘(𝕜, E) I' n (f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M)) (range (↑I : H → E))
    ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
Tactic: simp_rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_source_of_mem_source hx', preimage_univ, univ_inter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x
have rw : ContinuousWithinAt f s x →
  (LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) ((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) s x ↔
    LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x)
Tactic: rw [(contDiffWithinAt_localInvariantProp n).liftPropWithinAt_indep_chart_target
      (chart_mem_maximalAtlas y) hy,
    and_congr_right]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I I' n) ((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) s x ↔
    LiftPropWithinAt (ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n) ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x
have simp_rw : ContinuousWithinAt ((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) s x ∧
    ContDiffWithinAtProp I I' n
      (((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x) ↔
  ContinuousWithinAt ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x ∧
    ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
      (((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
Tactic: simp_rw [StructureGroupoid.liftPropWithinAt_self_target]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ ContinuousWithinAt ((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n
        (((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x) ↔
    ContinuousWithinAt ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
        (((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
have simp_rw : True ∧
    ContDiffWithinAtProp I I' n
      (((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x) ↔
  ContinuousWithinAt ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x ∧
    ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
      (((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
Tactic: simp_rw [((chartAt H' y).continuousAt hy).comp_continuousWithinAt hf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n
        (((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x) ↔
    ContinuousWithinAt ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
        (((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
have hy₁ : f x ∈ (extChartAt I' y).source
Tactic: rw [← extChartAt_source (I := I')] at hy
Cleared hypotheses: hy, hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (extChartAt I' y).source
hf : ContinuousWithinAt f s x
⊢ True ∧
      ContDiffWithinAtProp I I' n
        (((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x) ↔
    ContinuousWithinAt ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) s x ∧
      ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
        (((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
have simp_rw : True ∧
    ContDiffWithinAtProp I I' n
      (((↑(chartAt H' y) : M' → H') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x) ↔
  True ∧
    ContDiffWithinAtProp I 𝓘(𝕜, E') n
      (((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) ∘ (↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M))
      ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H x)) : H → M) ⁻¹' s) ((↑(chartAt H x) : M → H) x)
Tactic: simp_rw [(continuousAt_extChartAt' hy).comp_continuousWithinAt hf]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
Tactic: rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_target_of_mem_source hy, continuousWithinAt_univ,
    ContMDiffAt]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  ContMDiffWithinAt I I' n f univ x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw₁ : ContinuousWithinAt f univ x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
  ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
Tactic: rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_target_of_mem_source hy, continuousWithinAt_univ,
    ContMDiffAt]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  ContMDiffWithinAt I I' n f univ x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
rw₁ :
  ContinuousWithinAt f univ x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw₂ : ContinuousAt f x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
  ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
Tactic: rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_target_of_mem_source hy, continuousWithinAt_univ,
    ContMDiffAt]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I' n M'
x : M
y : M'
hy : f x ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
rw :
  ContMDiffWithinAt I I' n f univ x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
rw₁ :
  ContinuousWithinAt f univ x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
rw₂ :
  ContinuousAt f x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
    ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
⊢ ContMDiffAt I I' n f x ↔ ContinuousAt f x ∧ ContMDiffAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) x
have rw₃ : ContinuousAt f x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x ↔
  ContinuousAt f x ∧ ContMDiffWithinAt I 𝓘(𝕜, E') n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f) univ x
Tactic: rw [ContMDiffAt, contMDiffWithinAt_iff_target_of_mem_source hy, continuousWithinAt_univ,
    ContMDiffAt]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x ↔
    ContinuousWithinAt f s x ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x)
have rw : ContinuousWithinAt f s x →
  (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
      ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M)) ((↑(e.extend I) : M → E) '' s)
      ((↑(e.extend I) : M → E) x))
Tactic: rw [contMDiffWithinAt_iff_of_mem_maximalAtlas he he' hx hy, and_congr_right_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
e : OpenPartialHomeomorph M H
e' : OpenPartialHomeomorph M' H'
f : M → M'
s : Set M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x : M
he : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M H)) (maximalAtlas I n M) e
he' : Membership.mem (γ := Set (OpenPartialHomeomorph M' H')) (maximalAtlas I' n M') e'
hs : s ⊆ e.source
hx : x ∈ e.source
hy : f x ∈ e'.source
⊢ ContinuousWithinAt f s x →
    (ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(e.extend I) : M → E) x) ↔
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(e'.extend I') : M' → E') ∘ f ∘ (↑(e.extend I).symm : E → M))
        ((↑(e.extend I) : M → E) '' s) ((↑(e.extend I) : M → E) x))
have refine : ContinuousWithinAt f s x →
  (↑(e.extend I).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E) =ᶠ[𝓝 ((↑(e.extend I) : M → E) x)] (↑(e.extend I) : M → E) '' s
Tactic: refine fun _ => contDiffWithinAt_congr_set ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContMDiffWithinAt I I' n f s x' ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have refine : ContinuousWithinAt f s x' ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
  ContinuousWithinAt f s x' ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
      ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
      ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
Tactic: refine (contMDiffWithinAt_iff_of_mem_source hx hy).trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H x)).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have hx₁ : x' ∈ (extChartAt I x).source
Tactic: rw [← extChartAt_source I] at hx
Cleared hypotheses: hx, hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiff.Defs (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x : M
n : ℕ∞ω
inst_11 : IsManifold I n M
inst_12 : IsManifold I' n M'
x' : M
y : M'
hx : x' ∈ (extChartAt I x).source
hy : f x' ∈ (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' y)).source
⊢ ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' s ∩ range (↑I : H → E)) ((↑(extChartAt I x) : M → E) x') ↔
    ContinuousWithinAt f s x' ∧
      ContDiffWithinAt 𝕜 n ((↑(extChartAt I' y) : M' → E') ∘ f ∘ (↑(extChartAt I x).symm : E → M))
        ((extChartAt I x).target ∩ (↑(extChartAt I x).symm : E → M) ⁻¹' (s ∩ f ⁻¹' (extChartAt I' y).source))
        ((↑(extChartAt I x) : M → E) x')
have hy₁ : f x' ∈ (extChartAt I' y).source
Tactic: rw [← extChartAt_source I'] at hy
Cleared hypotheses: hy