awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
this : Fintype { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }
e : (C : ClassGroup (𝓞 K)) →
  { x : { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s } //
      (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) (↑x : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) = C } ≃
    { x : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
      (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑x : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s ∧
        (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) x = C } :=
  fun (C : ClassGroup (𝓞 K)) ↦
    Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter
      (fun (I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) ↦ (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s)
      fun (I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) ↦ (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) I = C
h :
  ∑ x : ClassGroup (𝓞 K),
      (↑(Finset.card.{u_1} (α :=
              { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s })
              {x_1 : { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s } |
                (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) (↑x_1 : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) = x}) :
          ℝ) /
        s =
    (↑(Finset.card.{u_1} (α :=
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) Finset.univ) :
        ℝ) /
      s
⊢ ∑ x : ClassGroup (𝓞 K),
      (↑(Finset.card.{u_1} (α :=
              { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s })
              {x_1 : { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s } |
                (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) (↑x_1 : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) = x}) :
          ℝ) /
        s =
    (↑(Fintype.card.{u_1}
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) :
        ℝ) /
      s
have h₁ : ∑ x : ClassGroup (𝓞 K),
    (↑(Finset.card.{u_1} (α :=
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s })
            {x_1 : { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s } |
              (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) (↑x_1 : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) = x}) :
        ℝ) /
      s =
  (↑(∑ b : ClassGroup (𝓞 K),
          Finset.card.{u_1} (α :=
            { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s })
            {a : { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s } |
              (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) (↑a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) = b}) :
      ℝ) /
    s
Tactic: rw [Fintype.card, Finset.card_eq_sum_card_fiberwise (f := fun I ↦ ClassGroup.mk0 I.1)
      (t := Finset.univ) (fun _ _ ↦ Finset.mem_univ _), Nat.cast_sum, Finset.sum_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
⊢ Tendsto
    (fun (s : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) :
          ℝ) /
        s)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
have h : HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
    ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|) =
  ∑ c : ClassGroup (𝓞 K),
    HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K /
      ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)
Tactic: classical
  convert!
    Filter.Tendsto.congr' ?_
      (tendsto_finsetSum Finset.univ (fun C _ ↦ tendsto_norm_le_and_mk_eq_div_atTop K C))
  · rw [Finset.sum_const, Finset.card_univ, nsmul_eq_mul, classNumber]
    ring
  · filter_upwards [eventually_ge_atTop 0] with s hs
    have : Fintype {I : (Ideal (𝓞 K))⁰ // absNorm (I : Ideal (𝓞 K)) ≤ s} := by
      simp_rw [← Nat.le_floor_iff hs]
      refine @Fintype.ofFinite _ (finite_setOf_absNorm_le₀ ⌊s⌋₊)
    let e := fun C : ClassGroup (𝓞 K) ↦ Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter
      (fun I : (Ideal (𝓞 K))⁰ ↦ absNorm I.1 ≤ s) (fun I ↦ ClassGroup.mk0 I = C)
    simp_rw [← Nat.card_congr (e _), Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.subtype_card]
    rw [Fintype.card, Finset.card_eq_sum_card_fiberwise (f := fun I ↦ ClassGroup.mk0 I.1)
      (t := Finset.univ) (fun _ _ ↦ Finset.mem_univ _), Nat.cast_sum, Finset.sum_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
h :
  HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
      ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|) =
    ∑ c : ClassGroup (𝓞 K),
      HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)
⊢ Tendsto
    (fun (s : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) :
          ℝ) /
        s)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
have convert_2 : EventuallyEq (β := ℝ) atTop
  (fun (b : ℝ) ↦
    ∑ c : ClassGroup (𝓞 K),
      (↑(Nat.card.{u_1}
              { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ //
                (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ b ∧
                  (ClassGroup.mk0 : (a : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰) → ClassGroup (𝓞 K)) I = c }) :
          ℝ) /
        b)
  fun (s : ℝ) ↦
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) /
    s
Tactic: classical
  convert!
    Filter.Tendsto.congr' ?_
      (tendsto_finsetSum Finset.univ (fun C _ ↦ tendsto_norm_le_and_mk_eq_div_atTop K C))
  · rw [Finset.sum_const, Finset.card_univ, nsmul_eq_mul, classNumber]
    ring
  · filter_upwards [eventually_ge_atTop 0] with s hs
    have : Fintype {I : (Ideal (𝓞 K))⁰ // absNorm (I : Ideal (𝓞 K)) ≤ s} := by
      simp_rw [← Nat.le_floor_iff hs]
      refine @Fintype.ofFinite _ (finite_setOf_absNorm_le₀ ⌊s⌋₊)
    let e := fun C : ClassGroup (𝓞 K) ↦ Equiv.subtypeSubtypeEquivSubtypeInter
      (fun I : (Ideal (𝓞 K))⁰ ↦ absNorm I.1 ≤ s) (fun I ↦ ClassGroup.mk0 I = C)
    simp_rw [← Nat.card_congr (e _), Nat.card_eq_fintype_card, Fintype.subtype_card]
    rw [Fintype.card, Finset.card_eq_sum_card_fiberwise (f := fun I ↦ ClassGroup.mk0 I.1)
      (t := Finset.univ) (fun _ _ ↦ Finset.mem_univ _), Nat.cast_sum, Finset.sum_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
⊢ Tendsto
    (fun (s : ℝ) ↦ (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
have this : Tendsto
  (fun (x : ℝ) ↦
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
          ℝ) /
        x +
      x⁻¹)
  atTop
  (𝓝
    (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|) +
      0))
Tactic: have := (tendsto_norm_le_div_atTop₀ K).add tendsto_inv_atTop_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
          ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|) +
        0))
⊢ Tendsto
    (fun (s : ℝ) ↦ (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
have this₁ : Tendsto
  (fun (x : ℝ) ↦
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
          ℝ) /
        x +
      x⁻¹)
  atTop
  (𝓝
    (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
      ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
Tactic: rw [add_zero] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
⊢ Tendsto
    (fun (s : ℝ) ↦ (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
have apply : EventuallyEq (β := ℝ) atTop
  (fun (x : ℝ) ↦
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
          ℝ) /
        x +
      x⁻¹)
  fun (s : ℝ) ↦ (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s
Tactic: apply this.congr'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
⊢ EventuallyEq (β := ℝ) atTop
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    fun (s : ℝ) ↦ (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s
have h : ∀ (s : ℝ) (hs : 0 ≤ s),
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) /
        s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s
Tactic: filter_upwards [eventually_ge_atTop 0] with s hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
⊢ (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) /
        s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) : ℝ) ≤ s }) : ℝ) / s
have h : (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹ =
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s
Tactic: simp_rw [← Nat.le_floor_iff hs]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
⊢ (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s
have h : (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹ =
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ } + 1) : ℝ) / s
Tactic: rw [Ideal.card_norm_le_eq_card_norm_le_add_one, Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_div, one_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
h :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ } + 1) : ℝ) /
      s
⊢ (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s
have h₁ : (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹ =
  HAdd.hAdd (α := ℝ)
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ)
      (↑1 : ℝ) /
    s
Tactic: rw [Ideal.card_norm_le_eq_card_norm_le_add_one, Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_div, one_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
h :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ } + 1) : ℝ) /
      s
h₁ :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    HAdd.hAdd (α := ℝ)
        (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ)
        (↑1 : ℝ) /
      s
⊢ (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s
have h₂ : (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹ =
  HAdd.hAdd (α := ℝ)
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) 1 /
    s
Tactic: rw [Ideal.card_norm_le_eq_card_norm_le_add_one, Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_div, one_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
h :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ } + 1) : ℝ) /
      s
h₁ :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    HAdd.hAdd (α := ℝ)
        (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ)
        (↑1 : ℝ) /
      s
h₂ :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    HAdd.hAdd (α := ℝ)
        (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ)
        1 /
      s
⊢ (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s
have h₃ : (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹ =
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    1 / s
Tactic: rw [Ideal.card_norm_le_eq_card_norm_le_add_one, Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_div, one_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Asymptotics (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
inst_1 : NumberField K
this :
  Tendsto
    (fun (x : ℝ) ↦
      (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (↑((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K))) : ℝ) ≤ x }) :
            ℝ) /
          x +
        x⁻¹)
    atTop
    (𝓝
      (HPow.hPow (α := ℝ) 2 (nrRealPlaces K) * (2 * π) ^ nrComplexPlaces K * regulator K * (↑(classNumber K) : ℝ) /
        ((↑(torsionOrder K) : ℝ) * √|(↑(discr K) : ℝ)|)))
s : ℝ
hs : 0 ≤ s
h :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ } + 1) : ℝ) /
      s
h₁ :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    HAdd.hAdd (α := ℝ)
        (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ)
        (↑1 : ℝ) /
      s
h₂ :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    HAdd.hAdd (α := ℝ)
        (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ)
        1 /
      s
h₃ :
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      1 / s
⊢ (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
      s⁻¹ =
    (↑(Nat.card.{u_1} { I : Ideal (𝓞 K) // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s
have h₄ : (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹ =
  (↑(Nat.card.{u_1} { I : ↥(Ideal (𝓞 K))⁰ // (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) (↑I : Ideal (𝓞 K)) ≤ ⌊s⌋₊ }) : ℝ) / s +
    s⁻¹
Tactic: rw [Ideal.card_norm_le_eq_card_norm_le_add_one, Nat.cast_add, Nat.cast_one, add_div, one_div]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
I : Ideal (𝓞 K)
inst_1 : NumberField K
hI : Ne (α := ℕ) ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I : ℕ) (1 : ℕ)
n : ℕ
ζ : K
hn : 2 ≤ n
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
h : Eq (α := 𝓞 K ⧸ I) ((Ideal.Quotient.mk I : (a : 𝓞 K) → 𝓞 K ⧸ I) hζ.toInteger : 𝓞 K ⧸ I) (1 : 𝓞 K ⧸ I)
h₁ : Nat.Coprime ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) n
⊢ False
have h₂ : hζ.toInteger - 1 ∈ I
Tactic: rw [← map_one (Ideal.Quotient.mk I), Ideal.Quotient.eq] at h
Cleared hypotheses: h, h₁
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
I : Ideal (𝓞 K)
inst_1 : NumberField K
hI : Ne (α := ℕ) ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I : ℕ) (1 : ℕ)
n : ℕ
ζ : K
hn : 2 ≤ n
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
h : hζ.toInteger - 1 ∈ I
h₁ : Nat.Coprime ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) n
⊢ False
have obtain : ∀ (p : ℕ) (hp : Nat.Prime p) (h₂ : p ∣ (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I), False
Tactic: obtain ⟨p, hp, h₂⟩ := Nat.exists_prime_and_dvd hI
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Basic (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
I : Ideal (𝓞 K)
inst_1 : NumberField K
hI : Ne (α := ℕ) ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I : ℕ) (1 : ℕ)
n : ℕ
ζ : K
hn : 2 ≤ n
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
h : hζ.toInteger - 1 ∈ I
h₁ : Nat.Coprime ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h₂ : p ∣ (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I
⊢ False
have this : Fact (Nat.Prime p)
Tactic: have : Fact (p.Prime) := ⟨hp⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.NumberField.Ideal.Basic (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
I : Ideal (𝓞 K)
inst_1 : NumberField K
hI : Ne (α := ℕ) ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I : ℕ) (1 : ℕ)
n : ℕ
ζ : K
hn : 2 ≤ n
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
h : hζ.toInteger - 1 ∈ I
h₁ : Nat.Coprime ((absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I) n
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
h₂ : p ∣ (absNorm : (a : Ideal (𝓞 K)) → ℕ) I
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ False
have refine : p ∣ n
Tactic: refine hp.not_dvd_one <| h₁ ▸ Nat.dvd_gcd h₂ ?_