awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ)
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun (x : ℝ) ↦ smulRight (S := ℝ) 1 (f' x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have x : Eq.{u + 1} (α := E) (∫ (x : ℝ) in a..b, f' x)
  (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ) ↦ f' x)
Tactic: calc
    ∫ x in a..b, f' x = ∫ x in Icc a b, f' x := by
      rw [intervalIntegral.integral_of_le hle, setIntegral_congr_set Ioc_ae_eq_Icc]
    _ = ∑ i : Fin 1,
          ((∫ x in Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove),
              f (e.symm <| i.insertNth (e b i) x)) -
            ∫ x in Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove),
              f (e.symm <| i.insertNth (e a i) x)) := by
      simp only [← interior_Icc] at Hd
      refine
        integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ (fun _ => f)
          (fun _ => F') s hs a b hle (fun _ => Hc) (fun x hx _ => Hd x hx) _ ?_ ?_
      · exact fun x y => (OrderIso.funUnique (Fin 1) ℝ).symm.le_iff_le
      · exact (volume_preserving_funUnique (Fin 1) ℝ).symm _
      · simp [F', e]
      · rw [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioc_of_le hle] at Hi
        exact Hi.congr_set_ae Ioc_ae_eq_Icc.symm
    _ = f b - f a := by
      simp [e, Subsingleton.elim (const (Fin 0) _) isEmptyElim, volume_pi,
        Measure.pi_of_empty fun _ : Fin 0 ↦ _]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ)
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun (x : ℝ) ↦ smulRight (S := ℝ) 1 (f' x)
x :
  Eq.{u + 1} (α := E) (∫ (x : ℝ) in a..b, f' x)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ) ↦ f' x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have x₁ : Eq.{u + 1} (α := E)
  (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ) ↦ f' x)
  (∑ i : Fin 1,
    HSub.hSub (α := E)
      (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
        (Measure.restrict volume
          (Set.Icc ((e : (a : ℝ) → Fin 1 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ) → Fin 1 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
        fun (x : Fin 0 → ℝ) ↦
        f ((e.symm : (a : Fin 1 → ℝ) → ℝ) (i.insertNth (α := fun (a : Fin 1) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ) → Fin 1 → ℝ) b i) x)))
      (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
        (Measure.restrict volume
          (Set.Icc ((e : (a : ℝ) → Fin 1 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ) → Fin 1 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
        fun (x : Fin 0 → ℝ) ↦
        f ((e.symm : (a : Fin 1 → ℝ) → ℝ) (i.insertNth (α := fun (a : Fin 1) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ) → Fin 1 → ℝ) a i) x))))
Tactic: calc
    ∫ x in a..b, f' x = ∫ x in Icc a b, f' x := by
      rw [intervalIntegral.integral_of_le hle, setIntegral_congr_set Ioc_ae_eq_Icc]
    _ = ∑ i : Fin 1,
          ((∫ x in Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove),
              f (e.symm <| i.insertNth (e b i) x)) -
            ∫ x in Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove),
              f (e.symm <| i.insertNth (e a i) x)) := by
      simp only [← interior_Icc] at Hd
      refine
        integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ (fun _ => f)
          (fun _ => F') s hs a b hle (fun _ => Hc) (fun x hx _ => Hd x hx) _ ?_ ?_
      · exact fun x y => (OrderIso.funUnique (Fin 1) ℝ).symm.le_iff_le
      · exact (volume_preserving_funUnique (Fin 1) ℝ).symm _
      · simp [F', e]
      · rw [intervalIntegrable_iff_integrableOn_Ioc_of_le hle] at Hi
        exact Hi.congr_set_ae Ioc_ae_eq_Icc.symm
    _ = f b - f a := by
      simp [e, Subsingleton.elim (const (Fin 0) _) isEmptyElim, volume_pi,
        Measure.pi_of_empty fun _ : Fin 0 ↦ _]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have inl : ∀ (hab : a ≤ b), ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
Tactic: rcases le_total a b with hab | hab
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
inl : ∀ (hab : a ≤ b), ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have inr : ∀ (hab : b ≤ a), ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
Tactic: rcases le_total a b with hab | hab
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (hypothesis)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have Hc₁ : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Tactic: simp only [uIcc_of_le hab, min_eq_left hab, max_eq_right hab] at *
Cleared hypotheses: Hc, Hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (hypothesis)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : a ≤ b
Hc₁ : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have Hd₁ : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Tactic: simp only [uIcc_of_le hab, min_eq_left hab, max_eq_right hab] at *
Cleared hypotheses: Hc, Hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (hypothesis)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have Hc₁ : ContinuousOn f (Set.Icc b a)
Tactic: simp only [uIcc_of_ge hab, min_eq_right hab, max_eq_left hab] at *
Cleared hypotheses: Hc, Hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (hypothesis)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f [[a, b]]
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo (min a b) (max a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
Hc₁ : ContinuousOn f (Set.Icc b a)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have Hd₁ : ∀ x ∈ Set.Ioo b a \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Tactic: simp only [uIcc_of_ge hab, min_eq_right hab, max_eq_left hab] at *
Cleared hypotheses: Hc, Hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
hab : b ≤ a
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc b a)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo b a \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a
have inr : ∫ (x : ℝ) in b..a, f' x = f a - f b
Tactic: rw [intervalIntegral.integral_symm, neg_eq_iff_eq_neg, neg_sub]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (∑ i : Fin 2,
      HSub.hSub (α := E)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b i) x)))
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a i) x))))
have refine_1 : ∀ (x y : ℝ × ℝ),
  LE.le (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
      ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) x : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
      ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) y : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) ↔
    x ≤ y
Tactic: refine integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ ![f, g]
        ![f', g'] s hs a b hle ?_ (fun x hx => ?_) _ ?_ Hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
refine_1 :
  ∀ (x y : ℝ × ℝ),
    LE.le (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) x : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) y : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) ↔
      x ≤ y
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (∑ i : Fin 2,
      HSub.hSub (α := E)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b i) x)))
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a i) x))))
have refine_2 : MeasurePreserving (α := ℝ × ℝ) (β := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) volume
  volume
Tactic: refine integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ ![f, g]
        ![f', g'] s hs a b hle ?_ (fun x hx => ?_) _ ?_ Hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
refine_1 :
  ∀ (x y : ℝ × ℝ),
    LE.le (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) x : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) y : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) ↔
      x ≤ y
refine_2 :
  MeasurePreserving (α := ℝ × ℝ) (β := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) volume
    volume
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (∑ i : Fin 2,
      HSub.hSub (α := E)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b i) x)))
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a i) x))))
have refine_3 : ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)), ContinuousOn (![f, g] i) (Set.Icc a b)
Tactic: refine integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ ![f, g]
        ![f', g'] s hs a b hle ?_ (fun x hx => ?_) _ ?_ Hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
refine_1 :
  ∀ (x y : ℝ × ℝ),
    LE.le (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) x : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) y : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) ↔
      x ≤ y
refine_2 :
  MeasurePreserving (α := ℝ × ℝ) (β := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) volume
    volume
refine_3 : ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)), ContinuousOn (![f, g] i) (Set.Icc a b)
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (∑ i : Fin 2,
      HSub.hSub (α := E)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b i) x)))
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a i) x))))
have refine_4 : ∀ (x : ℝ × ℝ) (hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s) (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)),
  HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x
Tactic: refine integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ ![f, g]
        ![f', g'] s hs a b hle ?_ (fun x hx => ?_) _ ?_ Hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
refine_1 :
  ∀ (x y : ℝ × ℝ),
    LE.le (α := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) x : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ)
        ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) y : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) ↔
      x ≤ y
refine_2 :
  MeasurePreserving (α := ℝ × ℝ) (β := Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1) → ℝ) (⇑e : (a : ℝ × ℝ) → Fin (1 + 1) → ℝ) volume
    volume
refine_3 : ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)), ContinuousOn (![f, g] i) (Set.Icc a b)
refine_4 :
  ∀ (x : ℝ × ℝ) (hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s) (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)),
    HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x
⊢ Eq.{u + 1} (α := E)
    (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace (Measure.restrict volume (Set.Icc a b)) fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (∑ i : Fin 2,
      HSub.hSub (α := E)
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b i) x)))
        (@integral _ _ _ _ MeasureSpace.toMeasurableSpace
          (Measure.restrict volume
            (Set.Icc ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a ∘ i.succAbove) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) b ∘ i.succAbove)))
          fun (x : Fin 1 → ℝ) ↦
          ![f, g] i
            ((e.symm : (a : Fin 2 → ℝ) → ℝ × ℝ)
              (i.insertNth (α := fun (a : Fin 2) ↦ ℝ) ((e : (a : ℝ × ℝ) → Fin 2 → ℝ) a i) x))))
have refine_5 : ∀ (x : ℝ × ℝ),
  HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E) =
    ∑ i : Fin (1 + 1),
      (![f', g'] i x : (a : ℝ × ℝ) → E)
        ((e.symm : (a : Fin (1 + 1) → ℝ) → ℝ × ℝ) (Pi.single (M := fun (a : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)) ↦ ℝ) i 1) :
          ℝ × ℝ)
Tactic: refine integral_divergence_of_hasFDerivAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ ![f, g]
        ![f', g'] s hs a b hle ?_ (fun x hx => ?_) _ ?_ Hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (hypothesis)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
x : ℝ × ℝ
hx : x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s
⊢ ∀ (i : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)), HasFDerivAt (![f, g] i) (![f', g'] i x) x
have hx₁ : x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s
Tactic: rw [Icc_prod_eq, interior_prod_eq, interior_Icc, interior_Icc] at hx
Cleared hypotheses: hx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Integral.DivergenceTheorem (goal)
Goal:
E : Type u
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
f g : ℝ × ℝ → E
f' g' : ℝ × ℝ → ℝ × ℝ →L[ℝ] E
a b : ℝ × ℝ
hle : a ≤ b
s : Set (ℝ × ℝ)
hs : s.Countable
Hcf : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hcg : ContinuousOn g (Set.Icc a b)
Hdf : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hdg : ∀ x ∈ Set.Ioo a.1 b.1 ×ˢ Set.Ioo a.2 b.2 \ s, HasFDerivAt g (g' x) x
Hi :
  IntegrableOn.{0, u} (ε := E) (mα := MeasureSpace.toMeasurableSpace)
    (fun (x : ℝ × ℝ) ↦
      HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E))
    (Set.Icc a b) volume
e : (ℝ × ℝ) ≃L[ℝ] Fin 2 → ℝ := ContinuousLinearEquiv.symm (ContinuousLinearEquiv.finTwoArrow ℝ ℝ)
x : ℝ × ℝ
⊢ HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E) =
    ∑ i : Fin (1 + 1),
      (![f', g'] i x : (a : ℝ × ℝ) → E)
        ((e.symm : (a : Fin (1 + 1) → ℝ) → ℝ × ℝ) (Pi.single (M := fun (a : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)) ↦ ℝ) i 1) :
          ℝ × ℝ)
have refine_5 : HAdd.hAdd (α := E) (β := E) ((f' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (1, 0) : E) ((g' x : (a : ℝ × ℝ) → E) (0, 1) : E) =
  HAdd.hAdd (α := E) (β := E)
    ((![f', g'] 0 x : (a : ℝ × ℝ) → E)
        ((e.symm : (a : Fin (1 + 1) → ℝ) → ℝ × ℝ) (Pi.single (M := fun (a : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)) ↦ ℝ) 0 1) :
          ℝ × ℝ) :
      E)
    ((![f', g'] 1 x : (a : ℝ × ℝ) → E)
        ((e.symm : (a : Fin (1 + 1) → ℝ) → ℝ × ℝ) (Pi.single (M := fun (a : Fin (HAdd.hAdd (α := ℕ) 1 1)) ↦ ℝ) 1 1) :
          ℝ × ℝ) :
      E)
Tactic: rw [Fin.sum_univ_two]