-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.TensorProduct.DirectLimitFG (goal)
Goal:
R : Type u
M : Type u_1
N : Type u_2
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommMonoid N
inst_4 : Module R N
P : Submodule R M
hP : P.FG
t t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥P) N
h :
  Eq (α := M ⊗[R] N) ((rTensor N P.subtype : (a : ↥P ⊗[R] N) → M ⊗[R] N) t : M ⊗[R] N)
    ((rTensor N P.subtype : (a : ↥P ⊗[R] N) → M ⊗[R] N) t' : M ⊗[R] N)
⊢ ∃ (Q : Submodule R M) (hPQ : P ≤ Q),
    Q.FG ∧
      Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
have simp : ∀
  (h :
    Eq (α :=
      Module.DirectLimit (R := R)
        (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
        fun ⦃P Q : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : P ≤ Q) ↦ rTensor N (inclusion h))
      (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
                (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
              TensorProduct.{u, u_1, u_2} R
                  (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                Module.DirectLimit (R := R)
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
            (a : ↥P ⊗[R] N) →
              Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
          t :
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
          fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
      (((Module.DirectLimit.of R { P : Submodule R M // P.FG }
                (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                (fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
                (Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) :
              TensorProduct.{u, u_1, u_2} R
                  (↥(↑(Subtype.mk (p := fun (P : Submodule R M) ↦ P.FG) P hP) : Submodule R M)) N →ₗ[R]
                Module.DirectLimit (R := R)
                  (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
                  fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h)) :
            (a : ↥P ⊗[R] N) →
              Module.DirectLimit (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ ↥(↑P : Submodule R M) ⊗[R] N)
                fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))
          t' :
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (P : { P : Submodule R M // P.FG }) ↦ TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥(↑P : Submodule R M)) N)
          fun ⦃x x_1 : { P : Submodule R M // P.FG }⦄ (h : x ≤ x_1) ↦ rTensor N (inclusion h))),
  ∃ (Q : Submodule R M) (hPQ : P ≤ Q),
    Q.FG ∧
      Eq (α := TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
        ((rTensor N (inclusion hPQ) : (a : ↥P ⊗[R] N) → ↥Q ⊗[R] N) t' : TensorProduct.{u, u_1, u_2} R (↥Q) N)
Tactic: classical
  simp only [← Submodule.FG.rTensor.directLimit_apply' R M N hP, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq] at h
  obtain ⟨Q, hPQ, h⟩ := Module.DirectLimit.exists_eq_of_of_eq h
  use Q.val, Subtype.coe_le_coe.mpr hPQ, Q.property
Cleared hypotheses: h