awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)
⊢ Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := AddSubgroup A) (selfAdjoint A) x) (-I • (↑(a • b) : A)) ⋯ =
    HSMul.hSMul (α := ℝ) ((RingHom.id ℝ : (a : ℝ) → ℝ) a : ℝ)
      (Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := AddSubgroup A) (selfAdjoint A) x) (-I • (↑b : A)) ⋯)
have a₁ : (↑(Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := AddSubgroup A) (selfAdjoint A) x) (-I • (↑(a • b) : A)) sorry) : A) =
  (↑(HSMul.hSMul (α := ℝ) ((RingHom.id ℝ : (a : ℝ) → ℝ) a : ℝ)
        (Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := AddSubgroup A) (selfAdjoint A) x) (-I • (↑b : A)) sorry)) :
    A)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)
⊢ (↑(Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := AddSubgroup A) (selfAdjoint A) x) (-I • (↑(a • b) : A)) ⋯) :
      A) =
    (↑(HSMul.hSMul (α := ℝ) ((RingHom.id ℝ : (a : ℝ) → ℝ) a : ℝ)
          (Subtype.mk (p := fun (x : A) ↦ Membership.mem (γ := AddSubgroup A) (selfAdjoint A) x) (-I • (↑b : A)) ⋯)) :
      A)
have a₁ : I • a • (↑b : A) = a • I • (↑b : A)
Tactic: simp only [neg_smul, skewAdjoint.val_smul, RingHom.id_apply,
      selfAdjoint.val_smul, smul_neg, neg_inj]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : ℝ
b : ↥(skewAdjoint A)
⊢ I • a • (↑b : A) = a • I • (↑b : A)
have a₁ : a • I • (↑b : A) = a • I • (↑b : A)
Tactic: rw [smul_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : A
⊢ (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A) = HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + star a)
have unfold : (↑((selfAdjointPart ℝ : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A) = HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a + star a)
Tactic: unfold realPart
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : A
⊢ (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A) = -I • HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a - star a)
have unfold : (↑((((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
              (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
            A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) :
          (a : A) → ↥(selfAdjoint A))
        a) :
    A) =
  -I • HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (a - star a)
Tactic: unfold imaginaryPart
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : A
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (I • a) : ↥(selfAdjoint A))
    (-((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a : ↥(selfAdjoint A))
have a₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := A) (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (I • a)) : A)
  (↑(-((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
a : A
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (I • a) : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a : ↥(selfAdjoint A))
have a₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := A) (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (I • a)) : A)
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a) : A)
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
⊢ ((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (z • a) =
    HSMul.hSMul (β := ↥(selfAdjoint A)) z.re
        (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a : ↥(selfAdjoint A)) -
      HSMul.hSMul (β := ↥(selfAdjoint A)) z.im
        (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a : ↥(selfAdjoint A))
have this : Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (z • a) : ↥(selfAdjoint A))
  (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (((↑z.re : ℂ) + (↑z.im : ℂ) * I) • a) :
    ↥(selfAdjoint A))
Tactic: have := by congrm (ℜ ($((re_add_im z).symm) • a))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (hypothesis)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
z : ℂ
a : A
⊢ ((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (z • a) =
    HSMul.hSMul (β := ↥(selfAdjoint A)) z.re
        (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a : ↥(selfAdjoint A)) +
      HSMul.hSMul (β := ↥(selfAdjoint A)) z.im
        (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) a : ↥(selfAdjoint A))
have this : Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (z • a) : ↥(selfAdjoint A))
  (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) (((↑z.re : ℂ) + (↑z.im : ℂ) * I) • a) :
    ↥(selfAdjoint A))
Tactic: have := by congrm (ℑ ($((re_add_im z).symm) • a))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
have rw : Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
  ((((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
            (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
          A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) :
        (a : A) → ↥(selfAdjoint A))
      x :
    ↥(selfAdjoint A))
  (0 : ↥(selfAdjoint A))
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_apply, hx.skewAdjointPart_apply _, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
rw :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
    ((((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
              (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
            A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) :
          (a : A) → ↥(selfAdjoint A))
        x :
      ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
have rw₁ : Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
  (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : ↥(skewAdjoint A)) → ↥(selfAdjoint A))
      ((skewAdjointPart ℝ : (a : A) → ↥(skewAdjoint A)) x) :
    ↥(selfAdjoint A))
  (0 : ↥(selfAdjoint A))
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_apply, hx.skewAdjointPart_apply _, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
rw :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
    ((((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
              (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
            A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) :
          (a : A) → ↥(selfAdjoint A))
        x :
      ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
rw₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
    (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : ↥(skewAdjoint A)) → ↥(selfAdjoint A))
        ((skewAdjointPart ℝ : (a : A) → ↥(skewAdjoint A)) x) :
      ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
have rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := ↥(selfAdjoint A))
  (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : ↥(skewAdjoint A)) → ↥(selfAdjoint A)) 0) 0
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_apply, hx.skewAdjointPart_apply _, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
rw :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
    ((((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
              (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
            A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) :
          (a : A) → ↥(selfAdjoint A))
        x :
      ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
rw₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A))
    (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : ↥(skewAdjoint A)) → ↥(selfAdjoint A))
        ((skewAdjointPart ℝ : (a : A) → ↥(skewAdjoint A)) x) :
      ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
rw₂ :
  Eq.{u_1 + 1} (α := ↥(selfAdjoint A))
    (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : ↥(skewAdjoint A)) → ↥(selfAdjoint A)) 0) 0
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint A))
have rw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := ↥(selfAdjoint A)) 0 0
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_apply, hx.skewAdjointPart_apply _, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (ℑ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
have rw : Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
  (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
        (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A))) ∘ₗ
      Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
    ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
  (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_assoc, skewAdjointPart_comp_subtype_selfAdjoint,
    LinearMap.comp_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
rw :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
          (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A))) ∘ₗ
        Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
      ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (ℑ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
have rw₁ : Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
  ((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
      (skewAdjointPart ℝ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
        ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
    ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
  (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_assoc, skewAdjointPart_comp_subtype_selfAdjoint,
    LinearMap.comp_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
rw :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
          (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A))) ∘ₗ
        Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
      ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
rw₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    ((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
        (skewAdjointPart ℝ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
          ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
      ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (ℑ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
have rw₂ : Eq.{u_1 + 1} (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
  ((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
      (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
    ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
  (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_assoc, skewAdjointPart_comp_subtype_selfAdjoint,
    LinearMap.comp_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
rw :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
          (skewAdjointPart ℝ : A →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A))) ∘ₗ
        Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
      ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
rw₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    ((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
        (skewAdjointPart ℝ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) :
          ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
      ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
rw₂ :
  Eq.{u_1 + 1} (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    ((skewAdjoint.negISMul : ↥(skewAdjoint A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) ∘ₗ
        (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(skewAdjoint A)) :
      ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (ℑ ∘ₗ Submodule.subtype (selfAdjoint.submodule ℝ A) : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
    (0 : ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))
have rw₃ : Eq.{u_1 + 1} (α := ↥(selfAdjoint.submodule ℝ A) →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) 0 0
Tactic: rw [imaginaryPart, LinearMap.comp_assoc, skewAdjointPart_comp_subtype_selfAdjoint,
    LinearMap.comp_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x y : A
h₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
h₂ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
⊢ x = y
have rw : (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
  y
Tactic: rw [← realPart_add_I_smul_imaginaryPart x, ← realPart_add_I_smul_imaginaryPart y, h₁, h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x y : A
h₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
h₂ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
rw :
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    y
⊢ x = y
have rw₁ : (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A)
Tactic: rw [← realPart_add_I_smul_imaginaryPart x, ← realPart_add_I_smul_imaginaryPart y, h₁, h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x y : A
h₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
h₂ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
rw :
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    y
rw₁ :
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A)
⊢ x = y
have rw₂ : (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A)
Tactic: rw [← realPart_add_I_smul_imaginaryPart x, ← realPart_add_I_smul_imaginaryPart y, h₁, h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x y : A
h₁ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
h₂ :
  Eq (α := ↥(selfAdjoint A)) (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x : ↥(selfAdjoint A))
    (((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y : ↥(selfAdjoint A))
rw :
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    y
rw₁ :
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A)
rw₂ :
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) =
    (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
      HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A)
⊢ x = y
have rw₃ : (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) =
  (↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) y) : A)
Tactic: rw [← realPart_add_I_smul_imaginaryPart x, ← realPart_add_I_smul_imaginaryPart y, h₁, h₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
⊢ Eq (α := Submodule ℝ A) (LinearMap.ker (M₂ := ↥(selfAdjoint A)) (ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)))
    (selfAdjoint.submodule ℝ A)
have h : ∀ (x : A),
  Membership.mem (γ := Submodule ℝ A) (LinearMap.ker (M₂ := ↥(selfAdjoint A)) (ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))) x ↔
    Membership.mem (γ := Submodule ℝ A) (selfAdjoint.submodule ℝ A) x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x : A
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℝ A) (LinearMap.ker (M₂ := ↥(selfAdjoint A)) (ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A))) x ↔
    Membership.mem (γ := Submodule ℝ A) (selfAdjoint.submodule ℝ A) x
have h : x - star x = 0 ↔ star x = x
Tactic: simp [selfAdjoint.submodule, selfAdjoint.mem_iff, imaginaryPart, Subtype.ext_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
⊢ Eq (α := Submodule ℂ A) (span ℂ (↑(selfAdjoint A) : Set A)) ⊤
have refine : ∀ (x : A), Membership.mem (γ := Submodule ℂ A) (span ℂ (↑(selfAdjoint A) : Set A)) x
Tactic: refine eq_top_iff'.mpr fun x ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
A : Type u_1
inst : AddCommGroup A
inst_1 : Module ℂ A
inst_2 : StarAddMonoid A
inst_3 : StarModule ℂ A
x : A
⊢ Membership.mem (γ := Submodule ℂ A) (span ℂ (↑(selfAdjoint A) : Set A)) x
have rw : Membership.mem (γ := Submodule ℂ A) (span ℂ (↑(selfAdjoint A) : Set A))
  ((↑(((ℜ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A) +
    HSMul.hSMul (β := A) I (↑(((ℑ : A →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint A)) : (a : A) → ↥(selfAdjoint A)) x) : A))
Tactic: rw [← realPart_add_I_smul_imaginaryPart x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
r : ℝ
⊢ (↑(((ℜ : ℂ →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint ℂ)) : (a : ℂ) → ↥(selfAdjoint ℂ)) (↑r : ℂ)) : ℂ) = (↑r : ℂ)
have rw : HSMul.hSMul (α := ℝ) 2⁻¹ (HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (↑r : ℂ)) = (↑r : ℂ)
Tactic: rw [realPart_apply_coe, star_def, conj_ofReal, ← two_smul ℝ (r : ℂ)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Complex.Module (goal)
Goal:
r : ℝ
⊢ Eq (α := ↥(selfAdjoint ℂ)) (((ℑ : ℂ →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint ℂ)) : (a : ℂ) → ↥(selfAdjoint ℂ)) (↑r : ℂ) : ↥(selfAdjoint ℂ))
    (0 : ↥(selfAdjoint ℂ))
have a : Eq (α := ℂ) (↑(((ℑ : ℂ →ₗ[ℝ] ↥(selfAdjoint ℂ)) : (a : ℂ) → ↥(selfAdjoint ℂ)) (↑r : ℂ)) : ℂ) (↑0 : ℂ)
Tactic: ext1