-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Jacobian.Formula (goal)
Goal:
F : Type u
inst : Field F
W : Jacobian F
inst_1 : DecidableEq F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 ≠ Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2
hZ : ∀ {n : ℕ}, IsUnit (addZ P Q ^ n)
erw :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    addZ P Q •
      ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        1]
erw₁ :
  ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
    ![HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 *
        ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          x,
      HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3 *
        ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          y,
      addZ P Q *
        ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
              (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
                (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
            1]
          z]
⊢ W.addXYZ P Q =
    addZ P Q •
      ![W.toAffine.addX (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
          (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
          (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
        1]
have erw₂ : ![W.addX P Q, W.addY P Q, addZ P Q] =
  ![HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2 *
      ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
          W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
            (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
          1]
        x,
    HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 3 *
      ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
          W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
            (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
          1]
        y,
    addZ P Q *
      ![W.addX P Q / HPow.hPow (β := ℕ) (addZ P Q) 2,
          W.toAffine.addY (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
            (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)
            (W.toAffine.slope (P x / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2) (Q x / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2)
              (P y / HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3) (Q y / HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)),
          1]
        z]
Tactic: erw [addXYZ, smul_fin3, ← addX_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx, hZ.mul_div_cancel,
    ← addY_of_Z_ne_zero hP hQ hPz hQz hx, hZ.mul_div_cancel, mul_one]