awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
y : γ
n : ℕ
s : Set γ
sb : s ∈ b
ys : y ∈ s
hs : s ⊆ ball y (u n / 2)
diam_s : diam s ≤ u n
t : (↑b : Type u_3)
ht : Disjoint (↑(Subtype.mk (p := fun (x : Set γ) ↦ x ∈ b) s sb) : Set γ) (↑t : Set γ)
⊢ f y ∉
    q
      (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
        (t, Subtype.mk (p := fun (x : Set γ) ↦ x ∈ b) s sb) ⋯)
have h₁ : f y ∈
  f ''
    (↑(↑(Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, Subtype.mk (p := fun (x : Set γ) ↦ x ∈ b) s sb) sorry) :
            (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 :
      Set γ)
Tactic: apply disjoint_left.1 (hq2 ⟨(t, ⟨s, sb⟩), ht.symm⟩)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
⊢ x ∈ range f
have C1 : ∀ (n : ℕ), ∃ (s : (↑b : Type u_3)) (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), x ∈ E s
Tactic: have C1 : ∀ n, ∃ (s : b) (_ : IsBounded s.1 ∧ diam s.1 ≤ u n), x ∈ E s := fun n => by
      simpa only [F, mem_iUnion] using mem_iInter.1 hx n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
C1 : ∀ (n : ℕ), ∃ (s : (↑b : Type u_3)) (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), x ∈ E s
⊢ x ∈ range f
have h₂ : ∀ (s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)) (hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n)
  (hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)), x ∈ range f
Tactic: choose s hs hxs using C1
Cleared hypotheses: C1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
n : ℕ
⊢ (↑(s n) : Set γ).Nonempty
have rw : (↑(s n) : Set γ) ≠ ∅
Tactic: rw [nonempty_iff_ne_empty]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
⊢ x ∈ range f
have C2 : ∀ (n : ℕ), (↑(s n) : Set γ).Nonempty
Tactic: have C2 : ∀ n, (s n).1.Nonempty := by
      intro n
      rw [nonempty_iff_ne_empty]
      grind
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
C2 : ∀ (n : ℕ), (↑(s n) : Set γ).Nonempty
⊢ x ∈ range f
have h₂ : ∀ (y : (n : ℕ) → γ) (hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)), x ∈ range f
Tactic: choose y hy using C2
Cleared hypotheses: C2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
m n : ℕ
⊢ ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
have rw : ¬Disjoint (↑(s m) : Set γ) (↑(s n) : Set γ)
Tactic: rw [← not_disjoint_iff_nonempty_inter]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
m n : ℕ
h : Disjoint (↑(s m) : Set γ) (↑(s n) : Set γ)
⊢ False
have A₁ : x ∈
  q
      (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ)) (s m, s n)
        h) \
    q
      (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ)) (s n, s m)
        sorry)
Tactic: have A : x ∈ q ⟨(s m, s n), h⟩ \ q ⟨(s n, s m), h.symm⟩ :=
        haveI := mem_iInter.1 (hxs m).2 (s n)
        (mem_iInter.1 this h :)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A_1 : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A_1) → Set β
hq1 : ∀ (p : A_1), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A_1), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A_1), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
m n : ℕ
h : Disjoint (↑(s m) : Set γ) (↑(s n) : Set γ)
A :
  x ∈
    q
        (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
          (s m, s n) h) \
      q
        (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
          (s n, s m) ⋯)
⊢ False
have B : x ∈
  q
      (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ)) (s n, s m)
        sorry) \
    q
      (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ)) (s m, s n)
        h)
Tactic: have B : x ∈ q ⟨(s n, s m), h.symm⟩ \ q ⟨(s m, s n), h⟩ :=
        haveI := mem_iInter.1 (hxs n).2 (s m)
        (mem_iInter.1 this h.symm :)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
⊢ x ∈ range f
have I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
Tactic: have I : ∀ m n, ((s m).1 ∩ (s n).1).Nonempty := by
      intro m n
      rw [← not_disjoint_iff_nonempty_inter]
      by_contra! h
      have A : x ∈ q ⟨(s m, s n), h⟩ \ q ⟨(s n, s m), h.symm⟩ :=
        haveI := mem_iInter.1 (hxs m).2 (s n)
        (mem_iInter.1 this h :)
      have B : x ∈ q ⟨(s n, s m), h.symm⟩ \ q ⟨(s m, s n), h⟩ :=
        haveI := mem_iInter.1 (hxs n).2 (s m)
        (mem_iInter.1 this h.symm :)
      exact A.2 B.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
⊢ CauchySeq y
have this₁ : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ 2 * u n) atTop (𝓝 0)
Tactic: have : Tendsto (fun n => 2 * u n) atTop (𝓝 0) := by
        simpa only [mul_zero] using u_lim.const_mul 2