-- Lean 4 proof step from Mathlib.Combinatorics.KatonaCircle (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : Fintype X
f_1 : Numbering X
s_1 t : Finset X
inst_1 : DecidableEq X
s : Finset X
f : ↥(prefixed s)
x : X
⊢ (↑((((↑((fun (x : Numbering ↥s × Numbering ↥sᶜ) ↦
                      (match (motive := Numbering ↥s × Numbering ↥sᶜ → ↥(prefixed s)) x with
                        | (g, g') =>
                          Subtype.mk (p := fun (x : Numbering X) ↦
                            Membership.mem (γ := Finset (Numbering X)) (prefixed s) x)
                            {
                              toFun := fun (x : X) ↦
                                if hx : x ∈ s then
                                  Fin.castLE (n := Fintype.card.{u_1} ↥s) ⋯
                                    ((g : (a : ↥s) → Fin (Fintype.card ↥s))
                                      (Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ s) x hx))
                                else
                                  Fin.cast (n := Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ + #s) ⋯
                                    (Fin.addNat
                                      ((g' : (a : ↥sᶜ) → Fin (Fintype.card ↥sᶜ))
                                        (Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ sᶜ) x ⋯))
                                      #s),
                              invFun := fun (n : Fin (Fintype.card X)) ↦
                                if hn : (↑n : ℕ) < #s then
                                  (↑((Equiv.symm g : (a : Fin (Fintype.card ↥s)) → ↥s)
                                        (⟨(↑n : ℕ), ⋯⟩ : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s))) :
                                    X)
                                else
                                  (↑((Equiv.symm g' : (a : Fin (Fintype.card ↥sᶜ)) → ↥sᶜ)
                                        (⟨(↑n : ℕ) - #s, ⋯⟩ : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ))) :
                                    X),
                              left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ : X ≃ Fin (Fintype.card X) }
                            ⋯ :
                        ↥(prefixed s)))
                    ((fun (f : ↥(prefixed s)) ↦
                        (({
                              toFun := fun (x : ↥s) ↦
                                (⟨(↑(((↑f : Numbering X) : (a : X) → Fin (Fintype.card X)) (↑x : X)) : ℕ), ⋯⟩ :
                                  Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s)),
                              invFun := fun (n : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s)) ↦
                                Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ s)
                                  ((Equiv.symm (↑f : Numbering X) : (a : Fin (Fintype.card X)) → X)
                                    (⟨(↑n : ℕ), ⋯⟩ : Fin (Fintype.card X)))
                                  ⋯,
                              left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ : ↥s ≃ Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s) },
                            {
                              toFun := fun (x : ↥sᶜ) ↦
                                (⟨(↑(((↑f : Numbering X) : (a : X) → Fin (Fintype.card X)) (↑x : X)) : ℕ) - #s, ⋯⟩ :
                                  Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ)),
                              invFun := fun (n : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ)) ↦
                                Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ sᶜ)
                                  ((Equiv.symm (↑f : Numbering X) : (a : Fin (Fintype.card X)) → X)
                                    (⟨(↑n : ℕ) + #s, ⋯⟩ : Fin (Fintype.card X)))
                                  ⋯,
                              left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ : ↥sᶜ ≃ Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ) }) :
                          Numbering ↥s × Numbering ↥sᶜ))
                      f)) :
                Numbering X) :
              Numbering X) :
            (a : X) → Fin (Fintype.card X))
          x) :
      ℕ) =
    (↑(((↑f : Numbering X) : (a : X) → Fin (Fintype.card X)) x) : ℕ)
have pos : ∀ (hx : x ∈ s),
  (↑((((↑((fun (x : Numbering ↥s × Numbering ↥sᶜ) ↦
                      (match (motive := Numbering ↥s × Numbering ↥sᶜ → ↥(prefixed s)) x with
                        | (g, g') =>
                          Subtype.mk (p := fun (x : Numbering X) ↦
                            Membership.mem (γ := Finset (Numbering X)) (prefixed s) x)
                            {
                              toFun := fun (x : X) ↦
                                if hx : x ∈ s then
                                  Fin.castLE (n := Fintype.card.{u_1} ↥s) sorry
                                    ((g : (a : ↥s) → Fin (Fintype.card ↥s))
                                      (Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ s) x hx))
                                else
                                  Fin.cast (n := Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ + #s) sorry
                                    (Fin.addNat
                                      ((g' : (a : ↥sᶜ) → Fin (Fintype.card ↥sᶜ))
                                        (Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ sᶜ) x sorry))
                                      #s),
                              invFun := fun (n : Fin (Fintype.card X)) ↦
                                if hn : (↑n : ℕ) < #s then
                                  (↑((Equiv.symm g : (a : Fin (Fintype.card ↥s)) → ↥s)
                                        (⟨(↑n : ℕ), sorry⟩ : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s))) :
                                    X)
                                else
                                  (↑((Equiv.symm g' : (a : Fin (Fintype.card ↥sᶜ)) → ↥sᶜ)
                                        (⟨(↑n : ℕ) - #s, sorry⟩ : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ))) :
                                    X),
                              left_inv := sorry, right_inv := sorry : X ≃ Fin (Fintype.card X) }
                            sorry :
                        ↥(prefixed s)))
                    ((fun (f : ↥(prefixed s)) ↦
                        (({
                              toFun := fun (x : ↥s) ↦
                                (⟨(↑(((↑f : Numbering X) : (a : X) → Fin (Fintype.card X)) (↑x : X)) : ℕ), sorry⟩ :
                                  Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s)),
                              invFun := fun (n : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s)) ↦
                                Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ s)
                                  ((Equiv.symm (↑f : Numbering X) : (a : Fin (Fintype.card X)) → X)
                                    (⟨(↑n : ℕ), sorry⟩ : Fin (Fintype.card X)))
                                  sorry,
                              left_inv := sorry, right_inv := sorry : ↥s ≃ Fin (Fintype.card.{u_1} ↥s) },
                            {
                              toFun := fun (x : ↥sᶜ) ↦
                                (⟨(↑(((↑f : Numbering X) : (a : X) → Fin (Fintype.card X)) (↑x : X)) : ℕ) - #s, sorry⟩ :
                                  Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ)),
                              invFun := fun (n : Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ)) ↦
                                Subtype.mk (p := fun (x : X) ↦ x ∈ sᶜ)
                                  ((Equiv.symm (↑f : Numbering X) : (a : Fin (Fintype.card X)) → X)
                                    (⟨(↑n : ℕ) + #s, sorry⟩ : Fin (Fintype.card X)))
                                  sorry,
                              left_inv := sorry, right_inv := sorry : ↥sᶜ ≃ Fin (Fintype.card.{u_1} ↥sᶜ) }) :
                          Numbering ↥s × Numbering ↥sᶜ))
                      f)) :
                Numbering X) :
              Numbering X) :
            (a : X) → Fin (Fintype.card X))
          x) :
      ℕ) =
    (↑(((↑f : Numbering X) : (a : X) → Fin (Fintype.card X)) x) : ℕ)
Tactic: by_cases hx : x ∈ s