-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Smooth.NoetherianDescent (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
A : Type u
B : Type u_2
inst_1 : CommRing A
inst_2 : Algebra R A
inst_3 : CommRing B
inst_4 : Algebra A B
D : DescentAux A B
p : (i : D.vars) → MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)
hp :
  ∀ (i : D.vars),
    (MvPolynomial.map (algebraMap (↥(subalgebra R D)) A) :
          (a : MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) → MvPolynomial D.vars A)
        (p i) =
      D.h i
refine_1 :
  Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
      ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
    MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
      HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
        (RingHom.ker (F :=
          MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
            HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
              Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
              (Ideal.span
                (Set.range (ι := D.rels)
                  (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D)))))
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (Ideal.span
              (Set.range (ι := D.rels)
                (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
        2
⊢ ∃ (σ₀ :
    Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
        ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
      MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) ⧸
        HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
          (RingHom.ker (F :=
            MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
              HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                (Ideal.span
                  (Set.range (ι := D.rels)
                    (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                      ↥(subalgebra R D)))))
            (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
              (Ideal.span
                (Set.range (ι := D.rels)
                  (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                    ↥(subalgebra R D))))))
          2),
    AlgHom.comp
        (AlgHom.kerSquareLift
          (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
            (Ideal.span
              (Set.range (ι := D.rels)
                (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
        σ₀ =
      AlgHom.id (↥(subalgebra R D))
        (Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
          ↥(subalgebra R D))
have refine_2 : AlgHom.comp
    (AlgHom.kerSquareLift
      (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
        (Ideal.span
          (Set.range (ι := D.rels)
            (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))))
    (Ideal.Quotient.liftₐ
      (Ideal.span
        (Set.range (ι := D.rels)
          (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P) ↥(subalgebra R D))))
      (AlgHom.comp
        (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
          (HPow.hPow (α := Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D))) (β := ℕ)
            (RingHom.ker (F :=
              MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D) →ₐ[↥(subalgebra R D)]
                HasQuotient.Quotient (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)) (B :=
                  Ideal (MvPolynomial D.vars ↥(subalgebra R D)))
                  (Ideal.span
                    (Set.range (ι := D.rels)
                      (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                        ↥(subalgebra R D)))))
              (Ideal.Quotient.mkₐ (↥(subalgebra R D))
                (Ideal.span
                  (Set.range (ι := D.rels)
                    (Presentation.relationOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (P := D.P)
                      ↥(subalgebra R D))))))
            2))
        (aeval p))
      sorry) =
  AlgHom.id (↥(subalgebra R D))
    (Presentation.ModelOfHasCoeffs.{u, u_2, 0, 0, u} (R := A) (S := B) (ι := D.vars) (σ := D.rels) (P := D.P)
      ↥(subalgebra R D))
Tactic: refine ⟨?_, ?_⟩