awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
h'y : x + y ∈ insert x s
A_1 : Tendsto (fun (z : ℕ × E) ↦ p.partialSum z.1 y) (SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y)) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
yr'_2 : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
S : Summable (α := ℝ) fun (n : ℕ) ↦ ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n
k : ℕ
hk :
  ∑' (n : ℕ),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + k)) ↦ E) F) (p (n + k)) *
        (↑r' : ℝ) ^ (n + k) <
    ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
I :
  ∀ (w : E) (hw : ‖w‖₊ < r'),
    norm.{u_3} (E := F) (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ w) ≤ ε / 4
⊢ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 < ε
have linarith : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
h'y : x + y ∈ insert x s
A_1 : Tendsto (fun (z : ℕ × E) ↦ p.partialSum z.1 y) (SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y)) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
yr'_2 : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
S : Summable (α := ℝ) fun (n : ℕ) ↦ ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n
k : ℕ
hk :
  ∑' (n : ℕ),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + k)) ↦ E) F) (p (n + k)) *
        (↑r' : ℝ) ^ (n + k) <
    ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
I :
  ∀ (w : E) (hw : ‖w‖₊ < r'),
    norm.{u_3} (E := F) (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ w) ≤ ε / 4
linarith : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
⊢ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 < ε
have linarith₁ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
h'y : x + y ∈ insert x s
A_1 : Tendsto (fun (z : ℕ × E) ↦ p.partialSum z.1 y) (SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y)) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
yr'_2 : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
S : Summable (α := ℝ) fun (n : ℕ) ↦ ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n
k : ℕ
hk :
  ∑' (n : ℕ),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + k)) ↦ E) F) (p (n + k)) *
        (↑r' : ℝ) ^ (n + k) <
    ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
I :
  ∀ (w : E) (hw : ‖w‖₊ < r'),
    norm.{u_3} (E := F) (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ w) ≤ ε / 4
linarith : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₃ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₄ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₅ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
⊢ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 < ε
have linarith₆ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
h'y : x + y ∈ insert x s
A_1 : Tendsto (fun (z : ℕ × E) ↦ p.partialSum z.1 y) (SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y)) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
yr'_2 : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
S : Summable (α := ℝ) fun (n : ℕ) ↦ ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n
k : ℕ
hk :
  ∑' (n : ℕ),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + k)) ↦ E) F) (p (n + k)) *
        (↑r' : ℝ) ^ (n + k) <
    ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
I :
  ∀ (w : E) (hw : ‖w‖₊ < r'),
    norm.{u_3} (E := F) (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ w) ≤ ε / 4
linarith : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₁ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₂ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₃ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₄ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₅ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₆ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₇ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₈ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₉ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
linarith₁₀ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 4 / 4 = 1
linarith₁₁ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 4 = 4
linarith₁₂ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → GT.gt (α := ℝ) 4 0
⊢ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 < ε
have linarith₁₃ : ε ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 → 0 - ε + (4 * ε - (1 * ε + 1 * ε + 1 * ε)) = 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
h'y : x + y ∈ insert x s
A_1 : Tendsto (fun (z : ℕ × E) ↦ p.partialSum z.1 y) (SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y)) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
yr'_2 : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
S : Summable (α := ℝ) fun (n : ℕ) ↦ ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n
k : ℕ
hk :
  ∑' (n : ℕ),
      norm (E := ContinuousMultilinearMap.{u_1, 0, u_2, u_3} 𝕜 (fun (i : Fin (n + k)) ↦ E) F) (p (n + k)) *
        (↑r' : ℝ) ^ (n + k) <
    ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in SProd.sprod (α := Filter ℕ) atTop (𝓝 y), k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
I :
  ∀ (w : E) (hw : ‖w‖₊ < r'),
    norm.{u_3} (E := F) (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ w) ≤ ε / 4
⊢ ‖p.partialSum n z - p.partialSum n y‖ < ε
have n₁ : ‖HSub.hSub (α := F) (∑ i ∈ Finset.range n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ z)
      (∑ i ∈ Finset.range n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ y)‖ =
  ‖HAdd.hAdd (α := F) (∑ i ∈ Finset.range k, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ z)
        (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ z) -
      HAdd.hAdd (α := F) (∑ i ∈ Finset.range k, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ y)
        (∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i : (a : (i : Fin i) → E) → F) fun (x : Fin i) ↦ y)‖
Tactic: calc
  ‖p.partialSum n z - p.partialSum n y‖
  _ = ‖∑ i ∈ range n, p i (fun _ ↦ z) - ∑ i ∈ range n, p i (fun _ ↦ y)‖ := rfl
  _ = ‖(∑ i ∈ range k, p i (fun _ ↦ z) + ∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ z))
        - (∑ i ∈ range k, p i (fun _ ↦ y) + ∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ y))‖ := by
    simp [sum_range_add_sum_Ico _ hkn]
  _ = ‖(p.partialSum k z - p.partialSum k y) + (∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ z))
        + (- ∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ y))‖ := by
    congr 1
    simp only [FormalMultilinearSeries.partialSum]
    abel
  _ ≤ ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ + ‖∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ z)‖
      + ‖- ∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ y)‖ := norm_add₃_le
  _ ≤ ε / 4 + ε / 4 + ε / 4 := by
    gcongr
    · exact I _ h'z
    · simp only [norm_neg]; exact I _ yr'
  _ < ε := by linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
⊢ ∃ (a : ℝ),
    Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a ∧
      ∃ C > 0,
        ∀ (y : E),
          Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y →
            ∀ (n : ℕ), x + y ∈ insert x s → ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
have obtain : ∀ (a : ℝ) (ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a) (C : ℝ) (hC : C > 0)
  (hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n),
  ∃ (a : ℝ),
    Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a ∧
      ∃ C > 0,
        ∀ (y : E),
          Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y →
            ∀ (n : ℕ), x + y ∈ insert x s → ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
Tactic: obtain ⟨a, ha, C, hC, hp⟩ : ∃ a ∈ Ioo (0 : ℝ) 1, ∃ C > 0, ∀ n, ‖p n‖ * (r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n :=
    p.norm_mul_pow_le_mul_pow_of_lt_radius (h.trans_le hf.r_le)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
⊢ ∃ (a : ℝ),
    Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a ∧
      ∃ C > 0,
        ∀ (y : E),
          Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y →
            ∀ (n : ℕ), x + y ∈ insert x s → ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
have refine : ∀ (y : E) (hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y) (n : ℕ) (ys : x + y ∈ insert x s),
  ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
Tactic: refine ⟨a, ha, C / (1 - a), div_pos hC (sub_pos.2 ha.2), fun y hy n ys => ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
⊢ ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
have rw : ∀ (hy : Membership.mem (γ := Set E) {x : E | ‖x‖ < (↑r' : ℝ)} y) (n : ℕ) (ys : x + y ∈ insert x s), ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
Tactic: rw [ball_zero_eq] at hy
Cleared hypotheses: hy, n, ys
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
have yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
Tactic: have yr' : ‖y‖ < r' := by
    rw [ball_zero_eq] at hy
    exact hy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
have hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
Tactic: have hr'0 : 0 < (r' : ℝ) := (norm_nonneg _).trans_lt yr'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
⊢ Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
have refine : ‖y‖ₑ < (↑r' : ℝ≥0∞)
Tactic: refine mem_eball_zero_iff.2 (lt_trans ?_ h)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
have this : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
Tactic: have : y ∈ Metric.eball (0 : E) r := by
    refine mem_eball_zero_iff.2 (lt_trans ?_ h)
    simpa [enorm] using yr'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
⊢ ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C / (1 - a) * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
have rw : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
Tactic: rw [norm_sub_rev, ← mul_div_right_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
have ya : a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)) ≤ a
Tactic: have ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a :=
    mul_le_of_le_one_right ha.1.le (div_le_one_of_le₀ yr'.le r'.coe_nonneg)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this_1 : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
ya : a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)) ≤ a
this : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)))
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
have refine : C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
Tactic: refine this.trans ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this_1 : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
ya : a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)) ≤ a
this : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)))
⊢ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
have this₁ : 0 < a
Tactic: have : 0 < a := ha.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this_1 : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
ya : a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)) ≤ a
this_2 : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)))
this : 0 < a
⊢ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
have hd : 0 < 1 - a
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
ya : a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)) ≤ a
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a)
have suffices : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)))
Tactic: suffices ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / r')) by
    refine this.trans ?_
    have : 0 < a := ha.1
    gcongr
    apply_rules [sub_pos.2, ha.2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Analytic.Basic (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : NormedAddCommGroup F
inst_4 : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : (↑r' : ℝ≥0∞) < r
a : ℝ
ha : Membership.mem (γ := Set ℝ) (Ioo 0 1) a
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * (↑r' : ℝ) ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.ball 0 (↑r' : ℝ)) y
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < (↑r' : ℝ)
hr'0 : 0 < (↑r' : ℝ)
this : Membership.mem (γ := Set E) (Metric.eball 0 r) y
ya : a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)) ≤ a
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ)))
have apply : ∀ (n : ℕ),
  norm.{u_3} (E := F) ((p n : (a : (i : Fin n) → E) → F) fun (x : Fin n) ↦ y : F) ≤ C * (a * (‖y‖ / (↑r' : ℝ))) ^ n
Tactic: apply norm_sub_le_of_geometric_bound_of_hasSum (ya.trans_lt ha.2) _ (hf.hasSum ys this)