-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ R : Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
α : R₀ ⟶ R
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Functor.{v₁, v, u₁, v + 1} Cᵒᵖ AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
hA :
  Presheaf.IsSeparated J A (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier)
Y : C
r₀ r₀' : (↑(R₀.obj (Opposite.op Y)) : Type u)
m₀ m₀' : (↑(M₀.obj (Opposite.op Y)) : Type v)
hr₀ :
  Eq (α := (↑(R.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (X := R₀.obj (Opposite.op Y)) (α.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(R₀.obj (Opposite.op Y)) : Type u)) → (↑(R.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
        r₀ :
      (↑(R.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (X := R₀.obj (Opposite.op Y)) (α.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(R₀.obj (Opposite.op Y)) : Type u)) → (↑(R.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
        r₀' :
      (↑(R.obj (Opposite.op Y)) : Type u))
hm₀ :
  Eq (α := (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        m₀ :
      (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        m₀' :
      (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
x :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop (Opposite.op Y))))
    ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop (Opposite.op Y)))
    (Presheaf.equalizerSieve (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
        r₀ r₀' ⊓
      Presheaf.equalizerSieve (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
        AddCommGrpCat.carrier) (F := M₀.presheaf) m₀ m₀')
⊢ Eq (α := (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (r₀ • m₀) :
      (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
          (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
        (r₀' • m₀') :
      (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
have a : ∀ (Y_1 : C) (f : Y_1 ⟶ Opposite.unop (Opposite.op Y)),
  (Presheaf.equalizerSieve (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier) r₀
            r₀' ⊓
          Presheaf.equalizerSieve (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
            AddCommGrpCat.carrier) (F := M₀.presheaf) m₀ m₀').arrows
      f →
    Eq (α := (↑(A.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.map f.op) :
            (a : (↑(A.obj (Opposite.op (Opposite.unop (Opposite.op Y)))) : Type v)) →
              (↑(A.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
                (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
              (r₀ • m₀) :
            (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) :
        (↑(A.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.map f.op) :
            (a : (↑(A.obj (Opposite.op (Opposite.unop (Opposite.op Y)))) : Type v)) →
              (↑(A.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
                  AddCommGrpCat.carrier) (X := M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) (φ.app (Opposite.op Y)) :
                (a : (↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) → (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
              (r₀' • m₀') :
            (↑(A.obj (Opposite.op Y)) : Type v)) :
        (↑(A.obj (Opposite.op Y_1)) : Type v))
Tactic: apply hA _ (Presheaf.equalizerSieve r₀ r₀' ⊓
      Presheaf.equalizerSieve (F := M₀.presheaf) m₀ m₀')