awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
j₁ j₂ : Fin (m + n)
⊢ (M (i + 1)).updateCol (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n))
      (fun (k_1 : Fin (m + n)) ↦
        M (i + 1) k_1 (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n)) + -r • M (i + 1) k_1 (⟨i + k + m, ⋯⟩ : Fin (m + n)))
      j₁ j₂ =
    M i j₁ j₂
have succ : (if (↑j₂ : ℕ) = i then M₁ j₁ (⟨i, sorry⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨i + (k + m), sorry⟩ : Fin (m + n))
  else if (↑j₂ : ℕ) < i + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
  if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
Tactic: simp only [Matrix.of_apply, lt_add_iff_pos_right, zero_lt_one, ↓reduceIte, add_assoc,
        add_lt_add_iff_left, Nat.lt_one_iff, Nat.add_eq_zero_iff, hm, and_false, smul_eq_mul,
        Matrix.updateCol_apply, Fin.ext_iff, M, M₂, neg_mul, ← sub_eq_add_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
j₁ j₂ : Fin (m + n)
⊢ (if (↑j₂ : ℕ) = i then M₁ j₁ (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨i + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n))
    else if (↑j₂ : ℕ) < i + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
    if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
have succ : ∀ (IH : ∀ (hi : (↑j₂ : ℕ) ≤ m), (M (↑j₂ : ℕ)).det = M₂.det) (hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m),
  (if (↑j₂ : ℕ) = (↑j₂ : ℕ) then
      M₁ j₁ (⟨(↑j₂ : ℕ), sorry⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), sorry⟩ : Fin (m + n))
    else if (↑j₂ : ℕ) < (↑j₂ : ℕ) + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
    if (↑j₂ : ℕ) < (↑j₂ : ℕ) then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
Tactic: obtain rfl | h := eq_or_ne ↑j₂ i
Cleared hypotheses: i, IH, hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
i : ℕ
IH : ∀ (hi : i ≤ m), (M i).det = M₂.det
hi : i + 1 ≤ m
j₁ j₂ : Fin (m + n)
succ :
  ∀ (IH : ∀ (hi : (↑j₂ : ℕ) ≤ m), (M (↑j₂ : ℕ)).det = M₂.det) (hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m),
    (if (↑j₂ : ℕ) = (↑j₂ : ℕ) then
        M₁ j₁ (⟨(↑j₂ : ℕ), ⋯⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n))
      else if (↑j₂ : ℕ) < (↑j₂ : ℕ) + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
      if (↑j₂ : ℕ) < (↑j₂ : ℕ) then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
⊢ (if (↑j₂ : ℕ) = i then M₁ j₁ (⟨i, ⋯⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨i + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n))
    else if (↑j₂ : ℕ) < i + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
    if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
have succ₁ : ∀ (h : (↑j₂ : ℕ) ≠ i),
  (if (↑j₂ : ℕ) = i then M₁ j₁ (⟨i, sorry⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨i + (k + m), sorry⟩ : Fin (m + n))
    else if (↑j₂ : ℕ) < i + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
    if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
Tactic: obtain rfl | h := eq_or_ne ↑j₂ i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ j₂ : Fin (m + n)
IH : ∀ (hi : (↑j₂ : ℕ) ≤ m), (M (↑j₂ : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
⊢ (if (↑j₂ : ℕ) = (↑j₂ : ℕ) then
      M₁ j₁ (⟨(↑j₂ : ℕ), ⋯⟩ : Fin (m + n)) - r * f.sylvester g m n j₁ (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n))
    else if (↑j₂ : ℕ) < (↑j₂ : ℕ) + 1 then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂) =
    if (↑j₂ : ℕ) < (↑j₂ : ℕ) then M₁ j₁ j₂ else f.sylvester g m n j₁ j₂
have succ : HSub.hSub (α := R)
    (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
        (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
          if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then
            g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) +
              (HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])).coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ))
          else 0)
        (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
          if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
        j₂ :
      R)
    (HMul.hMul (β := R) r
      (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
          (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
          (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
          (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), sorry⟩ : Fin (m + n)) :
        R)) =
  Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
    (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
      if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
    (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
      if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
    j₂
Tactic: simp only [↓reduceIte, sylvester, Set.mem_Icc, coeff_add, Fin.eta, Matrix.of_apply,
          lt_self_iff_false, M₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
⊢ HSub.hSub (α := R)
      (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
          (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then
              g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) +
                (HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])).coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ))
            else 0)
          (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
          (Fin.castAdd n j₂) :
        R)
      (HMul.hMul (β := R) r
        (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
            (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
              if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
            (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
              if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
            (⟨(↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) :
          R)) =
    Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
      (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
        if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
      (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
        if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
      (Fin.castAdd n j₂)
have this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), sorry⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, sorry⟩
Tactic: have : Fin.mk (n := m + n) (↑j₂ + (k + m)) (by lia) = .natAdd m ⟨j₂ + k, by lia⟩ :=
            Fin.ext (by simp; lia)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, ⋯⟩
⊢ HSub.hSub (α := R)
      (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
          (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then
              g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) +
                (HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])).coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ))
            else 0)
          (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
          (Fin.castAdd n j₂) :
        R)
      (HMul.hMul (β := R) r
        (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
            (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
              if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
            (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
              if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
            (⟨(↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) :
          R)) =
    Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
      (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
        if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
      (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
        if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
      (Fin.castAdd n j₂)
have succ : (if ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) then
    r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
  else 0) =
  if (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m) then r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) else 0
Tactic: simp only [Fin.addCases_left, Fin.val_castAdd, this, Fin.addCases_right, mul_ite,
            mul_zero, ← C_mul_X_pow_eq_monomial, ← mul_assoc, coeff_mul_X_pow', ite_add_zero,
            coeff_mul_C, add_assoc, add_eq_left, ← ite_and, ← mul_comm r, tsub_add_eq_tsub_tsub,
            add_sub_assoc, sub_eq_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, ⋯⟩
⊢ (if ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) then
      r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
    else 0) =
    if (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m) then r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) else 0
have pos : ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
  (h₂ : (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m)),
  r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
Tactic: split_ifs with h₁ h₂ h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, ⋯⟩
pos :
  ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
    (h₂ : (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m)),
    r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
⊢ (if ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) then
      r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
    else 0) =
    if (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m) then r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) else 0
have neg : ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
  (h₂ : ¬((↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m))), r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = 0
Tactic: split_ifs with h₁ h₂ h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, ⋯⟩
pos :
  ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
    (h₂ : (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m)),
    r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
neg :
  ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
    (h₂ : ¬((↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m))), r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = 0
⊢ (if ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) then
      r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
    else 0) =
    if (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m) then r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) else 0
have pos₁ : ∀ (h₁ : ¬(((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ)))
  (h₂ : (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m)), 0 = r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
Tactic: split_ifs with h₁ h₂ h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, ⋯⟩
pos :
  ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
    (h₂ : (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m)),
    r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
neg :
  ∀ (h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ))
    (h₂ : ¬((↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m))), r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = 0
pos₁ :
  ∀ (h₁ : ¬(((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ)))
    (h₂ : (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m)), 0 = r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
⊢ (if ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) then
      r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k)
    else 0) =
    if (↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m) then r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) else 0
have neg₁ : ∀ (h₁ : ¬(((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ)))
  (h₂ : ¬((↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m))), Eq.{u_1 + 1} (α := R) 0 0
Tactic: split_ifs with h₁ h₂ h₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
j₂ : Fin m
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.castAdd n j₂) : ℕ)).det = M₂.det
hi : (↑j₂ : ℕ) + 1 ≤ m
this : (⟨(↑j₂ : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑j₂ : ℕ) + k, ⋯⟩
h₁ : ((↑j₂ : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + n) ∧ k ≤ (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ)
h₂ : ¬((↑j₂ : ℕ) + k ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₂ : ℕ) + (k + m))
⊢ r * f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k) = 0
have neg : f.natDegree < (↑j₁ : ℕ) - (↑j₂ : ℕ) - k
Tactic: rw [coeff_eq_zero_of_natDegree_lt, mul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Resultant.Basic (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
f g : R[X]
r : R
m n k : ℕ
hk : k + m ≤ n
hf : f.natDegree ≤ m
hm : m ≠ 0
M₁ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  f.sylvester (g + HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])) m n
M₂ : Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R := f.sylvester g m n
M : (i : ℕ) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R :=
  fun (i : ℕ) ↦
    (Matrix.of : (a : Fin (m + n) → Fin (m + n) → R) → Matrix (Fin (m + n)) (Fin (m + n)) R) fun (j₁ j₂ : Fin (m + n)) ↦
      if (↑j₂ : ℕ) < i then M₁ j₁ j₂ else M₂ j₁ j₂
j₁ : Fin (m + n)
i : Fin n
IH : ∀ (hi : (↑(Fin.natAdd m i) : ℕ) ≤ m), (M (↑(Fin.natAdd m i) : ℕ)).det = M₂.det
hi : m + (↑i : ℕ) + 1 ≤ m
⊢ HSub.hSub (α := R)
      (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
          (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then
              g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) +
                (HMul.hMul (β := R[X]) f ((monomial k : (a : R) → R[X]) r : R[X])).coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ))
            else 0)
          (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
            if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
          (Fin.natAdd m i) :
        R)
      (HMul.hMul (β := R) r
        (Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
            (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
              if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
            (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
              if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
            (⟨(↑(Fin.natAdd m i) : ℕ) + (k + m), ⋯⟩ : Fin (m + n)) :
          R)) =
    Fin.addCases (motive := fun (x : Fin (m + n)) ↦ R)
      (fun (j₁_1 : Fin m) ↦
        if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + n then g.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
      (fun (j₁_1 : Fin n) ↦
        if (↑j₁_1 : ℕ) ≤ (↑j₁ : ℕ) ∧ (↑j₁ : ℕ) ≤ (↑j₁_1 : ℕ) + m then f.coeff ((↑j₁ : ℕ) - (↑j₁_1 : ℕ)) else 0)
      (Fin.natAdd m i)
have this : (⟨m + (↑i : ℕ) + (k + m), sorry⟩ : Fin (m + n)) = Fin.natAdd m ⟨(↑i : ℕ) + (k + m), sorry⟩
Tactic: have : Fin.mk (n := m + n) (m + ↑i + (k + m)) (by lia) =
              Fin.natAdd m ⟨↑i + (k + m), by lia⟩ := Fin.ext (by simp; lia)