awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
⊢ CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
      (Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.fst x)) (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ (Hom.mapMulticospan f.hom ⋙ Hom.mapMulticospan f.inv).map (WalkingMulticospan.Hom.fst x)
have dsimp : Eq (α :=
  Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
    (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1)
    (WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
          f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
  (WalkingMulticospan.Hom.fst x ≫ eqToHom sorry)
  (eqToHom sorry ≫
    WalkingMulticospan.Hom.fst
      (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
          f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
⊢ Eq (α :=
    Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
      (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1)
      (WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.fst x ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫
      WalkingMulticospan.Hom.fst
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))
have w : x =
  Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
    (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
      f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
    (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))
Tactic: rw [eqToHom_naturality]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
⊢ CategoryStruct.comp (Y := Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
      (Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan E.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.snd x)) (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ (Hom.mapMulticospan f.hom ⋙ Hom.mapMulticospan f.inv).map (WalkingMulticospan.Hom.snd x)
have dsimp : Eq (α :=
  Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
    (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2)
    (WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
          f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
  (WalkingMulticospan.Hom.snd x ≫ eqToHom sorry)
  (eqToHom sorry ≫
    WalkingMulticospan.Hom.snd
      (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
        (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
          f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : E.multicospanShape.R
⊢ Eq (α :=
    Quiver.Hom (V := WalkingMulticospan E.multicospanShape)
      (WalkingMulticospan.left x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2)
      (WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.snd x ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫
      WalkingMulticospan.Hom.snd
        (Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
          (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
            f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))))
have w : x =
  Sigma.mk (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2)
    (f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).1),
      f.inv.s₀ (f.hom.s₀ x.fst (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2).2))
    (f.inv.s₁ (f.hom.s₁ (x.snd (β := fun (i : E.I₀ × E.I₀) ↦ E.I₁ i.1 i.2))))
Tactic: rw [eqToHom_naturality]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ (Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).obj (WalkingMulticospan.right x) =
    Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x)
have dsimp : WalkingMulticospan.right
    (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))) =
  WalkingMulticospan.right x
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))) =
    WalkingMulticospan.right x
have e_a : Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
    (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
      f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
    (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
  x
Tactic: congr 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
have e_a : (congrIndexOneOfEq sorry sorry :
      (a :
          F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
            ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
        F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
    (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
  x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
Tactic: apply PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
e_a :
  (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
have e_a₁ : (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
  x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1
Tactic: apply PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
e_a :
  (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
e_a₁ :
  (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
have e_a₂ : (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).2 =
  x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2
Tactic: apply PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ Eq (α :=
    (Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).obj (WalkingMulticospan.left (F.multicospanShape.fst x)) ⟶
      Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
    ((Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).map (WalkingMulticospan.Hom.fst x) ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫ Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.fst x))
have dsimp : CategoryStruct.comp (Y :=
    WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.fst
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
    (eqToHom sorry) =
  eqToHom sorry ≫ WalkingMulticospan.Hom.fst x
Tactic: dsimp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ CategoryStruct.comp (Y :=
      WalkingMulticospan.right
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
      (WalkingMulticospan.Hom.fst
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
      (eqToHom ⋯) =
    eqToHom ⋯ ≫ WalkingMulticospan.Hom.fst x
have w : Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
    (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
      f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
    (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
  x
Tactic: rw [eqToHom_naturality]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
have w : (congrIndexOneOfEq sorry sorry :
      (a :
          F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
            ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
        F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
    (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
  x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
Tactic: apply PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
w :
  (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
have w₁ : (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
  x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1
Tactic: apply PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
w :
  (congrIndexOneOfEq ⋯ ⋯ :
        (a :
            F.I₁ ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.1
              ⟨(f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.1), f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst.2)), f.hom.s₁ (f.inv.s₁ x.snd)⟩.fst.2) →
          F.I₁ x.fst.1 x.fst.2)
      (Sigma.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))) =
    x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
w₁ :
  (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
          (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
            f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
          (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).1 =
    x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1
⊢ Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
        f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
      (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))) =
    x
have w₂ : (Sigma.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)))))).2 =
  x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2
Tactic: apply PreOneHypercover.I₁'.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Sites.Hypercover.One (goal)
Goal:
C : Type u
inst : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst_1 : Category.{v_1, u_1} A
S : C
E_1 E_2 : PreOneHypercover.{w, v, u} S
F_1 : PreOneHypercover.{w', v, u} S
G : PreOneHypercover.{?u.367710, v, u} S
E F : PreOneHypercover.{w, v, u} S
f : E ≅ F
x : F.multicospanShape.R
⊢ Eq (α :=
    (Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).obj (WalkingMulticospan.left (F.multicospanShape.snd x)) ⟶
      Functor.obj (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.right x))
    ((Hom.mapMulticospan f.inv ⋙ Hom.mapMulticospan f.hom).map (WalkingMulticospan.Hom.snd x) ≫ eqToHom ⋯)
    (eqToHom ⋯ ≫ Functor.map (𝟭 (WalkingMulticospan F.multicospanShape)) (WalkingMulticospan.Hom.snd x))
have dsimp : CategoryStruct.comp (Y :=
    WalkingMulticospan.right
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
    (WalkingMulticospan.Hom.snd
      (Sigma.mk (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2)
        (f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).1),
          f.hom.s₀ (f.inv.s₀ x.fst (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2).2))
        (f.hom.s₁ (f.inv.s₁ (x.snd (β := fun (i : F.I₀ × F.I₀) ↦ F.I₁ i.1 i.2))))))
    (eqToHom sorry) =
  eqToHom sorry ≫ WalkingMulticospan.Hom.snd x
Tactic: dsimp