awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
this : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)
R : ℝ
hR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C
Hle : ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
w : ℂ
hre : |w.re| = R
him : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)
⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ C
have h : ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)
Tactic: calc
        ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) := ?_
        _ ≤ C := hR
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
this : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)
R : ℝ
hR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C
Hle : ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
w : ℂ
hre : |w.re| = R
him : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)
⊢ ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)
have h : ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|)) * (A * expR (B * expR (c * |w.re|)))
Tactic: rw [norm_smul, Real.exp_add, ← hre, Real.exp_add, Real.exp_log hA₀, mul_assoc, mul_comm _ A]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
this : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)
R : ℝ
hR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C
Hle : ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
w : ℂ
hre : |w.re| = R
him : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)
⊢ ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|)) * (A * expR (B * expR (c * |w.re|)))
have h : ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
this : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)
R : ℝ
hR : expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) ≤ C
Hle : ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = R → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
w : ℂ
hre : |w.re| = R
him : w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b)
h : ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
⊢ ‖g ε w‖ * ‖f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|)) * (A * expR (B * expR (c * |w.re|)))
have h₁ : ‖f w‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |w.re|))
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
⊢ ∀ᶠ (R : ℝ) in atTop, ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
have Tendsto : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)
Tactic: suffices
        Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0) by
      filter_upwards [this.eventually (ge_mem_nhds hC₀), hA] with R hR Hle w hre him
      calc
        ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) := ?_
        _ ≤ C := hR
      rw [norm_smul, Real.exp_add, ← hre, Real.exp_add, Real.exp_log hA₀, mul_assoc, mul_comm _ A]
      gcongr
      exacts [hδ <| Ioo_subset_Icc_self him, Hle _ hre him]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0)
have refine : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot
Tactic: refine Real.tendsto_exp_atBot.comp ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
H : Tendsto (fun (R : ℝ) ↦ δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot
have H₁ : Tendsto (fun (R : ℝ) ↦ δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 δ)
Tactic: rw [mul_zero, add_zero] at H
Cleared hypotheses: H
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
H : Tendsto (fun (R : ℝ) ↦ δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 δ)
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot
have refine : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ δ * expR (d * R) + B * expR (c * R)) atTop atBot
Tactic: refine Tendsto.atBot_add ?_ tendsto_const_nhds
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) atTop atBot
have suffices : Tendsto (fun (R : ℝ) ↦ δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))
Tactic: suffices H : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0)) by
      rw [mul_zero, add_zero] at H
      refine Tendsto.atBot_add ?_ tendsto_const_nhds
      simpa only [id, (· ∘ ·), add_mul, mul_assoc, ← div_eq_inv_mul, ← Real.exp_sub, ← sub_mul,
        sub_sub_cancel]
        using H.neg_mul_atTop δ₀ <| Real.tendsto_exp_atTop.comp <| tendsto_id.const_mul_atTop hd₀
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
A : ℝ
hA₀ : A > 0
hA :
  ∀ᶠ (b_1 : ℝ) in atTop,
    ∀ (a_1 : ℂ), |a_1.re| = b_1 → a - b < a_1.im ∧ a_1.im < a + b → ‖f a_1‖ ≤ A * expR (B * expR (c * |a_1.re|))
⊢ Tendsto (fun (R : ℝ) ↦ δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0))
have refine : Tendsto (β := ℝ) (fun (R : ℝ) ↦ (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 0)
Tactic: refine tendsto_const_nhds.add (tendsto_const_nhds.mul ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
have h : ∀ (R : ℝ) (hzR : |z.re| < R) (hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C),
  ‖g ε z • f z‖ ≤ C
Tactic: obtain ⟨R, hzR, hR⟩ :
    ∃ R : ℝ, |z.re| < R ∧ ∀ w, |re w| = R → im w ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C := by
    refine ((eventually_gt_atTop _).and ?_).exists
    rcases hO.exists_pos with ⟨A, hA₀, hA⟩
    simp only [isBigOWith_iff, eventually_inf_principal, eventually_comap, mem_Ioo,
      mem_preimage, (· ∘ ·), Real.norm_eq_abs, abs_of_pos (Real.exp_pos _)] at hA
    suffices
        Tendsto (fun R => expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A)) atTop (𝓝 0) by
      filter_upwards [this.eventually (ge_mem_nhds hC₀), hA] with R hR Hle w hre him
      calc
        ‖g ε w • f w‖ ≤ expR (δ * expR (d * R) + B * expR (c * R) + Real.log A) := ?_
        _ ≤ C := hR
      rw [norm_smul, Real.exp_add, ← hre, Real.exp_add, Real.exp_log hA₀, mul_assoc, mul_comm _ A]
      gcongr
      exacts [hδ <| Ioo_subset_Icc_self him, Hle _ hre him]
    refine Real.tendsto_exp_atBot.comp ?_
    suffices H : Tendsto (fun R => δ + B * (expR ((d - c) * R))⁻¹) atTop (𝓝 (δ + B * 0)) by
      rw [mul_zero, add_zero] at H
      refine Tendsto.atBot_add ?_ tendsto_const_nhds
      simpa only [id, (· ∘ ·), add_mul, mul_assoc, ← div_eq_inv_mul, ← Real.exp_sub, ← sub_mul,
        sub_sub_cancel]
        using H.neg_mul_atTop δ₀ <| Real.tendsto_exp_atTop.comp <| tendsto_id.const_mul_atTop hd₀
    refine tendsto_const_nhds.add (tendsto_const_nhds.mul ?_)
    exact tendsto_inv_atTop_zero.comp <| Real.tendsto_exp_atTop.comp <|
      tendsto_id.const_mul_atTop (sub_pos.2 hcd)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
have hR₀ : 0 < R
Tactic: have hR₀ : 0 < R := (_root_.abs_nonneg _).trans_lt hzR
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
hR₀ : 0 < R
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
have hgd : Differentiable ℂ (g ε)
Tactic: have hgd : Differentiable ℂ (g ε) :=
    ((((differentiable_id.sub_const _).const_mul _).cexp.add
            ((differentiable_id.sub_const _).const_mul _).neg.cexp).const_mul _).cexp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (hypothesis)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hd : d < π / 2 / b
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
hR₀ : 0 < R
hgd : Differentiable ℂ (g ε)
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
have hd₁ : DiffContOnCl.{0, 0, u_1} ℂ (F := E) (fun (w : ℂ) ↦ g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))
Tactic: replace hd : DiffContOnCl ℂ (fun w => g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b)) :=
    (hgd.diffContOnCl.smul hfd).mono inter_subset_right
Cleared hypotheses: hd
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Complex.PhragmenLindelof (goal)
Goal:
E : Type u_1
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℂ E
C_1 : ℝ
f : ℂ → E
z : ℂ
C : ℝ
hC₀ : 0 < C
a b : ℝ
hza : a - b < z.im
hle_a : ∀ (z : ℂ), z.im = a - b → ‖f z‖ ≤ C
hzb : z.im < a + b
hle_b : ∀ (z : ℂ), z.im = a + b → ‖f z‖ ≤ C
hfd : DiffContOnCl ℂ f (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))
hab : a - b < a + b
hb : 0 < b
hπb : 0 < π / 2 / b
c : ℝ
hc : c < π / 2 / b
B : ℝ
hO :
  IsBigO (F := ℝ) (comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo (a - b) (a + b))) f fun (z : ℂ) ↦ expR (B * expR (c * |z.re|))
d : ℝ
hcd : c < d
hd₀ : 0 < d
hb' : d * b < π / 2
aff : (w : ℂ) → ℂ := fun (w : ℂ) ↦ (↑d : ℂ) * (w - (↑a : ℂ) * I)
g : (ε : ℝ) → (w : ℂ) → ℂ := fun (ε : ℝ) (w : ℂ) ↦ cexp ((↑ε : ℂ) * (cexp (aff w) + cexp (-aff w)))
ε : ℝ
ε₀ : ε < 0
δ : ℝ
δ₀ : δ < 0
hδ : ∀ ⦃w : ℂ⦄, w.im ∈ Icc (a - b) (a + b) → ‖g ε w‖ ≤ expR (δ * expR (d * |w.re|))
hg₁ : ∀ (w : ℂ), w.im = a - b ∨ w.im = a + b → ‖g ε w‖ ≤ 1
R : ℝ
hzR : |z.re| < R
hR : ∀ (w : ℂ), |w.re| = R → w.im ∈ Ioo (a - b) (a + b) → ‖g ε w • f w‖ ≤ C
hR₀ : 0 < R
hgd : Differentiable ℂ (g ε)
hd : DiffContOnCl.{0, 0, u_1} ℂ (F := E) (fun (w : ℂ) ↦ g ε w • f w) (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))
⊢ ‖g ε z • f z‖ ≤ C
have h : ∀ (w : ℂ) (hw : w ∈ frontier (Ioo (-R) R ×ℂ Ioo (a - b) (a + b))), ‖g ε w • f w‖ ≤ C
Tactic: convert!
    norm_le_of_forall_mem_frontier_norm_le ((isBounded_Ioo _ _).reProdIm (isBounded_Ioo _ _)) hd
      (fun w hw => _) _