awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
refine_1 :
  (↑(t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦
    closedBall p.1 p.2
refine_2 : ∀ p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v, p.1 ∈ s
refine_3 : ∀ p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v, p.2 ∈ f p.1
⊢ ∃ (u : Finset (α × ℝ)),
    t ⊆ u ∧
      P u ∧
        (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ u, closedBall p.1 p.2) ≤
          HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
have refine_4 : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s \ ⋃ p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v, closedBall p.1 p.2) ≤
  HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
Tactic: refine ⟨t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, Finset.subset_union_left, ⟨?_, ?_, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
⊢ (↑(t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦
    closedBall p.1 p.2
have refine_1 : (PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
  ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
    i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
      ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
        Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
          i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)
Tactic: simp only [Finset.coe_union, pairwiseDisjoint_union, ht.1, true_and, Finset.coe_image]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
⊢ (PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
    ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
      i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
        ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
          Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
            i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)
have refine_1 : PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
refine_1 : PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2
⊢ (PairwiseDisjoint (α := Set α) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
    ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
      i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
        ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
          Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
            i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)
have refine_1₁ : ∀ ⦃i : α × ℝ⦄,
  i ∈ (↑t : Set (α × ℝ)) →
    ∀ ⦃j : α × ℝ⦄,
      Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) j →
        i ≠ j → Disjoint (closedBall i.1 i.2) (closedBall j.1 j.2)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) p
q : α × ℝ
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) q
hpq : p ≠ q
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) p q
have refine_1 : ∀ (p' : α) (p'v : p' ∈ (↑v : Set α))
  (hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')) (hpq : (p', r p') ≠ q),
  Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') q
Tactic: rcases (mem_image _ _ _).1 hp with ⟨p', p'v, rfl⟩
Cleared hypotheses: p, hp, hpq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
q : α × ℝ
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) q
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
hpq : (p', r p') ≠ q
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') q
have refine_1 : ∀ (q' : α) (q'v : q' ∈ (↑v : Set α))
  (hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q'))
  (hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')),
  Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') (q', r q')
Tactic: rcases (mem_image _ _ _).1 hq with ⟨q', q'v, rfl⟩
Cleared hypotheses: q, hq, hpq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
⊢ Function.onFun (β := Set α) Disjoint (fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) (p', r p') (q', r q')
have refine_1 : ∀ (hp'q' : p' = (q', r q').1), False
Tactic: refine hv p'v q'v fun hp'q' => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p' : α
p'v : p' ∈ (↑v : Set α)
hp : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (p', r p')
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : (p', r p') ≠ (q', r q')
hp'q' : p' = (q', r q').1
⊢ False
have hpq₁ : ((q', r q').1, r (q', r q').1) ≠ (q', r q')
Tactic: rw [hp'q'] at hpq
Cleared hypotheses: hpq, hp'q'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ (↑t : Set (α × ℝ))
q : α × ℝ
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) q
hpq : p ≠ q
⊢ Disjoint (closedBall p.1 p.2) (closedBall q.1 q.2)
have refine_1 : ∀ (q' : α) (q'v : q' ∈ (↑v : Set α))
  (hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')) (hpq : p ≠ (q', r q')),
  Disjoint (closedBall p.1 p.2) (closedBall (q', r q').1 (q', r q').2)
Tactic: rcases (mem_image _ _ _).1 hq with ⟨q', q'v, rfl⟩
Cleared hypotheses: q, hq, hpq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ (↑t : Set (α × ℝ))
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ Disjoint (closedBall p.1 p.2) (closedBall (q', r q').1 (q', r q').2)
have apply : closedBall p.1 p.2 ⊆ B
Tactic: apply disjoint_of_subset_left _ (hr q' (vs' q'v)).2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ (↑t : Set (α × ℝ))
q' : α
q'v : q' ∈ (↑v : Set α)
hq : Membership.mem (γ := Set (α × ℝ)) ((fun (x : α) ↦ (x, r x)) '' (↑v : Set α)) (q', r q')
hpq : p ≠ (q', r q')
⊢ closedBall p.1 p.2 ⊆ B
have rw : closedBall p.1 p.2 ⊆ ⋃ x ∈ (↑t : Set (α × ℝ)), closedBall x.1 x.2
Tactic: rw [hB, ← Finset.set_biUnion_coe]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v
⊢ p.1 ∈ s
have refine_2 : ∀ (h'p : p ∈ t), p.1 ∈ s
Tactic: rcases Finset.mem_union.1 hp with (h'p | h'p)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v
refine_2 : ∀ (h'p : p ∈ t), p.1 ∈ s
⊢ p.1 ∈ s
have refine_2₁ : ∀ (h'p : Membership.mem (γ := Finset (α × ℝ)) (Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) p), p.1 ∈ s
Tactic: rcases Finset.mem_union.1 hp with (h'p | h'p)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Covering.Besicovitch (goal)
Goal:
α : Type u_1
inst : MetricSpace α
inst_1 : SecondCountableTopology α
inst_2 : MeasurableSpace α
inst_3 : OpensMeasurableSpace α
inst_4 : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst_5 : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty.{u_1 + 1} (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun (t : Finset (α × ℝ)) ↦
    ((↑t : Set (α × ℝ)).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (p : α × ℝ) ↦ closedBall p.1 p.2) ∧
      (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] B
s' : Set α := s \ B
r : (x : α) → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : (↑v : Set α) ⊆ s'
hμv :
  (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤
    HMul.hMul (β := ℝ≥0∞) ((↑N : ℝ≥0∞) / HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (↑N : ℝ≥0∞) 1) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s' : ℝ≥0∞)
hv : (↑v : Set α).PairwiseDisjoint (α := Set α) fun (x : α) ↦ closedBall x (r x)
p : α × ℝ
hp : p ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v
h'p : Membership.mem (γ := Finset (α × ℝ)) (Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) p
⊢ p.1 ∈ s
have refine_2 : ∀ (p' : α) (p'v : p' ∈ v) (hp : (p', r p') ∈ t ∪ Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v)
  (h'p : Membership.mem (γ := Finset (α × ℝ)) (Finset.image (fun (x : α) ↦ (x, r x)) v) (p', r p')), (p', r p').1 ∈ s
Tactic: rcases Finset.mem_image.1 h'p with ⟨p', p'v, rfl⟩
Cleared hypotheses: p, hp, h'p