-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ [Flat R M,
      ∀ (I : Ideal R),
        Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
          (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M),
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
          ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
            x = y ∘ₗ a ∧
              Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)].TFAE
have tfae_5_to_4 : ∀
  (a :
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
      Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
        ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
          x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R))
  {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
Tactic: tfae_have 5 → 4
  | h₅, l, f, x, hfx => by
    let f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
    let x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := Finsupp.linearCombination R x
    have : x' f' = 0 := by simpa [x', f', linearCombination_apply, sum_fintype] using hfx
    obtain ⟨k, a', y', ha'y', ha'⟩ := h₅ this
    refine ⟨k, fun i ↦ a' (single i 1), fun j ↦ y' (single j 1), fun i ↦ ?_, fun j ↦ ?_⟩
    · simpa [x', ← map_smul, ← map_sum, smul_single] using
        LinearMap.congr_fun ha'y' (Finsupp.single i 1)
    · simp_rw [← smul_eq_mul, ← Finsupp.smul_apply, ← map_smul, ← finsetSum_apply, ← map_sum,
        smul_single, smul_eq_mul, mul_one,
        ← (fun _ ↦ equivFunOnFinite_symm_apply_apply _ _ : ∀ x, f' x = f x), univ_sum_single]
      simpa using DFunLike.congr_fun ha' j