awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
⊢ ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) - m₁ s - m₁ t‖ₑ < ε
have s''C : s'' ∈ C
Tactic: have s''C : s'' ∈ C := hC.diff_mem s'C t'C
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (goal)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
⊢ HAdd.hAdd (α := ℝ≥0∞) (β := ℝ≥0∞) ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ s') : ℝ≥0∞)
      ((μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) : ℝ≥0∞) <
    2 * δ + δ
have xz : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ s') < 2 * δ
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
⊢ ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) - m₁ s - m₁ t‖ₑ < ε
have hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Tactic: have hs'' : μ (s'' ∆ s) < 3 * δ := calc
      μ (s'' ∆ s)
      _ ≤ μ (s'' ∆ s') + μ (s' ∆ s) := measure_symmDiff_le _ _ _
      _ < 2 * δ + δ := by gcongr; simp [s'', symmDiff, hμ']
      _ = 3 * δ := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
have this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' sorry) = (m : (a : Set α) → E) s''
Tactic: have : m₁ ⟨s'', hCmeas _ s''C⟩ = m s'' :=
        C'_dense.extend_eq lip.continuous ⟨⟨s'', hCmeas _ s''C⟩, ⟨s'', s''C, rfl⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (goal)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' ⋯) = (m : (a : Set α) → E) s''
⊢ ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
have rw : edist (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' sorry)) (m₁ s) < 3 * δ
Tactic: rw [← this, ← edist_eq_enorm_sub]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (goal)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' ⋯) = (m : (a : Set α) → E) s''
⊢ edist (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' ⋯)) (m₁ s) < 3 * δ
have apply : (↑1 : ℝ≥0∞) * edist (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' sorry) s < 3 * δ
Tactic: apply (m₁_lip _ _).trans_lt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (goal)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' ⋯) = (m : (a : Set α) → E) s''
⊢ (↑1 : ℝ≥0∞) * edist (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' ⋯) s < 3 * δ
have simp : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) ((↑(Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) s'' sorry) : Set α) ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Tactic: simp only [ENNReal.coe_one, MeasuredSets.edist_def, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
⊢ ‖m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯) - m₁ s - m₁ t‖ₑ < ε
have Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
Tactic: have Is : ‖m s'' - m₁ s‖ₑ < 3 * δ := by
      have : m₁ ⟨s'', hCmeas _ s''C⟩ = m s'' :=
        C'_dense.extend_eq lip.continuous ⟨⟨s'', hCmeas _ s''C⟩, ⟨s'', s''C, rfl⟩⟩
      rw [← this, ← edist_eq_enorm_sub]
      apply (m₁_lip _ _).trans_lt
      simp only [ENNReal.coe_one, MeasuredSets.edist_def, one_mul]
      exact hs''
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
⊢ ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
have s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
Tactic: have s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C := hC.union_mem s''C t'C
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (hypothesis)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
⊢ ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
have this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') sorry) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
Tactic: have : m₁ ⟨s'' ∪ t', hCmeas _ s''t'C⟩ = m (s'' ∪ t') :=
        C'_dense.extend_eq lip.continuous ⟨⟨s'' ∪ t', hCmeas _ s''t'C⟩, ⟨s'' ∪ t', s''t'C, rfl⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (goal)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
⊢ ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t') : E)
        (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯))‖ₑ <
    4 * δ
have rw : edist (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') sorry))
    (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) sorry)) <
  4 * δ
Tactic: rw [← this, ← edist_eq_enorm_sub]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.VectorMeasure.AddContent (goal)
Goal:
α : Type u_1
hα : MeasurableSpace α
E : Type u_2
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : CompleteSpace E
μ : Measure α
inst_2 : IsFiniteMeasure μ
C : Set (Set α)
m : AddContent E C
hC : IsSetRing C
hCmeas : ∀ s ∈ C, MeasurableSet s
hm : ∀ s ∈ C, enorm.{u_2} (E := E) ((m : (a : Set α) → E) s : E) ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) s
h'C : ∀ (t : Set α) (ε : ℝ≥0∞), MeasurableSet t → 0 < ε → ∃ s ∈ C, (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s ∆ t) < ε
C' : Set (MeasuredSets μ) := {s : MeasuredSets μ | ∃ c ∈ C, (↑s : Set α) = c}
C'C : ∀ (s : MeasuredSets μ) (hs : s ∈ C'), (↑s : Set α) ∈ C
C'_dense : Dense C'
m₀ : (↑C' : Type u_1) → E := fun (x : (↑C' : Type u_1)) ↦ (m : (a : Set α) → E) (↑(↑x : MeasuredSets μ) : Set α)
lip : LipschitzWith 1 m₀
m₁ : MeasuredSets μ → E := C'_dense.extend (s := C') m₀
m₁_lip : LipschitzWith 1 m₁
hBound : ∀ (s : MeasuredSets μ), ‖m₁ s‖ₑ ≤ (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (↑s : Set α)
s t : MeasuredSets μ
h : Disjoint (↑s : Set α) (↑t : Set α)
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : 8 * δ = ε
s' : Set α
s'C : s' ∈ C
hs' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∆ (↑s : Set α)) < δ
t' : Set α
t'C : t' ∈ C
ht' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (t' ∆ (↑t : Set α)) < δ
It : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) t' : E) (m₁ t)‖ₑ < δ
hμ' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s' ∩ t') < 2 * δ
s'' : Set α := s' \ t'
s''C : s'' ∈ C
hs'' : (μ : (a : Set α) → ℝ≥0∞) (s'' ∆ (↑s : Set α)) < 3 * δ
Is : ‖HSub.hSub (α := E) ((m : (a : Set α) → E) s'' : E) (m₁ s)‖ₑ < 3 * δ
s''t'C : s'' ∪ t' ∈ C
this : m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯) = (m : (a : Set α) → E) (s'' ∪ t')
⊢ edist (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') ⋯))
      (m₁ (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) ⋯)) <
    4 * δ
have apply : (↑1 : ℝ≥0∞) *
    edist (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) (s'' ∪ t') sorry)
      (Subtype.mk (p := fun (s : Set α) ↦ MeasurableSet s) ((↑s : Set α) ∪ (↑t : Set α)) sorry) <
  4 * δ
Tactic: apply (m₁_lip _ _).trans_lt