awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
hδ : ∀ (n : ℕ), δ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
⊢ ∃ (w : ℕ → (↑K : Type u_3)), ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
have h : ∀ (n : ℕ), ∃ (i : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑i : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
Tactic: have h := fun n => exists_lt_of_ciInf_lt (hδ n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have exists_seq : ∃ (w : ℕ → (↑K : Type u_3)), ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
Tactic: have exists_seq : ∃ w : ℕ → K, ∀ n, ‖u - w n‖ < δ + 1 / (n + 1) := by
    have hδ : ∀ n : ℕ, δ < δ + 1 / (n + 1) := fun n =>
      lt_add_of_le_of_pos le_rfl Nat.one_div_pos_of_nat
    have h := fun n => exists_lt_of_ciInf_lt (hδ n)
    let w : ℕ → K := fun n => Classical.choose (h n)
    exact ⟨w, fun n => Classical.choose_spec (h n)⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
exists_seq : ∃ (w : ℕ → (↑K : Type u_3)), ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have rcases : ∀ (w : ℕ → (↑K : Type u_3)) (hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1),
  ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
Tactic: rcases exists_seq with ⟨w, hw⟩
Cleared hypotheses: exists_seq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
have h : Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ δ) atTop (𝓝 δ)
Tactic: have h : Tendsto (fun _ : ℕ => δ) atTop (𝓝 δ) := tendsto_const_nhds
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
h : Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ δ) atTop (𝓝 δ)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) atTop (𝓝 δ)
have h₃ : δ = δ + 0
Tactic: convert! h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_zero_nat
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
h : Tendsto (fun (x : ℕ) ↦ δ) atTop (𝓝 δ)
⊢ Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
have h' : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) atTop (𝓝 δ)
Tactic: have h' : Tendsto (fun n : ℕ => δ + 1 / (n + 1)) atTop (𝓝 δ) := by
      convert! h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_zero_nat
      simp only [add_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
Tactic: have norm_tendsto : Tendsto (fun n => ‖u - w n‖) atTop (𝓝 δ) := by
    have h : Tendsto (fun _ : ℕ => δ) atTop (𝓝 δ) := tendsto_const_nhds
    have h' : Tendsto (fun n : ℕ => δ + 1 / (n + 1)) atTop (𝓝 δ) := by
      convert! h.add tendsto_one_div_add_atTop_nhds_zero_nat
      simp only [add_zero]
    exact tendsto_of_tendsto_of_tendsto_of_le_of_le h h' (fun x => δ_le _) fun x => le_of_lt (hw _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
⊢ CauchySeq.{u_3, 0} (α := F) fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)
have rw : ∃ (b : ℕ → ℝ),
  (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
Tactic: rw [cauchySeq_iff_le_tendsto_0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
⊢ ∃ (b : ℕ → ℝ),
    (∀ (n : ℕ), 0 ≤ b n) ∧ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ b N) ∧ Tendsto b atTop (𝓝 0)
have h : (∀ (n : ℕ), LE.le (α := ℝ) 0 ((fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) n)) ∧
  (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) N) ∧
    Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
Tactic: use fun n => √(b n)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
⊢ (∀ (n : ℕ), LE.le (α := ℝ) 0 ((fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) n)) ∧
    (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) N) ∧
      Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
have h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ √(b n)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
h : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ √(b n)
⊢ (∀ (n : ℕ), LE.le (α := ℝ) 0 ((fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) n)) ∧
    (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) N) ∧
      Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
have h₃ : (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ √(b N)) ∧
  Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ √(b N)) ∧
    Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
have h : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ √(b N)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
h : ∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ √(b N)
⊢ (∀ (n m N : ℕ), N ≤ n → N ≤ m → dist (↑(w n) : F) (↑(w m) : F) ≤ √(b N)) ∧
    Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
have h₃ : Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    |2| * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (|2| * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖
have rw : LE.le (α := ℝ) 0 2
Tactic: rw [abs_of_nonneg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (u - half • (wq + wp))‖ * ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 2 (u - half • (wq + wp))‖ +
      ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
have rw : ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ *
      ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ +
    ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
  ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
Tactic: rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←
              one_add_one_eq_two, add_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ *
        ‖HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u + HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 u - HSMul.hSMul (α := ℝ) 1 (wq + wp)‖ +
      ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
    ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
have simp : ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
Tactic: simp only [one_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
have eq₁ : wp - wq = a - b
Tactic: have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
⊢ ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
Tactic: have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b := by
              change u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
              abel
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
⊢ ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
have rw : ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
Tactic: rw [eq₁, eq₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
eq₁ : wp - wq = a - b
eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b
rw : ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
⊢ ‖u + u - (wq + wp)‖ * ‖u + u - (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
have rw₁ : ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖
Tactic: rw [eq₁, eq₂]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
⊢ dist (↑(w p) : F) (↑(w q) : F) ≤ √(b_1 N)
have this₁ : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
Tactic: have :
        4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
          2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) :=
        calc
          4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
              2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ :=
            by ring
          _ =
              absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * (absR 2 * ‖u - half • (wq + wp)‖) +
                ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ := by
            rw [abs_of_nonneg]
            exact zero_le_two
          _ =
              ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ * ‖(2 : ℝ) • (u - half • (wq + wp))‖ +
                ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ := by simp [norm_smul]
          _ = ‖a + b‖ * ‖a + b‖ + ‖a - b‖ * ‖a - b‖ := by
            rw [smul_sub, smul_smul, mul_one_div_cancel (_root_.two_ne_zero : (2 : ℝ) ≠ 0), ←
              one_add_one_eq_two, add_smul]
            simp only [one_smul]
            have eq₁ : wp - wq = a - b := (sub_sub_sub_cancel_left _ _ _).symm
            have eq₂ : u + u - (wq + wp) = a + b := by
              change u + u - (wq + wp) = u - wq + (u - wp)
              abel
            rw [eq₁, eq₂]
          _ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) := parallelogram_law_with_norm_mul ℝ _ _