awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
m : ι
pos :
  ∀
    (hl :
      (P.root : (a : ι) → M) m =
        HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
          (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))),
    (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
      HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R)
        (x * (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k + 1))
        (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr m) 1) (Sum.inr m)
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R)
      (x * (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k + 1))
      (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr l) 1) (Sum.inr m)
have pos₁ : ∀ (hml : m ≠ l),
  (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R)
      (x * (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k + 1))
      (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr l) 1) (Sum.inr m)
Tactic: rcases eq_or_ne m l with rfl | hml
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
m : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
⊢ (P.root : (a : ι) → M) m =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
have rw : HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) =
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)))
Tactic: rw [hl, hk₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
m : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R)
      (x * (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k + 1))
      (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr m) 1) (Sum.inr m)
have hl₁ : (P.root : (a : ι) → M) m =
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
Tactic: replace hl : P.root m = P.root i + P.root k := by rw [hl, hk₁]; module
Cleared hypotheses: hl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
m : ι
hml : m ≠ l
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) m =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M) ((P.root : (a : ι) → M) l : M)
have rw : HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))) =
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
Tactic: rw [hl, contra, hk₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
l : ι
hl :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
m : ι
hml : m ≠ l
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr m) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R)
      (x * (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) (↑i : ι) k + 1))
      (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr l) 1) (Sum.inr m)
have hl₁ : (P.root : (a : ι) → M) m ≠
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
Tactic: replace hl : P.root m ≠ P.root i + P.root k :=
            fun contra ↦ hml (P.root.injective <| by rw [hl, contra, hk₁]; module)
Cleared hypotheses: hl
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
hij :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 = 0 ∨
    ∃ (k_1 : ι) (x_1 : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k_1 =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x_1
            (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k_1) 1)
have neg : x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 = 0
Tactic: left
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
hij :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 = 0
have neg : ∀ (l : ↥b.support), (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inl l) = 0 (Sum.inl l)
Tactic: ext (l | l)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
hij :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
neg :
  ∀ (l : ↥b.support),
    (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inl l) = 0 (Sum.inl l)
⊢ x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1 = 0
have neg₁ : ∀ (l : ι), (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr l) = 0 (Sum.inr l)
Tactic: ext (l | l)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
hij :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
l : ι
contra :
  (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
⊢ (P.root : (a : ι) → M) l =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
have rw : HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)
    (HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))) =
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
Tactic: rw [contra, hk₁]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
n : ℕ
k : ι
x : ℕ
hk₁ :
  (P.root : (a : ι) → M) k =
    HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M))
hk₂ :
  (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
    HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
hki : k ≠ -(↑i : ι)
hij :
  HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
      (HSMul.hSMul (β := M) (n + 1) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
l : ι
⊢ (x • e i *ᵥ Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1) (Sum.inr l) = 0 (Sum.inr l)
have hij₁ : (P.root : (a : ι) → M) l ≠
  HAdd.hAdd (α := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M)
Tactic: replace hij : P.root l ≠ P.root i + P.root k :=
          fun contra ↦ hij ⟨l, by rw [contra, hk₁]; module⟩
Cleared hypotheses: hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
j : ι
n : ℕ
h : j ≠ -(↑i : ι)
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
aux : ∀ (n : ℕ), (e i ^ (n + 1)).col (Sum.inr j) = e i *ᵥ (e i ^ n).col (Sum.inr j)
⊢ (e i ^ n).col (Sum.inr j) = 0 ∨
    ∃ (k : ι) (x : ℕ),
      (P.root : (a : ι) → M) k =
          HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
            (HSMul.hSMul (β := M) n ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
        (e i ^ n).col (Sum.inr j) =
          HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
have zero : (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) = 0 ∨
  ∃ (k : ι) (x : ℕ),
    (P.root : (a : ι) → M) k =
        HAdd.hAdd (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
          (HSMul.hSMul (α := ℕ) (β := M) 0 ((P.root : (a : ι) → M) (↑i : ι) : M)) ∧
      (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 0).col (Sum.inr j) =
        HSMul.hSMul (β := (j : ↥b.support ⊕ ι) → R) x (Pi.single (M := fun (a : ↥b.support ⊕ ι) ↦ R) (Sum.inr k) 1)
Tactic: induction n with
  | zero => exact Or.inr ⟨j, 1, by simp, by ext; simp [Pi.single_apply]⟩
  | succ n ih =>
    rcases ih with hn | ⟨k, x, hk₁, hk₂⟩
    · left; simp [aux, hn]
    rw [aux, hk₂, Matrix.mulVec_smul]
    have hki : k ≠ -i := by
      rintro rfl
      replace hk₁ : P.root (-j) = (n + 1) • P.root i := by
        simp only [indexNeg_neg, root_reflectionPerm, reflection_apply_self, neg_eq_iff_add_eq_zero,
          add_smul, one_smul] at hk₁ ⊢
        rw [← hk₁]
        module
      rcases n.eq_zero_or_pos with rfl | hn
      · apply h
        rw [zero_add, one_smul, EmbeddingLike.apply_eq_iff_eq] at hk₁
        simp [← hk₁, -indexNeg_neg]
      · have _i : (n + 1).AtLeastTwo := ⟨by lia⟩
        exact P.nsmul_notMem_range_root (n := n + 1) (i := i) ⟨-j, hk₁⟩
    by_cases hij : P.root j + (n + 1) • P.root i ∈ range P.root
    · obtain ⟨l, hl⟩ := hij
      right
      refine ⟨l, x * (P.chainBotCoeff i k + 1), hl, ?_⟩
      ext (m | m)
      · simp [e, -indexNeg_neg, hki]
      · rcases eq_or_ne m l with rfl | hml
        · replace hl : P.root m = P.root i + P.root k := by rw [hl, hk₁]; module
          simp [e, -indexNeg_neg, hl, mul_add]
        · replace hl : P.root m ≠ P.root i + P.root k :=
            fun contra ↦ hml (P.root.injective <| by rw [hl, contra, hk₁]; module)
          simp [e, -indexNeg_neg, hml, hl]
    · left
      ext (l | l)
      · simp [e, -indexNeg_neg, hki]
      · replace hij : P.root l ≠ P.root i + P.root k :=
          fun contra ↦ hij ⟨l, by rw [contra, hk₁]; module⟩
        simp [e, -indexNeg_neg, hij]
Cleared hypotheses: n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
⊢ IsNilpotent (e i)
have this : Module.IsReflexive R M
Tactic: have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this : Module.IsReflexive R M
⊢ IsNilpotent (e i)
have this₁ : IsAddTorsionFree M
Tactic: have : IsAddTorsionFree M := .of_isTorsionFree R M
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ IsNilpotent (e i)
have rw : ∀ (i_1 : ↥b.support ⊕ ι), ∃ (n : ℕ), (e i ^ n).col i_1 = 0
Tactic: rw [Matrix.isNilpotent_iff_forall_col]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
j : ↥b.support
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 2).col (Sum.inl j) = 0
have h : ∀ (k : ↥b.support), (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 2).col (Sum.inl j) (Sum.inl k) = 0 (Sum.inl k)
Tactic: ext (k | k)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Semisimple (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : CharZero R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : P.IsCrystallographic
inst_8 : P.IsReduced
b : P.Base
inst_9 : Fintype ι
inst_10 : DecidableEq ι
i : ↥b.support
this_1 : Module.IsReflexive R M
this_2 : IsAddTorsionFree M
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
j : ↥b.support
h : ∀ (k : ↥b.support), (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 2).col (Sum.inl j) (Sum.inl k) = 0 (Sum.inl k)
⊢ (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 2).col (Sum.inl j) = 0
have h₁ : ∀ (k : ι), (HPow.hPow (β := ℕ) (e i) 2).col (Sum.inl j) (Sum.inr k) = 0 (Sum.inr k)
Tactic: ext (k | k)