-- Lean 4 proof step from Mathlib.Data.Nat.Choose.Multinomial (goal)
Goal:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst : DecidableEq α
inst_1 : Semiring R
x : α → R
a : α
s : Finset α
ha : a ∉ s
hc : (↑(insert a s) : Set α).Pairwise (Commute on x)
n : ℕ
ih :
  ∀ (n : ℕ),
    s.sum x ^ n =
      ∑ k : ↥(s.sym n),
        (↑(↑(↑k : Sym α n) : Multiset α).countPerms : R) * (Multiset.map x (↑(↑k : Sym α n) : Multiset α)).noncommProd ⋯
m : ↥((insert a s).sym n)
⊢ (↑((↑(↑m : Sym α n) : Multiset α).card.choose (Multiset.count a (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)) *
            (Multiset.filter (fun (x : α) ↦ a ≠ x) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)).countPerms) :
        R) *
      (Multiset.map x (Multiset.filter (fun (x : α) ↦ a = x) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)) +
            Multiset.map x (Multiset.filter (fun (a_1 : α) ↦ ¬a = a_1) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α))).noncommProd
        ⋯ =
    x a ^
          (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ)))) m)) :
            ℕ) *
        ((↑(Multiset.countPerms (α := α)
                ((↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            ((symInsertEquiv ha :
                                (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                              m)) :
                        Sym α
                          (n -
                            (↑((symInsertEquiv ha :
                                      (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                    m).fst :
                              ℕ))) :
                    Multiset α) :
                  Multiset α)) :
            R) *
          (Multiset.map x
                (↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          ((symInsertEquiv ha :
                              (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            m)) :
                      Sym α
                        (n -
                          (↑((symInsertEquiv ha :
                                    (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                  m).fst :
                            ℕ))) :
                  Multiset α)).noncommProd
            ⋯) *
      (↑(n.choose
            (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                  ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ)))) m)) :
              ℕ)) :
        R)
have insert : (↑(n.choose (Multiset.count a (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)) *
          (Multiset.filter (fun (x : α) ↦ a ≠ x) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)).countPerms) :
      R) *
    ((Multiset.replicate (Multiset.count a (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α)) (x a)).noncommProd sorry *
      (Multiset.map x (Multiset.filter (fun (a_1 : α) ↦ ¬a = a_1) (↑(↑m : Sym α n) : Multiset α))).noncommProd sorry) =
  x a ^
        (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
              ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ)))) m)) :
          ℕ) *
      ((↑(Multiset.countPerms (α := α)
              ((↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          ((symInsertEquiv ha :
                              (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                            m)) :
                      Sym α
                        (n -
                          (↑((symInsertEquiv ha :
                                    (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                  m).fst :
                            ℕ))) :
                  Multiset α) :
                Multiset α)) :
          R) *
        (Multiset.map x
              (↑(↑(Sigma.snd (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                        ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                          m)) :
                    Sym α
                      (n -
                        (↑((symInsertEquiv ha :
                                  (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                                m).fst :
                          ℕ))) :
                Multiset α)).noncommProd
          sorry) *
    (↑(n.choose
          (↑(Sigma.fst (β := fun (i : Fin (n + 1)) ↦ ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ))))
                ((symInsertEquiv ha : (a : ↥((insert a s).sym n)) → (i : Fin (n + 1)) × ↥(s.sym (n - (↑i : ℕ)))) m)) :
            ℕ)) :
      R)
Tactic: simp_rw [Multiset.noncommProd_add, m.1.1.filter_eq, Multiset.map_replicate, m.1.2]