awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (hypothesis)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  HAdd.hAdd (α := L)
      (∑ i ∈ range (Q.natDegree - j), Q.coeff (j + 1 + i) • B.gen ^ (j + 1 + i) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)))
      (∑ x ∈ range (j + 1),
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g x • B.gen ^ x * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)))) =
    p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff j.succ ^ n.succ * coeff (minpoly R B.gen) 0 ^ (j.succ + (P.natDegree - (j + 2)))
have hQ₂ : HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L) (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2)))) +
    HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
      (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
        (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)))) =
  p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))
Tactic: rw [← insert_erase
      (mem_range.2 (tsub_pos_iff_lt.2 <| Nat.lt_of_succ_lt_succ <| mem_range.1 hj)),
      sum_insert (notMem_erase 0 _), add_zero, sum_congr rfl hf₁, ← mul_sum, ← mul_sum, add_assoc,
      ← mul_add, smul_mul_assoc, ← pow_add, Algebra.smul_def] at hQ
Cleared hypotheses: hQ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (hypothesis)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
        (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2)))) +
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
        (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
          (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)))) =
    p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff j.succ ^ n.succ * coeff (minpoly R B.gen) 0 ^ (j.succ + (P.natDegree - (j + 2)))
have hQ₂ : Eq.{v + 1} (α := K)
  ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
      (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
        (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
    K)
  ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
      (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
          (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
            (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
    K)
Tactic: replace hQ := congr_arg (norm K) (eq_sub_of_add_eq hQ)
Cleared hypotheses: hQ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
⊢ IsIntegral R
    (z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
      HAdd.hAdd (α := L) (∑ x ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + x) • f (x + P.natDegree - 1))
        (∑ x ∈ range (j + 1), g x • B.gen ^ x * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))
have refine : ∀ (k : ℕ) (hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0), IsIntegral R (f (k + P.natDegree - 1))
Tactic: refine (hzint.mul (hBint.pow _)).sub
        (.add (.sum _ fun k hk => .smul _ ?_)
          (.sum _ fun k _ => .mul (.smul _ (.pow hBint _)) (hBint.pow _)))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ IsIntegral R (f (k + P.natDegree - 1))
have refine : natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ k + P.natDegree - 1
Tactic: refine adjoin_le_integralClosure hBint (hf _ ?_).1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ k + P.natDegree - 1
have rw : natDegree (minpoly R B.gen) ≤ k + P.natDegree - 1
Tactic: rw [(minpoly.monic hBint).natDegree_map (algebraMap R L)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ natDegree (minpoly R B.gen) ≤ k + P.natDegree - 1
have rw : 0 ≤ k - 1
Tactic: rw [add_comm, Nat.add_sub_assoc, le_add_iff_nonneg_right]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
rw : 0 ≤ k - 1
⊢ natDegree (minpoly R B.gen) ≤ k + P.natDegree - 1
have h : 1 ≤ k
Tactic: rw [add_comm, Nat.add_sub_assoc, le_add_iff_nonneg_right]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (goal)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ 1 ≤ k
have h : ∀ (h : k = 0), False
Tactic: refine one_le_iff_ne_zero.2 fun h => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Polynomial.Eisenstein.IsIntegral (hypothesis)
Goal:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst : CommRing R
inst_1 : Field K
inst_2 : Field L
inst_3 : Algebra K L
inst_4 : Algebra R L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : IsScalarTower R K L
inst_7 : IsDomain R
inst_8 : IsFractionRing R K
inst_9 : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this_1 : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (R ∙ p)
hndiv : ¬HPow.hPow (β := ℕ) p 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : Module.IsTorsionFree R L
x : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : (m : ℕ) → R
hg :
  ∀ k ∈ range (j + 1),
    Q.coeff k • B.gen ^ k = HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (g k • B.gen ^ k)
f : (i : ℕ) → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    natDegree (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)) ≤ i →
      Membership.mem (γ := Subalgebra R L) R[B.gen] (f i) ∧
        HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (f i) = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L) (Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1))
hQ :
  Eq.{v + 1} (α := K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) (Q.coeff (j + 1)) : L)
          (B.gen ^ (j + 1 + (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
    ((Algebra.norm K : (a : L) → K)
        (p • z * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) -
          HMul.hMul (α := L) ((algebraMap R L : (a : R) → L) p : L)
            (HAdd.hAdd (α := L) (∑ i ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0, Q.coeff (j + 1 + i) • f (i + P.natDegree - 1))
              (∑ i ∈ range (j + 1), g i • B.gen ^ i * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2))))) :
      K)
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
h : k = 0
⊢ False
have hk₁ : 0 ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
Tactic: rw [h] at hk
Cleared hypotheses: hk, h