awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
feq :
  ∀ (i : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
i j : ι
hij : i = j
pos :
  (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
⊢ (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
have pos₁ : Eq (α := V) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)
Tactic: rw [← hij, ← feq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
feq :
  ∀ (i : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
i j : ι
hij : ¬i = j
⊢ (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
have this : HMul.hMul (α := R) (β := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) (1 : R) =
  HMul.hMul (α := R) (β := R) (1 : R) ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
Tactic: have := h' i j hij 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
feq :
  ∀ (i : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
i j : ι
hij : ¬i = j
this :
  HMul.hMul (α := R) (β := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
      (1 : R) =
    HMul.hMul (α := R) (β := R) (1 : R)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
⊢ (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
have this₁ : Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
  ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
Tactic: simp only [mul_one, one_mul] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
feq :
  ∀ (i : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
i j : ι
hij : ¬i = j
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
⊢ (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
have neg : HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
  HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
    ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
Tactic: rw [feq, ← this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
feq :
  ∀ (i : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
i j : ι
hij : ¬i = j
this :
  Eq.{u_1 + 1} (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
    ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
neg :
  HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
⊢ (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
have neg₁ : HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
    ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
  HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
    ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
Tactic: rw [feq, ← this]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
feq :
  ∀ (i : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have feq₁ : ∀ (i j : ι),
  (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
      ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
Tactic: replace feq (i j) : f (b j) = b.coord i (f (b i)) • b j := by
    by_cases hij : i = j
    · rw [← hij, ← feq]
    · have := h' i j hij 1
      simp only [mul_one, one_mul] at this
      rw [feq, ← this]
Cleared hypotheses: feq
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
feq :
  ∀ (i j : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
i : ι := Classical.ofNonempty
r : R
⊢ Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
have obtain : ∀ (j : ι) (hij : j ≠ i), Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
Tactic: obtain ⟨j, hij⟩ := exists_ne i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
feq :
  ∀ (i j : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
i : ι := Classical.ofNonempty
r : R
j : ι
hij : j ≠ i
⊢ Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
have rw : HMul.hMul (β := R) r
    ((b.coord j : (a : V) → R)
        (HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
          ((b.coord i : (a : V) → R)
              (HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
                ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
                ((b : (a : ι) → V) i : V)) :
            R)
          ((b : (a : ι) → V) j : V)) :
      R) =
  HMul.hMul (β := R) r
    ((b.coord i : (a : V) → R)
        (HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
          ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) i : V)) :
      R)
Tactic: rw [commute_iff_eq, h' i j (Ne.symm hij), feq i j, feq i i]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
feq :
  ∀ (i j : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
i : ι := Classical.ofNonempty
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have ha : ∀ (r : R), Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
Tactic: have ha (r) : Commute (b.coord i (f (b i))) r := by
    obtain ⟨j, hij⟩ := exists_ne i
    rw [commute_iff_eq, h' i j (Ne.symm hij), feq i j, feq i i]
    simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
feq :
  ∀ (i j : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
i : ι := Classical.ofNonempty
ha : ∀ (r : R), Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have refine_1 : Membership.mem (α := R) (γ := Subring R) (Subring.center R)
  ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
Tactic: refine ⟨⟨b.coord i (f (b i)), ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
feq :
  ∀ (i j : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
i : ι := Classical.ofNonempty
ha : ∀ (r : R), Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
refine_1 :
  Membership.mem (α := R) (γ := Subring R) (Subring.center R)
    ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R)
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have refine_2 : f =
  HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
    (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) sorry :
      ↥(Subring.center R))
    1
Tactic: refine ⟨⟨b.coord i (f (b i)), ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
f : V →ₗ[R] V
ι : Type u_3
inst_4 : Nontrivial ι
b : Basis ι R V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
h' :
  ∀ (i j : ι) (hij : i ≠ j) (r : R),
    HMul.hMul (α := R) ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) r =
      HMul.hMul (β := R) r ((b.coord j : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) : V) : R)
feq :
  ∀ (i j : ι),
    (f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) j : V) =
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := V)
        ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V) : R) ((b : (a : ι) → V) j : V)
i : ι := Classical.ofNonempty
ha : ∀ (r : R), Commute ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) r
⊢ f =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
      (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x)
          ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) ⋯ :
        ↥(Subring.center R))
      1
have refine_2 : ∀ (i_1 : ι),
  Eq (α := V) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i_1 : V) : V)
    ((HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V)
            (Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦ Membership.mem (γ := Subring R) (Subring.center R) x)
                ((b.coord i : (a : V) → R) ((f : (a : V) → V) ((b : (a : ι) → V) i : V) : V)) sorry :
              ↥(Subring.center R))
            1 :
          (a : V) → V)
        ((b : (a : ι) → V) i_1 : V) :
      V)
Tactic: apply b.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have inl : ∀ (hV : Subsingleton V), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial V with hV | hV
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
inl : ∀ (hV : Subsingleton V), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have inr : ∀ (hV : Nontrivial V), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial V with hV | hV
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
hV : Subsingleton V
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have h₁ : f = HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V) 1 1
Tactic: use 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
hV : Subsingleton V
⊢ f = HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V) 1 1
have h₁ : ∀ (x : V),
  Eq (α := V) ((f : (a : V) → V) x : V)
    ((HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := ↥(Subring.center R)) (β := V →ₗ[R] V) 1 1 : (a : V) → V) x : V)
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
hV : Nontrivial V
ι : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R V
b : Basis ι R V := Free.chooseBasis R V
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have inr : ∀ (hι : Subsingleton ι), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial ι with hι | hι
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
hV : Nontrivial V
ι : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R V
b : Basis ι R V := Free.chooseBasis R V
inr : ∀ (hι : Subsingleton ι), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have inr₁ : ∀ (hι : Nontrivial ι), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: rcases subsingleton_or_nontrivial ι with hι | hι
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
hV : Nontrivial V
ι : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R V
b : Basis ι R V := Free.chooseBasis R V
hι : Subsingleton ι
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have this : Nonempty ι
Tactic: have : Nonempty ι := Free.instNonemptyChooseBasisIndexOfNontrivial R V
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : Ring R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : StrongRankCondition R
inst_3 : AddCommGroup V
inst_4 : Module R V
inst_5 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
hV1 : finrank R V ≠ 1
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
hV : Nontrivial V
ι : Type u_2 := Free.ChooseBasisIndex R V
b : Basis ι R V := Free.chooseBasis R V
hι : Subsingleton ι
this : Nonempty ι
⊢ ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have inr : ∀ (this : Fintype ι), ∃ (a : ↥(Subring.center R)), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
inst_4 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
⊢ ∃ (a : R), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have pos : ∀ (hV1 : finrank R V = 1), ∃ (a : R), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: by_cases hV1 : finrank R V = 1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.Center (goal)
Goal:
R : Type u_1
V : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : IsDomain R
inst_2 : AddCommGroup V
inst_3 : Module R V
inst_4 : Free R V
f : V →ₗ[R] V
h : ∀ (v : V), ¬LinearIndependent (ι := Fin (Nat.succ 0).succ) R ![v, (f : (a : V) → V) v]
pos : ∀ (hV1 : finrank R V = 1), ∃ (a : R), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
⊢ ∃ (a : R), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
have neg : ∀ (hV1 : ¬finrank R V = 1), ∃ (a : R), f = HSMul.hSMul (β := V →ₗ[R] V) a 1
Tactic: by_cases hV1 : finrank R V = 1