awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
rw :
  (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (a : E), (↑γ : ℝ≥0∞) * (‖u a‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u a)) ∂μ
⊢ (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * (↑γ : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ
have rw₁ : Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (x : E) ↦ ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)
Tactic: rw [mul_assoc, ← lintegral_const_mul γ]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (a : E), (↑γ : ℝ≥0∞) * (‖u a‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u a)) ∂μ
have bc : ∀ (x : E),
  enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ≤
    (↑γ : ℝ≥0∞) * (‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x))
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
x : E
⊢ enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ≤
    (↑γ : ℝ≥0∞) * (‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x))
have bc : enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ≤ (↑γ : ℝ≥0∞) * ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)
Tactic: simp_rw [← mul_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (x : E) ↦
    (↑‖u x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * (↑(nnnorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)) : ℝ≥0∞)
have funProp : ?m ≤ ?x✝
Tactic: fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
funProp : ?m ≤ ?x✝
⊢ Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (x : E) ↦
    (↑‖u x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * (↑(nnnorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)) : ℝ≥0∞)
have funProp₁ : MeasurableEmbedding (β := ℝ≥0) fun (x2 : F') ↦ ‖x2‖₊
Tactic: fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
funProp : ?m ≤ ?x✝
funProp₁ : MeasurableEmbedding (β := ℝ≥0) fun (x2 : F') ↦ ‖x2‖₊
⊢ Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (x : E) ↦
    (↑‖u x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * (↑(nnnorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)) : ℝ≥0∞)
have funProp₂ : inst_2 ≤ inst_2
Tactic: fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
funProp : ?m ≤ ?x✝
funProp₁ : MeasurableEmbedding (β := ℝ≥0) fun (x2 : F') ↦ ‖x2‖₊
funProp₂ : inst_2 ≤ inst_2
⊢ Measurable (β := ℝ≥0∞) fun (x : E) ↦
    (↑‖u x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * (↑(nnnorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)) : ℝ≥0∞)
have funProp₃ : MeasurableEmbedding (β := ℝ≥0∞ × ℝ≥0∞) fun (x : E) ↦
  ((↑‖u x‖₊ : ℝ≥0∞) ^ ((↑γ : ℝ) - 1), (↑(nnnorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)) : ℝ≥0∞))
Tactic: fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ (↑C : ℝ≥0∞) * (↑γ : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * (↑γ : ℝ≥0∞) *
      ((∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) *
        (∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ^ (↑p : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑p : ℝ)))
have bc : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ ≤
  (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) *
    (∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ^ (↑p : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑p : ℝ))
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ ≤
    (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) *
      (∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ^ (↑p : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑p : ℝ))
have h : ∀ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) = (‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1)) ^ (↑p : ℝ).conjExponent
Tactic: convert!
          ENNReal.lintegral_mul_le_Lp_mul_Lq μ (.symm <| .conjExponent <| show 1 < (p : ℝ) from hp)
            ?_ ?_ using 5
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
h : ∀ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) = (‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1)) ^ (↑p : ℝ).conjExponent
⊢ ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ ≤
    (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) *
      (∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ^ (↑p : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑p : ℝ))
have bc : AEMeasurable (β := ℝ≥0∞) (fun (x : E) ↦ ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1)) μ
Tactic: convert!
          ENNReal.lintegral_mul_le_Lp_mul_Lq μ (.symm <| .conjExponent <| show 1 < (p : ℝ) from hp)
            ?_ ?_ using 5
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
h : ∀ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) = (‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1)) ^ (↑p : ℝ).conjExponent
bc : AEMeasurable (β := ℝ≥0∞) (fun (x : E) ↦ ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1)) μ
⊢ ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ ≤
    (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) *
      (∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ^ (↑p : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑p : ℝ))
have bc₁ : AEMeasurable (β := ℝ≥0∞) (fun (x : E) ↦ enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x)) μ
Tactic: convert!
          ENNReal.lintegral_mul_le_Lp_mul_Lq μ (.symm <| .conjExponent <| show 1 < (p : ℝ) from hp)
            ?_ ?_ using 5
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ AEMeasurable (β := ℝ≥0∞) (fun (x : E) ↦ ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1)) μ
have this : let this := borel F';
BorelSpace F'
Tactic: borelize F'