awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
⊢ CauchySeq u
have refine : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε * (1 / 2) ^ n
Tactic: refine cauchySeq_of_le_geometric _ ε one_half_lt_one fun n => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
⊢ False
have cauchy_u : CauchySeq u
Tactic: have cauchy_u : CauchySeq u := by
    refine cauchySeq_of_le_geometric _ ε one_half_lt_one fun n => ?_
    simpa only [one_div, inv_pow] using key₁ n
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
⊢ False
have obtain : ∀ (y : X) (limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)), False
Tactic: obtain ⟨y, limy⟩ : ∃ y, Tendsto u atTop (𝓝 y) := CompleteSpace.complete cauchy_u
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this_1 : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
v : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (ϕ ∘ u) (n + 1)
this : Tendsto v atTop atTop
⊢ Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
have rwa : ∀ (this : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop), Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
Tactic: rwa [tendsto_add_atTop_iff_nat] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
v : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (ϕ ∘ u) (n + 1)
⊢ Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
have suffices : Tendsto v atTop atTop
Tactic: suffices Tendsto v atTop atTop by rwa [tendsto_add_atTop_iff_nat] at this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
v : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (ϕ ∘ u) (n + 1)
⊢ 0 ≤ 2 * ϕ (u 0)
have nonneg₁ : 0 ≤ ϕ x
Tactic: specialize nonneg x
Cleared hypotheses: nonneg
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
v : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (ϕ ∘ u) (n + 1)
⊢ 0 < v 0
have ϕ₁ : 0 ≤ 2 * ϕ (u 0)
Tactic: calc
        0 ≤ 2 * ϕ (u 0) := by specialize nonneg x; positivity
        _ < ϕ (u (0 + 1)) := key₂ 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
v : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (ϕ ∘ u) (n + 1)
⊢ Tendsto v atTop atTop
have hv₀ : 0 < v 0
Tactic: have hv₀ : 0 < v 0 := by
      calc
        0 ≤ 2 * ϕ (u 0) := by specialize nonneg x; positivity
        _ < ϕ (u (0 + 1)) := key₂ 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (goal)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
v : (n : ℕ) → ℝ := fun (n : ℕ) ↦ (ϕ ∘ u) (n + 1)
hv₀ : 0 < v 0
⊢ Tendsto v atTop atTop
have apply : ∀ (n : ℕ), 2 * v n ≤ v (n + 1)
Tactic: apply tendsto_atTop_of_geom_le hv₀ one_lt_two
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
⊢ False
have lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
Tactic: have lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop := by
    let v n := (ϕ ∘ u) (n + 1)
    suffices Tendsto v atTop atTop by rwa [tendsto_add_atTop_iff_nat] at this
    have hv₀ : 0 < v 0 := by
      calc
        0 ≤ 2 * ϕ (u 0) := by specialize nonneg x; positivity
        _ < ϕ (u (0 + 1)) := key₂ 0
    apply tendsto_atTop_of_geom_le hv₀ one_lt_two
    exact fun n => (key₂ (n + 1)).le
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Hofer (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
inst : MetricSpace X
inst_1 : CompleteSpace X
x : X
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
ϕ : X → ℝ
cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] ϕ
nonneg : ∀ (y : X), 0 ≤ ϕ y
reformulation : ∀ (x' : X) (k : ℕ), ε * ϕ x ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x' ↔ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x'
this : Nonempty X
F : (k : ℕ) → (x' : X) → X
hF :
  ∀ (k : ℕ) (x' : X),
    d x' x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 k * ϕ x ≤ ϕ x' →
      d x' (F k x') ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 k ∧ 2 * ϕ x' < ϕ (F k x')
u : ℕ → X := fun (n : ℕ) ↦ Nat.recOn (motive := fun (x : ℕ) ↦ X) n x F
hu :
  ∀ (n : ℕ),
    d (u n) x ≤ 2 * ε ∧ HPow.hPow (α := ℝ) 2 n * ϕ x ≤ ϕ (u n) →
      d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key : ∀ (n : ℕ), d (u n) (u (n + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 n ∧ 2 * ϕ (u n) < ϕ (u (n + 1))
key₁ : ∀ (x : ℕ), d (u x) (u (x + 1)) ≤ ε / HPow.hPow (α := ℝ) 2 x
key₂ : ∀ (x : ℕ), 2 * ϕ (u x) < ϕ (u (x + 1))
cauchy_u : CauchySeq u
y : X
limy : Tendsto u atTop (𝓝 y)
lim_top : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop atTop
⊢ False
have lim : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop (𝓝 (ϕ y))
Tactic: have lim : Tendsto (ϕ ∘ u) atTop (𝓝 (ϕ y)) := Tendsto.comp cont.continuousAt limy
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
have rw : ⟪(LinearIsometryEquiv.symm (toDual 𝕜 E) : (a : StrongDual 𝕜 E) → E)
      ((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
        E →L[𝕜] 𝕜),
    x⟫_𝕜 =
  ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
Tactic: rw [adjointAux_apply, toDual_symm_apply, toSesqForm_apply_coe, coe_comp', coe_innerSL_apply,
    Function.comp_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  ⟪(LinearIsometryEquiv.symm (toDual 𝕜 E) : (a : StrongDual 𝕜 E) → E)
        ((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜),
      x⟫_𝕜 =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
⊢ ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
have rw₁ : (((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y : E →L[𝕜] 𝕜) :
      (a : E) → 𝕜)
    x =
  ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
Tactic: rw [adjointAux_apply, toDual_symm_apply, toSesqForm_apply_coe, coe_comp', coe_innerSL_apply,
    Function.comp_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  ⟪(LinearIsometryEquiv.symm (toDual 𝕜 E) : (a : StrongDual 𝕜 E) → E)
        ((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜),
      x⟫_𝕜 =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₁ :
  (((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜) :
        (a : E) → 𝕜)
      x =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
⊢ ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
have rw₂ : (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y) A : (a : E) → 𝕜) x = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
Tactic: rw [adjointAux_apply, toDual_symm_apply, toSesqForm_apply_coe, coe_comp', coe_innerSL_apply,
    Function.comp_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  ⟪(LinearIsometryEquiv.symm (toDual 𝕜 E) : (a : StrongDual 𝕜 E) → E)
        ((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜),
      x⟫_𝕜 =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₁ :
  (((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜) :
        (a : E) → 𝕜)
      x =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₂ : (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y) A : (a : E) → 𝕜) x = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
⊢ ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
have rw₃ : Function.comp.{u_2 + 1, u_3 + 1, u_1 + 1} (β := F) (⇑((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y : F →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → 𝕜)
    (⇑A : (a : E) → F) x =
  ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
Tactic: rw [adjointAux_apply, toDual_symm_apply, toSesqForm_apply_coe, coe_comp', coe_innerSL_apply,
    Function.comp_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  ⟪(LinearIsometryEquiv.symm (toDual 𝕜 E) : (a : StrongDual 𝕜 E) → E)
        ((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜),
      x⟫_𝕜 =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₁ :
  (((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜) :
        (a : E) → 𝕜)
      x =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₂ : (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y) A : (a : E) → 𝕜) x = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₃ :
  Function.comp.{u_2 + 1, u_3 + 1, u_1 + 1} (β := F) (⇑((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y : F →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → 𝕜)
      (⇑A : (a : E) → F) x =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
⊢ ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
have rw₄ : ((fun (w : F) ↦ ⟪y, w⟫_𝕜) ∘ (⇑A : (a : E) → F)) x = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
Tactic: rw [adjointAux_apply, toDual_symm_apply, toSesqForm_apply_coe, coe_comp', coe_innerSL_apply,
    Function.comp_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  ⟪(LinearIsometryEquiv.symm (toDual 𝕜 E) : (a : StrongDual 𝕜 E) → E)
        ((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜),
      x⟫_𝕜 =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₁ :
  (((((toSesqForm : (a : E →L[𝕜] F) → F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) A : F →L⋆[𝕜] E →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → E →L[𝕜] 𝕜) y :
          E →L[𝕜] 𝕜) :
        (a : E) → 𝕜)
      x =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₂ : (comp (σ₂₃ := RingHom.id 𝕜) ((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y) A : (a : E) → 𝕜) x = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₃ :
  Function.comp.{u_2 + 1, u_3 + 1, u_1 + 1} (β := F) (⇑((innerSL 𝕜 : (a : F) → F →L[𝕜] 𝕜) y : F →L[𝕜] 𝕜) : (a : F) → 𝕜)
      (⇑A : (a : E) → F) x =
    ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
rw₄ : ((fun (w : F) ↦ ⟪y, w⟫_𝕜) ∘ (⇑A : (a : E) → F)) x = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
⊢ ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
have rw₅ : ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜 = ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜
Tactic: rw [adjointAux_apply, toDual_symm_apply, toSesqForm_apply_coe, coe_comp', coe_innerSL_apply,
    Function.comp_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
⊢ ⟪x, (((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y⟫_𝕜 = ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
have rw : (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 =
  ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
Tactic: rw [← inner_conj_symm, adjointAux_inner_left, inner_conj_symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 =
    ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
⊢ ⟪x, (((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y⟫_𝕜 = ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
have rw₁ : (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜 = ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
Tactic: rw [← inner_conj_symm, adjointAux_inner_left, inner_conj_symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
A : E →L[𝕜] F
x : E
y : F
rw :
  (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) ⟪(((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y, x⟫_𝕜 =
    ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
rw₁ : (starRingEnd 𝕜 : (a : 𝕜) → 𝕜) ⟪y, (A : (a : E) → F) x⟫_𝕜 = ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
⊢ ⟪x, (((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A : F →L[𝕜] E) : (a : F) → E) y⟫_𝕜 = ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
have rw₂ : ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜 = ⟪(A : (a : E) → F) x, y⟫_𝕜
Tactic: rw [← inner_conj_symm, adjointAux_inner_left, inner_conj_symm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Adjoint (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst : RCLike 𝕜
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedAddCommGroup F
inst_3 : InnerProductSpace 𝕜 E
inst_4 : InnerProductSpace 𝕜 F
inst_5 : CompleteSpace E
inst_6 : CompleteSpace F
A : E →L[𝕜] F
⊢ (adjointAux : (a : F →L[𝕜] E) → E →L[𝕜] F) ((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A) = A
have h : ∀ (v : E),
  Eq.{u_3 + 1} (α := F)
    ((((adjointAux : (a : F →L[𝕜] E) → E →L[𝕜] F) ((adjointAux : (a : E →L[𝕜] F) → F →L[𝕜] E) A) : E →L[𝕜] F) :
          (a : E) → F)
        v :
      F)
    ((A : (a : E) → F) v : F)
Tactic: ext v