awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : Nontrivial R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : R[X]
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q : R[X]
r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree
hf : f = q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
hc : ∀ (x : ι) (hx : x ∈ s), HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x ^ n x) : K) (gi x ^ n x) = 1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ HMul.hMul (α := K) (β := K)
      ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (∑ j : Fin (n i), r i j * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) : K)
      (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K) =
    ∑ j : Fin (n i),
      HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
        (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1))
have rw : Eq.{u_2 + 1} (α := K)
  (∑ i_1 : Fin (n i),
    HMul.hMul (α := K) (β := K)
      ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
          (r i ((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) i_1) *
              g i ^ (↑((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) i_1) : ℕ) *
            ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) :
        K)
      (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K))
  (∑ j : Fin (n i),
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
      (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)))
Tactic: rw [map_sum, Finset.sum_mul, ← Equiv.sum_comp Fin.revPerm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : Nontrivial R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : R[X]
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q : R[X]
r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree
hf : f = q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
hc : ∀ (x : ι) (hx : x ∈ s), HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x ^ n x) : K) (gi x ^ n x) = 1
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := K)
    (∑ i_1 : Fin (n i),
      HMul.hMul (α := K) (β := K)
        ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
            (r i ((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) i_1) *
                g i ^ (↑((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) i_1) : ℕ) *
              ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) :
          K)
        (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K))
    (∑ j : Fin (n i),
      HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
        (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)))
have refine : ∀ (j : Fin (n i)),
  HMul.hMul (α := K) (β := K)
      ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
          (r i ((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) j) *
              g i ^ (↑((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) j) : ℕ) *
            ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) :
        K)
      (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K) =
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
      (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1))
Tactic: refine Fintype.sum_congr _ _ fun j => ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : Nontrivial R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : R[X]
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q : R[X]
r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree
hf : f = q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
hc : ∀ (x : ι) (hx : x ∈ s), HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x ^ n x) : K) (gi x ^ n x) = 1
i : ι
hi : i ∈ s
j : Fin (n i)
⊢ HMul.hMul (α := K) (β := K)
      ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
          (r i ((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) j) *
              g i ^ (↑((Fin.revPerm : (a : Fin (n i)) → Fin (n i)) j) : ℕ) *
            ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) :
        K)
      (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K) =
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
      (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1))
have rw : HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j.rev) : K)
    (gi i ^ n i * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j.rev : ℕ)) =
  HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
    (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1))
Tactic: rw [Fin.revPerm_apply, map_mul, map_prod, ← Finset.prod_erase_mul s _ hi,
    ← mul_rotate', mul_assoc, ← Finset.prod_mul_distrib,
    Finset.prod_congr rfl fun x hx => hc x (Finset.mem_of_mem_erase hx),
    Finset.prod_const_one, mul_one, map_mul, map_pow, mul_left_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : Nontrivial R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : R[X]
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q : R[X]
r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree
hf : f = q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
hc : ∀ (x : ι) (hx : x ∈ s), HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x ^ n x) : K) (gi x ^ n x) = 1
i : ι
hi : i ∈ s
j : Fin (n i)
⊢ HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j.rev) : K)
      (gi i ^ n i * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j.rev : ℕ)) =
    HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) ((fun (i : ι) (j : Fin (n i)) ↦ r i j.rev) i j) : K)
      (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1))
have refine : gi i ^ n i * HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (↑j.rev : ℕ) = gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)
Tactic: refine congrArg (_ * ·) ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : Nontrivial R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : R[X]
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
⊢ ∃ (q : R[X]) (r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]),
    (∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree) ∧
      HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) f : K) (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K) =
        HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K)
have obtain : ∀ (q : R[X]) (r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]) (hr : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree)
  (hf : f = q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k),
  ∃ (q : R[X]) (r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]),
    (∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r i j).degree < (g i).degree) ∧
      HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) f : K) (∏ i ∈ s, gi i ^ n i : K) =
        HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K)
Tactic: classical
  obtain ⟨q, r, hr, hf⟩ := eq_quo_mul_prod_pow_add_sum_rem_mul_prod_pow f hg hgg n
  refine ⟨q, fun i j => r i j.rev, fun i hi j => hr i hi j.rev, ?_⟩
  rw [hf, map_add, map_mul, map_prod, add_mul, mul_assoc, ← Finset.prod_mul_distrib]
  have hc (x : ι) (hx : x ∈ s) : (algebraMap R[X] K) (g x ^ n x) * gi x ^ n x = 1 := by
    rw [map_pow, ← mul_pow, mul_comm, hgi x hx, one_pow]
  rw [Finset.prod_congr rfl hc, Finset.prod_const_one,
    mul_one, add_right_inj, map_sum, Finset.sum_mul]
  refine Finset.sum_congr rfl fun i hi => ?_
  rw [map_sum, Finset.sum_mul, ← Equiv.sum_comp Fin.revPerm]
  refine Fintype.sum_congr _ _ fun j => ?_
  rw [Fin.revPerm_apply, map_mul, map_prod, ← Finset.prod_erase_mul s _ hi,
    ← mul_rotate', mul_assoc, ← Finset.prod_mul_distrib,
    Finset.prod_congr rfl fun x hx => hc x (Finset.mem_of_mem_erase hx),
    Finset.prod_const_one, mul_one, map_mul, map_pow, mul_left_comm]
  refine congrArg (_ * ·) ?_
  rw [← mul_one (gi i ^ (j.1 + 1)), ← @one_pow K _ j.rev, ← hgi i hi,
    mul_pow, ← mul_assoc, ← pow_add, Fin.val_rev, Nat.add_sub_cancel' (by lia)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hf :
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) =
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K)
hff :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K) *
        ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
        (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
⊢ q₁ = q₂ ∧ ∀ i ∈ s, r₁ i = r₂ i
have hf₁ : HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) *
    ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) *
    ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i)
Tactic: apply_fun (· * ∏ i ∈ s, algebraMap R[X] K (g i) ^ n i) at hf
Cleared hypotheses: hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hff :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K) *
        ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
        (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
hf :
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
        (∑ i ∈ s,
            ∑ j : Fin (n i),
              HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
          K) *
      ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
        (∑ i ∈ s,
            ∑ j : Fin (n i),
              HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
          K) *
      ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i)
⊢ q₁ = q₂ ∧ ∀ i ∈ s, r₁ i = r₂ i
have hf₁ : q₁ * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r₁ i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k =
  q₂ * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r₂ i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
Tactic: rw [hff, hff, (FaithfulSMul.algebraMap_injective R[X] K).eq_iff] at hf
Cleared hypotheses: hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hff :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K) *
        ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
        (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
hf :
  q₁ * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r₁ i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k =
    q₂ * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r₂ i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
⊢ q₁ = q₂ ∧ ∀ i ∈ s, r₁ i = r₂ i
have hq : q₁ = q₂
Tactic: obtain ⟨hq, hr⟩ := quo_mul_prod_pow_add_sum_rem_mul_prod_pow_unique hg hgg
      (fun i hi j => hr₁ i hi j.rev) (fun i hi j => hr₂ i hi j.rev) hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hff :
  ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
          (∑ i ∈ s,
              ∑ j : Fin (n i),
                HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
            K) *
        ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
      (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
        (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
hf :
  q₁ * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r₁ i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k =
    q₂ * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r₂ i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k
hq : q₁ = q₂
⊢ q₁ = q₂ ∧ ∀ i ∈ s, r₁ i = r₂ i
have hr : ∀ i ∈ s, Eq.{u_1 + 1} (α := Fin (n i) → R[X]) (fun (j : Fin (n i)) ↦ r₁ i j.rev) fun (j : Fin (n i)) ↦ r₂ i j.rev
Tactic: obtain ⟨hq, hr⟩ := quo_mul_prod_pow_add_sum_rem_mul_prod_pow_unique hg hgg
      (fun i hi j => hr₁ i hi j.rev) (fun i hi j => hr₂ i hi j.rev) hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hf :
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) =
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K)
⊢ q₁ = q₂ ∧ ∀ i ∈ s, r₁ i = r₂ i
have suffices : ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
        (∑ i ∈ s,
            ∑ j : Fin (n i),
              HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
          K) *
      ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
      (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
Tactic: suffices hff : ∀ {q : R[X]} {r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]},
      (algebraMap R[X] K q + ∑ i ∈ s, ∑ j,
        algebraMap R[X] K (r i j) * gi i ^ (j.1 + 1)) * ∏ i ∈ s, algebraMap R[X] K (g i) ^ n i =
      algebraMap R[X] K (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s,
        ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ j.1 * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k) by
    apply_fun (· * ∏ i ∈ s, algebraMap R[X] K (g i) ^ n i) at hf
    rw [hff, hff, (FaithfulSMul.algebraMap_injective R[X] K).eq_iff] at hf
    obtain ⟨hq, hr⟩ := quo_mul_prod_pow_add_sum_rem_mul_prod_pow_unique hg hgg
      (fun i hi j => hr₁ i hi j.rev) (fun i hi j => hr₂ i hi j.rev) hf
    exact ⟨hq, fun i hi => funext fun j => j.rev_rev ▸ congrFun (hr i hi) j.rev⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Polynomial.PartialFractions (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
K : Type u_2
inst_1 : CommRing K
inst_2 : Algebra.{u_1, u_2} R[X] K
inst_3 : FaithfulSMul.{u_1, u_2} R[X] K
ι : Type u_3
s : Finset ι
g : ι → R[X]
hg : ∀ i ∈ s, (g i).Monic
hgg : (↑s : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ IsCoprime (g i) (g j)
n : ι → ℕ
gi : ι → K
hgi : ∀ i ∈ s, HMul.hMul (β := K) (gi i) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) = 1
q₁ q₂ : R[X]
r₁ r₂ : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
hr₁ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₁ i j).degree < (g i).degree
hr₂ : ∀ i ∈ s, ∀ (j : Fin (n i)), (r₂ i j).degree < (g i).degree
hf :
  HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₁ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₁ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K) =
    HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q₂ : K)
      (∑ i ∈ s,
          ∑ j : Fin (n i),
            HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r₂ i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
        K)
q : R[X]
r : (i : ι) → Fin (n i) → R[X]
⊢ HAdd.hAdd (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
        (∑ i ∈ s,
            ∑ j : Fin (n i),
              HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r i j) : K) (gi i ^ ((↑j : ℕ) + 1)) :
          K) *
      ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
    (algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K)
      (q * ∏ i ∈ s, g i ^ n i + ∑ i ∈ s, ∑ j : Fin (n i), r i j.rev * g i ^ (↑j : ℕ) * ∏ k ∈ s.erase i, g k ^ n k)
have simp_rw : HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
      (∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) : K) +
    ∑ x ∈ s,
      ∑ i : Fin (n x),
        HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r x i) : K) (gi x ^ ((↑i : ℕ) + 1)) *
          ∏ i ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g i) : K) (n i) =
  HMul.hMul (α := K) (β := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) q : K)
      (∏ x ∈ s, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x) : K) +
    ∑ x ∈ s,
      ∑ x_1 : Fin (n x),
        HMul.hMul (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (r x x_1.rev) : K)
            (HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (↑x_1 : ℕ)) *
          ∏ x ∈ s.erase x, HPow.hPow (α := K) ((algebraMap R[X] K : (a : R[X]) → K) (g x) : K) (n x)
Tactic: simp_rw [add_mul, Finset.sum_mul, map_add, map_sum, map_mul, map_prod, map_pow]