awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
⊢ ∃ δ > 0, ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
have apply : f ⁻¹' v ∈ 𝓝 z
Tactic: apply Metric.mem_nhds_iff.1
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
⊢ False
have h₂ : ∀ (δ : ℝ) (δpos : δ > 0) (hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v), False
Tactic: obtain ⟨δ, δpos, hδ⟩ : ∃ δ > (0 : ℝ), ball z δ ⊆ f ⁻¹' v := by
      apply Metric.mem_nhds_iff.1
      exact f_cont.continuousAt.preimage_mem_nhds (v_open.mem_nhds fzv)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
⊢ False
have h₂ : ∀ (n : ℕ) (hn : u n + dist (y n) z < δ), False
Tactic: obtain ⟨n, hn⟩ : ∃ n, u n + dist (y n) z < δ :=
      haveI : Tendsto (fun n => u n + dist (y n) z) atTop (𝓝 0) := by
        simpa only [add_zero] using u_lim.add (tendsto_iff_dist_tendsto_zero.1 y_lim)
      ((tendsto_order.1 this).2 _ δpos).exists
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
⊢ f '' (↑(s n) : Set γ) ⊆ v
have rw : (↑(s n) : Set γ) ⊆ f ⁻¹' v
Tactic: rw [image_subset_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
⊢ (↑(s n) : Set γ) ⊆ f ⁻¹' v
have apply : (↑(s n) : Set γ) ⊆ ball z δ
Tactic: apply Subset.trans _ hδ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
a : γ
ha : a ∈ (↑(s n) : Set γ)
⊢ dist a (y n) + dist (y n) z ≤ u n + dist (y n) z
have grw : diam (↑(s n) : Set γ) + dist (y n) z ≤ u n + dist (y n) z
Tactic: grw [dist_le_diam_of_mem (hs n).1 ha (hy n), (hs n).2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
a : γ
ha : a ∈ (↑(s n) : Set γ)
grw : diam (↑(s n) : Set γ) + dist (y n) z ≤ u n + dist (y n) z
⊢ dist a (y n) + dist (y n) z ≤ u n + dist (y n) z
have grw₁ : u n + dist (y n) z ≤ u n + dist (y n) z
Tactic: grw [dist_le_diam_of_mem (hs n).1 ha (hy n), (hs n).2]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (goal)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
a : γ
ha : a ∈ (↑(s n) : Set γ)
⊢ a ∈ ball z δ
have dist : dist a (y n) + dist (y n) z ≤ u n + dist (y n) z
Tactic: calc
        dist a z ≤ dist a (y n) + dist (y n) z := dist_triangle _ _ _
        _ ≤ u n + dist (y n) z := by grw [dist_le_diam_of_mem (hs n).1 ha (hy n), (hs n).2]
        _ < δ := hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
⊢ False
have fsnv : f '' (↑(s n) : Set γ) ⊆ v
Tactic: have fsnv : f '' s n ⊆ v := by
      rw [image_subset_iff]
      apply Subset.trans _ hδ
      intro a ha
      calc
        dist a z ≤ dist a (y n) + dist (y n) z := dist_triangle _ _ _
        _ ≤ u n + dist (y n) z := by grw [dist_le_diam_of_mem (hs n).1 ha (hy n), (hs n).2]
        _ < δ := hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.MeasureTheory.Constructions.Polish.Basic (hypothesis)
Goal:
γ : Type u_3
β : Type u_4
inst : TopologicalSpace γ
inst_1 : PolishSpace γ
inst_2 : TopologicalSpace β
inst_3 : T2Space β
inst_4 : MeasurableSpace β
inst_5 : OpensMeasurableSpace β
f : γ → β
f_cont : Continuous[inst, inst_2] f
f_inj : Injective f
this_1 : UpgradedIsCompletelyMetrizableSpace γ := upgradeIsCompletelyMetrizable γ
b : Set (Set γ)
b_count : b.Countable
b_nonempty : ∅ ∉ b
hb : IsTopologicalBasis b
this_2 : Encodable (↑b : Type u_3)
A : Type (max 0 u_3) := { p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3) // Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ) }
q : (p : A) → Set β
hq1 : ∀ (p : A), f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).1 : Set γ) ⊆ q p
hq2 : ∀ (p : A), Disjoint (f '' (↑(↑p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)).2 : Set γ)) (q p)
q_meas : ∀ (p : A), MeasurableSet (q p)
E : (↑b : Type u_3) → Set β :=
  fun (s : (↑b : Type u_3)) ↦
    closure[inst_2] (f '' (↑s : Set γ)) ∩
      ⋂ (t : (↑b : Type u_3)),
        ⋂ (ht : Disjoint (↑s : Set γ) (↑t : Set γ)),
          q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (s, t) ht) \
            q
              (Subtype.mk (p := fun (p : (↑b : Type u_3) × (↑b : Type u_3)) ↦ Disjoint (↑p.1 : Set γ) (↑p.2 : Set γ))
                (t, s) ⋯)
u : ℕ → ℝ
u_anti : StrictAnti u
u_pos : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
u_lim : Tendsto u atTop (𝓝 0)
F : ℕ → Set β :=
  fun (n : ℕ) ↦ ⋃ (s : (↑b : Type u_3)), ⋃ (_ : Bornology.IsBounded (↑s : Set γ) ∧ diam (↑s : Set γ) ≤ u n), E s
x : β
hx : Membership.mem (γ := Set β) (⋂ (n : ℕ), F n) x
s : (n : ℕ) → (↑b : Type u_3)
hs : ∀ (n : ℕ), Bornology.IsBounded (↑(s n) : Set γ) ∧ diam (↑(s n) : Set γ) ≤ u n
hxs : ∀ (n : ℕ), x ∈ E (s n)
y : (n : ℕ) → γ
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ (↑(s n) : Set γ)
I : ∀ (m n : ℕ), ((↑(s m) : Set γ) ∩ (↑(s n) : Set γ)).Nonempty
cauchy_y : CauchySeq y
this : Nonempty γ
z : γ := limUnder atTop y
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 z)
hne : f z ≠ x
v w : Set β
v_open : IsOpen[inst_2] v
w_open : IsOpen[inst_2] w
fzv : f z ∈ v
xw : x ∈ w
hvw : Disjoint v w
δ : ℝ
δpos : δ > 0
hδ : ball z δ ⊆ f ⁻¹' v
n : ℕ
hn : u n + dist (y n) z < δ
fsnv : f '' (↑(s n) : Set γ) ⊆ v
⊢ False
have this₁ : x ∈ closure[inst_2] v
Tactic: have : x ∈ closure v := closure_mono fsnv (hxs n).1