awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
have this₁ : IsAddTorsionFree M
Tactic: have : IsAddTorsionFree M := .of_isTorsionFree R M
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
h₃ :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
have obtain : ∀ (n : ι)
  (hn :
    (P.root : (a : ι) → M) n =
      HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M)),
  (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
Tactic: obtain ⟨n, hn⟩ := h₃
Cleared hypotheses: h₃
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
have hnk_ne : n ≠ k
Tactic: have hnk_ne : n ≠ k := by rintro rfl; simp [sub_eq_zero, hij, add_sub_assoc] at hn
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
have hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: have hkj_ne : k ≠ j ∧ P.root k ≠ -P.root j := (IsReduced.linearIndependent_iff _).mp <|
    P.linearIndependent_of_sub_mem_range_root <| h₂ ▸ mem_range_self m
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
have h : HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: convert! b.sub_notMem_range_root hi hj using 2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
    HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
have h : HSub.hSub (β := M)
    (HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M))
    ((P.root : (a : ι) → M) k : M) =
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
Tactic: rw [hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
⊢ (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i m + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-k) + 1) =
    (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) j (-l) + 1) *
      (chainBotCoeff.{u_1, u_2, u_3, u_4} (R := R) (M := M) (N := N) (P := P) i k + 1)
have hnk_notMem : HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
  range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
Tactic: have hnk_notMem : P.root n - P.root k ∉ range P.root := by
    convert! b.sub_notMem_range_root hi hj using 2; rw [hn]; module
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ P.pairingIn ℤ j i = -P.pairingIn ℤ m i
have suffices : P.pairing j i = -P.pairing m i
Tactic: suffices P.pairing j i = - P.pairing m i from
      algebraMap_injective ℤ R <| by simpa only [algebraMap_pairingIn, map_neg]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
⊢ P.pairing k i = 0
have rw : Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (P.pairingIn ℤ k i) : R) (0 : R)
Tactic: rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ, hki, map_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.GeckConstruction.Lemmas (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : CharZero R
inst_2 : IsDomain R
inst_3 : AddCommGroup M
inst_4 : Module R M
inst_5 : AddCommGroup N
inst_6 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_7 : Finite ι
inst_8 : P.IsCrystallographic
b : P.Base
i j k l m : ι
inst_9 : P.IsReduced
inst_10 : P.IsIrreducible
hi : i ∈ b.support
hj : j ∈ b.support
hij : i ≠ j
h₁ :
  HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) = (P.root : (a : ι) → M) l
h₂ :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) = (P.root : (a : ι) → M) m
hki : P.pairingIn ℤ k i = 0
this_1 : Module.IsReflexive R M := ⋯
him_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ((P.root : (a : ι) → M) m : M))
hjl_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-l) : M))
hjk_mem :
  Membership.mem (γ := Set M) (range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M))
    (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ((P.root : (a : ι) → M) (-k) : M))
this_2 : P.IsNotG2
this_3 : InvolutiveNeg ι := P.indexNeg
this : IsAddTorsionFree M
n : ι
hn :
  (P.root : (a : ι) → M) n =
    HSub.hSub (β := M) (HAdd.hAdd («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ((P.root : (a : ι) → M) i : M))
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_ne : n ≠ k
hkj_ne : k ≠ j ∧ Ne.{u_3 + 1} («α» := M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) (-(P.root : (a : ι) → M) j : M)
hnk_notMem :
  HSub.hSub («α» := M) (β := M) ((P.root : (a : ι) → M) n : M) ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉
    range.{u_3, u_1 + 1} (ι := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M)
rw : Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) (P.pairingIn ℤ k i) : R) (0 : R)
⊢ P.pairing k i = 0
have rw₁ : Eq («α» := R) ((algebraMap ℤ R : (a : ℤ) → R) 0 : R) (0 : R)
Tactic: rw [← P.algebraMap_pairingIn ℤ, hki, map_zero]