awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
⊢ (x =
      linearCombination R y' ∘ₗ
        linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)) ∧
    Eq (α := Fin k →₀ R)
      ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
            (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
          f :
        Fin k →₀ R)
      (0 : Fin k →₀ R)
have h : x =
  linearCombination R y' ∘ₗ
    linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
h :
  x =
    linearCombination R y' ∘ₗ
      linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)
⊢ (x =
      linearCombination R y' ∘ₗ
        linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)) ∧
    Eq (α := Fin k →₀ R)
      ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
            (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
          f :
        Fin k →₀ R)
      (0 : Fin k →₀ R)
have h₁ : Eq (α := Fin k →₀ R)
  ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
        (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
      f :
    Fin k →₀ R)
  (0 : Fin k →₀ R)
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
⊢ x =
    linearCombination R y' ∘ₗ
      linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i)
have h : ∀ (i : Fin l),
  Eq.{u_2 + 1} (α := M)
    ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) ((Finsupp.basisSingleOne : (a : Fin l) → Fin l →₀ R) i : Fin l →₀ R) : M)
    ((linearCombination R y' ∘ₗ
            linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
          (a : Fin l →₀ R) → M)
        ((Finsupp.basisSingleOne : (a : Fin l) → Fin l →₀ R) i : Fin l →₀ R) :
      M)
Tactic: apply Finsupp.basisSingleOne.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
⊢ Eq (α := Fin k →₀ R)
    ((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
          (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
        f :
      Fin k →₀ R)
    (0 : Fin k →₀ R)
have h : ∀ (j : Fin k),
  Eq (α := R)
    ((((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
                (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
              f :
            Fin k →₀ R) :
          (a : Fin k) → R)
        j :
      R)
    ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)
Tactic: ext j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M)
f' : Fin l → R := (⇑f : (a : Fin l) → R)
x' : Fin l → M := fun (i : Fin l) ↦ (x : (a : Fin l →₀ R) → M) (Finsupp.single i 1)
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f' i • x' i) 0
k : ℕ
a' : Fin l → Fin k → R
y' : Fin k → M
ha'y' : ∀ (i : Fin l), x' i = ∑ j : Fin k, a' i j • y' j
ha' : ∀ (j : Fin k), Eq.{u_1 + 1} (α := R) (∑ i : Fin l, f' i * a' i j) 0
j : Fin k
⊢ Eq (α := R)
    ((((linearCombination R fun (i : Fin l) ↦ (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) :
                (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R)
              f :
            Fin k →₀ R) :
          (a : Fin k) → R)
        j :
      R)
    ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)
have h : Eq.{u_1 + 1} (α := R)
  (∑ i : Fin l,
      (HSMul.hSMul (α := R) (β := Fin k →₀ R) ((f : (a : Fin l) → R) i : R)
            ((Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin k → R) → Fin k →₀ R) (a' i) : Fin k →₀ R) :
          (a : Fin k) → R)
        j :
    R)
  ((0 : (a : Fin k) → R) j : R)
Tactic: simp only [linearCombination_apply, zero_smul, implies_true, sum_fintype, finsetSum_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
⊢ [Flat R M,
      ∀ (I : Ideal R),
        Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
          (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M),
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x,
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
          ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
            x = y ∘ₗ a ∧
              Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)].TFAE
have tfae_4_to_5 : ∀
  (a :
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
  {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
  Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
    ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
      x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
Tactic: tfae_have 4 → 5
  | h₄, l, f, x, hfx => by
    let f' : Fin l → R := f
    let x' : Fin l → M := fun i ↦ x (single i 1)
    have := calc
      ∑ i, f' i • x' i
      _ = ∑ i, f i • x (single i 1) := rfl
      _ = x (∑ i, f i • Finsupp.single i 1) := by simp_rw [map_sum, map_smul]
      _ = x f := by simp_rw [smul_single, smul_eq_mul, mul_one, univ_sum_single]
      _ = 0 := hfx
    obtain ⟨k, a', y', ⟨ha'y', ha'⟩⟩ := h₄ this
    use k
    use Finsupp.linearCombination R (fun i ↦ equivFunOnFinite.symm (a' i))
    use Finsupp.linearCombination R y'
    constructor
    · apply Finsupp.basisSingleOne.ext
      intro i
      simpa [linearCombination_apply, sum_fintype, Finsupp.single_apply] using ha'y' i
    · ext j
      simp only [linearCombination_apply, zero_smul, implies_true, sum_fintype, finsetSum_apply]
      exact ha' j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
⊢ IsTrivialRelation f x
have this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
Tactic: have : x' f' = 0 := by simpa [x', f', linearCombination_apply, sum_fintype] using hfx
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
⊢ IsTrivialRelation f x
have obtain : ∀ (k : ℕ) (a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M) (ha'y' : x' = y' ∘ₗ a')
  (ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)),
  IsTrivialRelation f x
Tactic: obtain ⟨k, a', y', ha'y', ha'⟩ := h₅ this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
⊢ IsTrivialRelation f x
have refine_1 : ∀ (i : Fin l),
  x i =
    ∑ j : Fin k,
      HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := M)
        ((fun (i : Fin l) ↦
            ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
              (a : Fin k) → R))
          i j)
        ((fun (j : Fin k) ↦ ((y' : (a : Fin k →₀ R) → M) (Finsupp.single j 1) : M)) j)
Tactic: refine ⟨k, fun i ↦ a' (single i 1), fun j ↦ y' (single j 1), fun i ↦ ?_, fun j ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Flat.EquationalCriterion (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
tfae_1_iff_2 :
  Flat R M ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R),
      Function.Injective (α := ↥I ⊗[R] M) (β := R ⊗[R] M)
        (⇑(rTensor M (Submodule.subtype I)) : (a : ↥I ⊗[R] M) → R ⊗[R] M)
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
      Eq (α := R ⊗[R] M) (∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i) 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  ∀
    (a :
      ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M},
        Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0 → IsTrivialRelation f x)
    {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
h₅ :
  ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M},
    Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x : (a : Fin l →₀ R) → M) f : M) (0 : M) →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ Eq (α := Fin k →₀ R) ((a : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : Eq.{u_2 + 1} (α := M) (∑ i : Fin l, f i • x i) 0
f' : Fin l →₀ R := (Equiv.symm equivFunOnFinite : (a : Fin l → R) → Fin l →₀ R) f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : Eq.{u_2 + 1} (α := M) ((x' : (a : Fin l →₀ R) → M) f' : M) (0 : M)
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : Eq (α := Fin k →₀ R) ((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) f' : Fin k →₀ R) (0 : Fin k →₀ R)
refine_1 :
  ∀ (i : Fin l),
    x i =
      ∑ j : Fin k,
        HSMul.hSMul.{u_1, u_2, u_2} (α := R) (β := M)
          ((fun (i : Fin l) ↦
              ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
                (a : Fin k) → R))
            i j)
          ((fun (j : Fin k) ↦ ((y' : (a : Fin k →₀ R) → M) (Finsupp.single j 1) : M)) j)
⊢ IsTrivialRelation f x
have refine_2 : ∀ (j : Fin k),
  Eq.{u_1 + 1} (α := R)
    (∑ i : Fin l,
      f i *
        (fun (i : Fin l) ↦
            ((⇑((a' : (a : Fin l →₀ R) → Fin k →₀ R) (Finsupp.single i 1) : Fin k →₀ R) : (a : Fin k) → R) :
              (a : Fin k) → R))
          i j)
    0
Tactic: refine ⟨k, fun i ↦ a' (single i 1), fun j ↦ y' (single j 1), fun i ↦ ?_, fun j ↦ ?_⟩