-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.SpecialFunctions.MulExpNegMulSqIntegral (goal)
Goal:
ε : ℝ
E : Type u_2
inst : MeasurableSpace E
inst_1 : PseudoEMetricSpace E
inst_2 : BorelSpace E
inst_3 : CompleteSpace E
inst_4 : SecondCountableTopology E
P P' : Measure E
inst_5 : IsFiniteMeasure P
inst_6 : IsFiniteMeasure P'
f : E →ᵇ ℝ
A : Subalgebra ℝ (E →ᵇ ℝ)
hA : (Subalgebra.map (toContinuousMapₐ ℝ) A).SeparatesPoints
heq : ∀ g ∈ A, Eq (α := ℝ) (∫ (x : E), (g : (a : E) → ℝ) x ∂P) (∫ (x : E), (g : (a : E) → ℝ) x ∂P')
hε : 0 < ε
hPP' : ¬(P = 0 ∧ P' = 0)
const : ℝ := max (P.real Set.univ) (P'.real Set.univ)
pos_of_measure : 0 < const
KP : Set E
left : KP ⊆ Set.univ
hKPco : IsCompact KP
hKPcl : IsClosed[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] KP
KP' : Set E
left_1 : KP' ⊆ Set.univ
hKP'co : IsCompact KP'
hKP'cl : IsClosed[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] KP'
K : Set E := KP ∪ KP'
hKco : IsCompact (KP ∪ KP')
hKcl : IsClosed[PseudoEMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (KP ∪ KP')
hKP : (P : (a : Set E) → ℝ≥0∞) KPᶜ < ENNReal.ofReal ε
hKP' : (P' : (a : Set E) → ℝ≥0∞) KP'ᶜ < ENNReal.ofReal ε
hKPbound : (P : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (KP ∪ KP')ᶜ < (↑ε.toNNReal : ℝ≥0∞)
hKP'bound : (P' : (a : Set E) → ℝ≥0∞) (KP ∪ KP')ᶜ < (↑ε.toNNReal : ℝ≥0∞)
g' : C(E, ℝ)
hg'approx :
  ∀ x ∈ KP ∪ KP',
    ‖HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g' : (a : E) → ℝ) x : ℝ) (((↑f : C(E, ℝ)) : (a : E) → ℝ) x : ℝ)‖ < √ε * const⁻¹
hg'A : ∃ x ∈ A, (toContinuousMapₐ ℝ : (a : E →ᵇ ℝ) → C(E, ℝ)) x = g'
g : E →ᵇ ℝ := hg'A.choose (p := fun (x : E →ᵇ ℝ) ↦ x ∈ A ∧ (toContinuousMapₐ ℝ : (a : E →ᵇ ℝ) → C(E, ℝ)) x = g')
hgA : g ∈ A
hgapprox : ∀ x ∈ K, ‖HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : E) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : E) → ℝ) x : ℝ)‖ < √ε * const⁻¹
line1 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
        (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)| <
    √ε
line3 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
        (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)| <
    √ε
line5 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')
        (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| <
    √ε
line7 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')
        (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| <
    √ε
line2 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
        (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)| ≤
    √ε
line6 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')
        (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| ≤
    √ε
line4 :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
        (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| =
    0
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
        (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| ≤
    6 * √ε
have mulExpNegMulSq : |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
                  (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)| +
              |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
                  (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)| +
            |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
                (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)| +
          |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P)
              (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| +
        |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')
            (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| +
      |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((g : (a : E) → ℝ) x) ∂P')
          (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| +
    |HSub.hSub (α := ℝ) (∫ (x : E) in K, ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')
        (∫ (x : E), ε.mulExpNegMulSq ((f : (a : E) → ℝ) x) ∂P')| ≤
  6 * √ε
Tactic: calc
      |∫ x, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P - ∫ x, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P'|
    ≤ |∫ x, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P - ∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P|
      + |∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P - ∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P|
      + |∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P - ∫ x, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P|
      + |∫ x, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P - ∫ x, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P'|
      + |∫ x, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P' - ∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P'|
      + |∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (g x) ∂P' - ∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P'|
      + |∫ x in K, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P' - ∫ x, mulExpNegMulSq ε (f x) ∂P'| :=
        @dist_triangle8 ℝ _ _ _ _ _ _ _ _ _
  _ ≤ 6 * √ε := by linarith