awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this : IsDomain S'
⊢ False
have this₁ : IsDomain R
Tactic: have := (FaithfulSMul.algebraMap_injective R K).isDomain
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this : IsDomain R
⊢ False
have this₁ : Algebra.IsIntegral R R'
Tactic: have : Algebra.IsIntegral R R' := IsIntegralClosure.isIntegral_algebra _ K
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this : Algebra.IsIntegral R R'
⊢ False
have this₁ : FaithfulSMul R' K
Tactic: have : FaithfulSMul R' K := (faithfulSMul_iff_algebraMap_injective _ _).mpr
    (IsIntegralClosure.algebraMap_injective R' R K)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this : FaithfulSMul R' K
⊢ False
have this₁ : FaithfulSMul R R'
Tactic: have : FaithfulSMul R R' := .tower_bot _ _ K
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this : FaithfulSMul R R'
⊢ False
have this₁ : FaithfulSMul R' L
Tactic: have : FaithfulSMul R' L := .trans _ K _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this : FaithfulSMul R' L
⊢ False
have this₁ : FaithfulSMul R' S'
Tactic: have : FaithfulSMul R' S' := .tower_bot _ _ L
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this : FaithfulSMul R' S'
⊢ False
have this₁ : IsIntegrallyClosedIn R' K
Tactic: have : IsIntegrallyClosedIn R' K := .of_isIntegralClosure R
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this : IsIntegrallyClosedIn R' K
⊢ False
have this₁ : IsIntegrallyClosed R'
Tactic: have : IsIntegrallyClosed R' := .of_isIntegrallyClosed_of_isIntegrallyClosedIn _ K
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
⊢ False
have hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
Tactic: have hf₃ : Function.Injective f :=
    .of_comp (f := algebraMap S' L) (hf₂ ▸ FaithfulSMul.algebraMap_injective S L:)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
⊢ f =
    AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
      (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')))
have H : ∀ (x : S),
  Eq.{u_7 + 1} (α := S') ((f : (a : S) → S') x : S')
    ((AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
            (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S)
              (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R'))) :
          (a : S) → S')
        x :
      S')
Tactic: ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
⊢ f.IsIntegral
have this₁ : f =
  AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
    (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')))
Tactic: have : f = (g.restrictScalars R).comp ((Algebra.TensorProduct.comm _ _ _).toAlgHom.comp
        (IsScalarTower.toAlgHom _ _ _)) := by ext; simp [g]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this_9 : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
this :
  f =
    AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
      (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')))
⊢ f.IsIntegral
have simp : RingHom.IsIntegral
  (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _
    (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (↑(AlgHom.restrictScalars R g) : R' ⊗[R] S →+* S')
      (↑(↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) : S ⊗[R] R' →+* R' ⊗[R] S))
    (↑(IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')) : S →+* S ⊗[R] R'))
Tactic: simp only [this, AlgHom.toRingHom_eq_coe, AlgHom.comp_toRingHom, ← RingHom.comp_assoc]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.ZariskisMainTheorem (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
inst_3 : Field K
inst_4 : Field L
inst_5 : Algebra R K
inst_6 : Algebra R L
inst_7 : Algebra S L
inst_8 : Algebra K L
inst_9 : IsScalarTower R K L
inst_10 : IsScalarTower R S L
inst_11 : IsFractionRing R K
inst_12 : IsFractionRing S L
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst_13 : CommRing R'
inst_14 : CommRing S'
inst_15 : Algebra R R'
inst_16 : Algebra R' S'
inst_17 : Algebra R S'
inst_18 : Algebra S' L
inst_19 : Algebra R' L
inst_20 : IsScalarTower R' S' L
inst_21 : Algebra R' K
inst_22 : IsScalarTower R' K L
inst_23 : IsScalarTower R R' S'
inst_24 : FaithfulSMul S' L
inst_25 : IsIntegralClosure R' R K
inst_26 : IsScalarTower R R' K
f : S →ₐ[R] S'
hf₁ :
  Function.Surjective (α := R' ⊗[R] S) (β := S')
    (⇑(TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯ : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S') : (a : R' ⊗[R] S) → S')
hf₂ : Eq (α := S →+* L) (RingHom.comp (algebraMap S' L) f.toRingHom) (algebraMap S L)
x : S
hx' : AlgHom.Finite.{u_1, u_1, u_2} (R := R) (A := R[X]) (aeval x)
P : Ideal S
inst_27 : P.IsPrime
inst_28 : WeaklyQuasiFiniteAt R P
hx : IsStronglyTranscendental R x
this_1 : IsDomain S'
this_2 : IsDomain R
this_3 : Algebra.IsIntegral R R'
this_4 : FaithfulSMul R' K
this_5 : FaithfulSMul R R'
this_6 : FaithfulSMul R' L
this_7 : FaithfulSMul R' S'
this_8 : IsIntegrallyClosedIn R' K
this_9 : IsIntegrallyClosed R'
g : R' ⊗[R] S →ₐ[R'] S' := TensorProduct.lift (ofId R' S') f ⋯
hf₃ : Function.Injective.{u_2 + 1, u_7 + 1} (α := S) (β := S') (⇑f : (a : S) → S')
this :
  f =
    AlgHom.comp (AlgHom.restrictScalars R g)
      (AlgHom.comp (↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) (IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')))
⊢ RingHom.IsIntegral
    (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _
      (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (↑(AlgHom.restrictScalars R g) : R' ⊗[R] S →+* S')
        (↑(↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) : S ⊗[R] R' →+* R' ⊗[R] S))
      (↑(IsScalarTower.toAlgHom R S (S ⊗[R] R')) : S →+* S ⊗[R] R'))
have refine : RingHom.IsIntegral
  (@RingHom.comp _ _ _ _ Semiring.toNonAssocSemiring _ (↑(AlgHom.restrictScalars R g) : R' ⊗[R] S →+* S')
    (↑(↑(TensorProduct.comm R S R') : S ⊗[R] R' →ₐ[R] R' ⊗[R] S) : S ⊗[R] R' →+* R' ⊗[R] S))
Tactic: refine .trans _ _ (algebraMap_isIntegral_iff.mpr inferInstance) ?_