awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
⊢ Φ σ = Φ σ'
have hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
Tactic: have hs (i) : MDiffAt (T% (s i)) x :=
    (contMDiffAt_localFrame_of_mem 1 _ b i x_mem).mdifferentiableAt (by simp)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
⊢ Φ σ = Φ σ'
have hc : ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
  MDiffAt
      ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
            ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
          (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
        σ)
    x
Tactic: have hc {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i) :
      MDiffAt (LinearMap.piApply (c i) σ) x :=
    mdifferentiableAt_localFrame_coeff b x_mem hσ i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
⊢ Φ σ = Φ σ'
have hΦ_eq : ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
  Φ σ =
    Φ fun (x' : M) ↦
      ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
        HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
Tactic: have hΦ_eq {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) :
      Φ σ = Φ (fun x' ↦ ∑ i, c i x' (σ x') • s i x') :=
    hΦ.local hσ
      (.sum_section fun i ↦ (hc hσ i).smul_section (hs i))
      (t.eventually_eq_localFrame_sum_coeff_smul b x_mem)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
hΦ_eq :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
    Φ σ =
      Φ fun (x' : M) ↦
        ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
⊢ Φ σ = Φ σ'
have rw : Eq.{u_9 + 1} (α := A)
  (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
    Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x'))
  (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
    Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ' x') : 𝕜) (s i x'))
Tactic: rw [hΦ_eq hσ, hΦ_eq hσ', hΦ.sum, hΦ.sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
hΦ_eq :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
    Φ σ =
      Φ fun (x' : M) ↦
        ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
rw :
  Eq.{u_9 + 1} (α := A)
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x'))
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ' x') : 𝕜) (s i x'))
⊢ Φ σ = Φ σ'
have hσ₁ : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
  (MDiffAt fun (x : M) ↦ ⟨x, HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ' x) : 𝕜) (s i x)⟩) x
Tactic: rw [hΦ_eq hσ, hΦ_eq hσ', hΦ.sum, hΦ.sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
hΦ_eq :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
    Φ σ =
      Φ fun (x' : M) ↦
        ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
rw :
  Eq.{u_9 + 1} (α := A)
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x'))
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ' x') : 𝕜) (s i x'))
hσ₁ :
  ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    (MDiffAt fun (x : M) ↦ ⟨x, HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ' x) : 𝕜) (s i x)⟩) x
⊢ Φ σ = Φ σ'
have hσ₂ : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
  (MDiffAt fun (x : M) ↦ ⟨x, HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ x) : 𝕜) (s i x)⟩) x
Tactic: rw [hΦ_eq hσ, hΦ_eq hσ', hΦ.sum, hΦ.sum]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
hΦ_eq :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
    Φ σ =
      Φ fun (x' : M) ↦
        ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
⊢ Eq.{u_9 + 1} (α := A)
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x'))
    (∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ' x') : 𝕜) (s i x'))
have a : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
  Membership.mem (γ := Finset (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) Finset.univ i →
    (Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')) =
      Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ' x') : 𝕜) (s i x')
Tactic: congr! 1 with i
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
hΦ_eq :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
    Φ σ =
      Φ fun (x' : M) ↦
        ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)
h : Membership.mem (γ := Finset (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) Finset.univ i
⊢ HSMul.hSMul.{u_1, u_9, u_9} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ x) : 𝕜) (Φ (s i)) =
    HSMul.hSMul.{u_1, u_9, u_9} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ' x) : 𝕜) (Φ (s i))
have rw : HSMul.hSMul.{u_1, u_9, u_9} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ' x) : 𝕜) (Φ (s i)) =
  HSMul.hSMul.{u_1, u_9, u_9} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ' x) : 𝕜) (Φ (s i))
Tactic: rw [hσσ']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
A : Type u_9
inst_13 : AddCommGroup A
inst_14 : Module 𝕜 A
Φ : ((x : M) → V x) → A
x : M
inst_15 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_16 : CompleteSpace 𝕜
inst_17 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_18 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
hΦ : TensorialAt I F (V := V) Φ x
σ σ' : (x : M) → V x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hσσ' : σ x = σ' x
t : Trivialization (B := M) F (Z := TotalSpace F V) (TotalSpace.proj (E := V)) := trivializationAt F V x
x_mem : x ∈ t.baseSet
b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) 𝕜 F := Basis.ofVectorSpace 𝕜 F
s : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5) → (x : M) → V x := t.localFrame (V := V) b
c : (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) →
  (x : M) → LinearMap.{u_1, u_1, u_6, u_1} (RingHom.id 𝕜) (V x) 𝕜 :=
  Trivialization.localFrame_coeff I (V := V) t b
hs : ∀ (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)), MDiffAt (T% s) x
hc :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x) (i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)),
    MDiffAt
        ((((LinearMap.piApply (V := V) : (a : (x : M) → V x →ₗ[𝕜] 𝕜) → ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) (c i) :
              ((x : M) → V x) →ₗ[𝕜] M → 𝕜) :
            (a : (x : M) → V x) → M → 𝕜)
          σ)
      x
hΦ_eq :
  ∀ {σ : (x : M) → V x} (hσ : MDiffAt (T% σ) x),
    Φ σ =
      Φ fun (x' : M) ↦
        ∑ i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5),
          HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')
i : (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)
h : Membership.mem (γ := Finset (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 F) : Type u_5)) Finset.univ i
⊢ (Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ x') : 𝕜) (s i x')) =
    Φ fun (x' : M) ↦ HSMul.hSMul.{u_1, u_6, u_6} (α := 𝕜) ((c i x' : (a : V x') → 𝕜) (σ' x') : 𝕜) (s i x')
have calc : HSMul.hSMul.{u_1, u_9, u_9} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ x) : 𝕜) (Φ (s i)) =
  HSMul.hSMul.{u_1, u_9, u_9} (α := 𝕜) ((c i x : (a : V x) → 𝕜) (σ' x) : 𝕜) (Φ (s i))
Tactic: calc Φ ((LinearMap.piApply (c i) σ) • (s i))
        = c i x (σ x) • Φ (s i) := hΦ.smul (hc hσ i) (hs i)
      _ = c i x (σ' x) • Φ (s i) := by rw [hσσ']
      _ = Φ ((LinearMap.piApply (c i) σ') • (s i)) :=
          hΦ.smul (hc hσ' i) (hs i) |>.symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.VectorBundle.Tensoriality (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
F : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F
inst_7 : NormedSpace 𝕜 F
V : M → Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace (TotalSpace F V)
inst_9 : (x : M) → AddCommGroup (V x)
inst_10 : (x : M) → Module.{u_1, u_6} 𝕜 (V x)
inst_11 : (x : M) → TopologicalSpace (V x)
inst_12 : FiberBundle F V
F' : Type u_7
inst_13 : NormedAddCommGroup F'
inst_14 : NormedSpace 𝕜 F'
V' : M → Type u_8
inst_15 : TopologicalSpace (TotalSpace F' V')
inst_16 : (x : M) → AddCommGroup (V' x)
inst_17 : (x : M) → Module.{u_1, u_8} 𝕜 (V' x)
inst_18 : (x : M) → TopologicalSpace (V' x)
inst_19 : FiberBundle F' V'
A : Type u_9
inst_20 : AddCommGroup A
inst_21 : Module 𝕜 A
inst_22 : VectorBundle 𝕜 F V
inst_23 : VectorBundle 𝕜 F' V'
inst_24 : CompleteSpace 𝕜
inst_25 : FiniteDimensional 𝕜 F
inst_26 : FiniteDimensional 𝕜 F'
inst_27 : ContMDiffVectorBundle 1 F V I
inst_28 : ContMDiffVectorBundle 1 F' V' I
Φ : ((x : M) → V x) → ((x : M) → V' x) → A
x : M
hΦ₁ :
  ∀ (τ : (x : M) → V' x),
    MDiffAt (T% τ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_9} I F (V := V) (A := A) (fun (x : (x : M) → V x) ↦ Φ x τ) x
hΦ₂ :
  ∀ (σ : (x : M) → V x),
    MDiffAt (T% σ) x →
      TensorialAt.{u_1, u_2, u_3, u_4, u_7, u_8, u_9} I F' (V := V') (A := A) (fun (x : (x : M) → V' x) ↦ Φ σ x) x
σ σ' : (x : M) → V x
τ τ' : (x : M) → V' x
hσ : MDiffAt (T% σ) x
hσ' : MDiffAt (T% σ') x
hτ : MDiffAt (T% τ) x
hτ' : MDiffAt (T% τ') x
hσσ' : σ x = σ' x
hττ' : τ x = τ' x
⊢ Φ σ τ = Φ σ' τ'
have trans : Φ σ τ = Φ σ' τ
Tactic: trans Φ σ' τ