awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
m : M
hm : ∃ (b : M), m + b = 0
n : N
b : M
eq : m + b = 0
rw : Eq (α := M ⊗[R] N) ((m + b) ⊗ₜ[R] n) 0
rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) (0 ⊗ₜ[R] n) 0
⊢ HAdd.hAdd (α := M ⊗[R] N) (m ⊗ₜ[R] n) (b ⊗ₜ[R] n) = 0
have rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [← add_tmul, eq, zero_tmul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
r s : R'
x : M ⊗[R] N
m : M
n : N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r * s) (m ⊗ₜ[R] n) = r • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s (m ⊗ₜ[R] n)
have simp_rw : Eq (α := M ⊗[R] N) (((r * s) • m) ⊗ₜ[R] n) ((r • s • m) ⊗ₜ[R] n)
Tactic: simp_rw [this, mul_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
r s : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (r * s) • x = r • s • x
ihy : (r * s) • y = r • s • y
⊢ (r * s) • (x + y) = r • s • (x + y)
have simp_rw : (r * s) • x + (r * s) • y = r • s • x + r • s • y
Tactic: simp_rw [TensorProduct.smul_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
r s : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (r * s) • x = r • s • x
ihy : (r * s) • y = r • s • y
⊢ (r * s) • x + (r * s) • y = r • s • x + r • s • y
have rw : r • s • x + (r * s) • y = r • s • x + r • s • y
Tactic: rw [ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
this : ∀ (r : R') (m : M) (n : N), HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (m ⊗ₜ[R] n) = (r • m) ⊗ₜ[R] n
r s : R'
x_1 x y : M ⊗[R] N
ihx : (r * s) • x = r • s • x
ihy : (r * s) • y = r • s • y
rw : r • s • x + (r * s) • y = r • s • x + r • s • y
⊢ (r * s) • x + (r * s) • y = r • s • x + r • s • y
have rw₁ : r • s • x + r • s • y = r • s • x + r • s • y
Tactic: rw [ihx, ihy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
r s : R
m : M
n : N
⊢ (r • m) ⊗ₜ[R] (s • n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r * s) (m ⊗ₜ[R] n)
have simp_rw : m ⊗ₜ[R] (r • s • n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r * s) (m ⊗ₜ[R] n)
Tactic: simp_rw [smul_tmul, tmul_smul, mul_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
N : Type u_8
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : AddCommMonoid N
inst_3 : Module R M
inst_4 : Module R N
r s : R
m : M
n : N
simp_rw : m ⊗ₜ[R] (r • s • n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r * s) (m ⊗ₜ[R] n)
⊢ (r • m) ⊗ₜ[R] (s • n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r * s) (m ⊗ₜ[R] n)
have simp_rw₁ : r • HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) s (m ⊗ₜ[R] n) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (r * s) (m ⊗ₜ[R] n)
Tactic: simp_rw [smul_tmul, tmul_smul, mul_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
S : Type u_22
inst_3 : Semiring S
inst_4 : Module R S
inst_5 : SMulCommClass R S S
s : S
m : M
⊢ s ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
have nth_rw : (s * 1) ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
Tactic: nth_rw 1 [← mul_one s, ← smul_eq_mul, smul_tmul']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
S : Type u_22
inst_3 : Semiring S
inst_4 : Module R S
inst_5 : SMulCommClass R S S
s : S
m : M
nth_rw : (s * 1) ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
⊢ s ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
have nth_rw₁ : HSMul.hSMul (β := S) s 1 ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
Tactic: nth_rw 1 [← mul_one s, ← smul_eq_mul, smul_tmul']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommSemiring R
M : Type u_7
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
S : Type u_22
inst_3 : Semiring S
inst_4 : Module R S
inst_5 : SMulCommClass R S S
s : S
m : M
nth_rw : (s * 1) ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
nth_rw₁ : HSMul.hSMul (β := S) s 1 ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
⊢ s ⊗ₜ[R] m = HSMul.hSMul (β := S ⊗[R] M) s (1 ⊗ₜ[R] m)
have nth_rw₂ : Eq (α := S ⊗[R] M) (HSMul.hSMul (β := S) s 1 ⊗ₜ[R] m) (HSMul.hSMul (β := S) s 1 ⊗ₜ[R] m)
Tactic: nth_rw 1 [← mul_one s, ← smul_eq_mul, smul_tmul']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x : M ⊗[R] N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (MulOpposite.op r) 0 = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r 0
have rw : 0 = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r 0
Tactic: rw [smul_zero, smul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x : M ⊗[R] N
rw : 0 = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r 0
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (MulOpposite.op r) 0 = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r 0
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) 0 0
Tactic: rw [smul_zero, smul_zero]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 : M ⊗[R] N
x : M
y : N
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (MulOpposite.op r) (x ⊗ₜ[R] y) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (x ⊗ₜ[R] y)
have rw : (MulOpposite.op r • x) ⊗ₜ[R] y = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (x ⊗ₜ[R] y)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', op_smul_eq_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 : M ⊗[R] N
x : M
y : N
rw : (MulOpposite.op r • x) ⊗ₜ[R] y = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (x ⊗ₜ[R] y)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (MulOpposite.op r) (x ⊗ₜ[R] y) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (x ⊗ₜ[R] y)
have rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((MulOpposite.op r • x) ⊗ₜ[R] y) ((r • x) ⊗ₜ[R] y)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', op_smul_eq_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 : M ⊗[R] N
x : M
y : N
rw : (MulOpposite.op r • x) ⊗ₜ[R] y = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (x ⊗ₜ[R] y)
rw₁ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((MulOpposite.op r • x) ⊗ₜ[R] y) ((r • x) ⊗ₜ[R] y)
⊢ HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) (MulOpposite.op r) (x ⊗ₜ[R] y) = HSMul.hSMul (β := M ⊗[R] N) r (x ⊗ₜ[R] y)
have rw₂ : Eq (α := M ⊗[R] N) ((r • x) ⊗ₜ[R] y) ((r • x) ⊗ₜ[R] y)
Tactic: rw [smul_tmul', smul_tmul', op_smul_eq_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
⊢ MulOpposite.op r • (x + y) = r • (x + y)
have rw : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • (x + y)
Tactic: rw [smul_add, smul_add, hx, hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
rw : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • (x + y)
⊢ MulOpposite.op r • (x + y) = r • (x + y)
have rw₁ : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y
Tactic: rw [smul_add, smul_add, hx, hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.TensorProduct.Defs (goal)
Goal:
R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
R' : Type u_4
R'' : Type u_5
inst : CommSemiring R
inst_1 : CommSemiring R₂
inst_2 : CommSemiring R₃
inst_3 : Monoid R'
inst_4 : Semiring R''
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
A : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
P : Type u_9
Q : Type u_10
S : Type u_11
M₂ : Type u_12
M₃ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
P' : Type u_16
P₂ : Type u_17
P₃ : Type u_18
Q' : Type u_19
Q₂ : Type u_20
Q₃ : Type u_21
inst_5 : AddCommMonoid M
inst_6 : AddCommMonoid N
inst_7 : AddCommMonoid P
inst_8 : AddCommMonoid Q
inst_9 : AddCommMonoid S
inst_10 : AddCommMonoid P'
inst_11 : AddCommMonoid Q'
inst_12 : AddCommMonoid M₂
inst_13 : AddCommMonoid N₂
inst_14 : AddCommMonoid P₂
inst_15 : AddCommMonoid Q₂
inst_16 : AddCommMonoid M₃
inst_17 : AddCommMonoid N₃
inst_18 : AddCommMonoid P₃
inst_19 : AddCommMonoid Q₃
inst_20 : DistribMulAction R' M
inst_21 : Module R'' M
inst_22 : Module R M
inst_23 : Module R N
inst_24 : Module R S
inst_25 : Module R P'
inst_26 : Module R Q'
inst_27 : Module R₂ M₂
inst_28 : Module R₂ N₂
inst_29 : Module R₂ P₂
inst_30 : Module R₂ Q₂
inst_31 : Module R₃ M₃
inst_32 : Module R₃ N₃
inst_33 : Module R₃ P₃
inst_34 : Module R₃ Q₃
inst_35 : SMulCommClass R R' M
inst_36 : SMulCommClass R R'' M
inst_37 : Module.{u_5, u_7} R''ᵐᵒᵖ M
inst_38 : IsCentralScalar R'' M
r : R''
x_1 x y : M ⊗[R] N
hx : MulOpposite.op r • x = r • x
hy : MulOpposite.op r • y = r • y
rw : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • (x + y)
rw₁ : MulOpposite.op r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y
⊢ MulOpposite.op r • (x + y) = r • (x + y)
have rw₂ : r • x + MulOpposite.op r • y = r • x + r • y
Tactic: rw [smul_add, smul_add, hx, hy]