-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.EllipticCurve.Projective.Formula (goal)
Goal:
R : Type r
inst : CommRing R
W' : Projective R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
⊢ W'.addX P Q * HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 +
        ((2 * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) * 0 +
          (Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) * 0) -
      ((HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                  W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
                W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
              P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
          (P x * Q z - Q x * P z) +
        ((2 * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
              (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P z +
                  W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
                W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)) +
          (Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) *
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * Q z + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
              (HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * Q z +
                  W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)))) =
    0
have a : (-P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * P z + Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * Q z - 2 * P x * P y * Q y * Q z +
                                  2 * Q x * P y * Q y * P z -
                                W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q y * Q z +
                              W'.a₁ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P y * P z +
                            W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * Q x * Q z -
                          W'.a₂ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * P z -
                        W'.a₃ * P x * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
                      W'.a₃ * Q x * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
                    2 * W'.a₃ * P x * Q y * P z * Q z +
                  2 * W'.a₃ * Q x * P y * P z * Q z +
                W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
              W'.a₄ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
            3 * W'.a₆ * P x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
          3 * W'.a₆ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 * Q z) *
        HPow.hPow (β := ℕ) (P z * Q z) 2 +
      ((2 * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) * 0 +
        (Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) * 0) -
    ((HPow.hPow (β := ℕ) (P y * Q z - Q y * P z) 2 * P z * Q z +
                W'.a₁ * (P y * Q z - Q y * P z) * P z * Q z * (P x * Q z - Q x * P z) -
              W'.a₂ * P z * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
            P x * Q z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2 -
          Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (P x * Q z - Q x * P z) 2) *
        (P x * Q z - Q x * P z) +
      ((2 * Q x * P z * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3 - P x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 4) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (P y) 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (P x) 2 * P z +
                W'.a₄ * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 2 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3)) +
        (Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 4 - 2 * P x * HPow.hPow (β := ℕ) (P z) 3 * Q z) *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (Q y) 2 * Q z + W'.a₁ * Q x * Q y * Q z + W'.a₃ * Q y * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 -
            (HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 3 + W'.a₂ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q x) 2 * Q z +
                W'.a₄ * Q x * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 2 +
              W'.a₆ * HPow.hPow (β := ℕ) (Q z) 3)))) =
  0
Tactic: rw [addX]