awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
have rw : |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (-‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
  HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
Tactic: rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
            abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
rw :
  |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (-‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
have rw₁ : |HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| = HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
Tactic: rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
            abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
rw :
  |HSub.hSub (β := ℝ) (Function.const.{1, u_2 + 1} Y (-‖f‖ / 3) ((e : (a : X) → Y) x : Y)) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
rw₁ :
  |HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| = HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
have rw₂ : HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) = HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
Tactic: rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
            abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → 3 / 3 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → 3 / 3 = 1
⊢ HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith₁ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → 3 / 3 = 1
linarith₁ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
⊢ HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith₂ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → HMul.hMul (α := ℝ) 3 1 = 3
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
linarith : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → 3 / 3 = 1
linarith₁ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
linarith₂ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → HMul.hMul (α := ℝ) 3 1 = 3
linarith₃ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → 3 / 3 = 1
linarith₄ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → HMul.hMul (α := ℝ) 1 3 = 3
⊢ HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have linarith₅ : 2 / 3 * ‖f‖ < HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) → GT.gt (α := ℝ) 3 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have f₁ : |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
  HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
Tactic: calc
        |g (e x) - f x| = -‖f‖ / 3 - f x := by
          rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
            abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
        _ ≤ 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ -‖f‖ / 3
f₁ :
  |HSub.hSub (α := ℝ) (β := ℝ) ((g : (a : Y) → ℝ) ((e : (a : X) → Y) x : Y) : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)| =
    HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ)
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have f₂ : HSub.hSub (β := ℝ) (-‖f‖ / 3) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
Tactic: calc
        |g (e x) - f x| = -‖f‖ / 3 - f x := by
          rw [hg₁ (mem_image_of_mem _ hle₁), Function.const_apply,
            abs_of_nonneg (sub_nonneg.2 hle₁)]
        _ ≤ 2 / 3 * ‖f‖ := by linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have inr : ∀ (hle₂ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖ / 3),
  dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
Tactic: rcases le_total (f x) (‖f‖ / 3) with hle₂ | hle₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (goal)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
inr :
  ∀ (hle₂ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖ / 3),
    dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have inr₁ : ∀ (hle₂ : ‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x),
  dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
Tactic: rcases le_total (f x) (‖f‖ / 3) with hle₂ | hle₂
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖ / 3
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have hf3₁ : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
Tactic: simp only [neg_div] at *
Cleared hypotheses: hf3, hc₁, hd, hg₁, hgf, hle₁
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖ / 3
hf3₁ : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have hc₃ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
Tactic: simp only [neg_div] at *
Cleared hypotheses: hf3, hc₁, hd, hg₁, hgf, hle₁
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Topology.TietzeExtension (hypothesis)
Goal:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst : TopologicalSpace X
inst_1 : TopologicalSpace Y
inst_2 : NormalSpace Y
f : X →ᵇ ℝ
e : C(X, Y)
he : IsClosedEmbedding.{u_1, u_2} (X := X) (Y := Y) (⇑e : (a : X) → Y)
h3 : LT.lt (α := ℝ) 0 3
h23 : 0 < 2 / 3
hf : 0 < ‖f‖
hf3 : -‖f‖ / 3 < ‖f‖ / 3
hc₁ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hc₂ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hd :
  Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
g : Y →ᵇ ℝ
hg₁ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (-‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-‖f‖ / 3)))
hg₂ :
  EqOn (⇑g : (a : Y) → ℝ) (Function.const Y (‖f‖ / 3))
    (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
hgf : ∀ (x : Y), Membership.mem (α := ℝ) (Icc (-‖f‖ / 3) (‖f‖ / 3)) ((g : (a : Y) → ℝ) x : ℝ)
x : X
hfx : -‖f‖ ≤ (f : (a : X) → ℝ) x ∧ (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖
hle₁ : -‖f‖ / 3 ≤ (f : (a : X) → ℝ) x
hle₂ : (f : (a : X) → ℝ) x ≤ ‖f‖ / 3
hf3₁ : -(‖f‖ / 3) < ‖f‖ / 3
hc₃ : IsClosed[inst_1] (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
⊢ dist (α := ℝ) ((g.compContinuous e : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ((f : (a : X) → ℝ) x : ℝ) ≤ 2 / 3 * ‖f‖
have hd₁ : Disjoint.{u_2} (α := Set Y) (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Iic (-(‖f‖ / 3))))
  (image (α := X) (⇑e : (a : X) → Y) ((⇑f : (a : X) → ℝ) ⁻¹' Ici (‖f‖ / 3)))
Tactic: simp only [neg_div] at *
Cleared hypotheses: hf3, hc₁, hd, hg₁, hgf, hle₁