awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
i : ι
h₁ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = longRoot P
h₂ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -longRoot P
h₃ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = shortRoot P
h₄ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -shortRoot P
h₅ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = shortAddLongRoot P
h₆ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -shortAddLongRoot P
h₇ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = twoShortAddLongRoot P
h₈ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -twoShortAddLongRoot P
h₉ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = threeShortAddLongRoot P
h₁₀ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -threeShortAddLongRoot P
h₁₁ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = threeShortAddTwoLongRoot P
h₁₂ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -threeShortAddTwoLongRoot P
ha :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (short P), P.pairingIn ℤ (short P) i)
hb :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (long P), P.pairingIn ℤ (long P) i)
hc :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (shortAddLong P), P.pairingIn ℤ (shortAddLong P) i)
hd :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (twoShortAddLong P), P.pairingIn ℤ (twoShortAddLong P) i)
he :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (threeShortAddLong P), P.pairingIn ℤ (threeShortAddLong P) i)
hf :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (threeShortAddTwoLong P), P.pairingIn ℤ (threeShortAddTwoLong P) i)
h₁₃ : P.pairingIn ℤ i (shortAddLong P) = P.pairingIn ℤ i (short P) + 3 * P.pairingIn ℤ i (long P)
h₁₄ : P.pairingIn ℤ (shortAddLong P) i = P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
h₁₅ : P.pairingIn ℤ i (twoShortAddLong P) = 2 * P.pairingIn ℤ i (short P) + 3 * P.pairingIn ℤ i (long P)
h₁₆ : P.pairingIn ℤ (twoShortAddLong P) i = 2 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
h₁₇ : P.pairingIn ℤ i (threeShortAddLong P) = P.pairingIn ℤ i (short P) + P.pairingIn ℤ i (long P)
⊢ P.pairingIn ℤ i (short P) = 0 ∧ P.pairingIn ℤ i (long P) = 0
have h₁₈ : P.pairingIn ℤ (threeShortAddLong P) i = 3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
Tactic: apply isOrthogonal_short_and_long_aux rfl ha hb hc hd he hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
i : ι
h₁ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = longRoot P
h₂ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -longRoot P
h₃ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = shortRoot P
h₄ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -shortRoot P
h₅ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = shortAddLongRoot P
h₆ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -shortAddLongRoot P
h₇ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = twoShortAddLongRoot P
h₈ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -twoShortAddLongRoot P
h₉ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = threeShortAddLongRoot P
h₁₀ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -threeShortAddLongRoot P
h₁₁ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = threeShortAddTwoLongRoot P
h₁₂ : ¬(P.root : (a : ι) → M) i = -threeShortAddTwoLongRoot P
ha :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (short P), P.pairingIn ℤ (short P) i)
hb :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (long P), P.pairingIn ℤ (long P) i)
hc :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (shortAddLong P), P.pairingIn ℤ (shortAddLong P) i)
hd :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (twoShortAddLong P), P.pairingIn ℤ (twoShortAddLong P) i)
he :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (threeShortAddLong P), P.pairingIn ℤ (threeShortAddLong P) i)
hf :
  Membership.mem (γ := Set (ℤ × ℤ))
    {(0, 0), (1, 1), (-1, -1), (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1), (1, 3), (3, 1), (-1, -3), (-3, -1)}
    (P.pairingIn ℤ i (threeShortAddTwoLong P), P.pairingIn ℤ (threeShortAddTwoLong P) i)
h₁₃ : P.pairingIn ℤ i (shortAddLong P) = P.pairingIn ℤ i (short P) + 3 * P.pairingIn ℤ i (long P)
h₁₄ : P.pairingIn ℤ (shortAddLong P) i = P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
h₁₅ : P.pairingIn ℤ i (twoShortAddLong P) = 2 * P.pairingIn ℤ i (short P) + 3 * P.pairingIn ℤ i (long P)
h₁₆ : P.pairingIn ℤ (twoShortAddLong P) i = 2 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
h₁₇ : P.pairingIn ℤ i (threeShortAddLong P) = P.pairingIn ℤ i (short P) + P.pairingIn ℤ i (long P)
h₁₈ : P.pairingIn ℤ (threeShortAddLong P) i = 3 * P.pairingIn ℤ (short P) i + P.pairingIn ℤ (long P) i
⊢ P.pairingIn ℤ i (short P) = 0 ∧ P.pairingIn ℤ i (long P) = 0
have h₁₉ : P.pairingIn ℤ i (threeShortAddTwoLong P) = P.pairingIn ℤ i (short P) + 2 * P.pairingIn ℤ i (long P)
Tactic: apply isOrthogonal_short_and_long_aux rfl ha hb hc hd he hf
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
have this : ∀
  (h :
    ∀ (j : ι),
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P}) →
        ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
  Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule R M) (Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P})) ⊤
Tactic: have := P.span_root_image_eq_top_of_forall_orthogonal {long P, short P} (by simp)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P}) →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq.{u_3 + 1} (α := Submodule R M) (Submodule.span R (image (α := ι) (⇑P.root : (a : ι) → M) {long P, short P})) ⊤
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
have this₁ : ∀
  (h :
    ∀ (j : ι),
      ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
        ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
  Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
Tactic: rw [show P.root '' {long P, short P} = {longRoot P, shortRoot P} by aesop] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
⊢ Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
have refine : ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) (ij : ι)
  (hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij), P.IsOrthogonal k ij
Tactic: refine this fun k hk ij hij ↦ ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}
ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
⊢ P.IsOrthogonal k ij
have hk₁ : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
Tactic: replace hk : P.root k ∉ allRoots P :=
    fun contra ↦ hk <| span_subset_span ℤ _ _ <| mem_span_of_mem_allRoots P contra
Cleared hypotheses: hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
⊢ P.IsOrthogonal k ij
have aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
Tactic: have aux := isOrthogonal_short_and_long P hk
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
⊢ P.IsOrthogonal k ij
have inl : P.IsOrthogonal k (long P)
Tactic: rcases hij with rfl | rfl
Cleared hypotheses: ij, hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k ij : ι
hij : Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} ij
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
inl : P.IsOrthogonal k (long P)
⊢ P.IsOrthogonal k ij
have inr : P.IsOrthogonal k (short P)
Tactic: rcases hij with rfl | rfl
Cleared hypotheses: ij, hij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
⊢ P.IsOrthogonal k (long P)
have inl : ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
  (this :
    ¬∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
  P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
Tactic: tauto
Cleared hypotheses: this, k, hk, aux
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
inl :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
⊢ P.IsOrthogonal k (long P)
have inl₁ : ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
  (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
  P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (long P)
Tactic: tauto
Cleared hypotheses: this, k, hk, aux
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
⊢ P.IsOrthogonal k (short P)
have inr : ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
  (this :
    ¬∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
  P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
Tactic: tauto
Cleared hypotheses: this, k, hk, aux
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this :
  ∀
    (h :
      ∀ (j : ι),
        ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
          ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤
k : ι
hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P
aux : P.IsOrthogonal k (short P) ∧ P.IsOrthogonal k (long P)
inr :
  ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
    (this :
      ¬∀ (j : ι),
          ((P.root : (a : ι) → M) j : M) ∉ Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P} →
            ∀ (i : ι), Membership.mem (γ := Set ι) {long P, short P} i → P.IsOrthogonal j i),
    P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
⊢ P.IsOrthogonal k (short P)
have inr₁ : ∀ (k : ι) (hk : ((P.root : (a : ι) → M) k : M) ∉ allRoots P)
  (this : Eq (α := Submodule R M) (Submodule.span R {longRoot P, shortRoot P}) ⊤),
  P.IsOrthogonal k (short P) → P.IsOrthogonal k (long P) → P.IsOrthogonal k (short P)
Tactic: tauto
Cleared hypotheses: this, k, hk, aux
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
⊢ LinearIndependent R ![shortRoot P, longRoot P]
have this : P.pairing (long P) (short P) = -3
Tactic: have := pairing_long_short P
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
⊢ LinearIndependent R ![shortRoot P, longRoot P]
have refine_1 : ∀ (h : short P = long P), False
Tactic: refine (IsReduced.linearIndependent_iff P).mpr ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
refine_1 : ∀ (h : short P = long P), False
⊢ LinearIndependent R ![shortRoot P, longRoot P]
have refine_2 : ∀ (h : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) (-(P.root : (a : ι) → M) (long P) : M)), False
Tactic: refine (IsReduced.linearIndependent_iff P).mpr ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
this : P.pairing (long P) (short P) = -3
h : Eq.{u_3 + 1} (α := M) ((P.root : (a : ι) → M) (short P) : M) (-(P.root : (a : ι) → M) (long P) : M)
⊢ False
have h₁ : short P = (P.reflectionPerm (long P) : (a : ι) → ι) (long P)
Tactic: simp only [root_eq_neg_iff] at h
Cleared hypotheses: h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
⊢ Membership.mem (α := M) (allRoots P) ((P.root : (a : ι) → M) i : M)
have by_contra : ∀ (hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P), False
Tactic: by_contra hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
⊢ False
have h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
Tactic: obtain ⟨h₁, h₂⟩ := isOrthogonal_short_and_long P hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
⊢ False
have h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
Tactic: obtain ⟨h₁, h₂⟩ := isOrthogonal_short_and_long P hi
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
⊢ False
have have : ∀ (this : Fintype ι), False
Tactic: have : Fintype ι := Fintype.ofFinite ι
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
this : Fintype ι
⊢ False
have have : ∀ (B : P.InvariantForm), False
Tactic: have B := (P.posRootForm ℤ).toInvariantForm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.RootSystem.Finite.G2 (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst : CommRing R
inst_1 : AddCommGroup M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommGroup N
inst_4 : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst_5 : P.EmbeddedG2
inst_6 : Finite ι
inst_7 : CharZero R
inst_8 : IsDomain R
inst_9 : P.IsIrreducible
i : ι
hi : ((P.root : (a : ι) → M) i : M) ∉ allRoots P
h₁ : P.IsOrthogonal i (short P)
h₂ : P.IsOrthogonal i (long P)
this : Fintype ι
B : P.InvariantForm
⊢ False
have this₁ : Module.IsReflexive R M
Tactic: have : Module.IsReflexive R M := .of_isPerfPair P.toLinearMap