awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : 0 ≤ δ
h₃ : 0 ≤ 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ
have h₄ : LE.le (α := ℝ) 0 4
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
have h : LE.le (α := ℝ) 0 2
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : LE.le (α := ℝ) 0 2
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
have h₃ : 0 ≤ ‖a‖
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : LE.le (α := ℝ) 0 2
h₃ : 0 ≤ ‖a‖
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
have h₄ : 0 ≤ δ + div
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
h : LE.le (α := ℝ) 0 2
h₃ : 0 ≤ ‖a‖
h₄ : 0 ≤ δ + div
⊢ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
have h₅ : 0 ≤ ‖b‖
Tactic: gcongr
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ b_1 N
have half₁ : ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
Tactic: calc
        ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
            2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
          simp [← this]
        _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
half₁ : ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ b_1 N
have half₂ : 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
  2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ
Tactic: calc
        ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
            2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
          simp [← this]
        _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
half₁ : ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
half₂ :
  2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ b_1 N
have half₃ : 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
Tactic: calc
        ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
            2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
          simp [← this]
        _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this_1 : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b_1 : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
p q N : ℕ
hp : N ≤ p
hq : N ≤ q
wp : F := (↑(w p) : F)
wq : F := (↑(w q) : F)
a : F := u - wq
b : F := u - wp
half : ℝ := 1 / 2
div : ℝ := 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑N : ℝ) 1
this : 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ + ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖)
eq : δ ≤ ‖u - half • (wq + wp)‖
eq₂ : ‖a‖ ≤ δ + div
eq₂' : ‖b‖ ≤ δ + div
half₁ : ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ = 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖
half₂ :
  2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ ≤
    2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ
half₃ : 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ
⊢ ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ * ‖(↑(w p) : F) - (↑(w q) : F)‖ ≤ b_1 N
have half₄ : 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ = 8 * δ * div + 4 * div * div
Tactic: calc
        ‖wp - wq‖ * ‖wp - wq‖ =
            2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * ‖u - half • (wq + wp)‖ * ‖u - half • (wq + wp)‖ := by
          simp [← this]
        _ ≤ 2 * (‖a‖ * ‖a‖ + ‖b‖ * ‖b‖) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ ≤ 2 * ((δ + div) * (δ + div) + (δ + div) * (δ + div)) - 4 * δ * δ := by gcongr
        _ = 8 * δ * div + 4 * div * div := by ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
b : (n : ℕ) → ℝ :=
  fun (n : ℕ) ↦
    8 * δ * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) +
      4 * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1) * (1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1)
⊢ Tendsto (β := ℝ) (fun (n : ℕ) ↦ √(b n)) atTop (𝓝 0)
have h : Tendsto (β := ℝ) (fun (x : ℝ) ↦ √(8 * δ * x + 4 * x * x)) (𝓝 0) (𝓝 0)
Tactic: suffices Tendsto (fun x ↦ √(8 * δ * x + 4 * x * x) : ℝ → ℝ) (𝓝 0) (𝓝 0)
      from this.comp tendsto_one_div_add_atTop_nhds_zero_nat
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq.{u_3, 0} (α := F) fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have rcases : ∀ (v : F) (hv : v ∈ K) (w_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)) atTop (𝓝 v)),
  ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
Tactic: rcases cauchySeq_tendsto_of_isComplete h₁ (fun n => Subtype.mem _) seq_is_cauchy with
    ⟨v, hv, w_tendsto⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq.{u_3, 0} (α := F) fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)) atTop (𝓝 v)
⊢ ∃ v ∈ K, ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have right : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
Tactic: use v, hv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq.{u_3, 0} (α := F) fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)) atTop (𝓝 v)
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have h_cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun (v : F) ↦ ‖u - v‖
Tactic: have h_cont : Continuous fun v => ‖u - v‖ := by fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
ne : K.Nonempty
h₁ : IsComplete K
h₂ : Convex ℝ K
u : F
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
zero_le_δ : 0 ≤ δ
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ w ∈ K, δ ≤ ‖u - w‖
w : ℕ → (↑K : Type u_3)
hw : ∀ (n : ℕ), ‖u - (↑(w n) : F)‖ < δ + 1 / HAdd.hAdd (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
norm_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 δ)
seq_is_cauchy : CauchySeq.{u_3, 0} (α := F) fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)
v : F
hv : v ∈ K
w_tendsto : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ (↑(w n) : F)) atTop (𝓝 v)
h_cont : Continuous[PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace, _] fun (v : F) ↦ ‖u - v‖
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
have this₁ : Tendsto (fun (n : ℕ) ↦ ‖u - (↑(w n) : F)‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖)
Tactic: have : Tendsto (fun n => ‖u - w n‖) atTop (𝓝 ‖u - v‖) := by
    convert! Tendsto.comp h_cont.continuousAt w_tendsto
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
have mp : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖ → ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
mp : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖ → ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
⊢ ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖ ↔ ∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
have mpr : (∀ w ∈ K, ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0) → ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
eq : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖w - v‖ 2
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
have δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
Tactic: have δ_le (w : K) : δ ≤ ‖u - w‖ := ciInf_le ⟨0, fun _ ⟨_, h⟩ => h ▸ norm_nonneg _⟩ _
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (hypothesis)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
eq : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖w - v‖ 2
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
⊢ ⟪u - v, w - v⟫_ℝ ≤ 0
have δ_le' : ∀ (w : F) (hw : w ∈ K), δ ≤ ‖u - w‖
Tactic: have δ_le' (w) (hw : w ∈ K) : δ ≤ ‖u - w‖ := δ_le ⟨w, hw⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
eq : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖w - v‖ 2
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ (w : F) (hw : w ∈ K), δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) ‖u - v‖ 2 ≤ HPow.hPow (β := ℕ) ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ 2
have simp : ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ * ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
Tactic: simp only [sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
eq : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖w - v‖ 2
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ (w : F) (hw : w ∈ K), δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ * ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖ * ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
have apply : ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
Tactic: apply mul_self_le_mul_self (norm_nonneg _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
eq : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖w - v‖ 2
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ (w : F) (hw : w ∈ K), δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ‖u - v‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
have rw : ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
Tactic: rw [eq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.InnerProductSpace.Projection.Minimal (goal)
Goal:
F : Type u_3
inst : NormedAddCommGroup F
inst_1 : InnerProductSpace ℝ F
K : Set F
h : Convex ℝ K
u v : F
hv : v ∈ K
this : Nonempty.{u_3 + 1} (↑K : Type u_3) := ⋯
eq : ‖u - v‖ = ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
w : F
hw : w ∈ K
δ : ℝ := ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖
p : ℝ := ⟪u - v, w - v⟫_ℝ
q : ℝ := HPow.hPow (β := ℕ) ‖w - v‖ 2
δ_le : ∀ (w : (↑K : Type u_3)), δ ≤ ‖u - (↑w : F)‖
δ_le' : ∀ (w : F) (hw : w ∈ K), δ ≤ ‖u - w‖
θ : ℝ
hθ₁ : 0 < θ
hθ₂ : θ ≤ 1
⊢ ⨅ (w : (↑K : Type u_3)), ‖u - (↑w : F)‖ ≤ ‖u - (θ • w + (1 - θ) • v)‖
have hw₁ : θ • w + (1 - θ) • v ∈ K
Tactic: apply δ_le'