awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
x : ι
hx : x ∈ t
this : ∀ (i : ι) (i_1 : i ∈ Finset.cons a t hat) (i_2 : i ≠ x), (↑(μ x) : R) ∈ I i
⊢ (↑(μ x) : R) ∈ I a
have refine_1 : a ≠ x
Tactic: apply this _ (Finset.mem_cons_self _ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
⊢ (↑(μ a) : R) ∈ I b
have this₁ : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ a), I j) (↑(μ a) : R)
Tactic: have := Submodule.coe_mem (μ a)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
this : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ a), I j) (↑(μ a) : R)
⊢ (↑(μ a) : R) ∈ I b
have this₁ : ∀ (i : ι) (i_1 : i ∈ Finset.cons a t hat) (i_2 : i ≠ a), (↑(μ a) : R) ∈ I i
Tactic: simp only [mem_iInf] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : (↑(μ a) : R) + ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
⊢ I a ⊔ I b = ⊤
have case : 1 ∈ I a ⊔ I b
Tactic: case a4 =>
      rw [eq_top_iff_one, Submodule.mem_sup]
      rw [add_comm] at hμ
      refine ⟨_, ?_, _, ?_, hμ⟩
      · refine sum_mem _ fun x hx => ?_
        have := Submodule.coe_mem (μ x)
        simp only [mem_iInf] at this
        apply this _ (Finset.mem_cons_self _ _)
        rintro rfl
        exact hat hx
      · have := Submodule.coe_mem (μ a)
        simp only [mem_iInf] at this
        exact this _ (Finset.subset_cons _ hb) ab.symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : (↑(μ a) : R) + ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
case : 1 ∈ I a ⊔ I b
⊢ I a ⊔ I b = ⊤
have case₁ : ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
Tactic: case a4 =>
      rw [eq_top_iff_one, Submodule.mem_sup]
      rw [add_comm] at hμ
      refine ⟨_, ?_, _, ?_, hμ⟩
      · refine sum_mem _ fun x hx => ?_
        have := Submodule.coe_mem (μ x)
        simp only [mem_iInf] at this
        apply this _ (Finset.mem_cons_self _ _)
        rintro rfl
        exact hat hx
      · have := Submodule.coe_mem (μ a)
        simp only [mem_iInf] at this
        exact this _ (Finset.subset_cons _ hb) ab.symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : (↑(μ a) : R) + ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
case : 1 ∈ I a ⊔ I b
case₁ case₂ case₃ : ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
⊢ I a ⊔ I b = ⊤
have case₄ : ∀ (hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1) (b : ι) (hb : b ∈ (↑t : Set ι)) (ab : a ≠ b),
  ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
Tactic: case a4 =>
      rw [eq_top_iff_one, Submodule.mem_sup]
      rw [add_comm] at hμ
      refine ⟨_, ?_, _, ?_, hμ⟩
      · refine sum_mem _ fun x hx => ?_
        have := Submodule.coe_mem (μ x)
        simp only [mem_iInf] at this
        apply this _ (Finset.mem_cons_self _ _)
        rintro rfl
        exact hat hx
      · have := Submodule.coe_mem (μ a)
        simp only [mem_iInf] at this
        exact this _ (Finset.subset_cons _ hb) ab.symm
Cleared hypotheses: hμ, b, hb, ab
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : (↑(μ a) : R) + ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
case : 1 ∈ I a ⊔ I b
case₁ case₂ case₃ : ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
case₄ :
  ∀ (hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1) (b : ι) (hb : b ∈ (↑t : Set ι)) (ab : a ≠ b),
    ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
⊢ I a ⊔ I b = ⊤
have refine_1 : ∀ (hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1) (b : ι) (hb : b ∈ (↑t : Set ι)) (ab : a ≠ b),
  ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) ∈ I a
Tactic: case a4 =>
      rw [eq_top_iff_one, Submodule.mem_sup]
      rw [add_comm] at hμ
      refine ⟨_, ?_, _, ?_, hμ⟩
      · refine sum_mem _ fun x hx => ?_
        have := Submodule.coe_mem (μ x)
        simp only [mem_iInf] at this
        apply this _ (Finset.mem_cons_self _ _)
        rintro rfl
        exact hat hx
      · have := Submodule.coe_mem (μ a)
        simp only [mem_iInf] at this
        exact this _ (Finset.subset_cons _ hb) ab.symm
Cleared hypotheses: hμ, b, hb, ab
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : (↑(μ a) : R) + ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) = 1
b : ι
hb : b ∈ (↑t : Set ι)
ab : a ≠ b
case : 1 ∈ I a ⊔ I b
case₁ case₂ case₃ : ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
case₄ :
  ∀ (hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1) (b : ι) (hb : b ∈ (↑t : Set ι)) (ab : a ≠ b),
    ∃ y ∈ I a, ∃ z ∈ I b, y + z = 1
refine_1 :
  ∀ (hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1) (b : ι) (hb : b ∈ (↑t : Set ι)) (ab : a ≠ b),
    ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) ∈ I a
⊢ I a ⊔ I b = ⊤
have refine_2 : ∀ (hμ : ∑ x ∈ t, (↑(μ x) : R) + (↑(μ a) : R) = 1) (b : ι) (hb : b ∈ (↑t : Set ι)) (ab : a ≠ b), (↑(μ a) : R) ∈ I b
Tactic: case a4 =>
      rw [eq_top_iff_one, Submodule.mem_sup]
      rw [add_comm] at hμ
      refine ⟨_, ?_, _, ?_, hμ⟩
      · refine sum_mem _ fun x hx => ?_
        have := Submodule.coe_mem (μ x)
        simp only [mem_iInf] at this
        apply this _ (Finset.mem_cons_self _ _)
        rintro rfl
        exact hat hx
      · have := Submodule.coe_mem (μ a)
        simp only [mem_iInf] at this
        exact this _ (Finset.subset_cons _ hb) ab.symm
Cleared hypotheses: hμ, b, hb, ab
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have refine_2 : ∀ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)) (hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1),
  ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
Tactic: obtain ⟨μ, hμ⟩ := ih.mpr hs
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have this₁ : I a ⊔ ⨅ i ∈ t, I i = ⊤
Tactic: have := sup_iInf_eq_top fun b hb => Hb b hb (ne_of_mem_of_not_mem hb hat).symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
this : I a ⊔ ⨅ i ∈ t, I i = ⊤
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have this₁ : ∃ y ∈ I a, ∃ (z : R), Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) z ∧ y + z = 1
Tactic: rw [eq_top_iff_one, Submodule.mem_sup] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
this : ∃ y ∈ I a, ∃ (z : R), Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) z ∧ y + z = 1
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have refine_2 : ∀ (u : R) (hu : u ∈ I a) (v : R) (hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v) (huv : u + v = 1),
  ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
Tactic: obtain ⟨u, hu, v, hv, huv⟩ := this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have refine_2 : ∀ (i : ι) (hi : i = a), Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) v
Tactic: refine ⟨fun i => if hi : i = a then ⟨v, ?_⟩ else ⟨u * μ i, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
refine_2 : ∀ (i : ι) (hi : i = a), Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) v
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have refine_2₁ : ∀ (i : ι) (hi : ¬i = a),
  Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) (u * (↑(μ i) : R))
Tactic: refine ⟨fun i => if hi : i = a then ⟨v, ?_⟩ else ⟨u * μ i, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
refine_2 : ∀ (i : ι) (hi : i = a), Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) v
refine_2₁ :
  ∀ (i : ι) (hi : ¬i = a),
    Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) (u * (↑(μ i) : R))
⊢ ∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)),
    Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ Finset.cons a t hat, (↑(μ i) : R)) 1
have refine_2₂ : Eq.{u_2 + 1} (α := R)
  (∑ i ∈ Finset.cons a t hat,
    (↑((fun (i : ι) ↦
            (if hi : i = a then
                Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
                  Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) x) v sorry
              else
                Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
                  Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) x)
                  (u * (↑(μ i) : R)) sorry :
              ↥(⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)))
          i) :
      R))
  1
Tactic: refine ⟨fun i => if hi : i = a then ⟨v, ?_⟩ else ⟨u * μ i, ?_⟩, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
i : ι
hi : i = a
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) v
have refine_2 : ∀ (hv : ∀ (i : ι) (i_1 : i ∈ t), v ∈ I i) (i_1 : ι) (i_2 : i_1 ∈ Finset.cons a t hat) (i : i_1 ≠ i), v ∈ I i_1
Tactic: simp only [mem_iInf] at hv ⊢
Cleared hypotheses: hv
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
huv : u + v = 1
i : ι
hi : i = a
hv : ∀ (i : ι) (i_1 : i ∈ t), v ∈ I i
j : ι
hj : j ∈ Finset.cons a t hat
ij : j ≠ i
⊢ v ∈ I j
have hj₁ : j = i ∨ j ∈ t
Tactic: rw [Finset.mem_cons, ← hi] at hj
Cleared hypotheses: hj, ij
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (hypothesis)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) (u * (↑(μ i) : R))
have this₁ : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) (↑(μ i) : R)
Tactic: have := Submodule.coe_mem (μ i)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
this : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) (↑(μ i) : R)
⊢ Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) (u * (↑(μ i) : R))
have refine_2 : ∀ (this : ∀ (i_1 : ι) (i_2 : i_1 ∈ t) (i_3 : i_1 ≠ i), (↑(μ i) : R) ∈ I i_1) (i_1 : ι) (i_2 : i_1 ∈ Finset.cons a t hat)
  (i_3 : i_1 ≠ i), u * (↑(μ i) : R) ∈ I i_1
Tactic: simp only [mem_iInf] at this ⊢
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
this : ∀ (i_1 : ι) (i_2 : i_1 ∈ t) (i_3 : i_1 ≠ i), (↑(μ i) : R) ∈ I i_1
j : ι
hj : j ∈ Finset.cons a t hat
ij : j ≠ i
⊢ u * (↑(μ i) : R) ∈ I j
have refine_2 : ∀ (hat : j ∉ t) (Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), j ≠ b → I j ⊔ I b = ⊤) (hu : u ∈ I j) (hi : ¬i = j)
  (hj : j ∈ Finset.cons j t hat), u * (↑(μ i) : R) ∈ I j
Tactic: rcases Finset.mem_cons.mp hj with (rfl | hj)
Cleared hypotheses: a, hat, Hb, hu, hi, hj
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this_1 : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
i : ι
hi : ¬i = a
this : ∀ (i_1 : ι) (i_2 : i_1 ∈ t) (i_3 : i_1 ≠ i), (↑(μ i) : R) ∈ I i_1
j : ι
hj : j ∈ Finset.cons a t hat
ij : j ≠ i
refine_2 :
  ∀ (hat : j ∉ t) (Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), j ≠ b → I j ⊔ I b = ⊤) (hu : u ∈ I j) (hi : ¬i = j)
    (hj : j ∈ Finset.cons j t hat), u * (↑(μ i) : R) ∈ I j
⊢ u * (↑(μ i) : R) ∈ I j
have refine_2₁ : ∀ (hj : j ∈ t), u * (↑(μ i) : R) ∈ I j
Tactic: rcases Finset.mem_cons.mp hj with (rfl | hj)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Coprime.Ideal (goal)
Goal:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst : CommSemiring R
I : ι → Ideal R
this : DecidableEq ι
a : ι
t : Finset ι
hat : a ∉ t
h : t.Nonempty
ih :
  (∃ (μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)), Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1) ↔
    (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
hs : (↑t : Set ι).Pairwise fun (i j : ι) ↦ I i ⊔ I j = ⊤
Hb : ∀ b ∈ (↑t : Set ι), a ≠ b → I a ⊔ I b = ⊤
μ : (i : ι) → ↥(⨅ j ∈ t, ⨅ (_ : j ≠ i), I j)
hμ : Eq.{u_2 + 1} (α := R) (∑ i ∈ t, (↑(μ i) : R)) 1
u : R
hu : u ∈ I a
v : R
hv : Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ i ∈ t, I i) v
huv : u + v = 1
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := R)
    (∑ i ∈ Finset.cons a t hat,
      (↑(if hi : i = a then
            Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
              Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) x) v ⋯
          else
            Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
              Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ i), I j) x) (u * (↑(μ i) : R))
              ⋯) :
        R))
    1
have refine_2 : ∑ x ∈ t,
      (↑(if hi : x = a then
            Subtype.mk (p := fun (x_1 : R) ↦
              Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ x), I j) x_1) v sorry
          else
            Subtype.mk (p := fun (x_1 : R) ↦
              Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ x), I j) x_1)
              (u * (↑(μ x) : R)) sorry) :
        R) +
    (↑(Subtype.mk (p := fun (x : R) ↦
          Membership.mem (γ := Submodule R R) (⨅ j ∈ Finset.cons a t hat, ⨅ (_ : j ≠ a), I j) x) v sorry) :
      R) =
  1
Tactic: rw [Finset.sum_cons, dif_pos rfl, add_comm]