awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) (I.prod I') (M' := M × M') n
      (fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
        (x.1.proj (E := TangentSpace I), x.2.proj (E := TangentSpace I')))
      (a, b) ∧
    ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) (E' := E × E') 𝓘(𝕜, E × E') (M' := E × E') n
      (fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
        (fderivWithin 𝕜
              (((fun (p : H × H') ↦ ((↑I : H → E) p.1, (↑I' : H' → E') p.2)) ∘ fun (p : M × M') ↦
                  ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) p.1,
                    (↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') p.2)) ∘
                (↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                          (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                    ModelProd H H' → M × M') ∘
                  (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H'))
              (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
              ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (x.1.proj (E := TangentSpace I))),
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (x.2.proj (E := TangentSpace I')))) :
            (a : E × E') → E × E')
          (x.1.snd (E := TangentSpace I), x.2.snd (E := TangentSpace I')))
      (a, b)
have refine_1 : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) (I.prod I') (M' := M × M') n
  (fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
    (x.1.proj (E := TangentSpace I), x.2.proj (E := TangentSpace I')))
  (a, b)
Tactic: refine ⟨?_, (contMDiffAt_prod_module_iff _).2 ⟨?_, ?_⟩⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) 𝓘(𝕜, E) (M' := E) n
    (Function.comp (β := E × E') Prod.fst fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
      (fderivWithin 𝕜
            (((fun (p : H × H') ↦ ((↑I : H → E) p.1, (↑I' : H' → E') p.2)) ∘ fun (p : M × M') ↦
                ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) p.1,
                  (↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') p.2)) ∘
              (↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                        (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                  ModelProd H H' → M × M') ∘
                (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H'))
            (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
            ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (x.1.proj (E := TangentSpace I))),
              (↑I' : H' → E')
                ((↑(chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (x.2.proj (E := TangentSpace I')))) :
          (a : E × E') → E × E')
        (x.1.snd (E := TangentSpace I), x.2.snd (E := TangentSpace I')))
    (a, b)
have smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
Tactic: have smooth_pM : CMDiffAt n (Prod.fst : TangentBundle I M × TangentBundle I' M' → _) (a, b) :=
      contMDiffAt_fst
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p ∈
    PartialEquiv.source (β := ModelProd (ModelProd H E) (ModelProd H' E'))
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt (ModelProd (ModelProd H E) (ModelProd H' E')) (a, b)))
⊢ Function.comp (β := E × E') Prod.fst
      (fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
        (fderivWithin 𝕜
              (((fun (p : H × H') ↦ ((↑I : H → E) p.1, (↑I' : H' → E') p.2)) ∘ fun (p : M × M') ↦
                  ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) p.1,
                    (↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') p.2)) ∘
                (↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                          (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                    ModelProd H H' → M × M') ∘
                  (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H'))
              (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
              ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (x.1.proj (E := TangentSpace I))),
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (x.2.proj (E := TangentSpace I')))) :
            (a : E × E') → E × E')
          (x.1.snd (E := TangentSpace I), x.2.snd (E := TangentSpace I')))
      p =
    ((↑(trivializationAt E (TangentSpace I) (a.proj (E := TangentSpace I))) : TotalSpace E (TangentSpace I) → M × E)
        p.1).2
have hp₁ : p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
    (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
  p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
    (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
Tactic: simp only [prodChartedSpace_chartAt, OpenPartialHomeomorph.prod_toPartialEquiv,
      PartialEquiv.prod_source, Set.mem_prod, TangentBundle.mem_chart_source_iff] at hp
Cleared hypotheses: hp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
    p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
φ : (x : E) → E :=
  fun (x : E) ↦
    (↑I : H → E)
      ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))) : H → M) ((↑I.symm : E → H) x)))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))))
have apply : ContDiffWithinAt 𝕜 1 φ (range (↑I : H → E))
  ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))))
Tactic: apply ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt _ one_ne_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
    p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
φ : (x : E) → E :=
  fun (x : E) ↦
    (↑I : H → E)
      ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))) : H → M) ((↑I.symm : E → H) x)))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 1 φ (range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))))
have hy : (↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))) ∈
  ((extChartAt I (p.1.proj (E := TangentSpace I))).symm ≫ extChartAt I (a.proj (E := TangentSpace I))).source
Tactic: apply contDiffWithinAt_ext_coord_change
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
    p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
φ : (x : E) → E :=
  fun (x : E) ↦
    (↑I : H → E)
      ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))) : H → M) ((↑I.symm : E → H) x)))
⊢ Function.comp (β := E × E') Prod.fst
      (fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
        (fderivWithin 𝕜
              (((fun (p : H × H') ↦ ((↑I : H → E) p.1, (↑I' : H' → E') p.2)) ∘ fun (p : M × M') ↦
                  ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) p.1,
                    (↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') p.2)) ∘
                (↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                          (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                    ModelProd H H' → M × M') ∘
                  (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H'))
              (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
              ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (x.1.proj (E := TangentSpace I))),
                (↑I' : H' → E')
                  ((↑(chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (x.2.proj (E := TangentSpace I')))) :
            (a : E × E') → E × E')
          (x.1.snd (E := TangentSpace I), x.2.snd (E := TangentSpace I')))
      p =
    ((↑(trivializationAt E (TangentSpace I) (a.proj (E := TangentSpace I))) : TotalSpace E (TangentSpace I) → M × E)
        p.1).2
have D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range (↑I : H → E))
  ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))))
Tactic: have D0 : DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (Set.range I) (I ((chartAt H p.1.proj) p.1.proj)) := by
      apply ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt _ one_ne_zero
      apply contDiffWithinAt_ext_coord_change
      simp [hp.1]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
    p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
φ : (x : E) → E :=
  fun (x : E) ↦
    (↑I : H → E)
      ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))) : H → M) ((↑I.symm : E → H) x)))
D0 :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I' M'),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.fst) (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
      ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))),
        (↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (w.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (w.proj (E := TangentSpace I'))))
φ' : (x : E') → E' :=
  fun (x : E') ↦
    (↑I' : H' → E')
      ((↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H')
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I')))) : H' → M')
          ((↑I'.symm : E' → H') x)))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 φ' (range (↑I' : H' → E'))
    ((↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))
have apply : ContDiffWithinAt 𝕜 1 φ' (range (↑I' : H' → E'))
  ((↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))
Tactic: apply ContDiffWithinAt.differentiableWithinAt _ one_ne_zero
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
smooth_pM : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I.tangent n Prod.fst (a, b)
p : TangentBundle I M × TangentBundle I' M'
hp :
  p.1.proj (E := TangentSpace I) ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I)))).source ∧
    p.2.proj (E := TangentSpace I') ∈
      (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I')))).source
φ : (x : E) → E :=
  fun (x : E) ↦
    (↑I : H → E)
      ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H)
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I)))) : H → M) ((↑I.symm : E → H) x)))
D0 :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 φ (range (↑I : H → E))
    ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))))
D :
  ∀ (w : TangentBundle I' M'),
    DifferentiableWithinAt 𝕜 (φ ∘ Prod.fst) (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
      ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (p.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (p.1.proj (E := TangentSpace I))),
        (↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (w.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (w.proj (E := TangentSpace I'))))
φ' : (x : E') → E' :=
  fun (x : E') ↦
    (↑I' : H' → E')
      ((↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H')
        ((↑(OpenPartialHomeomorph.symm (chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I')))) : H' → M')
          ((↑I'.symm : E' → H') x)))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 1 φ' (range (↑I' : H' → E'))
    ((↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))))
have hy : (↑I' : H' → E') ((↑(chartAt H' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (p.2.proj (E := TangentSpace I'))) ∈
  ((extChartAt I' (p.2.proj (E := TangentSpace I'))).symm ≫ extChartAt I' (b.proj (E := TangentSpace I'))).source
Tactic: apply contDiffWithinAt_ext_coord_change
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Geometry.Manifold.ContMDiffMFDeriv (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst_3 : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst_4 : TopologicalSpace M
inst_5 : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup E'
inst_7 : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst_8 : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst_9 : TopologicalSpace M'
inst_10 : ChartedSpace H' M'
inst_11 : IsManifold I 1 M
inst_12 : IsManifold I' 1 M'
a : TangentBundle I M
b : TangentBundle I' M'
U :
  ∀ (w : H) (w' : H'),
    UniqueDiffWithinAt 𝕜 (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E'))) ((↑I : H → E) w, (↑I' : H' → E') w')
⊢ ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) 𝓘(𝕜, E') (M' := E') n
    (Function.comp (β := E × E') Prod.snd fun (x : TangentBundle I M × TangentBundle I' M') ↦
      (fderivWithin 𝕜
            (((fun (p : H × H') ↦ ((↑I : H → E) p.1, (↑I' : H' → E') p.2)) ∘ fun (p : M × M') ↦
                ((↑(chartAt H (a.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) p.1,
                  (↑(chartAt H' (b.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') p.2)) ∘
              (↑((OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I)))).prod
                        (OpenPartialHomeomorph.toPartialEquiv (chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))))).symm :
                  ModelProd H H' → M × M') ∘
                (↑(I.prod I'.toPartialEquiv).symm : E × E' → ModelProd H H'))
            (range (Prod.map (↑I : H → E) (↑I' : H' → E')))
            ((↑I : H → E) ((↑(chartAt H (x.1.proj (E := TangentSpace I))) : M → H) (x.1.proj (E := TangentSpace I))),
              (↑I' : H' → E')
                ((↑(chartAt H' (x.2.proj (E := TangentSpace I'))) : M' → H') (x.2.proj (E := TangentSpace I')))) :
          (a : E × E') → E × E')
        (x.1.snd (E := TangentSpace I), x.2.snd (E := TangentSpace I')))
    (a, b)
have smooth_pM' : ContMDiffAt (I.tangent.prod I'.tangent) I'.tangent n Prod.snd (a, b)
Tactic: have smooth_pM' : CMDiffAt n (Prod.snd : TangentBundle I M × TangentBundle I' M' → _) (a, b) :=
      contMDiffAt_snd