awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
⊢ smul α φ (r + r') m = smul α φ r m + smul α φ r' m
have a : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
  S.arrows f →
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ (r + r') m) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ r m + smul α φ r' m) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
Tactic: apply A.isSeparated _ _ hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (hypothesis)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
⊢ smul α φ (r * r') m = smul α φ r (smul α φ r' m)
have hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
Tactic: have hS : S ∈ J X.unop := by
    refine J.intersection_covering (J.intersection_covering ?_ ?_) ?_
    all_goals apply Presheaf.imageSieve_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X : Cᵒᵖ
r r' : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α r ⊓
      Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
        r' ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ m
hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop X))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop X)) S
⊢ smul α φ (r * r') m = smul α φ r (smul α φ r' m)
have a : ∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X),
  S.arrows f →
    Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ (r * r') m) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map f.op) :
            (a : (↑(A.obj.obj (Opposite.op (Opposite.unop X))) : Type v)) → (↑(A.obj.obj (Opposite.op Y)) : Type v))
          (smul α φ r (smul α φ r' m)) :
        (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj (Opposite.op Y)) : Type v))
Tactic: apply A.isSeparated _ _ hS
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
        r) ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
        m)
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y)) S
have rj : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
          (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
        (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
      r))
Tactic: apply J.intersection_covering
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
        r) ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
        m)
rj :
  Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y))
    (Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
        r))
⊢ Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y)) S
have sj : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y))
  (Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
        (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
      m))
Tactic: apply J.intersection_covering
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (hypothesis)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type v)
S : Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y) :=
  Presheaf.imageSieve (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA := RingCat.carrier) α
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
            (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
        r) ⊓
    Presheaf.imageSieve (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
      AddCommGrpCat.carrier) φ
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
        m)
⊢ Eq (α := (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
            AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
          (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
        (smul α φ r m) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
    (smul α φ
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC := RingCat.carrier)
              (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
            (a : (↑(R.obj.obj X) : Type u)) → (↑(R.obj.obj Y) : Type u))
          r)
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).map π) :
            (a : (↑(A.obj.obj X) : Type v)) → (↑(A.obj.obj Y) : Type v))
          m) :
      (↑(A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj Y) : Type v))
have hS : Membership.mem (γ := Set (Sieve.{v₁, u₁} (Opposite.unop Y))) ((J : (a : C) → Set (Sieve a)) (Opposite.unop Y)) S
Tactic: have hS : S ∈ J Y.unop := by
    apply J.intersection_covering
    all_goals apply Presheaf.imageSieve_mem
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
inst_5 :
  J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
    (CA := AddCommGrpCat.carrier)
M₀' : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A' : Sheaf J AddCommGrpCat
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_6 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ'
inst_7 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : (toPresheaf R₀).map τ₀ ≫ φ' = φ ≫ τ.hom
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑((sheafify α φ).val.obj X) : Type v)
f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val :=
  (Equiv.symm (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯) :
      (a : M₀ ⟶ (restrictScalars α).obj (sheafify α φ').val) → (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val)
    (τ₀ ≫ toSheafify α φ')
⊢ (ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
          AddCommGrpCat.carrier) (τ.hom.app X) :
        (a : (↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X) : Type v)) → (↑((sheafify α φ').val.presheaf.obj X) : Type v))
      (r • m) =
    HSMul.hSMul (β := (↑((sheafify α φ').val.presheaf.obj X) : Type v)) r
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CC :=
              AddCommGrpCat.carrier) (τ.hom.app X) :
            (a : (↑((sheafify α φ).val.presheaf.obj X) : Type v)) → (↑((sheafify α φ').val.presheaf.obj X) : Type v))
          m :
        (↑((sheafify α φ').val.presheaf.obj X) : Type v))
have suffices : τ.hom = (toPresheaf (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))).map f
Tactic: suffices τ.hom = (toPresheaf _).map f by simpa only [this] using (f.app X).hom.map_smul r m
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Presheaf.Sheafify (goal)
Goal:
C : Type u₁
inst : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology.{v₁, u₁} C
R₀ : CategoryTheory.Functor.{v₁, u, u₁, u + 1} Cᵒᵖ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_1 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CD := RingCat.carrier)
    J α
inst_2 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (R S : RingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CA :=
    RingCat.carrier) α
M₀ : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A : Sheaf J AddCommGrpCat
φ : M₀.presheaf ⟶ A.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_3 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ
inst_4 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ
inst_5 :
  J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrpCat (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v))
    (CA := AddCommGrpCat.carrier)
M₀' : PresheafOfModules.{v, v₁, u₁, u} R₀
A' : Sheaf J AddCommGrpCat
φ' : M₀'.presheaf ⟶ A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)
inst_6 :
  Presheaf.IsLocallyInjective (FD := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CD :=
    AddCommGrpCat.carrier) J φ'
inst_7 :
  Presheaf.IsLocallySurjective J (FA := fun (x1 x2 : AddCommGrpCat.{v}) ↦ (↑x1 : Type v) →+ (↑x2 : Type v)) (CA :=
    AddCommGrpCat.carrier) φ'
τ₀ : M₀ ⟶ M₀'
τ : A ⟶ A'
fac : (toPresheaf R₀).map τ₀ ≫ φ' = φ ≫ τ.hom
X : Cᵒᵖ
r : (↑(R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J).obj X) : Type u)
m : (↑((sheafify α φ).val.obj X) : Type v)
f : (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val :=
  (Equiv.symm (sheafifyHomEquiv' α φ ⋯) :
      (a : M₀ ⟶ (restrictScalars α).obj (sheafify α φ').val) → (sheafify α φ).val ⟶ (sheafify α φ').val)
    (τ₀ ≫ toSheafify α φ')
⊢ τ.hom = (toPresheaf (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))).map f
have a : Eq (α := M₀.presheaf ⟶ A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))
  ((ObjectProperty.isLocal.homEquiv (P := Presheaf.IsSheaf J) sorry (A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)) sorry :
        (a : A.obj ⟶ A'.obj) → M₀.presheaf ⟶ A'.obj)
      τ.hom :
    M₀.presheaf ⟶ A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))
  ((ObjectProperty.isLocal.homEquiv (P := Presheaf.IsSheaf J) sorry (A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J)) sorry :
        (a : A.obj ⟶ A'.obj) → M₀.presheaf ⟶ A'.obj)
      ((toPresheaf (R.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))).map f) :
    M₀.presheaf ⟶ A'.obj (P := Presheaf.IsSheaf J))
Tactic: apply ((J.W_of_isLocallyBijective φ).homEquiv _ A'.property).injective