awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
calc :
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc₁ : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
calc :
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
calc₁ :
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc₂ : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
calc :
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
calc₁ :
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
calc₂ :
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc₃ : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have inr : HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y))
Tactic: refine ⟨S'.u⁻¹ * (x + y), ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y))
have inr : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
have rw : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 + (HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1)) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: rw [← hx, ← hy]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
have rw : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
Tactic: rw [S'.H]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
calc :
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc₁ : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
calc :
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
calc₁ :
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc₂ : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
x : 𝓞 K
hx : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 - 1 = HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y
calc :
  HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y)
calc₁ :
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * x + HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * y) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3)
calc₂ :
  (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3) =
    (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 * ((↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * (x + y)) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
have calc₃ : (↑S'.u⁻¹ : 𝓞 K) * ((↑S'.u : 𝓞 K) * HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3) = HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: calc _ = S'.u⁻¹ * (λ ^ 4 * x + λ ^ 4 * y) := by ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3) := by rw [← hx, ← hy]; ring
    _ = S'.u⁻¹ * (S'.u * S'.c ^ 3) := by rw [S'.H]
    _ = S'.c ^ 3 := by simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.c
have hm : FiniteMultiplicity λ S'.c
Tactic: have hm := S'.multiplicity_lambda_c_finite
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
hm : FiniteMultiplicity λ S'.c
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.c
have this : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
Tactic: have := lambda_pow_four_dvd_c_cube S'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
hm : FiniteMultiplicity λ S'.c
this : HPow.hPow (β := ℕ) λ 4 ∣ HPow.hPow (β := ℕ) S'.c 3
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.c
have this₁ : (↑4 : ℕ∞) ≤ HMul.hMul (α := ℕ∞) (↑3 : ℕ∞) (↑(multiplicity λ S'.c) : ℕ∞)
Tactic: rw [pow_dvd_iff_le_emultiplicity, emultiplicity_pow hζ.zeta_sub_one_prime',
    hm.emultiplicity_eq_multiplicity] at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
hm : FiniteMultiplicity λ S'.c
this : (↑4 : ℕ∞) ≤ HMul.hMul (α := ℕ∞) (↑3 : ℕ∞) (↑(multiplicity λ S'.c) : ℕ∞)
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.c
have this₁ : 4 ≤ 3 * multiplicity λ S'.c
Tactic: norm_cast at this
Cleared hypotheses: this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
have symm : (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
Tactic: symm
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
        S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
have rw : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 +
        HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (-(↑(IsUnit.unit (a := hζ.toInteger) sorry) : 𝓞 K) - 1 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 * (-(↑(IsUnit.unit (a := hζ.toInteger) sorry) : 𝓞 K) - 1 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
Tactic: rw [eta_sq]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
have calc : (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 *
        (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) +
    HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
Tactic: calc _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+η^3)+η^3*S'.b^3 := by ring
  _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+1)+S'.b^3 := by
    simp [hζ.toInteger_cube_eq_one]
  _ = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 := by rw [eta_sq]; ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
calc :
  (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
        S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) +
      HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
have calc₁ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 *
        (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) +
    HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
Tactic: calc _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+η^3)+η^3*S'.b^3 := by ring
  _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+1)+S'.b^3 := by
    simp [hζ.toInteger_cube_eq_one]
  _ = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 := by rw [eta_sq]; ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
calc :
  (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
        S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) +
      HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
calc₁ :
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
        S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 *
          (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3) +
      HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 3 * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
        S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
⊢ (S'.a + S'.b) * (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) * (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) =
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
have calc₂ : HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 2 * S'.b * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
      S'.a * HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 2 * (HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 + (↑η : 𝓞 K) + 1) +
    HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3 =
  HPow.hPow (β := ℕ) S'.a 3 + HPow.hPow (β := ℕ) S'.b 3
Tactic: calc _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+η^3)+η^3*S'.b^3 := by ring
  _ = S'.a^3+S'.a^2*S'.b*(η^2+η+1)+S'.a*S'.b^2*(η^2+η+1)+S'.b^3 := by
    simp [hζ.toInteger_cube_eq_one]
  _ = S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 := by rw [eta_sq]; ring
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b ∨
    HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b ∨
      HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
have by_contra! : ∀ (h1 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b) (h2 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
  (h3 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b), False
Tactic: by_contra! ⟨h1, h2, h3⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b
h2 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h3 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
⊢ False
have h1₁ : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
Tactic: rw [← emultiplicity_lt_iff_not_dvd] at h1 h2 h3
Cleared hypotheses: h1, h2, h3
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b
h2 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h3 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
h1₁ : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
⊢ False
have h2₁ : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
Tactic: rw [← emultiplicity_lt_iff_not_dvd] at h1 h2 h3
Cleared hypotheses: h1, h2, h3
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + S'.b
h2 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b
h3 : ¬HPow.hPow (β := ℕ) λ 2 ∣ S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b
h1₁ : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2₁ : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
⊢ False
have h3₁ : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
Tactic: rw [← emultiplicity_lt_iff_not_dvd] at h1 h2 h3
Cleared hypotheses: h1, h2, h3
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
⊢ False
have h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
Tactic: have h1' : FiniteMultiplicity (hζ.toInteger - 1) (S'.a + S'.b) :=
    finiteMultiplicity_iff_emultiplicity_ne_top.2 (fun ht ↦ by simp [ht] at h1)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
⊢ FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
have refine : ∀ (ht : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) = ⊤), False
Tactic: refine finiteMultiplicity_iff_emultiplicity_ne_top.2 (fun ht ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
ht : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) = ⊤
⊢ False
have ht₁ : emultiplicity λ (S'.a + hζ.toInteger * S'.b) = ⊤
Tactic: rw [coe_eta] at ht
Cleared hypotheses: ht
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
⊢ False
have h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
Tactic: have h2' : FiniteMultiplicity (hζ.toInteger - 1) (S'.a + η * S'.b) := by
    refine finiteMultiplicity_iff_emultiplicity_ne_top.2 (fun ht ↦ ?_)
    rw [coe_eta] at ht
    simp [ht] at h2
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (goal)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
⊢ FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
have refine : ∀ (ht : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) = ⊤), False
Tactic: refine finiteMultiplicity_iff_emultiplicity_ne_top.2 (fun ht ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
ht : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) = ⊤
⊢ False
have ht₁ : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) hζ.toInteger 2 * S'.b) = ⊤
Tactic: rw [coe_eta] at ht
Cleared hypotheses: ht
-- Lean 4 proof step from Mathlib.NumberTheory.FLT.Three (hypothesis)
Goal:
K : Type u_1
inst : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ 3
S' : Solution' hζ
inst_1 : NumberField K
inst_2 : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
h1 : emultiplicity λ (S'.a + S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h2 : emultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h3 : emultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b) < (↑2 : ℕ∞)
h1' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + S'.b)
h2' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + (↑η : 𝓞 K) * S'.b)
⊢ False
have h3' : FiniteMultiplicity λ (S'.a + HPow.hPow (β := ℕ) (↑η : 𝓞 K) 2 * S'.b)
Tactic: have h3' : FiniteMultiplicity (hζ.toInteger - 1) (S'.a + η ^ 2 * S'.b) := by
    refine finiteMultiplicity_iff_emultiplicity_ne_top.2 (fun ht ↦ ?_)
    rw [coe_eta] at ht
    simp [ht] at h3