awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
inr : q.Monic
⊢ ∃ (q : R[X]),
    q.Monic ∧
      Eq.{u_3 + 1} (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) q : S) (0 : S) ∧
        ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) q : R[X]) : S) ∉ Q
have inr₁ : ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) q : R[X]) : S) ∉ Q
Tactic: refine ⟨q, ?_, by simpa [q], ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
⊢ q.Monic
have inr : p.natDegree < (HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2)).natDegree
Tactic: refine ((minpoly.monic hRx).pow _).add_of_left (degree_lt_degree ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
⊢ p.natDegree < (HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2)).natDegree
have inr : p.natDegree < p.natDegree + 2
Tactic: grw [natDegree_pow' (by simp [minpoly.monic hRx]),
      ← Nat.le_mul_of_pos_right _ (minpoly.natDegree_pos hRx)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
⊢ ∃ (w : P.ResidueField[X]),
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w ∧ ¬m ∣ w
have obtain : ∀ (w : P.ResidueField[X])
  (hw :
    (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField) : (a : R[X]) → P.ResidueField[X]) (minpoly R x) =
      Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w),
  ∃ (w : P.ResidueField[X]),
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w ∧ ¬m ∣ w
Tactic: obtain ⟨w, hw⟩ := Ideal.mem_span_singleton.mp
      (hp.ge (Ideal.mem_map_of_mem _ (x := minpoly R x) (by simp [I])))
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
w : P.ResidueField[X]
hw :
  (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField) : (a : R[X]) → P.ResidueField[X]) (minpoly R x) =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w
⊢ ∃ (w : P.ResidueField[X]),
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w ∧ ¬m ∣ w
have refine_1 : Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q =
  Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p *
    (1 +
      w *
        HPow.hPow (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) (minpoly R x))
          (p.natDegree + 1))
Tactic: refine ⟨1 + w * (minpoly R x).map (algebraMap R P.ResidueField) ^ (p.natDegree + 1), ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
w : P.ResidueField[X]
hw :
  (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField) : (a : R[X]) → P.ResidueField[X]) (minpoly R x) =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w
refine_1 :
  Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p *
      (1 +
        w *
          HPow.hPow (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) (minpoly R x))
            (p.natDegree + 1))
⊢ ∃ (w : P.ResidueField[X]),
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w ∧ ¬m ∣ w
have refine_2 : ¬m ∣
    1 +
      w *
        HPow.hPow (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) (minpoly R x))
          (p.natDegree + 1)
Tactic: refine ⟨1 + w * (minpoly R x).map (algebraMap R P.ResidueField) ^ (p.natDegree + 1), ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
w : P.ResidueField[X]
hw :
  (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField) : (a : R[X]) → P.ResidueField[X]) (minpoly R x) =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w
⊢ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p *
      (1 +
        w *
          HPow.hPow (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) (minpoly R x))
            (p.natDegree + 1))
have refine_1 : ∀
  (hp :
    Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
      (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S)
        (↑(aeval (1 ⊗ₜ[R] x)) : P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S)))
  (hI' :
    Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
      (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
      (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S)
        (↑(aeval (1 ⊗ₜ[R] x)) : P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S)))
  (hm : Prime m) (hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p)
  (hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p)
  (hw :
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) (minpoly R x) = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w),
  (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w) ^ (p.natDegree + 2) +
      Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p *
      (1 + w * (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w) ^ (p.natDegree + 1))
Tactic: simp_all [q]
Cleared hypotheses: hp, hI', hm, hmp₁, hmp₂, hw
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
w : P.ResidueField[X]
hw :
  (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField) : (a : R[X]) → P.ResidueField[X]) (minpoly R x) =
    Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w
⊢ ¬m ∣
      1 +
        w *
          HPow.hPow (α := P.ResidueField[X]) (Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) (minpoly R x))
            (p.natDegree + 1)
have refine_2 : ¬IsUnit m
Tactic: rw [dvd_add_left (dvd_mul_of_dvd_right (dvd_pow (by simp [m, minpoly.dvd_iff]) (by simp)) _),
        ← isUnit_iff_dvd_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
⊢ ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) q : R[X]) : S) ∉ Q
have inr : ∀ (w : P.ResidueField[X])
  (h₁ : Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w)
  (h₂ : ¬m ∣ w), ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) q : R[X]) : S) ∉ Q
Tactic: have ⟨w, h₁, h₂⟩ : ∃ w, q.map (algebraMap R _) = p.map (algebraMap R _) * w ∧ ¬ m ∣ w := by
    obtain ⟨w, hw⟩ := Ideal.mem_span_singleton.mp
      (hp.ge (Ideal.mem_map_of_mem _ (x := minpoly R x) (by simp [I])))
    refine ⟨1 + w * (minpoly R x).map (algebraMap R P.ResidueField) ^ (p.natDegree + 1), ?_, ?_⟩
    · simp_all [q]
      #adaptation_note /-- Before https://github.com/leanprover/lean4/pull/13166
      (replacing grind's canonicalizer with a type-directed normalizer), `grind` closed this
      goal. It is not yet clear whether this is due to defeq abuse in Mathlib or a problem in
      the new canonicalizer; a minimization would help. The original proof was:
      `simp_all [q]; grind` -/
      ring
    · rw [dvd_add_left (dvd_mul_of_dvd_right (dvd_pow (by simp [m, minpoly.dvd_iff]) (by simp)) _),
        ← isUnit_iff_dvd_one]
      exact hm.not_unit
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
inst_3 : Module.Finite R S
Q : Ideal S
inst_4 : Q.IsPrime
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
h : Nontrivial S
this_1 : Nontrivial R
P : Ideal R := Ideal.under R Q
this : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime P) (Localization.AtPrime Q) :=
  Localization.AtPrime.algebraOfLiesOver P Q
x : S
hx : Eq (α := Subalgebra R S) R[x] ⊤
hRx : IsIntegral R x
I : Ideal R[X] := RingHom.ker (F := RingHom.{u_1, u_3} R[X] S) (AlgHom.toRingHom (aeval x))
hx' : Function.Surjective.{u_1 + 1, u_3 + 1} (α := R[X]) (β := S) (⇑(aeval x) : (a : R[X]) → S)
p : R[X]
hpI : p ∈ I
hp :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X]) (Ideal.span {Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p})
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
hI' :
  Eq (α := Ideal P.ResidueField[X])
    (Ideal.map (F := R[X] →+* P.ResidueField[X]) (mapRingHom (algebraMap R P.ResidueField)) I)
    (RingHom.ker (F := P.ResidueField[X] →+* P.ResidueField ⊗[R] S) (AlgHom.toRingHom (aeval (1 ⊗ₜ[R] x))))
m : P.ResidueField[X] :=
  minpoly P.ResidueField (B := Q.ResidueField)
    ((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
hm : Prime m
hmp₁ : m ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
hmp₂ : ¬HPow.hPow (β := ℕ) m 2 ∣ Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p
q : R[X] := HPow.hPow (α := R[X]) (minpoly R x) (p.natDegree + 2) + p
w : P.ResidueField[X]
h₁ : Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) q = Polynomial.map (algebraMap R P.ResidueField) p * w
h₂ : ¬m ∣ w
⊢ ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) q : R[X]) : S) ∉ Q
have hm' : Ne (α := P.ResidueField[X]) ((derivative : (a : P.ResidueField[X]) → P.ResidueField[X]) m : P.ResidueField[X])
  (0 : P.ResidueField[X])
Tactic: have hm' : derivative m ≠ 0 :=
    (separable_iff_derivative_ne_zero hm.irreducible).mp (IsSeparable.isSeparable ..)