-- Lean 4 proof step from Mathlib.LinearAlgebra.CrossProduct (goal)
Goal:
R : Type u_1
inst : CommRing R
u v w : Fin 3 → R
h₀ :
  u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 -
      u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 =
    ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 2 -
        ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 1 +
      (v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2 -
        v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1)
h₁ :
  u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 -
      u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 =
    ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 0 -
        ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 2 +
      (v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0 -
        v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2)
⊢ ![u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2 -
        u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1,
      u 2 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 -
        u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 2,
      u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 -
        u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0] =
    ![![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 2 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 1 +
        (v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2 -
          v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1),
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 2 * w 0 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 2 +
        (v 2 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0 -
          v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 2),
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 1 -
          ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 0 +
        (v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1 -
          v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0)]
have h₂ : u 0 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 1 -
    u 1 * ![v 1 * w 2 - v 2 * w 1, v 2 * w 0 - v 0 * w 2, v 0 * w 1 - v 1 * w 0] 0 =
  ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 0 * w 1 -
      ![u 1 * v 2 - u 2 * v 1, u 2 * v 0 - u 0 * v 2, u 0 * v 1 - u 1 * v 0] 1 * w 0 +
    (v 0 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 1 -
      v 1 * ![u 1 * w 2 - u 2 * w 1, u 2 * w 0 - u 0 * w 2, u 0 * w 1 - u 1 * w 0] 0)
Tactic: apply vec3_eq