-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.TensorProduct (goal)
Goal:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
inst : CommSemiring R
inst_1 : AddCommMonoid M
inst_2 : Module R M
inst_3 : AddCommMonoid P
inst_4 : Module R P
N : Submodule R P
hN : N.FG
x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N) M
eq :
  Eq (α := P ⊗[R] M) ((LinearMap.rTensor M N.subtype : (a : ↥N ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) x : P ⊗[R] M)
    ((LinearMap.rTensor M N.subtype : (a : ↥N ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) y : P ⊗[R] M)
lift :
  ∀ (N : { x : Submodule R P // x.FG }) (hN : (↑N : Submodule R P).FG)
    {x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M}
    (eq :
      Eq (α := P ⊗[R] M)
        ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) x :
          P ⊗[R] M)
        ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) y :
          P ⊗[R] M)),
    ∃ (N' : Submodule R P),
      N'.FG ∧
        ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
          Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
lift₁ :
  ∀ (N : { x : Submodule R P // x.FG }) {x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M}
    (eq :
      Eq (α := P ⊗[R] M)
        ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) x :
          P ⊗[R] M)
        ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) y :
          P ⊗[R] M)),
    ∃ (N' : Submodule R P),
      N'.FG ∧
        ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
          Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
lift₂ :
  ∀ (N : { x : Submodule R P // x.FG }) {x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M}
    (eq :
      Eq (α :=
        TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R
          (Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P)) (Module.fgSystem R P))
          M)
        ((LinearMap.rTensor M
                (↑(LinearEquiv.symm (Module.fgSystem.equiv R P)) :
                  P →ₗ[R]
                    Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                      (Module.fgSystem R P)) :
              (a : P ⊗[R] M) →
                Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                    (Module.fgSystem R P) ⊗[R]
                  M)
            ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) x) :
          TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R
            (Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P)) (Module.fgSystem R P))
            M)
        ((LinearMap.rTensor M
                (↑(LinearEquiv.symm (Module.fgSystem.equiv R P)) :
                  P →ₗ[R]
                    Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                      (Module.fgSystem R P)) :
              (a : P ⊗[R] M) →
                Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                    (Module.fgSystem R P) ⊗[R]
                  M)
            ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) y) :
          TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R
            (Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P)) (Module.fgSystem R P))
            M)),
    ∃ (N' : Submodule R P),
      N'.FG ∧
        ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
          Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
lift₃ :
  ∀ (N : { x : Submodule R P // x.FG }) {x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M}
    (eq :
      Eq (α :=
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑x : Submodule R P)) M)
          fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
        ((directLimitLeft (G := fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P)) (Module.fgSystem R P)
                M :
              (a :
                  Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                      (Module.fgSystem R P) ⊗[R]
                    M) →
                Module.DirectLimit (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑x : Submodule R P) ⊗[R] M)
                  fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                  LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
            ((LinearMap.rTensor M
                  (↑(LinearEquiv.symm (Module.fgSystem.equiv R P)) :
                    P →ₗ[R]
                      Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                        (Module.fgSystem R P)) :
                (a : P ⊗[R] M) →
                  Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                      (Module.fgSystem R P) ⊗[R]
                    M)
              ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) x)) :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑x : Submodule R P)) M)
            fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
        ((directLimitLeft (G := fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P)) (Module.fgSystem R P)
                M :
              (a :
                  Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                      (Module.fgSystem R P) ⊗[R]
                    M) →
                Module.DirectLimit (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑x : Submodule R P) ⊗[R] M)
                  fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                  LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
            ((LinearMap.rTensor M
                  (↑(LinearEquiv.symm (Module.fgSystem.equiv R P)) :
                    P →ₗ[R]
                      Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                        (Module.fgSystem R P)) :
                (a : P ⊗[R] M) →
                  Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P))
                      (Module.fgSystem R P) ⊗[R]
                    M)
              ((LinearMap.rTensor M (↑N : Submodule R P).subtype : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → P ⊗[R] M) y)) :
          Module.DirectLimit (R := R)
            (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑x : Submodule R P)) M)
            fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))),
    ∃ (N' : Submodule R P),
      N'.FG ∧
        ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
          Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
            ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
⊢ ∃ (N' : Submodule R P),
    N'.FG ∧
      ∃ (h : N ≤ N'),
        Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
          ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥N ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
          ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥N ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
have lift₄ : ∀ (N : { x : Submodule R P // x.FG }) {x y : TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M}
  (eq :
    Eq (α :=
      Module.DirectLimit (R := R)
        (fun (x : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑x : Submodule R P)) M)
        fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
      (((Module.DirectLimit.of R { N : Submodule R P // N.FG }
                (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
                (fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                  LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
                N :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M →ₗ[R]
                Module.DirectLimit (R := R)
                  (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
                  fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                  LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h)) :
            (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) →
              Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P) ⊗[R] M)
                fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
          x :
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
          fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
      (((Module.DirectLimit.of R { N : Submodule R P // N.FG }
                (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
                (fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                  LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
                N :
              TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑N : Submodule R P)) M →ₗ[R]
                Module.DirectLimit (R := R)
                  (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
                  fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦
                  LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h)) :
            (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) →
              Module.DirectLimit (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ ↥(↑i : Submodule R P) ⊗[R] M)
                fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))
          y :
        Module.DirectLimit (R := R)
          (fun (i : { N : Submodule R P // N.FG }) ↦ TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥(↑i : Submodule R P)) M)
          fun (i j : { N : Submodule R P // N.FG }) (h : i ≤ j) ↦ LinearMap.rTensor M (Module.fgSystem R P i j h))),
  ∃ (N' : Submodule R P),
    N'.FG ∧
      ∃ (h : (↑N : Submodule R P) ≤ N'),
        Eq (α := TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
          ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) x :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
          ((LinearMap.rTensor M (inclusion h) : (a : ↥(↑N : Submodule R P) ⊗[R] M) → ↥N' ⊗[R] M) y :
            TensorProduct.{u_1, u_3, u_2} R (↥N') M)
Tactic: classical
  lift N to {N : Submodule R P // N.FG} using hN
  apply_fun (Module.fgSystem.equiv R P).symm.toLinearMap.rTensor M at eq
  apply_fun directLimitLeft _ _ at eq
  simp_rw [← LinearMap.rTensor_comp_apply, ← (LinearEquiv.eq_toLinearMap_symm_comp _ _).mpr
    (Module.fgSystem.equiv_comp_of N), directLimitLeft_rTensor_of] at eq
  have ⟨N', le, eq⟩ := Module.DirectLimit.exists_eq_of_of_eq eq
  exact ⟨_, N'.2, le, eq⟩
Cleared hypotheses: N, hN, x, y, eq