awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Star R
inst_6 : (i : ι) → Star (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_8 : (i : ι) → SMul.{u_1, u_3} R (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
inst_10 : ∀ (i : ι), StarModule.{u_1, u_3} R (G i)
r : R
i : ι
x : G i
simp_rw :
  star (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧) =
    HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) (star r) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
simp_rw₁ :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧)
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star r • star x)⟧
⊢ star (HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) r ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧) =
    HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) (star r) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
have simp_rw₂ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (r • x)⟧)
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star (r • x))⟧
Tactic: simp_rw [star_def, smul_def, ← star_smul, star_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_3 : ι) → (h : x ≤ x_3) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Monoid R
inst_6 : (i : ι) → MulAction.{u_1, u_3} R (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
x x_1 : R
i : ι
x_2 : G i
⊢ HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) (x * x_1) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_2⟧ =
    x • HSMul.hSMul (β := DirectLimit G (T := T) f) x_1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_2⟧
have simp_rw : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i ((x * x_1) • x_2)⟧
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x • x_1 • x_2)⟧
Tactic: simp_rw [smul_def, mul_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Monoid R
inst_6 : (i : ι) → MulAction.{u_1, u_3} R (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
i : ι
x : G i
⊢ HSMul.hSMul (α := R) (β := DirectLimit G (T := T) f) 1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have rw : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := R) 1 x)⟧
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: rw [smul_def, one_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Monoid R
inst_6 : (i : ι) → MulAction.{u_1, u_3} R (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MulActionHomClass.{u_6, u_1, u_3, u_3} (T h) R (G i) (G j)
i : ι
x : G i
rw :
  Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HSMul.hSMul.{u_1, u_3, u_3} (α := R) 1 x)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ HSMul.hSMul (α := R) (β := DirectLimit G (T := T) f) 1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: rw [smul_def, one_smul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → MulOneClass (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) 1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have simp_rw : HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: simp_rw [one_def i, mul_def, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → MulOneClass (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
simp_rw :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) 1 ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (1 * x)⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: simp_rw [one_def i, mul_def, one_mul]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → MulOneClass (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 1 =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have simp_rw : HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ =
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: simp_rw [one_def i, mul_def, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → MulOneClass (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x : G i
simp_rw :
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ 1 =
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x * 1)⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: simp_rw [one_def i, mul_def, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x : G i
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f)
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) x_1 0) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
    1
have simp_rw : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℕ) x 0)⟧ 1
Tactic: simp_rw [map_def, pow_zero, one_def i]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x : G i
simp_rw : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (HPow.hPow (β := ℕ) x 0)⟧ 1
⊢ Eq (α := DirectLimit G (T := T) f)
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ HPow.hPow (β := ℕ) x_1 0) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
    1
have simp_rw₁ : Eq (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i 1⟧ 1
Tactic: simp_rw [map_def, pow_zero, one_def i]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ (n + 1)) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f)
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ n) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have simp_rw : ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ (n + 1))⟧ =
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: simp_rw [map_def, pow_succ, mul_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_1 : ι) → (h : x ≤ x_1) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
n : ℕ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ (n + 1))⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
⊢ map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ (n + 1)) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f)
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_1 : G x) ↦ x_1 ^ n) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
have simp_rw₁ : ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n * x)⟧ =
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
Tactic: simp_rw [map_def, pow_succ, mul_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
x_1 : DirectLimit G (T := T) f
n : ℕ
i : ι
x : G i
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (HPow.hPow (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ n) =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      n
have simp_rw : DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧ =
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
    n
Tactic: simp_rw [npow_def, lift_def, map_pow (g i)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Monoid (G i)
inst_7 : Monoid C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
g : (i : ι) → H i
h :
  ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j) (x : G i),
    Eq.{u_5 + 1} (α := C) ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) i x)
      ((fun (x : ι) ↦ ((⇑(g x) : (a : G x) → C) : (a : G x) → C)) j ((f i j h : (a : G i) → G j) x))
x_1 : DirectLimit G (T := T) f
n : ℕ
i : ι
x : G i
simp_rw :
  DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x ^ n)⟧ =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      n
⊢ DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
      (HPow.hPow (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ n) =
    DirectLimit.lift (F := G) (T := T) f (fun (x : ι) ↦ (⇑(g x) : (a : G x) → C)) h
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ^
      n
have simp_rw₁ : (g i : (a : G i) → C) (x ^ n) = HPow.hPow (α := C) ((g i : (a : G i) → C) x : C) n
Tactic: simp_rw [npow_def, lift_def, map_pow (g i)]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddMonoid (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_8 : (i : ι) → StarAddMonoid (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x x_1 : G i
⊢ star
      (HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧) =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw : star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x + x_1)⟧ =
  HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
    (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
Tactic: simp_rw [add_def, star_def, star_add, add_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddMonoid (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_8 : (i : ι) → StarAddMonoid (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x + x_1)⟧ =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
⊢ star
      (HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧) =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw₁ : ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star (x + x_1))⟧ =
  HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
Tactic: simp_rw [add_def, star_def, star_add, add_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → AddMonoid (G i)
inst_7 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), AddMonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_8 : (i : ι) → StarAddMonoid (G i)
inst_9 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), StarHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
i : ι
x x_1 : G i
simp_rw :
  star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x + x_1)⟧ =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
simp_rw₁ :
  ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star (x + x_1))⟧ =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
⊢ star
      (HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧) =
    HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧)
      (star ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw₂ : ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x + star x_1)⟧ =
  HAdd.hAdd (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x)⟧
    ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (star x_1)⟧
Tactic: simp_rw [add_def, star_def, star_add, add_def]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Colimit.DirectLimit (goal)
Goal:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst : Preorder ι
G : ι → Type u_3
H : ι → Type u_4
C : Type u_5
T : ⦃i j : ι⦄ → i ≤ j → Type u_6
f : (x x_2 : ι) → (h : x ≤ x_2) → T h
inst_1 : (i j : ι) → (h : i ≤ j) → FunLike.{u_6 + 1, u_3 + 1, u_3 + 1} (T h) (G i) (G j)
inst_2 : (i : ι) → FunLike.{u_4 + 1, u_3 + 1, u_5 + 1} (H i) (G i) C
inst_3 : DirectedSystem G fun (x1 x2 : ι) (x3 : x1 ≤ x2) ↦ (⇑(f x1 x2 x3) : (a : G x1) → G x2)
inst_4 : IsDirectedOrder ι
inst_5 : Nonempty ι
inst_6 : (i : ι) → Group (G i)
inst_7 : Group C
inst_8 : ∀ (i j : ι) (h : i ≤ j), MonoidHomClass.{u_6, u_3, u_3} (T h) (G i) (G j)
inst_9 : ∀ (i : ι), MonoidHomClass.{u_4, u_3, u_5} (H i) (G i) C
i : ι
x x_1 : G i
⊢ map₂ (F₁ := G) (F₂ := G) (F := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (T := T) f (fun (x : ι) (x1 x2 : G x) ↦ x1 / x2) ⋯
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧ ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧ =
    HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
      (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_2 : G x) ↦ x_2⁻¹) ⋯
        ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
have simp_rw : ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i (x / x_1)⟧ =
  HMul.hMul (α := DirectLimit G (T := T) f) ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x⟧
    (map (F₁ := G) (F₂ := G) (T₁ := T) f (T₂ := T) f (fun (x : ι) (x_2 : G x) ↦ x_2⁻¹) sorry
      ⟦Sigma.mk (β := fun (i : ι) ↦ G i) i x_1⟧)
Tactic: simp_rw [map₂_def, map_def, div_eq_mul_inv, mul_def]