awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x • g x + b • f y • g y ≤ f (a • x + b • y) • g (a • x + b • y)
have refine : a • f x • g x + b • f y • g y ≤ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)
Tactic: refine (smul_le_smul (hf.2 hx hy ha hb hab) (hg.2 hx hy ha hb hab)
    (add_nonneg (smul_nonneg ha <| hf₀ hx) <| smul_nonneg hb <| hf₀ hy)
    (hg₀ <| hf.1 hx hy ha hb hab)).trans' ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x • g x + b • f y • g y = (a * (a + b)) • f x • g x + (b * (a + b)) • f y • g y
have simp_rw : a • f x • g x + b • f y • g y = (a * 1) • f x • g x + (b * 1) • f y • g y
Tactic: simp_rw [hab, mul_one]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * (a + b)) • f x • g x + (b * (a + b)) • f y • g y =
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g x + f y • g y)
have simp : (a * a) • f x • g x + (a * b) • f x • g x + ((a * b) • f y • g y + (b * b) • f y • g y) =
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g x + (a * b) • f y • g y)
Tactic: simp only [mul_add, add_smul, smul_add, mul_comm _ a]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g x + f y • g y) ≤
    (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x)
have bc : f x • g x + f y • g y ≤ f x • g y + f y • g x
Tactic: gcongr _ + (a * b) • ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x • g x + b • f y • g y ≤ (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)
have calc : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x) =
  (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)
Tactic: calc a • f x • g x + b • f y • g y
        = (a * (a + b)) • (f x • g x) + (b * (a + b)) • (f y • g y) := by simp_rw [hab, mul_one]
    _ = (a * a) • (f x • g x) + (b * b) • (f y • g y) + (a * b) • (f x • g x + f y • g y) := by
        simp only [mul_add, add_smul, smul_add, mul_comm _ a]; abel
    _ ≤ (a * a) • (f x • g x) + (b * b) • (f y • g y) + (a * b) • (f x • g y + f y • g x) := by
        gcongr _ + (a * b) • ?_; exact hfg.smul_add_smul_le_smul_add_smul hx hy
    _ = _ := ?_
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + (a * b) • (f x • g y + f y • g x) =
    (a • f x + b • f y) • (a • g x + b • g y)
have simp : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
Tactic: simp only [add_smul, smul_add]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
rw :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw₁ : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
rw :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₁ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw₂ : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • f y) • b • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
rw :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₁ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₂ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • f y) • b • g y)
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw₃ : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
rw :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₁ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₂ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₃ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw₄ : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a * a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
rw :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₁ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₂ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₃ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
rw₄ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a * a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw₅ : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Convex.Mul (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst : CommRing 𝕜
inst_1 : LinearOrder 𝕜
inst_2 : IsStrictOrderedRing 𝕜
inst_3 : CommRing E
inst_4 : LinearOrder E
inst_5 : IsStrictOrderedRing E
inst_6 : AddCommGroup F
inst_7 : LinearOrder F
inst_8 : IsOrderedAddMonoid F
inst_9 : AddCommGroup G
inst_10 : Module 𝕜 G
inst_11 : Module 𝕜 E
inst_12 : Module 𝕜 F
inst_13 : Module E F
inst_14 : IsScalarTower 𝕜 E F
inst_15 : SMulCommClass 𝕜 E F
inst_16 : IsOrderedModule 𝕜 F
inst_17 : IsStrictOrderedModule E F
s : Set G
f : G → E
g : G → F
inst_18 : IsOrderedModule 𝕜 E
hf : ConcaveOn 𝕜 s f
hg : ConcaveOn 𝕜 s g
hf₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ f x
hg₀ : ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ s → 0 ≤ g x
hfg : AntivaryOn f g s
x : G
hx : x ∈ s
y : G
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
rw :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₁ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₂ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • f y) • b • g y)
rw₃ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
rw₄ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a * a) • f x • g x + (b • a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
rw₅ :
  (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a • b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
⊢ (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
    (a • f x) • a • g x + (b • f y) • a • g x + ((a • f x) • b • g y + (b • f y) • b • g y)
have rw₆ : (a * a) • f x • g x + (b * b) • f y • g y + ((a * b) • f x • g y + (a * b) • f y • g x) =
  (a * a) • f x • g x + (b * a) • f y • g x + ((a * b) • f x • g y + (b • b) • f y • g y)
Tactic: rw [← smul_smul_smul_comm a, ← smul_smul_smul_comm b, ← smul_smul_smul_comm a b,
    ← smul_smul_smul_comm b b, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, smul_eq_mul, mul_comm b a,
    add_comm ((a * b) • f x • g y), add_comm ((a * b) • f x • g y), add_add_add_comm]