awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
pos :
  ∀ (h3u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0),
    eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
      (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have neg : ∀ (h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0),
  eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
Tactic: by_cases h3u : ∫⁻ x, ‖u x‖ₑ ^ (p' : ℝ) ∂μ = 0
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have pos : 0 ≤ (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
Tactic: rw [eLpNorm_nnreal_eq_lintegral hp'0, h3u, ENNReal.zero_rpow_of_pos]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
pos :
  0 ≤ (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have pos₁ : 0 < 1 / (↑p' : ℝ)
Tactic: rw [eLpNorm_nnreal_eq_lintegral hp'0, h3u, ENNReal.zero_rpow_of_pos]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
⊢ ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
have refine : eLpNorm' u (↑p' : ℝ) μ < ∞
Tactic: refine lintegral_rpow_enorm_lt_top_of_eLpNorm'_lt_top
      ((NNReal.coe_pos.trans pos_iff_ne_zero).mpr hp'0) ?_ |>.ne
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
⊢ eLpNorm' u (↑p' : ℝ) μ < ∞
have rw : eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ < ∞
Tactic: rw [← eLpNorm_nnreal_eq_eLpNorm' hp'0]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
Tactic: have h4u : ∫⁻ x, ‖u x‖ₑ ^ (p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞ := by
    refine lintegral_rpow_enorm_lt_top_of_eLpNorm'_lt_top
      ((NNReal.coe_pos.trans pos_iff_ne_zero).mpr hp'0) ?_ |>.ne
    rw [← eLpNorm_nnreal_eq_eLpNorm' hp'0]
    exact hu.continuous.memLp_of_hasCompactSupport (μ := μ) h2u |>.eLpNorm_lt_top
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
Tactic: have h5u : (∫⁻ x, ‖u x‖ₑ ^ (p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0 :=
    ENNReal.rpow_pos (pos_iff_ne_zero.mpr h3u) h4u |>.ne'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
Tactic: have h6u : (∫⁻ x, ‖u x‖ₑ ^ (p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞ := by finiteness
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have h7u : Continuous u
Tactic: have h7u := hu.continuous
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have hv : ContDiff ℝ 1 v
Tactic: have hv : ContDiff ℝ 1 v := hu.norm_rpow h1γ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (hypothesis)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
⊢ eLpNorm u (↑p' : ℝ≥0∞) μ ≤
    (↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ (↑p : ℝ)) : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u) (↑p : ℝ≥0∞) μ
have h2v : HasCompactSupport v
Tactic: have h2v : HasCompactSupport v := h2u.norm.rpow_const h4γ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑n' : ℝ)) = eLpNorm v (↑n' : ℝ≥0∞) μ
have rw : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑(γ * n') : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑n' : ℝ)) = (∫⁻ (x : E), ‖v x‖ₑ ^ (↑n' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / (↑n' : ℝ))
Tactic: rw [← h2γ, eLpNorm_nnreal_eq_lintegral hn.symm.pos.ne']
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ (↑C : ℝ≥0∞) * eLpNorm (ε := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v) 1 μ =
    (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ
have rw : (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ =
  (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ
Tactic: rw [eLpNorm_one_eq_lintegral_enorm]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.FunctionalSpaces.SobolevInequality (goal)
Goal:
E : Type u_4
inst : NormedAddCommGroup E
inst_1 : NormedSpace ℝ E
inst_2 : MeasurableSpace E
inst_3 : BorelSpace E
inst_4 : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst_5 : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst_6 : NormedAddCommGroup F'
inst_7 : InnerProductSpace ℝ F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp_1 : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn_1 : 0 < n
hp' : (↑p' : ℝ)⁻¹ = (↑p⁻¹ : ℝ) - (↑n : ℝ)⁻¹
n' : ℝ≥0 := NNReal.conjExponent (↑n : ℝ≥0)
h2p : (↑p : ℝ) < (↑n : ℝ)
h0n : 2 ≤ n
hn : NNReal.HolderConjugate (↑n : ℝ≥0) n'
h1n : LE.le (α := ℝ≥0) 1 (↑n : ℝ≥0)
h2n : 0 < HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1
hnp : 0 < (↑n : ℝ) - (↑p : ℝ)
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p : ℝ).conjExponent
hq : (↑p : ℝ).HolderConjugate q
h0p : p ≠ 0
h1p : (↑p : ℝ) ≠ 1
h3p : (↑p : ℝ) - 1 ≠ 0
h2q : 1 / (↑n' : ℝ) - 1 / q = 1 / (↑p' : ℝ)
γ : ℝ≥0 := NNReal.mk ((↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))) ⋯
h0γ : (↑γ : ℝ) = (↑p : ℝ) * HSub.hSub (α := ℝ) (↑n : ℝ) 1 / ((↑n : ℝ) - (↑p : ℝ))
h1γ : 1 < (↑γ : ℝ)
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : ((↑γ : ℝ) - 1) * q = (↑p' : ℝ)
h4γ : (↑γ : ℝ) ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ (↑p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ∞
h7u : Continuous u
v : E → ℝ := fun (x : E) ↦ ‖u x‖ ^ (↑γ : ℝ)
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ (↑n' : ℝ)
⊢ (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ ≤
    (↑C : ℝ≥0∞) * (↑γ : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u x) ∂μ
have rw : (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (x : E), enorm (E := E →L[ℝ] ℝ) (fderiv ℝ v x) ∂μ ≤
  (↑C : ℝ≥0∞) * ∫⁻ (a : E), (↑γ : ℝ≥0∞) * (‖u a‖ₑ ^ ((↑γ : ℝ) - 1) * enorm (E := E →L[ℝ] F') (fderiv ℝ u a)) ∂μ
Tactic: rw [mul_assoc, ← lintegral_const_mul γ]