awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
have refine_1 : ∀ (n : ℕ) (hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0),
  ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
Tactic: obtain ⟨n, hn⟩ := id h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
⊢ ∃ (x_1 : S), IsNilpotent (x_1 - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval x_1 : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
have refine_1 : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
Tactic: refine ⟨P.newtonMap^[n] x, isNilpotent_iterate_newtonMap_sub_of_isNilpotent h n, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
n : ℕ
hn : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) n = 0
⊢ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
have refine_1 : HPow.hPow (α := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S) (HPow.hPow (α := ℕ) 2 n) ∣
  (aeval (P.newtonMap^[n] x) : (a : R[X]) → S) P
Tactic: rw [← zero_dvd_iff, ← pow_eq_zero_of_le (n.lt_two_pow_self).le hn]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
⊢ r₁ = r₂
have refine_2 : ∀ (u : S)
  (hu :
    eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
      eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
          eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
        u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2),
  r₁ = r₂
Tactic: have ⟨u, hu⟩ := binomExpansion (P.map (algebraMap R S)) r₁ (r₂ - r₁)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this :
  IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
⊢ r₁ = r₂
have rwa : ∀
  (hu :
    eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
      eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
          eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
        u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
  (this :
    IsUnit
      (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
        (u * (r₂ - r₁)))),
  r₁ = r₂
Tactic: rwa [derivative_map, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap,
        add_sub_cancel, hr₂', hr₁', zero_add, pow_two, ← mul_assoc, ← add_mul, eq_comm,
        this.mul_right_eq_zero, sub_eq_zero, eq_comm] at hu
Cleared hypotheses: hu, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this :
  IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
rwa :
  ∀
    (hu :
      eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
        eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
            eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
    (this :
      IsUnit
        (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
          (u * (r₂ - r₁)))),
    r₁ = r₂
⊢ r₁ = r₂
have rwa₁ : ∀
  (hu :
    (aeval (r₁ + (r₂ - r₁)) : (a : R[X]) → S) P =
      eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
          eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
        u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
  (this :
    IsUnit
      (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
        (u * (r₂ - r₁)))),
  r₁ = r₂
Tactic: rwa [derivative_map, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap,
        add_sub_cancel, hr₂', hr₁', zero_add, pow_two, ← mul_assoc, ← add_mul, eq_comm,
        this.mul_right_eq_zero, sub_eq_zero, eq_comm] at hu
Cleared hypotheses: hu, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this :
  IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
rwa :
  ∀
    (hu :
      eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
        eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
            eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
    (this :
      IsUnit
        (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
          (u * (r₂ - r₁)))),
    r₁ = r₂
rwa₁ :
  ∀
    (hu :
      (aeval (r₁ + (r₂ - r₁)) : (a : R[X]) → S) P =
        eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
            eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
    (this :
      IsUnit
        (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
          (u * (r₂ - r₁)))),
    r₁ = r₂
⊢ r₁ = r₂
have rwa₂ : ∀
  (hu :
    (aeval (r₁ + (r₂ - r₁)) : (a : R[X]) → S) P =
      HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S)
          (eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁)) +
        u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
  (this :
    IsUnit
      (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
        (u * (r₂ - r₁)))),
  r₁ = r₂
Tactic: rwa [derivative_map, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap,
        add_sub_cancel, hr₂', hr₁', zero_add, pow_two, ← mul_assoc, ← add_mul, eq_comm,
        this.mul_right_eq_zero, sub_eq_zero, eq_comm] at hu
Cleared hypotheses: hu, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this :
  IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
rwa :
  ∀
    (hu :
      eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
        eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
            eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
    (this :
      IsUnit
        (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
          (u * (r₂ - r₁)))),
    r₁ = r₂
rwa₁ :
  ∀
    (hu :
      (aeval (r₁ + (r₂ - r₁)) : (a : R[X]) → S) P =
        eval r₁ (map (algebraMap R S) P) +
            eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
    (this :
      IsUnit
        (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
          (u * (r₂ - r₁)))),
    r₁ = r₂
rwa₂ :
  ∀
    (hu :
      (aeval (r₁ + (r₂ - r₁)) : (a : R[X]) → S) P =
        HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S)
            (eval r₁ (map (algebraMap R S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P)) * (r₂ - r₁)) +
          u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
    (this :
      IsUnit
        (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
          (u * (r₂ - r₁)))),
    r₁ = r₂
⊢ r₁ = r₂
have rwa₃ : ∀
  (hu :
    (aeval (r₁ + (r₂ - r₁)) : (a : R[X]) → S) P =
      HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S)
          (HMul.hMul (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (r₂ - r₁)) +
        u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2)
  (this :
    IsUnit
      (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
        (u * (r₂ - r₁)))),
  r₁ = r₂
Tactic: rwa [derivative_map, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap,
        add_sub_cancel, hr₂', hr₁', zero_add, pow_two, ← mul_assoc, ← add_mul, eq_comm,
        this.mul_right_eq_zero, sub_eq_zero, eq_comm] at hu
Cleared hypotheses: hu, this
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
⊢ r₁ = r₂
have refine_2 : IsUnit
  (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
Tactic: suffices IsUnit (aeval r₁ (derivative P) + u * (r₂ - r₁)) by
      rwa [derivative_map, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap, eval_map_algebraMap,
        add_sub_cancel, hr₂', hr₁', zero_add, pow_two, ← mul_assoc, ← add_mul, eq_comm,
        this.mul_right_eq_zero, sub_eq_zero, eq_comm] at hu
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
⊢ IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
have this : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
Tactic: have : IsUnit (aeval r₁ (derivative P)) :=
      isUnit_aeval_of_isUnit_aeval_of_isNilpotent_sub h' hr₁
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S) (u * (r₂ - r₁)))
have refine_2 : IsUnit
  (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
    (u * (r₂ - x - (r₁ - x))))
Tactic: rw [← sub_sub_sub_cancel_right r₂ r₁ x]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.Newton (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
P : R[X]
x : S
h : IsNilpotent.{u_2} (R := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) P : S)
h' : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval x : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
r₁ r₂ : S
h_1 : IsNilpotent (r₁ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
h_2 : IsNilpotent (r₂ - x) ∧ Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₁ : IsNilpotent (r₁ - x)
hr₁' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
hr₂ : IsNilpotent (r₂ - x)
hr₂' : Eq.{u_2 + 1} (α := S) ((aeval r₂ : (a : R[X]) → S) P : S) (0 : S)
u : S
hu :
  eval (r₁ + (r₂ - r₁)) (map (algebraMap R S) P) =
    eval r₁ (map (algebraMap R S) P) + eval r₁ ((derivative : (a : S[X]) → S[X]) (map (algebraMap R S) P)) * (r₂ - r₁) +
      u * HPow.hPow (β := ℕ) (r₂ - r₁) 2
this : IsUnit.{u_2} (M := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
⊢ IsUnit
    (HAdd.hAdd (α := S) ((aeval r₁ : (a : R[X]) → S) ((derivative : (a : R[X]) → R[X]) P : R[X]) : S)
      (u * (r₂ - x - (r₁ - x))))
have refine_2 : IsNilpotent (u * (r₂ - x - (r₁ - x)))
Tactic: refine IsNilpotent.isUnit_add_left_of_commute ?_ this (Commute.all _ _)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
ϕ : τ → α → β
s : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
⊢ ω f₁ (fun (t : τ) (x : α) ↦ ϕ (m t) x) s ⊆ ω f₂ ϕ s
have refine : ∀ (u : Set τ) (hu : u ∈ f₂),
  closure[inst] (image2 (fun (t : τ) (x : α) ↦ ϕ (m t) x) (m ⁻¹' u) s) ⊆ closure[inst] (image2 ϕ u s)
Tactic: refine iInter₂_mono' fun u hu ↦ ⟨m ⁻¹' u, tendsto_def.mp hf _ hu, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
ϕ : τ → α → β
s : Set α
m : τ → τ
f₁ f₂ : Filter τ
hf : Tendsto m f₁ f₂
u : Set τ
hu : u ∈ f₂
⊢ closure[inst] (image2 (fun (t : τ) (x : α) ↦ ϕ (m t) x) (m ⁻¹' u) s) ⊆ closure[inst] (image2 ϕ u s)
have rw : closure[inst] (image2 ϕ (m '' m ⁻¹' u) s) ⊆ closure[inst] (image2 ϕ u s)
Tactic: rw [← image2_image_left]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
s : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst_1 : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous[inst, inst_1] gb
⊢ MapsTo gb (ω f ϕ s) (ω f ϕ' s')
have simp : ∀ ⦃x : β⦄,
  (∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), x ∈ closure[inst] (image2 ϕ i s)) →
    ∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), gb x ∈ closure[inst_1] (image2 ϕ' i s')
Tactic: simp only [omegaLimit_def, mem_iInter, MapsTo]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
s : Set α
α' : Type u_5
β' : Type u_6
inst_1 : TopologicalSpace β'
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
ϕ' : τ → α' → β'
ga : α → α'
s' : Set α'
hs : MapsTo ga s s'
gb : β → β'
hg : ∀ᶠ (t : τ) in f, EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s
hgc : Continuous[inst, inst_1] gb
y : β
hy : ∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), y ∈ closure[inst] (image2 ϕ i s)
u : Set τ
hu : u ∈ f
⊢ gb y ∈ closure[inst_1] (image2 ϕ' u s')
have refine : ∀ (t : τ) (ht : t ∈ u ∩ {x : τ | (fun (t : τ) ↦ EqOn (gb ∘ ϕ t) (ϕ' t ∘ ga) s) x}) (x : α) (hx : x ∈ s),
  gb (ϕ t x) ∈ image2 ϕ' u s'
Tactic: refine map_mem_closure hgc (hy _ (inter_mem hu hg)) (forall_mem_image2.2 fun t ht x hx ↦ ?_)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
⊢ y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (s ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty
have simp_rw : (∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) ↔
  ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
Tactic: simp_rw [frequently_iff, omegaLimit_def, mem_iInter, mem_closure_iff_nhds]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
⊢ (∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) ↔
    ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
have mp : (∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) →
  ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
mp :
  (∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) →
    ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
⊢ (∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty) ↔
    ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
have mpr : (∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty) →
  ∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty
Tactic: constructor
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
h : ∀ (i : Set τ) (i_1 : i ∈ f), ∀ t ∈ 𝓝 y, (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty
n : Set β
hn : n ∈ 𝓝 y
U : Set τ
hu : U ∈ f
⊢ ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
have mp : ∀ (w : τ) (ht : w ∈ U) (w_1 : α) (hx : w_1 ∈ s), ϕ w w_1 ∈ n → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
Tactic: rcases h _ hu _ hn with ⟨_, _, _, ht, _, hx, rfl⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
h : ∀ n ∈ 𝓝 y, ∀ {U : Set τ}, U ∈ f → ∃ x ∈ U, (s ∩ ϕ x ⁻¹' n).Nonempty
i : Set τ
hu : i ∈ f
t : Set β
hn : t ∈ 𝓝 y
⊢ (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty
have mpr : ∀ (w : τ) (ht : w ∈ i) (w_1 : α) (hx : w_1 ∈ s) (hϕtx : w_1 ∈ ϕ w ⁻¹' t), (t ∩ image2 ϕ i s).Nonempty
Tactic: rcases h _ hn hu with ⟨_, ht, _, hx, hϕtx⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s : Set α
y : β
⊢ y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (ϕ t '' s ∩ n).Nonempty
have simp_rw : (∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (s ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty) ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (ϕ t '' s ∩ n).Nonempty
Tactic: simp_rw [mem_omegaLimit_iff_frequently, image_inter_nonempty_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Dynamics.OmegaLimit (goal)
Goal:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
x : α
y : β
⊢ y ∈ ω f ϕ {x} ↔ MapClusterPt y f fun (t : τ) ↦ ϕ t x
have simp_rw : (∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, ({x} ∩ ϕ t ⁻¹' n).Nonempty) ↔ MapClusterPt y f fun (t : τ) ↦ ϕ t x
Tactic: simp_rw [mem_omegaLimit_iff_frequently, mapClusterPt_iff_frequently, singleton_inter_nonempty,
    mem_preimage]