awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
⊢ {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
have rcases : ∀ (t : ℝ) (hrt : r / 2 < t) (htr' : t < r'),
  {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
Tactic: rcases exists_between Irr' with ⟨t, hrt, htr'⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
⊢ {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
have rcases : ∀ (t' : ℝ) (hrt' : r / 2 < t') (ht't : t' < t),
  {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
Tactic: rcases exists_between hrt with ⟨t', hrt', ht't⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
⊢ ∃ b < s * r,
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
have B : Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
  ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
Tactic: have B : Continuous (fun (p : E × E) ↦ ‖f a p.2 - f a p.1 - (L p.2 - L p.1)‖) := by fun_prop
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
⊢ (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty
have simp : 0 ≤ t
Tactic: simp
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
⊢ 0 ≤ t
have linarith : t < 0 → 2 / 2 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
linarith : t < 0 → 2 / 2 = 1
⊢ 0 ≤ t
have linarith₁ : t < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
linarith : t < 0 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : t < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
⊢ 0 ≤ t
have linarith₂ : t < 0 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
linarith : t < 0 → 2 / 2 = 1
linarith₁ : t < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₂ : t < 0 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₃ : t < 0 → 2 / 2 = 1
linarith₄ : t < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₅ : t < 0 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
linarith₆ : t < 0 → 2 / 2 = 1
linarith₇ : t < 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 2 = 2
linarith₈ : t < 0 → GT.gt (α := ℝ) 2 0
⊢ 0 ≤ t
have linarith₉ : t < 0 → r' - r + (t - r') + (1 * r - 2 * t') + 2 * (t' - t) + (t - 0) = 0
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
⊢ ∃ b < s * r,
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
have C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty
Tactic: have C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty := by simp; linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty
⊢ ∃ b < s * r,
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
have rcases : ∀ (p : E × E) (pt : p ∈ closedBall x t ×ˢ closedBall x t)
  (hp :
    IsMaxOn (β := ℝ)
      (fun (p : E × E) ↦
        ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖)
      (closedBall x t ×ˢ closedBall x t) p),
  ∃ b < s * r,
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
Tactic: rcases ((isCompact_closedBall x t).prod (isCompact_closedBall x t)).exists_isMaxOn
      C B.continuousOn with ⟨p, pt, hp⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty
p : E × E
pt : p ∈ closedBall x t ×ˢ closedBall x t
hp :
  IsMaxOn (β := ℝ)
    (fun (p : E × E) ↦
      ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖)
    (closedBall x t ×ˢ closedBall x t) p
⊢ ∃ b < s * r,
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
have pt₁ : dist p.1 x ≤ t ∧ dist p.2 x ≤ t
Tactic: simp only [mem_prod, mem_closedBall] at pt
Cleared hypotheses: pt
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty
p : E × E
hp :
  IsMaxOn (β := ℝ)
    (fun (p : E × E) ↦
      ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖)
    (closedBall x t ×ˢ closedBall x t) p
pt : dist p.1 x ≤ t ∧ dist p.2 x ≤ t
⊢ ∃ b < s * r,
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
have refine : ∀ (y : E) (hy : y ∈ closedBall x t) (z : E) (hz : z ∈ closedBall x t),
  ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
Tactic: refine ⟨‖f a p.2 - f a p.1 - (L p.2 - L p.1)‖,
      hr p.1 (pt.1.trans_lt htr') p.2 (pt.2.trans_lt htr'), fun y hy z hz ↦ ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (hypothesis)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
B :
  Continuous[instTopologicalSpaceProd, _] fun (p : E × E) ↦
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty
p : E × E
hp :
  IsMaxOn (β := ℝ)
    (fun (p : E × E) ↦
      ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖)
    (closedBall x t ×ˢ closedBall x t) p
pt : dist p.1 x ≤ t ∧ dist p.2 x ≤ t
y : E
hy : y ∈ closedBall x t
z : E
hz : z ∈ closedBall x t
⊢ ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤
    ‖f a p.2 - f a p.1 - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) p.2 : F) ((L : (a : E) → F) p.1 : F)‖
have D : (y, z) ∈ closedBall x t ×ˢ closedBall x t
Tactic: have D : (y, z) ∈ closedBall x t ×ˢ closedBall x t := mem_prod.2 ⟨hy, hz⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
⊢ {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
have obtain : ∀ (b : ℝ) (b_lt : b < s * r)
  (hb :
    ∀ y ∈ closedBall x t,
      ∀ z ∈ closedBall x t,
        ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b),
  {p : α × E |
      ∃ (r' : ℝ),
        (r / 2 < r' ∧ r' ≤ r) ∧
          ∀ (y : E),
            dist y p.2 < r' →
              ∀ (z : E),
                dist z p.2 < r' →
                  ‖f p.1 z - f p.1 y -
                        HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
                    s * r} ∈
    𝓝 (a, x)
Tactic: obtain ⟨b, b_lt, hb⟩ : ∃ b, b < s * r ∧ ∀ y ∈ closedBall x t, ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - (L z - L y)‖ ≤ b := by
    have B : Continuous (fun (p : E × E) ↦ ‖f a p.2 - f a p.1 - (L p.2 - L p.1)‖) := by fun_prop
    have C : (closedBall x t ×ˢ closedBall x t).Nonempty := by simp; linarith
    rcases ((isCompact_closedBall x t).prod (isCompact_closedBall x t)).exists_isMaxOn
      C B.continuousOn with ⟨p, pt, hp⟩
    simp only [mem_prod, mem_closedBall] at pt
    refine ⟨‖f a p.2 - f a p.1 - (L p.2 - L p.1)‖,
      hr p.1 (pt.1.trans_lt htr') p.2 (pt.2.trans_lt htr'), fun y hy z hz ↦ ?_⟩
    have D : (y, z) ∈ closedBall x t ×ˢ closedBall x t := mem_prod.2 ⟨hy, hz⟩
    exact hp D
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
⊢ 0 < (s * r - b) / 3
have linarith : (s * r - b) / 3 ≤ 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 1 = 1
Tactic: linarith
-- Lean 4 proof step from Mathlib.Analysis.Calculus.FDeriv.Measurable (goal)
Goal:
𝕜 : Type u_1
inst : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst_1 : NormedAddCommGroup E
inst_2 : NormedSpace 𝕜 E
inst_3 : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst_4 : NormedAddCommGroup F
inst_5 : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst_6 : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s : ℝ
hf : Continuous[instTopologicalSpaceProd, PseudoMetricSpace.toUniformSpace.toTopologicalSpace] (Function.uncurry f)
L : E →L[𝕜] F
this : ProperSpace E
a : α
x : E
r' : ℝ
hr :
  ∀ (y : E),
    dist y (a, x).2 < r' →
      ∀ (z : E),
        dist z (a, x).2 < r' →
          ‖f (a, x).1 z - f (a, x).1 y -
                HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ <
            s * r
Irr' : r / 2 < r'
Ir'r : r' ≤ r
t : ℝ
hrt : r / 2 < t
htr' : t < r'
t' : ℝ
hrt' : r / 2 < t'
ht't : t' < t
b : ℝ
b_lt : b < s * r
hb :
  ∀ y ∈ closedBall x t,
    ∀ z ∈ closedBall x t,
      ‖f a z - f a y - HSub.hSub (α := F) (β := F) ((L : (a : E) → F) z : F) ((L : (a : E) → F) y : F)‖ ≤ b
linarith : (s * r - b) / 3 ≤ 0 → HMul.hMul (α := ℝ) 1 1 = 1
⊢ 0 < (s * r - b) / 3
have linarith₁ : (s * r - b) / 3 ≤ 0 → 3 / 3 = 1
Tactic: linarith