-- Lean 4 proof step from Mathlib.Algebra.Category.ModuleCat.Topology.Basic (goal)
Goal:
R : Type u
inst : Ring R
inst_1 : TopologicalSpace R
X Y : TopModuleCat R
f : X ⟶ Y
⊢ CategoryTheory.Functor.map
        (forget₂ (TopModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
            (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC :=
            fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v))) TopCat (FD := fun (X Y : TopCat) ↦
            C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CD := TopCat.carrier) ⋙
          free R)
        f ≫
      ConcreteCategory.ofHom (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC := fun (X : TopModuleCat R) ↦
        (↑X.toModuleCat : Type (max u v)))
        {
          toLinearMap :=
            (Finsupp.lift (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) Y).toModuleCat : Type (max u v)) R
                  (↑Y.toModuleCat : Type (max u v)) :
                (a : (↑Y.toModuleCat : Type (max u v)) → (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj Y).toModuleCat : Type (max u v))) →
                  ((↑Y.toModuleCat : Type (max u v)) →₀ R) →ₗ[R]
                    (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj Y).toModuleCat : Type (max u v)))
              id,
          cont := ⋯ :
          (↑(toModuleCat
                  (Functor.obj
                    (forget₂ (TopModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
                        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC :=
                        fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v))) TopCat (FD := fun (X Y : TopCat) ↦
                        C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CD := TopCat.carrier) ⋙
                      free R)
                    Y)) :
              Type (max u v)) →L[R]
            (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) Y).toModuleCat : Type (max u v)) } =
    ConcreteCategory.ofHom (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC := fun (X : TopModuleCat R) ↦
        (↑X.toModuleCat : Type (max u v)))
        {
          toLinearMap :=
            (Finsupp.lift (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) X).toModuleCat : Type (max u v)) R
                  (↑X.toModuleCat : Type (max u v)) :
                (a : (↑X.toModuleCat : Type (max u v)) → (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj X).toModuleCat : Type (max u v))) →
                  ((↑X.toModuleCat : Type (max u v)) →₀ R) →ₗ[R]
                    (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj X).toModuleCat : Type (max u v)))
              id,
          cont := ⋯ :
          (↑(toModuleCat
                  (Functor.obj
                    (forget₂ (TopModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
                        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC :=
                        fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v))) TopCat (FD := fun (X Y : TopCat) ↦
                        C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CD := TopCat.carrier) ⋙
                      free R)
                    X)) :
              Type (max u v)) →L[R]
            (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) X).toModuleCat : Type (max u v)) } ≫
      CategoryTheory.Functor.map (𝟭 (TopModuleCat R)) f
have h : hom (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦ (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v)))
    (CC := fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v)))
    (CategoryTheory.Functor.map
        (forget₂ (TopModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
            (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC :=
            fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v))) TopCat (FD := fun (X Y : TopCat) ↦
            C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CD := TopCat.carrier) ⋙
          free R)
        f ≫
      ConcreteCategory.ofHom (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC := fun (X : TopModuleCat R) ↦
        (↑X.toModuleCat : Type (max u v)))
        {
          toLinearMap :=
            (Finsupp.lift (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) Y).toModuleCat : Type (max u v)) R
                  (↑Y.toModuleCat : Type (max u v)) :
                (a : (↑Y.toModuleCat : Type (max u v)) → (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj Y).toModuleCat : Type (max u v))) →
                  ((↑Y.toModuleCat : Type (max u v)) →₀ R) →ₗ[R]
                    (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj Y).toModuleCat : Type (max u v)))
              id,
          cont := sorry :
          (↑(toModuleCat
                  (Functor.obj
                    (forget₂ (TopModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
                        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC :=
                        fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v))) TopCat (FD := fun (X Y : TopCat) ↦
                        C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CD := TopCat.carrier) ⋙
                      free R)
                    Y)) :
              Type (max u v)) →L[R]
            (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) Y).toModuleCat : Type (max u v)) }) =
  hom (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦ (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v)))
    (CC := fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v)))
    (ConcreteCategory.ofHom (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC := fun (X : TopModuleCat R) ↦
        (↑X.toModuleCat : Type (max u v)))
        {
          toLinearMap :=
            (Finsupp.lift (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) X).toModuleCat : Type (max u v)) R
                  (↑X.toModuleCat : Type (max u v)) :
                (a : (↑X.toModuleCat : Type (max u v)) → (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj X).toModuleCat : Type (max u v))) →
                  ((↑X.toModuleCat : Type (max u v)) →₀ R) →ₗ[R]
                    (↑((𝟭 (TopModuleCat R)).obj X).toModuleCat : Type (max u v)))
              id,
          cont := sorry :
          (↑(toModuleCat
                  (Functor.obj
                    (forget₂ (TopModuleCat R) (FC := fun (x1 x2 : TopModuleCat R) ↦
                        (↑x1.toModuleCat : Type (max u v)) →L[R] (↑x2.toModuleCat : Type (max u v))) (CC :=
                        fun (X : TopModuleCat R) ↦ (↑X.toModuleCat : Type (max u v))) TopCat (FD := fun (X Y : TopCat) ↦
                        C((↑X : Type (max u v)), (↑Y : Type (max u v)))) (CD := TopCat.carrier) ⋙
                      free R)
                    X)) :
              Type (max u v)) →L[R]
            (↑(Functor.obj (𝟭 (TopModuleCat R)) X).toModuleCat : Type (max u v)) } ≫
      CategoryTheory.Functor.map (𝟭 (TopModuleCat R)) f)
Tactic: ext1