awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
s : Cocone (multispanIndexCoend F).multispan
x x_1 : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j
h : coendRel.{w, v, u} F x x_1
⊢ Eq (α := s.pt)
    ((fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (Multicofork.π s (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multispanIndexCoend F).right x.fst)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt)
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt))
      x)
    ((fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (Multicofork.π s (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multispanIndexCoend F).right x.fst)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt)
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt))
      x_1)
have mk : ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j') (x : (F.obj (op j')).obj j),
  Eq (α := s.pt)
    ((fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (Multicofork.π s (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multispanIndexCoend F).right x.fst)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt)
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt))
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j) j
        ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) x)))
    ((fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (Multicofork.π s (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multispanIndexCoend F).right x.fst)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt)
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt))
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j) j'
        ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map f) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') x)))
Tactic: cases h with | mk f x => exact ConcreteCategory.congr_hom (Cowedge.condition s f) _
Cleared hypotheses: x, x_1, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
s : Cocone (multispanIndexCoend F).multispan
m : (cowedge.{w, v, u} F).pt ⟶ s.pt
h : ∀ (j : WalkingMultispan (multispanShapeCoend.{v, u} J)), (cowedge.{w, v, u} F).ι.app j ≫ m = s.ι.app j
⊢ m =
    ↾Quot.lift (r := coendRel.{w, v, u} F)
        (fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
          (hom (FC := Fun) (Multicofork.π s (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multispanIndexCoend F).right x.fst)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt)
            (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)))
        ⋯
have h₁ : ∀ (x : (cowedge.{w, v, u} F).pt) (j : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j),
  (hom (FC := Fun) m).toFun (Quot.mk (coendRel.{w, v, u} F) j) =
    Fun.toFun
      (hom (FC := Fun)
        (↾Quot.lift (r := coendRel.{w, v, u} F)
            (fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
              (hom (FC := Fun) (Multicofork.π s (x.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
                  (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multispanIndexCoend F).right x.fst)) →
                    (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt)
                (x.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)))
            sorry))
      (Quot.mk (coendRel.{w, v, u} F) j)
Tactic: ext ⟨j⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
X : Type (max w u)
f : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j ⟶ X
hf : ∀ ⦃i j : J⦄ (g : i ⟶ j), (F.map g.op).app i ≫ f i = (F.obj (op j)).map g ≫ f j
x : chosenCoend F
x_1 x_2 : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j
h : Types.coendRel.{w, v, u} F x_1 x_2
⊢ Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X)
    ((fun (j : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (f (j.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j.fst)).obj j.fst)) → (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X)
            (j.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X))
      x_1)
    ((fun (j : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (f (j.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j.fst)).obj j.fst)) → (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X)
            (j.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X))
      x_2)
have mk : ∀ {j j' : J} (f_1 : j ⟶ j') (x : (F.obj (op j')).obj j),
  Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X)
    ((fun (j : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (f (j.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j.fst)).obj j.fst)) → (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X)
            (j.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X))
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j) j
        ((Hom.hom ((F.map f_1.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) x)))
    ((fun (j : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ((hom (FC := Fun) (f (j.fst (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j))) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j.fst)).obj j.fst)) → (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X)
            (j.snd (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) X))
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j) j'
        ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map f_1) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') x)))
Tactic: cases h with | mk f x => exact ConcreteCategory.congr_hom (hf f) _
Cleared hypotheses: x_1, x_2, h
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
f : F ⟶ G
x : chosenCoend F
j j' : J
g : j ⟶ j'
y : (F.obj (op j')).obj j
⊢ Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (chosenCoend G))
    ((fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        (match (motive := (j : J) × (F.obj (op j)).obj j → (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (chosenCoend G)) x with
          | ⟨j, y⟩ =>
            Quot.mk (Types.coendRel.{w, v, u} G)
              (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (G.obj (op j)).obj j) j
                ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
                    (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
                      (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
                  y)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (chosenCoend G)))
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j) j
        ((Hom.hom ((F.map g.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) y)))
    ((fun (x : (j : J) × (F.obj (op j)).obj j) ↦
        (match (motive := (j : J) × (F.obj (op j)).obj j → (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (chosenCoend G)) x with
          | ⟨j, y⟩ =>
            Quot.mk (Types.coendRel.{w, v, u} G)
              (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (G.obj (op j)).obj j) j
                ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
                    (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
                      (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
                  y)) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) (chosenCoend G)))
      (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (F.obj (op j)).obj j) j'
        ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map g) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') y)))
have a : Types.coendRel.{w, v, u} G
  (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (G.obj (op j)).obj j) j
    ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
        (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
      ((Hom.hom ((F.map g.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) y)))
  (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (G.obj (op j)).obj j) j'
    ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j')) j') :
        (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j')).obj j')) →
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
      ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map g) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') y)))
Tactic: apply Quot.sound
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
f : F ⟶ G
x : chosenCoend F
j j' : J
g : j ⟶ j'
y : (F.obj (op j')).obj j
⊢ Types.coendRel.{w, v, u} G
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (G.obj (op j)).obj j) j
      ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
          (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
        ((Hom.hom ((F.map g.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) y)))
    (Sigma.mk (β := fun (j : J) ↦ (G.obj (op j)).obj j) j'
      ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j')) j') :
          (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j')).obj j')) →
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
        ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map g) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') y)))
have a : ∃ (f_1 : j ⟶ j') (y_1 : (G.obj (op j')).obj j),
  Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
      ((hom (FC := Fun) ((G.map f_1.op).app j) :
            (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j)) →
              (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
          y_1 :
        (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
      ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
            (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
              (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
          ((Hom.hom ((F.map g.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) y) :
        (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j)) ∧
    Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
      ((hom (FC := Fun) ((G.obj (op j')).map f_1) :
            (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j)) →
              (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
          y_1 :
        (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
      ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j')) j') :
            (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j')).obj j')) →
              (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
          ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map g) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') y) :
        (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
Tactic: rw [Types.coendRel_iff]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
f : F ⟶ G
x : chosenCoend F
j j' : J
g : j ⟶ j'
y : (F.obj (op j')).obj j
⊢ ∃ (f_1 : j ⟶ j') (y_1 : (G.obj (op j')).obj j),
    Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
        ((hom (FC := Fun) ((G.map f_1.op).app j) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
            y_1 :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
        ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
            ((Hom.hom ((F.map g.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) y) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j)) ∧
      Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
        ((hom (FC := Fun) ((G.obj (op j')).map f_1) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j)) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
            y_1 :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
        ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j')) j') :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j')).obj j')) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
            ((Hom.hom ((F.obj (op j')).map g) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j')).obj j') y) :
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j'))
have a : Eq (α := (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
  ((hom (FC := Fun) ((G.map g.op).app j) :
        (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j)) →
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
      ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j')) j) :
          (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j')).obj j)) →
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j')).obj j))
        y) :
    (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
  ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
        (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
      ((Hom.hom ((F.map g.op).app j) : (a : (F.obj (op j')).obj j) → (F.obj (op j)).obj j) y) :
    (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
Tactic: refine ⟨g, (f.app _).app _ y, ?_, ?_⟩
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J : Type u
inst : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
i j : J
f : i ⟶ j
⊢ π F i ≫ (F.obj (op i)).map f = π F j ≫ (F.map f.op).app j
have h : ∀ (x : end_.{w, v, u} F),
  (hom (FC := Fun) (π F i ≫ (F.obj (op i)).map f)).toFun x = (hom (FC := Fun) (π F j ≫ (F.map f.op).app j)).toFun x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J_1 : Type u
inst : Category.{v, u} J_1
F_1 : J_1ᵒᵖ ⥤ J_1 ⥤ Type (max w u)
J : Type u
inst_1 : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
s : Cone (multicospanIndexEnd F).multicospan
m : s.pt ⟶ (wedge.{w, v, u} F).pt
h : ∀ (j : WalkingMulticospan (multicospanShapeEnd.{v, u} J)), m ≫ (wedge.{w, v, u} F).π.app j = s.π.app j
⊢ m =
    ↾fun (x : s.pt) ↦
      Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) ↦
        ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
          Eq (α := (F.obj (op i)).obj j)
            ((Hom.hom ((F.obj (op i)).map f) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j) (x i) :
              (F.obj (op i)).obj j)
            ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j)).obj j) → (F.obj (op i)).obj j) (x j) :
              (F.obj (op i)).obj j))
        (fun (j : J) ↦
          (hom (FC := Fun) (Multifork.ι s j) :
              (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt) →
                (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multicospanIndexEnd F).left j))
            x)
        ⋯
have h₁ : ∀ (x : s.pt),
  (hom (FC := Fun) m).toFun x =
    Fun.toFun
      (hom (FC := Fun)
        (↾fun (x : s.pt) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) ↦
            ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
              Eq (α := (F.obj (op i)).obj j)
                ((Hom.hom ((F.obj (op i)).map f) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j) (x i) :
                  (F.obj (op i)).obj j)
                ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j)).obj j) → (F.obj (op i)).obj j) (x j) :
                  (F.obj (op i)).obj j))
            (fun (j : J) ↦
              (hom (FC := Fun) (Multifork.ι s j) :
                  (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt) →
                    (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multicospanIndexEnd F).left j))
                x)
            sorry))
      x
Tactic: ext x
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J_1 : Type u
inst : Category.{v, u} J_1
F_1 : J_1ᵒᵖ ⥤ J_1 ⥤ Type (max w u)
J : Type u
inst_1 : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
s : Cone (multicospanIndexEnd F).multicospan
m : s.pt ⟶ (wedge.{w, v, u} F).pt
h : ∀ (j : WalkingMulticospan (multicospanShapeEnd.{v, u} J)), m ≫ (wedge.{w, v, u} F).π.app j = s.π.app j
x : s.pt
⊢ (hom (FC := Fun) m).toFun x =
    Fun.toFun
      (hom (FC := Fun)
        (↾fun (x : s.pt) ↦
          Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) ↦
            ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
              Eq (α := (F.obj (op i)).obj j)
                ((Hom.hom ((F.obj (op i)).map f) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j) (x i) :
                  (F.obj (op i)).obj j)
                ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j)).obj j) → (F.obj (op i)).obj j) (x j) :
                  (F.obj (op i)).obj j))
            (fun (j : J) ↦
              (hom (FC := Fun) (Multifork.ι s j) :
                  (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt) →
                    (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multicospanIndexEnd F).left j))
                x)
            ⋯))
      x
have h₁ : (↑((hom (FC := Fun) m).toFun x) : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) =
  (↑(Fun.toFun
        (hom (FC := Fun)
          (↾fun (x : s.pt) ↦
            Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) ↦
              ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
                Eq (α := (F.obj (op i)).obj j)
                  ((Hom.hom ((F.obj (op i)).map f) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j) (x i) :
                    (F.obj (op i)).obj j)
                  ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j)).obj j) → (F.obj (op i)).obj j) (x j) :
                    (F.obj (op i)).obj j))
              (fun (j : J) ↦
                (hom (FC := Fun) (Multifork.ι s j) :
                    (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt) →
                      (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multicospanIndexEnd F).left j))
                  x)
              sorry))
        x) :
    (j : J) → (F.obj (op j)).obj j)
Tactic: apply Subtype.ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J_1 : Type u
inst : Category.{v, u} J_1
F_1 : J_1ᵒᵖ ⥤ J_1 ⥤ Type (max w u)
J : Type u
inst_1 : Category.{v, u} J
F : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
s : Cone (multicospanIndexEnd F).multicospan
m : s.pt ⟶ (wedge.{w, v, u} F).pt
h : ∀ (j : WalkingMulticospan (multicospanShapeEnd.{v, u} J)), m ≫ (wedge.{w, v, u} F).π.app j = s.π.app j
x : s.pt
⊢ (↑((hom (FC := Fun) m).toFun x) : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) =
    (↑(Fun.toFun
          (hom (FC := Fun)
            (↾fun (x : s.pt) ↦
              Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) ↦
                ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
                  Eq (α := (F.obj (op i)).obj j)
                    ((Hom.hom ((F.obj (op i)).map f) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j) (x i) :
                      (F.obj (op i)).obj j)
                    ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j)).obj j) → (F.obj (op i)).obj j) (x j) :
                      (F.obj (op i)).obj j))
                (fun (j : J) ↦
                  (hom (FC := Fun) (Multifork.ι s j) :
                      (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt) →
                        (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multicospanIndexEnd F).left j))
                    x)
                ⋯))
          x) :
      (j : J) → (F.obj (op j)).obj j)
have h₁ : ∀ (j : J),
  (↑((hom (FC := Fun) m).toFun x) : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) j =
    (↑(Fun.toFun
            (hom (FC := Fun)
              (↾fun (x : s.pt) ↦
                Subtype.mk (p := fun (x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) ↦
                  ∀ ⦃i j : J⦄ (f : i ⟶ j),
                    Eq (α := (F.obj (op i)).obj j)
                      ((Hom.hom ((F.obj (op i)).map f) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j) (x i) :
                        (F.obj (op i)).obj j)
                      ((Hom.hom ((F.map f.op).app j) : (a : (F.obj (op j)).obj j) → (F.obj (op i)).obj j) (x j) :
                        (F.obj (op i)).obj j))
                  (fun (j : J) ↦
                    (hom (FC := Fun) (Multifork.ι s j) :
                        (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) s.pt) →
                          (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((multicospanIndexEnd F).left j))
                      x)
                  sorry))
            x) :
        (j : J) → (F.obj (op j)).obj j)
      j
Tactic: funext j
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.End (goal)
Goal:
J_1 : Type u
inst : Category.{v, u} J_1
F_1 : J_1ᵒᵖ ⥤ J_1 ⥤ Type (max w u)
J : Type u
inst_1 : Category.{v, u} J
F G : Jᵒᵖ ⥤ J ⥤ Type (max w u)
f : F ⟶ G
x : Types.end_.{w, v, u} F
i j : J
g : i ⟶ j
⊢ Eq (α := (G.obj (op i)).obj j)
    ((Hom.hom ((G.obj (op i)).map g) : (a : (G.obj (op i)).obj i) → (G.obj (op i)).obj j)
      ((fun (j : J) ↦
          ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
                (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
                  (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
              ((↑x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) j) :
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j)))
        i))
    ((Hom.hom ((G.map g.op).app j) : (a : (G.obj (op j)).obj j) → (G.obj (op i)).obj j)
      ((fun (j : J) ↦
          ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
                (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
                  (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
              ((↑x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) j) :
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j)))
        j))
have rw : Eq (α := (G.obj (op i)).obj j)
  ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op i)) j) : (a : (F.obj (op i)).obj j) → (G.obj (op i)).obj j)
      ((hom (FC := Fun) ((F.obj (op i)).map g) : (a : (F.obj (op i)).obj i) → (F.obj (op i)).obj j)
        ((↑x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) i)) :
    (G.obj (op i)).obj j)
  ((Hom.hom ((G.map g.op).app j) : (a : (G.obj (op j)).obj j) → (G.obj (op i)).obj j)
      ((fun (j : J) ↦
          ((hom (FC := Fun) (NatTrans.app (f.app (op j)) j) :
                (a : (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((F.obj (op j)).obj j)) →
                  (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j))
              ((↑x : (j : J) → (F.obj (op j)).obj j) j) :
            (fun (X : Type (max u w)) ↦ X) ((G.obj (op j)).obj j)))
        j) :
    (G.obj (op i)).obj j)
Tactic: rw [← (f.app (op i)).naturality_apply]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.CategoryTheory.Limits.Types.Equalizers (goal)
Goal:
X Y Z : Type u
f : X ⟶ Y
g h : Y ⟶ Z
w : f ≫ g = f ≫ h
t :
  ∀ (y : Y),
    Eq (α := (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) g : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) y :
          (fun (X : Type u) ↦ X) Z)
        ((hom (FC := TypeCat.Fun) h : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) Y) → (fun (X : Type u) ↦ X) Z) y :
          (fun (X : Type u) ↦ X) Z) →
      ∃! x : X, (hom (FC := TypeCat.Fun) f : (a : (fun (X : Type u) ↦ X) X) → (fun (X : Type u) ↦ X) Y) x = y
s : Fork g h
⊢ { l : s.pt ⟶ (Fork.ofι f w).pt //
    l ≫ (Fork.ofι f w).ι = s.ι ∧ ∀ {m : s.pt ⟶ (Fork.ofι f w).pt}, m ≫ (Fork.ofι f w).ι = s.ι → m = l }
have refine_1 : (i : s.pt) → (Fork.ofι f w).pt
Tactic: refine ⟨↾fun i => ?_, ?_, ?_⟩