awhecmu/canonical-drafter-extract-mathlib huggingface dataset:
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have obtain : ∀ (r : p.Fiber S)
  (hrQ :
    r ∉
      PrimeSpectrum.asIdeal
        ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q sorry)))
  (hrid : IsIdempotentElem r)
  (hr :
    ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
      q.IsPrime →
        q ≠
            PrimeSpectrum.asIdeal
              ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
                (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q sorry)) →
          r ∈ q),
  ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
Tactic: obtain ⟨r, hrQ, hrid, hr⟩ :=
    IsArtinianRing.exists_not_mem_forall_mem_of_ne (α ⟨Q, ‹_›, ⟨rfl⟩⟩).asIdeal
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have obtain : ∀ (s : R) (hsQ : s ∉ p) (t : S) (e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t),
  ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
Tactic: obtain ⟨s, hsQ, t, e⟩ := Ideal.Fiber.exists_smul_eq_one_tmul _ (r * x)
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (0 : Q.ResidueField)
have this₁ : Eq (α := AlgHom.{u_1, u_1, u_3} R p.ResidueField Q.ResidueField) (Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R S) sorry)
  (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
Tactic: have : Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R S) (Ideal.over_def Q p) =
      AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) := by ext
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
this :
  Eq (α := AlgHom.{u_1, u_1, u_3} R p.ResidueField Q.ResidueField) (Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R S) ⋯)
    (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (0 : Q.ResidueField)
have rw : Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField)
  (((TensorProduct.lift (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
            (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) sorry :
          p.ResidueField ⊗[R] S →ₐ[R] Q.ResidueField) :
        (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField)
      r :
    Q.ResidueField)
  (0 : Q.ResidueField)
Tactic: rw [← AlgHom.restrictScalars_apply R, Algebra.TensorProduct.restrictScalars_lift]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
this :
  Eq (α := AlgHom.{u_1, u_1, u_3} R p.ResidueField Q.ResidueField) (Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R S) ⋯)
    (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
⊢ Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField)
    (((TensorProduct.lift (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
              (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯ :
            p.ResidueField ⊗[R] S →ₐ[R] Q.ResidueField) :
          (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField)
        r :
      Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
have h : Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField)
    (((TensorProduct.lift (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
              (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) sorry :
            p.ResidueField ⊗[R] S →ₐ[R] Q.ResidueField) :
          (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField)
        r :
      Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField) ↔
  Membership.mem (γ := Ideal (p.Fiber S))
    (PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q sorry)))
    r
Tactic: convert! hrQ
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (goal)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this_2 : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
this :
  Eq (α := AlgHom.{u_1, u_1, u_3} R p.ResidueField Q.ResidueField) (Ideal.ResidueField.mapₐ p Q (ofId R S) ⋯)
    (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
⊢ Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField)
      (((TensorProduct.lift (AlgHom.restrictScalars R (ofId p.ResidueField Q.ResidueField))
                (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯ :
              p.ResidueField ⊗[R] S →ₐ[R] Q.ResidueField) :
            (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField)
          r :
        Q.ResidueField)
      (0 : Q.ResidueField) ↔
    Membership.mem (γ := Ideal (p.Fiber S))
      (PrimeSpectrum.asIdeal
        ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
          (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)))
      r
have h : failed to pretty print expression (use 'set_option pp.rawOnError true' for raw representation)
Tactic: rw [← SetLike.mem_coe, PrimeSpectrum.coe_primesOverOrderIsoFiber_apply_asIdeal]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hrQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (0 : Q.ResidueField)
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have hsQ' : Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
  (0 : Q.ResidueField)
Tactic: have hsQ' : algebraMap R Q.ResidueField s ≠ 0 := by
    simpa [IsScalarTower.algebraMap_apply R S Q.ResidueField]
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hrQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (0 : Q.ResidueField)
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have hrQ'₁ : Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
Tactic: replace hrQ' : φ r = 1 := by
    simpa [hrQ', sub_eq_zero, @eq_comm _ _ (φ r)] using (hrid.map φ).one_sub_mul_self
Cleared hypotheses: hrQ'
-- Lean 4 proof step from Mathlib.RingTheory.Unramified.LocalStructure (hypothesis)
Goal:
R : Type u_1
S : Type u_3
inst : CommRing R
inst_1 : CommRing S
inst_2 : Algebra R S
Q : Ideal S
inst_3 : Q.IsPrime
inst_4 : Module.Finite R S
inst_5 : IsUnramifiedAt R Q
inst_6 : Algebra.{u_1, u_3} (Localization.AtPrime (Ideal.under R Q)) (Localization.AtPrime Q)
inst_7 : Localization.AtPrime.IsLiesOverAlgebra (Ideal.under R Q) Q
p : Ideal R := Ideal.under R Q
this_1 : p.IsPrime
this : IsArtinianRing (p.Fiber S)
α : (↑(p.primesOver S) : Type u_3) ≃o PrimeSpectrum (p.Fiber S) := PrimeSpectrum.primesOverOrderIsoFiber R S p
x : p.ResidueField ⊗[R] S
φ : p.Fiber S →ₐ[p.ResidueField] Q.ResidueField :=
  TensorProduct.lift (ofId p.ResidueField Q.ResidueField) (IsScalarTower.toAlgHom R S Q.ResidueField) ⋯
hx0 :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hx :
  Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} p.ResidueField Q.ResidueField)
    p.ResidueField[((φ : (a : p.ResidueField ⊗[R] S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField)] ⊤
r : p.Fiber S
hrQ :
  r ∉
    PrimeSpectrum.asIdeal
      ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
        (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯))
hrid : IsIdempotentElem r
hr :
  ∀ (q : Ideal (p.Fiber S)),
    q.IsPrime →
      q ≠
          PrimeSpectrum.asIdeal
            ((α : (a : (↑(p.primesOver S) : Type u_3)) → PrimeSpectrum (p.Fiber S))
              (Subtype.mk (p := fun (x : Ideal S) ↦ Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (p.primesOver S) x) Q ⋯)) →
        r ∈ q
s : R
hsQ : s ∉ p
t : S
e : s • (r * x) = 1 ⊗ₜ[R] t
hsQ' :
  Ne.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    (0 : Q.ResidueField)
hrQ' :
  Eq.{u_3 + 1} (α := Q.ResidueField) ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) r : Q.ResidueField) (1 : Q.ResidueField)
⊢ ∃ t ∉ Q,
    (∀ (Q' : Ideal S),
        Membership.mem (γ := Set (Ideal S)) (Ideal.primesOver (Ideal.under R Q) S) Q' → Q' ≠ Q → t ∈ Q') ∧
      Eq (α := Subalgebra.{u_1, u_3} (Ideal.ResidueField (Ideal.under R Q)) Q.ResidueField)
        (Ideal.ResidueField
            (Ideal.under R Q))[((algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t : Q.ResidueField)]
        ⊤
have e' : HMul.hMul (α := Q.ResidueField) (β := Q.ResidueField)
    ((algebraMap R Q.ResidueField : (a : R) → Q.ResidueField) s : Q.ResidueField)
    ((φ : (a : p.Fiber S) → Q.ResidueField) x : Q.ResidueField) =
  (algebraMap S Q.ResidueField : (a : S) → Q.ResidueField) t
Tactic: have e' : algebraMap _ _ s * φ x = algebraMap _ _ t := by
    simpa [φ, smul_def, mul_assoc, hrQ'] using congr(φ $e)