-- Lean 4 proof step from Mathlib.AlgebraicGeometry.Morphisms.RingHomProperties (hypothesis)
Goal:
P : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
hPa : StableUnderCompositionWithLocalizationAwayTarget.{u} fun {R S : Type u} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
hPl : LocalizationAwayPreserves.{u} fun {R S : Type u} [CommRing R] [CommRing S] ↦ P
x : ↥X
U₁ U₂ : (↑Y.affineOpens : Type u)
V₁ V₂ : (↑X.affineOpens : Type u)
hx₁ : x ∈ (↑V₁ : X.Opens)
hx₂ : x ∈ (↑V₂ : X.Opens)
e₂ : (↑V₂ : X.Opens) ≤ f ⁻¹ᵁ (↑U₂ : Y.Opens)
h₂ : P (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂))
hfx₁ : Membership.mem (α := ↥Y) (↑U₁ : Y.Opens) (f x : ↥Y)
r : (↑Γ(Y, (↑U₁ : Y.Opens)) : Type u)
r' : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)
hBrr' : Y.basicOpen r = Y.basicOpen r'
hBfx : Membership.mem (α := ↥Y) (Y.basicOpen r) (f x : ↥Y)
ha :
  IsAffineOpen
    (X.basicOpen (U := (↑V₂ : X.Opens))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
          (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
        r'))
hxa :
  x ∈
    X.basicOpen (U := (↑V₂ : X.Opens))
      ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
          (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
        r')
s : (↑Γ(X, (↑V₁ : X.Opens)) : Type u)
s' :
  (↑Γ(X,
        X.basicOpen (U := (↑V₂ : X.Opens))
          ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
              (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
            r')) :
    Type u)
hBss' : X.basicOpen s = X.basicOpen s'
hBx : x ∈ X.basicOpen s
this_1 :
  IsLocalization.Away (R := (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
    ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
            CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
          (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
        r' :
      (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
    (↑Γ(X,
          X.basicOpen (U := (↑V₂ : X.Opens))
            ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                  CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
                (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
              r')) :
      Type u)
this_2 : IsLocalization.Away r' (↑Γ(Y, Y.basicOpen r') : Type u)
this : IsLocalization.Away s' (↑Γ(X, X.basicOpen s') : Type u)
ers : X.basicOpen s ≤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r
⊢ ∃ (r : (↑Γ(Y, (↑U₁ : Y.Opens)) : Type u)) (s : (↑Γ(X, (↑V₁ : X.Opens)) : Type u)) (_ : x ∈ X.basicOpen s) (e :
    X.basicOpen s ≤ f ⁻¹ᵁ Y.basicOpen r), P (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r) (X.basicOpen s) e))
have heq : Eq (α := Γ(Y, Y.basicOpen r') ⟶ Γ(X, X.basicOpen s')) (Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r') (X.basicOpen s') sorry)
  (Scheme.Hom.appLE f (Y.basicOpen r')
      (X.basicOpen (U := (↑V₂ : X.Opens))
        ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
              CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
            (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
          r'))
      sorry ≫
    CommRingCat.ofHom
      (algebraMap
        (↑(X.presheaf.1
              (Opposite.op
                (X.basicOpen (U := (↑V₂ : X.Opens))
                  ((ConcreteCategory.hom (FC := fun (R S : CommRingCat.{u}) ↦ (↑R : Type u) →+* (↑S : Type u)) (CC :=
                        CommRingCat.carrier) (Scheme.Hom.appLE f (↑U₂ : Y.Opens) (↑V₂ : X.Opens) e₂) :
                      (a : (↑Γ(Y, (↑U₂ : Y.Opens)) : Type u)) → (↑Γ(X, (↑V₂ : X.Opens)) : Type u))
                    r')))) :
          Type u)
        (↑(X.presheaf.1 (Opposite.op (X.basicOpen s'))) : Type u)))
Tactic: have heq : f.appLE (Y.basicOpen r') (X.basicOpen s') (hBrr' ▸ hBss' ▸ ers) =
      f.appLE (Y.basicOpen r') (X.basicOpen (f.appLE U₂ V₂ e₂ r')) (by simp [Scheme.Hom.appLE]) ≫
        CommRingCat.ofHom (algebraMap _ _) := by
    simp only [Scheme.Hom.appLE, homOfLE_leOfHom, Category.assoc]
    congr
    apply X.presheaf.map_comp