Theorem: Multiple Angle Formula for Sine

:$\ds \frac {\map \sin {n z} } {\sin z} = 2^{n - 1} \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} \paren {\cos z - \cos \frac {k \pi} n}$
for $\sin z \ne 0$.

Proof:
We have:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}
      | r = \frac {e^{i n z} - e^{-i n z} } {e^{i z} - e^{-i z} }
      | c = Euler's Sine Identity
}}
{{eqn | r = \frac {e^{i n z} - e^{-i n z} } {e^{i z} - e^{-i z} } \times \frac {e^{i n z} } {e^{i n z} } \times \frac {2^{n - 1} } {2^{n - 1} } \times \frac {e^{i z} } {e^{i z} } 
      | c = multiplying by $1$
}}
{{eqn | n = 1
      | r = 2^{n - 1}  \frac {e^{2 i n z} - 1} {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }
      | c = 
}}
{{end-eqn}}
Consider the equation:
:$x^n - 1 = 0$
whose solutions are the complex roots of unity:
:$1, e^{-2 \pi i / n}, e^{-4 \pi i / n}, e^{-6 \pi i / n}, \ldots, e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n}$
Then:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = x^n - 1
      | r = \paren {x - 1} \paren {x - e^{-2 \pi i / n} } \paren {x - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {x - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} }
      | c = product of all the roots
}}
{{end-eqn}}
Let $x = e^{2 i z}$.
Then:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = e^{2 i n z} - 1
      | n = 2
      | r = \paren {e^{2 i z} - 1} \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} }
      | c = product of all the roots
}}
{{end-eqn}}
Plugging $(2)$ into $(1)$, we have:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}
      | r = 2^{n - 1}  \frac {e^{2 i n z} - 1} {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }
      | c = from $\paren {1}$ above
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1}  \frac {\paren {e^{2 i z} - 1} \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} \paren {e^{2 i z} - 1} }
      | c = plugging $(2)$ into $(1)$
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1}  \frac {\paren {e^{2 i z} - e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{2 i z} - e^{-4 \pi i / n} } \dotsm \paren {e^{2 i z} - e^{-2 \paren {n - 1} \pi i / n} } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }
      | c = cancelling $\paren {e^{2 i z} - 1}$
}}
{{eqn | n = 3
      | r = 2^{n - 1}  \frac {\paren {\paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} + e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }
      | c = Difference of Two Squares
}}
{{end-eqn}}
We now notice:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = \paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} }
      | r = \paren {e^{i z} + e^{2\pi i - \pi i / n} }
      | c = Euler's Formula
}}
{{eqn | r = \paren {e^{i z} + e^{\pi i } e^{\pi i } e^{-\pi i / n} }
      | c = Product of Powers
}}
{{eqn | r = \paren {e^{i z} + \paren {-1} e^{\pi i -\pi i / n} }
      | c = Euler's Identity and Product of Powers
}}
{{eqn | r = \paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } }
      | c = 
}}
{{end-eqn}}
And also:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = \paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - k} \pi i / n} }
      | r = \paren {e^{i z} + e^{-\pi i + k \pi i / n} }
      | c = 
}}
{{eqn | r = \paren {e^{i z} + e^{-\pi i } e^{k \pi i / n} }
      | c = Product of Powers
}}
{{eqn | r = \paren {e^{i z} + \paren {-1} e^{k \pi i / n} }
      | c = Euler's Identity
}}
{{eqn | r = \paren {e^{i z} - e^{k \pi i / n} }
      | c = 
}}
{{end-eqn}}
Substituting into $\paren {3}$ above, we obtain:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = \frac {\map \sin {n z} } {\sin z}
      | r = 2^{n - 1}  \frac {\paren {\paren {e^{i z} + e^{-\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} + e^{-2 \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} + e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }
      | c = from $(3)$ above
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1}  \frac {\paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-\pi i / n} } } \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 2} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-2 \pi i / n} } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} - e^{\pi i / n} } \paren {e^{i z} - e^{-\paren {n - 1} \pi i / n} } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }
      | c = after substitution
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1}  \frac {\paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } } } {2^{n - 1} e^{i \paren {n - 1} z} }
      | c = rearranging terms
}}
{{end-eqn}}
From $(2)$ above, we have:
{{begin-eqn}}
{{eqn | l = e^{i \paren {n - 1} z}
      | r = \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} e^{-i \paren {\dfrac {k \pi} n} }
      | c = 
}}
{{eqn | r = \paren {e^{-i \paren {\dfrac {\pi} n} } } \paren {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \dotsm \paren {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } }
      | c = 
}}
{{end-eqn}}
Therefore:
{{begin-eqn}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i z} - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } } {2 e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }
      | c = separating terms
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } {e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } {e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } {e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }
      | c = factoring out $1$ and Product of Powers
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } - 1} } 2} \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - 1} } 2} \dotsm \paren {\dfrac {\paren {e^{i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } \paren {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - 1} } 2}
      | c = dividing by $1$
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac \pi n} } + e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } - e^{i z} } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac {2 \pi} n} } + e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} }  - e^{i \paren {z + \dfrac {4 \pi} n} } - e^{i z} } 2} \dotsm \paren {\dfrac {e^{i \paren {2 z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } + e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} }  - e^{i \paren {z + \dfrac {2 \paren {n - 1} \pi} n} } - e^{i z} } 2}
      | c = expanding the product
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac \pi n} } } } \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac {2 \pi} n} } } } \dotsm \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } {e^{i \paren {z + \dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } }
      | c = factoring out $1$ and Product of Powers
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac \pi n} } - e^{-i \paren {\dfrac \pi n} } } 2} \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {2 \pi} n} } } 2} \dotsm \paren {\dfrac {e^{i z} + e^{-i z} - e^{i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } - e^{-i \paren {\dfrac {\paren {n - 1} \pi} n} } } 2} 
      | c = dividing by $1$
}}
{{eqn | r = 2^{n - 1} \prod_{k \mathop = 1}^{n - 1} \paren {\cos z - \cos \frac {k \pi} n}
      | c = Euler's Cosine Identity
}}
{{end-eqn}}
{{qed}}