РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДУАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ УПРАВЛЯЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Аннотация: Рассматривается задача оптимального терминального управления стохастической динамической системой с неопределенной управляющей функцией. Предлагается подход к ее решению, включающий синтез управления на основе модели с обобщенным управлением и организацию движения системы по сформированной оптимальной траектории.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, динамическая система, дуальное управление, модельное оптимальное, терминальное управление, задачи, функция, модели.

Введение. Традиционные подходы к решению задачи оптимального управления стохастической динамической системой с априорно неопределенными параметрами предполагают: оценивание и идентификацию вектора состояния и вектора параметров системы; формирование оптимального управления на основе уточненной математической модели системы . Реализация таких подходов при решении задачи оптимального терминального управления динамической системой приводит к необходимости использования математической модели, наиболее полно отражающей динамические свойства системы. Однако, в ряде практических приложений, например, при управлении движением летательного аппарата в широкой эксплуатационной области состояний и управлений модель системы не может быть сформирована строго. Как правило, это обусловлено трудностями формализации влияния управления на динамику системы, т.е. аэродинамических характеристик летательного аппарата. Вследствие этого при решении таких задач используются упрощенные модели. Неадекватность принятой модели реальному движению в этом случае приводит к движению системы по неоптимальной траектории и не позволяет с высокой точностью выполнить терминальные условия.

В связи с этим представляет интерес разработка способов решения задачи оптимизации на основе системы обобщенных моделей.

Постановка задачи. Рассмотрим класс стохастических динамических систем, движение которых описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений вида

с функцией наблюдения

где x- вектор состояния размера n; v- вектор управления (управляющих параметров) размера r; f- известная нелинейная непрерывная дифференцируемая по x векторная функция размера n; - известная нелинейная непрерывная дифференцируемая по x матричная функция размера rn; u- в общем случае неизвестная нелинейная векторная управляющая функция размера r, под которой будем понимать в дальнейшем обобщенное управление; h– известная нелинейная непрерывная функция; xW, zW– векторы возмущений в системе и шумов измерителя, k0tt, - моменты времени начала и окончания управления.

Зададим терминальное условие и минимизируемый функционал в следующей форме:

где (4) – гиперповерхность в пространстве состояний; ),(kmtxS- непрерывная, дифференцируемая по mx векторная функция размера n; ),,(tuxFmm- в общем случае нелинейная дважды дифференцируемая по mx и  mu функция. Задачу управления динамической системой (1) целесообразно  представить в виде двухэтапной, причем на первом этапе – осуществляется поиск оптимального обобщенного управления  )(tuom, удовлетворяющего терминальному условию (4) и условию минимума функционала (5), а на втором этапе - формирование управления корректирующего )(tv для приближения  (подстройки)  реального  процесса (1)  к оптимальному модельному.

Решение задачи на первом этапе может быть решено одним из известных методов синтеза, например, , позволяющим найти оптимальное обобщенное управление

где  S- допустимая погрешность выполнения терминального условия; U- заданная ограниченная область в пространстве управляющей функции.

Решение задачи  на втором этапе может  быть получено  на основе определения текущего значения управляющей функции, сравнения его с требуемым модельным и коррекции управления )(tv с целью ликвидации рассогласования между ),(tvu и )(tuom.

3. Решение задачи дуального управления

Во многих практических случаях структурная неопределенность математической модели динамической системы (неопределенность управляющей функции) возникает, как правило, при выборе траектории ее движения в широкой  области состояний и управлений. На основании этого будем считать, что для малой области состояний и управлений (при малых значениях управления v) функция )(vu приближенно определена, и связь между приращениями u и v может быть представлена с помощью аппроксимирующего оператора vu, т.е. vuuv. Тогда требуемое приращение управления может быть вычислено исходя из рассогласования между модельным оптимальным обобщенным управлением и оценкой обобщенного управления

При численном решении рассматриваемой задачи требуемое приращение управления v на первом такте подстройки движения системы определится на основании выражения (6), однако, в силу неопределенности управляющей функции и, соответственно, приближенности оператора vu ее реальное значение при реализации этого приращения будет отличаться от требуемого. Следовательно, остающееся рассогласование между модельной и реальной управляющими функциями должно быть уменьшено на последующих тактах коррекции траектории движения системы. Исходя из этого, суммарное (интегральное) управление )(tv на момент времени Pt начала p-го такта коррекции  будет определяться выражением

Заметим, что при соответствующем выборе аппроксимирующего оператора vu в ходе реализации управления (7) рассогласование между модельным оптимальным обобщенным управлением  и оценкой обобщенного управления с течением времени будет уменьшаться и по окончании переходного процесса достигнет некоторого малого установившегося значения.

Таким образом, интегрирование уравнения (1), с шагом, равным такту подстройки и вычисление в конце каждого такта оценки обобщенного управления, как реакции системы (1) на сформированное для этого такта реальное управление (7), определяют процедуру одновременно идентификации и управления, т.е. приближения реального движения динамической системы к модельному оптимальному. Следует отметить, что движение системы (1) станет повторять модельное оптимальное, но с некоторой ошибкой, обусловленной переходным процессом на начальном этапе подстройки.

Пример. Иллюстрацию и сравнительную оценку эффективности предложенного алгоритмического подхода к решению задачи управления динамической системой проведем на примере динамической системы

Модель движения системы в терминах обобщенного управления принимает вид

Для целей иллюстрации не представляет существенного интереса процедура синтеза оптимального обобщенного управления, исходя из этого, выберем его произвольно, например

Примем:

Заметим, что значение vu существенно отличается от действительного и выбрано таким из соображений  “мягкой” подстройки движения динамической системы.

Тогда выражения (1), (7), определяющие процедуру коррекции движения системы (8), с учетом значений соответствующих параметров принимают вид

Моделирование процессов управления угловой переориентацией ЛА  по предложенной методике для  решения задачи с шагом интегрирования (тактом подстройки) 0.001c  дает максимальные ошибки приближения движения системы к модельному оптимальному по обобщенному управлению и координате, соответственно, 4,0%  и 9.0%  при  длительности  переходных процессов не более 0.5с.

При использовании для решения этой задачи алгоритма параметрической идентификации, построенного на основе расширенного обобщенного фильтра Калмана – Бьюси, получены аналогичные результаты, однако, вычислительные затраты при этом возросли в  2.5 раза.