МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВУХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОНТУРОВ

Аннотация: В статье представлена математическая модель электромагнитного взаимодействия двух электрических контуров на основе закона электромагнитной индукции. Исследуется зависимость ЭДС индукции в приемной катушке от ее положения в пространстве относительно источника переменного синусоидального магнитного поля. Определяются и получают обоснование границы адекватности модели. На основе результатов моделирования были получены выражения, пригодные для расчета расстояния между приемной и излучающей катушками в вычислительных системах реального времени.

Ключевые слова: электромагнитная индукция, взаимная индуктивность, моделирование систем.

Введение. Бесконтактное определение положения и ориентации объектов в пространстве является актуальной задачей, определяющей возможность создания и эффективного использования оборудования и технологий позиционирования изделий или инструмента. На сегодняшний день задача позиционирования объектов в рабочей зоне размером до нескольких метров по трем угловым и трем линейным координатам в режиме реального времени может решаться разными способами. К ним можно отнести оптические, акустические, магнитометрические, радиоволновые и акселерометрические способы позиционирования, однако ни один из этих способов не позволяет достичь следующих характеристик в рабочей зоне объемом 3 м3:  Точность позиционирования 1 мм по линейным координатам;  Точность позиционирования 1𝑜 по угловым координатам;  Работа в режиме реального времени.

Системы позиционирования, основанные на использовании эффектов электромагнитной индукции и зависимости ЭДС индукции в приемной катушке от расстояния до источника электромагнитного поля, лишены недостатков, свойственных системам, перечисленным выше. Такие системы получили название систем электромагнитного позиционирования (СЭМП). Они возникли в США и наиболее широко используются сегодня в военной авиации для позиционирования шлема пилота в кабине самолета, а также в бронетанковом транспорте – с той же целью. Ведущие страны-производители подобных систем – это США, Голландия и Германия. Однако в настоящее время также нет СЭМП, обеспечивающих заявленные выше характеристики.

Необходимо отметить, что разработкой подобных систем в мире занимается большое количество исследователей, однако в России работы в этой области практически не ведутся. Можно привести несколько отечественных публикаций [1-5, 8] по этой теме. Большинство из них связано с работами Желамского М.В. – ведущего российского ученого в области электромагнитного позиционирования. Решения, полученные им, могут быть практически применимы в различных отраслях, однако разработанные методы и алгоритмы не позволяют достичь требуемых характеристик.

В данной статье рассматривается система электромагнитного позиционирования, в которой магнитное поле является переменным, синусоидальным. Предпринимается попытка формирования метода расчета расстояния между приемной катушкой и источником магнитного поля, подходящего для использования в вычислительных системах реального времени.

В основе проведения исследования лежит метод математического моделирования. Была создана аналитическая модель электромагнитных процессов (изменение взаимной индуктивности, наведение ЭДС индукции) между излучающей и приемной катушками. Результаты моделирования позволяют получить математически более простые выражения для расчета ЭДС индукции в приемной катушке по сравнению с классическими методиками. Полученные зависимости помогут определить дальнейшее направление исследований в этой области. Модель системы «источник поля-датчик поля» была построена на основе теории о взаимной индуктивности двух электрических контуров.

Согласно теории [6, с.50], ЭДС индукции в одном контуре прямо пропорциональна изменению тока в другом контуре: где M–взаимная индуктивность, Гн. Методика [7, с.13] определяет выражение для расчета взаимной индуктивности двух контуров произвольной формы следующим образом. При известном законе изменения тока в источнике магнитного поля, а также параметрах обмоток источника и датчика магнитного поля, возможно рассчитать величину ЭДС, наводимой в датчике. Математическая модель в среде MATLAB&amp;Simulink основана на уравнениях (1) и (2). В ней описано электромагнитное взаимодействие двух электрических контуров, в одном из которых протекает переменный электрический ток, а другой является измерительным. Модель позволяет, для заданных параметров контуров и их пространственного расположения, вычислять наводимую в приемной катушке ЭДС при известном законе изменения тока в источнике магнитного поля.

Рассмотрим два электрических контура, представляющих собой по одному круглому витку радиуса R = 0.005 м из бесконечно тонкого провода. Один из контуров является источником. В нем протекает электрический ток частотой 1 кГц и амплитудой 1А. Расположим начало системы координат в центре излучающей катушки, так, чтобы плоскость витка совпадала с плоскостью XY. Второй контур, являющийся приемным, также расположен в плоскости XY. Рассмотрим величину наводимой ЭДС при расположении центра приемной катушки на оси Х на разных расстояниях от источника поля. Результат моделирования представлен на рис.1. Зависимость имеет нелинейный характер и при расстояниях D между центрами катушек, много больших радиусов самих катушек , может быть аппроксимирована зависимостью.                                      Аппроксимация (3) позволяет использовать ее в прикладных решениях, ориентированных на работу в режиме реального времени, поскольку вычисления полного интеграла (2) могут потребовать значительного времени. На основании результатов математического моделирования был определен коэффициент 𝑎=3.9∙10−7 [В∙м2] для рассмотренного выше случая. В общем случае пространственного позиционирования, при котором плоскости катушек не совпадают и их оси не параллельны, нельзя получить выражения, аналогичные (3) и (4), и требуется расчет интеграла (2).

Поскольку использование одновитковых катушек не обеспечивает уровень сигнала, достаточный для практического применения, для дальнейших исследований были использованы катушки, имеющие 100 витков в каждой. Ввиду пропорциональности ЭДС индукции от количества витков обеих катушек [6, с.65], коэффициент пропорциональности 𝑎, в нашем случае, увеличится в 100*100=10000 раз. Окончательно, зависимость ЭДС от расстояния в плоскости XY запишется как E(D)=3.9∙10-3D2.                                                      (5)

Как отмечалось ранее, в ближней зоне (D&lt;10R) , и далее до полного совмещения витков, зависимость ЭДС от расстояния имеет нелинейный характер, и при этом не аппроксимируются степенной функцией. Ориентировочная величина, равная десяти радиусам, может быть обоснована с помощью рассматриваемой модели. На рисунке 2 приведена зависимость показателя степени зависимости (3) от отношения 𝐷2𝑅.

Уже при 𝐷2𝑅=3 показатель степени b=-2,078. При 𝐷2𝑅, равном пяти, имеем b=-2,032. Поэтому, когда приемная катушка удалена от источника поля более, чем на 10R, можно без существенной потери точности принять b=-2. Полученные результаты позволяет заключить, что в модели верно представлены процессы электромагнитной индукции, и она пригодна для проведения дальнейших исследований в области систем электромагнитного позиционирования.