عدد فيبوناتشي

السؤال: ما هي متسلسلة فيبوناتشي ؟


في الرياضيات، متتالية فيبوناتشي أو أعداد فيبوناتشي  نسبة إلى ليوناردو فيبوناتشي، هي الأعداد التي توجد في المتتالية التالية:




0
,

1
,

1
,

2
,

3
,

5
,

8
,

13
,

21
,

34
,

55
,

89
,

144
,

…
.


{\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;\ldots .}


بتعريفها فإن أول من أعداد فيبوناتشي هما 0 و 1، ويكون كل عدد هو نتاج مجموع العددين السابقين له. بعض المدارس حذفت الحد 0 الأساسي واستبدلته بالحد 1 مرتين. 
حاول بعض العلماء أن يحلوا شفرة هذه السلسلة الذهبية ،  فقاموا بقسمة كل رقم على الرقم السابق له ، فأكتشفوا أن  هذه المتتالية تنفرد بخصائص كثيرة منها العلاقة مع الرقم الذهبي ، ذلك أنه إذا اعتبرنا قسمة كل عدد من المتتالية على العدد الذي يسبقه (1÷1=1 ، 1÷2=2 ، 2÷3=1.5 ، 3÷5= 1.6660000 ، 5÷8=1.6، 8÷13= 1.625، 13÷21 = 1.61538، …) نلاحظ بأننا نقترب شيئا فشيئا من الرقم 1.618034 الذي يسمى الرقم الذهبي نظرا لخصائصه العجيبة في الرياضيات كما في الطبيعة. 
اطلق العلماء على الرقم الذهبي اسم "فاي" أو "في"  (phi) وبعد محاولة التوصل إلى النسبة بين 40 رقم متتالي في متوالية فيبوناتشي وجدوا انه يمكن تقريب "فاي" إلى 15 رقم عشري
Φ = 1.618033988749895, …
تتكون النسبة الذهبية من رقمين هما 1.618034 و 0.618034 وكلا الرقمين هو المقلوب الحسابي للرقم الأخر


تعرف المتتالية Fn لعدد فيبوناتشي بالوصف الرياضياتي مستعملا علاقة استدعاء ذاتي:





F

n


=

F

n
−
1


+

F

n
−
2


,




{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\!\,}


مع القيم الناتجة عنها





F

0


=
0


{\displaystyle F_{0}=0}

 و 




F

1


=
1


{\displaystyle F_{1}=1}


سميت متتالية فيبوناتشي نسبة إلى ليوناردو البيسي والمعروف باسم فيبوناتشي  وتعني ابن بوناشيو filius Bonaccio. وكتابه الذي ألفه سنة 1202 واسمه ليبري أباتشي حيث عرف المتتالية في رياضيات الغرب الأوروبي، وقد كانت تلك المتتالية معروفة وموصوفة بالسابق في الرياضيات الهندية[2][3].
استخدمت أرقام فيبوناتشي في تحليل الأسواق المالية، في استراتيجيات مثل ارتداد فيبوناتشي وفي خوارزميات االكمبيوتر مثل  وهيكلة بيانات . وهي تظهر أيضا في الترتيبات البيولوجية[4]، مثل تفريعات الأشجار، ترتيب الأوراق على الساق وطرف الثمرة من الأناناس[5] وتفتح الخرشوف والسرخس غير المتجعد وترتيب مخروط الصنوبر[6].
الأصول
عرف الهنود القدماء متتالية فيبوناتشي قبل ظهورها في أوروبا، حيث طبقوها في علم أوزان الشعر[7].
وجاء الدافع لذلك من العروض السنسكريتية، حيث المقاطع الطويلة لها فترة = 2 والمقاطع القصيرة لها فترة = 1. يمكن تشكيل أي نمط له فترة ن وذلك بإضافة مقطع قصير إلى نمط من فترة ن −1، أو مقطع طويل لنمط من فترة ن −2 ، وبالتالي فإن عروض الشعر تظهر أن عدد أنماط فترة ن هو مجموع الرقمين السابقين من التسلسل. وبعد ذلك بدأ المؤلفون باستخدام الخوارزميات لتصنيف أو عدم تصنيف تلك الأنماط (بمعنى إيجاد النمط المرقم بالكاف من الفترة ن)، مما أدى لاكتشاف أرقام فيبوناتشي عليا. وقد استعرض دونالد كانوث تلك النتيجة في كتابه فن برمجة الحاسوب[8][9].
وقد بدأ ليوناردو البيسي المعروف باسم فيبوناتشي بدراسة تلك المتتالية في أوروبا في كتابه ليبر أباتشي (1202)[10]. واعتبر النمو على افتراض (وهو غير صحيح في علم الأحياء) مجموعة ارانب كالتالي: حقل به زوج من الأرانب حديثي الولادة إحداهما ذكر والآخر انثى، فالأرانب بإمكانها التزاوج عند بلوغ الشهر، لذا ففي نهاية الشهر التالي تكون الأنثى قد ولدت زوج من الأرانب؛ بافتراض أنه لم يمت أي أرنب خلال مدة معينة وبافتراض أن في كل شهر ينتج زوج من الأرانب (ذكر وأنثى) بدأ من الشهر التالي. فكان اللغز الذي طرحه فيبوناتشي هو: كم سيكون عدد الأزواج في السنة الواحدة؟
في نهاية الشهر الأول سيحصل تزاوج، ولكن يبقى أن هناك زوجا واحدا فقط.
في نهاية الشهر التالي، الأنثى تلد زوجا جديدا، لذا سيكون هناك زوجين من الأرانب في الحقل.
في نهاية الشهر الثالث، الأنثى الأصل تلد زوجا جديدا، مما يصبح العدد هو 3 أزواج من الأرانب في الحقل.
في نهاية الشهر الرابع تلد الأُنثى الأصل زوجا من الأرانب، والأنثى التي ولدت قبل شهرين تلد أول زوج لها من الأرانب. مما يصبح العدد هو 5 أزواج.
وفي نهاية المطاف عند الشهر ن، عدد الأزواج من الأرانب يساوي عدد الأزواج المواليد (حيث هو عدد الأزواج في الشهر ن-2) زائد عدد الأزواج الأحياء عند آخر شهر. هذا هو أو العدد ن لمتتالية فيبوناتشي[11].
لائحة متتالية فيبوناتشي
أول 21 من أرقام فيبوناتشي (sequence A000045 in the OEIS)، ومرقمة بالعلامة Fن حيث ن=0,1,2,... ,20 هي[12][13]:

قد يبدو ملاحظا أن المرة 21 (13+34) تساوي 987. أو تلكم المرة 34 (21+55) تساوي 2584. باستخدام العلاقة المكررة يمكن للتسلسل أن يمتد إلى مؤشر سلبي ن. نتيجة ترضي المعادلة
فتكون المعادلة لتلك النتائج





F

−
n


=
(
−
1

)

n
+
1



F

n


.




{\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.\!\,}


وهذا التسلسل كاملا




…
,

−
8
,

5
,

−
3
,

2
,

−
1
,

1
,

0
,

1
,

1
,

2
,

3
,

5
,

8
,

…


{\displaystyle \ldots ,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots }


الصيغة العامة
الصيغة العامة لمتتالية فيبوناتشي هي:



F
(
n
)
=


1

5



(

φ

n


−

φ

′

n



)


{\displaystyle F(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-\varphi '^{n})}


مع:



φ
=



1
+


5



2





{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,}

 و




φ
′

=



1
−


5



2





{\displaystyle \varphi '={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\,}


و هذه بعض القيم: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,...
ويقترب ناتج قسمة كل رقم بما قبله من 1.618 شيئا فشيئا للرقم الذهبي ويسمى هذا الرقم أيضا برقم التناسب المقدس والنسبة الذهبية.
متسلسلات القوى
الدالة المولدة لمتتالية فيبوناتشي هي متسلسلة القوى التالية:




s
(
x
)
=

∑

k
=
0


∞



F

k



x

k


.


{\displaystyle s(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}x^{k}.}


هذه المتسلسلة تتقارب حين يتوفر 




|

x

|

<


1
φ


,


{\displaystyle |x|<{\frac {1}{\varphi }},}

 ولمجموعها شكل مغلق بسيط هو:




s
(
x
)
=


x

1
−
x
−

x

2







{\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}


علاقتها بمسألة سيراكيز
مجموعة فيبوناتشي هي متتالية فيبوناتشي ولكنها بخلاف مجموعة من الأرقام لها صلات بالاعداد للكواكب والمجرات والتصنيفات النباتيه والحيوانيه ويقال عند الهنود القدماء قبل ظهور تلك المتتاليه ان هناك مجموعة من الاعداد ذات ترتيب معين له صلة باحداث يوميه في الحاضر والمستقبل متوقع حدوثها.
انظر أيضا
فيبوناتشي
الرياضيات في الطبيعة
مصادر




تصنيف:أعداد فيبوناتشي
تصنيف:مقالات تحوي براهين