حساب مثلثات

السؤال: من هو العالم العربي الذي وضع النسبة المثلثية التي تُعرف بـ “التان”؟


علم المثلثات أو حساب المثلثات  هو فرع من الرياضيات يدرس الزوايا والمثلثات والتوابع المثلثية كالجيب والجيب التمام.[1][2][3] وهو أحد فروع علم الهندسة العامة.
يعتبر  قدماء المصريين  أول من عمل  بقواعد حساب  المثلثات، إذ استخدموها  في  بناء الأهرامات وبناء معابدهم. لكن قليل من الموروث عنهم  في هيئة مخطوطات، ومنها أن عرّّفوا مساحة الدائرة بكونها مساوية لتسعة أعشار مساحة المربع المحيط بها المماس لها من أربع أضلاع. وترجع معرفتنا بحساب المثلثات إلى الإغريق الذين وضعوا قوانينها، ومن أهمها هي القائمة والحادة والمنفرجة.
لعلم المثلثات تطبيقات كثيرة، منها حساب المسافات والزوايا في إنشاء المباني والطرق وفي صناعة المحركات وأجهزة التلفزيون والأثاث وملاعب الكرة، وكذلك وفي حساب المسافات الجغرافية والفلك، وفي أنظمة الاستكشاف بالأقمار الصناعية.
يكون مثلثان متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيرة أو تصغيرة. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة. أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول ضعف طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فان طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول يكون ضعف طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني.
اعتمادا على هذه القوانين، من الممكن تعريف التوابع المثلثية، مستخدمين المثلث القائم. وهناك القانون القائل انه إذا تساوت  زاويتان في مثلثين  قائمين، فان هذين المثلثين متشابهان، وتكون النسبة بين الضلع المقابلة للزاويتين المتساويتين، وتر كل من المثلثين (الضلع المقابلة للزاوية القائمة) متساوية بالنسبة لكل من المثلثين وتعتمد فقط على قيمة الزاوية، وستكون عددا بين 0 و1، تدعى هذه النسبة بجيب الزاوية. بشكل مماثل، يمكن تعريف تجيب الزاوية على أنها النسبة بين الضلع المجاور لها والوتر.
في المثلث القائم المبين في الشكل، يُرمز للوتر (الضلع الأكبر في المثلث) بالرمز h. فيكون تعريف خواص الزاوية A كالآتي:
.sin= جا (جيب الزاوية) = المقابل / الوتر 
.cos= جتا (جيب تمام الزاوية) = المجاور / الوتر
.tan= ظا (ظل الزاوية) = المقابل / المجاور .

جيب الزاوية A = طول الضلع المقابل / الوتر(h/a)
جيب تمام الزاوية A  =طول الضلع المجاور / الوتر (h/b)
ظل الزاوية A = طول الضلع المقابل/طول الضلع المجاور (b/a).
الدالتين الجيب  و<b data-parsoid='{"dsr":[3156,3172,3,3]}'>جيب التمام هما أهم الدوال المثلثية. هناك أيضا توابع أخرى تُعرف بأخذ نسب أخرى من أضلاع المثلث القائم، أو نسب من التابعين الأساسيين الجيب وجيب التمام، هذه التوابع هي: ظل (ظا)،  ظل تمام(ظتا)، قاطع (قا)، وقاطع تمام (قتا).
ظل الزاوية A = جيب الزاوية/ جيب تمام الزاوية
ظل تمام الزاوية A = جيب تمام الزاوية / جيب الزاوية
قا (قاطع) الزاوية = 1 / جتا الزاوية (مقلوب الجتا)
قاطع تمام (قتا) = 1 / جيب الزاوية (مقلوب الجيب)
بهذا نكون قد عرفنا التوابع(الاقترانات) المثلثية للزوايا من 0 إلى 90، من الممكن توسيع تعريفنا ليشمل كل القيم الحقيقية للزوايا باستخدام دائرة الوحدة.
عند إمكانية حساب التوابع المثلثية (من جداول أو الآلة الحاسبة) ومعرفة قيم ضلع وزاويتين أو ضلعين وزاوية أو ثلاثة أضلاع من المثلث، يمكن إيجاد قيم باقي عناصر المثلث (زوايا واضلاع) باستخدام قانون الجيب وقانون جيب التمام.
هذا بخصوص حساب المثلثات المستوية. وهناك فرع لا يقل أهمية عنه وهو حساب  المثلثات علي  السطح الكروي، وهذا الفرع مهم بصفة خاصة في الفلك  وفي  الملاحة.
هناك حالة خاصة في حالة حساب جيب تمام الزاوية إذا كان 1 و0
تعريف الدالة المثلثية بالأعداد المركبة

تنطبق التعريفات السابقة على الزوايا بين 0  و  90 درجة  (بين صفر و  π/2 راديان). وباستخدام  دائرة واحدية يمكن حساب الدوال المثلثية للزوايا الدائرية بين 0 و 360 درجة . في تلك الحالات يمكن أن يكون الضلع   a  موجبا أو سالبا (انظر  دالة مثلثية). الدوال المثلثية هي دوال دورية (تتكرر بانتظام) ولها دورة مقدارها 360 درجة أو   2π راديان. أي أن احداثياتها تتكرر من دورة لدورة . ويمكن لطل الزاوية أو ظل تمام الزاوية أن يصل إلى الصفر عند 180 درجة أو عند 360  درجة.
كما يمكن تعريف الدوال المثلثية بطريقة أخرى غير طريقة حساب المثلثات ، وهي طريقة باستخدام الحساب والمتتاليات اللانهائية . ومع تلك التعريفات يمكن صياغة الدوال المثلثية بالأعداد المركبة . ومن مميزات الدوال الأسية المركبة أنها تستخدم كثيرا في الهندسة الكهربائية وحسابات التيار المتردد و المحركات الكهربائية وكذلك في علم الفلك.






e

x
+
i
y


=

e

x


(
cos
⁡
y
+
i
sin
⁡
y
)
.


{\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).}


أنظر  صيغة أويلر .
تمثيل تيار متردد  بـ دائرة وحدة
هذا الشكل المتحرك يوضح حساب موجة جيبية بواسطة دائرة وحدة . الموجة الجيبية يمكن أن تمثل تيارا مترددا . 

عملية تمثيل دالة (y = sin(x باستخدام دائرة الوحدة

انظر أيضا