نسبة ذهبية

السؤال: ماهى النسبة الذهبية ؟


النسبة الذهبية  في الرياضيات تحقق عندما يكون مجموع عددين مقسوم على أكبرهما يساوي النسبة بين اكبر العددين إلى أصغرهما. وهو عبارة عن ثابت رياضي معرف تبلغ قيمته 1.6180339887 تقريبا.
لو نُظر إلى مستطيلات مختلفة، لوُجد بعضها أجمل من الآخر. وفي معظم الأحيان تكون نسبة أبعاد هذه المستطيلات بعضها إلى بعض هي نفسها. وتسمى هذه المستطيلات "المستطيلات الذهبية" وخارج قسمة طولها على عرضها يسمى "الرقم الذهبي".

فنجد أنه في المستطيل الذهبي:

وجرت العادة أن يكتب الرقم الذهبي باعتماد الحرف الاغريقي "في" أو 



φ


{\displaystyle \varphi }

. وقد ظهرت هذه التسمية سنة 1914 وفاء لذكرى "فيدياس"، وهو نحّات قام بتزيين "البارثينون" في أثينا.
ويظهر الرقم الذهبي أيضا في أشكال هندسية أخرى منها خماسي الأضلاع المنتظم، وهو شكل هندسي ذو خمس أضلاع ومحتوى في دائرة، وأضلاعه وزواياه كلها متقايسة. وفي هذا الشكل يمثل خارج قسمة القطر على أحد الأضلاع الرقم الذهبي وهو عرضة للتشكيك في كثير من الأحيان من حيث ان أرقام مشابهة تكون موجودة ويتم الترويج إلى أن الرقم موجود بذاته او أن الرقم لا يكون موجوداً في حالات كثيرة ويُدعى أنه موجود[1].
قيمته العددية


قيمة الرقم الذهبي الدقيقة هي 



φ
=



1
+


5



2




{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

 كما يمكن إثبات أنّ قيمتها 



2
c
o
s
(

36

o


)



{\displaystyle 2cos(36^{o})\,}

 أيضا ولإيجاد قيمة تقريبية لهذا الرقم يمكننا استعمال آلة حاسبة. قيمة 



φ


{\displaystyle \varphi }

 التقريبية هي 1.618 ولكن عدد الأرقام العشرية لا متناهية ولا يمكن توقّعها أو التكهن بها.
ويمكننا أيضا اعتماد متوالية أو "سلسلة فيبوناتشي" للاقتراب من الرقم الذهبي، وقد تم وضع هذه المتوالية في العصر الوسيط على يد عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو دا بيزّا (نسبة إلى بيزّا المدينة الإيطالية) المسمّى "فيبوناتشي"، لدراسة تكاثر الأرانب.
وأول رقمين في هذه السلسلة هما 1. ولإيجاد مختلف عناصرها، نجمع العنصرين السابقين. فنحصل بالتالي على السلسلة التالية:
و بقسمة كل عنصر على سابقه (بداية من الـ1 الثاني)، نقترب شيئا فشيئاً من الرقم الذهبي
و في النهاية، يمكننا اعتماد هذا الكسر المستمر لإيجاد قيمة قريبة من قيمة φ:[2]




φ
=
1
+


1

1
+


1

1
+


1

1
+


1

1
+
⋯














{\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}


الاستفادة منه

الرقم الذهبي معروف على الأرجح منذ عصور ما قبل التاريخ. فقد أستعمله مهندسون وفنانون كثيرون منذ العصور القديمة. فمثلا هرم "خوفو"، المبني في سنة 2800 ق.م. تقريبا، يظهر أن مهندسه استعمل الرقم الذهبي وكذلك شأن مبنى "البارثينون" بأثينا، الذي تم بناؤه في القرن الخامس ق.م وأيضا يوجد إشارة إلى هذه النسبة في بناء أهرامات الجيزة في مصر.
وفي عصر النهضة، استعمل العديد من الرسّامين (مثل "بييرو ديلاّ فرانشيسكا" أو "ليوناردو دا فينشي") المظاهر الجمالية المرتبطة بالرقم الذهبي في لوحاتهم. وقد أبرز "دا فينشي" كذلك كتابا يبيّن الخصائص الرياضية والجمالية والعجيبة للرقم الذهبي ويسمى هذا الكتاب " "De divina proportio (أو التناسب الإلهي) وقد ألفه كاهن إيطالي اسمه "فرا لوكا باشيولي".
و يظهر الرقم الذهبي كذلك في ميدان الموسيقى ذلك أن صانع الكمانات الإيطالي "أنتونيو ستراديفاري" (و اشتهر "ستراديفاريوس") استخدم هو الآخر هذا الرقم في صنع كماناته الشهيرة مع نهاية القرن السابع عشر للميلاد.
و في القرن العشرين، أهتم العديد من المهندسين والرسامين بالرقم الذهبي في إنجازاتهم، وبالخصوص المهندس الفرنسي "لو كوربيسيي" والرسّام الإسباني "سلفادور دالي".
ورغم الأقوال بوجود استخدام للنسبة الذهبية في بعض المباني غير أن كثيراً منها هي أما مقاربات بعيدة عن النسبة الذهبية، أو أنها غير موجودة ببساطة كما في المعبد اليوناني الذي ثبت عدم وجود النسبة الذهبية فيه، فضلاً عن وجود نسب أخرى تُستخدم بكثرة من قبل المعماريين لكنها غير مشهورة[1]. 
ويدعي البعض انه يستخدم أيضًا في الأسواق المالية وأسواق العملات والمعادن، بل هو من أهم الأدوات المستخدمة في التحليل الفني لتلك الأسواق؛ فعندما تقوم أسعار الأوراق المالية - أو العملات أو المعادن - بتصحيح مسارها (بمعنى أن تنخفض بعد اتجاه صعودي، أو ترتفع بعد اتجاه هبوطي) يقوم المحللون الفنيون لتلك الأسواق بحساب نسب ارتدادات الأسعار (أي تحديد مدى ذلك الارتفاع أو الانخفاض)، وتلك النسب كلها مشتقة من الرقم الذهبي بحسب الادعاءات ولكن لا توجد اي أدلة على ادعاءات مماثلة[1].
خصائصه
بالإضافة إلى ميزاته الجمالية، فإن الرقم الذهبي يمتاز بخاصية جبريّة مهمّة، إذ أنه يكفي أن تضيف إليه 1 لتجد مربّعه (أي 



φ
×
φ


{\displaystyle \varphi \times \varphi }

). وبعبارة أخرى فإن:





φ

2


=
φ
+
1


{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}


و هذه الصيغة الأخيرة هي الصيغة العامة لتعريف الرقم الذهبي.
و هناك خاصية أخرى تنجرّ عن السابقة وهي أنه يكفي أن ننقص  الرقم الذهبي من 1 حتى نجد مقلوبه (أي 




1

φ


{\displaystyle 1 \over \varphi }

) وبالتالي فإن:
1 -





1
φ


=
φ


{\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi }


بصورة عامة، يمكن القول أنَّ: 




φ

n


=

φ

n
−
1


+

φ

n
−
2




{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}


وأيضاً: 





n
φ


=
n
φ
−
n


{\displaystyle {\frac {n}{\varphi }}=n\varphi -n}



طريقة استنتاج كل من العلاقات السابقة
أولاً: لإثبات أن 




φ

2


=
φ
+
1


{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}






φ
=


φ
1


=



φ
+
1

φ





{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi }{1}}={\frac {\varphi +1}{\varphi }}\;}


بما أن جداء طرفي كسرين متكافئين يساوي جداء وسطيه، فإن:





φ

2


=
φ
+
1



{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\!}


ثانياً: إثبات أن 





1
φ


=
φ
−
1


{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}

 نثبت أن جداء الطرفين يساوي جداء الوسطين، فنثبت أن:




1
×
1
=
φ
×
(
φ
−
1
)



{\displaystyle 1\times 1=\varphi \times (\varphi -1)\!}


باختزال العلاقة السابقة:




1
=

φ

2


−
φ



{\displaystyle 1=\varphi ^{2}-\varphi \!}


نعوض 




φ

2


=
φ
+
1


{\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}

 فنحصل على:




1
=
φ
+
1
−
φ
=
1



{\displaystyle 1=\varphi +1-\varphi =1\!}


فينتج من تساوي العلاقة السابقة أن جداء طرفي الكسر يساوي جداء وسطيه، وبالتالي تثبت صحة العلاقة: 





1
φ


=
φ
−
1


{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}


ثالثا: إثبات أن 




φ

n


=

φ

n
−
1


+

φ

n
−
2




{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}

:

نكتب: 



φ
=



φ

n
−
1



φ

n
−
2







{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi ^{n-1}}{\varphi ^{n-2}}}\!}


العلاقة السابقة صحيحة لأنه عند قسمة عددين ذوي أساسين متساويين فإن الناتج يكون نفس الأساس مرفوع إلى حاصل طرح الأسس

بالاستفادة من علاقة النسبة الذهبية نقول: 






φ

n
−
1



φ

n
−
2




=




φ

n
−
1


+

φ

n
−
2




φ

n
−
1







{\displaystyle {\frac {\varphi ^{n-1}}{\varphi ^{n-2}}}={\frac {\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}{\varphi ^{n-1}}}\!}







φ
=




φ

n
−
1


+

φ

n
−
2




φ

n
−
1




=



φ

n



φ

n
−
1







{\displaystyle \varphi ={\frac {\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}{\varphi ^{n-1}}}={\frac {\varphi ^{n}}{\varphi ^{n-1}}}\!}


نضرب طرفي المعادلة بـ 




φ

n
−
1




{\displaystyle \varphi ^{n-1}}

 فنحصل على القانون: 




φ

n


=

φ

n
−
1


+

φ

n
−
2




{\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}}


رابعاً: إثبات أن 





n
φ


=
n
φ
−
n


{\displaystyle {\frac {n}{\varphi }}=n\varphi -n}



يمكن القول أن: 





n
φ


=
n
×
(


1
φ


)


{\displaystyle {\frac {n}{\varphi }}=n\times ({\frac {1}{\varphi }})}



نعوض 





1
φ


=
φ
−
1


{\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1}

 فنقول: 





n
φ


=
n
×
(
φ
−
1
)



{\displaystyle {\frac {n}{\varphi }}=n\times (\varphi -1)\!}



باختزال ما سبق نحصل على القانون: 





n
φ


=
n
φ
−
n



{\displaystyle {\frac {n}{\varphi }}=n\varphi -n\!}


تجلياته
يظهر الرقم الذهبي في العديد من الإنجازات الإنسانية، ولكن أيضا في الطبيعة بعض الأحيان وبشكل تقريبي مثل:

الشكل الهندسي لنجم البحر الذي يمتاز بشكل خماسي الأضلاع المتداخل.
شكل قوقعة الحلزون الهندسي، وقد تم تفنيد هذا الظهور للنسبة الذهبية حيث الحلزون الذهبي هو واحد من الأرقام اللانهائية لأي خوارزمية حلزونية ممكنة ولا يشترط أن تكون النسبة الذهبية داخلة[1].
أو في زهرة دوار الشمس أو في حراشف الصنوبر ("تفاح الصنوبر").
ويبدو أيضا أن خارج قسمة الطول الإجمالي لجسم الإنسان على ارتفاع السرة عن الأرض مساو، هو الآخر، للرقم الذهبي.
موقع الكعبة المشرفة
موقع الكعبة في مكة بالنسبة للمسافة بين القطب الشمالي والجنوبي تم حسابهُ من قبل البعض والقول بأنه يساوي 1.618 وأن ذلك دليل على اعجاز الهي حيث لا يستطيع البناء الذي بناها النبي إبراهيم مهما أوتي من علم ان يحددها بهذه الدقة كما أشار القائلين بذلك لإمكانية الرجوع لخرائط جوجل في موقع جوجل إيرث[3]، غير أن هذا الادعاء صحيح ومؤكد حيث ان:
المسافة بين القطبين[4] (مرورا بالكعبة المشرقة) = 18,883.48 كم 
المسافة بين القطب الجنوبي والكعبة[5] = 11,823 كم 
المسافة بين الكعبة والقطب الشمالي[6] =7,073 كم وخلال قسمه 11823/7073 نحصل على تقريب النسبة الذهبية ~1.618, يوجد انواع اخرى لاثبات النسبة الذهبية للكعبة عن طريق العرض والقطر[7].
انظر أيضا
متتالية فيبوناتشي
الزاوية الذهبية
فيبوناتشي
متوسط ذهبي
الرياضيات في الطبيعة
المصادر

وصلات خارجية


تصنيف:تاريخ الهندسة الرياضية
تصنيف:نسبة ذهبية
تصنيف:أعداد لا كسرية
تصنيف:ثوابت رياضية
تصنيف:هندسة إقليدية مستوية
تصنيف:اختراعات يونانية