نظرية ذات الحدين

السؤال: ماهى نظرية العامل الثنائي ؟



ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع إلى قوة صحيحة ما.[1][2][3] ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .

التاريخ والترميز
عالم الرياضيات أندرياس فون ايتينغ هاوسن هو أول من اقترح الرمز 







(


n
k


)






{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}

. كان ذلك عام 1826.
الصيغة
فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x و<i data-parsoid='{"dsr":[1274,1279,2,2]}'>y معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،




(
x
+
y

)

n


=

∑

k
=
0


n





(


n
k


)




x

n
−
k



y

k




{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}


حيث الأعداد 






(


n
k


)





{\displaystyle {n \choose k}}

 (و التي تكتب أحيانا 




C

k


n




{\displaystyle C_{k}^{n}}

) هي المعاملات الثنائية.
هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.
تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة:




(
x
−
y

)

n


=

∑

k
=
0


n


(
−
1

)

k





(


n
k


)




x

n
−
k



y

k




{\displaystyle (x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}


مثال:




n
=
2

,

(
x
+
y

)

2


=

x

2


+
2
x
y
+

y

2





{\displaystyle n=2~,\qquad (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}






n
=
3

,

(
x
−
y

)

3


=

x

3


−
3

x

2


y
+
3
x

y

2


−

y

3





{\displaystyle n=3~,\qquad (x-y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}-y^{3}\,}






n
=
4

,

(
x
+
y

)

4


=

x

4


+
4

x

3


y
+
6

x

2



y

2


+
4
x

y

3


+

y

4





{\displaystyle n=4~,\qquad (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}


البرهان
لتكن y، x عناصر من مجموعة حيث xy=yx و n عددا طبيعيا صحيحا.




(
x
+
y

)

n


=

∑

k
=
0


n





(


n
k


)




x

n
−
k



y

k




{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}


لنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية":
البداية




n
=
0

,

(
x
+
y

)

0


=
1
=



(


0
0


)




x

0



y

0




{\displaystyle n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}}


صحة العنصر التالي
ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1، سنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:
حسب الافتراض الأول:




(
x
+
y

)

n
+
1


=
(
x
+
y
)
⋅

∑

k
=
0


n





(


n
k


)




x

n
−
k



y

k


,


{\displaystyle (x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},}


بتوزيعية 



⋅


{\displaystyle \cdot }

 على 



+


{\displaystyle +}

:




(
x
+
y

)

n
+
1


=

x

n
+
1


+
x
⋅

∑

k
=
1


n





(


n
k


)




x

n
−
k



y

k


+
y
⋅

∑

k
=
0


n
−
1





(


n
k


)




x

n
−
k



y

k


+

y

n
+
1




{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}}


بالتفكيك إلى جداء:




(
x
+
y

)

n
+
1


=

x

n
+
1


+

∑

k
=
1


n



[




(



n


k



)



+



(



n


k
−
1



)




]


x

n
−
k
+
1



y

k


+

y

n
+
1




{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}}


باستعمال صيغة مثلث باسكال:




(
x
+
y

)

n
+
1


=

x

n
+
1


+

∑

k
=
1


n





(



n
+
1

k


)





x

n
−
k
+
1



y

k


+

y

n
+
1




{\displaystyle (x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}}


و هو ما ينهي التبيين الافتراضي.
مراجع


تصنيف:إسحاق نيوتن
تصنيف:مبرهنات في الجبر
تصنيف:مطابقات رياضية
تصنيف:مقالات تحوي براهين
تصنيف:موضوعات حاسمة وذات حدين