**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Simulare**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, în care $a_1 = 3$ și $a_2 = 10$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 4$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = a + g(2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(10x - 1) = 2$.

**5p** **4.** După o ieftinire cu $45\%$, un produs costă $110$ lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(0,-1)$, $C(8,3)$. Arătați că $AB = AM$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 6$ și $AC = 8$. Arătați că $\sin C = \dfrac{3}{5}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a & 3a \\ a & 2a + 3 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 2$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = x A(1)$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = xy - 2x - 2y + 6$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 2 = 2$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * (2x) = 6$.

**5p** **c)** Știind că $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”, determinați numărul real $x$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție „$*$” este $4$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^2 - 2 - \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to 1} \dfrac{f(x) + \ln x}{3x - 3} = \dfrac{4}{3}$.

**5p** **c)** Arătați că $\dfrac{4x^2 - 1}{2} \ge \ln(2x)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x + 2x + 2$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 2x) dx = e + 1$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle \int_0^3 \dfrac{1}{f(x) - e^x} dx = \ln 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x} dx = 5 + \dfrac{a}{e}$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*