**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(3+3\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}-3\sqrt{2}+4=10$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$. Arătați că $f(0)+f(2)=f(4)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x-1}-3=0$.

**5p** **4.** Prețul unui obiect este de $400$ de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu $25\%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$, $B(5,6)$ și $C(6,2)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=4$ și măsura unghiului $C$ egală cu $60^{\circ}$. Arătați că $BC=8$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(3))=1$.

**5p** **b)** Arătați că $A(2)+A(6)=2A(4)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x) \cdot A(x)=3I_{2}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=x+y+6$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ (-3)=4$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ 2=3x$.

**5p** **c)** Arătați că $(x^{2}+2) \circ (1-6x) \geq 0$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\dfrac{5x-2}{x-1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=-\dfrac{3}{(x-1)^{2}}$, $x \in (1,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este convexă.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{1}(f(x)-3)dx=1$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}f(x)dx=3e-1$.

**5p** **c)** Determinați $a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle\int_{1}^{2}\dfrac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln \dfrac{a}{2}$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*