**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $r = a_2 - a_1 = 7$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice **3p**

$a_3 = 10 + 7 = 17$ **2p**

**2.** $g(2) = 4$, $f(a) = 3a - 4$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$3a - 4 = a + 4$, de unde obținem $a = 4$ **2p**

**3.** $10x - 1 = 3^2$, deci $10x - 1 = 9$ **3p**

$x = 1$, care convine **2p**

**4.** $x - \frac{45}{100} \cdot x = 110$, unde $x$ este prețul produsului înainte de ieftinire **3p**

$x = 200$ de lei **2p**

**5.** $AB = 5$ **2p**

$M(4,1)$, deci $AM = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$, de unde obținem $AB = AM$ **3p**

**6.** $BC = 10$ **2p**

$\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 2 \cdot 7 - 2 \cdot 6 =$ **3p**

$= 14 - 12 = 2$ **2p**

**b)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$, $A(1) \cdot A(1) + 2I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 18 \\ 6 & 28 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18 \\ 6 & 30 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$ **3p**

$xA(1) = 6A(1)$, de unde obținem $x = 6$ **2p**

**c)** Cum $\det(A(2)) \neq 0$, $X = (A(2))^{-1} \cdot A(0) \cdot (A(2))^{-1}$; $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ **2p**

$(A(2))^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{7}{2} & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, de unde obținem $X = \begin{pmatrix} 9 & -9 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$ **3p**

**2.a)** $0 * 2 = 0 \cdot 2 - 2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 + 6 =$ **3p**

$= 0 - 0 - 4 + 6 = 2$ **2p**

**b)** $x * (2x) = 2x^2 - 6x + 6$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$2x^2 - 6x + 6 = 6$, deci $2x^2 - 6x = 0$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 3$ **3p**

**c)** $x * 4 = 4 * x = 3$, de unde obținem $4x - 2x - 8 + 6 = 3$ **3p**

$x = \frac{5}{2}$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 4x - \frac{1}{x} =$ **3p**

$= \frac{4x^2 - 1}{x} = \frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + \ln x}{3x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - 2}{3x - 3} = \lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1)(x + 1)}{3(x - 1)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 1} \frac{2(x + 1)}{3} = \frac{4}{3}$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$; pentru orice $x \in \left( 0, \frac{1}{2} \right]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $\left( 0, \frac{1}{2} \right]$ **2p**

și, pentru orice $x \in \left[ \frac{1}{2}, +\infty \right)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $\left[ \frac{1}{2}, +\infty \right)$

$f(x) \ge f\left( \frac{1}{2} \right)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ și, cum $f\left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{3}{2} - \ln \frac{1}{2}$, obținem $\frac{4x^2 - 1}{2} \ge \ln(2x)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (f(x) - 2x) dx = \int_0^1 (e^x + 2) dx = (e^x + 2x) \Big _0^1 =$ **3p**

$= e + 2 - 1 = e + 1$ **2p**

**b)** $\int_0^3 \frac{1}{f(x) - e^x} dx = \int_0^3 \frac{1}{2x + 2} dx = \frac{1}{2} \int_0^3 \frac{1}{x + 1} dx = \frac{1}{2} \ln(x + 1) \Big _0^3 =$ **3p**

$= \frac{\ln 4}{2} - \frac{\ln 1}{2} = \ln 2$ **2p**

**c)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = \int_0^1 (1 + (2x + 2)e^{-x}) dx = x \Big _0^1 + \int_0^1 (2x + 2)(-e^{-x})' dx =$ **3p**

$= 1 - (2x + 4)e^{-x} \Big _0^1 = 5 - \frac{6}{e}$, deci $5 + \frac{a}{e} = 5 - \frac{6}{e}$, de unde obținem $a = -6$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale