**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $(3+3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4 = 3\sqrt{2}+3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4 =$ **2p**

$= 6+4=10$ **3p**

**2.** $f(0)=6$, $f(2)=12$ **2p**

$f(4)=18$, deci $f(0)+f(2)=f(4)$ **3p**

**3.** $\sqrt{2x-1}=3$, deci $2x-1=9$ **3p**

$x=5$, care convine **2p**

**4.** $\frac{25}{100}\cdot 400 = 100$ de lei **2p**

Prețul obiectului după ieftinire este $400-100=300$ de lei **3p**

**5.** $AC = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$ **2p**

$BC = \sqrt{1^2+4^2} = \sqrt{17}$, deci $AC=BC$, de unde obținem că triunghiul $ABC$ este isoscel **3p**

**6.** $\cos C = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}$ **3p**

$\frac{4}{BC} = \frac{1}{2}$, de unde obținem $BC=8$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(3) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(3)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 - 1\cdot 2 =$ **3p**

$= 3-2=1$ **2p**

**b)** $A(2)+A(6) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 2A(4)$ **2p**

**c)** $A(x)\cdot A(x) = \begin{pmatrix} 3 & 1+x \\ 2+2x & 2+x^2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\begin{pmatrix} 3 & 1+x \\ 2+2x & 2+x^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x=-1$ **2p**

**2.a)** $1 \circ (-3) = 1-3+6 =$ **3p**

$= 4$ **2p**

**b)** $x \circ 2 = x+2+6 = x+8$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$x+8=3x$, de unde obținem $x=4$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $\left(x^2+2\right) \circ(1-6 x)=x^2-6 x+9$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x^2-6 x+9=(x-3)^2 \geq 0$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f^{\prime}(x)=\frac{(5 x-2)^{\prime}(x-1)-(5 x-2)(x-1)^{\prime}}{(x-1)^2}=$ **3p**

$=\frac{5(x-1)-(5 x-2)}{(x-1)^2}=-\frac{3}{(x-1)^2}, x \in(1,+\infty)$ **2p**

**b)** $f(2)=8, f^{\prime}(2)=-3$ **2p**

Ecuația tangentei este $y-f(2)=f^{\prime}(2)(x-2)$, adică $y=-3 x+14$ **3p**

**c)** $f^{\prime \prime}(x)=\frac{6}{(x-1)^3}$, pentru orice $x \in(1,+\infty)$ **3p**

$f^{\prime \prime}(x) \geq 0$, pentru orice $x \in(1,+\infty)$, deci funcția $f$ este convexă **2p**

**2.a)** $\int_0^1(f(x)-3) d x=\int_0^1 2 x d x=\left.x^2\right _0^1=$ **3p**

$=1-0=1$ **2p**

**b)** $\int_0^1 e^x f(x) d x=\int_0^1 e^x(2 x+3) d x=\left.e^x(2 x+3)\right _0^1-\int_0^1 2 e^x d x=5 e-3-\left.2 e^x\right _0^1=$ **3p**

$=5 e-3-2 e+2=3 e-1$ **2p**

**c)** $\int_1^2 \frac{f(x)}{x(x+3)} d x=\int_1^2 \frac{2 x+3}{x^2+3 x} d x=\int_1^2 \frac{\left(x^2+3 x\right)^{\prime}}{x^2+3 x} d x=\left.\ln \left(x^2+3 x\right)\right _1^2=\ln \frac{5}{2}$ **3p**

$\ln \frac{5}{2}=\ln \frac{a}{2}$, de unde obținem $a=5$, care convine **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale