**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 3**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $(0,3+0,4) \cdot 10+2 \cdot 0,5=8$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2 x-1$. Arătați că $f(1)+f(2)=4$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{5}(2 x+1)=\log _{5} 5$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{11,21,31,41,51,61,71,81,91\}$, acesta să fie divizibil cu 3 .

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$, $B(m, 2)$ și $C(5,3)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=20$ și $AC=16$. Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu 48.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} 2 x+1 & 1 \\ 1 & x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=2$.

**5p** **b)** Arătați că $A(1)+A(5)=2 A(3)$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$ pentru care $X \cdot A(1)=A(3)$.

**2.** Se consideră polinomul $f=X^{3}+m X^{2}+2 X-5$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(0)=-5$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$, știind că 1 este rădăcină a polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $m$ pentru care $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=5$, unde $x_{1}$, $x_{2}$ și $x_{3}$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=e^{x}(x+1)$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} \frac{f(x)}{x+1} d x=e-1$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) d x=e$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a, a>1$, pentru care $\int\limits_{1}^{a} \frac{2 x f\left(x^{2}\right)}{x^{2}+1} d x=e\left(e^{3}-1\right)$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale