**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(0,3+0,4) \cdot 10+2 \cdot 0,5=0,7 \cdot 10+1=$ **3p**

$=7+1=8$ **2p**

**2.** $f(1)=1$ **2p**

$f(2)=3$, de unde obținem $f(1)+f(2)=4$ **3p**

**3.** $2x+1=5$, de unde obținem $2x=4$ **3p**

$x=2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Numerele, din mulțimea $A$, care sunt divizibile cu 3 sunt 21, 51 și 81, deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ **3p**

**5.** $m = \frac{3+5}{2} =$ **3p**

$=4$ **2p**

**6.** $AB=12$ **3p**

$P_{\Delta ABC} = AB+AC+BC=48$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(1)) = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 =$ **3p**

$=3-1=2$ **2p**

**b)** $A(1)+A(5) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 11 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 2 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2A(3)$ **2p**

**c)** Inversa matricei $A(1)$ este matricea $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$ **3p**

$X = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$ **2p**

**2.a)** $f(0) = 0^3 + m \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 - 5 =$ **3p**

$= 0+0+0-5 = -5$, pentru orice număr real $m$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $f(1)=0 \Rightarrow 1^3+m \cdot 1^2+2 \cdot 1-5=0$ **3p**

$m-2=0$, de unde obținem $m=2$ **2p**

**c)** $x_1+x_2+x_3=-m$, $x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3=2$ **2p**

$x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\right)=m^2-4$, deci $m^2-4=5$ și, cum $m$ este număr natural, obținem $m=3$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f^{\prime}(x)=\frac{\left(x^2\right)^{\prime} \cdot\left(x^2+1\right)-x^2 \cdot\left(x^2+1\right)^{\prime}}{\left(x^2+1\right)^2}=$ **2p**

$=\frac{2 x\left(x^2+1\right)-x^2 \cdot 2 x}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{2 x}{\left(x^2+1\right)^2}, x \in \mathbb{R}$ **3p**

**b)** $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{x^2+1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=1$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=1$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=0, f^{\prime}(x) \leq 0$, pentru orice $x \in(-\infty, 0] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$; $f^{\prime}(x) \geq 0$, pentru orice $x \in[0,+\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[0,+\infty)$ **3p** **2p**

**2.a)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{x+1} d x=\int_0^1 e^x d x=\left.e^x\right _0^1=$ **3p**

$=e-1$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x) d x=\int_0^1 e^x(x+1) d x=\left.e^x(x+1)\right _0^1-\int_0^1 e^x d x=\left.e^x(x+1)\right _0^1-\left.e^x\right _0^1=$ **3p**

$=2 e-1-e+1=e$ **2p**

**c)** $\int_1^a \frac{2 x f\left(x^2\right)}{x^2+1} d x=\int_1^a 2 x e^{x^2} d x=\int_1^a e^{x^2}\left(x^2\right)^{\prime} d x=\left.e^{x^2}\right _1^a=e^{a^2}-e$ **3p**

$e^{a^2}-e=e\left(e^3-1\right) \Rightarrow e^{a^2}=e^4$ și, cum $a>1$, obținem $a=2$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale* \