**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2i(6-i)+3(1-4i)=5$, unde $i^2 = -1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=x+5$. Determinați numărul real $a$ pentru care $(f \circ f)(a)=2a$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt{2}$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul $2^n$ să fie divizibil cu $16$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(2,4)$. Arătați că triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $A$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x)=\sin x+2\cos 2x+2\sin^2 \frac{x}{2}$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix} x+1 & -x \\ -2x & 2x+1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=4$.

**5p** **b)** Arătați că $A(-1) \cdot A(x)=A(-2x-1)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m < n$, pentru care $A(-1) \cdot (A(m)+A(n))=2A(-4)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x \cdot 3^y + y \cdot 3^x$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 2 = 15$.

**5p** **b)** Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **c)** Determinați numărul real nenul $x$ pentru care $x \circ (3x) = (2x) \circ (2x)$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2+3x+3}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{e^x(x^2+x)}{(x^2+3x+3)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x)-f(y) \le \frac{3-e}{3e}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, cu $x \le 0 \le y$.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x)=4x+1+3x\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_1^2 (f(x)-3x\ln x) dx = 7$.

***

Simulare

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{e} \frac{f(x)-4x-1}{x} dx = 3$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_{2}^{4} \frac{f(x)-1}{x^2 \ln x} dx = a \ln 2$.