**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_3 = 19$ și $a_4 = 25$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $f(2) = 8$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2-x} - \frac{1}{625} \cdot 25^x = 0$.

**5p** **4.** Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 2)$, $B(2, 0)$ și $C(8, 2)$. Determinați lungimea segmentului $DE$, unde punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $OA$, respectiv $BC$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 6$ și $B = \frac{\pi}{6}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este egală cu $2\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ și $M(a) = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2-2a & 2-a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 2$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $M(2) \cdot A = x M(1)$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ pentru care $(M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = (a+2)I_2$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = (x-6)(y-6) + 6$.

**5p** **a)** Arătați că $9 \circ 8 = 12$.

**5p** **b)** Arătați că $e = 7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **c)** Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x \circ \frac{6}{x} = 6x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^2 - 5)\sqrt{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \frac{5}{2}$.

**5p** **c)** Arătați că $f(x+2) - f(x) \le 26$, pentru orice $x \in (0, 2]$.

**2.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 4\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = \frac{7}{3}$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x} dx = 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care $\int_1^2 (f(x)f''(x) + (f'(x))^2) dx = m(f(2) - f(1))$.

***

Model