**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2i(6-i)+3(1-4i)=12i-2i^2+3-12i=$ **3p**

$=-2(-1)+3=5$ **2p**

**2.** $f(a)=a+5$, $(f \circ f)(a)=a+10$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a+10=2a$, de unde obținem $a=10$ **2p**

**3.** $x^2+4x-4=2x^2$, de unde obținem $x^2-4x+4=0$ **3p**

$x=2$, care convine **2p**

**4.** În mulțimea numerelor naturale de o cifră sunt $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile **2p**

$2^n$ este divizibil cu $16$ dacă și numai dacă $n \ge 4$, deci sunt $6$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ **3p**

**5.** $m_{OA} = \frac{1}{3}$ **2p**

$m_{AB} = -3$, deci $m_{OA} \cdot m_{AB} = -1$, de unde obținem că triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $A$ **3p**

**6.** $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, $\cos \pi = -1$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - 2 + 2 \cdot \frac{2}{4} = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 - (-1) \cdot (-2) =$ **3p**

$= 6 - 2 = 4$ **2p**

**b)** $A(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$, $A(-1) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} -2x & 2x+1 \\ 4x+2 & -4x-1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} (-2x-1)+1 & -(-2x-1) \\ -2(-2x-1) & 2(-2x-1)+1 \end{pmatrix} = A(-2x-1)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $A(-1) \cdot (A(m) + A(n)) = A(-2m-1) + A(-2n-1) = 2A(-m-n-1)$, pentru orice numere reale $m$ și $n$ **3p**

$2A(-m-n-1) = 2A(-4)$, de unde obținem $m+n=3$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, cu $m < n$, perechile sunt $(0,3)$ și $(1,2)$ **2p**

**2.a)** $1 \circ 2 = 1 \cdot 3^2 + 2 \cdot 3^1 =$ **3p**

$= 1 \cdot 9 + 2 \cdot 3 = 15$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x \circ 0 = x \cdot 3^0 + 0 \cdot 3^x = x \cdot 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$0 \circ x = 0 \cdot 3^x + x \cdot 3^0 = x \cdot 1 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**c)** $x \circ (3x) = x \cdot 3^x \left( 3^{2x} + 3 \right)$, $(2x) \circ (2x) = 4x \cdot 3^{2x}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x \cdot 3^x \left( 3^{2x} + 3 \right) = 4x \cdot 3^{2x}$, deci $x \cdot 3^x \left( 3^x - 3 \right) \left( 3^x - 1 \right) = 0$ și, cum $x$ este număr real nenul, obținem $x=1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{e^x \left( x^2 + 3x + 3 \right) - e^x (2x + 3)}{\left( x^2 + 3x + 3 \right)^2} =$ **3p**

$= \frac{e^x \left( x^2 + 3x + 3 - 2x - 3 \right)}{\left( x^2 + 3x + 3 \right)^2} = \frac{e^x \left( x^2 + x \right)}{\left( x^2 + 3x + 3 \right)^2}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2 + 3x + 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left( e^x \right)'}{\left( x^2 + 3x + 3 \right)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2x + 3} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\left( e^x \right)'}{(2x + 3)'} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{2} = +\infty$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ sau $x = 0$; pentru orice $x \in (-\infty, -1]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -1]$, pentru orice $x \in [-1, 0]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-1, 0]$ și, pentru orice $x \in [0, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[0, +\infty)$ **2p**

$x \in (-\infty, 0]$, deci $f(x) \le f(-1)$ și $y \in [0, +\infty)$, deci $f(y) \ge f(0)$ și, cum $f(-1) = \frac{1}{e}$ și $f(0) = \frac{1}{3}$, obținem $f(x) - f(y) \le \frac{1}{e} - \frac{1}{3}$, deci $f(x) - f(y) \le \frac{3-e}{3e}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, cu $x \le 0 \le y$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 (f(x) - 3x \ln x) dx = \int_1^2 (4x + 1) dx = \left( 2x^2 + x \right) \bigg _1^2 =$ **3p**

$= 8 + 2 - (2 + 1) = 7$ **2p**

**b)** $\int_1^e \frac{f(x) - 4x - 1}{x} dx = \int_1^e 3 \ln x dx = \int_1^e (3x)' \ln x dx = 3x \ln x \bigg _1^e - 3x \bigg _1^e =$ **3p**

$= 3e - 3e + 3 = 3$ **2p**

**c)** $\int_2^4 \frac{f(x) - 1}{x^2 \ln x} dx = \int_2^4 \frac{4x + 3x \ln x}{x^2 \ln x} dx = \int_2^4 \frac{4}{\ln x} \cdot (\ln x)' dx + 3 \int_2^4 \frac{1}{x} dx = 4 \ln(\ln x) \bigg _2^4 + 3 \ln x \bigg _2^4 =$ **3p**

$= 7 \ln 2$, deci $a \ln 2 = 7 \ln 2$, de unde obținem $a = 7$ **2p**

Simulare