**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** Rația progresiei este $r = a_4 - a_3 = 6$ **3p**

$a_1 = a_3 - 2r = 7$ **2p**

**2.** $f(2) = 4 + a$ **2p**

$4 + a = 8$, de unde obținem $a = 4$ **3p**

**3.** $5^{2-x} - 5^{-4} \cdot 5^{2x} = 0$, deci $5^{2-x} = 5^{2x-4}$, de unde obținem $2 - x = 2x - 4$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** $C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} =$ **3p**

$= 15$ **2p**

**5.** $D(1,1)$ și $E(5,1)$ **2p**

$DE = 4$ **3p**

**6.** $\cos B = \frac{AB}{BC}$, deci $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{BC}$, de unde obținem $BC = 4\sqrt{3}$ **3p**

$R = \frac{BC}{2}$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului $ABC$, deci $R = 2\sqrt{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \cdot 4 - (-1) \cdot 2 =$ **3p**

$= 0 + 2 = 2$ **2p**

**b)** $M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$, $M(2) \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2M(1)$ **3p**

$2M(1) = xM(1)$, de unde obținem $x = 2$ **2p**

**c)** $M(a) - 2I_2 = \begin{pmatrix} a-2 & 1 \\ 2-2a & -a \end{pmatrix}$, $(M(a) - 2I_2) \cdot M(a) = \begin{pmatrix} a^2 - 4a + 2 & 0 \\ 0 & a^2 - 4a + 2 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$\begin{pmatrix} a^2 - 4a + 2 & 0 \\ 0 & a^2 - 4a + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2 & 0 \\ 0 & a+2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a = 0$ sau $a = 5$ **2p**

**2.a)** $9 \circ 8 = (9-6)(8-6) + 6 =$ **3p**

$= 6 + 6 = 12$ **2p**

**b)** $x \circ 7 = (x-6)(7-6) + 6 = x - 6 + 6 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$7 \circ x = (7-6)(x-6) + 6 = x - 6 + 6 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $x \circ \frac{6}{x} = \frac{6(x-6)(1-x)}{x} + 6$, pentru orice număr real nenul $x$ **2p**

$\frac{6(x-6)(1-x)}{x} + 6 = 6x \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$, de unde obținem $x=1$ sau $x=3$, care convin **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2x\sqrt{x} + (x^2 - 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =$ **3p**

$= \frac{5x^2 - 5}{2\sqrt{x}} = \frac{5(x-1)(x+1)}{2\sqrt{x}}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{x\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5(x-1)(x+1)}{2x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2\left(1 - \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{2x^2} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{5\left(1 - \frac{1}{x}\right)\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{2} = \frac{5}{2}$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$; pentru orice $x \in (0, 1]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ și, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

$x \in (0, 2] \Rightarrow x+2 \in (2, 4]$, deci $f(x) \ge f(1)$ și $f(x+2) \le f(4)$ și, cum $f(1) = -4$ și $f(4) = 22$, obținem $f(x+2) - f(x) \le 26$, pentru orice $x \in (0, 2]$ **3p**

**2.a)** $\int_1^2 (f(x) - 4\ln x) dx = \int_1^2 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right _1^2 =$ **3p**

$= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ **2p**

**b)** $\int_1^e \frac{f(x) - x^2}{x} dx = \int_1^e \frac{4\ln x}{x} dx = 4 \int_1^e \ln x (\ln x)' dx = \left. 2\ln^2 x \right _1^e =$ **3p**

$= 2\ln^2 e - 2\ln^2 1 = 2$ **2p**

**c)** $\int_1^2 (f(x)f''(x) + (f'(x))^2) dx = \int_1^2 (f(x)f'(x))' dx = \left. (f(x)f'(x)) \right _1^2 = f(2)f'(2) - f(1)f'(1)$ **3p**

$f'(x) = 2x + \frac{4}{x}, x \in (0, +\infty)$; $f'(1) = f'(2) = 6$, deci $6(f(2) - f(1)) = m(f(2) - f(1))$ și, cum $f(1) \neq f(2)$, obținem $m = 6$ **2p**

***