**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2-5i+i(5-3i)=5$, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=6x+m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(2)=15$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{2x+1}=7^x \cdot 7^2$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,5)$ și $B(4,2)$. Determinați distanța dintre punctul $A$ și mijlocul segmentului $OB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=5$ și $BC=5\sqrt{5}$. Arătați că $\sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x & x-3 \\ 3-x & x-4 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care $B(4) \cdot B(4) + I_2 = aB(4)$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = (x+y)(4-x-y)$.

**5p** **a)** Arătați că $0 * 3 = 3$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * 1 = 0$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N = (n+5) * (n-5)$ este natural.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x - 2\ln(x+1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2x^2+x-3}{x+1}$, $x \in (-1, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că $x^2 - x \ge 2\ln \frac{x+1}{2}$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 3x + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_0^3 (f(x)-3x)dx = 12$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_0^1 \frac{1}{(f(x)-x^2)^2} dx = \frac{1}{4}$.

**5p** **c)** Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{f(x)-x^2-1}{e^x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ este egală cu $3\left(1-\frac{2}{e}\right)$.

***