**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2-5i+i(5-3i)=2-5i+5i-3i^2=$ **3p**

$=2+3=5$ **2p**

**2.** $f(2)=12+m$, deci $12+m=15$ **3p**

$m=3$ **2p**

**3.** $7^{2x+1}=7^{x+2}$, de unde obținem $2x+1=x+2$ **3p**

$x=1$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $18$ numere care au cel puțin una dintre cifre egală cu $1$, deci sunt $18$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$ **3p**

**5.** $M(2,1)$ este mijlocul segmentului $OB$ **3p**

$AM=4$ **2p**

**6.** $\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{5\sqrt{5}} =$ **3p**

$= \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 =$ **3p**

$= 0+1=1$ **2p**

**b)** $B(4) = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $B(4) \cdot B(4) = \begin{pmatrix} 15 & 4 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ **3p**

$B(4) \cdot B(4) + I_2 = \begin{pmatrix} 16 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = 4B(4)$, deci $4B(4) = aB(4)$, de unde obținem $a=4$ **2p**

**c)** $A \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 3x-3 & x-2 \\ x & x-3 \end{pmatrix}$, $B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} 3x-3 & -x \\ -x+2 & x-3 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

Cum $\begin{pmatrix} 3x-3 & x-2 \\ x & x-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x-3 & -x \\ -x+2 & x-3 \end{pmatrix}$, obținem $x=1$ **2p**

**2.a)** $0 * 3 = (0+3)(4-0-3) =$ **3p**

$= 3 \cdot 1 = 3$ **2p**

**b)** $x * 1 = (x+1)(3-x)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$(x+1)(3-x) = 0$, de unde obținem $x=-1$ sau $x=3$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare \

Varianta 3

**c)** $(n+5) * (n-5) = 4n(2-n)$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

Cum $n$ și $N = 4n(2-n)$ sunt numere naturale, obținem $n=0$, $n=1$ și $n=2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2x - 1 - \dfrac{2}{x+1} =$ **3p**

$= \dfrac{2x^2 + 2x - x - 1 - 2}{x+1} = \dfrac{2x^2 + x - 3}{x+1}, \ x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(0) = 0, \ f'(0) = -3$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(0) = f'(0)(x - 0)$, adică $y = -3x$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$; pentru orice $x \in (-1, 1]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-1, 1]$ și, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

Pentru orice $x \in (-1, +\infty)$, $f(x) \ge f(1)$ și, cum $f(1) = -2\ln 2$, obținem $x^2 - x \ge 2\ln \dfrac{x+1}{2}$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int\limits_0^3 (f(x) - 3x) dx = \int\limits_0^3 (x^2 + 1) dx = \left( \dfrac{x^3}{3} + x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= \dfrac{27}{3} + 3 = 12$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^1 \dfrac{1}{(f(x) - x^2)^2} dx = \int\limits_0^1 \dfrac{1}{(3x+1)^2} dx = \dfrac{1}{3} \int\limits_0^1 \dfrac{(3x+1)'}{(3x+1)^2} dx = -\dfrac{1}{3(3x+1)} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= -\dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4}$ **2p**

**c)** $g(x) = 3xe^{-x}, \ x \in \mathbb{R}$, deci $\mathcal{A} = \int\limits_0^1 g(x) dx = \int\limits_0^1 3x(-e^{-x})' dx =$ **2p**

$= -3e^{-x}(x+1) \bigg _0^1 = 3\left( 1 - \dfrac{2}{e} \right)$ **3p**

***