**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Simulare**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{5}(2\sqrt{5}+\sqrt{10})-2-5\sqrt{2}=8$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x+7$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{3x} \cdot \frac{1}{3^3}=9^x$.

**5p** **4.** În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu $70\%$ din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă $10\%$ din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de $900$ de lei.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,5)$, $B(5,3)$, $C(8,4)$ și $D$, mijlocul segmentului $AB$. Arătați că triunghiul $ODC$ este isoscel.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $\sin B = \frac{1}{3}$. Arătați că $AC=\sqrt{2}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x + y - \frac{xy}{6} + 1$.

**5p** **1.** Arătați că $2 \circ 3 = 5$.

**5p** **2.** Arătați că $x \circ y = 7 - \frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ 4 = 4$.

**5p** **4.** Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m < n$, pentru care $m \circ n = \frac{1}{6}$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(0 \circ x) \circ (x+1) = 1$.

**5p** **6.** Determinați tripletele $(a,b,c)$ de numere reale, știind că numerele $a$, $b$ și $c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația $6$ și $b \circ c = -5$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x+1 \\ 1-x & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(B(1)) = 2$.

**5p** **2.** Arătați că $B(1) \cdot B(2) - B(2) = 11A$.

**5p** **3.** Determinați numărul real $a$ pentru care $\det(B(-1) + aA) = 0$.

**5p** **4.** Arătați că $B(-x) + 2B(x) = 3B\left(\frac{x}{3}\right)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot (B(x) + I_2) = B(x) \cdot A$.

**5p** **6.** Arătați că, pentru orice numere întregi $m$ și $n$, numărul $N = \det(B(2m) - B(2n+1))$ este natural, multiplu impar de $3$.

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare