**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică *M_pedagogic***

**Model**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră progresia aritmetică $(a_n)_{n \ge 1}$ cu $a_2 = 4$ și $a_3 = 6$. Calculați $a_1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - x + 4$. Arătați că $f(0) = f(1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3x-2} - 49 \cdot 7^x = 0$.

**5p** **4.** După ce parcurge $75\%$ din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs $2 \text{ km}$ până la finalul traseului. Calculați lungimea întregului traseu montan.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,3)$ și $B(5,7)$. Determinați lungimea segmentului $AC$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$.

**5p** **6.** Arătați că $4(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ) = 1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{x + y}{2} - 1$.

**5p** **1.** Arătați că $(-2) \circ 4 = 0$.

**5p** **2.** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **3.** Demonstrați că $(2x + 1) \circ 1 = x$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x^2 \circ x = 2$.

**5p** **5.** Arătați că $(x^2 + 3) \circ (4x + 5) \ge 1$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **6.** Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale, cu $m < n$, pentru care $m \circ n \le 0$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a-1 & a \\ a & a+1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(2)) = -1$.

**5p** **2.** Arătați că $A(2) + A(0) = 2A(1)$.

**5p** **3.** Arătați că $A(0) \cdot A(0) = I_2$.

**5p** **4.** Demonstrați că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a) + aI_2) = 11$.

**5p** **6.** Se consideră matricea $C(a,b) = aA(b) + bA(a)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați perechile $(a,b)$ de numere naturale pentru care suma elementelor matricei $C(a,b)$ este egală cu $24$.

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare