**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$ **3p**

$a_1 = 2$ **2p**

**2.** $f(0) = 4$ **2p**

$f(1) = 4$, deci $f(0) = f(1)$ **3p**

**3.** $7^{3x-2} = 7^{x+2}$, deci $3x - 2 = x + 2$, de unde obținem $2x = 4$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** $x - \frac{75}{100} \cdot x = 2$, unde $x$ reprezintă lungimea traseului **3p**

$x = 8 \text{ km}$ **2p**

**5.** $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ **3p**

$AC = 2AB = 10$ **2p**

**6.** $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **2p**

$4(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ) = 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $(-2) \circ 4 = \frac{-2 + 4}{2} - 1 =$ **3p**

$= 1 - 1 = 0$ **2p**

**2.** $y \circ x = \frac{y + x}{2} - 1 =$ **3p**

$= \frac{x + y}{2} - 1 = x \circ y$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **2p**

**3.** $(2x + 1) \circ 1 = \frac{2x + 1 + 1}{2} - 1 =$ **2p**

$= x + 1 - 1 = x$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**4.** $x^2 \circ x = \frac{x^2 + x}{2} - 1$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{x^2 + x}{2} - 1 = 2$, deci $x^2 + x - 6 = 0$, de unde obținem $x = -3$ sau $x = 2$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**5.** $(x^2+3) \circ (4x+5) = \frac{x^2+3+4x+5}{2}-1 = \frac{x^2+4x+6}{2}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{x^2+4x+6}{2} = \frac{x^2+4x+4}{2}+1 = \frac{(x+2)^2}{2}+1 \ge 1$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**6.** $m \circ n = \frac{m+n-2}{2}$, pentru orice numere naturale $m$ și $n$ **2p**

$\frac{m+n-2}{2} \le 0 \Leftrightarrow m+n \le 2$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, cu $m < n$, obținem perechile $(0,1)$ și $(0,2)$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 =$ **3p**

$= 3 - 4 = -1$ **2p**

**2.** $A(2) + A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2A(1)$ **2p**

**3.** $A(0) \cdot A(0) = \begin{pmatrix} (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 0 & (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ **2p**

**4.** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a-1 & a \\ a & a+1 \end{vmatrix} = (a-1)(a+1) - a^2 =$ **3p**

$= a^2 - 1 - a^2 = -1$, deci $\det(A(a)) \neq 0$, de unde obținem că matricea $A(a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$ **2p**

**5.** $A(a) + aI_2 = \begin{pmatrix} 2a-1 & a \\ a & 2a+1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(a) + aI_2) = 3a^2 - 1$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$3a^2 - 1 = 11$, de unde obținem $a = -2$ sau $a = 2$ **2p**

**6.** $C(a,b) = aA(b) + bA(a) = \begin{pmatrix} 2ab-a-b & 2ab \\ 2ab & 2ab+a+b \end{pmatrix}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale **2p**

$8ab = 24$, deci $ab = 3$ și, cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, obținem perechile $(1,3)$ și $(3,1)$ **3p**

***

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

Model