**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Varianta 3**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{2}(\sqrt{2}+3)-3\sqrt{2}+2=4$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=2x+3$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=g(m)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{4x-3}=2^{2-x}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, numărul $2n+1$ să aparțină mulțimii $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,0)$ și $B(0,4)$. Calculați aria triunghiului $AOB$.

**5p** **6.** Arătați că $(\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ})(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = \sin 45^{\circ} \cdot \cos 45^{\circ}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = 3xy - 2(x+y-1)$.

**5p** **1.** Arătați că $1 \circ 2 = 2$.

**5p** **2.** Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **3.** Determinați numărul real $x$ pentru care $(x \circ 2) + (x \circ 3) = 5$.

**5p** **4.** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $(3n+1) \circ 1 < 7$.

**5p** **5.** Demonstrați că $x \circ y = 3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right) + \frac{2}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **6.** Arătați că $\frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \circ \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} = \frac{2}{3}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(1)) = 1$.

**5p** **2.** Demonstrați că $I_2 + A(a-1) = A(a)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **3.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a)) = a$.

**5p** **4.** Determinați numărul real $a$ pentru care $A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$.

**5p** **5.** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X \cdot A(1) = A(2)$.

**5p** **6.** Demonstrați că $\det(A(a) + I_2) \geq 0$, pentru orice număr real $a$.

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare