**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{2}(\sqrt{2}+3)-3\sqrt{2}+2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2 =$ **2p**

$= 2 + 2 = 4$ **3p**

**2.** $f(m) = 3m + 2$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$g(m) = 2m + 3$, pentru orice număr real $m$, deci $3m + 2 = 2m + 3$, de unde obținem $m = 1$ **3p**

**3.** $4x - 3 = 2 - x$, de unde obținem $5x = 5$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Numerele $n$, din mulțimea $A$, pentru care numărul $2n+1$ aparține mulțimii $A$ sunt 1, 2, 3 și 4, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \dfrac{4}{9}$ **3p**

**5.** $AO = 3$, $BO = 4$ **3p**

Cum triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, obținem $\mathcal{A}_{\Delta AOB} = \dfrac{AO \cdot BO}{2} = 6$ **2p**

**6.** $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ **3p**

$(\sin 60^\circ + \sin 30^\circ)(\sin 60^\circ - \sin 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ \Leftrightarrow \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $1 \circ 2 = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 2(1 + 2 - 1) =$ **3p**

$= 6 - 4 = 2$ **2p**

**2.** $x \circ 1 = 3 \cdot x \cdot 1 - 2(x + 1 - 1) = 3x - 2x = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$1 \circ x = 3 \cdot 1 \cdot x - 2(1 + x - 1) = 3x - 2x = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**3.** $(x \circ 2) + (x \circ 3) = 4x - 2 + 7x - 4 = 11x - 6$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$11x - 6 = 5$, de unde obținem $x = 1$ **2p**

**4.** $(3n + 1) \circ 1 = 3n + 1$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$3n + 1 < 7$, de unde obținem $n < 2$ și, cum $n$ este număr natural, rezultă $n = 0$ și $n = 1$ **3p**

**5.** $x \circ y = 3xy - 2x - 2y + \dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3} = 3x\left(y - \dfrac{2}{3}\right) - 2\left(y - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{2}{3} =$ **3p**

$= 3\left(x - \dfrac{2}{3}\right)\left(y - \dfrac{2}{3}\right) + \dfrac{2}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**6.** $x \circ \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \circ x = \frac{2}{3}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\left( \frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \right) \circ \left( \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} \right) = \frac{2}{3} \circ \left( \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} \right) = \frac{2}{3}$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 0 + 1 = 1$ **2p**

**2.** $I_2 + A(a-1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & -1 \\ 1 & a-2 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} a+1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix} = A(a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**3.** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a+1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{vmatrix} = (a+1) \cdot (a-1) - 1 \cdot (-1) = a^2$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a^2 = a$, de unde obținem $a=0$ sau $a=1$ **2p**

**4.** $A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} a+1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a+1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+2a & -2a \\ 2a & a^2-2a \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$\begin{pmatrix} a^2+2a & -2a \\ 2a & a^2-2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a=2$ **2p**

**5.** Inversa matricei $A(1)$ este matricea $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ **3p**

$X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ **2p**

**6.** $A(a) + I_2 = \begin{pmatrix} a+2 & -1 \\ 1 & a \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(a) + I_2) = a^2 + 2a + 1$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 \geq 0$, pentru orice număr real $a$ **2p**

***

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare \