**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $b_1$ al progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, în care $b_3 = 40$ și $b_4 = 80$.

**5p** **2.** Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care graficul funcției $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x + m$ intersectează axa $Ox$ în două puncte distincte.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x + 2 \cdot 3^{x+1} = 63$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $n^2$ să fie număr natural de trei cifre.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(7,4)$ și $C$, astfel încât $\vec{AB} = 2\vec{AC}$. Determinați coordonatele punctului $D$ pentru care $\vec{OD} = \vec{CB}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB = 10$, înălțimea $AD = 8$ și distanța de la punctul $D$ la dreapta $AC$ egală cu $4\sqrt{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $56$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} ax + y - az = 1 \\ 3x + y - 2z = 1 \\ x - 3y + az = -3 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = -2$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea numerelor reale $a$ pentru care sistemul are soluție unică.

**5p** **c)** Pentru $a = 1$, determinați soluțiile $(x_1, y_1, z_1)$ și $(x_2, y_2, z_2)$ ale sistemului de ecuații pentru care $y_1 = x_2$ și $z_1 = y_2$.

**2.** Pe mulțimea $M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y = \sqrt{xy} + \frac{1}{\sqrt{xy}} + \frac{x+y}{2} - 2$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 4 = 3$.

**5p** **b)** Determinați $x \in M$ pentru care $x * x = 1$.

**5p** **c)** Demonstrați că mulțimea $[1, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2x-2}{x+2} + \ln \frac{x+2}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{4(x-1)}{x(x+2)^2}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care ecuația $f(x) = n$ **nu** are soluții.

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}}{2 x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{-1}^{2}\left(2 x^{2}+1\right) f(x) d x=3$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{0}^{2} \sqrt{f(x)} d x=1$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{f\left(\sqrt{e^{x}}\right)} d x$. Arătați că $$(n+1) I_{n}-I_{n+1}=\frac{2(n+1)}{n+2}+\frac{1}{e} \text {, pentru orice număr natural nenul } n \text {. }$$

Simulare