**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Se consideră numerele complexe $z_1 = 4 + i$ și $z_2 = 2 - 4i$. Arătați că $i \cdot z_1 + z_2 = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 3x + 5$. Determinați numerele reale $a$ pentru care punctul $A(a, 5)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_6(7x - 5) = \log_6(x + 1) + \frac{1}{\log_x 6}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 9.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 0)$, $B(2, 4)$ și $C(5, a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $OB$ și $AC$ sunt paralele.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB = 6$, $BC = 10$ și $\cos B = \frac{4}{5}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu 18.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ -x & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 1$.

**5p** **b)** Arătați că $A - B(x) \cdot A = xI_3$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $C(x)$ astfel încât $A \cdot C(x) = B(x)$. Arătați că $C(x) - C(y) = (y - x)A$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x^2y + xy^2 + x + y$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 3 = 16$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale nenule $x$ pentru care $x * \frac{2}{x} = 9x$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi, cu $m \le n$, pentru care $m * n = 1$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{1 - 3\ln x}{x^4}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție.

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+x^2-1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_1^4\left(f(x)-e^x\right) d x=18$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_1^2 \frac{e^x}{f(x)-x^2} d x=\ln (e+1)$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_0^1 \frac{x}{f(x)+1} d x \leq 1-\frac{2}{e}$.

Model