**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $q = \frac{b_4}{b_3} = 2$, unde $q$ este rația progresiei geometrice **2p**

$b_1 = \frac{b_3}{q^2}$, deci $b_1 = \frac{40}{4} = 10$ **3p**

**2.** $f(x) = 0$ are două soluții reale distincte, deci $4 - 4m > 0$ **3p**

$m \in (-\infty, 1)$ **2p**

**3.** $3^x + 6 \cdot 3^x = 63$, deci $3^x = 9$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Cum $10^2 \le n^2 \le 31^2$, obținem 22 de cazuri favorabile, deci $p = \frac{22}{90} = \frac{11}{45}$ **3p**

**5.** $\vec{CB} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ și $\vec{AB} = 6\vec{i} + 2\vec{j}$ **3p**

$\vec{OD} = 3\vec{i} + \vec{j}$, deci punctul $D$ are coordonatele $(3, 1)$ **2p**

**6.** $DC = 8$, $BD = 6$ **3p**

$BC = 14$ și $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{BC \cdot AD}{2} = \frac{14 \cdot 8}{2} = 56$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 - 2 + 0 - 0 - 0 - 0 = -2$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a & 1 & -a \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & a \end{vmatrix} = a^2 + a - 2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$\det(A(a)) = 0 \Leftrightarrow a = -2$ sau $a = 1$, deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 1\}$ **3p**

**c)** Pentru $a = 1$, soluțiile sistemului de ecuații sunt $(\alpha, \alpha + 1, 2\alpha)$, cu $\alpha \in \mathbb{C}$ **2p**

$\alpha_1 + 1 = \alpha_2$ și $2\alpha_1 = \alpha_2 + 1$, de unde obținem $\alpha_1 = 2$ și $\alpha_2 = 3$, deci soluțiile sunt $(2, 3, 4)$ și $(3, 4, 6)$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $1 * 4 = \sqrt{1 \cdot 4} + \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 4}} + \frac{1 + 4}{2} - 2 =$ **3p**

$= 2 + \frac{1}{2} + \frac{5}{2} - 2 = 3$ **2p**

**b)** $x * x = \frac{2x^2 - 2x + 1}{x}$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$\frac{2x^2 - 2x + 1}{x} = 1$, deci $2x^2 - 3x + 1 = 0$, de unde obținem $x = \frac{1}{2}$ sau $x = 1$, care convin **3p**

**c)** $x * y = \frac{\left(\sqrt{xy} - 1\right)^2}{\sqrt{xy}} + \frac{x + y}{2} \ge \frac{x + y}{2}$, pentru orice $x, y \in M$ **3p**

Pentru $x, y \in [1, +\infty)$, rezultă $\frac{x + y}{2} \ge 1$, deci $x * y \in [1, +\infty)$, de unde obținem că $[1, +\infty)$ este parte stabilă a mulțimii $M$ în raport cu legea de compoziție „$*$” **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{2(x+2) - (2x-2)}{(x+2)^2} + \frac{x}{x+2} \cdot \frac{x - (x+2)}{x^2} =$ **3p**

$= \frac{6}{(x+2)^2} - \frac{2}{x(x+2)} = \frac{4(x-1)}{x(x+2)^2}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x-2}{x+2} + \ln \frac{x+2}{x} \right) = 2 + 0 = 2$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 2$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$; pentru orice $x \in (0, 1]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$ și, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$, $f(1) = \ln 3$, $f$ este continuă și, cum $1 < \ln 3 < 2$, obținem $n = 0$ sau $n = 1$ **3p**

**2.a)** $\int_{-1}^2 (2x^2 + 1) f(x) dx = \int_{-1}^2 x^2 dx = \frac{x^3}{3} \bigg _{-1}^2 =$ **3p**

$= \frac{8}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = 3$ **2p**

**b)** $\int_0^2 \sqrt{f(x)} dx = \int_0^2 \frac{x}{\sqrt{2x^2 + 1}} dx = \frac{1}{2} \int_0^2 \frac{(2x^2 + 1)'}{2\sqrt{2x^2 + 1}} dx = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 1} \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ **2p**

**c)** $I_n = \int_0^1 x^n \left( 2 + e^{-x} \right) dx$, $(n+1)I_n - I_{n+1} = \int_0^1 \left( (n+1)x^n - x^{n+1} \right) \left( 2 + e^{-x} \right) dx =$ **2p**

$= 2x^{n+1} \bigg _0^1 - \frac{2x^{n+2}}{n+2} \bigg _0^1 + \int_0^1 (x^{n+1} e^{-x})' dx = 2 - \frac{2}{n+2} + x^{n+1} e^{-x} \bigg _0^1 = \frac{2(n+1)}{n+2} + \frac{1}{e}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

***