**Examenul național de bacalaureat 2025**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $i \cdot z_1 + z_2 = 4i + i^2 + 2 - 4i =$ **3p**

$= -1 + 2 = 1$ **2p**

**2.** $f(a) = 5$, de unde obținem $a^2 - 3a = 0$ **3p**

$a = 0$ sau $a = 3$ **2p**

**3.** $\log_6(7x - 5) = \log_6(x^2 + x)$, deci $7x - 5 = x^2 + x$, de unde obținem $x^2 - 6x + 5 = 0$ **3p**

$x = 1$, care nu convine, sau $x = 5$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele $27$, $45$, $63$, $81$ și $99$ sunt multiplii impari de $9$, deci sunt $5$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}$ **3p**

**5.** $m_{OB} = 2$ **2p**

$m_{AC} = \frac{a}{3}$ și, cum $m_{OB} = m_{AC}$, obținem $a = 6$ **3p**

**6.** $\sin B = \frac{3}{5}$ **3p**

$\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot BC \cdot \sin B}{2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 18$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 0 =$ **3p**

$= 0 + 1 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1$ **2p**

**b)** $B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} -x & 0 & 1 \\ -1 & -x & 0 \\ 0 & -1 & -x \end{pmatrix}$, $A - B(x) \cdot A = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} =$ **3p**

$= x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = xI_3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $C(x) = A^{-1} \cdot B(x) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -x \\ x & 0 & -1 \\ 1 & x & 0 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$C(x) - C(y) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -x + y \\ x - y & 0 & 0 \\ 0 & x - y & 0 \end{pmatrix} = (y - x)A$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $1 * 3 = 1^2 \cdot 3 + 1 \cdot 3^2 + 1 + 3 =$ **3p**

$= 3 + 9 + 4 = 16$ **2p**

**b)** $x * \frac{2}{x} = \frac{3x^2 + 6}{x}$, pentru orice număr real nenul $x$ **3p**

$\frac{3x^2 + 6}{x} = 9x$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 1$, care convin **2p**

**c)** $m * n = (m + n)(mn + 1)$, pentru orice numere întregi $m$ și $n$ **2p**

$(m + n)(mn + 1) = 1$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere întregi, cu $m \leq n$, obținem perechile $(0,1)$ și $(-2,1)$ **3p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^3 - 3x^2 \ln x}{x^6} =$ **3p**

$= \frac{x^2 - 3x^2 \ln x}{x^6} = \frac{1 - 3 \ln x}{x^4}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{3x^2} = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = \sqrt[3]{e}$ ; pentru orice $x \in (0, \sqrt[3]{e}]$, $f'(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(0, \sqrt[3]{e}]$ și, pentru orice $x \in [\sqrt[3]{e}, +\infty)$, $f'(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[\sqrt[3]{e}, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$, $f(\sqrt[3]{e}) = \frac{1}{3e}$ și $f$ este continuă, deci mulțimea numerelor reale $m$ pentru care ecuația $f(x) = m$ are cel puțin o soluție este $\left(-\infty, \frac{1}{3e}\right]$ **3p**

**2.a)** $\int_1^4 (f(x) - e^x) dx = \int_1^4 (x^2 - 1) dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - x \right) \right _1^4 =$ **3p**

$= \frac{64}{3} - 4 - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = 18$ **2p**

**b)** $\int_1^2 \frac{e^x}{f(x) - x^2} dx = \int_1^2 \frac{e^x}{e^x - 1} dx = \int_1^2 \frac{(e^x - 1)'}{e^x - 1} dx = \left. \ln(e^x - 1) \right _1^2 =$ **3p**

$= \ln(e^2 - 1) - \ln(e - 1) = \ln(e + 1)$ **2p**

**c)** $\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} dx = \int_0^1 \frac{x}{e^x + x^2} dx$ și, cum $e^x + x^2 \geq e^x$, pentru orice $x \in [0,1]$, obținem relația $\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} dx \leq \int_0^1 x e^{-x} dx$ **3p**

$\int_0^1 x e^{-x} dx = \int_0^1 x (-e^{-x})' dx = \left. -e^{-x}(x + 1) \right _0^1 = 1 - \frac{2}{e}$, deci $\int_0^1 \frac{x}{f(x) + 1} dx \leq 1 - \frac{2}{e}$ **2p**

***