**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, cu $a_2 = 14$ și $a_3 = 18$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 2$. Arătați că $(f \circ f)(5) = 9$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{x^2 + 2x + 1} = \sqrt[3]{1 - x}$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1, 2, 3, 7, 9\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2, 1)$. Determinați coordonatele punctului $B$ pentru care $\vec{AB} = 2\vec{OA}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC = 12$ și $AB = \frac{BC}{2}$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $18\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(B(1)) = 0$.

**5p** **b)** Arătați că $B(x) \cdot B(y) - B(x + y) = xyA$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $B(x) \cdot B(x + 1) - B(2x) \cdot B(1) = xA$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 + aX^2 + X + 2 - a$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(1) = 4$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **b)** Pentru $a = 2$, determinați rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $(x_1 - x_1^2)(x_2 - x_2^2)(x_3 - x_3^2) = 4$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^2 - 2)e^{2x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = 2e^{2x}(x^2 + x - 2)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{f'(x)}$.

**5p** **c)** Determinați imaginea funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^4 + 6x^2 + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{-1}^1 (f(x) - 6x^2) dx = \frac{12}{5}$.

***

Varianta 3 \

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{6} \frac{x^3}{f(x)-1} dx = \frac{\ln 6}{2}$.

**5p** **c)** Arătați că $\lim\limits_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int\limits_{0}^{x} (f(2t) - f(t)) dt \right) = 6$.