**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 3**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \Rightarrow 14 = \frac{a_1 + 18}{2}$ **3p**

$a_1 = 10$ **2p**

**2.** $f(5) = 7$ **2p**

$(f \circ f)(5) = f(f(5)) = f(7) = 9$ **3p**

**3.** $x^2 + 2x + 1 = 1 - x$, de unde obținem $x^2 + 3x = 0$ **3p**

$x = -3$ sau $x = 0$ **2p**

**4.** Cifra unităților se poate alege în 4 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se pot forma $4 \cdot 4 = 16$ numere **3p**

**5.** $\vec{OA} = 2\vec{i} + \vec{j}$, $\vec{AB} = (x_B - 2)\vec{i} + (y_B - 1)\vec{j}$, unde $B(x_B, y_B)$ **3p**

$(x_B - 2)\vec{i} + (y_B - 1)\vec{j} = 4\vec{i} + 2\vec{j}$, de unde obținem $x_B = 6$ și $y_B = 3$ **2p**

**6.** $AB = 6$, $AC = 6\sqrt{3}$ **2p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{6 \cdot 6\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $B(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 2 + 0 + 0 - 0 - 2 - 0 = 0$ **3p**

**b)** $B(x) \cdot B(y) - B(x+y) = \begin{pmatrix} 2^{x+y} & 0 & 0 \\ 0 & 1+xy & y+x \\ 0 & x+y & xy+1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2^{x+y} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x+y \\ 0 & x+y & 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & xy & 0 \\ 0 & 0 & xy \end{pmatrix} = xyA$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**c)** $B(x) \cdot B(x+1) = B(2x+1) + (x^2+x)A$, $B(2x) \cdot B(1) = B(2x+1) + 2xA$, de unde obținem **3p**

$B(x) \cdot B(x+1) - B(2x) \cdot B(1) = (x^2-x)A$, pentru orice număr real $x$

$(x^2-x)A = xA$, de unde obținem $x=0$ sau $x=2$ **2p**

**2.a)** $f(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + 1 + 2 - a =$ **3p**

$= 1 + a + 1 + 2 - a = 4$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

**b)** $f = X^3 + 2X^2 + X = X\left(X^2 + 2X + 1\right)$ **2p**

Rădăcinile polinomului sunt $x_1 = x_2 = -1$ și $x_3 = 0$ **3p**

**c)** $x_1x_2x_3 = -2 + a$, $\left(x_1 - x_1^2\right)\left(x_2 - x_2^2\right)\left(x_3 - x_3^2\right) = x_1x_2x_3(1 - x_1)(1 - x_2)(1 - x_3) = (-2 + a)f(1)$ **3p**

$4(-2 + a) = 4$, de unde obținem $a = 3$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \left(x^2 - 2\right)'e^{2x} + \left(x^2 - 2\right)\left(e^{2x}\right)' =$ **2p**

$= 2xe^{2x} + \left(x^2 - 2\right) \cdot 2e^{2x} = 2e^{2x}\left(x^2 + x - 2\right), x \in \mathbb{R}$ **3p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{f'(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2}{2\left(x^2 + x - 2\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2\left(1 - \frac{2}{x^2}\right)}{2x^2\left(1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}\right)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x^2}}{2\left(1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}\right)} = \frac{1}{2}$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2$ sau $x = 1$; pentru orice $x \in (-\infty, -2]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $(-\infty, -2]$; pentru orice $x \in [-2, 1]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-2, 1]$ și pentru orice $x \in [1, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty)$ **3p**

Cum $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $f(1) = -e^2$ și $f$ este continuă, imaginea funcției $f$ este $[-e^2, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_{-1}^1 \left(f(x) - 6x^2\right) dx = \int_{-1}^1 \left(x^4 + 1\right) dx = \left.\left(\frac{x^5}{5} + x\right)\right _{-1}^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{5} + 1 + \frac{1}{5} + 1 = \frac{12}{5}$ **2p**

**b)** $\int_1^6 \frac{x^3}{f(x) - 1} dx = \int_1^6 \frac{x}{x^2 + 6} dx = \frac{1}{2} \int_1^6 \frac{(x^2 + 6)'}{x^2 + 6} dx = \left.\frac{1}{2} \ln(x^2 + 6)\right _1^6 =$ **3p**

$= \frac{\ln 42}{2} - \frac{\ln 7}{2} = \frac{\ln 6}{2}$ **2p**

**c)** $\lim_{x \to 0} \left[\frac{1}{x^3} \int_0^x (f(2t) - f(t)) dt\right] = \lim_{x \to 0} \frac{\left[\int_0^x (f(2t) - f(t)) dt\right]'}{(x^3)'} = \lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(x)}{3x^2} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{15x^4 + 18x^2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \left(5x^2 + 6\right) = 6$ **2p**

***