**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 20**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numărul $A=z(2+3 i)+\bar{z}(2-3 i)$ este real, pentru orice număr complex $z$, unde $\bar{z}$ este conjugatul lui $z$.

**5p** **2.** Se consideră $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-6 x+7$. Arătați că $f(\sqrt{2}) \cdot f(1+\sqrt{2}) \cdot f(2+\sqrt{2}) \cdot \ldots \cdot f(10+\sqrt{2})=0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg \left(x^{2}+x-2\right)=1+\lg \frac{x-1}{2}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie mai mare decât 51 .

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A(4,6), B(-3,-1)$ și $C(-2,-2)$. Arătați că punctul $M(1,2)$ este centrul cercului circumscris triunghiului $A B C$.

**5p** **6.** Se consideră $R$, raza cercului circumscris triunghiului $A B C$ și $r$, raza cercului înscris în triunghiul $A B C$. Știind că $\sin A+\sin B+\sin C=\frac{1}{r R}$, arătați că aria triunghiului $A B C$ este egală cu 1 .

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(m)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m \\ 1 & -m & -1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} 2 x+y+m z=4 \\ 4 x+y+m z=6 \\ x-m y-z=-1 \end{cases}$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=2$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care matricea $A(m)$ este inversabilă.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice $m \in \mathbb{R} \setminus\{-1,1\}$, soluția $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ a sistemului de ecuații verifică relația $\frac{y_{0}}{z_{0}}=x_{0}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=x \sqrt{y^{2}+1}+y \sqrt{x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $2 *(-2)=0$.

**5p** **b)** Verificați dacă $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{2 x}-1}{2 e^{x}}$. Arătați că $f(x) * f(y)=f(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}}{\sqrt{x^{2}+1}}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}\left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}, x \in \mathbb{R}$.

***

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$.

**5p** **c)** Determinați imaginea funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x^2+4}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{2} f(x) dx = \frac{\pi}{8}$.

**5p** **b)** Pentru fiecare număr natural $n$, considerăm numărul $I_n = \int\limits_{0}^{1} f^n(x) dx$. Arătați că $\lim_{n \to \infty} I_n = 0$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a > 0$, pentru care $\int\limits_{0}^{a} x f(x) dx = \frac{1}{2} \ln \frac{5}{4}$.