**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 19**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră progresia geometrică $\left(b_{n}\right)_{n \geq 1}$ cu $b_{1}=2$ și rația $q=\sqrt{5}$. Calculați partea întreagă a lui $b_{4}$.

**5p** **2.** Se consideră funcția bijectivă $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=2 x-3$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $f^{-1}$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{2}\left(2 x^{2}+x+1\right)-\log _{2}\left(x^{2}-x+2\right)=1$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, suma cifrelor sale să fie divizibilă cu 11.

**5p** **5.** Se consideră vectorii $\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}$ și $\vec{v}=a \vec{i}-2 \vec{j}$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $ \vec{u}+\vec{v} ^{2}= \vec{u} ^{2}+ \vec{v} ^{2}$.

**5p** **6.** Arătați că, dacă $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ astfel încât $\sin x+\cos x=\sqrt{2} \cos x$, atunci $x=\frac{\pi}{8}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(m)=\begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 2 & m+1 & 1 \\ 1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} m x+y+z=1 \\ 2 x+(m+1) y+z=2 \\ x+y+(m+1) z=m+1 \end{cases}$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=0$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru $m=-3$, sistemul de ecuații **nu** are soluții.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice număr real $m$, sistemul de ecuații are cel mult o soluție.

**2.** Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $z_{1} \circ z_{2}=z_{1}+z_{2}-\frac{1}{2} \bar{z}_{1}-\frac{1}{2} \bar{z}_{2}$, unde $\bar{z}$ este conjugatul lui $z$.

**5p** **a)** Arătați că $(1+i) \circ(1-i)=1$.

**5p** **b)** Se consideră $H=\{2+b i \mid b \in \mathbb{R}\}$. Arătați că $H$ este parte stabilă a lui $\mathbb{C}$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$”.

**5p** **c)** Se consideră numărul complex $z_{0}$. Arătați că există o infinitate de numere complexe $z$ cu proprietatea că numărul $z_{0} \circ z$ este real.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x^{3}-3 x+2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{\left(x^{3}-3 x+2\right)^{2}}}, x \in(1,+\infty)$.

***

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1}$.

**5p** **c)** Arătați că, pentru orice $a \in (0, +\infty)$, ecuația $f(x) = a$ are soluție unică.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \left(x^2 + 2\right) e^{-x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{4} e^x f(x) dx = 27$.

**5p** **b)** Calculați $\int_{1}^{e} f(\ln x) dx$.

**5p** **c)** Arătați că $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) dt = 2$.