**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 18**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că, dacă $z=3+i$, unde $z$ este număr complex, atunci $z^2-6z+10=0$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+2x-6$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x+3}=x+1$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie un număr prim.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$ și $B(3,-1)$. Știind că punctul $M$ este simetricul lui $A$ față de $B$ și punctul $N$ este simetricul lui $B$ față de $M$, determinați coordonatele punctului $N$.

**5p** **6.** Arătați că, dacă $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ și $\sin x + \cos x = \cos 2x$, atunci $\sin x - \cos x = -1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A(x)=\begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=2$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați rangul matricei $B = A(1) \cdot A(2) \cdot A(3) - I_3$.

**2.** Pe mulțimea numerelor raționale se definește legea de compoziție $x * y = x^2y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 6$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 1 = 3$.

**5p** **b)** Arătați că $x * y \neq 2$, pentru orice numere raționale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi pentru care $m * n = 3$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 + 2x - 2\ln(x+1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2x(x+2)}{x+1}$, $x \in (-1, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a \in (-1, +\infty)$, știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = 3x + 2020$.

**5p** **c)** Demonstrați că $(x+1)^2 \geq 2\ln(x+1) + 1$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x^2+2}$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \int\limits_0^1 x^n f(x) dx$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^3 f^2(x) dx = 15$.

***

**5p** **b)** Demonstrați că $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$.

: :

**5p** **c)** Arătați că $(n+2)I_n + 2(n-1)I_{n-2} = 3\sqrt{3}$, pentru orice număr natural $n$, $n \ge 3$.

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>