**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 17**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că, dacă $z^2+z+2=0$, unde $z$ este număr complex, atunci $z^2+\frac{4}{z^2}=-3$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\{2x\}$, unde $\{x\}$ reprezintă partea fracționară a lui $x$. Arătați că $f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f(x)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x+1}-3^x=2^{x+2}-2^{x+1}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $a$ din mulțimea $A=\{\sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, \ldots, \sqrt{25}\}$, numerele $3, 4$ și $a$ să reprezinte lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

**5p** **5.** Se consideră paralelogramul $ABCD$ și punctele $M$ și $N$ astfel încât $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4} \overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$. Demonstrați că punctele $D, M$ și $N$ sunt coliniare.

**5p** **6.** Arătați că, dacă $ABC$ este un triunghi oarecare, atunci $\cos A < \frac{1}{2}\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(m)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} x+2y+z=0 \\ 2x+my+z=0 \\ x-3y+2z=0 \end{cases}$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(m))=m-9$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$ pentru care sistemul de ecuații admite soluții diferite de $(0,0,0)$.

**5p** **c)** Pentru $m=9$, se consideră $(x_0, y_0, z_0)$ o soluție a sistemului de ecuații, cu $x_0, y_0$ și $z_0$ numere reale astfel încât $(x_0, y_0, z_0) \neq (0,0,0)$. Calculați $\frac{x_0^2+y_0^2-z_0^2}{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție $x * y = xy + 5x + 5y + 20$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * (-1) = 23$.

**5p** **b)** Demonstrați că $e = -4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Pentru $r \in \{0,1,2\}$, notăm cu $A(r)$ mulțimea numerelor naturale care au restul $r$ la împărțirea cu $3$. Determinați numerele $r \in \{0,1,2\}$ pentru care $A(r)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)\left(e^x-e\right)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=xe^x-e$, $x \in (-1, +\infty)$.

***

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați punctul de extrem al funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f:(-2,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{\ln (x+2)}{x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} \frac{f(x)}{\ln (x+2)} d x=\frac{\pi}{4}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int\limits_{0}^{x} f(t) d t$.

**5p** **c)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1}\left(f(x)+\frac{\operatorname{arctg} x}{x+2}\right) d x=\frac{\pi}{4} \ln 3$.

Test 17