**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 16**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Determinați numărul de elemente ale mulțimii $A = \left\{ x \in \mathbb{Z} \middle -\sqrt{5} < x < \sqrt{7} \right\}$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x + a$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = -x^2 + 2bx + 1$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că parabolele asociate celor două funcții au același vârf.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} = 2$.

**5p** **4.** Arătați că **nu** există nicio mulțime finită care să aibă exact 12 submulțimi cu 2 elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$, $B(-4,3)$ și $C(5,0)$. Arătați că punctul $H(4,7)$ este ortocentrul triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Calculați $\cos x$, știind că $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ și $2\left( \cos^4 x - \sin^4 x \right) = -1$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 9 & 6 & 3 \end{pmatrix}$, $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $B = I_3 + A$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 0$.

**5p** **b)** Arătați că matricea $I_3 - \frac{1}{11}A$ este inversa matricei $B$.

**5p** **c)** Dați exemplu de trei matrice $U, V, T \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, de rang 1, astfel încât $U + V + T = B$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy - 3x - 3y + a$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Determinați numărul real $a$ pentru care $(-1) * 1 = 0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care legea de compoziție „$*$” admite element neutru.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $a \in [12, +\infty)$, atunci mulțimea $[3, +\infty)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea de compoziție „$*$”.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to (0,1)$, $f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right)$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Calculați $\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)^{\sqrt{n}}$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1}\left(x^{4}+1\right) f(x) d x=\frac{1}{3}$.

**5p** **b)** Demonstrați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) d x \leq \frac{\pi}{8}$.

**5p** **c)** Se consideră primitiva $F$ a lui $f$ pentru care $F(1)=0$. Calculați $\int\limits_{0}^{1} F(x) d x$.

Test 16