Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 15**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați numărul complex $z$, pentru care $z = 3\overline{z}$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că numerele $f(0)$, $f(2)$ și $f(1)$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(-x) = \log_3(x^2 - 2x - 2)$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{0, 1, 2, \dots, 9\}$, pătratul acestui număr să aparțină mulțimii $A$.

**5p** **5.** Se consideră punctele $A$, $B$, $C$ și $D$, astfel încât $\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{0}$. Demonstrați că $\vec{AD} + \vec{CB} = \vec{0}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ cu $BC = R$, unde $R$ este raza cercului circumscris triunghiului. Calculați măsura unghiului $A$ al triunghiului $ABC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(a)) = 1$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **b)** Se consideră matricea $B(a) = A(a) - I_3$, unde $a$ este număr real. Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, $B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = O_3$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural nenul $n$, știind că suma elementelor matricei $X$ pentru care $A(2) \cdot X = A(1) + A(2) + \dots + A(n)$ este egală cu $21$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x^2 + 4xy + y^2$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2 = 13$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x * x) * x^2 = 61$.

**5p** **c)** Demonstrați că există o infinitate de numere iraționale $a$ pentru care numărul $a * 1$ este natural.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 + 3}}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{3(x + 1)}{(x^2 + 3)\sqrt{x^2 + 3}}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim\limits_{x \to +\infty} (f(x))^x$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x^5 + 2\sqrt{x^{10} + 3} \ge 3$, pentru orice număr real $x$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}+\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{3}(f(x)-\ln x) d x=\frac{26}{3}$.

**5p** **b)** Calculați $\int_{1}^{2}\left(f(x)-x^{2}\right) d x$.

**5p** **c)** Arătați că $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} f\left(\frac{1}{x}\right) d x=\frac{3-4 \ln ^{2} 2}{8}$.

Test 15