Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 14**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numerele $\log_3 5$, $\sqrt{2}$ și $\log_5 9$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

**5p** **2.** Se consideră o funcție $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Demonstrați că funcția $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = f(x) - f(-x)$ este impară.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x + 3^{\frac{1}{2}-x} = 1 + \sqrt{3}$.

**5p** **4.** Determinați termenul care îl conține pe $x^{10}$ din dezvoltarea $\left(x^3 + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{20}$, unde $x \in \mathbb{R}^*$.

**5p** **5.** În planul triunghiului $ABC$ se consideră punctul $G$, astfel încât $3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. Demonstrați că $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Determinați $x \in (0, \pi)$, știind că $\sin 2x - 3\sin x - 2\cos x + 3 = 0$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $M(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 1$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice număr real $m$, rangul matricei $M(m)$ este diferit de 2.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$, $m \neq 1$, știind că inversa matricei $M(m)$ este matricea $A$.

**2.** Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție $z_1 \circ z_2 = z_1 + z_2 + z_1 z_2$.

**5p** **a)** Arătați că $(1+i) \circ (2-i) = 6+i$.

**5p** **b)** Demonstrați că numărul $z \circ \overline{z}$ este număr real, pentru orice număr complex $z$.

**5p** **c)** Determinați numerele complexe $z$ pentru care $z \circ z = -2$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \ln \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + x + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Calculați $\lim_{n \to +\infty} (f(1) + f(2) + \dots + f(n) + 2\ln n)$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x^2 + 1}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_0^1 e^x f(x) dx = \frac{4}{3}$.

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{0}^{1} f(-x) dx$.

: :

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că funcția $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $F(x)=e^{-x}\left(-x^{2}+a x+b\right)$ este o primitivă a funcției $f$.