Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 13**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați rația progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$, știind că $b_1 = 2$ și $b_3 - 4b_2 = -8$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + m$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(f(1), 1)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{x^2 - 1}{\sqrt{x - 1}} = \sqrt{x + 1}$.

**5p** **4.** Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre care au proprietatea că pătratul cifrei zecilor este egal cu diferența dintre cifra unităților și cifra sutelor.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$ și $H(3,2)$. Știind că $H$ este ortocentrul triunghiului $ABC$, determinați panta dreptei $BC$.

**5p** **6.** Determinați $x \in (0, \pi)$, știind că $\sin x - \cos x = \sqrt{2}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ m+1 & (m+1)^2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 0$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care matricea $A(m)$ este inversabilă.

**5p** **c)** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele necoliniare $A(1,1)$, $B(m, m^2)$ și $C(m+1, (m+1)^2)$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$, știind că triunghiul $ABC$ are aria egală cu $1$.

**2.** Pe mulțimea $G = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y = 2^{\ln x \cdot \ln y}$.

**5p** **a)** Arătați că $x * 1 = 1$, pentru orice $x \in G$.

**5p** **b)** Determinați $f \in G$, știind că $f$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați $x \in G$ pentru care $x * \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - \ln(e^x + x - 1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x - 2}{e^x + x - 1}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Demonstrați că dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați imaginea funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 f(x) dx = 1 + \ln(1 + \sqrt{2})$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{-1}^{1} x f(x) dx$.

: :

**5p** **c)** Arătați că $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \int\limits_{0}^{x} f(t) dt = 2$.