Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 12**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că numărul $N = \left(\sqrt{5} + \sqrt{13}\right)^2 + \left(\sqrt{5} - \sqrt{13}\right)^2$ este pătratul unui număr natural.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că $(f \circ f)(1) + f(1) = 1$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x + 4^{1-x} = 4$.

**5p** **4.** Determinați numărul numerelor naturale de trei cifre distincte care se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{0, 5, 7\}$.

**5p** **5.** Se consideră punctul $G$, centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și punctul $M$, mijlocul segmentului $AG$. Demonstrați că $6\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$.

**5p** **6.** Calculați măsura unghiului $A$ al triunghiului ascuțitunghic $ABC$, știind că $4\mathcal{A}_{\Delta ABC} = AB \cdot AC$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ a+4 & a+3 & a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = -15$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care rangul matricei $A(a)$ **nu** este egal cu 3.

**5p** **c)** Demonstrați că matricea $M = A(-1) \cdot A(-1) \cdot A(-1) \cdot A(-1)$ are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + 2020}$.

**5p** **a)** Arătați că $x * (-x) = \sqrt[3]{2020}$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x+1) * (-x) = \sqrt[3]{2021}$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, există un unic număr real $x$ pentru care $x * x * x = a$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe $(-\infty, 2]$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2x+3}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 f(x) \cdot \sqrt{x^2 + 3x + 5} \, dx = 4$.

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{-4}^{1} f(x) dx$.

: :

**5p** **c)** Arătați că $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x f(\sin x) dx = 6 - 2\sqrt{5}$.