Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 11**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{7}(\sqrt{6}+1)-\sqrt{6}(\sqrt{7}+1)=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}+x+1$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=2 x+2$. Demonstrați că $f(x+1)-f(x)=g(x)$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x-1}=\sqrt{x^{2}-2 x-1}$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $M=\{1,2,3,4,5\}$. Determinați numărul de submulțimi ale lui $M$ care au cel puțin trei elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $x O y$ se consideră trapezul $A B C D$ cu $A B \ C D$ și $A(1,2), B(4,5)$ și $D(-3,2)$. Determinați ecuația dreptei $M N$, știind că segmentul $M N$ este linia mijlocie a trapezului $A B C D$.

**5p** **6.** Calculați $\sin 2 x$, știind că $(2 \sin x+\cos x)^{2}=2+3 \sin ^{2} x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & -1 \end{pmatrix}$, unde $i^{2}=-1$ și $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=i$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice număr real $a$, matricea $A(a)$ este inversabilă.

**5p** **c)** Calculați $\underbrace{A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot \ldots \cdot A(0)}_{\text{de 2020 ori } A(0)}$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12$.

**5p** **a)** Arătați că $x * 1=3$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $0 * x=-9$.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $x * y=3$, atunci $(x-1)(y-1)=0$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^{2}-\ln \left(x^{2}+1\right)$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{3}}{x^{2}+1}, x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Demonstrați că axa $O x$ este tangentă graficului funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, ecuația $f(x)=n$ are două soluții reale distincte.

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}}{x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{f(x)}{e^{x}} d x=1$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{2} x^{3} f\left(x^{2}\right) d x=\frac{e(e-1)\left(e^{2}+e+1\right)}{2}$.

: :

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_{1}^{e} f(x) d x+\int\limits_{1}^{e} e^{x} \ln x d x=e^{e}$.