Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 10**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați partea reală a numărului complex $z=(3+2i)(3-2i)-(4-i)$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$ și $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=2x-3$. Calculați $(f \circ g)(2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{2^{6x}}=16$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă produsul cifrelor un număr impar.

**5p** **5.** Se consideră paralelogramul $ABCD$ cu $AD=6$, $AB=4$ și $m(\sphericalangle ADC)=120^{\circ}$. Determinați modulul vectorului $\vec{v}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=60$, $AC=80$ și $BC=100$. Calculați lungimea înălțimii $AD$ a triunghiului $ABC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 2a+1 & 1 & -2 \\ a-1 & -1 & 1 \\ 2a & -2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} (2a+1)x+y-2z=a \\ (a-1)x-y+z=a+1 \\ 2ax-2y+z=1 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care matricea $A(a)$ **nu** este inversabilă.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care există $y_0$ și $z_0$, numere reale, astfel încât $(2, y_0, z_0)$ să fie soluție a sistemului de ecuații.

**2.** Pe mulțimea $G=(0, +\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $x * y = \sqrt[3]{x^{\log_2 y}}$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * 64 = 4$.

**5p** **b)** Arătați că legea de compoziție „$*$” este comutativă.

**5p** **c)** Determinați $x \in G$ care sunt egale cu simetricele lor în raport cu legea de compoziție „$*$”.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)+1$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(5)=6$.

**5p** **b)** Calculați $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{f(n+1)-1}{f(n)-1} \right)^n$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $f'(x)=0$ are trei soluții reale.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1-e^x}{1+e^x}$.

**5p** **a)** Determinați primitiva $G$ a funcției $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=(1+e^x)f(x)$ pentru care $G(0)=0$.

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{0}^{1} f(x) dx$.

: :

**5p** **c)** Demonstrați că $\int\limits_{-1}^{1} f(x) \cos x dx = 0$.

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>

https://variante-mate.ro

<br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br>