Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 8**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați suma elementelor mulțimii $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \le \sqrt{5}\}$.

**5p** **2.** Determinați numerele reale $m$ și $n$, știind că $f(1) = 2$ și $f(2) = 1$, unde $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = mx + n$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $16^x + 2 \cdot 4^x - 8 = 0$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra sutelor un număr prim.

**5p** **5.** Se consideră paralelogramul $ABCD$ și punctul $O$, intersecția diagonalelor acestuia. Arătați că $\vec{OB} + \vec{OC} = \vec{AB}$.

**5p** **6.** Determinați $\sin x$, știind că $x \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$ și $\cos x = \frac{4}{5}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ a-3 & a & 1 \\ 3 & 2a-1 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} 2x + ay + z = 1 \\ (a-3)x + ay + z = 2a-1 \\ 3x + (2a-1)y + z = 1 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 5$.

**5p** **b)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil determinat.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, știind că sistemul de ecuații are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$ și $x_0$, $y_0$ și $z_0$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $x * y = x + y - \frac{xy}{3}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 3 = 3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x * x * x = \frac{26}{9}$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ ale căror simetrice în raport cu legea de compoziție „$*$” sunt numere naturale.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^4 - 4\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei verticale la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că, pentru fiecare număr natural $n$, $n \ge 2$, ecuația $f(x) - n = 0$ are două soluții reale distincte.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 e^x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 f(x) e^{-x} dx = 4$.

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} f(\ln x) d x$.

: :

**5p** **c)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) F(x) d x=2(e-3)^{2}$, unde $F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(0)=0$.

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>