Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 7**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați partea întreagă a numărului real $x = \left(\sqrt{2}-1\right)^2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 2x$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu dreapta de ecuație $y = 2x - 3$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{x-2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{7-2x}$.

**5p** **4.** Determinați numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(2,5)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\vec{AC} = 2\vec{AB}$.

**5p** **6.** Calculați perimetrul triunghiului $ABC$, știind că $AB = 2$, $AC = 3$ și $m(\sphericalangle BAC) = 60^\circ$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & a \\ 1 & -a & 0 \end{pmatrix}$ și $(A(a))^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -a \\ 3 & a & 0 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 1$.

**5p** **b)** Demonstrați că, pentru orice număr rațional $q$, matricea $A(q)$ este inversabilă.

**5p** **c)** Se consideră matricea $B(a) = A(a) - (A(a))^t$. Determinați numerele raționale $p$ pentru care $B(p)B(p)B(p) + 5B(p) = O_3$.

**2.** Pe mulțimea $G = (0,1)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{xy}{2xy - x - y + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$.

**5p** **b)** Verificați dacă $e = \frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Știind că $(G, *)$ este grup, demonstrați că funcția $f: G \rightarrow M$, $f(x) = \frac{1}{x} - 1$ este un izomorfism de la grupul $(G, *)$ la grupul $(M, \cdot)$, unde $M = (0, +\infty)$ și „$\cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = 1 + \ln x$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați $m \in (0, +\infty)$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $M(m, f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = 2x$.

**5p** **c)** Demonstrați că $x \ln x + \frac{1}{e} \ge 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\cos x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x f(x) d x=\frac{1}{2}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int\limits_{0}^{x} f(t) d t$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(f(x))^{n} d x$. Demonstrați că șirul $\left(I_{n}\right)_{n \geq 1}$ este convergent.

Test 7