Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 6**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați partea reală a numărului complex $z=(1+i \sqrt{3})^{2}-(1-i \sqrt{3})^{2}$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=5-2 x$. Arătați că $f(0) \cdot f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) \cdot f(5)<0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log _{2} x+\frac{1}{\log _{2} x}=2$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Determinați numărul de submulțimi cu 3 elemente ale lui $A$, care conțin exact 2 numere impare.

**5p** **5.** Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M, N$ și $P$ astfel încât $\overrightarrow{AM}=2 \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BN}=2 \overrightarrow{BC}$ și $\overrightarrow{CP}=2 \overrightarrow{CA}$. Știind că $O$ este un punct oarecare din plan, arătați că $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$.

**5p** **6.** Știind că $x \in(\pi, 2 \pi)$ și $\cos 2 x=\frac{1}{3}$, calculați $\sin x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 2 & a & 2 \\ 3 & a & 2 \\ 2 & a & 5 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} 2 x+a y+2 z=4 \\ 3 x+a y+2 z=1 \\ 2 x+a y+5 z=b \end{cases}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=-3$.

**5p** **b)** Pentru $a=-1$ și $b=-2$, rezolvați sistemul de ecuații.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil nedeterminat.

**2.** Pe mulțimea $G=(1,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\sqrt{x^{2} y^{2}-x^{2}-y^{2}+2}$.

**5p** **a)** Arătați că $x * y=\sqrt{\left(x^{2}-1\right)\left(y^{2}-1\right)+1}$, pentru orice $x, y \in G$.

**5p** **b)** Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Știind că $(G, *)$ este grup, demonstrați că funcția $f: M \rightarrow G, f(x)=\sqrt{x+1}$ este un izomorfism de la grupul $(M, \cdot)$ la grupul $(G, *)$, unde $M=(0,+\infty)$ și „$\cdot$” reprezintă operația de înmulțire a numerelor reale.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x+1) e^{-x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=-x e^{-x}, x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(f(n))^{n}}{e^{n}(f(n+1))^{n}}$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care ecuația $f(x)=m$ are două soluții reale distincte.

***

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.** Se consideră funcția $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{2}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1}(f(x)-x) d x=2 \ln 2$.

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{1}^{e}\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right) \ln x d x$.

**5p** **c)** Determinați $a \in(0,+\infty)$ pentru care $\int\limits_{0}^{1} 2 f(x) F(x) d x=\frac{1}{4}+\ln 4+\ln ^{2} a$, unde $F$ este primitiva funcției $f$ pentru care $F(0)=0$.

Test 6