Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 5**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numerele complexe $z_1 = 3 - 3i$ și $z_2 = 5 - 6i$. Arătați că $2z_1 - z_2 = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + 15$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) + f(m+1) = 35$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 \cdot 3^x - 3^{x+1} + 27 = 0$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de 25.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(6,4)$, $B(-2,6)$. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că, dacă $C(a,b)$, atunci $\vec{AC} = \vec{CB}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 4$. Știind că aria $\Delta ABC$ este egală cu 6, calculați lungimea laturii $BC$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\begin{cases} 2x + 2y + z = 3 \\ 2x + (a+1)y + az = 3 \\ ax + 6y + 4z = a + 3 \end{cases}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(a)) = (a-1)(a-4)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **b)** Arătați că **nu** există niciun număr real $a$ pentru care $(A(4) - A(1)) \cdot A(a) = A(a) \cdot (A(4) - A(1))$.

**5p** **c)** Determinați numerele întregi $a$, pentru care sistemul de ecuații are soluția unică $(x_0, y_0, z_0)$ cu $x_0$, $y_0$ și $z_0$ numere întregi.

**2.** Pe mulțimea $M = (-10, 10)$ se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \frac{100(x+y)}{xy+100}$.

**5p** **a)** Arătați că $3 * 0 = 3$.

**5p** **b)** Se consideră $f: M \to (0, +\infty)$, $f(x) = \frac{10-x}{10+x}$. Demonstrați că $f(x * y) = f(x)f(y)$, pentru orice $x, y \in M$.

**5p** **c)** Determinați $x \in M$ pentru care $\underbrace{x * x * \dots * x}_{\text{de 11 ori } x} = 0$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x(x^2 - 4x + 1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = e^x(x-3)(x+1)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$, în care tangenta la graficul funcției $f$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = 2020$.

**5p** **c)** Determinați valorile reale ale lui $a$, știind că graficul funcției $f$ intersectează dreapta de ecuație $y = a$ în exact trei puncte.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x+\frac{1}{\ln x}$.

**5p** **a)** Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe intervalul $(1,+\infty)$.

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x}(f(x)-\ln x) d x$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$, $a>e$, știind că $\int\limits_{e}^{a} \ln x d x=2 a$.