Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 4**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că suma pătratelor elementelor mulțimii $M = \{n \in \mathbb{N} \mid n-1 < 2\}$ este egală cu $5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - mx + 5$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că vârfului parabolei asociate funcției $f$ are abscisa egală cu $3$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+2} = \sqrt{8-x}$.

**5p** **4.** Determinați numărul submulțimilor cu $10$ elemente ale unei mulțimi cu $12$ elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(5,1)$, $B(-1,3)$ și $C(8,10)$. Determinați ecuația dreptei paralele cu dreapta $AC$ și care trece prin mijlocul segmentului $CD$, unde punctul $D$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Calculați $S = \cos \pi + \cos 2\pi + \cos 3\pi + \dots + \cos 2020\pi$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & -x \\ 1 & 0 & 1 \\ -x & 1 & x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = -4$.

**5p** **b)** Demonstrați că $\det(A(x)A(y) - A(2xy)) = 0$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$ pentru care $A(1)A\left(\frac{1}{2}\right) + A(2)A\left(\frac{1}{4}\right) + \dots + A(1010)A\left(\frac{1}{2020}\right) = nI_3$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = \left(\sqrt[5]{x} + \sqrt[5]{y}\right)^5$.

**5p** **a)** Arătați că $2^5 * 3^5 = 5^5$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$, știind că $2^5 * x^5 * \left(243x^5\right) = 100000$.

**5p** **c)** Se consideră numerele $M = 1^5 * 2^5 * \dots * 10^5$ și $N = 5^5 \cdot 11^5$. Demonstrați că $M - N = 0$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x-1}{x+1} + \ln(x+1) - \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că graficul funcției $f$ **nu** intersectează axa $Ox$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 f^2(x) dx = \frac{4}{3}$.

***

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{-1}^{1} x f(x) dx$.

: :

**5p** **c)** Calculați $\lim_{x \to 0} \frac{\int\limits_{0}^{x} t \cdot f(t) dt}{x^2}$.