Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 3**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numărul complex $z=1+i$. Arătați că $2z-z^2=2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-mx+2m$, unde $m$ este număr real. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$, știind că $f(x)>0$ pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(\sqrt{x}+1)+\log_5(\sqrt{x}-1)=2$.

**5p** **4.** Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 32 de submulțimi.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(2,5)$ și $C(6,1)$. Determinați coordonatele punctului $D$, știind că $\vec{AB}+\vec{AC}=\vec{AD}$.

**5p** **6.** Determinați $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ pentru care $\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x-\cos x$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 & 2-a \\ 0 & 2 & 0 \\ 2-a & 0 & a \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2))=8$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a)A(b)=2A(ab-a-b+2)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați perechile de numere întregi $p$ și $q$ pentru care $A(p)A(q)=4I_3$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = -\frac{3}{5}xy + x + y$.

**5p** **a)** Arătați că $x * y = -\frac{3}{5}\left(x-\frac{5}{3}\right)\left(y-\frac{5}{3}\right)+\frac{5}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Arătați că $\frac{5x}{3} * \frac{5}{3x} \ge \frac{5}{3}$, pentru orice $x \in(0, +\infty)$.

**5p** **c)** Calculați $\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \dots * \frac{2020}{3}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=4x-\ln(x^2+1)$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{2(2x^2-x+2)}{x^2+1}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Calculați $\lim_{x \to +\infty} (f(x+1)-f(x))$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

**2.** Se consideră funcția $f: (-5,5) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{25-x^2}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^1 f^2(x)dx = \frac{74}{3}$.

***

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{-3}^{3} x f(x) dx$.

: :

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_n = \int\limits_{0}^{1} \frac{1}{f^n(x)} dx$. Demonstrați că șirul $(I_n)_{n \ge 1}$ este monoton.