Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 2**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numărul complex $z=3-i$. Arătați că $z^2-6z+10=0$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6$. Determinați numărul real $a$, știind că $f(a)=f(a-2)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4\left(x^2+4x+5\right)=\log_4(2x+4)$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu 16.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(3,3)$ și $C(7,3)$. Determinați coordonatele punctului $D$, știind că $ABCD$ este paralelogram.

**5p** **6.** Se consideră $E(x)=\operatorname{tg} \frac{x}{2}-\operatorname{ctg} \frac{x}{2}+\operatorname{ctg} x+2 \sin \frac{5x}{3}$, unde $x \in(0, \pi)$. Arătați că $E\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 1 & -2a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a & -2a^2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a)A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Demonstrați că, dacă $A(n)=A(1)A(2)A(3) \cdot \ldots \cdot A(2020)$, atunci numărul natural $n$ este multiplu de 2021.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3+\sqrt{3}$.

**5p** **a)** Arătați că $\sqrt{3} * 0=\sqrt{3}$.

**5p** **b)** Demonstrați că $x * y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **c)** Calculați $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} * \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} * \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \ldots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+4x+4}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x)=\frac{-x(x+2)}{e^x}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\lim_{n \rightarrow+\infty}(g(1)+g(2)+\ldots+g(n))=\frac{1}{e-1}$, unde $g:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{(x+2)^2}$.

***

Test 2

Centrul Național de Evaluare și Examinare

***

**2.** Se consideră funcția $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1}(x+1) f(x) d x=2$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) d x=2-\ln 2$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int\limits_{0}^{1} e^{x}(x+1)^{n}(f(x))^{n} d x$.

Demonstrați că $I_{n}+2 n I_{n-1}=3^{n} e-1$, pentru orice număr natural $n, n \geq 2$.

***