Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Test 1**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că numărul $a=(4+3i)^2+(3-4i)^2$ este natural, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Determinați cel mai mare număr întreg $m$ pentru care soluțiile ecuației $x^2-11x+m=0$ sunt numere reale.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_7(7x)+\log_x 7=3$.

**5p** **4.** Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact 45 de submulțimi cu două elemente.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,-2)$, $B(-4,4)$ și $C(-4,0)$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

**5p** **6.** Determinați $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ pentru care $\cos x \sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) - \sin x \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) = \dfrac{1}{2}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2-a \\ 0 & 1 & 2a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Demonstrați că $A(a)A(b)=A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(3) \cdot X = A(5)$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y = 2xy - 3x - 3y + 6$.

**5p** **a)** Arătați că $x * y = 2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right) + \dfrac{3}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = 14$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural $n$, știind că $\left(2^n + \dfrac{3}{2}\right) * \left(2^{n+1} + \dfrac{3}{2}\right) * \left(2^{n+2} + \dfrac{3}{2}\right) = 2^{20} + \dfrac{3}{2}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^2} - \dfrac{1}{x^2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{-2(3x^2-3x+1)}{x^3(x-1)^3}$, $x \in (1,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul $A(0,3)$ și este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Calculați $\lim\limits_{n \to +\infty} (f(2)+f(3)+\dots+f(n))^{n^2}$.

***

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{f(x)} d x=1$.

**5p** **b)** Calculați $\int\limits_{0}^{1} f(x) d x$.

**5p** **c)** Arătați că există un unic număr real $x$ pentru care $\int\limits_{0}^{x} e^{f^{2}(t)} d t=x$.

Test 1