**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 20**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** Cum $2-3i = \overline{2+3i}$, $A = z(2+3i) + \overline{z} \cdot \overline{2+3i} =$ **2p**

$= z(2+3i) + \overline{z(2+3i)} \in \mathbb{R}$, deoarece este suma dintre un număr complex și conjugatul său **3p**

**2.** $f(3+\sqrt{2}) = (3+\sqrt{2})^2 - 6(3+\sqrt{2}) + 7 = 9 + 6\sqrt{2} + 2 - 18 - 6\sqrt{2} + 7 = 9 + 2 - 18 + 7 =$ **3p**

$= 0$, deci $f(\sqrt{2}) \cdot f(1+\sqrt{2}) \cdot f(2+\sqrt{2}) \cdot \dots \cdot f(10+\sqrt{2}) = 0$ **2p**

**3.** $\lg(x^2+x-2) = \lg\left(10 \cdot \frac{x-1}{2}\right) \Rightarrow x^2+x-2 = 5x-5 \Rightarrow x^2-4x+3 = 0$ **3p**

$x=1$, care nu convine, sau $x=3$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor mai mare decât 51 sunt 69, 96, 78, 87, 79, 97, 88, 89, 98 și 99, deci sunt 10 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$ **1p**

**5.** $AM=5$, $BM=5$, $CM=5$ **3p**

$AM=BM=CM$, deci punctul $M$ este centrul cercului circumscris $\Delta ABC$ **2p**

**6.** $\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = 2R \Rightarrow \sin A + \sin B + \sin C = \frac{BC}{2R} + \frac{AC}{2R} + \frac{AB}{2R} \Rightarrow \frac{AB+AC+BC}{2R} = \frac{1}{rR}$ **3p**

$p = \frac{1}{r}$ și, cum $r = \frac{S}{p}$, obținem $S=1$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= -2 + 0 + 0 - 0 - (-4) - 0 = 2$ **3p**

**b)** $\det(A(m)) = 2(1-m)(1+m)$, pentru orice număr real $m$ **3p**

Matricea $A(m)$ este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(m)) \neq 0 \Leftrightarrow m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ **2p**

**c)** $m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \Rightarrow \det(A(m)) \neq 0$, deci sistemul de ecuații are soluția $\left(1, \frac{2}{m+1}, \frac{2}{m+1}\right)$, unde **3p**

$m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

$\frac{y_0}{z_0} = \frac{\frac{2}{m+1}}{\frac{2}{m+1}} = 1 = x_0$, pentru orice $m \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $2 *(-2)=2 \cdot \sqrt{(-2)^{2}+1}+(-2) \cdot \sqrt{2^{2}+1}=$ **3p**

$=2 \sqrt{5}-2 \sqrt{5}=0$ **2p**

**b)** $x * 0=x \sqrt{0^{2}+1}+0 \cdot \sqrt{x^{2}+1}=x \sqrt{1}=x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$0 * x=0 \cdot \sqrt{x^{2}+1}+x \sqrt{0^{2}+1}=x \sqrt{1}=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $f(x) * f(y)=f(x) \sqrt{f^{2}(y)+1}+f(y) \sqrt{f^{2}(x)+1}=\frac{e^{2 x}-1}{2 e^{x}} \sqrt{\left(\frac{e^{2 y}-1}{2 e^{y}}\right)^{2}+1}+\frac{e^{2 y}-1}{2 e^{y}} \sqrt{\left(\frac{e^{2 x}-1}{2 e^{x}}\right)^{2}+1}=$ **2p**

$=\frac{e^{2 x}-1}{2 e^{x}} \sqrt{\left(\frac{e^{2 y}+1}{2 e^{y}}\right)^{2}}+\frac{e^{2 y}-1}{2 e^{y}} \sqrt{\left(\frac{e^{2 x}+1}{2 e^{x}}\right)^{2}}=\frac{e^{2 x}-1}{2 e^{x}} \frac{e^{2 y}+1}{2 e^{y}}+\frac{e^{2 y}-1}{2 e^{y}} \frac{e^{2 x}+1}{2 e^{x}}=\frac{e^{2(x+y)}-1}{2 e^{x+y}}=f(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x} \sqrt{x^{2}+1}-e^{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}=$ **3p**

$=\frac{e^{x}\left(x^{2}+1\right)-x e^{x}}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}=\frac{e^{x}\left(x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x \sqrt{x^{2}+1}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \cdot \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}\right)$ **2p**

Cum $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-e^{-x}\right)^{\prime}}{x^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}}{1}=2$, obținem $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}=2$ **3p**

**c)** $f^{\prime}(x)>0$, pentru orice număr real $x \Rightarrow f$ este strict crescătoare **2p**

$\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ și $f$ este continuă, deci $\operatorname{Im} f=(0,+\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_{0}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+4} d x=\left.\frac{1}{2} \operatorname{arctg} \frac{x}{2}\right _{0} ^{2}=$ **3p**

$=\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 1-\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 0=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$ **2p**

**b)** $0<\frac{1}{x^{2}+4} \leq \frac{1}{4}$, deci $0<\left(\frac{1}{x^{2}+4}\right)^{n} \leq \frac{1}{4^{n}}$, pentru orice $x \in[0,1]$ și orice număr natural $n$, **3p**

deci $0 \leq \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{x^{2}+4}\right)^{n} d x \leq \int_{0}^{1} \frac{1}{4^{n}} d x$, de unde obținem $0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{4^{n}}$, pentru orice număr natural $n$

Cum $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{4^{n}}=0$, obținem $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0$ **2p**

**c)** $\int_{0}^{a} x f(x) d x=\int_{0}^{a} \frac{x}{x^{2}+4} d x=\frac{1}{2} \int_{0}^{a} \frac{\left(x^{2}+4\right)^{\prime}}{x^{2}+4} d x=\left.\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+4\right)\right _{0} ^{a}=\frac{1}{2} \ln \left(a^{2}+4\right)-\frac{1}{2} \ln 4=\frac{1}{2} \ln \frac{a^{2}+4}{4}$ **3p**

$\frac{1}{2} \ln \frac{a^{2}+4}{4}=\frac{1}{2} \ln \frac{5}{4} \Leftrightarrow a^{2}+4=5$ și, cum $a>0$, obținem $a=1$ **2p**

***