**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 19**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $b_4 = b_1 q^3 = 2 \cdot \sqrt{5}^3 = 10\sqrt{5} = \sqrt{500}$ **2p**

$484 < 500 < 529 \Rightarrow 22 < \sqrt{500} < 23$, deci partea întreagă a lui $b_4$ este egală cu $22$ **3p**

**2.** $f(x) = f^{-1}(x) \Leftrightarrow f(f(x)) = x \Leftrightarrow 2f(x) - 3 = x \Leftrightarrow 2(2x - 3) - 3 = x$ **3p**

$x = 3$ **2p**

**3.** $\log_2 \frac{2x^2 + x + 1}{x^2 - x + 2} = 1 \Rightarrow \frac{2x^2 + x + 1}{x^2 - x + 2} = 2 \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 2x^2 - 2x + 4$ **3p**

$x = 1$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de două cifre care au suma cifrelor un număr divizibil cu $11$ sunt $29$, $38$, $47$, $56$, $65$, $74$, $83$ și $92$, deci sunt $8$ cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$ **1p**

**5.** $\vec{u} + \vec{v} = (1 + a)\vec{i} - \vec{j} \Rightarrow \vec{u} + \vec{v} ^2 = (1 + a)^2 + 1$ **2p**

Cum $ \vec{u} ^2 = 2$ și $ \vec{v} ^2 = a^2 + 4$, obținem $a^2 + 2a + 2 = 2 + a^2 + 4$, deci $a = 2$ **3p**

**6.** $(\sin x + \cos x)^2 = 2\cos^2 x \Leftrightarrow \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 2\cos^2 x \Leftrightarrow \sin 2x = \cos 2x$ **2p**

$\text{tg } 2x = 1$ și, cum $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, obținem $2x = \frac{\pi}{4}$, deci $x = \frac{\pi}{8}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 2 + 1 - 1 - 0 - 2 = 0$ **3p**

**b)** Dacă $m = -3$ și $(x_0, y_0, z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, atunci $\begin{cases} -3x_0 + y_0 + z_0 = 1 \\ 2x_0 - 2y_0 + z_0 = 2 \\ x_0 + y_0 - 2z_0 = -2 \end{cases}$ **2p**

Prin adunarea celor trei relații, obținem $0 = 1$, ceea ce este imposibil, deci, pentru $m = -3$, sistemul de ecuații nu are soluții **3p**

**c)** $\det(A(m)) = m^3 + 2m^2 - 3m = m(m - 1)(m + 3)$, pentru orice număr real $m$ **1p**

Dacă $m = 0$, atunci $\begin{cases} y + z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$, care nu are soluții, dacă $m = 1$, atunci $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + z = 2 \\ x + y + 2z = 2 \end{cases}$, care nu are soluții **2p**

Barem de evaluare și de notare

$m \in \mathbb{R} \setminus \{-3,0,1\} \Rightarrow \det(A(m)) \neq 0$, deci sistemul de ecuații are soluție unică și, cum pentru $m = -3$, sistemul nu are soluții, obținem că sistemul de ecuații are cel mult o soluție **2p**

**2.a)** $(1+i) \circ (1-i) = 1+i+1-i - \frac{1}{2}(1-i) - \frac{1}{2}(1+i) =$ **3p**

$= 2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i = 1$ **2p**

**b)** $z_1, z_2 \in H \Rightarrow z_1 = 2+bi$ și $z_2 = 2+ci$, $b, c \in \mathbb{R} \Rightarrow z_1 \circ z_2 = 2+bi+2+ci - \frac{1}{2}(2-bi) - \frac{1}{2}(2-ci) =$ **3p**

$= 4+bi+ci-1+\frac{1}{2}bi-1+\frac{1}{2}ci = 2 + \frac{3}{2}(b+c)i \in H$, deci $H$ este parte stabilă a lui $\mathbb{C}$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$” **2p**

**c)** Dacă $z_0 = a+ib$, cu $a, b \in \mathbb{R}$, pentru $z = x-ib$, unde $x$ este număr real oarecare, obținem **3p**

$z_0 \circ z = a+ib+x-ib - \frac{1}{2}(a-ib) - \frac{1}{2}(x+ib) =$

$= \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}x \in \mathbb{R}$, deci există o infinitate de numere complexe $z$ cu proprietatea că numărul $z_0 \circ z$ este real **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \left( \left( x^3-3x+2 \right)^{\frac{1}{3}} \right)' = \frac{1}{3} \left( x^3-3x+2 \right)^{-\frac{2}{3}} (3x^2-3) =$ **3p**

$= \frac{1}{3} \frac{3(x^2-1)}{\sqrt[3]{\left( x^3-3x+2 \right)^2}} = \frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{\left( x^3-3x+2 \right)^2}}$, $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{f(x)}{x-1} = \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \frac{\sqrt[3]{x^3-3x+2}}{x-1} = \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \sqrt[3]{\frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^3}} =$ **3p**

$= \lim\limits_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \sqrt[3]{\frac{x+2}{x-1}} = +\infty$ **2p**

**c)** $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare, deci injectivă **2p**

$\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 0$, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, deci pentru orice $a \in (0, +\infty)$, ecuația $f(x) = a$ are soluție unică **3p**

**2.a)** $\int\limits_1^4 e^x f(x) dx = \int\limits_1^4 (x^2+2) dx = \left( \frac{x^3}{3} + 2x \right) \bigg _1^4 =$ **3p**

$= \frac{4^3}{3} + 8 - \frac{1}{3} - 2 = 21 + 6 = 27$ **2p**

**b)** $\int\limits_1^e f(\ln x) dx = \int\limits_1^e \frac{\ln^2 x + 2}{e^{\ln x}} dx = \int\limits_1^e \frac{1}{x} (\ln^2 x + 2) dx = \left( \frac{1}{3} \ln^3 x + 2 \ln x \right) \bigg _1^e =$ **3p**

$= \frac{1}{3} \ln^3 e + 2 \ln e - \frac{1}{3} \ln^3 1 - 2 \ln 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$ **2p**

**c)** Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x} \int\limits_0^x f(t) dt = \lim\limits_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} f(x) =$ **2p**

$= \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2+2}{e^x} = 2$ **3p**

***