**Examenul de bacalaureat naţional 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 18**

* **Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $z^2 - 6z + 10 = (3+i)^2 - 6(3+i) + 10 = 9 + 6i + i^2 - 18 - 6i + 10 =$ **3p**

$= 9 + (-1) - 8 = 0$ **2p**

**2.** $f(x) = g(x) \Leftrightarrow x^2 - 4x = x^2 + 2x - 6 \Leftrightarrow -6x = -6$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**3.** $2x + 3 = (x+1)^2 \Rightarrow 2x + 3 = x^2 + 2x + 1 \Rightarrow x^2 = 2$ **2p**

$x = -\sqrt{2}$, care nu convine sau $x = \sqrt{2}$, care convine **3p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor un număr prim sunt 12, 21, 13, 31, 15, 51, 17 și 71, deci sunt 8 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{8}{90} = \frac{4}{45}$ **1p**

**5.** $B$ este mijlocul segmentului $AM \Rightarrow x_B = \frac{x_A + x_M}{2}$ și $y_B = \frac{y_A + y_M}{2}$, deci $M(7, -4)$ **2p**

$M$ este mijlocul segmentului $BN \Rightarrow x_M = \frac{x_B + x_N}{2}$ și $y_M = \frac{y_B + y_N}{2}$, deci $N(11, -7)$ **3p**

**6.** $\sin x + \cos x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x \Leftrightarrow \sin x + \cos x = (\cos x + \sin x)(\cos x - \sin x)$ **3p**

Cum $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, obținem $\cos x - \sin x = 1$, deci $\sin x - \cos x = -1$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2$ **3p**

**b)** $A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2^y & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^x \cdot 2^y & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2y + 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =$ **2p**

$= \begin{pmatrix} 2^{x+y} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2(x+y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(x+y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $B = A(1+2+3) - I_3 = A(6) - I_3 = \begin{pmatrix} 2^6 - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ **2p**

Cum $\det B = 0$ și $\begin{vmatrix} 2^6 - 1 & 0 \\ 0 & 12 \end{vmatrix} = 12(2^6 - 1) \neq 0$, obținem că rangul matricei $B$ este egal cu $2$ **3p**

**2.a)** $1 * 1 = 1^2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^2 + 6 =$ **3p**

$= 1 - 2 - 2 + 6 = 3$ **2p**

**b)** $x^2 y^2 - 2x^2 - 2y^2 + 6 = 2 \Leftrightarrow x^2(y^2 - 2) - 2(y^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow (x^2 - 2)(y^2 - 2) = 0$ **3p**

$x^2 = 2$ sau $y^2 = 2$, ceea ce este imposibil pentru orice numere raționale $x$ și $y$, deci $x * y \neq 2$ **2p**

**c)** $m^2 n^2 - 2m^2 - 2n^2 + 6 = 3 \Leftrightarrow m^2 n^2 - 2m^2 - 2n^2 + 4 = 1 \Leftrightarrow (m^2 - 2)(n^2 - 2) = 1$ **2p**

$m$ și $n$ sunt numere întregi $\Rightarrow m^2 - 2 = n^2 - 2 = -1$ sau $m^2 - 2 = n^2 - 2 = 1$, deci $m^2 = n^2 = 1$ sau $m^2 = n^2 = 3$, de unde obținem perechile de numere întregi $(-1, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2x + 2 - \dfrac{2}{x+1} =$ **3p**

$= \dfrac{2x^2 + 4x + 2 - 2}{x+1} = \dfrac{2x(x+2)}{x+1}, \ x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ are panta egală cu $f'(a)$ și, cum dreapta de ecuație $y = 3x + 2020$ are panta egală cu $3$, obținem $f'(a) = 3$ **2p**

$\dfrac{2a(a+2)}{a+1} = 3 \Leftrightarrow 2a^2 + a - 3 = 0$ și, cum $a \in (-1, +\infty)$, obținem $a = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in (-1, 0] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-1, 0]$ și $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in [0, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[0, +\infty) \Rightarrow f(x) \geq f(0)$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ și, cum $f(0) = 0$, obținem $f(x) \geq 0$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ **3p**

$x^2 + 2x \geq 2 \ln(x+1) \Leftrightarrow (x+1)^2 \geq 2 \ln(x+1) + 1$, pentru orice $x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^3 f^2(x) dx = \int_0^3 (x^2 + 2) dx = \left( \dfrac{x^3}{3} + 2x \right) \bigg _0^3 =$ **3p**

$= 9 + 6 = 15$ **2p**

**b)** $0 \leq I_n = \int_0^1 x^n f(x) dx = \int_0^1 x^n \sqrt{x^2 + 2} dx \leq \sqrt{3} \int_0^1 x^n dx = \sqrt{3} \cdot \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \bigg _0^1 = \dfrac{\sqrt{3}}{n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

Cum $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{3}}{n+1} = 0$, obținem $\lim_{n \to +\infty} I_n = 0$ **2p**

**c)** $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{x^2 + 2} dx = \int_0^1 \dfrac{x^n(x^2 + 2)}{\sqrt{x^2 + 2}} dx = \int_0^1 x^{n+1} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} dx + 2 \int_0^1 x^{n-1} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 2}} dx =$ **2p**

$= \int_0^1 x^{n+1} \left( \sqrt{x^2 + 2} \right)' dx + 2 \int_0^1 x^{n-1} \left( \sqrt{x^2 + 2} \right)' dx = \sqrt{3} - (n+1)I_n + 2\sqrt{3} - 2(n-1)I_{n-2}$ și obținem $(n+2)I_n + 2(n-1)I_{n-2} = 3\sqrt{3}$, pentru orice număr natural $n, n \geq 3$ **3p**

***

Test 18